"تصمیم معادلات منطقی کسری". معادلات منطقی

T. Kosyakova،
مدرسه n 80، krasnodar

راه حل معادلات منطقی مربع و کسری شامل پارامترها

درس 4

درس تم:

هدف از درس:تشکیل توانایی حل معادلات منطقی قطعی حاوی پارامترها.

نوع درس: مقدمه مواد جدید

1. (به صورت خوراکی) تصمیم بگیرید معادلات:

مثال 1. معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری

مقادیر نامعتبر را پیدا کنید آ.:

پاسخ. اگر یک اگر یک آ. = – 19 ، بدون ریشه

مثال 2. معادله را تعیین کنید

تصمیم گیری

مقادیر پارامتر نامعتبر را پیدا کنید آ. :

10 – آ. = 5, آ. = 5;

10 – آ. = آ., آ. = 5.

پاسخ. اگر یک آ. = 5 آ. № 5 T. x \u003d 10- آ. .

مثال 3. تحت چه مقدار پارامتر ب معادله این دارد:

الف) دو ریشه؛ ب) تنها ریشه؟

تصمیم گیری

1) مقادیر پارامتر نامعتبر را پیدا کنید ب :

x \u003d. ب, ب 2 (ب 2 – 1) – 2ب 3 + ب 2 = 0, ب 4 – 2ب 3 = 0,
ب \u003d 0 یا ب = 2;
x \u003d 2، 4 ( ب 2 – 1) – 4ب 2 + ب 2 = 0, ب 2 – 4 = 0, (ب – 2)(ب + 2) = 0,
ب \u003d 2 یا ب = – 2.

2) معادله راه حل x 2 ( ب 2 – 1) – 2ب 2 x +. ب 2 = 0:

d \u003d 4 ب 4 – 4ب 2 (ب 2 - 1)، D \u003d 4 ب 2 .

ولی)

به استثنای مقادیر پارامترهای نامعتبر ب ، ما به دست می آوریم که معادله دو ریشه دارد ب № – 2, ب № – 1, ب № 0, ب № 1, ب № 2 .

ب) 4ب 2 = 0, ب = 0, اما این یک مقدار نامعتبر از پارامتر است ب ؛ اگر یک ب 2 –1=0 ، به عنوان مثال ب=1 یا.

پاسخ: الف) اگر ب № –2 , ب № –1, ب № 0, ب № 1, ب № 2 , سپس دو ریشه؛ ب) اگر ب=1 یا b \u003d -1. ، سپس تنها ریشه.

کار مستقل

انتخاب 1

معادلات را انتخاب کنید:

گزینه 2.

معادلات را انتخاب کنید:

پاسخ

در 1. چه می شود اگر آ.=3 ، بدون ریشه؛ اگر یک ب) اگر اگر آ. № 2 ، بدون ریشه

در 2 اگر یک آ.=2 ، بدون ریشه؛ اگر یک آ.=0 ، بدون ریشه؛ اگر یک
ب) اگر آ.=– 1 معادله معنای آن را از دست می دهد؛ اگر هیچ ریشه ای وجود ندارد
اگر یک

وظیفه در خانه

معادلات را انتخاب کنید:

پاسخ ها: الف) اگر آ. № –2 T. x \u003d. آ. ؛ اگر یک آ.=–2 ، پس هیچ راه حل وجود ندارد ب) اگر آ. № –2 T. x \u003d 2 ؛ اگر یک آ.=–2 ، پس هیچ راه حل وجود ندارد ج) اگر آ.=–2 T. ایکس. - هر عدد به جز 3 ؛ اگر یک آ. № –2 T. x \u003d 2 ؛ د) اگر آ.=–8 ، بدون ریشه؛ اگر یک آ.=2 ، بدون ریشه؛ اگر یک

درس 5

درس تم: "راه حل معادلات منطقی کسری حاوی پارامترها".

اهداف درس:

یادگیری برای حل معادلات با شرایط غیر استاندارد؛
به طور آگاهانه دانشجویان مفاهیم جبری و ارتباطات بین آنها را جذب می کند.

نوع درس: سیستماتیک و تعمیم ها.

تکالیف خود را بررسی کنید

مثال 1. معادله را تعیین کنید

a) نسبت به x؛ ب) نسبت به y.

تصمیم گیری

الف) ارزش های غیر قابل قبول را پیدا کنید y.: y \u003d 0، x \u003d y، y 2 \u003d y 2 -2Y,

y \u003d 0 - مقدار نامعتبر پارامتر Y..

اگر یک y.№ 0 T. x \u003d y-2 ؛ اگر یک y \u003d 0 ، معادله معنای آن را از دست می دهد.

ب) ما مقادیر پارامتر نامعتبر را پیدا خواهیم کرد ایکس.: y \u003d x، 2x-x 2 + x 2 \u003d 0، x \u003d 0 - مقدار نامعتبر پارامتر ایکس.; y (2 + x-y) \u003d 0، y \u003d 0 یا y \u003d 2 + x؛

y \u003d 0 شرایط را برآورده نمی کند y (y-x)№ 0 .

پاسخ: الف) اگر y \u003d 0 معادله معنای آن را از دست می دهد؛ اگر یک y.№ 0 T. x \u003d y-2 ؛ ب) اگر x \u003d 0 ایکس.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

مثال 2. در چه مقادیر پارامتر ریشه های معادله متعلق به شکاف است

d \u003d (3 آ. + 2) 2 – 4آ.(آ. + 1) · 2 \u003d 9 آ. 2 + 12آ. + 4 – 8آ. 2 – 8آ.,

d \u003d ( آ. + 2) 2 .

اگر یک آ. № 0 یا آ. № – 1 T.

پاسخ: 5 .

مثال 3. پیدا کردن نسبتا ایکس. راه حل های معادله

پاسخ. اگر یک y \u003d 0 ، معادله معنی ندارد؛ اگر یک y \u003d -1. T. ایکس. - هر عدد صحیح غیر از صفر؛ اگر یک y № 0، y № 1، من هیچ راه حل ندارم

مثال 4 معادله را تعیین کنید با پارامترها آ. و ب .

اگر یک آ.№ - ب T.

پاسخ. اگر یک a \u003d.0 یا b \u003d.0 معادله معنای آن را از دست می دهد؛ اگر یک آ.№ 0، B.№ 0، a \u003d -b T. ایکس. - هر عدد به جز صفر؛ اگر یک آ.№ 0، B.№ 0، A.№ -b، که x \u003d -A، x \u003d -b .

مثال 5. ثابت کنید که با هر مقدار پارامتر N، متفاوت از صفر، معادله تنها ریشه برابر است - n. .

تصمیم گیری

i.E. x \u003d -n. به عنوان مورد نیاز برای اثبات

وظیفه در خانه

1. راه حل های کل معادله را پیدا کنید

2. در چه مقادیر پارامتر c. معادله این دارد:
الف) دو ریشه؛ ب) تنها ریشه؟

3. تمام ریشه های معادله را پیدا کنید اگر یک آ.در باره n. .

4. معادله را تعیین کنید 3XY - 5X + 5Y \u003d 7:الف) درباره y. ؛ ب) درباره ایکس. .

1. معادله هر عدد صحیح برابر با مقادیر برابر X و Y غیر از صفر را برآورده می کند.
2. a) زمانی که
ب) در یا
3. – 12; – 9; 0 .
الف) اگر ریشه ها نیستند؛ اگر یک
ب) اگر ریشه وجود ندارد؛ اگر یک

تست

انتخاب 1

1. تعیین نوع معادله 7C (C + 3) X 2 + (C-2) X-8 \u003d 0 با یک) c \u003d -3. ؛ ب) C \u003d 2؛ که در) c \u003d 4 .

2. معادله را تعیین کنید: الف) x 2 -bx \u003d 0؛ ب) cX 2 -6x + 1 \u003d 0 ؛ که در)

3. معادله را تعیین کنید 3x-xy-2y \u003d 1:

الف) درباره ایکس. ;
ب) درباره y. .

nx 2 - 26x + n \u003d 0، دانستن این که پارامتر N تنها مقادیر عدد صحیح را می گیرد.

5. تحت معادله ارزش B این دارد:

الف) دو ریشه؛
ب) تنها ریشه؟

گزینه 2.

1. تعیین نوع معادله 5C (C + 4) X 2 + (C-7) X + 7 \u003d 0 با یک) c \u003d -4؛ ب) c \u003d 7؛ که در) c \u003d 1 .

2. معادله را تعیین کنید: الف) y 2 + cy \u003d 0؛ ب) ny 2 -8y + 2 \u003d 0؛ که در)

3. معادله را تعیین کنید 6x-xy + 2Y \u003d 5:

الف) درباره ایکس. ;
ب) درباره y. .

4. معادله کل ریشه را پیدا کنید nx 2 -22x + 2n \u003d 0، دانستن این که پارامتر N تنها مقادیر عدد صحیح را می گیرد.

5. در چه مقادیر پارامتر معادله این دارد:

الف) دو ریشه؛
ب) تنها ریشه؟

پاسخ

در 1. 1. الف) معادله خطی؛
ب) معادله مربع ناقص؛ ج) معادله مربع
2. a) اگر b \u003d 0. T. x \u003d 0 ؛ اگر یک ب ... T. x \u003d 0، x \u003d b;
ب) اگر یک cO (9؛ + ґ) ، بدون ریشه؛
ج) اگر آ.=–4 معادله معنای آن را از دست می دهد؛ اگر یک آ.№ –4 T. x \u003d - آ. .
3. a) اگر y \u003d 3 ، بدون ریشه؛ اگر یک)؛
ب) آ.=–3, آ.=1.

وظایف اضافی

معادلات را انتخاب کنید:

ادبیات

1. Golubev V.I.، Goldman A.M.، Dorofeyev G.V. درباره پارامترها از همان ابتدا. - مدرس، شماره 2/1991، ص. 3-13.
2. Gronostein P.I.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. پیش نیازها در وظایف با پارامترها. - کم، شماره 11/1991، ص. 44-49.
3. Dorofeyev G.V.، Zatakai V.V. وظایف حلحاوی پارامترها قسمت دوم 2 - M.، چشم انداز، 1990، ص. 2-38.
4. Tynyakin S.A. پنج صد و چهارده وظایف با پارامترها. - Volgograd، 1991.
5. Yarstresicky G.A. وظایف با پارامترها. - M.، روشنگری، 1986.

معادلات کسری فرد

توجه!
این موضوع اضافی دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که قوی هستند "خیلی ..."
و برای کسانی که "بسیار ...")

ما همچنان به معادلات را بررسی می کنیم. ما در حال حاضر از چگونگی کار با معادلات خطی و مربع آگاهیم. آخرین دیدگاه باقی مانده است - معادلات کسری. یا آنها نیز بسیار جامد تر هستند - معادلات منطقی کسری. این همان است.

معادلات کسری

همانطور که به وضوح از نام، کسرها لزوما در این معادلات حضور دارند. اما نه فقط یک کسری، و فریتی که دارند ناشناخته در نامزدی. حداقل در یک. مثلا:

اجازه بدهید به شما یادآوری کنم اگر فقط در مخازن شمارهاین معادلات خطی هستند.

چگونه تصمیم بگیرد معادلات کسری؟ اول از همه - خلاص شدن از شر قطعات! پس از آن، معادله اغلب به خطی یا مربع تبدیل می شود. و سپس ما می دانیم چه باید بکنیم ... در بعضی موارد می توانید به هویت تبدیل شوید، نوع 5 \u003d 5 یا یک عبارت نادرست را تایپ کنید، نوع 7 \u003d 2. اما به ندرت اتفاق می افتد در زیر من در مورد آن صحبت می کنم.

اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ بسیار ساده. اعمال تمام تبدیل هویت همان.

ما باید تمام معادله را برای همان بیان چند برابر کنیم. به طوری که همه نامزدها آرام هستند! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. من در مثال توضیح می دهم اجازه دهید ما نیاز به حل معادله:

چگونه در نمرات جوان یاد گرفتید؟ ما همه چیز را در یک جهت حمل می کنیم، منجر به یک معیار مشترک و غیره می شود. فراموش کنید که یک رویای وحشتناک! بنابراین شما باید زمانی که شما عبارات کسر می کنید، باید انجام دهید. یا کار با نابرابری ها. و در معادلات، ما بلافاصله هر دو بخش را بر روی بیان بیان می کنیم که به ما فرصتی می دهد تا تمامی نامزدها را کاهش دهد (یعنی اساسا در مورد معادله عمومی). و این عبارت چیست؟

در قسمت چپ برای کاهش مخارج، ضرب مورد نیاز است x + 2. . و در سمت راست ضرب مورد نیاز 2. بنابراین، معادله باید ضرب شود 2 (X + 2). تکثیر کردن:

این ضرب معمول از کسری است، اما من جزئیات را خواهم نوشت:

توجه داشته باشید، من هنوز براکت را نشان نمی دهم (x + 2)! بنابراین، من به طور کامل نوشتم:

در سمت چپ به طور کامل کاهش می یابد (x + 2)، و در سمت راست 2. چه مورد نیاز بود! پس از برش، ما دریافت می کنیم خطی معادله:

و این معادله قبلا تصمیم می گیرد هر کسی را انتخاب کند! x \u003d 2.

من یک مثال دیگر تصمیم می گیرم، کمی پیچیده تر است:

اگر به یاد داشته باشید که 3 \u003d 3/1، و 2x \u003d 2x /1، شما می توانید بنویسید:

و دوباره ما از آنچه که ما واقعا دوست نداریم خلاص شویم - از فراکسیون ها.

ما می بینیم که برای کاهش مخزن با XA، شما باید کسری را افزایش دهید (x - 2). و واحدهای ما دخالت نمی کنیم. خوب، ضرب همه قسمت چپ اول همه قسمت راست:

براکت های بالا (x - 2) من نمی فهمم من با یک براکت به طور کلی کار می کنم، مثل اینکه یک عدد است! بنابراین شما همیشه باید انجام دهید، در غیر این صورت هیچ چیز کاهش نخواهد یافت.

با احساس رضایت عمیق کاهش می یابد (x - 2) و ما معادله را بدون هیچ گونه کسری، در Lineshek دریافت می کنیم!

اما حالا ما قبلا براکت ها را نشان می دهیم:

ما این چیزها را می دهیم، همه چیز را به سمت چپ انتقال می دهیم و ما دریافت می کنیم:

اما قبل از یادگیری وظایف دیگر برای تصمیم گیری. درصد. این رقیب بیشتر، به هر حال!

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من یک زن و شوهر دیگر از سایت های جالب برای شما دارم.)

این را می توان در حل نمونه ها قابل دسترسی و پیدا کردن سطح خود را. تست با بررسی فوری یادگیری - با علاقه!)

شما می توانید با ویژگی ها و مشتقات آشنا شوید.

"تصمیم معادلات منطقی کسری"

اهداف درس:

آموزشی:

شکل گیری مفهوم معادله منطقی کسری؛ راه های مختلفی را برای حل معادلات منطقی تقسیم بندی در نظر بگیرید؛ الگوریتم را برای حل معادلات منطقی قطعی، از جمله شرایط برابری کسری از صفر در نظر بگیرید؛ آموزش راه حل های معادلات منطقی کسری در الگوریتم؛ با انجام کار تست، سطح جذب موضوع را بررسی کنید.

در حال توسعه:

توسعه توانایی به درستی کار دانش به دست آمده، به لحاظ منطقی فکر می کنم؛ توسعه مهارت های فکری و عملیات ذهنی - تجزیه و تحلیل، سنتز، مقایسه و تعمیم؛ توسعه ابتکار عمل، توانایی تصمیم گیری، نه به دست آوردن به دست آوردن؛ توسعه تفکر انتقادی؛ توسعه مهارت های تحقیقاتی.

بالا بردن:

وظیفه

نوع درس: درس - توضیح مواد جدید.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

سلام بچه ها! در هیئت مدیره آنها معادلات را نوشتند. به دقت نگاه کنید. آیا شما قادر به حل همه این معادلات هستید؟ چه خبر و چرا؟

معادلات که در آن بخش چپ و راست، عبارات منطقی کسری است، معادلات منطقی قطعی نامیده می شود. فکر میکنی امروز ما در درس یاد خواهیم گرفت؟ کلمه موضوع درس. بنابراین، ما نوت بوک را باز می کنیم و موضوع درس "تصمیم گیری معادلات منطقی کسری" را بنویسیم.

2. تحقق دانش بررسی پیشانی، کار دهان و دندان با کلاس.

و اکنون ما مواد نظری اصلی را که شما باید مطالعه کنید، تکرار کنید موضوع جدید. لطفا به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. معادله چیست؟ ( برابری با متغیر یا متغیر.)

2. نام معادله شماره 1 چیست؟ ( خطیالف) یک روش برای حل معادلات خطی. ( همه با ناشناخته برای انتقال به قسمت چپ معادله، تمام اعداد درست هستند. اجزای مشابه را ایجاد کنید. چند ضلعی ناشناخته پیدا کنید).

3. نام معادله شماره 3 چیست؟ ( مربع.) روش های حل معادلات مربع. ( انتخاب یک مربع کامل، با توجه به فرمول ها با استفاده از قضیه ویتا و پیامدهای آن.)

4. نسبت چیست؟ ( برابری دو روابط.) نسبت اموال اساسی ( اگر این نسبت درست باشد، محصول اعضای افراطی آن برابر با محصول اعضای رسانه ای است.)

5. چه خواص در هنگام حل معادلات استفاده می شود؟ ( 1. اگر در معادله برای انتقال اصطلاح از یک بخش به دیگری، تغییر علامت آن را تغییر دهید، معادله معادل آن است. 2. اگر هر دو بخش از معادله ضرب یا تقسیم به یک و همان تعداد متفاوت از صفر، معادله معادل این است.)

6. هنگامی که کسری صفر است؟ ( کسری صفر است زمانی که عدد صفر صفر است، و نامزدی صفر نیست.)

3. توضیح مواد جدید.

حل در نوت بوک و در معادله هیئت مدیره شماره 2.

پاسخ: 10.

چه معادله منطقی منطقی را می توان سعی کرد تصمیم به تصمیم گیری با استفاده از ویژگی اساسی نسبت؟ (شماره 5).

(x - 2) (x-4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 \u003d x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

حل در نوت بوک و در معادله هیئت مدیره شماره 4.

پاسخ: 1,5.

چه نوع معادله منطقی قطعی را می توان سعی کرد حل کند، هر دو بخش از معادله را در مورد نامزدی ضرب کنید؟ (شماره 6).

d \u003d 1\u003e 0، x1 \u003d 3، x2 \u003d 4.

پاسخ: 3;4.

حالا سعی کنید معادله شماره 7 را در یکی از راه ها حل کنید.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -m (x-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2x-5-x-5 \u003d 0
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

پاسخ: 0;5;-2.			پاسخ: 5;-2.

توضیح دهید که چرا این اتفاق افتاد؟ چرا در یک مورد سه ریشه، در دیگری - دو؟ کدام عدد ریشه های این معادله منطقی کسری است؟

تا کنون، دانش آموزان با مفهوم یک ریشه بیرونی مواجه نشدند، آنها واقعا بسیار دشوار است که بدانیم چرا این اتفاق افتاد. اگر هیچ کس نمیتواند توضیح روشن برای این وضعیت را در کلاس درس ارائه دهد، معلم از سوالات پیشرو سوال می کند.

در معادلات شماره 2 و 4 در شماره جانباز، شماره 5-7 - عبارات با متغیر

مقدار متغیر که معادله به برابری مناسب پاسخ می دهد

چک کردن

هنگام بررسی، برخی از دانش آموزان متوجه می شوند که شما باید به صفر تقسیم کنید. آنها نتیجه می گیرند که تعداد 0 و 5 ریشه این معادله نیستند. سوال مطرح می شود: آیا راهی برای حل معادلات منطقی کسری وجود دارد، اجازه می دهد این خطا را حذف کند؟ بله، این روش بر اساس شرایط برابری کسری صفر است.

x2-3x-10 \u003d 0، d \u003d 49، x1 \u003d 5، x2 \u003d -2.

اگر x \u003d 5، x (x-5) \u003d 0، سپس یک ریشه 5-خارجی.

اگر x \u003d -2، سپس x (x-5) ≠ 0.

پاسخ: -2.

بیایید سعی کنیم الگوریتم را برای حل معادلات منطقی قطعی با استفاده از این روش فرموله کنیم. کودکان خود یک الگوریتم را تشکیل می دهند.

الگوریتم برای حل معادلات منطقی قطعی:

1. برای انتقال همه چیز به سمت چپ.

2. یک کسری را برای یک نامزد مشترک ایجاد کنید.

3. یک سیستم را ایجاد کنید: کسری صفر است، زمانی که عدد صفر صفر است و نامزدی صفر نیست.

4. حل معادله.

5. بررسی نابرابری برای از بین بردن ریشه های خارجی.

6. پاسخ را ثبت کنید.

بحث: نحوه ایجاد یک راه حل اگر مالکیت اصلی نسبت و ضرب هر دو بخش از معادله در معادله کلی استفاده شود. (برای اضافه کردن یک تصمیم: برای حذف از ریشه های آن، آنهایی که به صفر تبدیل به یک معیار مشترک تبدیل می شوند).

4. درک اولیه از مواد جدید.

کار در جفت دانش آموزان روش حل معادله خود را بسته به نوع معادله انتخاب می کنند. وظایف کتاب درسی "جبر 8"، 2007: £ 000 (B، B، و)؛ № 000 (a، d، g). معلم کنترل این کار را کنترل می کند، به مسائلی که در حال وقوع بوده اند پاسخ می دهند، به دانش آموزان ضعیف صحبت می کنند. خود تست: پاسخ ها در هیئت مدیره نوشته شده است.

ب) 2 - یک ریشه بیرونی. پاسخ: 3

ج) 2 - ریشه بیرونی. پاسخ: 1.5.

الف) پاسخ: -12.5.

g) پاسخ: 1؛ 1.5.

5. دست زدن به تکالیف.

2. برای یادگیری الگوریتم برای حل معادلات منطقی کسری.

3. حل در دفترچه یادداشت № 000 (a، g، d)؛ № 000 (g، h).

4. سعی کنید به № 000 (a) (اختیاری) حل کنید.

6. انجام وظیفه کنترل در مورد موضوع مورد مطالعه.

کار بر روی برگ انجام می شود.

یک مثال از کار:

الف) کدام معادلات منطقی منطقی هستند؟

ب) کسری صفر است، زمانی که عددی _______________________ و نامزدی _______________________.

ج) عدد -3 ریشه شماره معادله 6 است؟

د) حل معادله شماره 7.

معیارهای ارزیابی وظیفه:

اگر دانش آموز بیش از 90 درصد از این کار را انجام داده است، "5" قرار داده شده است. "4" - 75٪ -89٪ "3" - 50٪ -74٪ "2" توسط یک دانش آموز که کمتر از 50٪ از این کار را تکمیل کرده است، مطرح شده است. رتبه بندی 2 سیاهههای مربوط به قرار دادن نیست، 3 - در اراده.

7. انعکاس

در برگ با کار مستقل، محل:

1 - اگر شما علاقه مند به درس و قابل فهم هستید؛ 2 - جالب اما قابل فهم نیست 3 - جالب نیست، اما قابل فهم است؛ 4 - جالب نیست، روشن نیست.

8. خلاصه درس.

بنابراین، امروز در درس، ما با معادلات منطقی کسری مواجه شدیم، یاد گرفتم که چگونه این معادلات را به روش های مختلف حل کنیم، دانش ما را با استفاده از تدریس بررسی کردیم کار مستقل. نتایج کار مستقل شما در درس بعدی یاد خواهید گرفت، شما فرصتی برای تثبیت دانش به دست آمده خواهید داشت.

چه روش حل معادلات منطقی قطعی، به نظر شما، ساده تر، مقرون به صرفه، منطقی است؟ نه بسته به روش حل معادلات منطقی کسری، چه باید فراموش نکنم؟ "حیله گر" معادلات منطقی کسری چیست؟

با تشکر از همه شما، درس تمام شده است.

معادلات با کسری ها دشوار و بسیار جالب نیستند. دیدگاه ها را در نظر بگیرید معادلات کسری و چگونگی حل آنها.

نحوه حل معادلات با فراکسیون ها - x در یک عددی

در صورتی که یک معادله کسری داده شده است، جایی که ناشناخته در یک عدد است، راه حل نیاز به شرایط اضافی ندارد و بدون مشکل غیر ضروری حل می شود. فرم عمومی چنین معادله ای X / A + B \u003d C است، جایی که X ناشناخته است، A، B و C - عدد عادی است.

پیدا کردن X: X / 5 + 10 \u003d 70.

به منظور حل معادله، شما باید از شر کسری خلاص شوید. ضرب هر عضو از معادله 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x و 5 کاهش می یابد، 10 و 70 با 5 ضرب می شوند و ما دریافت می کنیم: X + 50 \u003d 350 \u003d\u003e X \u003d 350 - 50 \u003d 300.

X: X / 5 + X / 10 \u003d 90 را پیدا کنید.

این مثال یک نسخه کمی پیچیده از اول است. دو گزینه راه حل وجود دارد.

گزینه 1: خلاص شدن از شر قطعات، ضرب همه اعضای معادله برای یک معادله بزرگتر، یعنی 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + x \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300
گزینه 2: ما قسمت چپ معادله را می گیریم. x / 5 + x / 10 \u003d 90. مخرج مشترک - 10. 10 ما در 5 تقسیم شده، ضرب در X، ما 2x دریافت می کنیم. 10 ما در 10 تقسیم می کنیم، ما در X ضرب می کنیم، ما X را دریافت می کنیم X: 2X + X / 10 \u003d 90. از این رو 2x + x \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

اغلب معادلات کسری وجود دارد که در آن Xers در طرف های مختلف علامت برابر است. در چنین وضعیتی، لازم است تمام کسرها را با حفره ها در یک جهت و تعداد به دیگری انتقال دهیم.

پیدا کردن X: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
ما 2x / 5 را به سمت راست با علامت مخالف حمل می کنیم: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
کاهش 5x / 5 و دریافت: x \u003d 130.

چگونه می توان معادله را با فراکسیون ها حل کرد - X در نامزدی

این نوع معادلات کسری نیاز به ثبت شرایط اضافی دارد. مشخص کردن این شرایط بخشی اجباری و انتگرال از تصمیم درست است. بدون اینکه آنها را کم ارتباطی داشته باشید، از زمان پاسخ (حتی اگر درست باشد) ممکن است به سادگی شمارش شود.

فرم کلی معادلات کسری، جایی که X در نامزدی قرار دارد، فرم دارد: A / X + B \u003d C، جایی که X ناشناخته است، A، B، C - عدد عادی است. لطفا توجه داشته باشید که X هیچ عدد نیست به عنوان مثال، X نمی تواند صفر باشد، زیرا غیرممکن است که بر روی 0 تقسیم شود. این وضعیت اضافی است که باید نشان دهیم. این یک منطقه از مقادیر مجاز، اختصار - OTZ نامیده می شود.

پیدا کردن X: 15 / X + 18 \u003d 21.

بلافاصله OTZ را برای X: x ≠ 0. بنویسید که ODB مشخص شده است، معادله را با توجه به طرح استاندارد حل کنید، خلاص شدن از شر کسرها. همه اعضای معادله x را ضرب کنید. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 15/3 \u003d 5.

اغلب معادلات وجود دارد که در آن جانشین نه تنها X نیست، بلکه برخی از اقدامات با آن، مانند افزودن یا تفریق نیز وجود دارد.

پیدا کردن X: 15 / (X-3) + 18 \u003d 21.

ما قبلا می دانیم که مخزن نمی تواند صفر باشد، یعنی x-3 ≠ 0. انتقال -3 به سمت راست، تغییر علامت "-" در "+" و ما دریافت x ≠ 3. OTZ نشان داده شده است.

ما معادله را حل می کنیم، همه چیز را بر روی X-3 1+ می کنیم: 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

ما خودمان را به سمت راست حمل می کنیم، شماره به سمت چپ: 24 \u003d 3x \u003d\u003e x \u003d 8.

ارائه و درس در موضوع: "معادلات منطقی. الگوریتم و نمونه هایی از حل معادلات منطقی"

مواد اضافی
کاربران عزیز، فراموش نکنید که نظرات، بررسی ها، خواسته های خود را ترک کنید! همه مواد توسط برنامه آنتی ویروس بررسی می شوند.

راهنمای آموزش و شبیه ساز در فروشگاه آنلاین "انتگرال" برای درجه 8
راهنمای کتابچه راهنمای کتاب Makarycheva Yu.N. کتابچه راهنمای کتابچه راهنمای کتابخانه Mordkovich A.G.

آشنایی با معادلات غیر منطقی

بچه ها، ما آموخته ایم که تصمیم بگیرند معادلات درجه دوم. اما ریاضیات به آنها محدود نمی شود. امروز ما یاد خواهیم گرفت که معادلات منطقی را حل کنیم. مفهوم معادلات منطقی عمدتا شبیه به مفهوم اعداد عقلانی است. فقط علاوه بر اعداد در حال حاضر ما یک متغیر خاص $ x $ داریم. و بنابراین ما بیان می کنیم که در آن عملیات علاوه بر این، تفریق، ضرب، تقسیم و ساخت یک سطح کامل وجود دارد.

اجازه دهید $ R (x) $ باشد بیان منطقی. چنین بیان ممکن است یک چندجملهای ساده از متغیر $ x $ یا نسبت چند جمله ای باشد (عملیات تقسیم به عنوان اعداد منطقی معرفی شده است).
معادله $ R (x) \u003d 0 $ نامیده می شود معادله منطقی.
هر معادله نوع $ p (x) \u003d q (x) $، که در آن $ p $ p (x) $ و $ q (x) $ عبارات منطقی است، همچنین خواهد بود معادله منطقی.

نمونه هایی از حل معادلات منطقی را در نظر بگیرید.

مثال 1
حل معادله: $ \\ frac (5x-3) (x-3) \u003d \\ frac (2x-3) (x) $.

تصمیم گیری
ما تمام عبارات را به سمت چپ انتقال می دهیم: $ \\ frac (5x-3) (x-3) - \\ frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
اگر تعداد متعارف در سمت چپ معادله ارائه شده بود، ما دو بخش را به یک معادله مشترک هدایت کردیم.
بیایید این کار را انجام دهیم و انجام دهیم: $ \\ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - \\ frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) ) * x) \u003d \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
معادله به دست آمد: $ \\ frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

کسری صفر است، سپس و تنها اگر عددی کسر صفر باشد، و نامزدی از صفر متفاوت است. سپس عددی را به صورت جداگانه انتخاب کنید و ریشه های عددی را پیدا کنید.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ یا $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ x_ (1،2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (4-3)))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1؛ -3 $.
در حال حاضر denemote denoter را بررسی کنید: $ (x-3) * x ≠ $ 0.
محصول دو عدد صفر است، زمانی که حداقل یکی از این اعداد صفر است. سپس: $ x ≠ 0 $ یا $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ $ 0 یا $ x ≠ $ 3.
ریشه های به دست آمده در عددی و نامزدی هماهنگ نیستند. بنابراین در پاسخ، ما هر دو ریشه از عددی را نوشتیم.
پاسخ: $ x \u003d 1 $ یا $ x \u003d -3 $.

اگر ناگهان، یکی از ریشه های عددی با ریشه نامزدی همزمان بود، باید آن را حذف کرد. چنین ریشه ها بیگانگان نامیده می شوند!

الگوریتم برای حل معادلات منطقی:

1. تمام عبارات موجود در معادله به سمت چپ علامت برابر منتقل می شود.
2. این بخش از معادله را تغییر دهید جبری Fraci: $ \\ frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. برای معادله عددی حاصل به صفر، یعنی، برای حل معادله $ p (x) \u003d 0 $.
4. معادله معادله به صفر و حل معادله به دست آمده را حل کنید. اگر ریشه های نامزدی با ریشه های عددی همزمان شوند، باید از پاسخ آنها محروم شوند.

مثال 2
معادله را تعیین کنید: $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) \u003d \\ frac (6) (x ^ 2-1) $.

تصمیم گیری
من تصمیم می گیرم با توجه به نقاط الگوریتم.
1. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ \\ frac (3x) (x - 1) + \\ frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x ^ 2-1) \u003d \\ frac (3x) (x - 1) + \\ Frac (4) (x + 1) - \\ frac (6) (x + 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) ((x -1) (x + 1)) \u003d $ \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d \\ frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ \\ frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. ما عددی را به صفر تقسیم می کنیم: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ x_ (1،2) \u003d \\ frac (-7 ± \\ sqrt (49-4 * 3 * (- 10))) (6) \u003d \\ frac (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 \\ frac ( 1) (3)؛ $ 1.
4. ما عددی را به صفر تقسیم می کنیم:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ و $ x \u003d -1 $ $.
یکی از ریشه های $ x \u003d $ 1 با ریشه از عددی همزمان بود، پس ما آن را در پاسخ نگوییم.
پاسخ: $ x \u003d -1 $.

این مناسب برای حل معادلات منطقی با استفاده از روش جایگزینی متغیر است. بیایید آن را نشان دهیم

مثال 3
حل معادله: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

تصمیم گیری
ما یک جایگزین را معرفی می کنیم: $ t \u003d x ^ ^ 2 دلار.
سپس معادله ما فرم را می گیرد:
$ t ^ 2 + 12t-64 \u003d 0 $ معادله مربع متعارف است.
$ T_ (1،2) \u003d \\ frac (-12 ± \\ sqrt (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) \u003d \\ frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16؛ 4 دلار
ما یک جایگزین معکوس را معرفی می کنیم: $ x ^ 2 \u003d 4 $ یا $ x ^ 2 \u003d -16 $.
ریشه های معادله اول یک جفت عدد $ x \u003d ± 2 دلار است. دوم - ریشه ندارد
پاسخ: $ x \u003d ± 2 دلار.

مثال 4
حل معادله: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d \\ frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
تصمیم گیری
ما یک متغیر جدید را معرفی می کنیم: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
سپس معادله فرم را به دست آورد: $ t \u003d \\ frac (15) (t + 2) $.
ما بیشتر در الگوریتم عمل خواهیم کرد.
1. $ t- \\ frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ \\ FRAC (T ^ 2 + 2T-15) (T + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 \u003d 0 $.
$ t_ (1،2) \u003d \\ frac (-2 ± \\ sqrt (4-4 * (4-5))) (2) \u003d \\ frac (-2 ± ± \\ sqrt (64)) (2) \u003d \\ frac ( -2 ± 8) (2) \u003d - 5؛ 3 دلار
4. $ t ≠ -2 $ - ریشه ها مطابقت ندارند.
ما یک جایگزین معکوس را معرفی می کنیم.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
اجازه دهید هر معادله به طور جداگانه:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ x_ (1،2) \u003d \\ frac (-1 ± ± \\ sqrt (1-4 * (- 6))) (2) \u003d \\ frac (-1 ± ± \\ sqrt (-23)) (2) $ - نه ریشه ها
و معادله دوم: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
ریشه های این معادله شماره $ x \u003d -2 $ و $ x \u003d 1 $ خواهد بود.
پاسخ: $ x \u003d -2 $ و $ x \u003d 1 $.

مثال 5
حل معادله: $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) + x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 4.

تصمیم گیری
ما جایگزین را معرفی می کنیم: $ t \u003d x + \\ frac (1) (x) $.
سپس:
$ t ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) $ یا $ x ^ 2 + \\ frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
معادله دریافت شده: $ t ^ 2-2 + t \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
ریشه های این معادله یک زن و شوهر است:
$ t \u003d -3 $ و $ t \u003d $ 2.
ما جایگزین معکوس را معرفی می کنیم:
$ x + \\ frac (1) (x) \u003d - 3 دلار.
$ x + \\ frac (1) (x) \u003d $ 2.
ما به طور جداگانه تصمیم می گیریم
$ x + \\ frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ \\ frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ x_ (1،2) \u003d \\ frac (-3 ± ± \\ sqrt (9-4)) (2) \u003d \\ frac (-3 ± ± \\ sqrt (5)) (2) $.
حل معادله دوم:
$ x + \\ frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ \\ frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ \\ frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
ریشه این معادله شماره $ x \u003d 1 دلار است.
پاسخ: $ x \u003d \\ frac (-3 ± \\ sqrt (5)) (2) $، $ x \u003d 1 $.

وظایف برای راه حل های خود

حل معادلات:

1. $ \\ frac (3x + 2) (x) \u003d \\ frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ \\ frac (5x) (x + 2) - \\ frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d \\ frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d \\ frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (X + 2) (X + 3) (X + 4) (X + 5) \u003d 3 دلار.