세그먼트의 직선 방정식

직선의 일반 방정식이 주어집니다.

해당 좌표축에서 직선으로 잘린 세그먼트는 세그먼트의 직선 방정식입니다.

일반 방정식으로 주어진 직선을 구성하십시오.

여기에서 이 직선의 방정식을 세그먼트로 구성할 수 있습니다.

평면에 직선의 상호 배열.

진술 1.

직선과 방정식으로 주어진 순서:

동시에 다음이 필요하고 충분합니다.

증명: 방향 벡터가 일치하고 동일선상에 있습니다. 즉:

다음 라인으로 점 М 0을 취하십시오.

첫 번째 방정식을 곱하고 (2)를 통해 두 번째 방정식을 더하면 다음을 얻습니다.

따라서 공식 (2), (3) 및 (4)는 동일합니다. (2)를 유지하면 시스템 (*)의 방정식이 동일하며 해당 직선이 일치합니다.

진술 2.

다음과 같은 경우에만 직선과 방정식(*)으로 주어진 직선은 평행하며 일치하지 않습니다.

증거:

일치하지 않더라도:

불일치, 즉 Kronecker-Capelli 정리에 따르면:

다음과 같은 경우에만 가능합니다.

즉, 조건 (5)에서.

첫 번째 등식(5)이 충족되면 - 두 번째 등식을 충족하지 않으면 시스템(*)이 호환되지 않으며 직선이 평행하며 일치하지 않습니다.

비고 1.

극좌표계.

우리는 평면에 한 점을 고정하고 그것을 극이라고 부릅니다. 극에서 나오는 광선을 극축이라고 합니다.

세그먼트의 길이를 측정하기 위한 척도를 선택하고 시계 반대 방향으로 m을 중심으로 회전하는 것이 양수로 간주된다는 데 동의합시다. 주어진 평면의 임의의 점을 고려하고 극점까지의 거리로 표시하고 극 반지름이라고 합니다. 극축이 일치하도록 회전해야 하는 각도는 로 표시되고 극각이라고 합니다.

정의 3.

한 점의 극좌표를 극 반지름과 극각이라고 합니다.

비고 2. 극에서. 포인트 이외의 포인트에 대한 값은 summand까지 결정됩니다.

직교 좌표계를 고려하십시오. 극은 원점과 일치하고 극축은 양의 반축과 일치합니다. 여기. 그 다음에:

직교 직교 좌표계와 극좌표계 사이의 관계는 무엇입니까?

베르누이 렘니스케이트 방정식. 극좌표계로 씁니다.

평면 위의 직선의 정규 방정식. 극축이 원점을 통과하는 축과 일치하도록하십시오. 하자:

그럼:

포인트의 조건(**):

극좌표계에서 직선의 방정식.

원점에서 직선까지의 길이는 축에 대한 법선의 경사각입니다.

식 (7)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

평면 위의 직선의 정규 방정식.

약간의 아핀 좌표계 OXY가 주어집니다.

정리 2.1.모든 스트레이트 엘좌표계 ОX는 다음 형식의 선형 방정식으로 제공됩니다.

NS NS+ 나 와이+ C = O, (1)

여기서 А, В, С R 및 А 2 + В 2 0. 반대로, 형식 (1)의 방정식은 직선을 정의합니다.

형식 (1)의 방정식 - 선의 일반 방정식 .

방정식 (1)에서 모든 계수 A, B 및 C는 0이 아닙니다. 그 다음에

Ax-By = -C 및.

-C / A = a, -C / B = b라고 합시다. 우리는 얻는다

-선분 방정식 .

실제로 숫자 | | 와 | b | 직선으로 잘린 세그먼트의 값을 나타냅니다. 엘 OX 및 OY 축에 각각.

똑바로하자 엘직교 좌표계에서 일반 방정식 (1)로 주어지며 점 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)가 엘... 그 다음에

NS NS 1 + B ~에 1 + C = A NS 2 + B ~에 2 + C, 즉 A( NS 1 -NS 2) + 나 ( ~에 1 -~에 2) = 0.

마지막 같음은 벡터 = (A, B)가 벡터 = (x 1 -x 2, y 1 -y 2)에 직교한다는 것을 의미합니다. 저것들. 벡터 (A, B)는 선 l의 법선 벡터.

벡터 = (- B, A)를 고려하십시오. 그 다음에

A(-B) + BA = 0. 저것들. ^.

따라서 벡터 = (- B, A)는 매운맛의 방향 벡터입니다. 엘.

직선의 매개변수 및 정준 방정식

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식

아핀 좌표계(0, X, Y)에 직선이 주어집니다. 엘, 방향 벡터 = (m, n) 및 점 M 0 ( NS 0 ,와이 0) 소유 엘... 그런 다음 임의의 점 M( NS,~에) 우리가 가지고 있는 이 라인의

그래서 어떻게 .

우리가 표시하고

점 M 및 M 0의 반경 벡터는 각각 다음과 같습니다.

- 벡터 형태의 직선 방정식.

이후 = ( NS,~에), =(NS 0 ,~에 0) 그럼

NS= NS 0 + 산,

와이= 와이 0 + NT

- 직선의 매개변수 방정식 .

따라서 다음이 따른다.

- 선의 정준 방정식 .

마지막으로 직선이라면 엘두 점 M 1 ( NS 1 ,~에 1) 그리고

남 2 ( NS 2 ,~에 2), 벡터 = ( NS 2 -NS 1 ,와이 2 -~에 1) 이다 안내 벡터 직선 엘... 그 다음에

- 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식.

두 직선의 상대적 위치.

직선을 보자 엘 1 및 엘 2는 일반 방정식으로 주어집니다.

엘 1: 1 NS+ B 1 ~에+ С 1 = 0, (1)

엘 2: 에이 2 NS+ B 2 ~에+ C 2 = 0.

정리... 직선을 보자 엘 1 및 엘 2는 식 (1)로 주어진다. 그리고 나서야:

1) 직선은 다음과 같은 숫자 λ가 없을 때 교차합니다.

A 1 = λA 2, B 1 = λB 2;

2) 다음과 같은 숫자 λ가 있을 때 선이 일치합니다.

А 1 = λA 2, B 1 = λB 2, С 1 = λС 2;

3) 다음과 같은 숫자 λ가 있을 때 선은 구별되고 평행합니다.

А 1 = λA 2, В 1 = λВ 2, С 1 λС 2.

직선 묶음

직선의 무리 평면에서 한 점을 지나는 모든 선의 집합이라고 합니다. 센터 빔.

빔 방정식을 설정하려면 두 직선을 ​​아는 것으로 충분합니다. 엘 1 및 엘 2 보의 중심을 통과합니다.

아핀 좌표계에 선을 넣습니다. 엘 1 및 엘 2는 방정식으로 주어집니다.

엘 1: 1 NS+ B 1 와이+ C 1 = 0,

엘 2: 에이 2 NS+ B 2 와이+ C 2 = 0.

방정식:

1 NS+ B 1 와이+ C + λ (A 2 NS+ B 2 와이+ C) = 0

- 방정식 l 1 및 l 2로 정의되는 직선 연필의 방정식.

다음에서 좌표계란 직교 좌표계를 의미합니다. .

두 직선의 평행도와 직각도 조건

직선을 보자 엘 1 및 엘 2. 그들의 일반 방정식; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - 이 선의 법선 벡터; 케이 1 = tgα 1, 케이 2 = tgα 2 - 기울기; = ( 미디엄 1 ,N 1), (미디엄 2 ,N 2) - 방향 벡터. 그럼 바로 엘 1 및 엘 2는 다음 조건 중 하나가 충족되는 경우에만 병렬입니다.

또는 케이 1 =케이 2 또는.

이제 직선을 보자 엘 1 및 엘 2는 수직입니다. 그렇다면 분명히 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0입니다.

스트레이트인 경우 엘 1 및 엘 2는 방정식으로 주어집니다.

엘 1: ~에=케이 1 NS+ NS 1 ,

엘 2: ~에=케이 2 NS+ NS 2 ,

다음 tgα 2 = tg(90º + α) = .

따라서 다음이 따른다.

마지막으로 직선의 방향 벡터인 경우 ^, 즉,

미디엄 1 미디엄 2 + N 1 N 2 = 0

후자의 관계는 두 평면의 직각도에 대한 필요 충분 조건을 나타냅니다.

두 직선 사이의 각도

두 직선 사이의 각도 φ에서 엘 1 및 엘 2 우리는 한 직선이 다른 직선과 평행하거나 일치하도록 회전해야 하는 가장 작은 각도, 즉 0 £ φ £를 이해할 것입니다.

직선이 일반 방정식으로 주어집니다. 그것은 분명하다

cosφ =

이제 직선을 보자 엘 1 및 엘 2는 기울기 계수가 있는 방정식으로 제공됩니다. 케이 1인치 케이각각 2. 그 다음에

인 것은 분명하다( NS-NS 0) + 나 ( ~에-~에 0) + C ( 지-지 0) = 0

대괄호를 확장하고 D = -A를 표시해 보겠습니다. NS 0 - 나 ~에 0 - C 지 0. 우리는 얻는다

NS NS+ 나 와이+ C 지+ D = 0(*)

- 평면의 일반 방정식또는 평면의 일반 방정식.

정리 3.1선형 방정식(*)(A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0)은 평면의 방정식이고 그 반대도 마찬가지입니다. 평면의 모든 방정식은 선형입니다.

1) D = 0이면 평면이 원점을 통과합니다.

2) A = 0이면 평면은 OX 축에 평행합니다.

3) A = 0, B = 0이면 평면은 OXY 평면과 평행합니다.

방정식의 모든 계수를 0이 아닌 값으로 둡니다.

- 선분의 평면 방정식... 숫자 | a |, | b |, | c | 좌표축의 평면에 의해 잘린 선분의 값을 나타냅니다.

그리고 우리는 직선의 방정식의 특별한 형태를 자세히 분석 할 것입니다 -. 세그먼트의 직선 방정식의 형식으로 시작하여 예를 들어 보겠습니다. 그런 다음 세그먼트의 직선 방정식으로 제공되는 직선의 구성에 중점을 둘 것입니다. 결론적으로, 직선의 완전한 일반 방정식에서 세그먼트의 직선 방정식으로의 전환이 어떻게 수행되는지 보여줍니다.

페이지 탐색.

선분의 직선 방정식 - 설명 및 예.

Oxy를 비행기에 고정시키세요.

세그먼트의 직선 방정식직교 좌표계의 평면에서 Oxy는 a와 b가 0이 아닌 실수인 형식을 갖습니다.

세그먼트의 직선 방정식이 그런 이름을 받은 것은 우연이 아닙니다. 숫자 a와 b의 절대값은 좌표축의 직선으로 잘린 세그먼트의 길이와 같습니다. Ox와 Oy, 기원부터 세어라.

이 점을 명확히 합시다. 우리는 직선상의 임의의 점의 좌표가 이 직선의 방정식을 만족한다는 것을 알고 있습니다. 그러면 선분에서 직선의 방정식으로 주어진 직선이 점을 통과한다는 것을 분명히 알 수 있습니다. 그리고 ... 그리고 점 및 점은 각각 좌표축 Ox 및 Oy에 위치하며 a 및 b 단위로 원점에서 제거됩니다. 숫자 및 b에 대한 기호는 선분을 배치해야 하는 방향을 나타냅니다. "+" 기호는 세그먼트가 좌표축의 양의 방향으로 배치되었음을 의미하고 "-" 기호는 반대를 의미합니다.

위의 모든 것을 설명하는 개략도를 그려 보겠습니다. 세그먼트의 직선 방정식에서 숫자 a와 b의 값에 따라 고정 직교 좌표계 Oxy를 기준으로 직선의 위치를 ​​나타냅니다.

이제 선분의 직선 방정식을 사용하면 직교 좌표계 Oxy에서 이 직선을 쉽게 구성할 수 있다는 것이 분명해졌습니다. 뷰의 세그먼트에서 직선의 방정식으로 주어지는 직선을 작성하려면 평면에 직교 좌표계의 점을 표시한 다음 자를 사용하여 직선으로 연결해야 합니다.

예를 들어 보겠습니다.

예시.

뷰 세그먼트에서 직선의 방정식으로 지정된 직선을 그립니다.

해결책.

주어진 선분의 직선 방정식에서 직선이 점을 통과하는 것을 볼 수 있습니다. ... 우리는 그것들을 표시하고 직선으로 연결합니다.

직선의 일반 방정식을 세그먼트의 직선 방정식으로 줄입니다.

평면 위의 직선과 관련된 몇 가지 문제를 풀 때 선분의 직선 방정식으로 작업하는 것이 편리합니다. 그러나 평면에서 직선을 정의하는 다른 유형의 방정식이 있습니다. 따라서 주어진 직선 방정식에서 이 직선의 방정식으로의 전환을 세그먼트로 수행해야 합니다.

이 하위 섹션에서는 직선의 완전한 일반 방정식이 주어진 경우 세그먼트에서 직선의 방정식을 얻는 방법을 보여줍니다.

평면에서 직선의 완전한 일반 방정식을 알려주십시오. ... A, B, C는 0이 아니므로 숫자 C를 같음의 오른쪽으로 옮기고 결과 같음의 양변을 -C로 나누고 x와 y에 대한 계수를 분모에 보낼 수 있습니다.
.

(마지막 전환에서 우리는 평등을 사용했습니다. ).

그래서 우리는 직선의 일반 방정식에서 세그먼트의 직선 방정식으로 전달됩니다. 여기서 .

예시.

직교 좌표계 Oxy의 직선은 다음 방정식으로 주어집니다. ... 이 선의 방정식을 선분으로 작성하십시오.

해결책.

주어진 평등의 오른쪽으로 1초를 ​​전송합시다: ... 이제 결과 평등을 두 부분으로 나눕니다. ... 결과 평등을 원하는 형식으로 변환하는 것이 남아 있습니다. ... 그래서 우리는 세그먼트에서 직선의 필요한 방정식을 얻었습니다.

답변:

직선이 결정되면

직선 Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0의 일반 방정식에서 -C로 나누면 다음을 얻습니다.

계수의 기하학적 의미는 계수가 NS는 Ox 축과 직선의 교차점의 좌표이고, NS- 직선과 Oy 축의 교차점 좌표.

예시. 직선 x - y + 1 = 0의 일반 방정식이 주어지고 이 직선의 방정식을 세그먼트로 찾으십시오.

C = 1, a = -1, b = 1.

직선의 정규 방정식.

방정식 Ax + Vy + C = 0의 양변을 숫자로 나누면 정규화 인자, 그럼 우리는

Xcosj + ysinj - p = 0 -

직선의 정규 방정식.

정규화 계수의 ± 부호는 m × С가 되도록 선택해야 합니다.< 0.

p는 원점에서 직선으로 떨어지는 수직선의 길이이고, j는 Ox축의 양의 방향과 수직선이 이루는 각도입니다.

예시. 직선 12x - 5y - 65 = 0의 일반 방정식이 주어지며, 이 직선의 다양한 방정식을 작성해야 합니다.

이 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

기울기가 있는 이 직선의 방정식: (5로 나누기)

직선의 정규 방정식:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; 피 = 5.

예를 들어 축에 평행하거나 원점을 통과하는 직선과 같이 모든 직선을 세그먼트의 방정식으로 나타낼 수 있는 것은 아닙니다.

예시. 직선은 좌표축에서 동일한 양의 세그먼트를 자릅니다. 이 선분에 의해 형성된 삼각형의 면적이 8cm 2이면 직선 방정식을 만드십시오.

직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

= -4는 문제 설명과 일치하지 않습니다.

총계: 또는 x + y - 4 = 0.

예시. 점 A(-2, -3)를 지나는 직선과 원점의 방정식을 그려라.

직선 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 여기서 x 1 = y 1 = 0입니다. x 2 = -2; y 2 = -3.

주어진 점을 지나는 직선의 방정식

주어진 선에 수직입니다.

정의.점 M 1 (x 1, y 1)을 지나고 직선 y = kx + b에 수직인 직선은 다음 방정식으로 표현됩니다.

평면에서 직선 사이의 각도입니다.

정의.두 직선 y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 가 주어지면 이 직선 사이의 예각은 다음과 같이 정의됩니다.

k 1 = k 2이면 두 직선이 평행합니다.

k 1 = -1 / k 2인 경우 두 직선은 수직입니다.

정리. 직선 Ax + Vy + C = 0 및 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0은 비례 계수 A 1 = lA, B 1 = lB일 때 평행합니다. 또한 С 1 = lС이면 선이 일치합니다.

두 직선의 교차점 좌표는 이러한 직선의 방정식 시스템에 대한 솔루션으로 발견됩니다.

점에서 선까지의 거리입니다.

정리. 점 M(x 0, y 0)이 주어지면 직선 Ax + Vy + C = 0까지의 거리는 다음과 같이 결정됩니다.

증거.점 M 1 (x 1, y 1)을 점 M에서 주어진 직선으로 떨어뜨린 수직선의 밑이라고 하자. 그런 다음 점 M과 M 1 사이의 거리:

좌표 x 1 및 y 1은 연립방정식의 해로 찾을 수 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식은 주어진 직선에 수직인 주어진 점 M 0 을 지나는 직선의 방정식입니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 다음 형식으로 변환하면

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

그런 다음 해결하면 다음을 얻습니다.

이 식을 방정식 (1)에 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.

정리가 증명되었습니다.

예시 . 직선 사이의 각도를 결정하십시오. y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

예시. 직선 3x - 5y + 7 = 0과 10x + 6y - 3 = 0이 수직임을 보여주세요.

k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1이므로 직선은 수직입니다.

예시. 삼각형 A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1)의 꼭짓점이 주어집니다. 꼭짓점 C에서 그린 높이에 대한 방정식을 찾으십시오.

측면 AB의 방정식을 찾습니다. 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

필요한 높이 방정식은 Ax + By + C = 0 또는 y = kx + b입니다.

케이 =. 그런 다음 y =. 때문에 높이가 점 C를 통과하면 좌표가 다음 방정식을 충족합니다. b = 17일 때. 합계:.

답: 3x + 2y - 34 = 0.

2차 곡선.

2차 곡선은 다음 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

축 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

이 방정식이 아래 형식 중 하나로 표현될 수 있는 좌표계(반드시 직교 직각이 아님)가 있습니다.

1) - 타원의 방정식.

2) - "허수" 타원의 방정식.

3) - 쌍곡선의 방정식.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - 교차하는 두 선의 방정식.

5) y 2 = 2px - 포물선 방정식.

6) y 2 - a 2 = 0은 두 평행선의 방정식입니다.

7) y 2 + a 2 = 0은 두 개의 "가상" 평행선의 방정식입니다.

8) y 2 = 0은 한 쌍의 일치하는 직선입니다.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2는 원의 방정식입니다.

원.

원 (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 에서 중심 좌표는 (a, b)입니다.

예시. 방정식이 다음 형식으로 주어진 경우 중심 좌표와 원의 반지름을 찾으십시오.

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

중심 좌표와 원의 반지름을 찾으려면 이 방정식을 위의 단락 9에 표시된 형식으로 줄여야 합니다. 이렇게 하려면 완전한 사각형을 선택하십시오.

x 2 + y 2 - 4x + 2.5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2.5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

여기에서 우리는 O(2; -5/4)를 찾습니다. R = 11/4.

타원.

정의. 타원방정식에 의해 주어진 곡선이라고 합니다.

정의. 초점그러한 두 점을 타원의 임의의 점까지의 거리의 합이 상수라고 합니다.

F 1, F 2 - 초점. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - 초점 사이의 절반 거리;

a - 반 장축;

b - 반단축.

정리. 타원의 초점 거리와 반축은 다음 비율과 관련이 있습니다.

a 2 = b 2 + c 2.

증거:점 M이 타원과 수직축의 교차점에 있는 경우 r 1 + r 2= 2(피타고라스 정리에 따름). 점 M이 타원과 수평축의 교차점에 있는 경우, r 1 + r 2 = a - c + a + c.때문에 정의에 따라 금액 r 1 + r 2상수 값이고, 평등하면 다음을 얻습니다.

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

정의.타원의 모양은 장축에 대한 초점 거리의 비율인 특성에 의해 결정되며 이심률.

때문에 ~와 함께< a, то е < 1.

정의.수량 k = b / a라고 합니다 압축비타원이며 수량 1 - k = (a - b) / a가 호출됩니다. 짜내다타원.

압축비와 편심률은 k 2 = 1 - e 2의 비율로 관련됩니다.

a = b (c = 0, e = 0, 초점 병합)이면 타원이 원으로 바뀝니다.

점 M(x 1, y 1)에 대해 조건이 충족되면 타원 내부에 있고, 그렇다면 점은 타원 외부에 있습니다.

정리. 타원에 속하는 임의의 점 M(x, y)에 대해 다음 관계가 성립합니다.:

R 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

증거.위에서 r 1 + r 2 = 2a임을 나타내었다. 또한 기하학적 이유로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

유사한 항을 제곱하고 줄인 후:

r 2 = a + ex도 유사하게 증명할 수 있습니다. 정리가 증명되었습니다.

두 개의 직선이 타원에 연결되어 있습니다. 이사... 방정식은 다음과 같습니다.

X = a / e; x = -a / e.

정리. 한 점이 타원 위에 놓이려면 초점까지의 거리와 해당 직사각선까지의 거리의 비율이 이심률 e와 같아야 하고 충분합니다.

예시. 왼쪽 초점을 통과하는 직선과 다음 방정식으로 주어진 타원의 맨 아래 정점을 동일시합니다.

1) 아래쪽 꼭짓점의 좌표: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) 왼쪽 초점의 좌표: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2(-3, 0).

3) 두 점을 지나는 직선의 방정식:

예시. 초점이 F 1 (0; 0), F 2 (1; 1)이고 장축이 2이면 타원의 방정식을 작성하십시오.

타원 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 초점 간 거리:

2c =, 그래서 a 2 - b 2 = c 2 = ½

조건 2a = 2에 따라 a = 1, b =

쌍곡선.

정의. 과장주어진 두 점으로부터의 거리 차이의 계수가 되는 평면의 점 집합이라고 합니다. 트릭초점 사이의 거리보다 작은 상수 값이 있습니다.

정의에 따르면 ïr 1 - r 2 ï = 2a입니다. F 1, F 2 - 쌍곡선의 초점. F 1 F 2 = 2c.

쌍곡선에서 임의의 점 M(x, y)을 선택합시다. 그 다음에:

표시 c 2 - a 2 = b 2 (기하학적으로 이 값은 보조 반축임)

표준 쌍곡선 방정식을 받았습니다.

쌍곡선은 초점을 연결하는 선분의 ​​중점과 좌표축에 대해 대칭입니다.

축 2a는 쌍곡선의 실제 축이라고 합니다.

축 2b는 쌍곡선의 가상 축이라고 합니다.

쌍곡선에는 두 개의 점근선이 있으며, 그 방정식은 다음과 같습니다.

정의.관계라고 한다 이심률쌍곡선, 여기서 c는 초점 사이의 거리의 절반이고 실제 반축입니다.

c 2 - a 2 = b 2를 고려하면:

a = b, e =이면 쌍곡선이 호출됩니다. 이등변 (등변).

정의.쌍곡선의 실제 축에 수직이고 중심을 중심으로 a / e 거리에 대칭으로 위치한 두 직선을 ​​호출합니다 이사과장. 그들의 방정식은 다음과 같습니다.

정리. r이 쌍곡선의 임의의 점 M에서 임의의 초점까지의 거리이고 d가 동일한 점에서 이 초점에 해당하는 방향선까지의 거리인 경우 비율 r/d는 이심률과 동일한 상수 값입니다.

증거.쌍곡선을 스케치해 보겠습니다.

명백한 기하학적 관계에서 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

a / e + d = x, 따라서 d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

표준 방정식에서: b 2 = c 2 - a 2를 고려하면:

그 이후로 c / a = e, r = ex - a.

쌍곡선의 왼쪽 가지에 대한 증명은 비슷합니다. 정리가 증명되었습니다.

예시. 꼭짓점과 초점이 ​​타원의 해당 꼭짓점과 초점에 있는 쌍곡선의 방정식을 찾으십시오.

타원의 경우: c 2 = a 2 - b 2.

쌍곡선의 경우: c 2 = a 2 + b 2.

쌍곡선 방정식:.

예시. 편심률이 2이고 초점이 포물선 매개변수의 방정식으로 타원의 초점과 일치하는 경우 쌍곡선의 방정식을 작성하십시오. 포물선의 정준 방정식을 유도합시다.

기하학적 관계에서: AM = MF; 오전 = x + p / 2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Directrix 방정식: x = -p / 2.

예시 . 포물선 y 2 = 8x에서 방향으로부터의 거리가 4인 점을 찾습니다.

포물선 방정식에서 p = 4임을 알 수 있습니다.

r = x + p / 2 = 4; 그 후:

x = 2; y 2 = 16; y = ± 4. 검색 포인트: M 1(2, 4), M 2(2, -4).

예시. 극좌표계에서 곡선의 방정식은 다음과 같습니다.

직교 좌표계에서 곡선의 방정식을 찾고, 곡선의 유형을 결정하고, 초점과 이심률을 찾습니다. 곡선을 도식적으로 만듭니다.

직교 직교 좌표계와 극좌표계 사이의 연결을 사용해 보겠습니다.

표준 쌍곡선 방정식을 받았습니다. 방정식에서 쌍곡선이 Ox 축을 따라 왼쪽으로 5만큼 이동하고 주 반축 a는 4와 같고 부 반축 b는 3과 같으며 여기서 c 2 = a 2 + b를 얻습니다. 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

F 1(-10, 0), F 2(0, 0)에 초점을 맞춥니다.

이 쌍곡선을 그려봅시다.

평면 위의 직선 방정식.
방향 벡터는 직선입니다. 법선 벡터

평면 위의 직선은 초등학교 때부터 알고 있는 가장 단순한 기하학적 모양 중 하나이며, 오늘은 해석 기하학의 방법을 사용하여 이에 대처하는 방법을 배웁니다. 재료를 마스터하려면 직선을 만들 수 있어야 합니다. 직선, 특히 원점을 통과하는 직선과 좌표축에 평행한 직선을 정의하는 데 사용되는 방정식을 알 수 있습니다. 이 정보는 설명서에서 찾을 수 있습니다 기본 함수의 그래프와 속성, 나는 matan을 위해 만들었지만 선형 함수에 대한 섹션은 매우 성공적이고 세부적인 것으로 판명되었습니다. 그러므로 친애하는 찻주전자, 먼저 거기에서 워밍업하십시오. 또한 기본 지식이 있어야 합니다. 벡터, 그렇지 않으면 자료에 대한 이해가 불완전합니다.

이 수업에서는 평면에 직선의 방정식을 쓸 수 있는 방법을 살펴보겠습니다. 나는 실용적인 예(매우 단순해 보일지라도)를 무시하지 않는 것이 좋습니다. 왜냐하면 저는 기초적이고 중요한 사실, 고등 수학의 다른 섹션을 포함하여 미래에 필요할 기술을 제공할 것이기 때문입니다.

• 기울기가 있는 직선의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
• 어떻게 ?
• 직선의 일반 방정식으로 방향 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?
• 점과 법선 벡터에서 직선의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?

그리고 우리는 시작합니다:

기울기가 있는 직선의 방정식

직선 방정식의 잘 알려진 "학교" 형태는 기울기가 있는 직선의 방정식... 예를 들어, 직선이 방정식으로 주어지면 기울기는 다음과 같습니다. 이 계수의 기하학적 의미와 그 값이 직선의 위치에 미치는 영향을 고려하십시오.

기하학 과정은 다음을 증명합니다. 직선의 기울기는 각도의 탄젠트축의 양의 방향 사이그리고 이 라인:, 그리고 각도는 시계 반대 방향으로 "나사를 풀었습니다".

그림을 어지럽히지 않기 위해 두 줄만 모서리를 그렸습니다. "빨간색"선과 그 기울기를 고려하십시오. 위와 같이: (각도 "알파"는 녹색 호로 표시됨). 기울기가 있는 "파란색" 선의 경우 동등성이 true입니다("베타" 각도는 갈색 호로 표시됨). 그리고 각도의 탄젠트를 알고 있으면 필요한 경우 쉽게 찾을 수 있습니다. 그리고 코너 그 자체역함수 사용 - 아크탄젠트. 그들이 말했듯이, 삼각 테이블 또는 마이크로 계산기가 손에 있습니다. 따라서, 기울기는 가로축에 대한 직선의 경사 정도를 나타냅니다..

이 경우 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1) 기울기가 음수이면 선은 대략적으로 말하면 위에서 아래로 이동합니다. 도면의 "파란색" 및 "진홍색" 직선이 그 예입니다.

2) 기울기가 양수이면 선이 아래에서 위로 이동합니다. 도면의 "검은색" 및 "빨간색" 선을 예로 들 수 있습니다.

3) 기울기가 0이면 방정식은 형식을 취하고 해당 직선은 축에 평행합니다. 예는 "노란색" 직선입니다.

4) 축에 평행한 직선 패밀리의 경우(축 자체를 제외하고는 도면에 예가 없음), 기울기 존재하지 않는다 (정의되지 않은 접선 90도).

계수의 기울기가 클수록 직선의 그래프가 더 가파르다.

예를 들어 두 줄을 고려하십시오. 따라서 여기서 선의 기울기가 더 가파릅니다. 모듈을 사용하면 기호를 무시할 수 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 절대값기울기 계수.

차례로, 직선은 직선보다 더 가파르다. .

반대로: 계수의 기울기가 작을수록 직선이 더 평평합니다..

직접용 부등식이 참이므로 직선이 더 평평합니다. 타박상과 요철을 스스로 심지 않도록 어린이 슬라이드.

이것이 왜 필요한가?

고통을 연장하십시오 위의 사실에 대한 지식을 사용하면 그림이 "분명히 잘못된 것"으로 판명 된 경우 실수, 특히 그래프 오류를 즉시 볼 수 있습니다. 다음을 수행하는 것이 좋습니다. 바로예를 들어 직선은 매우 가파르고 아래에서 위로 가고 직선은 매우 얕고 축에 가깝고 위에서 아래로 가는 것이 분명했습니다.

기하학적 문제에서는 여러 개의 직선이 자주 나타나므로 어떻게 든 표시하는 것이 편리합니다.

명칭: 직선은 작은 라틴 문자:로 표시됩니다. 인기있는 옵션은 자연 첨자가있는 동일한 문자로 지정하는 것입니다. 예를 들어, 방금 고려한 5개의 직선은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. .

모든 직선은 두 점에 의해 고유하게 결정되므로 다음 점으로 표시할 수 있습니다. 등. 표기법은 점이 직선에 속한다는 것을 분명히 의미합니다.

약간의 워밍업 시간:

기울기가 있는 직선의 방정식을 작성하는 방법은 무엇입니까?

특정 직선에 속하는 점과 이 직선의 기울기를 알면 이 직선의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.

실시예 1

점이 이 직선에 속하는 것으로 알려진 경우 직선을 기울기와 동일시하십시오.

해결책: 직선의 방정식은 공식으로 컴파일됩니다. ... 이 경우:

답변:

시험초등 수행됩니다. 먼저 결과 방정식을 보고 기울기가 제자리에 있는지 확인합니다. 둘째, 점의 좌표는 이 방정식을 만족해야 합니다. 방정식에서 대입해 보겠습니다.

정확한 평등이 얻어지며 이는 점이 결과 방정식을 충족함을 의미합니다.

산출: 방정식이 맞습니다.

DIY 솔루션에 대한 더 까다로운 예:

실시예 2

축의 양의 방향에 대한 경사각이 알려져 있고 점이이 직선에 속하는 경우 직선의 방정식을 만드십시오.

어려운 점이 있으면 이론 자료를 다시 읽으십시오. 더 정확하게, 더 실용적으로, 나는 많은 증명을 놓치고 있습니다.

마지막 종이 울렸고 졸업 파티는 끝났고 우리 학교의 문 뒤에는 실제로 해석 기하학이 우리를 기다리고 있습니다. 장난 끝났어.... 아니면 이제 막 시작했을 수도 있습니다 =)

우리는 친숙한 것에 향수를 불러일으키고 직선의 일반 방정식에 익숙해집니다. 해석 기하학에서 사용되는 것은 이것이기 때문입니다.

직선의 일반 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.:, 몇 가지 숫자가 있습니다. 또한, 계수 동시에방정식이 의미를 잃기 때문에 0과 같지 않습니다.

양복과 넥타이로 경사 방정식을 차려 봅시다. 먼저 모든 항을 왼쪽으로 이동합니다.

"x"가 있는 용어는 첫 번째 위치에 넣어야 합니다.

원칙적으로 방정식은 이미 형식을 가지고 있지만 수학적 에티켓의 규칙에 따라 첫 번째 용어 (이 경우)의 계수는 양수여야 합니다. 표지판 변경:

이 기술적 기능을 기억하십시오!첫 번째 계수(가장 자주)를 양수로 만듭니다!

해석 기하학에서 직선의 방정식은 거의 항상 일반적인 형태로 주어집니다. 글쎄, 필요한 경우 기울기가있는 "학교"보기로 가져 오는 것이 쉽습니다 (종축에 평행 한 직선 제외).

무엇을 스스로에게 물어보자 충분한직선을 만들 줄 알아? 두 점. 그러나 나중에 이 어린 시절의 경우에 대해 더 자세히 설명하면 이제 화살표 규칙을 고수합니다. 각 직선에는 "적응"하기 쉬운 잘 정의된 기울기가 있습니다. 벡터.

선에 평행한 벡터를 이 선의 방향 벡터라고 합니다.... 분명히 모든 직선에는 무한히 많은 방향 벡터가 있으며 모두 동일 선상에 있을 것입니다(동방향이든 아니든 - 중요하지 않음).

다음과 같이 방향 벡터를 지정합니다.

그러나 하나의 벡터는 직선을 만드는 데 충분하지 않으며 벡터는 자유로우며 평면의 어떤 점에도 연결되지 않습니다. 따라서 직선에 속하는 어떤 점을 추가로 알아야 합니다.

점과 방향 벡터에서 직선을 동일시하는 방법은 무엇입니까?

직선에 속하는 어떤 점을 알고 이 직선의 방향 벡터가 있는 경우 , 이 직선의 방정식은 다음 공식으로 컴파일할 수 있습니다.:

그것은 때때로 선의 정준 방정식 .

할 때해야 할 일 좌표 중 하나가 0이면 아래에서 실제 예를 볼 것입니다. 그건 그렇고,주의 - 동시에 0 벡터는 특정 방향을 지정하지 않으므로 좌표는 0과 같을 수 없습니다.

실시예 3

점과 방향 벡터에서 직선을 동일시

해결책: 직선의 방정식은 공식에 의해 컴파일됩니다. 이 경우:

비율 속성을 사용하여 분수를 제거합니다.

그리고 우리는 방정식을 일반 형식으로 가져옵니다.

답변:

이러한 예의 그림은 원칙적으로 수행할 필요가 없지만 이해를 위해 다음과 같이 표시됩니다.

그림에서 시작점, 원래 방향 벡터(평면의 어떤 점과도 분리할 수 있음) 및 구성된 선을 볼 수 있습니다. 그런데 대부분의 경우 기울기가 있는 방정식을 사용하여 직선을 그리는 것이 가장 편리합니다. 우리의 방정식을 형태로 변환하고 직선을 만들기 위해 하나 이상의 점을 쉽게 선택하는 것은 쉽습니다.

이 섹션의 시작 부분에서 언급했듯이 직선에는 무한히 많은 방향 벡터가 있으며 모두 동일선상에 있습니다. 예를 들어 다음과 같은 세 개의 벡터를 그렸습니다. ... 어떤 방향 벡터를 선택하든 결과는 항상 동일한 직선 방정식이 됩니다.

한 점과 방향 벡터를 따라 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.

우리는 비율을 결정합니다.

양변을 -2로 나누면 친숙한 방정식을 얻습니다.

관심 있는 사람들은 유사하게 벡터를 테스트할 수 있습니다. 또는 다른 공선 벡터.

이제 역 문제를 해결해 보겠습니다.

직선의 일반 방정식으로 방향 벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?

매우 간단합니다.

선이 일반 방정식으로 주어지면 벡터는 이 선의 방향 벡터입니다.

직선의 방향 벡터를 찾는 예:

어설션을 사용하면 무한 집합에서 하나의 방향 벡터만 찾을 수 있지만 더 이상 필요하지 않습니다. 어떤 경우에는 방향 벡터의 좌표를 줄이는 것이 좋습니다.

따라서 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하고 결과 방향 벡터의 좌표는 -2로 편리하게 나누어 기본 벡터를 방향 벡터로 정확하게 얻습니다. 논리적입니다.

마찬가지로 방정식은 축에 평행한 직선을 지정하고 벡터의 좌표를 5로 나누어 방향 벡터로 ort를 얻습니다.

이제 실행해보자 예 3 확인... 예제가 올라갔으므로 한 점과 방향 벡터를 따라 직선의 방정식을 만들었습니다.

처음에, 직선의 방정식으로 방향 벡터를 복원합니다. - 모든 것이 정상입니다. 우리는 원래 벡터를 얻었습니다(어떤 경우에는 원래 벡터와 동일선상에 있는 것으로 판명될 수 있으며 이는 일반적으로 해당 좌표의 비례에서 쉽게 알 수 있습니다).

두 번째로, 점의 좌표는 방정식을 만족해야 합니다. 우리는 그것들을 방정식에 대입합니다:

정확한 평등을 얻었고 우리는 매우 기쁩니다.

산출: 작업이 올바르게 완료되었습니다.

실시예 4

점과 방향 벡터에서 직선을 동일시

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 공과 끝에 솔루션과 답변이 있습니다. 방금 고려한 알고리즘에 따라 확인하는 것이 좋습니다. 항상 (가능한 경우) 초안을 확인하십시오. 100% 피할 수 있는 실수를 저지르는 것은 어리석은 일입니다.

방향 벡터의 좌표 중 하나가 0인 경우 매우 간단하게 작동합니다.

실시예 5

해결책: 우변의 분모가 0이기 때문에 공식이 성립하지 않습니다. 출구가 있습니다! 비율의 속성을 사용하여 공식을 형식으로 다시 작성하고 나머지는 깊은 틀을 따라 굴립니다.

답변:

시험:

1) 직선의 방향 벡터를 재구성합니다.
- 결과 벡터는 원래 방향 벡터와 동일선상에 있습니다.

2) 점의 좌표를 다음 방정식에 대입합니다.

올바른 평등이 얻어진다

산출: 작업이 올바르게 완료됨

어쨌든 작동하는 범용 버전이 있다면 왜 공식을 사용하지 않는가라는 질문이 제기됩니다. 두 가지 이유가 있습니다. 먼저 분수 공식 훨씬 더 잘 기억... 둘째, 보편적 공식이 없다는 것입니다. 혼란의 위험이 현저하게 증가합니다.좌표를 대체할 때.

실시예 6

점과 방향 벡터를 따라 직선을 동일시합니다.

이것은 DIY 솔루션의 예입니다.

유비쿼터스 두 가지 점으로 돌아가 보겠습니다.

두 점에서 직선의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?

두 점이 알려진 경우 이러한 점을 통과하는 직선의 방정식은 다음 공식으로 컴파일할 수 있습니다.

사실 이것은 일종의 공식이고 그 이유는 다음과 같습니다. 두 점이 알려진 경우 벡터는 이 선의 방향 벡터가 됩니다. 수업에서 인형용 벡터우리는 가장 간단한 문제를 고려했습니다. 벡터의 좌표를 두 점으로 찾는 방법입니다. 이 문제에 따르면 방향 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

메모 : 포인트를 "교환"할 수 있으며 공식을 사용할 수 있습니다. 그러한 솔루션은 동등합니다.

실시예 7

두 점에서 직선을 동일시 .

해결책: 우리는 공식을 사용합니다:

우리는 분모를 빗습니다.

그리고 덱을 섞습니다:

이제 분수를 제거하는 것이 편리합니다. 이 경우 두 부분에 6을 곱해야 합니다.

대괄호를 열고 방정식을 염두에 둡니다.

답변:

시험명백한 - 원래 점의 좌표는 결과 방정식을 충족해야 합니다.

1) 점의 좌표를 대체합니다.

진정한 평등.

2) 점의 좌표를 대체합니다.

진정한 평등.

산출: 직선의 방정식이 맞습니다.

만약에 적어도 하나점이 방정식을 충족하지 않으면 오류를 찾으십시오.

이 경우 그래픽 검증이 어렵다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 직선을 만들고 그 점에 속하는지 확인할 수 있기 때문입니다. , 그렇게 쉬운 일이 아닙니다.

또한 솔루션의 몇 가지 기술적인 측면도 언급하겠습니다. 아마도 이 작업에서는 미러 공식을 사용하는 것이 더 유리할 것입니다. 그리고 같은 지점에서 방정식을 만드십시오:

이들은 더 작은 분수입니다. 원한다면 솔루션을 끝까지 따를 수 있으며 결과는 동일한 방정식이어야 합니다.

두 번째 요점은 최종 답변을보고 더 단순화 할 수 있는지 파악하는 것입니다. 예를 들어, 방정식을 얻은 경우 2로 줄이는 것이 좋습니다. - 방정식은 동일한 직선을 설정합니다. 그러나 이것은 이미 에 대한 대화의 주제입니다. 직선의 상대 위치.

답변을 받은 후 예 7에서는 만일의 경우를 대비하여 방정식의 모든 계수가 2, 3 또는 7로 나누어 떨어지는지 확인했습니다. 대부분의 경우 이러한 축소는 솔루션 중에도 수행되지만.

실시예 8

점을 지나는 직선을 동일시 .

이것은 컴퓨팅 기술을 더 잘 이해하고 해결할 수 있는 독립 솔루션의 예입니다.

이전 단락과 유사: 공식에 있는 경우 분모 중 하나(방향 벡터의 좌표)가 사라지면 다음과 같이 다시 작성합니다. 그녀가 얼마나 어색하고 혼란스러워 보이는지 다시 한 번 주목하세요. 나는 우리가 이미 그러한 문제를 실제로 해결했기 때문에 실제적인 예를 제시하는 것이 별로 의미가 없다고 생각합니다(5, 6번 참조).

선 법선 벡터(법선 벡터)

정상이란 무엇입니까? 쉽게 말해서 법선은 수직선입니다. 즉, 선의 법선 벡터는 이 선에 수직입니다. 분명히 모든 직선에는 방향 벡터와 마찬가지로 무한히 많은 직선 벡터가 있으며 직선의 모든 법선 벡터는 동일선상에 있을 것입니다(동방향이든 아니든 - 차이 없음).

그것들로 분해하는 것은 방향 벡터를 사용하는 것보다 훨씬 더 쉬울 것입니다:

직교 좌표계에서 일반 방정식으로 선이 주어지면 벡터는 이 선의 법선 벡터입니다.

방향 벡터의 좌표가 방정식에서 조심스럽게 "끌어내야" 하는 경우 법선 벡터의 좌표는 단순히 "제거"됩니다.

법선 벡터는 항상 직선의 방향 벡터와 직교합니다. 다음을 사용하여 이러한 벡터의 직교성을 확인합시다. 내적:

방향 벡터와 동일한 방정식으로 예를 들어 보겠습니다.

한 점과 법선 벡터를 알고 직선의 방정식을 만들 수 있습니까? 뱃속으로 느낄 수 있습니다. 법선 벡터가 알려진 경우 직선의 방향이 고유하게 결정됩니다. 이것은 각도가 90도인 "강체 구조"입니다.

점과 법선 벡터에서 직선의 방정식을 만드는 방법은 무엇입니까?

직선에 속하는 어떤 점과 이 직선의 법선 벡터를 알고 있으면 이 직선의 방정식은 다음 공식으로 표현됩니다.

여기에서는 분수와 다른 놀라움 없이 모든 것이 이루어졌습니다. 이것은 우리의 법선 벡터입니다. 그를 사랑해. 그리고 존경 =)

실시예 9

한 점과 법선 벡터를 따라 직선을 동일시합니다. 직선의 방향 벡터를 찾습니다.

해결책: 우리는 공식을 사용합니다:

직선의 일반 방정식이 얻어집니다. 확인해 보겠습니다.

1) 방정식에서 법선 벡터의 좌표를 "제거"합니다. - 예, 실제로 원래 벡터는 조건에서 얻었습니다(또는 공선 벡터를 얻어야 함).

2) 점이 다음 방정식을 만족하는지 확인합니다.

진정한 평등.

방정식이 올바른지 확인한 후 작업의 두 번째, 더 쉬운 부분을 수행합니다. 직선의 방향 벡터를 제거합니다.

답변:

그림에서 상황은 다음과 같습니다.

교육 목적으로 독립 솔루션에 대한 유사한 작업:

실시예 10

한 점과 법선 벡터에서 직선을 동일시합니다. 직선의 방향 벡터를 찾습니다.

수업의 마지막 섹션에서는 덜 일반적이지만 중요한 유형의 평면에 있는 직선 방정식에 대해 설명합니다.

세그먼트의 직선 방정식.
매개변수 형식의 직선 방정식

세그먼트의 직선 방정식은 0이 아닌 상수 형식을 갖습니다. 직접 비례와 같은 일부 유형의 방정식은 이 형식으로 나타낼 수 없습니다(자유 항이 0이고 오른쪽에 1을 얻을 방법이 없기 때문에).

이것은 비유적으로 말해서 "기술적" 유형의 방정식입니다. 일반적인 작업은 직선의 일반 방정식을 선분의 직선 방정식의 형태로 나타내는 것입니다. 어떻게 편리합니까? 선분의 직선 방정식을 사용하면 직선과 좌표축의 교차점을 빠르게 찾을 수 있으며 이는 고등 수학의 일부 문제에서 매우 중요합니다.

축과 선의 교차점을 찾으십시오. 우리는 "게임"을 0으로 만들고 방정식이 형식을 취합니다. 원하는 포인트를 자동으로 얻습니다.

축과 마찬가지로 - 직선이 세로축과 교차하는 점.