نحوه انجام اعمال با کسرهای معمولی. ریاضی: اعمال با کسر
1. جمع و تفریق کسرها با مخرج یکسان
هنگام افزودن کسری با مخرج یکسان ، شمارنده ها جمع می شوند و
هنگام کسر کسری با مخرج یکسان ، عدد کسر دوم از عدد کسر اول کم می شود و مخرج یکسان باقی می ماند
مثال ها:آ) ؛ ب) 
2. جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف
برای اضافه کردن (تفریق) کسری با مخرج های مختلف ، به موارد زیر نیاز دارید:
این کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید
کسرهای حاصل را اضافه کنید (تفریق کنید) (مانند بند 1)
مثال ها:آ) 
؛ ب) 
3. جمع و تفریق اعداد مختلط
برای افزودن اعداد مختلط به موارد زیر نیاز دارید:
بخشهای کسری این اعداد را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید.
جداگانه افزودن کل قطعات و جداگانه قسمت های کسری را انجام دهید. اگر هنگام افزودن قسمت های کسری ، کسری نادرست به دست آوردید ، کل قسمت را از این کسر انتخاب کنید و آن را به کل قسمت حاصله اضافه کنید.
مثال ها:آ) 
؛ ب) 
برای تفریق اعداد مختلط ، باید:
بخشهای کسری این اعداد را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید. اگر بخش کسری یکی کاهش یافته کمتر از بخش کسری کسر شده است ، آن را به کسری نامنظم تبدیل کنید و کل قسمت را یک به یک کاهش دهید.
به طور جداگانه تفریق کل قطعات و جداگانه اجزای کسری را انجام دهید.
مثال ها:آ) 
؛ ب)
4 ضرب کسرها
آ) برای ضرب کسری در عدد طبیعی ، باید شمارنده آن را در این عدد ضرب کرده و مخرج را بدون تغییر رها کنید
مثال ها: 
ب) برای ضرب کسری در کسر، لازم:
1) حاصل ضرب کننده ها را در شمارنده بنویسید و حاصل ضرب کننده ها را در مخرج ؛
2) کاهش (در صورت امکان) ؛
3) ضرب را انجام دهید
مثال ها:آ) 
؛ ب) 
ج) برای ضرب اعداد مختلط ، باید آنها را به صورت کسرهای نامناسب بنویسید ، و سپس از قانون ضرب کسرها استفاده کنید.
مثال ها:
5 تقسیم کسرها
برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر ، باید سود تقسیمی را در معکوس تقسیم کننده ضرب کنید
اعمال با کسر. در این مقاله نمونه هایی را تجزیه و تحلیل می کنیم ، همه چیز با توضیحات مفصل است. کسرهای معمولی را در نظر خواهیم گرفت. در آینده ، رقم اعشار را نیز تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. توصیه می کنم همه را تماشا کرده و به صورت متوالی مطالعه کنید.
1. مجموع کسرها ، تفاوت کسرها.
قانون: هنگام اضافه کردن کسری با مخرج مساوی ، نتیجه کسری است - مخرج آن یکسان باقی می ماند و عدد آن برابر مجموع شمارنده کسرها خواهد بود.
قانون: هنگام محاسبه تفاوت کسرها با مخرج یکسان ، کسری بدست می آوریم - مخرج یکسان باقی می ماند و عدد دوم از عدد کسر اول کسر می شود.
نماد رسمی مجموع و اختلاف کسرها با مخرج مساوی:
مثالها (1):
واضح است که وقتی کسرهای معمولی داده می شود ، همه چیز ساده است ، اما اگر مخلوط شود؟ هیچ چیز پیچیده ای نیست ...
انتخاب 1- می توانید آنها را به موارد معمولی تبدیل کرده و سپس محاسبه کنید.
گزینه 2- می توانید جداگانه با قسمت های صحیح و کسری "کار" کنید.
مثالها (2):
هنوز:
اگر اختلاف دو کسر مختلط داده شود و شمارنده کسر اول کمتر از شمارنده دوم باشد ، چه؟ همچنین می توانید به دو صورت عمل کنید.
مثالها (3):
* به کسرهای معمولی ترجمه شد ، تفاوت را محاسبه کرد ، کسر نادرست حاصله را به کسر مخلوط تبدیل کرد.
* به دو بخش کامل و کسری تقسیم شد ، سه گانه دریافت کرد ، سپس 3 را به عنوان مجموع 2 و 1 ارائه کرد ، به این ترتیب واحد به عنوان 11/11 ارائه شد ، سپس تفاوت بین 11/11 و 11/7 را پیدا کرد و نتیجه را محاسبه کرد. منظور از تحولات فوق این است که یک واحد را (برجسته) کرده و آن را بصورت کسری با مخرج مورد نیاز خود نشان دهیم ، سپس می توانیم دیگری را از این کسر کم کنیم.
مثالی دیگر:
نتیجه گیری: یک رویکرد جهانی وجود دارد - برای محاسبه مجموع (تفاوت) کسرهای مخلوط با مخرج مساوی ، همیشه می توانید آنها را به نادرست ترجمه کنید ، سپس اقدامات لازم را انجام دهید. پس از آن ، اگر در نتیجه کسری نادرست بدست آوریم ، آن را به کسر مخلوط تبدیل می کنیم.
در بالا ، ما نمونه هایی را با کسرهایی که مخرج برابر دارند بررسی کردیم. اگر مخرج ها متفاوت باشند چه؟ در این حالت ، کسرها به مخرج یکسان کاهش می یابند و عمل مشخص شده انجام می شود. برای تغییر (تبدیل) کسر ، از ویژگی اصلی کسر استفاده می شود.
بیایید چند نمونه ساده را بررسی کنیم:
در این مثالها ، ما بلافاصله می بینیم که چگونه می توان یکی از کسرها را تبدیل کرد تا مخرج مساوی بدست آورد.
اگر راههایی برای کاهش کسرها به یک مخرج تعیین کنیم ، آن کس نامیده می شود روش اول.
یعنی ، بلافاصله هنگام "ارزیابی" کسری ، باید تخمین بزنید که آیا این روش کار می کند یا خیر - ما بررسی می کنیم که آیا مخرج بزرگتر بر کوچکتر تقسیم می شود یا خیر. و اگر تقسیم شود ، ما تبدیل را انجام می دهیم - عدد و مخرج را ضرب می کنیم تا مخرج هر دو کسر مساوی شوند.
حالا به این مثالها نگاه کنید:
این رویکرد در مورد آنها قابل اجرا نیست. همچنین روش هایی برای رساندن کسرها به مخرج مشترک وجود دارد ، آنها را در نظر بگیرید.
روش دوم.
ما عدد و مخرج کسر اول را در مخرج دوم و عدد و مخرج کسر دوم را در مخرج اول ضرب می کنیم:
* در واقع وقتی کسرها برابر می شوند کسرها را به شکل می آوریم. در مرحله بعد ، ما از قانون اضافه کردن پیراهن هایی با مخرج برابر استفاده می کنیم.
مثال:
* این روش را می توان جهانی نامید ، و همیشه کار می کند. تنها اشکال این است که پس از محاسبات ، ممکن است کسری دریافت کنید که باید بیشتر کاهش یابد.
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:
ملاحظه می شود که شمارنده و مخرج بر 5 بخش پذیر هستند:
روش سوم.
کمترین مضرب مشترک (LCM) مخرج را بیابید. این وجه مشترک خواهد بود. این عدد چیست؟ این کوچکترین عدد طبیعی است که بر هر یک از اعداد قابل تقسیم است.
نگاه کنید ، در اینجا دو عدد وجود دارد: 3 و 4 ، تعداد زیادی وجود دارد که بر آنها قابل تقسیم است - اینها 12 ، 24 ، 36 ، ... کوچکترین آنها 12 است. یا 6 و 15 ، آنها بر 30 بخش پذیر هستند ، 60 ، 90 .... کوچکترین 30. س questionال این است - چگونه می توان این مضرب کم مشترک را تعیین کرد؟
یک الگوریتم واضح وجود دارد ، اما اغلب می توان آن را بلافاصله بدون محاسبه انجام داد. به عنوان مثال ، با توجه به مثالهای بالا (3 و 4 ، 6 و 15) ، الگوریتمی لازم نیست ، ما اعداد بزرگ (4 و 15) را گرفتیم و آنها را دو برابر کردیم و دیدیم که آنها بر عدد دوم قابل تقسیم هستند ، اما جفت اعداد می تواند دیگران باشد ، برای مثال 51 و 119.
الگوریتم برای تعیین کمترین ضرب مشترک چند عدد ، باید:
- تجزیه هر یک از اعداد به عوامل اولیه
- تجزیه بیشتر آنها را بنویسید
- آن را در فاکتورهای از دست رفته اعداد دیگر ضرب کنید
بیایید چند نمونه را بررسی کنیم:
50 و 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
گسترش تعداد بیشتری یک پنج را از دست می دهد
=> LCM (50.60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 300 = 300
48 و 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
گسترش تعداد بیشتری دو و سه گم شده است
=> LCM (48.72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 144
* کمترین ضرب مشترک دو عدد اول با محصول آنها برابر است
سوال! و چرا یافتن کمترین ضرب مشترک مفید است ، زیرا می توانید از روش دوم استفاده کنید و کسر حاصله را به سادگی لغو کنید؟ بله ، می توانید ، اما همیشه راحت نیست. اگر به سادگی اعداد 48 و 72 را ضرب می کنید ، اگر آنها را به سادگی 48 ∙ 72 = 3456 ضرب کنید ، نگاه کنید. قبول کنید که کار با اعداد کوچکتر خوشایندتر است.
بیایید چند نمونه را بررسی کنیم:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
گسترش تعداد بزرگتر سه گانه را از دست می دهد
=> LCM (51،119) = 3 ∙ 7 ∙ 17
حالا بیایید روش اول را اعمال کنیم:
* ببینید تفاوت در محاسبات چیست ، در مورد اول حداقل آنها وجود دارد ، و در مورد دوم باید جداگانه روی یک تکه کاغذ کار کنید ، و حتی کسری که دریافت کرده اید باید کاهش یابد. پیدا کردن LCM کار را بسیار ساده تر می کند.
نمونه های بیشتر:
* در مثال دوم ، قبلاً مشخص است که کوچکترین عددکه بر 40 و 60 قابل تقسیم بر 120 است.
جمع! الگوریتم محاسبه عمومی!
- اگر بخش صحیح وجود داشته باشد ، کسرها را به موارد معمولی کاهش می دهیم.
- کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم (ابتدا نگاه می کنیم که آیا یک مخرج بر دیگری تقسیم می شود ، اگر تقسیم شود ، سپس عدد و مخرج این کسر دیگر را ضرب می کنیم ؛ اگر تقسیم نشده باشد ، از طریق دیگری عمل می کنیم روشهای ذکر شده در بالا)
- با دریافت کسری با مخرج مساوی ، اقدامات را انجام می دهیم (جمع ، تفریق).
- در صورت لزوم ، نتیجه را کاهش می دهیم.
- در صورت لزوم ، کل قسمت را انتخاب کنید.
2. محصول کسرها.
قانون ساده است. هنگام ضرب کسرها ، عدد و مخرج آنها ضرب می شود:
مثال ها:
این مقاله نگاه کلی به کسرها ارائه می دهد. در اینجا ما قوانین جمع ، تفریق ، ضرب ، تقسیم و ضرب کسرهای کلی A / B را تدوین و توجیه می کنیم ، جایی که A و B برخی اعداد ، عبارات عددی یا عبارات با متغیر هستند. طبق معمول ، ما مطالب را با مثالهای توضیحی همراه با شرح مفصل راه حلها ارائه می دهیم.
ناوبری صفحه
قوانین کلی برای انجام اعمال با کسرهای عددی
بیایید با کسرهای عددی عمومی به معنی کسرهایی باشیم که در آنها عدد و یا مخرج را می توان نه تنها با اعداد طبیعی ، بلکه با سایر اعداد یا عبارات عددی نیز نشان داد. برای شفافیت ، چندین مثال از چنین کسری را ارائه می دهیم: 
.
ما قوانین اجرای آنها را می دانیم. طبق همان قوانین ، می توانید اقدامات را با کسرهای کلی انجام دهید:
منطقی بودن قوانین
برای اثبات اعتبار قوانین انجام اعمال با کسرهای عددی عمومی ، می توان از نکات زیر شروع کرد:
- نوار کسری در اصل یک علامت تقسیم است ،
- تقسیم بر برخی از اعداد غیر صفر را می توان ضرب در متقابل مقسوم در نظر گرفت (این بلافاصله قاعده را توضیح می دهد تقسیم کسرها),
- خواص اعمال با اعداد واقعی,
- و درک کلی آن ،
آنها به شما امکان می دهند تغییرات زیر را انجام دهید ، قوانین جمع ، تفریق کسرها با مخرج های یکسان و متفاوت و همچنین قانون ضرب کسرها را توجیه کنید: 
نمونه هایی از
ما نمونه هایی از انجام اقدامات با کسرهای کلی را طبق قوانین آموخته شده در پاراگراف قبلی ارائه می دهیم. بیایید بلافاصله بگوییم که معمولاً پس از انجام اعمال با کسرها ، کسر حاصله نیاز به ساده سازی دارد و روند ساده سازی کسر اغلب پیچیده تر از انجام اقدامات قبلی است. ما روی ساده سازی کسرها نمی پردازیم (تغییرات مربوطه در مقاله تبدیل کسرها مورد بحث قرار می گیرد) ، تا از موضوع مورد علاقه ما منحرف نشود.
بیایید با مثالهایی از جمع و تفریق کسرهای عددی با مخرج یکسان شروع کنیم. ابتدا کسرها و. بدیهی است که مخرج ها برابر هستند. طبق قاعده مربوطه ، کسری را می نویسیم که شمارنده آن برابر مجموع اعداد کسرهای اصلی است و مخرج یکسان باقی می ماند ، ما داریم. افزودن به پایان رسیده است ، بخش ساده را ساده می کند: 
... بنابراین، 
.
ممکن بود راه حلی متفاوت انجام شود: ابتدا گذار به کسرهای معمولی را انجام دهید و سپس افزودن را انجام دهید. با این رویکرد ، ما داریم 
.
حالا بیایید از کسر کم کنیم 
کسر 
... مخرج کسرها برابر است ، بنابراین ، ما طبق قاعده تفریق کسرها با مخرج یکسان عمل می کنیم: 
بیایید به سراغ مثالهایی از جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف برویم. مشکل اصلی در اینجا است که کسرها را به یک مخرج مشترک می رسانیم. برای کسرهای عمومی ، این یک موضوع نسبتاً گسترده است ، ما آن را به طور مفصل در مقاله ای جداگانه تجزیه و تحلیل می کنیم. مخرج مشترک کسرها... حالا بیایید خود را به یک زن و شوهر محدود کنیم توصیه های کلیاز آنجا که در این لحظهما بیشتر به تکنیک انجام اقدامات با کسر علاقه داریم.
به طور کلی ، این فرآیند شبیه به کاهش کسرهای مشترک به یک مخرج مشترک است. یعنی مخرج ها به صورت محصولات نشان داده می شوند ، سپس همه عوامل از مخرج کسر اول گرفته شده و عوامل مفقود شده از مخرج کسر دوم به آنها اضافه می شود.
هنگامی که مخرج کسرهای اضافه یا تفریق فاکتورهای مشترکی ندارند ، منطقی است که محصول آنها را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیریم. بیایید یک مثال بزنیم.
فرض کنید باید کسری و 1/2 را اضافه کنیم. در اینجا ، به عنوان یک مخرج مشترک ، منطقی است که حاصل مخرج کسرهای اصلی ، یعنی. در این حالت ، ضریب اضافی برای کسر اول 2 خواهد بود. پس از ضرب عدد و مخرج بر آن ، کسر شکل می گیرد. و برای کسر دوم ، عامل اضافی عبارت است. با کمک آن ، کسر 1/2 به شکل کاهش می یابد. باقی مانده است که کسرهای حاصل را با مخرج یکسان اضافه کنیم. در اینجا خلاصه ای از کل راه حل است: 
در مورد کسرهای عمومی ، ما دیگر درباره کمترین مخرج مشترک صحبت نمی کنیم ، که کسرهای معمولی معمولاً به آن کاهش می یابد. اگرچه در این مورد هنوز هم مطلوب است که برای مینیمالیسم تلاش کنیم. با این کار می خواهیم بگوییم که ارزش ندارد بلافاصله حاصل مخرج کسرهای اصلی را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیریم. به عنوان مثال ، اصلا لازم نیست مخرج مشترک کسرها و حاصلضرب را در نظر بگیریم 
... در اینجا ، ما می توانیم به عنوان یک مخرج مشترک در نظر بگیریم.
ما به مثالهایی از ضرب کسرهای عمومی می پردازیم. بیایید کسرها را ضرب کنیم و. قانون انجام این عمل به ما دستور می دهد که کسری بنویسیم که شمارنده آن حاصل ضرب کننده های کسرهای اصلی است و مخرج حاصل مخرج است. ما داریم 
... در اینجا ، مانند بسیاری موارد دیگر هنگام ضرب کسر ، می توانید کسر را لغو کنید: 
.
قانون تقسیم کسرها به شما امکان می دهد از تقسیم به ضرب در متقابل بروید. در اینجا باید به خاطر داشته باشید که برای بدست آوردن معکوس کسر داده شده ، باید عدد و مخرج این کسر را دوباره مرتب کنید. در اینجا مثالی از تقسیم کلی کسرهای عددی به ضرب آمده است: 
... باقی مانده است که ضرب را انجام دهیم و کسر حاصله را ساده کنیم (در صورت لزوم ، تغییر عبارات غیر منطقی را ببینید): 
در خاتمه اطلاعات این پاراگراف ، به یاد می آوریم که هر عدد یا عبارت عددی را می توان به صورت کسری با مخرج 1 نشان داد ، بنابراین جمع ، تفریق ، ضرب و تقسیم یک عدد و کسر را می توان به عنوان عمل مربوط در نظر گرفت. با کسرهایی ، که یکی از آنها یک واحد در مخرج دارد ... به عنوان مثال ، جایگزینی در عبارت 
ریشه سه کسر ، از ضرب کسری در عدد به ضرب دو کسری می رویم: 
.
انجام اعمال بر روی کسرهای حاوی متغیرها
قوانین قسمت اول این مقاله همچنین برای انجام اعمالی با کسرهای حاوی متغیرها اعمال می شود. اجازه دهید اولین مورد آنها را توجیه کنیم - قانون جمع و تفریق کسرها با مخرج یکسان ، بقیه کاملاً به همان شیوه ثابت می شوند.
اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عبارت A ، C و D (D یکسان صفر نیست) برابری 
در محدوده مقادیر قابل قبول متغیرها.
بیایید مجموعه ای از متغیرها را از ODV بگیریم. برای این مقادیر متغیرها عبارات A ، C و D مقادیر a 0 ، c 0 و d 0 را در نظر بگیرید. سپس جایگزینی مقادیر متغیرها از مجموعه انتخاب شده به عبارت ، آن را به مجموع (تفاوت) کسرهای عددی با مخرج یکسان شکل تبدیل می کند ، که طبق قانون جمع (تفریق) عددی کسری با مخرج یکسان برابر است. اما جایگزینی مقادیر متغیرها از مجموعه انتخاب شده در عبارت ، آن را به همان کسر تبدیل می کند. این بدان معناست که برای مجموعه مقادیر متغیر انتخاب شده از ODZ ، مقادیر عبارات و برابر است. واضح است که مقادیر این عبارات برای سایر مجموعه مقادیر متغیرهای ODZ برابر خواهد بود ، به این معنی که عبارات و به طور یکسان برابر هستند ، یعنی برابری اثبات شده عادلانه است .
نمونه هایی از جمع و تفریق کسرها با متغیرها
وقتی مخرج کسرهای اضافه یا کسر شده یکسان باشند ، همه چیز کاملاً ساده است - اعداد جمع یا تفریق می شوند و مخرج ثابت می ماند. واضح است که کسر به دست آمده پس از این در صورت لزوم و ممکن ساده می شود.
توجه داشته باشید که گاهی مخرج کسرها فقط در نگاه اول متفاوت است ، اما در واقع آنها عبارات یکسانی دارند ، مانند ، 
و ، و یا و گاهی اوقات کافی است کسرهای اصلی را ساده کنیم تا مخرج یکسان آنها "ظاهر" شود.
مثال.
، ب) 
، v) 
.
راه حل.
الف) ما باید کسری با مخرج یکسان را کم کنیم. طبق قاعده مربوطه ، مخرج را بدون تغییر رها می کنیم و اعداد را کم می کنیم 
... اقدام به پایان رسید اما همچنان می توانید پرانتزها را در شمارنده گسترش دهید و شرایط مشابهی را بیان کنید: 
.
ب) بدیهی است مخرج کسرهای اضافه شده یکسان هستند. بنابراین ، شمارنده ها را جمع کرده و مخرج را یکسان بگذارید :. افزودن کامل است. اما به راحتی می توان دریافت که کسر حاصله می تواند لغو شود. در واقع ، عدد کسر حاصله را می توان با فرمول مربع مجموع به عنوان (lgx + 2) 2 (فرمولهای ضرب مختصر را ببینید) پیچید ، بنابراین ، تغییرات زیر رخ می دهد: 
.
ج) کسرهای جمع مخرج های متفاوتی دارند اما ، با تبدیل یکی از کسرها ، می توانید به جمع کسرهایی با مخرج یکسان ادامه دهید. ما دو راه حل را نشان خواهیم داد.
راه اول. مخرج کسر اول را می توان با استفاده از فرمول اختلاف مربعات فاکتور گرفت و سپس این کسر را لغو کرد: 
... بدین ترتیب، . رهایی از بی منطقی در مخرج کسر هنوز هم ضرری ندارد: 
.
راه دوم. ضرب شمارنده و مخرج کسر دوم بر (این عبارت برای هیچ مقدار متغیر x از ODZ برای عبارت اصلی محو نمی شود) به شما امکان می دهد به طور همزمان به دو هدف برسید: خلاص شدن از شر بی منطقی و رفتن به جمع کسری با مخرج یکسان ما داریم 
پاسخ:
آ) 
، ب) 
، v) 
.
آخرین مثالما را به سوال کاهش کسرها به یک مخرج مشترک سوق داد. در آنجا تقریباً به طور تصادفی به مخرج های مشابه رسیدیم و یکی از کسرهای اضافه شده را ساده کردیم. اما در بیشتر موارد ، هنگام جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف ، باید عمداً کسرها را به یک مخرج مشترک برسانید. بدین منظور ، مخرج کسرها معمولاً در قالب محصولات نشان داده می شوند ، همه عوامل از مخرج کسر اول گرفته شده و عوامل مفقود شده از مخرج کسر دوم به آنها اضافه می شود.
مثال.
انجام اعمال با کسرها: الف) 
، قبل از میلاد مسیح) 
.
راه حل.
الف) نیازی به انجام کاری با مخرج کسرها نیست. به عنوان یک وجه مشترک ، ما محصول را در نظر می گیریم 
... در این مورد ، عبارت یک عامل اضافی برای کسر اول و عدد 3 برای کسر دوم است. این عوامل اضافی کسرها را به یک مخرج مشترک می رسانند ، که بعداً به ما اجازه می دهد تا عملی را که لازم داریم انجام دهیم 
ب) در این مثال ، مخرج ها قبلاً به عنوان محصولات نشان داده شده اند و نیازی به تغییرات اضافی نیست. بدیهی است که عوامل مخرج فقط در نمادها متفاوت هستند ، بنابراین ، به عنوان یک مخرج مشترک ، حاصل ضرایب با بزرگترین توان را در نظر می گیریم ، یعنی ، 
... سپس عامل اضافی برای کسر اول x 4 و برای دوم - ln (x + 1) خواهد بود. ما اکنون آماده انجام کسر کسرها هستیم: 
ج) الف این موردابتدا بیایید با مخرج کسرها کار کنیم. فرمولهای تفاوت مربع ها و مربع مجموع به شما امکان می دهد از مجموع اصلی به عبارت بروید 
... اکنون روشن است که این کسرها را می توان به یک مخرج مشترک تقلیل داد 
... با این رویکرد ، راه حل به شکل زیر خواهد بود: 
پاسخ:
آ) 
ب) 
v) 
نمونه هایی از ضرب کسرها با متغیرها
ضرب کسرها کسری را به دست می آورد که شمارنده آن حاصل جمع شمار کسرهای اصلی است و مخرج حاصل مخرج است. در اینجا ، همانطور که می بینید ، همه چیز آشنا و ساده است و فقط می توانیم اضافه کنیم که کسری که در نتیجه انجام این عمل به دست می آید ، اغلب قابل لغو است. در این موارد ، اگر البته لازم و موجه باشد ، کاهش می یابد.
در ریاضیات ، انواع مختلف اعداد از بدو پیدایش مورد مطالعه قرار گرفته است. مجموعه ها و زیر مجموعه های زیادی از اعداد وجود دارد. در میان آنها اعداد صحیح ، منطقی ، غیر منطقی ، طبیعی ، زوج ، فرد ، پیچیده و کسری وجود دارد. امروز ما اطلاعات مربوط به آخرین مجموعه - اعداد کسری را تجزیه و تحلیل می کنیم.
تعریف کسرها
کسرها اعدادی هستند که از قسمتهای کامل و کسرهای یک تشکیل شده اند. درست مانند اعداد صحیح ، بین دو عدد صحیح بی نهایت کسر وجود دارد. در ریاضیات ، اعمال با کسرها مانند اعداد صحیح و اعداد طبیعی انجام می شود. این بسیار ساده است و می توان آن را در چند درس آموخت.
مقاله دو نوع را ارائه می دهد
کسرهای معمولی
کسرهای معمولی عبارتند از قسمت صحیح a و دو عدد که با نوار کسری b / c از هم جدا شده اند. اگر قسمت کسری را نتوان در یک علامت اعشاری منطقی نشان داد ، کسرهای معمولی می توانند بسیار مفید باشند. علاوه بر این ، انجام عملیات حسابی از طریق نوار کسری راحت تر است. قسمت بالایی را شمارنده ، قسمت پایین را مخرج می نامند.
اقدامات کسری: مثالها
خاصیت اصلی کسر. درضرب شمارنده و مخرج در یک عدد غیر صفر یک عدد برابر با عدد داده شده را به دنبال دارد. این ویژگی کسر کاملاً به آوردن مخرج برای جمع کمک می کند (در زیر مورد بحث قرار می گیرد) یا کسر را کاهش می دهد و برای شمارش راحت تر است. a / b = a * c / b * c به عنوان مثال ، 36/24 = 6/4 یا 9/13 = 18/26
تقلیل به یک مخرج مشترک.برای آوردن مخرج کسر ، لازم است مخرج را در قالب عوامل نشان دهیم ، و سپس در اعداد از دست رفته ضرب کنیم. به عنوان مثال ، 15/7 و 30/12 ؛ 7/5 * 3 و 12/5 * 3 * 2. ما می بینیم که مخرج ها در دو تفاوت دارند ، بنابراین ما عدد و مخرج کسر اول را در 2 ضرب می کنیم. بدست می آوریم: 14/30 و 12/30.
کسرهای مرکب- کسرهای معمولی با قسمت صحیح برجسته. (A b / c) برای نمایش کسر مرکب به عنوان یک کسر معمولی ، باید عدد مقابل کسر را در مخرج ضرب کرده و سپس آن را با شمارنده اضافه کنید: (A * c + b) / c.
عملیات حساب با کسر
در نظر گرفتن عملیات محاسبه ای معروف فقط هنگام کار با اعداد کسری ، اضافی نخواهد بود.
جمع و تفریق.جمع و تفریق کسرهای معمولی به آسانی جمع اعداد کامل است ، به جز یک مشکل - وجود یک میله کسری. هنگام افزودن کسری با مخرج یکسان ، لازم است فقط شمارنده هر دو کسر را اضافه کنیم ، مخرج ها بدون تغییر باقی می مانند. به عنوان مثال: 5/7 + 1/7 = (5 + 1)/7 = 6/7
اگر مخرج دو کسر اعداد متفاوتی هستند ، ابتدا باید آنها را به یک عدد مشترک بیاورید (همانطور که در بالا توضیح داده شد). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. تفریق دقیقاً از همان اصل پیروی می کند: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
ضرب و تقسیم. اقداماتبا کسرهای ضرب طبق اصل زیر اتفاق می افتد: اعداد و مخرج ها جداگانه ضرب می شوند. V نمای کلیفرمول ضرب به این شکل است: a / b * c / d = a * c / b * d. علاوه بر این ، با ضرب ، می توانید کسر را با حذف عوامل یکسان از شمارنده و مخرج کاهش دهید. به عبارت دیگر ، شمارنده و مخرج بر یک شماره تقسیم می شوند: 4/16 = 4/4 * 4 = 4/1.
برای تقسیم یک کسر معمولی بر کسری دیگر ، باید عدد و مخرج مقسومه را تغییر دهید و طبق کسری که قبلاً مورد بحث قرار گرفت ، دو کسر را ضرب کنید: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5
کسرهای اعشاری
کسرهای اعشاری رایج ترین و رایج ترین نسخه اعداد کسری هستند. نوشتن آنها در یک خط یا نشان دادن آنها بر روی کامپیوتر آسان تر است. ساختار کسر اعشاری به شرح زیر است: ابتدا عدد صحیح نوشته می شود و سپس ، پس از نقطه اعشار ، قسمت کسری نوشته می شود. در هسته آن اعداد اعشاری- اینها کسرهای معمولی مرکب هستند ، اما بخش کسری آنها با یک عدد تقسیم بر مضرب 10 نشان داده می شود. نام آنها از اینجا آمده است. عملیات با کسر اعشاری شبیه عملیات با اعداد صحیح است ، زیرا آنها نیز با علامت اعشاری نوشته می شوند. همچنین برخلاف کسرهای معمولی ، اعشار می توانند غیر منطقی باشند. این بدان معناست که آنها می توانند بی پایان باشند. آنها به صورت 7 ، (3) نوشته شده اند. رکورد زیر خوانده می شود: هفت امتیاز ، سه دهم در دوره.
عملیات اساسی با اعداد اعشاری
جمع و تفریق کسرهای اعشاری.انجام عملیات با کسر دشوارتر از اعداد طبیعی کامل نیست. قوانین کاملاً مشابه آنهایی است که هنگام جمع یا تفریق اعداد طبیعی استفاده می شود. آنها را می توان به یک شکل به عنوان یک ستون در نظر گرفت ، اما در صورت لزوم ، مکانهای از دست رفته را با صفرها جایگزین کنید. به عنوان مثال: 5.5697 - 1.12. برای انجام تفریق در یک ستون ، باید تعداد اعداد پس از نقطه اعشار را برابر کنید: (5.5697 - 1.1200). بنابراین ، مقدار عددی تغییر نمی کند و امکان شمارش در یک ستون وجود دارد.
اگر یکی از کسرهای اعشاری غیر منطقی باشد ، نمی توان آنها را انجام داد. برای انجام این کار ، باید هر دو عدد را به کسر ترجمه کنید و سپس از تکنیک هایی که قبلاً توضیح داده شد استفاده کنید.
ضرب و تقسیم.ضرب اعشاری شبیه ضرب طبیعی است. آنها را می توان در یک ستون ، بدون توجه به کاما ضرب کرد ، و سپس با یک کاما در مقدار نهایی همان تعداد رقمی را که مجموع بعد از نقطه اعشار در دو کسر اعشاری بود ، جدا کرد. به عنوان مثال ، 1.5 * 2.23 = 3.345. همه چیز بسیار ساده است و اگر قبلاً بر ضرب اعداد طبیعی تسلط داشته اید ، نباید مشکل باشد.
تقسیم نیز همزمان با تقسیم اعداد طبیعی است ، اما با کمی انحراف. برای تقسیم بر یک عدد اعشاری در یک ستون ، باید کاما را در تقسیم کننده کنار بگذارید و تقسیم سود را بر تعداد اعشار اعشاری در تقسیم کننده ضرب کنید. سپس تقسیم را با اعداد طبیعی انجام دهید. در صورت تقسیم ناقص ، می توانید صفرها را به سود تقسیم شده در سمت راست اضافه کنید ، همچنین صفر را در پاسخ بعد از نقطه اعشار اضافه کنید.
نمونه هایی از اعمال با کسر اعشاری.کسرهای اعشاری یک ابزار بسیار مفید برای محاسبه حساب هستند. آنها راحتی اعداد طبیعی ، اعداد کامل و دقت کسرهای معمولی را با هم ترکیب می کنند. علاوه بر این ، ترجمه برخی از بخشها به دیگران بسیار آسان است. اعمال با کسر تفاوتی با اعمال با اعداد طبیعی ندارند.
- اضافه: 1.5 + 2.7 = 4.2
- تفریق: 3.1 - 1.6 = 1.5
- ضرب: 1.7 * 2.3 = 3.91
- تقسیم: 3.6: 0.6 = 6
علاوه بر این ، اعشار برای نشان دادن درصد مناسب هستند. بنابراین ، 100 = = 1 ؛ 60٪ = 0.6 ؛ و بالعکس: 0.659 = 65.9.
این همه چیزی است که باید در مورد کسرها بدانید. مقاله دو نوع کسر را در نظر گرفت - معمولی و اعشاری. محاسبه هر دو بسیار ساده است و اگر اعداد طبیعی و عملیات را با آنها به طور کامل فرا گرفته اید ، می توانید با خیال راحت یادگیری اعداد کسری را شروع کنید.
1º. اعداد صحیح- اینها اعدادی هستند که برای شمارش استفاده می شوند. مجموعه همه اعداد طبیعی با N نشان داده می شود ، یعنی N = (1 ، 2 ، 3 ، ...).
کسریک عدد متشکل از چند قسمت از یک نامیده می شود. کسر معمولیعددی از فرم نامیده می شود که در آن یک عدد طبیعی است nنشان می دهد که واحد به چند قسمت مساوی و عدد طبیعی تقسیم شده است مترنشان می دهد که چگونه بسیاری از قطعات مساوی گرفته شده است. شماره مترو nبر این اساس نامیده می شوند صورت کسرو مخرجکسرها
اگر شمارنده کمتر از مخرج، سپس کسر معمولی نامیده می شود درست؛ اگر شمارنده برابر یا بزرگتر از مخرج باشد ، کسر نامیده می شود اشتباه... عددی متشکل از اجزای کامل و کسری نامیده می شود شماره های درهم.
به عنوان مثال ، - کسرهای معمولی ، - کسرهای نامنظم ، 1 - عدد مختلط.
2º. هنگام انجام اقدامات بیش از کسرهای معمولیقوانین زیر را به خاطر بسپارید:
1)ویژگی اصلی یک کسر... اگر عدد و مخرج کسری بر یک عدد طبیعی یکسان ضرب یا تقسیم شود ، کسری برابر با عدد داده شده بدست می آورید.
به عنوان مثال ، الف) ؛ ب) 
.
تقسیم عدد و مخرج کسری بر تقسیم کننده مشترک آنها ، غیر از یک ، نامیده می شود کاهش کسر.
2) برای نشان دادن عدد مختلط به عنوان کسر نامناسب ، باید کل قسمت آن را در مخرج قسمت کسری ضرب کرده و عدد قسمت کسری را به محصول بدست آمده اضافه کنید ، مجموع حاصله را به عنوان عدد کسر بنویسید ، و مخرج را یکسان بگذارید.
به طور مشابه ، هر عدد طبیعی را می توان به عنوان کسر نامناسب با هر مخرج نوشت.
به عنوان مثال ، الف) ، از آنجا که ؛ ب) 
و غیره.
3) برای نوشتن کسر نادرست به عنوان یک عدد مختلط (یعنی کل قسمت را از کسر نادرست انتخاب کنید) ، باید عدد را بر مخرج تقسیم کنید ، ضریب تقسیم را به عنوان کل قسمت ، بقیه را به عنوان شمارنده ، مخرج را یکسان بگذارید
به عنوان مثال ، الف) ، از 200: 7 = 28 (استراحت 4) ؛
ب) ، از 20: 5 = 4 (استراحت 0).
4) برای رساندن کسرها به کمترین مخرج مشترک ، باید کمترین ضرب مشترک (LCM) مخرج این کسرها را پیدا کنید (این کمترین مخرج مشترک آنها خواهد بود) ، و کمترین مخرج مشترک را بر مخرج این کسرها تقسیم کنید (یعنی برای کسرها فاکتورهای اضافی بیابید) ، شمارنده و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.
برای مثال ، بیایید کسرها را به کمترین مخرج مشترک بیاوریم:
630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.
به معنای، 
; 
; 
.
5) قوانین عملیات محاسباتی با کسرهای معمولی:
الف) جمع و تفریق کسرهای با مخرج یکسان طبق قانون انجام می شود:
ب) جمع و تفریق کسرهای با مخرج مختلف مطابق قاعده الف) انجام می شود ، ابتدا کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش می دهیم.
ج) هنگام جمع و تفریق اعداد مختلط ، می توانید آنها را تبدیل کنید کسرهای نامناسب، و سپس اقدامات را طبق قوانین الف) و ب) انجام دهید ،
