هرم. فرمول ها و خواص هرم

apothem apothem

(از یونانی apotíthēmi - به تعویق انداختم)، 1) یک قطعه (و همچنین طول آن) از یک عمود آ، از مرکز یک چند ضلعی منظم به هر یک از اضلاع آن افتاد. 2) در هرم صحیح، قد بلند است آلبه جانبی

APOTHEM

APOPHEMA (آپوتما یونانی - چیزی به تعویق افتاد)
1) پاره ای (و همچنین طول آن) از عمود a، از مرکز یک چندضلعی منتظم به هر یک از اضلاع آن افتاده است.
2) در هرم منظم، آپوتم ارتفاع وجه جانبی است.

فرهنگ لغت دایره المعارفی. 2009 .

مترادف ها:

ببینید که "Apothem" در سایر لغت نامه ها چیست:

APOTEM را ببینید. فرهنگ لغات کلمات خارجی موجود در زبان روسی. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA، نگاه کنید به APOTHEMA. فرهنگ لغات کلمات خارجی موجود در زبان روسی. پاولنکوف اف.، 1907 ... فرهنگ لغت کلمات خارجی زبان روسی

- (از یونانی apotithemi I به تعویق انداختن) ..1) یک پاره (و همچنین طول آن) از عمود a، که از مرکز یک چند ضلعی منتظم به هر یک از اضلاع آن پایین آمده است2)] در هرم منتظم، آپوتم ارتفاع است. از صورت کناری ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

وجود، تعداد مترادف ها: 3 آپوتما (2) طول (10) عمود بر (4) فرهنگ لغت ... فرهنگ لغت مترادف

APOTHEM- (1) طول عمود کاهش یافته از مرکز دایره ای که اطراف یک چند ضلعی منظم به هر یک از اضلاع آن احاطه شده است. (2) ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم؛ (3) ارتفاع ذوزنقه که وجه جانبی منقطع منظم ... ... دایره المعارف بزرگ پلی تکنیک

- (از یونانی apotithçmi من کنار گذاشتم) 1) طول عمودی که از مرکز یک چند ضلعی منتظم به هر یک از اضلاع آن افتاده است (شکل 1). 2) در یک هرم منظم A. ارتفاع a از وجه جانبی آن (شکل 2). برنج. 1 تا …… دایره المعارف بزرگ شوروی

- (از یونانی apotfthemi I به تعویق انداختن) 1) یک پاره (و همچنین طول آن) از عمود a، که از مرکز یک چندضلعی منتظم به هر یک از اضلاع آن پایین آمده است. 2) در یک هرم منظم A. ارتفاع a از وجه جانبی (شکل را ببینید). به هنر. حکم... فرهنگ لغت پلی تکنیک دایره المعارفی بزرگ

طول یک عمود از مرکز یک چند ضلعی منظم به یکی از اضلاع آن کاهش یافته است. آپوتم برابر با شعاع دایره ای است که در چند ضلعی داده شده است. A. را به سمت مایل مخروط نیز می گفتند ... فرهنگ لغت دایره المعارفی F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

- (از یونانی apotithemi I به تعویق انداختن)، 1) پاره (و همچنین طول آن) از عمود a، که از مرکز یک چندضلعی منتظم به هر یک از اضلاع آن پایین آمده است. 2) در هرم A منظم ارتفاع a از وجه جانبی ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

ابهام، ابهام، ابهام، ابهام، ابهام، ابهامات

• حکم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منتظم که از بالای آن کشیده شده است (علاوه بر این، نقطه عمودی طول عمود است که از وسط یک چند ضلعی منتظم به 1 ضلع آن پایین می آید).
• صورت های جانبی (ASB، BSC، CSD، DSA) - مثلث هایی که در بالا همگرا می شوند.
• دنده های جانبی ( مانند , لیسانس , CS , D.S. ) - طرف های مشترک صورت های جانبی؛
• بالای هرم (در مقابل) - نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
• ارتفاع ( بنابراین ) - قسمتی از عمود، که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده می شود (انتهای چنین قسمتی بالای هرم و قاعده عمود خواهد بود).
• بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه می گذرد.
• پایه (آ ب پ ت) چند ضلعی است که بالای هرم به آن تعلق ندارد.

خواص هرم

1. هنگامی که تمام لبه های جانبی یک اندازه هستند، پس:

• در نزدیکی قاعده هرم به راحتی می توان یک دایره را توصیف کرد، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• دنده های جانبی زوایای مساوی را با صفحه پایه تشکیل می دهند.
• علاوه بر این، برعکس نیز صادق است، یعنی. هنگامی که لبه های کناری زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند، یا زمانی که بتوان دایره ای را در نزدیکی قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز این دایره بیرون زد، آنگاه تمام لبه های جانبی هرم دارای همان اندازه.

2. هنگامی که وجوه جانبی دارای زاویه تمایل نسبت به صفحه قاعده با همان مقدار هستند، آنگاه:

• در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• ارتفاع وجه های جانبی از طول مساوی است.
• مساحت سطح جانبی ½ حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

3. اگر قاعده هرم چند ضلعی باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی) می توان کره ای را در نزدیکی هرم توصیف کرد. مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که از نقاط میانی لبه های هرم عمود بر آنها عبور می کنند. از این قضیه نتیجه می گیریم که یک کره را می توان هم در اطراف هر مثلثی و هم در اطراف هر هرم منظم توصیف کرد.

4. اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در نقطه 1 همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) می توان یک کره را در یک هرم حک کرد. این نقطه به مرکز کره تبدیل خواهد شد.

ساده ترین هرم

با توجه به تعداد گوشه های قاعده هرم به سه گوش، چهار گوش و ... تقسیم می شوند.

هرم خواهد مثلثی, چهار گوشو به همین ترتیب، زمانی که قاعده هرم مثلث، چهار ضلعی و غیره باشد. یک هرم مثلثی یک چهار وجهی است - یک چهار وجهی. چهار گوش - پنج وجهی و غیره.

برای حل موفقیت آمیز مسائل در هندسه، لازم است اصطلاحاتی را که این علم به کار می برد به وضوح درک کنید. به عنوان مثال، اینها "خط مستقیم"، "صفحه"، "چند وجهی"، "هرم" و بسیاری دیگر هستند. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که آپوتم چیست؟

استفاده مضاعف از اصطلاح "آپوثم"

در هندسه، معنای کلمه «آپوتم» یا «آپوتم» که به آن نیز گفته می شود، بستگی به این دارد که بر چه شیئی اطلاق شود. دو طبقه اساساً متفاوت از چهره ها وجود دارد که یکی از ویژگی های آنها است.

اول از همه، اینها چند ضلعی های مسطح هستند. حرف چندضلعی چیست؟ این ارتفاعی است که از مرکز هندسی شکل به هر یک از اضلاع آن کشیده شده است.

برای روشن‌تر شدن موضوع، یک مثال خاص را در نظر بگیرید. فرض کنید یک شش ضلعی منظم در شکل زیر وجود دارد.

علامت l نشان دهنده طول ضلع آن است، حرف a نشان دهنده آپوتم است. برای مثلث علامت گذاری شده، نه تنها ارتفاع، بلکه نیمساز و میانه است. به راحتی می توان نشان داد که بر حسب ضلع l می توان آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

به طور مشابه، آپوتم برای هر n-gon تعریف می شود.

دوم اهرام است. چه حکمتی برای چنین شخصیتی وجود دارد؟ این موضوع نیاز به بررسی دقیق تری دارد.

در این مورد: چگونه مژه های خود را تنها در یک ماه بلند و پرپشت کنیم؟

اهرام و شعار آنها

ابتدا بیایید هرم را از نظر هندسی تعریف کنیم. این شکل یک جسم سه بعدی است که توسط یک n-gon (پایه) و n مثلث (اضلاع) تشکیل شده است. دومی در یک نقطه به هم متصل می شوند که به آن بالا می گویند. فاصله آن تا پایه ارتفاع شکل است. اگر روی مرکز هندسی n-gon بیفتد، هرم مستقیم نامیده می شود. اگر علاوه بر این، n-gon دارای زوایای و اضلاع برابر باشد، آن شکل را منظم می نامند. در زیر نمونه ای از هرم مشاهده می شود.

چه حکمتی برای چنین شخصیتی وجود دارد؟ این عمودی است که دو طرف n-gon را به بالای شکل متصل می کند. بدیهی است که نشان دهنده ارتفاع مثلث است که ضلع هرم است.

استفاده از آپوتم هنگام حل مسائل هندسی با اهرام منظم راحت است. واقعیت این است که برای آنها تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین با یکدیگر برابر هستند. آخرین واقعیت به این معنی است که همه n آپوتم برابر هستند، بنابراین برای یک هرم منظم می توانیم در مورد یک چنین خط مستقیم صحبت کنیم.

اقرار یک هرم چهار گوش درست است

شاید بارزترین نمونه از این چهره اولین عجایب معروف جهان - هرم خئوپس باشد. او در مصر است.

برای هر شکلی با قاعده n ضلعی منظم، فرمول هایی می توان ارائه داد که به فرد اجازه می دهد تا نقطه آن را بر حسب طول a ضلع چندضلعی، بر حسب لبه جانبی b و ارتفاع h تعیین کند. در اینجا فرمول های مربوط به هرم مستقیم با قاعده مربع را می نویسیم. حرف h b برای آن برابر خواهد بود با:

در این مورد: پرچم باشکریا - شرح، نماد و تاریخ

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)؛

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

اولین مورد از این عبارات برای هر هرم منظم معتبر است، دومی - فقط برای هرم چهار گوش.

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه می توان از این فرمول ها برای حل مسئله استفاده کرد.

مسئله هندسی

بگذارید یک هرم مستقیم با پایه مربع داده شود. محاسبه مساحت پایه آن ضروری است. ارتفاع هرم 16 سانتی متر و ارتفاع آن 2 برابر ضلع قاعده است.

هر دانش آموزی می داند: برای یافتن مساحت مربع، که قاعده هرم مورد نظر است، باید ضلع آن را بشناسید. برای یافتن آن، از فرمول زیر برای آپوتم استفاده می کنیم:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

منظور از اقرار از شرط مسئله معلوم می شود. از آنجایی که ارتفاع h دو برابر طول ضلع a است، این عبارت را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

مساحت مربع برابر است با حاصلضرب اضلاع آن. با جایگزینی عبارت بدست آمده با a، داریم:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

باقی مانده است که مقدار آپوتم را از شرط مسئله در فرمول جایگزین کنید و پاسخ را بنویسید: S ≈ 60.2 cm 2.

همچنین بخوانید:

توجه داشته باشید. این بخشی از درس مسائل هندسه است (بخش هندسه جامد، مسائل مربوط به هرم). اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که در اینجا نیست - در مورد آن در انجمن بنویسید. در کارها به جای نماد "ریشه مربع" از تابع sqrt () استفاده می شود که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در داخل پرانتز نشان داده شده است..برای عبارات رادیکال ساده می توان از علامت "√" استفاده کرد.

مواد و فرمول های نظری، به فصل مراجعه کنید هرم درست ".

یک وظیفه

اوج هرم مثلثی منتظم 4 سانتی متر و زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. حجم هرم را پیدا کنید.

راه حل.

از آنجایی که هرم صحیح است، موارد زیر را در نظر بگیرید:

• ارتفاع هرم بر روی مرکز پایه پیش بینی شده است
• مرکز قاعده یک هرم منتظم طبق شرایط مسئله یک مثلث متساوی الاضلاع است
• مرکز یک مثلث متساوی الاضلاع هم مرکز دایره محاطی و هم دایره محصور است.
• ارتفاع هرم با صفحه قاعده زاویه قائمه تشکیل می دهد

حجم یک هرم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:
V = 1/3 Sh

از آنجایی که فرضیه یک هرم منتظم با ارتفاع هرم یک مثلث قائم الزاویه را تشکیل می دهد، برای یافتن ارتفاع از قضیه سینوس استفاده می کنیم. علاوه بر این، بیایید در نظر بگیریم:

• پایه اول مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده ارتفاع است، پایه دوم شعاع دایره محاطی است (در مثلث منتظم، مرکز هم مرکز دایره های محاطی و هم محاطی است)، هیپوتنوس حرف اول است. هرم
• زاویه سوم مثلث قائم الزاویه 30 درجه است (مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، زاویه 60 درجه با شرط داده می شود، زاویه دوم با توجه به ویژگی های هرم، زاویه قائمه است. سوم 180-90-60 = 30)
• سینوسی 30 درجهبرابر 1/2 است
• سینوس 60 درجه برابر است با جذر سه
• سینوس 90 درجه 1 است

با توجه به قضیه سینوس:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
جایی که
r=2
h = 2√3

در پایه هرم یک مثلث منظم قرار دارد که مساحت آن را می توان با فرمول پیدا کرد:
S یک مثلث متساوی الاضلاع = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

حالا حجم هرم را پیدا کنید:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 سانتی متر 3.

پاسخ: 24 سانتی متر مکعب.

یک وظیفه

ارتفاع و ضلع قاعده هرم چهار گوش منتظم به ترتیب 24 و 14 می باشد.آخر هرم را پیدا کنید.

راه حل .

از آنجایی که هرم منظم است، در پایه آن یک چهار ضلعی منظم - یک مربع قرار دارد. علاوه بر این، ارتفاع هرم به مرکز مربع کشیده شده است. بنابراین، ساق یک مثلث قائم الزاویه، که توسط آپوتم هرم تشکیل شده است، ارتفاع و قطعه متصل کننده آنها برابر است با نصف طول قاعده یک هرم چهار گوش منتظم.

از آنجا، طبق قضیه فیثاغورث، طول آپوتم از معادله بدست می آید:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

جواب: 25 سانتی متر