که همیشه مربع است. حل معادلات درجه دوم، فرمول ریشه ها، مثال ها

تبدیل یک معادله درجه دوم کامل به یک معادله ناقص به این صورت است (برای حالت \(b=0\)):

برای مواردی که \(c=0\) یا هر دو ضرایب برابر با صفر هستند، همه چیز مشابه است.

لطفا توجه داشته باشید که \(a\) برابر با صفر نیست، نمی تواند برابر با صفر باشد، زیرا در این حالت تبدیل به:

حل معادلات درجه دوم ناقص

اول از همه، شما باید بدانید که معادله درجه دوم ناقص هنوز است، بنابراین، می توان آن را به همان روش درجه دوم معمولی (از طریق) حل کرد. برای این کار کافیست جزء گمشده معادله را با ضریب صفر اضافه کنیم.

مثال : ریشه های معادله \(3x^2-27=0\) را پیدا کنید
تصمیم :

		یک معادله درجه دوم ناقص با ضریب \(b=0\) داریم. یعنی می توانیم معادله را به شکل زیر بنویسیم:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		در واقع، اینجا همان معادله اول است، اما اکنون می توان آن را به عنوان یک مربع معمولی حل کرد. ابتدا ضرایب را یادداشت می کنیم.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		با استفاده از فرمول \(D=b^2-4ac\) تفکیک کننده را محاسبه کنید.
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		بیایید ریشه های معادله را با استفاده از فرمول ها پیدا کنیم \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		پاسخ را یادداشت کنید

پاسخ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

مثال : ریشه های معادله \(-x^2+x=0\) را پیدا کنید.
تصمیم :

		باز هم یک معادله درجه دوم ناقص، اما اکنون ضریب \(c\) برابر با صفر است. معادله را کامل می نویسیم.

معادله درجه دومیا معادله درجه دوم با یک مجهول معادله ای است که پس از تبدیل می توان آن را به شکل زیر تقلیل داد:

تبر 2 + bx + ج = 0 - معادله درجه دوم

جایی که ایکسناشناخته است و آ, بو ج- ضرایب معادله در معادلات درجه دوم آضریب اول نامیده می شود ( آ ≠ 0), بضریب دوم نامیده می شود و جعضو شناخته شده یا آزاد نامیده می شود.

معادله:

تبر 2 + bx + ج = 0

تماس گرفت کاملمعادله درجه دوم. اگر یکی از ضرایب بیا جصفر باشد یا هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، سپس معادله به صورت یک معادله درجه دوم ناقص ارائه می شود.

معادله درجه دوم کاهش یافته است

معادله درجه دوم کامل را می توان با تقسیم تمام عبارات آن به شکل راحت تری کاهش داد آیعنی برای ضریب اول:

معادله ایکس 2 + px + q= 0 معادله درجه دوم کاهش یافته نامیده می شود. بنابراین هر معادله درجه دومی که ضریب اول آن برابر با 1 باشد را می توان تقلیل نامید.

به عنوان مثال، معادله:

ایکس 2 + 10ایکس - 5 = 0

کاهش می یابد و معادله:

3ایکس 2 + 9ایکس - 12 = 0

می توان معادله فوق را با تقسیم تمام عبارات آن بر 3- جایگزین کرد:

ایکس 2 - 3ایکس + 4 = 0

حل معادلات درجه دوم

برای حل یک معادله درجه دوم باید آن را به یکی از اشکال زیر برسانید:

تبر 2 + bx + ج = 0

تبر 2 + 2kx + ج = 0

ایکس 2 + px + q = 0

هر نوع معادله فرمول خاص خود را برای یافتن ریشه ها دارد:

به معادله توجه کنید:

تبر 2 + 2kx + ج = 0

این معادله تبدیل شده است تبر 2 + bx + ج= 0، که در آن ضریب ب- حتی، که اجازه می دهد آن را با نوع 2 جایگزین کنید ک. بنابراین، فرمول یافتن ریشه های این معادله را می توان با جایگزینی 2 ساده کرد کبجای ب:

مثال 1معادله را حل کنید:

3ایکس 2 + 7ایکس + 2 = 0

از آنجایی که ضریب دوم در معادله یک عدد زوج نیست و ضریب اول برابر با یک نیست، ما با استفاده از فرمول اول به دنبال ریشه ها خواهیم بود که به آن فرمول کلی برای ریشه یابی معادله درجه دوم می گویند. در ابتدا

آ = 3, ب = 7, ج = 2

اکنون برای یافتن ریشه های معادله، به سادگی مقادیر ضرایب را در فرمول جایگزین می کنیم:

ایکس 1 =	-2	= -	1	, ایکس 2 =	-12	= -2
	6		3		6

پاسخ: -	1	, -2.
	3

مثال 2:

ایکس 2 - 4ایکس - 60 = 0

بیایید تعیین کنیم که ضرایب برابر است:

آ = 1, ب = -4, ج = -60

از آنجایی که ضریب دوم در معادله یک عدد زوج است، از فرمول معادلات درجه دوم با ضریب دوم زوج استفاده می کنیم:

ایکس 1 = 2 + 8 = 10, ایکس 2 = 2 - 8 = -6

پاسخ: 10, -6.

مثال 3

y 2 + 11y = y - 25

بیایید معادله را به شکل کلی در بیاوریم:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

بیایید تعیین کنیم که ضرایب برابر است:

آ = 1, پ = 10, q = 25

از آنجایی که ضریب اول برابر با 1 است، با استفاده از فرمول معادلات فوق با ضریب دوم زوج به دنبال ریشه ها خواهیم بود:

پاسخ: -5.

مثال 4

ایکس 2 - 7ایکس + 6 = 0

بیایید تعیین کنیم که ضرایب برابر است:

آ = 1, پ = -7, q = 6

از آنجایی که ضریب اول برابر با 1 است، ریشه ها را با فرمول معادلات داده شده با ضریب دوم فرد جستجو می کنیم:

ایکس 1 = (7 + 5) : 2 = 6, ایکس 2 = (7 - 5) : 2 = 1

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده است و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. ممیز به شما امکان می دهد هر معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول کلی که به شکل زیر است حل کنید:

فرمول تفکیک به درجه چند جمله ای بستگی دارد. فرمول فوق برای حل معادلات درجه دوم به شکل زیر مناسب است:

تمایز دارای ویژگی های زیر است که باید بدانید:

* وقتی چند جمله ای دارای چندین ریشه (ریشه های مساوی) باشد، "D" 0 است.

* "D" یک چند جمله ای متقارن نسبت به ریشه های چند جمله ای است و بنابراین در ضرایب آن چند جمله ای است. علاوه بر این، ضرایب این چند جمله ای بدون توجه به پسوندی که ریشه ها در آن گرفته شده اند، اعداد صحیح هستند.

فرض کنید یک معادله درجه دوم به شکل زیر به ما داده شود:

1 معادله

طبق فرمولی که داریم:

از آنجا که \، پس معادله 2 ریشه دارد. بیایید آنها را تعریف کنیم:

کجا می توانم معادله را از طریق حل کننده آنلاین متمایز حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید و اگر سؤالی دارید می توانید در گروه Vkontakte ما http://vk.com/pocketteacher بپرسید. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.

امیدوارم پس از مطالعه این مقاله، نحوه یافتن ریشه یک معادله درجه دوم را یاد بگیرید.

با کمک تفکیک کننده فقط معادلات درجه دوم کامل حل می شوند؛ برای حل معادلات درجه دوم ناقص از روش های دیگری استفاده می شود که در مقاله حل معادلات درجه دوم ناقص خواهید دید.

به چه معادلات درجه دوم کامل می گویند؟ این هست معادلات شکل ax 2 + b x + c = 0، جایی که ضرایب a، b و c برابر با صفر نیستند. بنابراین، برای حل معادله درجه دوم، باید تفکیک کننده D را محاسبه کنید.

D \u003d b 2 - 4ac.

بسته به اینکه ممیز چه ارزشی داشته باشد، پاسخ را یادداشت می کنیم.

اگر ممیز یک عدد منفی باشد (D< 0),то корней нет.

اگر تمایز صفر باشد، x \u003d (-b) / 2a. هنگامی که ممیز یک عدد مثبت باشد (D > 0)،

سپس x 1 = (-b - √D)/2a، و x 2 = (-b + √D)/2a.

مثلا. معادله را حل کنید x 2- 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

جواب: 2.

حل معادله 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

پاسخ: بدون ریشه.

حل معادله 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

پاسخ: - 3.5; یکی.

پس بیایید حل معادلات درجه دوم کامل را با طرح شکل 1 تصور کنیم.

از این فرمول ها می توان برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد. شما فقط باید مراقب باشید معادله به صورت چند جمله ای با فرم استاندارد نوشته شد

آ x 2 + bx + c،در غیر این صورت ممکن است اشتباه کنید به عنوان مثال، در نوشتن معادله x + 3 + 2x 2 = 0، می توانید به اشتباه تصمیم بگیرید که

a = 1، b = 3 و c = 2. سپس

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 و سپس معادله دو ریشه دارد. و این درست نیست. (به مثال 2 راه حل بالا مراجعه کنید).

بنابراین، اگر معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته نشود، ابتدا باید معادله درجه دوم کامل به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شود (تک جمله ای با بزرگترین توان باید در وهله اول باشد، یعنی آ x 2 ، سپس با کمتر – bx، و سپس مدت آزاد با.

هنگام حل معادله درجه دوم بالا و معادله درجه دوم با ضریب زوج برای جمله دوم می توان از فرمول های دیگری نیز استفاده کرد. بیایید با این فرمول ها آشنا شویم. اگر در معادله درجه دوم کامل با جمله دوم ضریب زوج باشد (b = 2k)، می توان معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل 2 حل کرد.

یک معادله درجه دوم کامل را کاهش می گویند اگر ضریب در x 2 برابر با وحدت است و معادله شکل می گیرد x 2 + px + q = 0. چنین معادله ای را می توان حل کرد، یا از تقسیم تمام ضرایب معادله بر ضریب به دست می آید. آایستاده در x 2 .

شکل 3 نمودار حل مربع کاهش یافته را نشان می دهد
معادلات مثالی از کاربرد فرمول های مورد بحث در این مقاله را در نظر بگیرید.

مثال. معادله را حل کنید

3x 2 + 6x - 6 = 0.

بیایید این معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در شکل 1 حل کنیم.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3

می بینید که ضریب x در این معادله یک عدد زوج است، یعنی b \u003d 6 یا b \u003d 2k، از آنجا k \u003d 3 است. سپس بیایید سعی کنیم با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل معادله را حل کنیم. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3. با توجه به اینکه همه ضرایب در این معادله درجه دوم بر 3 بخش پذیر هستند و با تقسیم، معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم x 2 + 2x - 2 = 0 این معادله را با استفاده از فرمول های درجه دوم کاهش یافته حل می کنیم.
معادلات شکل 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3.

همانطور که می بینید، هنگام حل این معادله با استفاده از فرمول های مختلف، به یک جواب رسیدیم. بنابراین، با تسلط کامل بر فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل 1، همیشه می توانید هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

محتوای درس

معادله درجه دوم چیست و چگونه آن را حل کنیم؟

ما به یاد داریم که یک معادله برابری است حاوی متغیری که مقدار آن باید پیدا شود.

اگر متغیر موجود در معادله به توان دوم (مربع) افزایش یابد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دومیا معادله درجه دوم.

به عنوان مثال، معادلات زیر درجه دوم هستند:

ما اولین مورد از این معادلات را حل می کنیم ایکس 2 − 4 = 0 .

تمام تبدیل‌های یکسانی که در حل معادلات خطی معمولی استفاده کردیم، می‌توانند در حل معادلات مربع نیز اعمال شوند.

بنابراین در معادله ایکس 2 − 4 = 0 با تغییر علامت عبارت −4 را از سمت چپ به سمت راست منتقل می کنیم:

معادله را گرفتم ایکس 2 = 4. قبلاً گفتیم معادله حل شده در نظر گرفته می شود که در یک قسمت متغیر در درجه اول نوشته شود و ضریب آن برابر با یک و قسمت دیگر برابر با مقداری عدد باشد. یعنی برای حل معادله باید آن را به شکل کاهش داد x = a، جایی که آ- ریشه معادله

ما یک متغیر داریم ایکسهنوز در درجه دوم است، بنابراین راه حل باید ادامه یابد.

برای حل معادله ایکس 2 = 4، باید به این سوال پاسخ دهید که در چه مقدار است ایکسسمت چپ می شود 4 . بدیهی است که برای مقادیر 2 و −2. برای استخراج این مقادیر، از تعریف جذر استفاده می کنیم.

عدد بجذر عدد نامیده می شود آ، اگر ب 2 = aو به عنوان نشان داده می شود

ما الان وضعیت مشابهی داریم. بالاخره چی هست ایکس 2 = 4؟ متغیر ایکسدر این حالت جذر 4 است، زیرا توان دوم است ایکسبرابر با 4 است.

سپس می توانیم آن را بنویسیم. محاسبه سمت راست به شما این امکان را می دهد که بفهمید با چه چیزی برابر است ایکس. جذر دو معنی دارد: مثبت و منفی. سپس می گیریم ایکس= 2 و ایکس= −2 .

معمولاً اینطور می نویسند: جلوی جذر علامت مثبت و منفی می گذارند، سپس پیدا می کنند. در مورد ما، در مرحله ای که عبارت نوشته می شود، علامت ± باید قبل از آن قرار گیرد

سپس مقدار حسابی جذر را پیدا کنید

اصطلاح ایکس= ± 2 به این معنی است ایکس= 2 و ایکس= -2. یعنی ریشه های معادله ایکس 2 − 4 = 0 اعداد 2 و −2 هستند. جواب کامل این معادله را می نویسیم:

در هر دو مورد، سمت چپ صفر است. پس معادله درست است.

بیایید یک معادله دیگر را حل کنیم. اجازه دهید برای حل معادله درجه دوم ( ایکس+ 2) 2 = 25

ابتدا اجازه دهید این معادله را تحلیل کنیم. سمت چپ مربع و برابر با 25 است. مربع چه عددی 25 است؟ بدیهی است که اعداد 5 و −5

یعنی وظیفه ما یافتن است ایکس،که تحت آن بیان ایکس+ 2 برابر با اعداد 5 و −5 خواهد بود. بیایید این دو معادله را بنویسیم:

بیایید هر دو معادله را حل کنیم. اینها معادلات خطی معمولی هستند که به راحتی قابل حل هستند:

بنابراین ریشه های معادله ( ایکس+ 2) 2 = 25 اعداد 3 و −7 هستند.

در این مثال مانند گذشته می توانید از تعریف جذر استفاده کنید. بنابراین، در معادلات ( ایکس+ 2) 2 = 25 عبارت ( ایکس+ 2) جذر 25 است. بنابراین، ابتدا می توانیم آن را بنویسیم .

سپس سمت راست برابر با 5± می شود. شما دو معادله بدست می آورید: ایکس+ 2 = 5 و ایکس+ 2 = -5. با حل هر یک از این معادلات به صورت جداگانه به ریشه های 3 و −7 می رسیم.

حل کامل معادله را بنویسیم ( ایکس+ 2) 2 = 25

از مثال های در نظر گرفته شده می توان دریافت که معادله درجه دوم دارای دو ریشه است. برای اینکه ریشه های یافت شده، متغیر را فراموش نکنید ایکسرا می توان با مشترک امضا کرد. بنابراین، ریشه 3 را می توان به عنوان نشان داد ایکس 1 و ریشه −7 از طریق ایکس 2

در مثال قبلی نیز می توانید این کار را انجام دهید. معادله ایکس 2 - 4 = 0 دارای ریشه های 2 و -2 بود. به این ریشه ها می توان اشاره کرد ایکس 1 = 2 و ایکس 2 = −2.

همچنین اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم فقط یک ریشه داشته باشد یا اصلاً ریشه نداشته باشد. بعداً چنین معادلاتی را در نظر خواهیم گرفت.

بیایید معادله را بررسی کنیم ( ایکس+ 2) 2 = 25 . ریشه های 3 و 7 را در آن قرار دهید. اگر برای مقادیر 3 و −7 سمت چپ برابر با 25 باشد، به این معنی است که معادله به درستی حل شده است:

در هر دو مورد، سمت چپ 25 است. پس معادله درست است.

معادله درجه دوم به اشکال مختلف آورده شده است. رایج ترین شکل آن به این صورت است:

تبر 2 + bx + c= 0 ,
جایی که الف، ب، ج- تعدادی اعداد ایکس- ناشناس.

این به اصطلاح شکل کلی معادله درجه دوم. در چنین معادله ای، همه عبارت ها در یک مکان مشترک (در یک قسمت) جمع آوری می شوند و قسمت دیگر برابر با صفر است. در غیر این صورت این نوع معادله نامیده می شود شکل نرمال یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله 3 داده شود ایکس 2 + 2ایکس= 16. یک متغیر دارد ایکسبه توان دوم افزایش می یابد، بنابراین معادله درجه دوم است. اجازه دهید این معادله را به یک شکل کلی برسانیم.

بنابراین، باید معادله ای به دست آوریم که شبیه معادله باشد تبر 2 + bx+ ج= 0 . برای این، در معادله 3 ایکس 2 + 2ایکس= 16 با تغییر علامت عدد 16 را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم:

3ایکس 2 + 2ایکس − 16 = 0

معادله را گرفتم 3ایکس 2 + 2ایکس− 16 = 0 . در این معادله آ= 3 , ب= 2 , ج= −16 .

در یک معادله درجه دوم فرم تبر 2 + bx+ ج= 0 شماره آ , بو جنام خود را دارند بله، شماره آضریب اول یا ارشد نامیده می شود. عدد بضریب دوم نامیده می شود. عدد جبه نام یک عضو رایگان

در مورد ما، برای معادله 3ایکس 2 + 2ایکس− 16 = 0 اولین یا بالاترین ضریب 3 است. ضریب دوم عدد 2 است. عضو آزاد عدد −16 است. نام رایج دیگری برای اعداد وجود دارد آ, بو ج — گزینه ها.

بنابراین، در معادله 3ایکس 2 + 2ایکس− 16 = 0 پارامترها اعداد 3، 2 و −16 هستند.

در یک معادله درجه دوم، مطلوب است که عبارت ها به گونه ای مرتب شوند که به همان ترتیبی که در شکل معمولی معادله درجه دوم وجود دارد، چیده شوند.

به عنوان مثال، با توجه به معادله −5 + 4ایکس 2 + ایکس= 0 ، پس از آن مطلوب است که آن را به شکل عادی، یعنی به شکل بنویسید تبر 2 + bx + c= 0.

در معادله −5 + 4ایکس 2 + ایکس = 0 می توان دید که عبارت آزاد -5 است، باید در انتهای سمت چپ قرار گیرد. عضو 4 ایکس 2 حاوی ضریب پیشرو است، باید در ابتدا قرار گیرد. عضو ایکسبه ترتیب در جایگاه دوم قرار خواهد گرفت:

معادله درجه دوم بسته به مورد می تواند اشکال مختلفی داشته باشد. همه چیز به ارزش ها بستگی دارد آ , بو با .

اگر ضرایب آ , بو جبرابر با صفر نیستند، سپس معادله درجه دوم فراخوانی می شود کامل. به عنوان مثال، معادله درجه دوم کامل است 2ایکس 2 + 6ایکس - 8 = 0 .

اگر هر یک از ضرایب برابر با صفر باشد (یعنی وجود ندارد)، معادله به طور قابل توجهی کاهش می یابد و شکل ساده تری به خود می گیرد. این معادله درجه دوم نامیده می شود ناقص. به عنوان مثال، معادله درجه دوم 2 ناقص است ایکس 2 + 6ایکس= 0، دارای ضرایب است آو ب(شماره 2 و 6)، اما هیچ عضو رایگانی وجود ندارد ج

بیایید هر یک از این نوع معادلات را در نظر بگیریم و برای هر یک از این انواع روش حل خود را تعریف می کنیم.

اجازه دهید معادله درجه دوم 2ایکس 2 + 6ایکس - 8 = 0 . در این معادله آ= 2 , ب= 6 , ج= -8. اگر یک ببرابر صفر قرار دهید، سپس معادله به شکل زیر در می آید:

معادله 2 معلوم شد ایکس 2 − 8 = 0. برای حل آن، −8 را به سمت راست حرکت می دهیم و علامت را تغییر می دهیم:

2ایکس 2 = 8

برای ساده‌سازی بیشتر معادله، از تبدیل‌های یکسانی که قبلاً مطالعه شده‌اند استفاده می‌کنیم. در این صورت می توانید هر دو قسمت را به 2 قسمت تقسیم کنید

معادله ای را داریم که در ابتدای این درس حل کردیم. برای حل معادله ایکس 2 \u003d 4، باید از تعریف ریشه دوم استفاده کنید. اگر یک ایکس 2 = 4، سپس. از اینجا ایکس= 2 و ایکس= −2 .

بنابراین ریشه های معادله 2 ایکس 2 − 8 = 0 اعداد 2 و −2 هستند. جواب کامل این معادله را می نویسیم:

بیا چک کنیم ریشه های 2 و −2 را جایگزین معادله اصلی می کنیم و محاسبات مربوطه را انجام می دهیم. اگر برای مقادیر 2 و −2 سمت چپ برابر با صفر باشد، به این معنی است که معادله به درستی حل شده است:

در هر دو حالت، سمت چپ برابر با صفر است، یعنی معادله به درستی حل شده است.

معادله ای که اکنون حل کرده ایم این است معادله درجه دوم ناقص. نام برای خودش صحبت می کند. اگر معادله درجه دوم کامل به نظر می رسد تبر 2 + bx+ ج= 0 ، سپس ضریب را بسازید بصفر یک معادله درجه دوم ناقص است تبر 2 + ج= 0 .

همچنین ابتدا یک معادله درجه دوم کامل داشتیم 2ایکس 2 + 6ایکس− 4 = 0 . اما ما نسبت را درست کردیم بصفر یعنی به جای عدد 6 عدد 0 را قرار دهید. در نتیجه، معادله به یک معادله درجه دوم ناقص 2 تبدیل شد ایکس 2 − 4 = 0 .

در ابتدای این درس معادله درجه دوم را حل کردیم ایکس 2 − 4 = 0. همچنین معادله ای از فرم است تبر 2 + ج= 0، یعنی ناقص. در او آ= 1 , ب= 0 , با= −4 .

همچنین معادله درجه دوم در صورت ضریب ناقص خواهد بود جبرابر با صفر است.

معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید 2ایکس 2 + 6ایکس - 4 = 0 . بیایید یک ضریب بسازیم جصفر یعنی به جای عدد 4 عدد 0 را قرار دهید

معادله درجه دوم 2 بدست آمد ایکس 2 + 6ایکس=0 که ناقص است. برای حل چنین معادله ای، متغیر ایکسقرار دادن خارج از پرانتز:

معادله معلوم شد ایکس(2ایکس+ 6) = 0 که در آن پیدا می شود ایکس، که در آن سمت چپ برابر با صفر می شود. توجه داشته باشید که در این معادله عبارات ایکسو 2 ایکس+ 6) عوامل هستند. یکی از خواص ضرب می گوید که حاصل ضرب برابر با صفر است اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد (اعم از عامل اول یا دوم).

در مورد ما برابری حاصل می شود اگر ایکسبرابر صفر یا (2) خواهد بود ایکس+ 6) برابر با صفر خواهد بود. بیایید با نوشتن این شروع کنیم:

دو معادله وجود دارد: ایکس= 0 و 2 ایکس+ 6 = 0. معادله اول نیازی به حل ندارد - قبلا حل شده است. یعنی ریشه اول صفر است.

برای یافتن ریشه دوم معادله 2 را حل می کنیم ایکس+ 6 = 0. این یک معادله خطی ساده است که به راحتی قابل حل است:

می بینیم که ریشه دوم -3 است.

بنابراین ریشه های معادله 2 ایکس 2 + 6ایکس= 0 اعداد 0 و −3 هستند. جواب کامل این معادله را می نویسیم:

بیا چک کنیم ریشه های 0 و -3 را در معادله اصلی جایگزین می کنیم و محاسبات مربوطه را انجام می دهیم. اگر برای مقادیر 0 و -3 سمت چپ برابر با صفر باشد، به این معنی است که معادله به درستی حل شده است:

مورد بعدی زمانی است که اعداد بو بابرابر با صفر هستند. معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید 2ایکس 2 + 6ایکس− 4 = 0 . بیایید ضرایب بسازیم بو جصفرها سپس معادله سلام به این صورت است:

معادله 2 را دریافت کردم ایکس 2 = 0. سمت چپ حاصلضرب و سمت راست صفر است. اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بدیهی است که ایکس= 0. در واقع، 2 × 0 2 = 0. بنابراین، 0 = 0. برای ارزش های دیگر ایکسبرابری حاصل نخواهد شد.

به عبارت ساده، اگر در یک معادله درجه دوم از فرم تبر 2 + bx+ ج= 0 شماره بو بابرابر با صفر هستند، پس ریشه چنین معادله ای برابر با صفر است.

توجه داشته باشید که وقتی عبارات " b صفر است" یا " c صفر است سپس مشخص می شود که پارامترها بیا جاصلا در معادله گنجانده نشده است.

به عنوان مثال، اگر معادله 2 داده شود ایکس 2 − 32 = 0، سپس آن را می گوییم ب= 0. زیرا وقتی با معادله کامل مقایسه می شود تبر 2 + bx+ ج= 0 ، مشاهده می شود که در رابطه 2 ایکس 2 − 32 = 0 یک ضریب پیشرو وجود دارد آ، برابر با 2; یک رهگیری -32 وجود دارد. اما بدون ضریب ب .

در نهایت معادله درجه دوم را در نظر بگیرید تبر 2 + bx+ ج= 0 . به عنوان مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم را حل کنیم ایکس 2 − 2ایکس+ 1 = 0 .

پس باید پیدا کنیم ایکس، که در آن سمت چپ برابر با صفر می شود. اجازه دهید از تبدیل‌های یکسانی که قبلاً مطالعه شد استفاده کنیم.

اول از همه، توجه داشته باشید که سمت چپ معادله است. اگر به یاد بیاوریم که چگونه، در سمت چپ قرار می گیریم ( ایکس− 1) 2 .

ما بیشتر بحث می کنیم. سمت چپ مربع و برابر با صفر است. مربع کدام عدد صفر است؟ بدیهی است که فقط 0. بنابراین، وظیفه ما یافتن است ایکس، که در آن عبارت ایکس− 1 برابر با صفر است. با حل ساده ترین معادله ایکس− 1 = 0، می توانید بفهمید که چه چیزی برابر است ایکس

همین نتیجه را می توان با استفاده از جذر به دست آورد. در معادله ( ایکس− 1) 2 = 0 عبارت ( ایکس− 1) جذر صفر است. سپس می توان آن را نوشت . در این مثال، لازم نیست علامت ± را قبل از ریشه بنویسید، زیرا ریشه صفر فقط یک مقدار دارد - صفر. سپس معلوم می شود ایکس− 1 = 0. از اینجا ایکس= 1 .

پس ریشه معادله ایکس 2 − 2ایکس+ 1 = 0 یک واحد است. این معادله ریشه دیگری ندارد. در این حالت معادله درجه دومی را حل کرده ایم که فقط یک ریشه دارد. این نیز اتفاق می افتد.

معادلات ساده همیشه داده نمی شوند. به عنوان مثال معادله را در نظر بگیرید ایکس 2 + 2ایکس− 3 = 0 .

در این حالت، سمت چپ دیگر مجذور مجموع یا تفاوت نیست. بنابراین باید راه حل های دیگری اندیشیده شود.

توجه داشته باشید که سمت چپ معادله یک مثلث درجه دوم است. سپس می‌توانیم یک مربع کامل را از این مثلث انتخاب کنیم و ببینیم چه چیزی به ما می‌دهد.

مربع کامل را از مثلث مربع واقع در سمت چپ معادله انتخاب می کنیم:

در معادله به دست آمده با تغییر علامت 4- را به سمت راست منتقل می کنیم:

حالا بیایید از جذر استفاده کنیم. در معادله ( ایکس+ 1) 2 = 4 عبارت ( ایکس+ 1) جذر 4 است. سپس می توان آن را نوشت . محاسبه سمت راست بیان را به دست می دهد ایکس+ 1 = 2±. از این به دو معادله می رسیم: ایکس+ 1 = 2 و ایکس+ 1 = −2 که ریشه آن اعداد 1 و −3 است

بنابراین ریشه های معادله ایکس 2 + 2ایکس− 3 = 0 اعداد 1 و -3 هستند.

بیایید بررسی کنیم:

مثال 3. معادله را حل کنید ایکس 2 − 6ایکس+ 9 = 0 ، انتخاب یک مربع کامل.

پس ریشه معادله ایکس 2 − 6ایکس+ 9 = 0 3 است. بیایید بررسی کنیم:

مثال 4 4ایکس 2 + 28ایکس− 72 = 0 با برجسته کردن مربع کامل:

یک مربع کامل از سمت چپ انتخاب کنید:

بیایید −121 را از سمت چپ به سمت راست حرکت دهیم و علامت را تغییر دهیم:

بیایید از ریشه دوم استفاده کنیم:

دو معادله ساده بدست آوردیم: 2 ایکس+ 7 = 11 و 2 ایکس+ 7 = -11. بیایید آنها را حل کنیم:

مثال 5. معادله را حل کنید 2ایکس 2 + 3ایکس− 27 = 0

این معادله کمی پیچیده تر است. وقتی یک مربع کامل را انتخاب می کنیم، اولین جمله سه جمله ای مربع را به عنوان مربعی از برخی عبارت ها نشان می دهیم.

بنابراین، در مثال قبلی، جمله اول معادله 4 بود ایکس 2. می توان آن را به عنوان یک مربع از عبارت 2 نشان داد ایکس، یعنی (2ایکس) 2 = 2 2 ایکس 2 = 4ایکس 2 . برای تأیید صحت این موضوع، می توانید جذر عبارت 4 را بگیرید ایکس 2. این ریشه دوم محصول است - برابر است با حاصلضرب ریشه:

در معادله 2ایکس 2 + 3ایکس− 27 = 0 عضو اول 2 است ایکس 2. نمی توان آن را به عنوان مربع هر عبارتی نشان داد. زیرا هیچ عددی وجود ندارد که مربع آن 2 باشد. اگر چنین عددی وجود داشت، این عدد جذر عدد 2 خواهد بود. اما جذر عدد 2 فقط تقریباً استخراج می شود. و مقدار تقریبی برای نمایش عدد 2 به صورت مربع مناسب نیست.

اگر هر دو قسمت معادله اصلی در یک عدد ضرب یا تقسیم شوند، معادله معادل معادله اصلی است. این قانون برای معادله درجه دوم نیز صادق است.

سپس می توانیم دو طرف معادله خود را بر 2 تقسیم کنیم. این باعث می شود که از شر قبل خلاص شوید ایکس 2 که بعداً به ما این فرصت را می دهد که یک مربع کامل را انتخاب کنیم:

سمت چپ را به صورت سه کسر با مخرج 2 بازنویسی کنید

کسر اول را 2 کاهش می دهیم. اعضای باقی مانده سمت چپ را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. سمت راست همچنان صفر می شود:

بیایید یک مربع کامل را انتخاب کنیم.

هنگامی که یک عبارت به عنوان یک حاصل ضرب نشان داده می شود، ظاهر یک ضریب 2 منجر به این واقعیت می شود که این عامل و مخرج کسر کاهش می یابد. برای جلوگیری از این اتفاق، حاصل ضرب دو برابر شد. هنگام انتخاب مربع کامل، همیشه باید سعی کنید که مقدار عبارت اصلی تغییر نکند.

بیایید مربع کامل حاصل را جمع کنیم:

در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:

بیایید با تغییر علامت کسری را به سمت راست ببریم:

بیایید از ریشه دوم استفاده کنیم. عبارت جذر یک عدد است

برای محاسبه سمت راست، از قانون استخراج استفاده می کنیم:

سپس معادله ما به شکل زیر در می آید:

دو معادله بدست می آوریم:

بیایید آنها را حل کنیم:

بنابراین ریشه های معادله 2ایکس 2 + 3ایکس− 27 = 0 اعداد 3 و .

راحت تر است که ریشه را به این شکل بدون تقسیم صورت بر مخرج رها کنید. این کار بررسی را آسان تر می کند.

بیا چک کنیم ریشه های یافت شده را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

در هر دو مورد، سمت چپ برابر با صفر است، بنابراین معادله 2ایکس 2 + 3ایکس− 27 = 0 درست تصمیم گرفت

حل معادله 2ایکس 2 + 3ایکس− 27 = 0 ، در همان ابتدا هر دو قسمت آن را بر 2 تقسیم کردیم. در نتیجه یک معادله درجه دوم به دست آمد که در آن ضریب قبل ایکس 2 برابر یک است:

این نوع معادله درجه دوم نامیده می شود معادله درجه دوم کاهش یافته.

هر معادله درجه دوم فرم تبر 2 + bx+ ج= 0 را می توان کاهش داد. برای انجام این کار، باید هر دو قسمت آن را بر ضریبی که در مقابل x² قرار دارد، تقسیم کنید. در این حالت، هر دو طرف معادله تبر 2 + bx+ ج= 0 باید تقسیم شود آ

مثال 6. یک معادله درجه دوم را حل کنید 2ایکس 2 + ایکس+ 2 = 0

بیایید این معادله را کاهش دهیم:

بیایید یک مربع کامل انتخاب کنیم:

معادله را گرفتم ، که در آن مربع عبارت برابر با یک عدد منفی است. این نمی تواند باشد، زیرا مربع هر عدد یا عبارتی همیشه مثبت است.

بنابراین، چنین چیزی وجود ندارد ایکس، که در آن سمت چپ برابر می شود. پس معادله ریشه ندارد

و از آنجا که معادله معادل معادله اصلی است 2ایکس 2 + ایکس+ 2 = 0 ، سپس آن (معادله اصلی) ریشه ندارد.

فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم

انتخاب یک مربع کامل برای هر معادله درجه دومی که حل می شود خیلی راحت نیست.

آیا می توان فرمول های جهانی برای حل معادلات درجه دوم ایجاد کرد؟ معلوم است که شما می توانید. حال به این موضوع می پردازیم.

بر اساس معادله لفظی تبر 2 + bx+ ج= 0 و پس از انجام برخی تبدیل های یکسان، می توانیم فرمولی برای استخراج ریشه های معادله درجه دوم بدست آوریم. تبر 2 + bx+ ج= 0 . ضرایب را می توان به این فرمول ها جایگزین کرد آ , ب , باو راه حل ها را دریافت کنید.

بنابراین، مربع کامل را از سمت چپ معادله انتخاب می کنیم تبر 2 + bx+ ج= 0. ابتدا اجازه دهید این معادله را کاهش دهیم. بیایید هر دو قسمت را به دو قسمت تقسیم کنیم آ

حال در معادله به دست آمده مربع کامل را انتخاب می کنیم:

شرایط را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

بیایید سمت راست را به یک مخرج مشترک بیاوریم. کسری های متشکل از حروف به یک مخرج مشترک منجر می شوند. یعنی مخرج کسر اول به ضریب اضافی کسر دوم و مخرج کسر دوم تبدیل به ضریب اضافی کسر اول می شود:

در صورت حساب سمت راست از پرانتز خارج می کنیم آ

اجازه دهید سمت راست را کوتاه کنیم آ

از آنجایی که همه تبدیل ها یکسان بودند، معادله حاصل دارای ریشه های مشابه معادله اصلی است تبر 2 + bx+ ج= 0.

معادله فقط در صورتی ریشه خواهد داشت که سمت راست آن بزرگتر یا مساوی صفر باشد. این به این دلیل است که مربع کردن در سمت چپ انجام می شود و مربع هر عدد مثبت یا برابر با صفر است (اگر صفر در این مربع مربع شود). و اینکه سمت راست با چه چیزی برابر خواهد بود بستگی به این دارد که به جای متغیرها چه چیزی جایگزین شود آ , بو ج .

زیرا برای هر آمساوی با صفر نیست، مخرج سمت راست معادله همیشه مثبت خواهد بود، سپس علامت کسری به علامت عدد آن، یعنی به عبارت بستگی دارد ب 2 − 4ac .

اصطلاح ب 2 − 4acتماس گرفت تمایز یک معادله درجه دوم. Discriminant یک کلمه لاتین به معنای است متمایز کننده . ممیز یک معادله درجه دوم با حرف نشان داده می شود دی

D = b 2 − 4ac

تمایز به شما امکان می دهد از قبل بدانید که آیا معادله ریشه دارد یا خیر. بنابراین، در کار قبلی، معادله را برای مدت طولانی حل کردیم 2ایکس 2 + ایکس+ 2 = 0 و معلوم شد که ریشه ندارد. تمایز به ما این امکان را می دهد که از قبل بدانیم که هیچ ریشه ای وجود ندارد. در معادله 2ایکس 2 + ایکس+ 2 = 0 شانس الف، بو جبه ترتیب 2، 1 و 2 هستند. آنها را در فرمول جایگزین کنید دی = ب 2 −4ac

دی = ب 2 − 4ac= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

ما آن را می بینیم دی(این است ب 2 − 4ac) یک عدد منفی است. پس حل معادله فایده ای ندارد 2ایکس 2 + ایکس+ 2 = 0, انتخاب یک مربع کامل در آن، زیرا وقتی به معادله ای از فرم می رسیم ، معلوم می شود که سمت راست کمتر از صفر می شود (به دلیل ممیز منفی). و مجذور یک عدد نمی تواند منفی باشد. بنابراین، این معادله ریشه ندارد.

روشن می شود که چرا مردم باستان این عبارت را در نظر می گرفتند ب 2 − 4acمتمایز کننده این عبارت مانند یک نشانگر به شما امکان می دهد بین یک معادله با ریشه و یک معادله بدون ریشه تمایز قائل شوید.

بنابراین، دیبرابر است ب 2 − 4ac. در معادله جایگزین کنید به جای بیان ب 2 − 4acحرف دی

اگر ممیز معادله اصلی کمتر از صفر باشد ( دی< 0) , то уравнение примет вид:

در این مورد، معادله اصلی گفته می شود که ریشه ندارد، زیرا مجذور هر عددی نباید منفی باشد.

اگر ممیز معادله اصلی بزرگتر از صفر باشد ( دی> 0) ، سپس معادله به شکل زیر در می آید:

در این صورت معادله دو ریشه خواهد داشت. برای استخراج آنها از جذر استفاده می کنیم:

معادله را گرفتم . از آن دو معادله بدست می آوریم: و . بیان ایکسدر هر یک از معادلات:

دو برابری حاصل فرمول های جهانی برای حل معادله درجه دوم هستند تبر 2 + bx+ ج= 0. نامیده می شوند فرمول ریشه های معادله درجه دوم.

اغلب، این فرمول ها به عنوان نشان داده شده است ایکس 1 و ایکس 2. یعنی برای محاسبه ریشه اول از فرمولی با شاخص 1 استفاده می شود. برای استخراج ریشه دوم - فرمولی با شاخص 2. بیایید فرمول های خود را به همین ترتیب مشخص کنیم:

ترتیب استفاده از فرمول ها مهم نیست.

بیایید برای مثال یک معادله درجه دوم را حل کنیم ایکس 2 + 2ایکس− 8 = 0 با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم. ضرایب این معادله درجه دوم اعداد 1، 2 و 8- هستند. یعنی آ= 1 , ب= 2 , ج= −8 .

قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، باید تمایز این معادله را پیدا کنید.

بیایید ممیز معادله درجه دوم را پیدا کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم D = b 2 − 4 acبه جای متغیرها الف، بو جضرایب معادله را خواهیم داشت ایکس 2 + 2ایکس− 8 = 0

D = b 2 − 4ac= 2 2 − 4 × 1 × (-8) = 4 + 32 = 36

تفکیک کننده بزرگتر از صفر است. بنابراین معادله دو ریشه دارد. اکنون می توانید از فرمول ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنید:

بنابراین ریشه های معادله ایکس 2 + 2ایکس− 8 = 0 اعداد 2 و -4 هستند. بررسی برای اطمینان از یافتن صحیح ریشه ها:

در نهایت موردی را در نظر بگیرید که ممیز معادله درجه دوم برابر با صفر باشد. بیایید به معادله برگردیم. اگر ممیز صفر باشد، سمت راست معادله به شکل زیر خواهد بود:

و در این صورت معادله درجه دوم فقط یک ریشه خواهد داشت. بیایید از ریشه دوم استفاده کنیم:

این یک فرمول دیگر برای استخراج جذر است. بیایید کاربرد آن را در نظر بگیریم. قبلا معادله را حل کردیم ایکس 2 − 6ایکس+ 9 = 0 که یک ریشه دارد 3. با انتخاب مربع کامل آن را حل کردیم. حالا بیایید سعی کنیم با استفاده از فرمول ها را حل کنیم.

بیایید ممیز معادله درجه دوم را پیدا کنیم. در این معادله آ= 1 , ب= −6 , ج= 9. سپس با توجه به فرمول تفکیک، داریم:

D = b 2 − 4ac= (-6) 2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0

تمایز صفر است ( دی= 0). یعنی معادله فقط یک ریشه دارد و با فرمول محاسبه می شود

پس ریشه معادله ایکس 2 − 6ایکس+ 9 = 0 عدد 3 است.

برای یک معادله درجه دوم که یک ریشه دارد، فرمول ها نیز قابل اجرا هستند و . اما اعمال هر یک از آنها نتیجه یکسانی را به همراه خواهد داشت.

بیایید این دو فرمول را برای معادله قبلی اعمال کنیم. در هر دو مورد پاسخ یکسانی را دریافت می کنیم 3

اگر معادله درجه دوم فقط یک ریشه دارد، بهتر است از فرمول استفاده کنید، نه از فرمول ها. و . این باعث صرفه جویی در زمان و مکان می شود.

مثال 3. معادله را حل کنید 5ایکس 2 − 6ایکس+ 1 = 0

بنابراین ریشه های معادله 5ایکس 2 − 6ایکس+ 1 = 0 اعداد 1 و .

پاسخ: 1; .

مثال 4. معادله را حل کنید ایکس 2 + 4ایکس+ 4 = 0

بیایید ممیز معادله درجه دوم را پیدا کنیم:

ممیز صفر است. بنابراین معادله فقط یک ریشه دارد. طبق فرمول محاسبه می شود

پس ریشه معادله ایکس 2 + 4ایکس+ 4 = 0 عدد -2 است.

پاسخ: -2.

مثال 5. معادله را حل کنید 3ایکس 2 + 2ایکس+ 4 = 0

بیایید ممیز معادله درجه دوم را پیدا کنیم:

ممیز کمتر از صفر است. پس این معادله ریشه ندارد.

پاسخ: بدون ریشه

مثال 6. معادله را حل کنید (ایکس+ 4) 2 = 3ایکس+ 40

بیایید این معادله را به حالت عادی برسانیم. در سمت چپ مربع مجموع دو عبارت است. بیایید آن را تجزیه کنیم:

بیایید همه اصطلاحات را با تغییر علائم آنها از سمت راست به سمت چپ منتقل کنیم. صفر در سمت راست باقی می ماند:

تفکیک کننده بزرگتر از صفر است. بنابراین معادله دو ریشه دارد. بیایید از فرمول ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنیم:

بنابراین ریشه های معادله (ایکس+ 4) 2 = 3ایکس+ 40 اعداد 3 و 8- هستند.

پاسخ: 3; −8.

مثال 7. معادله را حل کنید

دو طرف این معادله را در 2 ضرب کنید. این به ما این امکان را می دهد که از کسری در سمت چپ خلاص شویم:

در معادله به دست آمده 22 را با تغییر علامت از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم. 0 در سمت راست باقی می ماند

در اینجا اصطلاحات مشابه در سمت چپ وجود دارد:

در معادله به دست آمده، تفکیک کننده را پیدا می کنیم:

تفکیک کننده بزرگتر از صفر است. بنابراین معادله دو ریشه دارد. بیایید از فرمول ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنیم:

بنابراین ریشه های معادله اعداد 23 و −1 هستند.

پاسخ: 23; −1.

مثال 8. معادله را حل کنید

هر دو جزء را در کوچکترین مضرب مشترک مخرج هر دو کسر ضرب کنید. با این کار کسری در هر دو قسمت خلاص می شود. کمترین مضرب مشترک 2 و 3 6 است. سپس دریافت می کنیم:

در معادله به دست آمده، براکت ها را در هر دو قسمت باز کنید:

حالا بیایید همه اصطلاحات را از سمت راست به سمت چپ منتقل کنیم و علائم آنها را تغییر دهیم. 0 در سمت راست باقی می ماند

در اینجا اصطلاحات مشابه در سمت چپ وجود دارد:

در معادله به دست آمده، تفکیک کننده را پیدا می کنیم:

تفکیک کننده بزرگتر از صفر است. بنابراین معادله دو ریشه دارد. بیایید از فرمول ریشه های معادله درجه دوم استفاده کنیم:

بنابراین ریشه های معادله اعداد و 2 هستند.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

مثال 1. معادله را حل کنید ایکس 2 = 81

این ساده ترین معادله درجه دوم است که در آن باید عددی را که مربع آن 81 است تعیین کنید. اینها اعداد 3 و -3 هستند. بیایید از ریشه دوم برای استخراج آنها استفاده کنیم:

پاسخ: 9, −9 .

مثال 2. معادله را حل کنید ایکس 2 − 9 = 0

این یک معادله درجه دوم ناقص است. برای حل آن، باید عبارت −9 را با تغییر علامت به سمت راست منتقل کنید. سپس دریافت می کنیم:

پاسخ: 3, −3.

مثال 3. معادله را حل کنید ایکس 2 − 9ایکس= 0

این یک معادله درجه دوم ناقص است. برای حل آن، ابتدا باید بیرون بیاورید ایکسبرای براکت:

سمت چپ معادله حاصلضرب است. اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

سمت چپ اگر جدا باشد برابر با صفر می شود ایکسصفر است یا اگر عبارت ایکس− 9 برابر با صفر است. دو معادله بدست می آورید که یکی از آنها قبلا حل شده است:

پاسخ: 0, 9 .

مثال 4. معادله را حل کنید ایکس 2 + 4ایکس− 5 = 0

این یک معادله درجه دوم کامل است. می توان آن را با روش انتخاب مربع کامل یا با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم حل کرد.

بیایید این معادله را با استفاده از فرمول حل کنیم. بیایید ابتدا متمایز کننده را پیدا کنیم:

دی= ب 2 − 4ac= 4 2 − 4 × 1 × (-5) = 16 + 20 = 36

تفکیک کننده بزرگتر از صفر است. بنابراین معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را محاسبه کنیم:

پاسخ: 1, −5 .

مثال 5. معادله را حل کنید

بیایید هر دو قسمت را در 5، 3 و 6 ضرب کنیم. با این کار کسرهای هر دو قسمت خلاص می شوند:

در معادله به دست آمده با تغییر علامت همه عبارت ها را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم. صفر در سمت راست باقی می ماند:

در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:

پاسخ: 5 , .

مثال 6. معادله را حل کنید ایکس 2 = 6

در این مثال، همانطور که باید از ریشه مربع استفاده کنید:

با این حال، جذر 6 گرفته نمی شود. فقط تقریباً استخراج می شود. ریشه را می توان با دقت خاصی استخراج کرد. بیایید آن را به نزدیکترین صدم استخراج کنیم:

اما اغلب ریشه به عنوان یک رادیکال باقی می ماند:

پاسخ:

مثال 7. معادله را حل کنید (2ایکس+ 3) 2 + (ایکس− 2) 2 = 13

بیایید پرانتزهای سمت چپ معادله را باز کنیم:

در معادله به دست آمده، 13 را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم و علامت را تغییر می دهیم. سپس اعضای مشابه را می دهیم:

یک معادله درجه دوم ناقص بدست آوردیم. بیایید حلش کنیم:

پاسخ: 0 , −1,6 .

مثال 8. معادله را حل کنید (5 + 7ایکس)(4 − 3ایکس) = 0

این معادله به دو صورت قابل حل است. بیایید هر یک از آنها را در نظر بگیریم.

راه اول. براکت ها را باز کنید و شکل نرمال معادله درجه دوم را بدست آورید.

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:

در اینجا اعضای مشابه وجود دارد:

معادله به دست آمده را بازنویسی می کنیم تا عبارت با بالاترین ضریب اول، عبارت با ضریب دوم دوم و عبارت آزاد سوم قرار گیرد:

برای مثبت شدن عبارت اول، هر دو طرف معادله را در 1- ضرب می کنیم. سپس تمام عبارت های معادله علائم خود را به عکس تغییر می دهند:

معادله حاصل را با استفاده از فرمول های ریشه های معادله درجه دوم حل می کنیم:

راه دوم. مقادیر را پیدا کنید ایکس، که برای آن عوامل سمت چپ معادله برابر با صفر است. این روش راحت تر و بسیار کوتاه تر است.

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. در این مورد، برابری در معادله (5 + 7ایکس)(4 − 3ایکس) = 0 اگر عبارت (5 + 7) به دست می آید ایکس) برابر با صفر یا عبارت (4 - 3) است ایکس) صفر است. وظیفه ما این است که بفهمیم تحت چه چیزی ایکساتفاق می افتد:

نمونه هایی از حل مسئله

تصور کنید که لازم است یک اتاق کوچک با مساحت 8 متر مربع بسازید. در این حالت طول اتاق باید دو برابر عرض آن باشد. چگونه طول و عرض چنین اتاقی را تعیین کنیم؟

بیایید یک طراحی تقریبی از این اتاق انجام دهیم که نمای بالایی را نشان می دهد:

عرض اتاق را از طریق مشخص کنید ایکس. و طول اتاق بعد از 2 ایکس، زیرا با توجه به شرط مشکل، طول باید دو برابر عرض باشد. ضریب 2 است و این شرط را برآورده می کند:

سطح اتاق (کف آن) مستطیل است. برای محاسبه مساحت یک مستطیل، طول مستطیل را در عرض آن ضرب کنید. بیایید آن را انجام دهیم:

2ایکس × ایکس

با توجه به شرایط مشکل، مساحت باید 8 متر مربع باشد. پس عبارت 2 ایکس× ایکسباید برابر با 8 باشد

2ایکس × ایکس = 8

معادله گرفتم اگر آن را حل کنید، می توانید طول و عرض اتاق را پیدا کنید.

اولین کاری که می توانید انجام دهید این است که ضرب را در سمت چپ معادله انجام دهید:

2ایکس 2 = 8

در نتیجه این تبدیل، متغیر ایکسبه درجه دوم منتقل شد. و گفتیم که اگر متغیر موجود در معادله به توان دوم (مربع) برسد، چنین معادله ای معادله درجه دوم یا معادله درجه دوم است.

برای حل معادله درجه دوم خود، از تبدیل های یکسانی که قبلاً مطالعه شده بود استفاده می کنیم. در این صورت می توانید هر دو قسمت را به 2 قسمت تقسیم کنید

حالا بیایید از جذر استفاده کنیم. اگر یک ایکس 2 = 4، سپس. از اینجا ایکس= 2 و ایکس= −2 .

از طریق ایکسعرض اتاق نشان داده شد. عرض نباید منفی باشد، بنابراین فقط مقدار 2 در نظر گرفته می شود. این اغلب هنگام حل مسائلی که در آنها از معادله درجه دوم استفاده می شود، اتفاق می افتد. دو ریشه در پاسخ به دست می آید، اما تنها یکی از آنها شرط مسئله را برآورده می کند.

و طول با 2 نشان داده شد ایکس. معنی ایکساکنون شناخته شده است، آن را با عبارت 2 جایگزین کنید ایکسو طول را محاسبه کنید:

2ایکس= 2 × 2 = 4

بنابراین طول 4 متر و عرض 2 متر است. این راه حل شرایط مشکل را برآورده می کند، زیرا مساحت اتاق 8 متر مربع است.

4 × 2 = 8 متر مربع

پاسخ: طول اتاق 4 متر و عرض 2 متر است.

مثال 2. یک قطعه باغ به شکل مستطیل که یک ضلع آن 10 متر از طرف دیگر بلندتر است، باید توسط یک حصار احاطه شود. طول حصار را تعیین کنید، اگر مشخص باشد که مساحت سایت 1200 متر مربع است.

تصمیم

طول مستطیل معمولاً بیشتر از عرض آن است. عرض طرح را بگذارید ایکسمتر و طول ( ایکس+ 10) متر. مساحت زمین 1200 متر مربع می باشد. طول مقطع را در عرض آن ضرب کرده و با 1200 برابر می کنیم، معادله بدست می آید:

ایکس(ایکس+ 10) = 1200

بیایید این معادله را حل کنیم. ابتدا براکت های سمت چپ را باز کنید:

با تغییر علامت 1200 را از سمت راست به سمت چپ منتقل می کنیم. 0 در سمت راست باقی می ماند

معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول حل می کنیم:

با وجود اینکه معادله درجه دوم دو ریشه دارد، فقط مقدار 30 را در نظر می گیریم. زیرا عرض را نمی توان به صورت یک عدد منفی بیان کرد.

بنابراین از طریق ایکسعرض منطقه مشخص شد. برابر با سی متر است. و طول از طریق عبارت نشان داده شد ایکس+ 10 . مقدار یافت شده را در آن جایگزین کنید ایکسو طول را محاسبه کنید:

ایکس

آیا درس را دوست داشتید؟
به گروه جدید Vkontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان های درس های جدید کنید