이 기사는 급수의 합을 찾는 것부터 수렴을 위한 조사에 이르기까지 수 급수의 주제에 대한 거의 모든 예를 해결하는 데 필요한 정보를 수집하고 구성했습니다.

기사 검토.

부호양성, 부호변화 계열의 정의와 수렴의 개념부터 시작하겠습니다. 다음으로, 우리는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾는 공식을 회상하는 일반화 고조파 급수, 고조파 급수와 같은 표준 급수를 고려할 것입니다. 그런 다음 수렴 급수의 속성으로 돌아가 급수 수렴을 위한 필요 조건에 대해 숙고하고 급수 수렴을 위한 충분 기준을 듣습니다. 우리는 상세한 설명과 함께 전형적인 예의 해결책으로 이론을 희석시킬 것입니다.

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기본 정의 및 개념.

숫자 시퀀스가 ​​있다고 가정합니다. 여기서 .

숫자 시퀀스의 예를 들어 보겠습니다. .

숫자 시리즈형식의 숫자 시퀀스 구성원의 합입니다. .

숫자 시리즈의 예로서 분모 q = -0.5를 사용하여 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 제공할 수 있습니다. .

부름 숫자 시리즈의 공통 멤버또는 시리즈의 k 번째 멤버.

앞의 예에서 숫자 계열의 공통 용어는 입니다.

숫자 계열의 부분합형식의 합입니다. 여기서 n은 자연수입니다. 수열의 n번째 부분합이라고도 합니다.

예를 들어, 계열의 네 번째 부분합 있다 .

일부 금액 수열의 부분합의 무한 수열을 형성합니다.

우리 시리즈의 경우, n번째 부분 합은 기하 진행의 처음 n개 항의 합 공식에 의해 발견됩니다. 즉, 다음과 같은 부분합 시퀀스를 갖게 됩니다. .

숫자 시리즈는 수렴부분합 시퀀스의 유한한 한계가 있는 경우. 숫자 급수의 부분 합 시퀀스의 극한이 존재하지 않거나 무한이면 급수를 호출합니다. 다른.

수렴하는 급수의 합부분합 시퀀스의 극한이라고 합니다. 즉, .

따라서 이 예에서는 시리즈 수렴하고 그 합은 16/3과 같습니다. .

발산 계열의 예는 분모가 1보다 큰 기하학적 진행의 합입니다. ... n번째 부분합은 다음 식에 의해 결정됩니다. , 부분합의 한계는 무한합니다. .

발산하는 수열의 또 다른 예는 다음 형식의 합입니다. ... 이 경우 n번째 부분합은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 부분합의 한계는 무한하다 .

형식의 합계 ~라고 불리는 고조파 시리즈.

형식의 합계 , 여기서 s는 실수입니다. 일반화 고조파 시리즈.

위의 정의는 다음과 같은 매우 자주 사용되는 진술을 입증하기에 충분하므로 기억할 것을 권장합니다.

고조파 시리즈가 분배됩니다.

고조파 급수의 발산을 증명합시다.

급수가 수렴한다고 가정합니다. 그런 다음 부분합의 유한한 한계가 있습니다. 이 경우 우리는 and를 쓸 수 있으며, 이는 우리를 평등으로 이끕니다. .

한편,


다음 불평등은 의심의 여지가 없습니다. 따라서, . 결과적인 불평등은 우리에게 평등이 이는 고조파 급수의 수렴에 대한 우리의 가정과 모순됩니다.

결론: 고조파 계열이 발산합니다.

분모 q가 있는 뷰의 기하학적 진행의 합은 수렴하는 시리즈, IF 및 나눗셈 시리즈입니다.

증명해 봅시다.

우리는 기하학적 진행의 처음 n개의 항의 합이 다음 공식에 의해 발견된다는 것을 알고 있습니다. .

사실일 때


수열의 수렴을 나타냅니다.

q = 1의 경우 숫자 시리즈가 있습니다. ... 부분합은 다음과 같이 발견되며 부분합의 한계는 무한합니다. , 이 경우 계열의 발산을 나타냅니다.

q = -1이면 숫자 시리즈는 다음 형식을 취합니다. ... 부분 합은 홀수 n 및 짝수 n에 대한 값을 취합니다. 이것으로부터 우리는 부분합의 극한이 존재하지 않고 급수가 발산한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

사실일 때


이는 숫자 시리즈의 발산을 나타냅니다.

일반화하면 고조파 시리즈는 s> 1에 대해 수렴하고 에 대해 다양합니다.

증거.

s = 1의 경우 고조파 시리즈를 얻고 그 이상에서 발산을 설정했습니다.

~에 s 부등식은 모든 자연 k에 대해 성립합니다. 고조파 급수의 발산으로 인해 부분합의 시퀀스가 ​​무한하다고 주장할 수 있습니다(유한한 제한이 없기 때문에). 그런 다음 숫자 계열의 부분 합 시퀀스는 훨씬 더 무제한이므로(이 계열의 각 항은 고조파 계열의 해당 항보다 큼) 일반화 고조파 계열은 s에서 발산합니다.

s> 1에 대한 급수의 수렴을 증명하는 것이 남아 있습니다.

차이점을 적어 보겠습니다.



분명히, 그러면


n = 2, 4, 8, 16, ...에 대한 결과 부등식을 적어 보겠습니다.



이 결과를 사용하여 원래 숫자 시리즈로 다음을 수행할 수 있습니다.



표현 는 기하학적 진행의 합이며 분모는 입니다. 우리는 s> 1의 경우를 고려하고 있기 때문에, 그러면. 그렇기 때문에
... 따라서 s> 1에 대한 일반화 고조파 계열의 부분 합 시퀀스는 증가하고 동시에 값에 의해 위에서부터 경계가 지정되므로 계열의 수렴을 나타내는 제한이 있습니다. 증명이 완료되었습니다.

숫자 시리즈는 긍정적 인모든 구성원이 양수인 경우 즉, .

숫자 시리즈는 교대로이웃 구성원의 기호가 다른 경우. 대체 숫자 시리즈는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또는 , 어디 .

숫자 시리즈는 교대로양수 및 음수 조건의 무한 세트를 포함하는 경우.

교번 급수는 교대 급수의 특별한 경우입니다.

순위

각각 부호 양수, 부호 교대 및 부호 교대입니다.

교대 급수의 경우 절대 및 조건부 수렴의 개념이 있습니다.

절대 수렴, 해당 구성원의 일련의 절대값이 수렴하는 경우, 즉 부호 양수 계열이 수렴됩니다.

예를 들어, 숫자 시리즈 그리고 시리즈 이후로 절대적으로 수렴 , 이는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합입니다.

교대 시리즈라고합니다. 조건부 수렴급수가 발산하고 급수가 수렴하는 경우.

일반적으로 수렴하는 급수의 예로서 급수를 줄 수 있습니다. ... 숫자 시리즈 , 오리지널 시리즈의 멤버들의 절대값으로 구성되어 있고, 고조파이기 때문에 발산합니다. 동시에, 원래 시리즈는 수렴되어 사용하기 쉽습니다. 따라서 숫자 교대 시리즈 조건부 수렴.

수렴하는 일련의 속성.

예시.

숫자 급수의 수렴을 증명하십시오.

해결책.

시리즈를 다른 형태로 쓰자 ... 일반화 고조파 급수는 s> 1에 대해 수렴하기 때문에 수치 급수는 수렴하고 수치 급수 수렴의 두 번째 속성 덕분에 수치 계수가 있는 급수도 수렴됩니다.

예시.

숫자 시리즈가 수렴하는지 여부.

해결책.

원래 행을 변환해 보겠습니다. ... 따라서 우리는 두 개의 숫자 계열의 합을 얻었고, 각각은 수렴합니다(이전 예 참조). 결과적으로 수렴 수렴의 세 번째 속성 덕분에 원래 급수도 수렴됩니다.

예시.

숫자 급수의 수렴 증명 그리고 그 합을 계산합니다.

해결책.

이 숫자 계열은 두 계열의 차이로 나타낼 수 있습니다.

이 급수 각각은 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합이므로 수렴합니다. 수렴 급수의 세 번째 속성을 통해 원래 수 급수가 수렴한다고 주장할 수 있습니다. 그 합을 계산해 봅시다.

급수의 첫 번째 항은 1이고 해당 기하학적 진행의 분모는 0.5이므로, .

급수의 첫 번째 항은 3이고 해당 무한히 감소하는 기하학적 진행의 분모는 1/3이므로 .

얻은 결과를 사용하여 원래 숫자 계열의 합을 구해 보겠습니다.

계열의 수렴을 위한 필요조건.

수열이 수렴하면 k 번째 항의 극한은 0입니다.

수렴을 위한 숫자 계열을 조사할 때 먼저 필요한 수렴 조건이 충족되는지 확인해야 합니다. 이 조건을 충족하지 못하면 숫자 계열의 발산을 나타냅니다. 즉, 계열이 발산하는 경우입니다.

반면에 이 조건이 충분하지 않다는 것을 이해해야 합니다. 즉, 평등의 충족은 수열의 수렴을 의미하지 않습니다. 예를 들어, 고조파 급수에 대해 필요한 수렴 조건이 충족되고 급수가 발산합니다.

예시.

수렴을 위한 일련의 숫자를 조사합니다.

해결책.

숫자 급수의 수렴에 필요한 조건을 확인합시다.

한계 숫자 계열의 n번째 멤버는 0이 아니므로 계열이 발산합니다.

양수 계열의 수렴 징후가 충분합니다.

수렴을 위한 수열을 연구하기 위해 충분한 기능을 사용할 때 끊임없이 처리해야 하므로 어려움이 있는 경우 이 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.

양수 급수의 수렴을 위한 필요충분조건.

양수 급수의 수렴을 위해 부분합의 순서가 제한되는 것이 필요하고 충분합니다.

시리즈 비교 기호부터 시작하겠습니다. 그들의 본질은 연구된 수치 계열을 수렴 또는 발산이 알려진 계열과 비교하는 데 있습니다.

첫 번째, 두 번째 및 세 번째 비교 표시.

행 비교의 첫 번째 표시입니다.

및 두 개의 부호 양수 숫자 시리즈이고 부등식은 모든 k = 1, 2, 3, ...에 대해 유지됩니다. 그러면 급수의 수렴은 수렴을 의미하고 급수의 발산은 발산을 의미합니다.

첫 번째 비교 기준은 매우 자주 사용되며 수렴을 위한 숫자 시리즈를 조사하는 데 매우 강력한 도구입니다. 주요 문제는 비교에 적합한 시리즈를 선택하는 것입니다. 비교를 위한 급수는 일반적으로(항상 그런 것은 아님) k번째 항의 지수가 연구 중인 숫자 계열의 k번째 항의 분자와 분모의 지수의 차이와 같도록 선택됩니다. 예를 들어 분자와 분모의 지수 차이가 2 - 3 = -1이라고 가정하면 비교를 위해 k번째 항이 있는 계열, 즉 고조파 계열을 선택합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시.

계열의 수렴 또는 발산을 설정합니다.

해결책.

급수의 일반항의 극한이 0이므로 급수의 수렴을 위한 필요조건을 만족한다.

모든 자연수 k에 대해 부등식이 성립함을 쉽게 알 수 있습니다. 고조파 계열이 발산한다는 것을 알고 있으므로 첫 번째 비교 기호에 따라 원래 계열도 발산합니다.

예시.

수렴에 대한 수열을 조사합니다.

해결책.

숫자 급수의 수렴을 위한 필요 조건이 충족되기 때문에 ... 분명히 불평등 임의의 자연값 k에 대해. 일반화 고조파 급수는 s> 1에 대해 수렴하므로 급수는 수렴됩니다. 따라서 계열 비교의 첫 번째 표시를 통해 원래 숫자 계열의 수렴을 나타낼 수 있습니다.

예시.

숫자 시리즈의 수렴 또는 발산을 결정합니다.

해결책.

, 따라서 수열의 수렴을 위한 필요조건이 만족된다. 비교를 위해 선택할 행은 무엇입니까? 수열은 스스로를 암시하며, s를 결정하기 위해 수열을 주의 깊게 살펴봅니다. 숫자 시퀀스의 구성원은 무한대로 증가합니다. 따라서 어떤 숫자 N(즉, N = 1619)에서 시작하여 이 시퀀스의 구성원은 2보다 큽니다. 이 숫자 N부터 시작하여 부등식이 성립합니다. 숫자 급수는 수렴 급수의 첫 번째 속성 덕분에 수렴됩니다. 처음 N - 1 항을 버리고 수렴 급수에서 얻어지기 때문입니다. 따라서 첫 번째 비교 기준에 따르면 급수는 수렴하고 수렴하는 첫 번째 속성으로 인해 급수도 수렴합니다.

비교의 두 번째 신호.

Let and be 양수 급수. 그렇다면 수렴은 급수의 수렴에서 따릅니다. 그렇다면 발산은 숫자 계열의 발산에서 따릅니다.

결과.

그렇다면, 한 계열의 수렴에서 다른 계열의 수렴이 따르고 발산에서 발산이 따릅니다.

두 번째 비교 기준을 사용하여 수렴에 대한 계열을 조사해 보겠습니다. 수렴 계열을 계열로 간주합니다. 숫자 시리즈의 k 번째 항의 비율의 극한을 찾으십시오.

따라서 두 번째 비교 기준에 따르면 원래 계열의 수렴은 숫자 계열의 수렴에서 따릅니다.

예시.

수열의 수렴을 조사합니다.

해결책.

급수의 수렴을 위한 필요조건을 확인해보자 ... 조건이 충족됩니다. 두 번째 비교 기준을 적용하기 위해 고조파 급수를 사용합니다. k번째 항의 비율의 극한을 구해봅시다.

결과적으로 고조파 계열의 발산에서 두 번째 비교 기준에 따라 원래 계열의 발산을 따릅니다.

정보를 위해 시리즈를 비교하는 세 번째 기호를 제공합니다.

세 번째 비교 표시.

Let and be 양수 급수. 어떤 수 N에서 조건이 충족되면 급수의 수렴에서 수렴이 따르고 급수의 발산에서 발산이 따릅니다.

달랑베르 간판.

논평.

달랑베르 테스트는 극한이 무한대인 경우, 즉 다음과 같은 경우 유효합니다. , 시리즈는 다음과 같은 경우 수렴합니다. , 그러면 계열이 분기됩니다.

그렇다면 달랑베르 검정은 계열의 수렴 또는 발산에 대한 정보를 제공하지 않으며 추가 연구가 필요합니다.

예시.

달랑베르 수렴에 대한 수열을 조사합니다.

해결책.

숫자 시리즈의 수렴에 필요한 조건이 충족되는지 확인하고 한계는 다음과 같이 계산됩니다.

조건이 충족됩니다.

달랑베르 테스트를 사용해보자:

따라서 시리즈는 수렴됩니다.

Cauchy의 급진적 기호.

양수 계열이라고 하자. 이면 수열이 수렴하고 이면 계열이 발산합니다.

논평.

코시의 급진적 기준은 극한이 무한대인 경우, 즉 다음과 같은 경우 유효합니다. , 시리즈는 다음과 같은 경우 수렴합니다. , 그러면 계열이 분기됩니다.

그렇다면 급진적 코시 검정은 급수의 수렴이나 발산에 대한 정보를 제공하지 못하므로 추가적인 연구가 필요하다.

급진적 코시 기준을 사용하는 것이 가장 좋은 경우를 식별하는 것은 일반적으로 충분히 쉽습니다. 일반적인 경우는 숫자 계열의 공통 항이 지수 지수 표현식인 경우입니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시.

급진적 코시 검정을 사용하여 수렴에 대한 양수 계열을 조사합니다.

해결책.

... Cauchy 급진적 기준에 의해, 우리는 .

결과적으로 시리즈는 수렴됩니다.

예시.

수열은 수렴합니까? .

해결책.

우리는 급진적 코시 기준을 사용합니다. , 따라서 숫자 시리즈는 수렴합니다.

적분 코시 테스트.

양수 계열이라고 하자. 함수와 유사한 연속 인수 y = f(x)의 함수를 작성해 보겠습니다. 함수 y = f(x)가 양수이고 연속적이며 구간에서 감소한다고 가정합니다. 여기서). 그러면 수렴의 경우 부적절한 적분연구 중인 숫자 시리즈는 수렴합니다. 부적절한 적분이 발산하면 원래 급수도 발산합니다.

구간에서 함수 y = f(x)의 감소를 확인할 때 섹션의 이론이 유용할 수 있습니다.

예시.

수렴에 대한 양의 항이 있는 일련의 숫자를 조사합니다.

해결책.

급수의 수렴을 위한 필요조건이 만족되기 때문에 ... 함수를 생각해 봅시다. 양수이고 연속적이며 간격에 따라 감소합니다. 이 기능의 연속성과 긍정성은 의심의 여지가 없으며, 감소에 대해서는 조금 더 자세히 다루도록 하겠습니다. 파생 상품 찾기:
... 구간에서 음수이므로 이 구간에서 함수가 감소합니다.

D'Alembert 수렴 기준 Radical Cauchy 수렴 기준 Integral Cauchy 수렴 기준

실제 사례에서 볼 수 있는 일반적인 비교 기호 중 하나는 달랑베르 기호입니다. 코시 징후는 덜 일반적이지만 매우 인기가 있습니다. 항상 그렇듯이 자료를 간단하고 접근 가능하며 이해할 수 있는 방식으로 제시하려고 노력할 것입니다. 주제는 가장 어렵지 않으며 모든 작업은 어느 정도 스텐실 가능합니다.

Jean Leron D'Alembert는 18세기의 유명한 프랑스 수학자입니다. 일반적으로 D'Alembert는 미분방정식을 전문으로 하며 그의 연구를 기반으로 탄도학에 종사하여 폐하가 더 나은 포탄을 날릴 수 있었습니다. 동시에 나폴레옹 군대의 계급이 그렇게 명확하게 수렴 및 분기 된 것은 숫자 순위를 잊지 않았습니다.

기능 자체를 공식화하기 전에 다음과 같은 중요한 질문을 고려하십시오.
달랑베르 수렴기준은 언제 적용해야 하나요?

반복부터 시작합시다. 가장 인기있는 것을 사용해야하는 경우를 상기합시다. 한계 비교 기준... 제한적 비교 기준은 계열의 공통 항에서 다음과 같은 경우에 적용됩니다.
1) 분모는 다항식을 포함합니다.
2) 다항식은 분자와 분모 모두에 있습니다.
3) 하나 또는 두 개의 다항식이 근에 있을 수 있습니다.

달랑베르 기능을 사용하기 위한 주요 전제 조건은 다음과 같습니다.

1) 계열의 일반적인 용어( 계열의 "stuffing")에는 예를 들어 몇 가지 거듭제곱이 포함됩니다. 또한이 물건이 분자 또는 분모에있는 위치는 전혀 중요하지 않습니다. 거기에 존재하는 것이 중요합니다.

2) 계승은 급수의 일반항에 포함된다. 우리는 수업 중에 계승과 칼을 교차 수열과 그 한계... 그러나 자체 조립 식탁보를 다시 펼치는 것은 아프지 않습니다.





…


…

! d'Alembert 테스트를 사용할 때 factorial을 자세히 설명하면 됩니다. 이전 단락에서와 같이 계승은 분수의 상단 또는 하단에 위치할 수 있습니다.

3) 예를 들어 계열의 공통 용어에 "인자 사슬"이 있는 경우. 이런 경우는 드물지만! 이러한 시리즈를 검사할 때 종종 실수가 발생합니다(예제 6 참조).

거듭제곱 및 (및) 계승과 함께 다항식은 급수 채우기에서 종종 발견되며 이는 문제를 변경하지 않습니다. 달랑베르 기호를 사용해야 합니다.

또한 시리즈의 일반 용어에서 차수와 계승을 동시에 찾을 수 있습니다. 2개의 팩토리얼, 2개의 도가 있을 수 있습니다. 적어도 뭔가고려된 점의 - 그리고 이것은 달랑베르 기호를 사용하기 위한 전제 조건일 뿐입니다.

달랑베르 사인: 고려하다 양수 시리즈... 다음 구성원과 이전 구성원 간의 관계에 제한이 있는 경우:
a) 시리즈의 경우 수렴... 특히 시리즈는 수렴합니다.
b) 시리즈의 경우 발산... 특히 시리즈는 에서 분기합니다.
다) 언제 사인은 답을 주지 않는다... 다른 기호를 사용해야 합니다. 대부분의 경우 단위는 d'Alembert 테스트를 제한 비교 기능을 사용해야 하는 곳에 적용하려고 할 때 얻습니다.

여전히 한계에 문제가 있거나 한계에 대한 오해가 있는 사람은 수업을 참조하십시오. 제한. 솔루션의 예... 불행히도 한계와 불확실성을 공개할 수 있는 능력 없이는 더 이상 발전할 수 없습니다.

그리고 이제 오랫동안 기다려온 예입니다.

실시예 1

우리는 우리가 시리즈의 공통 용어에 있음을 알 수 있으며 이것이 d'Alembert 기호를 사용하기 위한 올바른 전제 조건입니다. 첫째, 완전한 솔루션과 샘플 디자인이 아래에 설명되어 있습니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.

수렴합니다.

(1) 우리는 시리즈의 다음 구성원과 이전 구성원의 비율을 구성합니다. 조건에서 우리는 시리즈의 공통 용어가 있음을 알 수 있습니다. 시리즈의 다음 멤버를 얻으려면 다음이 필요합니다. 대신: .
(2) 4층 분수를 없애기. 솔루션에 대한 약간의 경험이 있으면 이 단계를 건너뛸 수 있습니다.
(3) 분자의 괄호를 확장합니다. 분모에서 우리는 차수에서 4를 꺼냅니다.
(4) 줄입니다. 상수는 한계 기호에서 벗어납니다. 우리는 괄호 안의 분자에 유사한 용어를 제공합니다.
(5) 분자와 분모를 가장 높은 거듭제곱에서 "en"으로 나누는 표준 방식으로 불확실성이 제거됩니다.
(6) 분자 항을 분모로 나누고 0이 되는 항을 표시하십시오.
(7) 우리는 답을 단순화하고 d' Alembert 테스트에 따라 연구 중인 시리즈가 수렴한다는 결론에 주목합니다.

고려된 예에서 급수의 공통 항에서 우리는 2차 다항식을 만났습니다. 3차, 4차 또는 그 이상의 다항식이 있으면 어떻게 됩니까? 사실은 더 높은 차수의 다항식이 주어지면 대괄호를 여는 데 어려움이 있다는 것입니다. 이 경우 "터보" 솔루션을 사용할 수 있습니다.

실시예 2

유사한 급수를 취하여 수렴 여부를 조사합니다.

먼저 완전한 솔루션을 제공한 다음 주석을 추가합니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.

따라서 연구 중인 시리즈 수렴.

(1) 관계를 구성합니다.
(2) 4층 분수를 없애기.
(3) 분자의 표현과 분모의 표현을 생각해보자. 분자에서 괄호를 열고 4승을 올려야 한다는 것을 알 수 있습니다. 절대 하고 싶지 않은 일입니다. 또한 Newton의 이항식에 익숙하지 않은 사람들에게는 이 작업이 전혀 실행 가능하지 않을 수 있습니다. 가장 높은 차수를 분석해 보겠습니다. 상단에 있는 괄호를 열면 가장 높은 차수를 얻습니다. 아래에는 동일한 수석 학위가 있습니다. 앞의 예와 유추하여 분자와 분모를 항으로 나눌 때 극한에서 하나를 얻음이 분명합니다. 또는 수학자들이 말했듯이 다항식과 - 같은 성장 순서... 따라서 간단한 연필로 비율에 동그라미를 치고 이것이 1에 가까운 경향이 있음을 즉시 나타내는 것이 가능합니다. 우리는 비슷한 방식으로 두 번째 다항식 쌍을 처리합니다. 같은 성장 순서, 그리고 그들의 비율은 일치하는 경향이 있습니다.

사실, 그러한 "해킹"은 예제 # 1에서 수행될 수 있었지만, 2차 다항식의 경우 그러한 솔루션은 여전히 ​​어쩐지 위엄이 없어 보입니다. 개인적으로 저는 이렇게 합니다. 1차 또는 2차 다항식(또는 다항식)이 있는 경우 예제 1을 풀기 위해 "긴" 방법을 사용합니다. 3차 이상의 다항식을 발견하면 "turbo" -예 2와 유사한 방법.

실시예 3

수렴에 대한 계열 조사

숫자 시퀀스 수업이 끝나면 솔루션 및 샘플 디자인을 완료하십시오.
(4) 줄일 수 있는 모든 것을 줄입니다.
(5) 상수가 극한 기호에서 벗어납니다. 분자에서 괄호를 확장합니다.
(6) 분자와 분모를 가장 높은 거듭제곱에서 "en"으로 나누어 표준 방식으로 불확실성을 제거합니다.

실시예 5

수렴에 대한 계열 조사

수업이 끝날 때 완전한 솔루션 및 샘플 설계

실시예 6

수렴에 대한 계열 조사

때때로 채우기에 "체인" 요소를 포함하는 행이 있습니다. 우리는 아직 이러한 유형의 행을 고려하지 않았습니다. 요인의 "사슬"이 있는 시리즈를 조사하는 방법은 무엇입니까? 달랑베르 기호를 사용하십시오. 그러나 먼저 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 위해 시리즈를 자세히 설명합니다.

확장에서 시리즈의 각 다음 항에 대해 분모에 추가 요소가 추가되므로 시리즈의 공통 항인 경우 시리즈의 다음 항이 추가됨을 알 수 있습니다.
... 여기서 그들은 종종 자동으로 실수를 하여 다음과 같은 알고리즘에 따라 공식적으로 기록합니다.

솔루션의 대략적인 예는 다음과 같습니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.

따라서 연구 중인 시리즈 수렴합니다.

이 주제로 작업을 시작하기 전에 수열 용어에 대한 섹션을 살펴보는 것이 좋습니다. 시리즈의 공통 구성원 개념에 특히주의를 기울일 가치가 있습니다. 수렴 기준 선택의 정확성에 대해 의구심이 든다면 "숫자 계열에 대한 수렴 기준 선택" 주제를 살펴보는 것이 좋습니다.

Alambert 테스트(또는 d'Alembert 테스트)는 공통항이 엄격하게 0보다 큰 급수, 즉 $ u_n> 0 $의 수렴을 연구하는 데 사용됩니다. 이러한 급수를 엄격하게 긍정적... 표준 예에서 Alamber 속성 D는 제한 형식으로 사용됩니다.

기호 D "Alamber"(극단적인 형태)

$ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ 계열이 완전히 양수이고 $$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L인 경우 , $ $ 다음 $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $(그리고 $ L = \ infty $의 경우) 계열은 분기합니다.

공식은 매우 간단하지만 다음 질문이 남아 있습니다. $ L = 1 $이면 어떻게 될까요? Alambert의 기호 D는 이 질문에 대한 답을 줄 수 없습니다. $ L = 1 $이면 급수는 수렴 및 발산할 수 있습니다.

대부분의 경우 표준 예에서 Alamber D 기호는 계열의 일반 항에 대한 표현식에 $ n $의 다항식(다항식은 루트 아래에 있을 수 있음)과 $ a ^ n $ 형식의 차수가 포함된 경우 사용됩니다. 또는 $ n! $. 예를 들어, $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (예제 # 1 참조) 또는 $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

"n!"이라는 표현은 무엇을 의미합니까? 표시 \ 숨기기

항목 "n!" ("en factorial"로 읽음) 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 나타냅니다.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

정의에 따라 $ 0! = 1! = 1 $로 가정합니다. 예를 들어 5 !:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

또한 Alambert의 D "특성은 공통 용어에 다음 구조의 곱이 포함된 급수의 수렴을 결정하는 데 자주 사용됩니다. 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

예 # 1

수렴에 대해 $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ 계열을 조사합니다.

합의 하한이 1이므로 급수의 공통 항은 합 기호 아래에 작성됩니다. $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. $ n≥ 1 $의 경우 $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ 및 $ 2n ^ 3-1> 0 $, $ u_n> 0 $이기 때문입니다. 따라서 우리 시리즈는 엄격하게 긍정적입니다.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac ((3n + 10) \ 왼쪽 (2n ^ 3-1 \ 오른쪽)) (\ 왼쪽 (2 (n + 1) ^ 3-1 \ 오른쪽 ) (3n + 7)) = \ 왼쪽 | \ frac (\ infty) (\ infty) \ 오른쪽 | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ 왼쪽 (2n ^ 3-1 \ 오른쪽)) (n ^ 4)) (\ frac (\ 왼쪽 (2 (n + 1) ^ 3-1 \ 오른쪽) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ 왼쪽(2) n + 1) ^ 3-1 \ 오른쪽)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ 왼쪽 (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ 오른쪽)) (\ 왼쪽 (2 \ 왼쪽 (\ frac (n) (n) + \ frac (1) (n) \ 오른쪽) ^ 3- \ frac (1) (n ^ 3) \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ 오른쪽) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ 왼쪽 (3+ \ frac (10) (n) \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ 오른쪽)) (\ 왼쪽 (2 \ 왼쪽 (1+ \ frac (1)) (n) \ 오른쪽) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽 (3+ \ frac (7) (n) \ 오른쪽)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $이므로 주어진 계열에 따라 발산합니다.

솔직히 말해서, Alambert D "기호는 이 상황에서 유일한 옵션이 아닙니다. 예를 들어, 라디칼 Cauchy 테스트를 사용할 수 있습니다. 그러나 라디칼 Cauchy 테스트를 사용하려면 추가 공식에 대한 지식(또는 증명)이 필요합니다. 따라서, 이 상황에서 Alamber D" 기능을 사용하는 것이 더 편리합니다.

답변: 행이 분기됩니다.

실시예 2

범위 탐색 $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

합계의 하한이 1이므로 급수의 공통 항은 합계 기호 아래에 작성됩니다. $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

급수의 공통 항은 근에 다항식을 포함합니다. $ \ sqrt (4n + 5) $, 계승 $ (3n-2)! $. 표준 예에서 계승의 존재는 Alamber의 특성 D의 사용을 거의 100% 보장합니다.

이 기능을 적용하려면 $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ 비율의 극한을 찾아야 합니다. $ u_ (n + 1) $를 쓰려면 $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $이므로 $ u_ (n + 1) $의 공식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또 다른:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

이 표기법은 극한 미만의 분수를 취소해야 할 때 추가 솔루션에 편리합니다. 계승과의 동등성에 대한 설명이 필요한 경우 아래 메모를 확장하십시오.

평등 $ (3n + 1)! = (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $를 어떻게 얻었습니까? 표시 \ 숨기기

표기법 $ (3n + 1)!$ 1에서 $ 3n + 1 $까지의 모든 자연수의 곱을 의미합니다. 저것들. 이 표현식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

숫자 $ 3n + 1 $ 바로 앞에 숫자가 하나 적습니다. 숫자 $ 3n + 1-1 = 3n $. 그리고 숫자 $ 3n $ 바로 앞에 $ 3n-1 $라는 숫자가 있습니다. 글쎄, 숫자 $ 3n-1 $ 바로 앞에 $ 3n-1-1 = 3n-2 $라는 숫자가 있습니다. $ (3n + 1)에 대한 공식을 다시 작성해 봅시다!

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

$ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $ 제품은 무엇입니까? 이 제품은 $(3n-2)와 동일합니다! 따라서 $ (3n + 1)!$에 대한 표현식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

이 표기법은 극한 미만의 분수를 취소해야 할 때 추가 솔루션에 편리합니다.

$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $의 값을 계산해 보겠습니다.

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0이므로<1$, то согласно

계열에 대한 수렴 기준.
달랑베르 간판. 코시 징후

일, 일, 그리고 이해는 나중에 온다
J.L. 달랑베르

학기 시작을 축하합니다! 오늘은 9월 1일이고, 명절을 맞아 독자 여러분께서 오랫동안 기다려 주셨고 알고 싶었던 사실을 알려드리기로 결정했습니다~ 양수 계열의 수렴 기준... 9월 1일의 휴일과 내 축하는 항상 관련이 있습니다. 실제로 밖이 여름이어도 괜찮습니다. 이 페이지로 이동하면 이제 세 번째 시험을 다시 보는 것입니다!

시리즈를 이제 막 공부하기 시작하는 분들은 먼저 기사를 읽어보시길 권합니다. 인형을 위한 숫자 시리즈... 사실 이 카트는 연회의 연속이다. 따라서 오늘 수업에서 우리는 주제에 대한 예와 솔루션을 살펴볼 것입니다.

실제 사례에서 볼 수 있는 일반적인 비교 기호 중 하나는 달랑베르 기호입니다. 코시 징후는 덜 일반적이지만 매우 인기가 있습니다. 항상 그렇듯이 자료를 간단하고 접근 가능하며 이해할 수 있는 방식으로 제시하려고 노력할 것입니다. 주제는 가장 어렵지 않으며 모든 작업은 어느 정도 스텐실 가능합니다.

달랑베르 수렴 테스트

Jean Leron D'Alembert는 18세기의 유명한 프랑스 수학자입니다. 일반적으로 D'Alembert는 미분방정식을 전문으로 하며 그의 연구를 기반으로 탄도학에 종사하여 폐하가 더 나은 포탄을 날릴 수 있었습니다. 동시에 나폴레옹 군대의 계급이 그렇게 명확하게 수렴 및 분기 된 것은 숫자 순위를 잊지 않았습니다.

기능 자체를 공식화하기 전에 다음과 같은 중요한 질문을 고려하십시오.
달랑베르 수렴기준은 언제 적용해야 하나요?

반복부터 시작합시다. 가장 인기있는 것을 사용해야하는 경우를 상기합시다. 한계 비교 기준... 제한적 비교 기준은 계열의 공통 항에서 다음과 같은 경우에 적용됩니다.

1) 분모는 다항식을 포함합니다.
2) 다항식은 분자와 분모 모두에 있습니다.
3) 하나 또는 두 개의 다항식이 근에 있을 수 있습니다.
4) 물론 더 많은 다항식과 근이 있을 수 있습니다.

달랑베르 기능을 사용하기 위한 주요 전제 조건은 다음과 같습니다.

1) 계열의 일반적인 용어( 계열의 "stuffing")에는 예를 들어 몇 가지 거듭제곱이 포함됩니다. 또한이 물건이 분자 또는 분모에있는 위치는 전혀 중요하지 않습니다. 거기에 존재하는 것이 중요합니다.

2) 계승은 급수의 일반항에 포함된다. 우리는 숫자 순서와 그 한계 수업에서 계승과 칼을 교차했습니다. 그러나 자체 조립 식탁보를 다시 펼치는 것은 아프지 않습니다.





…


…

! d'Alembert 테스트를 사용할 때 factorial을 자세히 설명하면 됩니다. 이전 단락에서와 같이 계승은 분수의 상단 또는 하단에 위치할 수 있습니다.

3) 계열의 공통 용어에 "인자 연쇄"가 있는 경우, 예를 들어, ... 이런 경우는 드물지만! 이러한 시리즈를 검사할 때 종종 실수가 발생합니다(예제 6 참조).

거듭제곱 및 (및) 계승과 함께 다항식은 급수 채우기에서 종종 발견되며 이는 문제를 변경하지 않습니다. 달랑베르 기호를 사용해야 합니다.

또한 시리즈의 일반 용어에서 차수와 계승을 동시에 찾을 수 있습니다. 2개의 팩토리얼, 2개의 도가 있을 수 있습니다. 적어도 뭔가고려한 점에서 - 그리고 이것은 달랑베르 기호를 사용하기 위한 전제 조건일 뿐입니다.

달랑베르 사인: 고려하다 양수 시리즈... 다음 구성원과 이전 구성원 간의 관계에 제한이 있는 경우:
a) 시리즈의 경우 수렴
b) 시리즈의 경우 발산
다) 언제 사인은 답을 주지 않는다... 다른 기호를 사용해야 합니다. 대부분의 경우 단위는 d'Alembert 테스트를 제한 비교 기능을 사용해야 하는 곳에 적용하려고 할 때 얻습니다.

여전히 한계에 문제가 있거나 한계에 대한 오해가 있는 사람은 수업을 참조하십시오. 제한. 솔루션의 예... 불행히도 한계와 불확실성을 공개할 수 있는 능력 없이는 더 이상 발전할 수 없습니다.

그리고 이제 오랫동안 기다려온 예입니다.

실시예 1

우리는 우리가 시리즈의 공통 용어에 있음을 알 수 있으며 이것이 d'Alembert 기호를 사용하기 위한 올바른 전제 조건입니다. 첫째, 완전한 솔루션과 샘플 디자인이 아래에 설명되어 있습니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.


수렴합니다.
(1) 우리는 시리즈의 다음 구성원과 이전 구성원의 비율을 구성합니다. 조건에서 우리는 시리즈의 공통 용어가 있음을 알 수 있습니다. 시리즈의 다음 멤버를 얻으려면 다음이 필요합니다. 대신 대체: .
(2) 4층 분수를 없애기. 솔루션에 대한 약간의 경험이 있으면 이 단계를 건너뛸 수 있습니다.
(3) 분자의 괄호를 확장합니다. 분모에서 우리는 차수에서 4를 꺼냅니다.
(4) 줄입니다. 상수는 한계 기호에서 벗어납니다. 우리는 괄호 안의 분자에 유사한 용어를 제공합니다.
(5) 분자와 분모를 가장 높은 거듭제곱에서 "en"으로 나누는 표준 방식으로 불확실성이 제거됩니다.
(6) 분자 항을 분모로 나누고 0이 되는 항을 표시하십시오.
(7) 우리는 답을 단순화하고 d' Alembert 테스트에 따라 연구 중인 시리즈가 수렴한다는 결론에 주목합니다.

고려된 예에서 급수의 공통 항에서 우리는 2차 다항식을 만났습니다. 3차, 4차 또는 그 이상의 다항식이 있으면 어떻게 됩니까? 사실은 더 높은 차수의 다항식이 주어지면 대괄호를 여는 데 어려움이 있다는 것입니다. 이 경우 "터보" 솔루션을 사용할 수 있습니다.

실시예 2

유사한 급수를 취하여 수렴 여부를 조사합니다.

먼저 완전한 솔루션을 제공한 다음 주석을 추가합니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.


따라서 연구 중인 시리즈 수렴.

(1) 관계를 구성합니다.

(3) 표현을 고려 분자로 표현하고 분모로 표현 분자에서 괄호를 열고 4승을 올려야 한다는 것을 알 수 있습니다. 절대 하고 싶지 않은 일입니다. 그리고 Newton의 이항식에 익숙하지 않은 사람들에게는 이 작업이 훨씬 더 어려울 것입니다. 더 높은 차수를 분석해 봅시다. 상단의 괄호를 확장하면 , 우리는 가장 높은 학위를 얻습니다. 아래에는 동일한 수석 학위가 있습니다. 앞의 예와 유추하여 분자와 분모를 항으로 나눌 때 극한에서 하나를 얻음이 분명합니다. 또는 수학자들이 말했듯이 다항식 그리고 - 같은 성장 순서... 따라서 관계에 동그라미를 칠 수 있습니다. 간단한 연필로 즉시 이것이 하나의 경향이 있음을 나타냅니다. 우리는 비슷한 방식으로 두 번째 다항식 쌍을 처리합니다. 같은 성장 순서, 그리고 그들의 비율은 일치하는 경향이 있습니다.

사실, 그러한 "해킹"은 예 1에서 수행될 수 있었지만, 2차 다항식의 경우 그러한 솔루션은 여전히 ​​어쩐지 위엄이 없어 보입니다. 개인적으로 저는 이렇게 합니다. 1차 또는 2차 다항식(또는 다항식)이 있는 경우 예제 1을 풀기 위해 "긴" 방법을 사용합니다. 3차 이상의 다항식을 발견하면 "turbo" -예 2와 유사한 방법.

실시예 3

수렴에 대한 계열 조사

계승이 있는 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

실시예 4

수렴에 대한 계열 조사

급수의 일반 항에는 차수와 계승이 모두 포함됩니다. 달랑베르 표지판이 여기에서 사용되어야 함은 대낮처럼 분명합니다. 우리는 결정합니다.

따라서 연구 중인 시리즈 발산.
(1) 관계를 구성합니다. 우리는 다시 한 번 반복합니다. 조건에 따라 시리즈의 일반적인 용어는 다음과 같습니다. ... 시리즈의 다음 항을 얻으려면, 대신 당신은 대체해야합니다, 이와 같이: .
(2) 4층 분수를 없애기.
(3) 정도에서 7을 꼬집습니다. 우리는 팩토리얼을 자세히 그립니다.... 이를 수행하는 방법 - 강의 시작 부분이나 숫자 시퀀스에 대한 기사를 참조하십시오.
(4) 줄일 수 있는 모든 것을 줄입니다.
(5) 상수가 극한 기호에서 벗어납니다. 분자에서 괄호를 확장합니다.
(6) 분자와 분모를 가장 높은 거듭제곱에서 "en"으로 나누어 표준 방식으로 불확실성을 제거합니다.

실시예 5

수렴에 대한 계열 조사

수업이 끝날 때 완전한 솔루션 및 샘플 설계

실시예 6

수렴에 대한 계열 조사

때때로 채우기에 "체인" 요소를 포함하는 행이 있습니다. 우리는 아직 이러한 유형의 행을 고려하지 않았습니다. 요인의 "사슬"이 있는 시리즈를 조사하는 방법은 무엇입니까? 달랑베르 기호를 사용하십시오. 그러나 먼저 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 위해 시리즈를 자세히 설명합니다.

확장에서 급수의 각 다음 항에 대해 분모에 추가 요소가 추가된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 급수의 공통 항이 , 다음 시리즈 멤버:
... 여기서 그들은 종종 자동으로 실수를 하여 다음과 같은 알고리즘에 따라 공식적으로 기록합니다.

솔루션의 대략적인 예는 다음과 같습니다.

달랑베르 기호를 사용합니다.

따라서 연구 중인 시리즈 수렴합니다.

Cauchy의 급진적 기호

Augustin Louis Cauchy는 훨씬 더 유명한 프랑스 수학자입니다. 모든 기술 학생은 Cauchy의 전기에 대해 말할 수 있습니다. 가장 아름다운 색상으로. 이 이름이 에펠탑 1층에 새겨진 것은 우연이 아닙니다.

양성 계열에 대한 Cauchy의 수렴 검정은 방금 고려한 d'Alembert 검정과 다소 유사합니다.

Cauchy의 급진적 기호:고려하다 양수 시리즈... 제한이 있는 경우:
a) 시리즈의 경우 수렴... 특히 시리즈는 수렴합니다.
b) 시리즈의 경우 발산... 특히 시리즈는 에서 분기합니다.
다) 언제 사인은 답을 주지 않는다... 다른 기호를 사용해야 합니다. 코시 검정이 급수의 수렴 문제에 대한 답을 주지 않는다면 달랑베르 검정도 답을 주지 않는다는 점은 흥미롭습니다. 그러나 달랑베르 기호가 답을 제공하지 않으면 코시 기호가 "작동"할 수 있습니다. 즉, 코시 기호는 이러한 의미에서 더 강한 기호입니다.

급진적 코시 기호는 언제 사용해야 합니까? Cauchy 급진적 기준은 일반적으로 "good"이라는 루트가 계열의 공통 구성원에서 추출되는 경우에 사용됩니다. 일반적으로 이 고추는 에 의존하는... 이국적인 경우도 있지만 신경 쓰지 않을 것입니다.

실시예 7

수렴에 대한 계열 조사

우리는 분수가 "en"에 따라 완전히 아래에 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 급진적 Cauchy 기준을 사용해야 함을 의미합니다.


따라서 연구 중인 시리즈 발산.

(1) 우리는 시리즈의 공통 용어를 루트로 형성합니다.

(2) power 속성을 사용하여 루트 없이 동일한 것을 다시 작성합니다.
(3) 지수에서 분자를 분모 항으로 나누어 다음을 나타냅니다.
(4) 결과는 불확실성입니다. 여기서 하나는 먼 길을 갈 수 있습니다. 큐브로 빌드하고 큐브로 빌드한 다음 큐브에서 분자와 분모를 "en"으로 나눕니다. 그러나 이 경우 더 효율적인 솔루션이 있습니다. 이 기술은 차수 상수 바로 아래에서 사용할 수 있습니다. 불확실성을 제거하려면 분자와 분모를 (다항식의 가장 높은 차수)로 나눕니다.

(5) 항으로 나눗셈을 수행하고 0에 가까운 항을 표시합니다.
(6) 답을 떠올리고 표시한 다음 시리즈가 발산한다는 결론을 내립니다.

다음은 DIY 솔루션에 대한 더 간단한 예입니다.

실시예 8

수렴에 대한 계열 조사

그리고 몇 가지 더 일반적인 예입니다.

수업이 끝날 때 완전한 솔루션 및 샘플 설계

실시예 9

수렴에 대한 계열 조사
우리는 급진적 코시 기호를 사용합니다.


따라서 연구 중인 시리즈 수렴.

(1) 우리는 시리즈의 공통 용어를 루트 아래에 놓습니다.

(2) 약식 곱셈 공식을 사용하여 괄호를 확장하면서 루트 없이 동일하게 다시 작성합니다. .
(3) 지시자에서 분자를 분모항으로 나누어 항으로 표시한다.
(4) 형태의 불확도를 구하고 여기에서도 차수 바로 아래에 나눗셈을 할 수 있다. 그러나 한 가지 조건으로:다항식의 가장 높은 차수의 계수는 달라야 합니다. 우리는 그것들이 서로 다르기 때문에(5와 6), 두 층을 나누는 것이 가능하고 필요합니다. 이러한 계수가 동일하다, 예를 들어 (1 및 1): 이 트릭은 작동하지 않으므로 다음을 사용해야 합니다. 두 번째 멋진 한계... 당신이 기억한다면, 이러한 미묘함은 기사의 마지막 단락에서 고려되었습니다. 제한 해결 방법.

(5) 실제로, 항별로 나누기를 수행하고 어떤 항이 0이 되는 경향이 있는지 나타냅니다.
(6) 불확실성이 제거되고 가장 간단한 한계가 있습니다. 왜 무한히 큰학위가 0이 되는 경향이 있습니까? 차수의 밑이 부등식을 만족하기 때문입니다. 누구든지 한도의 공정성에 의문이 있는 경우 , 그러면 나는 게으르지 않을 것이고 계산기를 집어들 것입니다.
그렇다면
그렇다면
그렇다면
그렇다면
그렇다면
… 등. 무한대로 - 즉, 한계에서 :

그냥 똑같다 무한히 감소하는 기하학적 진행손가락에 =)
! 이 트릭을 증거로 사용하지 마십시오! 어떤 것이 분명하다고 해서 그것이 옳은 것은 아니기 때문입니다.

(7) 우리는 급수가 수렴한다는 결론을 내림을 지적합니다.

실시예 10

수렴에 대한 계열 조사

이것은 DIY 솔루션의 예입니다.

때로는 다음과 같이 솔루션에 대한 도발적인 예가 제공됩니다. 여기 지수에서 아니 "엔", 상수만. 여기에서 분자와 분모(다항식을 얻음)를 제곱한 다음 기사의 알고리즘을 따라야 합니다. 인형을 위한 행... 이러한 예에서는 계열 수렴에 필요한 기준 또는 제한 비교 기준이 작동해야 합니다.

적분 코시 테스트

또는 통합 기능일 뿐입니다. 첫 강좌의 교재를 제대로 마스터하지 못한 분들을 실망시키겠습니다. 코시 적분 기준을 적용하기 위해서는 어느 정도 자신 있게 도함수, 적분을 찾을 수 있어야 하고 계산 능력도 있어야 합니다. 부적절한 적분첫 번째 종류의.

미적분학 교과서에서 적분 코시 테스트수학적으로 엄격하게 주어지지만 너무 왜곡되어 있으므로 기준을 너무 엄격하지 않고 이해할 수 있도록 공식화합니다.

고려하다 양수 시리즈... 부적절한 적분이 있는 경우 급수는 이 적분과 함께 수렴하거나 발산합니다.

그리고 즉시 설명을 위한 예:

실시예 11

수렴에 대한 계열 조사

거의 클래식. 자연 로그와 일종의 비아카.

적분 코시 기준을 사용하는 주요 전제급수의 공통 항에는 일부 함수 및 그 파생물과 유사한 요소가 포함되어 있다는 사실입니다. 주제에서