نحوه محاسبه مختصات برداری وکتور برای آدمک

یافتن مختصات یک بردار یک شرط نسبتاً رایج برای بسیاری از مسائل در ریاضیات است. توانایی یافتن مختصات برداری به شما در مسائل پیچیده‌تر دیگر با موضوعات مشابه کمک می‌کند. در این مقاله به فرمول یافتن مختصات برداری و چندین مسئله خواهیم پرداخت.

یافتن مختصات یک بردار در یک صفحه

هواپیما چیست؟ یک صفحه یک فضای دو بعدی، فضایی با دو بعد (بعد x و بعد y) در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، کاغذ صاف است. سطح میز صاف است. هر شکل غیر حجمی (مربع، مثلث، ذوزنقه) نیز یک صفحه است. بنابراین، اگر در بیان مسئله نیاز به یافتن مختصات یک بردار باشد که در یک صفحه قرار دارد، بلافاصله x و y را به خاطر می آوریم. مختصات چنین بردار را می توانید به صورت زیر بیابید: مختصات AB بردار = (xB – xA؛ yB – xA). فرمول نشان می دهد که باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایان کم کنید.

مثال:

• CD برداری دارای مختصات اولیه (5; 6) و نهایی (7; 8) است.
• مختصات خود بردار را بیابید.
• با استفاده از فرمول بالا، عبارت زیر را دریافت می کنیم: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• بنابراین، مختصات بردار CD = (2؛ 2).
• بر این اساس، مختصات x برابر با دو، مختصات y نیز دو است.

یافتن مختصات یک بردار در فضا

فضا چیست؟ فضا در حال حاضر یک بعد سه بعدی است، که در آن 3 مختصات داده می شود: x، y، z. اگر نیاز به یافتن برداری دارید که در فضا قرار دارد، فرمول عملا تغییر نمی کند. فقط یک مختصات اضافه شده است. برای پیدا کردن بردار، باید مختصات شروع را از مختصات پایانی کم کنید. AB = (xB – xA؛ yB – yA؛ zB – zA)

مثال:

• بردار DF دارای اولیه (2; 3; 1) و نهایی (1; 5; 2) است.
• با استفاده از فرمول فوق، به دست می آوریم: مختصات برداری DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• به یاد داشته باشید، مقدار مختصات می تواند منفی باشد، مشکلی وجود ندارد.

چگونه مختصات برداری را به صورت آنلاین پیدا کنیم؟

اگر به دلایلی نمی خواهید مختصات را خودتان پیدا کنید، می توانید از یک ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. برای شروع، بعد برداری را انتخاب کنید. بعد یک بردار مسئول ابعاد آن است. بعد 3 به این معنی است که بردار در فضا است، بعد 2 به این معنی است که بر روی صفحه است. سپس مختصات نقاط را در فیلدهای مناسب وارد کنید و برنامه مختصات خود بردار را برای شما تعیین می کند. همه چیز بسیار ساده است.

با کلیک بر روی دکمه، صفحه به صورت خودکار به پایین اسکرول می شود و پاسخ صحیح را همراه با مراحل حل به شما می دهد.

توصیه می شود این مبحث را به خوبی مطالعه کنید، زیرا مفهوم بردار نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک نیز یافت می شود. دانشجویان دانشکده فناوری اطلاعات نیز مبحث بردارها را مطالعه می کنند اما در سطح پیچیده تری.

بالاخره این موضوع گسترده و مورد انتظار را گرفتم. هندسه تحلیلی. ابتدا کمی در مورد این بخش از ریاضیات عالی ... مطمئناً اکنون درس هندسه مدرسه را با قضایای متعدد، برهان ها، نقاشی ها و غیره به خاطر دارید. چه چیزی را پنهان کنیم، موضوعی مورد علاقه و اغلب مبهم برای بخش قابل توجهی از دانش آموزان. هندسه تحلیلی، به اندازه کافی عجیب، ممکن است جالب تر و قابل دسترس تر به نظر برسد. صفت "تحلیلی" به چه معناست؟ دو عبارت کلیشه ای ریاضی بلافاصله به ذهن می رسد: «روش حل گرافیکی» و «روش حل تحلیلی». روش گرافیکیالبته با ساخت نمودارها و نقشه ها همراه است. تحلیلییکسان روششامل حل مشکلات است به طور عمدهاز طریق عملیات جبری در این راستا، الگوریتم حل تقریباً تمام مسائل هندسه تحلیلی ساده و شفاف است، اغلب کافی است فرمول های لازم را با دقت اعمال کنید - و پاسخ آماده است. خیر، البته، ما به هیچ وجه نمی توانیم بدون طراحی این کار را انجام دهیم، و علاوه بر این، برای درک بهتر مطالب، سعی می کنم آنها را فراتر از ضرورت ذکر کنم.

دوره جدید دروس هندسه وانمود نمی کند که از نظر تئوری کامل است، بلکه بر حل مسائل عملی متمرکز شده است. من فقط آنچه را که از نظر من از نظر عملی مهم است در سخنرانی های خود گنجانده ام. اگر در مورد هر بخش فرعی به کمک کامل تری نیاز دارید، ادبیات کاملاً در دسترس زیر را توصیه می کنم:

1) چیزی که بدون شوخی، چندین نسل با آن آشنا هستند: کتاب هندسه مدرسه، نویسندگان - L.S. آتاناسیان و شرکت. این رختکن مدرسه تاکنون 20 (!) تجدید چاپ را پشت سر گذاشته است که البته محدودیتی برای آن وجود ندارد.

2) هندسه در 2 جلد. نویسندگان L.S. آتاناسیان، بازیلف وی.تی.. این ادبیات برای دبیرستان است، شما نیاز دارید جلد اول. کارهایی که به ندرت با آنها روبرو می شوم ممکن است از دید من خارج شوند و این آموزش کمک ارزشمندی خواهد بود.

هر دو کتاب را می توان به صورت آنلاین به صورت رایگان دانلود کرد. علاوه بر این، می توانید از آرشیو من با راه حل های آماده استفاده کنید که در صفحه موجود است دانلود مثال در ریاضی بالاتر.

در میان ابزارها، من دوباره توسعه خودم را پیشنهاد می کنم - بسته نرم افزاریدر هندسه تحلیلی، که زندگی را تا حد زیادی ساده می کند و در زمان بسیار صرفه جویی می کند.

فرض بر این است که خواننده با مفاهیم و اشکال هندسی اساسی آشنا است: نقطه، خط، صفحه، مثلث، متوازی الاضلاع، متوازی الاضلاع، مکعب و غیره. توصیه می شود برخی از قضایا را به خاطر بسپارید، حداقل قضیه فیثاغورث، سلام به تکرار کنندگان)

و اکنون به ترتیب در نظر خواهیم گرفت: مفهوم بردار، اقدامات با بردارها، مختصات بردار. خواندن ادامه مطلب را توصیه می کنم مهمترین مقاله حاصل ضرب نقطه ای بردارها، و همچنین بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها. یک کار محلی - تقسیم یک بخش از این نظر - نیز اضافی نخواهد بود. بر اساس اطلاعات فوق می توانید مسلط شوید معادله یک خط در یک صفحهبا ساده ترین نمونه راه حل ها، که اجازه خواهد داد حل مسائل هندسه را یاد بگیرید. مقالات زیر نیز مفید هستند: معادله یک هواپیما در فضا, معادلات یک خط در فضا، مسائل اساسی در یک خط مستقیم و یک صفحه، بخش های دیگر از هندسه تحلیلی. طبیعتا وظایف استاندارد در این مسیر در نظر گرفته خواهد شد.

مفهوم برداری. وکتور رایگان

ابتدا اجازه دهید تعریف مدرسه از یک بردار را تکرار کنیم. بردارتماس گرفت جهت دارقسمتی که ابتدا و انتهای آن مشخص شده است:

در این مورد، ابتدای قطعه نقطه است، انتهای قطعه نقطه است. خود بردار با نشان داده می شود. جهتضروری است، اگر فلش را به انتهای دیگر بخش منتقل کنید، یک بردار دریافت می کنید، و این قبلاً وجود دارد وکتور کاملا متفاوت. تشخیص مفهوم بردار با حرکت یک جسم فیزیکی راحت است: باید موافق باشید، ورود به درهای یک موسسه یا خروج از درهای یک موسسه چیزهای کاملاً متفاوتی است.

راحت است که نقاط جداگانه یک هواپیما یا فضا را به اصطلاح در نظر بگیریم بردار صفر. برای چنین بردار، پایان و آغاز بر هم منطبق است.

!!! توجه داشته باشید: در اینجا و بیشتر، می توانید فرض کنید که بردارها در یک صفحه قرار دارند یا می توانید فرض کنید که آنها در فضا قرار دارند - ماهیت مطالب ارائه شده برای هواپیما و فضا معتبر است.

نام گذاری ها:بسیاری بلافاصله متوجه چوب بدون فلش در نام شدند و گفتند، یک فلش نیز در بالا وجود دارد! درست است، شما می توانید آن را با یک فلش بنویسید: ، اما این امکان نیز وجود دارد ورودی که در آینده از آن استفاده خواهم کرد. چرا؟ ظاهراً این عادت به دلایل عملی شکل گرفت. در ادبیات آموزشی، گاهی اوقات آنها اصلاً به خط میخی زحمت نمی‌دهند، بلکه حروف را به صورت پررنگ برجسته می‌کنند: و بدین ترتیب نشان می‌دهند که این یک بردار است.

این سبک شناسی بود و اکنون در مورد روش های نوشتن بردارها:

1) وکتورها را می توان با دو حرف بزرگ لاتین نوشت:
و غیره در این مورد، حرف اول لزومانقطه شروع بردار و حرف دوم نقطه پایان بردار را نشان می دهد.

2) وکتورها نیز با حروف کوچک لاتین نوشته می شوند:
به طور خاص، بردار ما را می توان برای اختصار با یک حرف لاتین کوچک دوباره طراحی کرد.

طولیا مدولیک بردار غیر صفر طول قطعه نامیده می شود. طول بردار صفر صفر است. منطقی.

طول بردار با علامت مدول نشان داده می شود:

ما یاد خواهیم گرفت که چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم (یا بسته به اینکه چه کسی آن را تکرار می کنیم) کمی بعد.

این اطلاعات اولیه در مورد بردارها بود که برای همه دانش آموزان آشنا بود. در هندسه تحلیلی به اصطلاح وکتور رایگان.

به بیان ساده - بردار را می توان از هر نقطه ترسیم کرد:

ما عادت داریم چنین بردارهایی را برابر بنامیم (تعریف بردارهای مساوی در زیر ارائه خواهد شد)، اما از نقطه نظر ریاضی محض، آنها همان بردار یا همان بردار هستند. وکتور رایگان. چرا رایگان؟ زیرا در طول حل مسائل، می توانید این یا آن بردار مدرسه را به هر نقطه از صفحه یا فضایی که نیاز دارید، "ضمیمه" کنید. این یک ویژگی بسیار جالب است! یک بخش جهت دار با طول و جهت دلخواه را تصور کنید - می توان آن را بی نهایت بار و در هر نقطه از فضا "کلون" کرد، در واقع، در همه جا وجود دارد. دانشجویی می‌گوید: هر استادی به بردار لعنتی می‌دهد. از این گذشته ، این فقط یک قافیه شوخ نیست ، همه چیز تقریباً درست است - یک بخش کارگردانی شده نیز می تواند در آنجا اضافه شود. اما برای شادی عجله نکنید، این خود دانش آموزان هستند که اغلب رنج می برند =)

بنابراین، وکتور رایگان- این یک دسته از بخش های هدایت شده یکسان تعریف مدرسه از یک بردار، که در ابتدای پاراگراف ارائه شده است: "به یک بخش جهت دار، یک بردار می گویند..." دلالت دارد. خاصیک بخش جهت دار گرفته شده از یک مجموعه معین، که به نقطه خاصی در صفحه یا فضا گره خورده است.

لازم به ذکر است که از دیدگاه فیزیک، مفهوم بردار آزاد به طور کلی نادرست است و نکته کاربرد مهم است. در واقع، یک ضربه مستقیم از همان نیرو به بینی یا پیشانی، که برای بیان مثال احمقانه من کافی است، پیامدهای متفاوتی را به دنبال دارد. با این حال، غیر رایگانبردارها نیز در دوره vyshmat یافت می شوند (آنجا نروید :)).

اقدامات با بردارها خط خطی بردارها

یک دوره هندسه مدرسه تعدادی از اقدامات و قوانین را با بردار پوشش می دهد: جمع بر اساس قانون مثلث، جمع بر اساس قانون متوازی الاضلاع، قانون تفاوت بردار، ضرب یک بردار در عدد، حاصل ضرب اسکالر بردارها و غیره.به عنوان نقطه شروع، اجازه دهید دو قانون را تکرار کنیم که مخصوصاً برای حل مسائل هندسه تحلیلی مرتبط هستند.

قانون اضافه کردن بردارها با استفاده از قانون مثلث

دو بردار غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید و :

باید مجموع این بردارها را پیدا کنید. با توجه به اینکه همه بردارها آزاد در نظر گرفته می شوند، بردار را کنار می گذاریم پایانبردار:

مجموع بردارها بردار است. برای درک بهتر این قاعده، توصیه می شود یک معنای فیزیکی در آن قرار دهید: اجازه دهید مقداری از بدن در امتداد بردار و سپس در امتداد بردار حرکت کند. سپس مجموع بردارها بردار مسیر به دست آمده با شروع در نقطه عزیمت و پایان در نقطه رسیدن است. یک قانون مشابه برای مجموع هر تعداد بردار فرموله شده است. همانطور که آنها می گویند، بدن می تواند مسیر خود را بسیار باریک در امتداد یک زیگزاگ، یا شاید در خلبان خودکار - در امتداد بردار حاصل از مجموع طی کند.

به هر حال، اگر بردار به تعویق افتاد از آغاز شدهبردار، سپس معادل را بدست می آوریم قانون متوازی الاضلاعافزودن بردارها

اول، در مورد هم خطی بردارها. دو بردار نامیده می شوند خطی، اگر روی یک خط یا روی خطوط موازی قرار بگیرند. به طور کلی، ما در مورد بردارهای موازی صحبت می کنیم. اما در رابطه با آنها همیشه از صفت "هم خط" استفاده می شود.

دو بردار خطی را تصور کنید. اگر فلش های این بردارها در یک راستا باشند، چنین بردارهایی نامیده می شوند کارگردانی مشترک. اگر فلش ها در جهت های مختلف باشند، بردارها خواهند بود جهت های مخالف.

نام گذاری ها:هم خطی بردارها با علامت توازی معمول نوشته می شود: , در حالی که جزئیات امکان پذیر است: (بردارها هم جهت هستند) یا (بردارها خلاف جهت هستند).

کاربردار غیر صفر روی یک بردار برداری است که طول آن برابر است و بردارها و هم جهت و خلاف جهت آن هستند.

قانون ضرب یک بردار در یک عدد با کمک یک تصویر ساده تر است:

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم:

1 مسیر. اگر ضریب منفی باشد، بردار تغییر جهت می دهدبرعکس

2) طول. اگر ضریب در داخل یا وجود داشته باشد، پس طول بردار کاهش می دهد. بنابراین، طول بردار نصف طول بردار است. اگر مدول ضریب بزرگتر از یک باشد، طول بردار افزایشبه موقع.

3) لطفا توجه داشته باشید که همه بردارها خطی هستند، در حالی که یک بردار از طریق دیگری بیان می شود، برای مثال، . برعکس آن هم درست است: اگر بتوان یک بردار را از طریق دیگری بیان کرد، آنگاه چنین بردارهایی لزوماً هم خط هستند. بدین ترتیب: اگر یک بردار را در یک عدد ضرب کنیم، به صورت خطی می‌شویم(نسبت به اصل) بردار.

4) بردارها به طور مشترک هدایت می شوند. بردارها و همچنین کارگردانی مشترک هستند. هر بردار گروه اول نسبت به هر بردار گروه دوم جهت مخالف دارد.

کدام بردارها برابرند؟

دو بردار اگر در یک جهت و طول یکسان باشند با هم برابرند. توجه داشته باشید که هم جهتی به معنای هم خطی بودن بردارها است. این تعریف نادرست (زائد) خواهد بود اگر بگوییم: "دو بردار مساوی هستند اگر هم خطی، هم جهت و دارای طول یکسان باشند."

از نقطه نظر مفهوم بردار آزاد، بردارهای مساوی همان بردار هستند که در پاراگراف قبل مورد بحث قرار گرفت.

مختصات برداری در هواپیما و در فضا

اولین نکته در نظر گرفتن بردارها در صفحه است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را به تصویر بکشیم و آن را از مبدأ مختصات ترسیم کنیم تنهابردارها و:

بردارها و قائم. متعامد = عمود بر. توصیه می کنم کم کم به اصطلاحات عادت کنید: به جای موازی و عمود، به ترتیب از کلمات استفاده می کنیم. هم خطی بودنو متعامد بودن.

تعیین:متعامد بردارها با علامت عمودی معمول نوشته می شود، به عنوان مثال: .

بردارهای مورد بررسی نامیده می شوند بردارهای مختصاتیا orts. این بردارها تشکیل می شوند اساسروی سطح من فکر می کنم که اساساً برای بسیاری روشن است که اطلاعات دقیق تری را می توان در مقاله یافت وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارهابه عبارت ساده، اساس و منشأ مختصات کل سیستم را تعریف می کند - این نوعی پایه است که یک زندگی هندسی کامل و غنی بر روی آن می جوشد.

گاهی اوقات پایه ساخته شده نامیده می شود متعارفاساس صفحه: "ارتو" - چون بردارهای مختصات متعامد هستند، صفت "normalized" به معنای واحد است، یعنی. طول بردارهای پایه برابر با یک است.

تعیین:اساس معمولاً در پرانتز نوشته می شود که داخل آن به ترتیب دقیقبردارهای پایه فهرست شده اند، به عنوان مثال: . بردارهای مختصات ممنوع استتنظیم مجدد.

هربردار هواپیما تنها راهبیان شده به صورت:
، جایی که - شمارهکه نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا و خود بیان تماس گرفت تجزیه برداریبر اساس .

شام سرو شده:

بیایید با حرف اول الفبا شروع کنیم: . ترسیم به وضوح نشان می دهد که هنگام تجزیه یک بردار به یک پایه، مواردی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت استفاده می شود:
1) قانون ضرب بردار در عدد: و ;
2) جمع بردارها طبق قانون مثلث: .

اکنون به صورت ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری از صفحه رسم کنید. کاملاً آشکار است که زوال او "بی امان او را دنبال خواهد کرد." اینجا آزادی بردار است - بردار "همه چیز را با خود حمل می کند." این ویژگی، البته، برای هر بردار صادق است. خنده دار است که خود بردارهای پایه (رایگان) نباید از مبدا رسم شوند، مثلاً در پایین سمت چپ، و دیگری در بالا سمت راست، و هیچ چیز تغییر نمی کند. درست است، شما نیازی به انجام این کار ندارید، زیرا معلم نیز اصالت را نشان می دهد و در مکانی غیرمنتظره به شما "اعتبار" می دهد.

بردارها دقیقاً قانون ضرب یک بردار در یک عدد را نشان می دهند، بردار با بردار پایه هم جهت است، بردار مخالف بردار پایه است. برای این بردارها، یکی از مختصات برابر با صفر است.


و بردارهای پایه، به هر حال، اینگونه هستند: (در واقع، آنها از طریق خودشان بیان می شوند).

و در نهایت: ، . به هر حال، تفریق برداری چیست و چرا من در مورد قانون تفریق صحبت نکردم؟ جایی در جبر خطی، یادم نیست کجاست، اشاره کردم که تفریق یک مورد خاص از جمع است. بنابراین، بسط بردارهای "de" و "e" به راحتی به صورت مجموع نوشته می شوند: . نقشه را دنبال کنید تا ببینید که جمع خوب قدیمی بردارها طبق قانون مثلث چقدر در این موقعیت ها کار می کند.

تجزیه در نظر گرفته شده از فرم گاهی اوقات تجزیه برداری نامیده می شود در سیستم ort(یعنی در سیستمی از بردارهای واحد). اما این تنها راه برای نوشتن یک بردار نیست.

یا با علامت مساوی:

خود بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند: و

یعنی مختصات بردار در داخل پرانتز مشخص شده است. در مسائل عملی از هر سه گزینه علامت گذاری استفاده می شود.

شک داشتم که صحبت کنم، اما به هر حال می گویم: مختصات برداری را نمی توان دوباره مرتب کرد. به شدت در وهله اولمختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد، به شدت در رتبه دوممختصاتی را می نویسیم که با بردار واحد مطابقت دارد. در واقع، و دو بردار متفاوت هستند.

ما مختصات را در هواپیما فهمیدیم. حالا بیایید به بردارها در فضای سه بعدی نگاه کنیم، اینجا تقریبا همه چیز یکسان است! فقط یک مختصات دیگر اضافه می کند. ایجاد نقشه های سه بعدی دشوار است، بنابراین من خودم را به یک بردار محدود می کنم، که برای سادگی آن را از مبدا کنار می گذارم:

هروکتور فضای سه بعدی تنها راهگسترش بر اساس متعارف:
، مختصات بردار (عدد) در این مبنا کجاست.

نمونه ای از تصویر: . بیایید ببینیم قوانین برداری در اینجا چگونه کار می کنند. ابتدا بردار را در یک عدد ضرب کنید: (فلش قرمز)، (فلش سبز) و (فلش تمشک). ثانیاً، در اینجا مثالی از جمع چند بردار، در این مورد سه، آورده شده است: . بردار مجموع از نقطه شروع اولیه (ابتدای بردار) شروع می شود و در نقطه پایانی رسیدن (انتهای بردار) به پایان می رسد.

همه بردارهای فضای سه بعدی، به طور طبیعی، نیز آزاد هستند، سعی کنید از نظر ذهنی بردار را از هر نقطه دیگری کنار بگذارید، و خواهید فهمید که تجزیه آن "با آن خواهد ماند".

مشابه مورد تخت، علاوه بر نوشتن نسخه های دارای براکت به طور گسترده استفاده می شوند: یا .

اگر یک (یا دو) بردار مختصات در بسط وجود نداشته باشد، صفرها به جای آنها قرار می گیرند. مثال ها:
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم ؛
بردار (با دقت ) - بیا بنویسیم .

بردارهای پایه به صورت زیر نوشته می شوند:

شاید این حداقل دانش نظری لازم برای حل مسائل هندسه تحلیلی باشد. ممکن است اصطلاحات و تعاریف زیادی وجود داشته باشد، بنابراین توصیه می‌کنم قوری‌ها این اطلاعات را دوباره بخوانند و دوباره درک کنند. و رجوع هر از چند گاهی به درس پایه برای هر خواننده ای مفید خواهد بود تا مطالب را بهتر جذب کند. هم خطی، متعامد، مبنای متعامد، تجزیه برداری - این مفاهیم و مفاهیم دیگر اغلب در آینده استفاده خواهند شد. متذکر می شوم که مطالب موجود در سایت برای قبولی در آزمون نظری یا گفتگوی هندسه کافی نیست ، زیرا من با دقت تمام قضایا (و بدون اثبات) را رمزگذاری می کنم - به ضرر سبک علمی ارائه ، اما یک نکته مثبت برای درک شما از عنوان. برای دریافت اطلاعات دقیق تئوری، لطفاً به پروفسور آتاناسیان تعظیم کنید.

و به قسمت عملی آن می رویم:

ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات

بسیار توصیه می شود که یاد بگیرید چگونه وظایفی را که کاملاً خودکار در نظر گرفته می شوند و فرمول ها را حل کنید حفظ کردن، حتی لازم نیست عمداً آن را به خاطر بسپارید، آنها خودشان آن را به خاطر خواهند آورد =) این بسیار مهم است، زیرا سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی است و صرف زمان اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. . نیازی به بستن دکمه های بالای پیراهن نیست.

ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.

چگونه از دو نقطه بردار پیدا کنیم؟

اگر دو نقطه از صفحه داده شود، بردار دارای مختصات زیر است:

اگر دو نقطه در فضا داده شود، بردار مختصات زیر را دارد:

به این معنا که، از مختصات انتهای بردارباید مختصات مربوطه را کم کنید ابتدای بردار.

ورزش:برای همان نقاط، فرمول های یافتن مختصات بردار را بنویسید. فرمول ها در پایان درس.

مثال 1

با توجه به دو نقطه از هواپیما و . مختصات برداری را پیدا کنید

راه حل:طبق فرمول مربوطه:

به طور متناوب، می توان از ورودی زیر استفاده کرد:

زیبایی‌شناسان در این مورد تصمیم خواهند گرفت:

شخصاً به نسخه اول ضبط عادت کرده ام.

پاسخ:

با توجه به شرط، نیازی به ساخت یک نقشه (که برای مسائل هندسه تحلیلی معمول است) نبود، اما برای روشن شدن برخی نکات برای آدمک ها، تنبل نخواهم بود:

حتما باید بفهمی تفاوت بین مختصات نقطه و مختصات برداری:

مختصات نقطه- این مختصات معمولی در یک سیستم مختصات مستطیلی هستند. من فکر می کنم همه می دانند که چگونه از کلاس پنجم تا ششم نقاط را در یک هواپیمای مختصات ترسیم کنند. هر نقطه دارای یک مکان دقیق در هواپیما است و نمی توان آنها را به جایی منتقل کرد.

مختصات بردار- این گسترش آن بر اساس اساس، در این مورد است. هر بردار آزاد است، بنابراین در صورت تمایل یا نیاز، می توانیم به راحتی آن را از نقطه دیگری در هواپیما دور کنیم. جالب است که برای بردارها اصلاً نیازی به ساخت محورها یا سیستم مختصات مستطیلی ندارید، در این مورد به یک پایه متعارف صفحه نیاز دارید.

رکورد مختصات نقاط و مختصات بردارها مشابه به نظر می رسد: و معنی مختصاتکاملا ناهمسان، و شما باید به خوبی از این تفاوت آگاه باشید. این تفاوت البته در مورد فضا نیز صدق می کند.

خانم ها و آقایان بیایید دستمان را پر کنیم:

مثال 2

الف) امتیاز و داده می شود. بردارها و .
ب) امتیاز داده شده است و . بردارها و .
ج) امتیاز و داده شده است. بردارها و .
د) امتیاز داده شده است. بردارها را پیدا کنید .

شاید همین کافی باشد. اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید، سعی کنید از آنها غافل نشوید، نتیجه می دهد ;-). نیازی به کشیدن نقاشی نیست. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در حل مسائل هندسه تحلیلی چه چیزی مهم است؟مهم است که بسیار مراقب باشید تا از اشتباه استادانه «دو به علاوه دو برابر با صفر» اجتناب کنید. اگر جایی اشتباه کردم فورا عذرخواهی میکنم =)

چگونه طول یک قطعه را پیدا کنیم؟

طول، همانطور که قبلا ذکر شد، با علامت مدول نشان داده می شود.

اگر دو نقطه از صفحه داده شود و سپس طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

اگر دو نقطه در فضا داده شود، طول قطعه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

توجه داشته باشید: اگر مختصات مربوطه با هم عوض شوند، فرمول‌ها صحیح می‌مانند، اما گزینه اول استانداردتر است.

مثال 3

راه حل:طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم کرد

بخش خط - این یک بردار نیست، و، البته، شما نمی توانید آن را به جایی منتقل کنید. علاوه بر این، اگر به مقیاس ترسیم کنید: 1 واحد. = 1 سانتی متر (دو سلول نوت بوک)، سپس پاسخ به دست آمده را می توان با یک خط کش معمولی با اندازه گیری مستقیم طول قطعه بررسی کرد.

بله، راه حل کوتاه است، اما چند نکته مهم دیگر در آن وجود دارد که می خواهم توضیح دهم:

اولاً در پاسخ، بعد «واحدها» را قرار می دهیم. این وضعیت نمی‌گوید چه چیزی است، میلی‌متر، سانتی‌متر، متر یا کیلومتر. بنابراین، یک راه حل ریاضی صحیح، فرمول کلی خواهد بود: "واحدها" - به اختصار "واحدها".

ثانیا، اجازه دهید مطالب مدرسه را تکرار کنیم، که نه تنها برای کار در نظر گرفته شده مفید است:

توجه کن به تکنیک مهم – حذف ضریب از زیر ریشه. در نتیجه محاسبات، ما یک نتیجه داریم و سبک ریاضی خوب شامل حذف عامل از زیر ریشه (در صورت امکان) است. با جزئیات بیشتر، این روند به این صورت است: . بدیهی است که باقی گذاشتن پاسخ به همان شکلی که هست اشتباه نخواهد بود - اما مسلماً نقص و استدلالی سنگین برای سخن گفتن از جانب معلم خواهد بود.

در اینجا موارد رایج دیگری وجود دارد:

به عنوان مثال، اغلب ریشه تعداد نسبتاً زیادی تولید می کند. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ با استفاده از ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر 4 بخش پذیر است یا خیر. بله، به طور کامل تقسیم شد، به این ترتیب: . یا شاید دوباره بتوان عدد را بر 4 تقسیم کرد؟ . بدین ترتیب: . آخرین رقم عدد فرد است، بنابراین تقسیم بر 4 برای بار سوم بدیهی است که کار نخواهد کرد. بیایید سعی کنیم بر 9 تقسیم کنیم: . در نتیجه:
آماده.

نتیجه:اگر در زیر ریشه عددی به دست آوریم که نمی توان آن را به طور کلی استخراج کرد، سپس سعی می کنیم عامل را از زیر ریشه حذف کنیم - با استفاده از یک ماشین حساب بررسی می کنیم که آیا عدد بر تقسیم پذیر است: 4، 9، 16، 25، 36، 49 و غیره

هنگام حل مسائل مختلف، همیشه سعی کنید عواملی را از زیر ریشه استخراج کنید تا با نهایی کردن راه حل های خود بر اساس نظرات معلم، از نمره پایین تر و مشکلات غیر ضروری جلوگیری کنید.

بیایید ریشه های مربع و سایر قدرت ها را نیز تکرار کنیم:

قوانین عملکرد با قدرت ها به شکل کلی را می توان در کتاب درسی جبر مدرسه یافت، اما من فکر می کنم از مثال های ارائه شده، همه چیز یا تقریباً همه چیز از قبل روشن است.

کار برای راه حل مستقل با یک بخش در فضا:

مثال 4

امتیاز و داده می شود. طول قطعه را پیدا کنید.

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

چگونه طول یک بردار را پیدا کنیم؟

اگر یک بردار صفحه داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود.

اگر بردار فضایی داده شود، طول آن با فرمول محاسبه می شود .

محور ابسیسا و ارتین نامیده می شود مختصات بردار. مختصات برداری معمولاً در فرم نشان داده می شود (x، y)، و خود بردار به صورت: =(x, y).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل دو بعدی.

در مورد یک مسئله دو بعدی، بردار با معلوم مختصات نقاط A (x 1; y 1)و ب(ایکس 2 ; y 2 ) قابل محاسبه است:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

فرمول تعیین مختصات برداری برای مسائل فضایی.

در مورد یک مسئله فضایی، بردار با معلوم مختصات نقاطآ (x 1; y 1;z 1 ) و ب (ایکس 2 ; y 2 ; z 2 ) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

= (ایکس 2 - ایکس 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

مختصات توصیف جامعی از بردار را ارائه می دهند، زیرا می توان خود بردار را با استفاده از مختصات ساخت. با دانستن مختصات، محاسبه و محاسبه آسان است طول برداری. (ملاک 3 در زیر).

ویژگی های مختصات برداری

1. هر بردارهای مساویدر یک سیستم مختصات واحد دارند مختصات مساوی.

2. مختصات بردارهای خطیمتناسب. به شرطی که هیچ یک از بردارها صفر نباشد.

3. مجذور طول هر بردار با مجموع مجذورات آن برابر است مختصات.

4- در حین جراحی ضرب برداریبر عدد واقعیهر یک از مختصات آن در این عدد ضرب می شود.

5. هنگام جمع بردارها، مجموع بردارها را محاسبه می کنیم مختصات برداری.

6. حاصلضرب عددیدو بردار برابر است با مجموع حاصل ضرب مختصات متناظر آنها.