적분의 가장 간단한 속성. 무한 적분의 기본 속성 우리는 "적분"의 개념을 공부합니다

적분을 푸는 것은 쉬운 작업이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 문서는 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 전혀 또는 거의 알지 못하는 사람들을 위한 것입니다. 적분 ... 왜 필요한가요? 그것을 계산하는 방법? 정적분과 부정 적분이란 무엇입니까?

당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 뜨개질로 손이 닿기 어려운 곳에서 유용한 것을 크로셰 뜨개질하는 것이라면 환영합니다! 기초 및 기타 적분을 푸는 방법과 수학에서 적분 없이는 할 수 없는 이유를 배웁니다.

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통합은 고대 이집트부터 알려져 왔습니다. 물론 현대적인 형태는 아니지만 여전히. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 대해 많은 책을 저술했습니다. 특히 두각을 나타냈다 뉴턴 그리고 라이프니츠 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다.

적분을 처음부터 어떻게 이해합니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 미적분학의 기초에 대한 기본 지식이 필요합니다. 블로그에 적분을 이해하는 데 필요한 정보가 이미 있습니다.

무한 적분

어떤 종류의 기능이 있다고 가정합니다. 에프(x) .

함수의 무한 적분 에프(x) 그런 함수를 호출 에프(x) 도함수가 함수와 동일한 것 에프(x) .

즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽으십시오.

모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한 상수에 따라 다른 함수의 도함수가 일치하기 때문에 상수의 부호는 종종 역도함수에 추가됩니다. 적분을 찾는 과정을 적분이라고 합니다.

간단한 예:

기본 함수의 역도함수를 지속적으로 계산하지 않으려면 테이블로 가져와 미리 만들어진 값을 사용하는 것이 편리합니다.

학생을 위한 완전한 적분표

한정적분

적분의 개념을 다룰 때 우리는 극소량을 다룬다. 적분은 그림의 면적, 불균일한 몸체의 질량, 고르지 않은 움직임으로 이동한 경로 등을 계산하는 데 도움이 됩니다. 적분은 무한히 많은 수의 무한히 작은 항의 합이라는 것을 기억해야 합니다.

예를 들어 어떤 함수의 그래프를 상상해 봅시다.

함수의 그래프로 둘러싸인 모양의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까? 적분 사용! 우리는 좌표축과 함수의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴을 무한히 작은 세그먼트로 나눕니다. 따라서 그림은 얇은 기둥으로 나뉩니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 되는 정도로 그것들을 줄이면 세그먼트 면적의 합은 그림의 면적이 되는 경향이 있습니다. 이것은 다음과 같이 쓰여지는 확실한 적분입니다.

점과 b를 적분의 한계라고 합니다.

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인형을 위한 적분 계산 규칙

무한 적분 속성

무한 적분을 푸는 방법? 여기서 우리는 예제를 풀 때 유용할 무한 적분의 속성을 살펴볼 것입니다.

• 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

• 정수는 적분 기호 아래에서 가져올 수 있습니다.

• 합계의 적분은 적분의 합과 같습니다. 차이에 대해서도 마찬가지입니다.

한정적분의 속성

• 선형성:

• 적분 한계가 반전되면 적분 기호가 변경됩니다.

• ~에 어느포인트들 NS, NS그리고 ~와 함께:

우리는 이미 한정적분이 합의 극한이라는 것을 알아냈습니다. 그러나 예제를 풀 때 특정 값을 어떻게 얻습니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.

통합 솔루션의 예

아래에서 우리는 무한 적분과 솔루션의 예를 고려할 것입니다. 솔루션의 복잡성을 독립적으로 파악하고 명확하지 않은 경우 의견에 질문하십시오.

자료를 통합하려면 실제로 적분을 해결하는 방법에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 바로 주어지지 않는다고 낙심하지 마십시오. 전문 학생 서비스에 연락하면 닫힌 표면에서 3중 또는 곡선 적분을 처리할 수 있습니다.

이 문서에서는 한정적분의 기본 속성에 대해 자세히 설명합니다. 그들은 Riemann 및 Darboux 적분의 개념을 사용하여 증명됩니다. 한정적분의 계산은 5가지 속성으로 인해 발생합니다. 나머지는 다양한 표현을 평가하는 데 사용됩니다.

한정적분의 기본 속성으로 진행하기 전에 가 b를 초과하지 않는지 확인해야 합니다.

한정적분의 기본 속성

정의 1

x = a에서 정의된 함수 y = f(x)는 유효한 등식 ∫ a a f(x) d x = 0과 유사합니다.

증거 1

따라서 우리는 한계가 일치하는 적분의 값이 0과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이는 리만 적분의 결과입니다. 간격 [a; a] 및 점 ζ i의 모든 선택은 x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2이기 때문에 0과 같습니다. ... ... , n, 따라서 적분 함수의 한계가 0임을 얻습니다.

정의 2

세그먼트에서 통합 가능한 함수의 경우 [a; b], 조건 ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x 가 만족됩니다.

증거 2

즉, 적분의 상한과 하한이 제자리에서 변경되면 적분의 값은 그 반대의 값으로 변경됩니다. 이 속성은 리만 적분에서 가져옵니다. 그러나 세그먼트 분할의 번호는 x = b에서 비롯됩니다.

정의 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x 는 구간 [a; NS].

증거 3

주어진 점 ζ i를 선택하여 세그먼트로 분할하기 위해 함수 y = f(x) ± g(x)의 적분 합을 기록하십시오. σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

여기서 σ f 및 σ g는 세그먼트 분할에 대한 함수 y = f(x) 및 y = g(x)의 적분 합입니다. λ = m a x i = 1, 2에서 극한에 도달한 후. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Riemann의 정의에서 이 표현은 동일합니다.

정의 4

일정한 적분의 부호를 넘어 상수 인수를 수행합니다. 구간 [a; b] k의 임의 값을 갖는 유효 부등식은 ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x 형식입니다.

증거 4

한정 적분 속성의 증명은 이전 것과 유사합니다.

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

정의 5

y = f(x) 형식의 함수가 a ∈ x, b ∈ x가 있는 구간 x에서 적분할 수 있는 경우 ∫ abf(x) dx = ∫ acf(x) dx + ∫ cbf(x) d를 얻습니다. NS.

증거 5

속성은 c ∈ a에 대해 참으로 간주됩니다. b, c ≤ a 및 c ≥ b에 대해. 증명은 이전 속성과 유사합니다.

정의 6

기능이 세그먼트에서 통합할 수 있는 기능이 있는 경우 [a; b], 모든 내부 세그먼트 c에 대해 수행할 수 있습니다. d ∈ ㄱ; NS.

증거 6

증명은 Darboux 속성을 기반으로 합니다. 세그먼트의 기존 파티션에 포인트를 추가하면 더 낮은 Darboux 합계는 감소하지 않고 상위 합계는 증가하지 않습니다.

정의 7

함수가 [a; b] f(x) ≥ 0에서 f(x) ≤ 0 x ∈ a의 모든 값에 대해; b, 그러면 우리는 ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0을 얻습니다.

속성은 리만 적분의 정의를 사용하여 증명할 수 있습니다. f(x) ≥ 0 f(x) ≤ 0인 조건에서 세그먼트 및 점 ζ i의 선택에 대한 모든 적분 합, 우리는 부정적인.

증거 7

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트에서 적분 가능한 경우 [a; b], 다음 부등식은 참으로 간주됩니다.

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, if and f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, if and f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; NS

성명서 덕분에 우리는 통합이 허용된다는 것을 알고 있습니다. 이 결과는 다른 속성을 증명하는 데 사용됩니다.

정의 8

세그먼트 [a; b] ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x 형식의 유효한 부등식이 있습니다.

증거 8

f(x) ≤ f(x) ≤ f(x)입니다. 이전 속성에서 우리는 부등식이 항별로 적분될 수 있고 형식 - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x에 해당한다는 것을 얻었습니다. 이 이중 부등식은 ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x와 같은 다른 형식으로 작성할 수 있습니다.

정의 9

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트 [a; b] 모든 x ∈ a에 대해 g(x) ≥ 0인 경우; b, 우리는 m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x 형식의 부등식을 얻습니다. 여기서 m = m i n x ∈ a; b f(x) 및 M = m a x x ∈ a; b f (x).

증거 9

증명은 비슷한 방식으로 수행됩니다. M과 m은 세그먼트 [a; b], m ≤ f(x) ≤ M. 이중 부등식에 함수 y = g(x)를 곱해야 m g(x) ≤ f(x) g(x) ≤ M g(x) 형식의 이중 부등식 값이 제공됩니다. 세그먼트 [a; b] 그러면 증명할 주장을 얻습니다.

추론: g(x) = 1의 경우 부등식은 m b - a ≤ ∫ a b f(x) d x ≤ M(b - a) 형식을 취합니다.

첫 번째 평균 값 공식

정의 10

y = f(x)의 경우 세그먼트 [a; b] m = m i n x ∈ a; b f(x) 및 M = m a x x ∈ a; b f (x) 숫자 μ ∈ m이 있습니다. M, ∫ a b f (x) d x = μ b - a에 맞습니다.

추론: 함수 y = f(x)가 세그먼트 [a; b], 숫자 c ∈ a가 있습니다. b, 등식 ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a를 충족합니다.

일반화된 형태의 첫 번째 평균값 공식

정의 11

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 세그먼트 [a; b] m = m i n x ∈ a; b f(x) 및 M = m a x x ∈ a; b f(x), 그리고 x ∈ a의 임의 값에 대해 g(x)> 0; NS. 따라서 우리는 숫자 μ ∈ m이 있음을 알 수 있습니다. M, 등식 ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x를 충족합니다.

두 번째 평균값 공식

정의 12

함수 y = f(x)가 세그먼트 [a; b]이고 y = g(x)는 단조이며 c ∈ a인 숫자가 있습니다. b, 여기서 ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

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이러한 속성은 기본 적분 중 하나로 축소하고 추가 계산을 목적으로 적분의 변환을 수행하는 데 사용됩니다.

1. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

2. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

3. 어떤 함수의 미분의 무한 적분은 이 함수와 임의의 상수의 합과 같습니다.

4. 정수 계수는 적분 기호에서 제거할 수 있습니다.

또한, a ≠ 0

5. 합(차)의 적분은 적분의 합(차)과 같습니다.

6. 속성은 속성 4와 속성 5의 조합입니다.

또한 a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. 무한 적분의 불변 속성:

그렇다면

8. 재산:

그렇다면

사실 이 속성은 변수 변경 방법을 사용한 통합의 특별한 경우이며 다음 섹션에서 더 자세히 설명합니다.

예를 들어 보겠습니다.

먼저 속성 5를 적용한 다음 속성 4를 적용한 다음 역도함수 테이블을 사용하여 결과를 얻었습니다.

온라인 적분 계산기의 알고리즘은 위에 나열된 모든 속성을 지원하며 적분에 대한 자세한 솔루션을 쉽게 찾을 수 있습니다.

이 기사에서는 한정적분의 주요 속성을 나열합니다. 이러한 속성의 대부분은 Riemann과 Darboux의 한정적분 개념을 기반으로 증명됩니다.

한정 적분의 정의는 처음 다섯 가지 속성을 사용하여 매우 자주 수행되므로 필요할 때 참조할 것입니다. 한정적분의 나머지 속성은 주로 다양한 표현식을 평가하는 데 사용됩니다.

다음으로 이동하기 전에 한정 적분의 기본 속성, b를 초과하지 않는다는 데 동의합시다.

x = a에서 정의된 함수 y = f(x)의 경우 동등성은 참입니다.

즉, 적분 한계가 일치하는 한정 적분의 값은 0입니다. 이 속성은 리만 적분 정의의 결과입니다. 이 경우 간격의 분할과 점 선택에 대한 각 적분 합은 0이므로 적분 합의 한계가 0이기 때문입니다.

세그먼트에 통합 가능한 함수의 경우, .

즉, 적분의 상한과 하한을 장소에서 변경하면 정적분의 값이 반대로 변경됩니다. 한정적분의 이 속성도 리만 적분의 개념을 따르며, 세그먼트의 분할 번호만 x = b에서 시작해야 합니다.

함수 y = f(x) 및 y = g(x)의 경우 간격에서 적분 가능합니다.

증거.

우리는 함수의 적분 합을 씁니다. 세그먼트의 주어진 분할과 주어진 포인트 선택에 대해:

여기서 및 는 세그먼트의 주어진 파티션에 대해 각각 함수 y = f(x) 및 y = g(x)의 적분합입니다.

에서 한계에 도달 우리는 리만 적분의 정의에 의해 증명되는 속성의 주장과 동일하다는 것을 얻습니다.

상수 인자는 한정 적분의 부호 외부에서 취할 수 있습니다. 즉, 간격 및 임의의 수 k에 대해 적분할 수 있는 함수 y = f(x)에 대해 등식 .

한정적분의 이 속성에 대한 증명은 이전의 것과 절대적으로 유사합니다.


함수 y = f(x)가 구간 X에서 적분 가능하다고 가정하고, 그리고 .

이 속성은 및 for 또는 둘 다에 해당합니다.

증명은 한정적분의 이전 속성을 사용하여 수행할 수 있습니다.

함수가 세그먼트에서 통합 가능하면 내부 세그먼트에서도 통합 가능합니다.

증명은 Darboux 합계의 속성을 기반으로 합니다. 세그먼트의 기존 파티션에 새 포인트를 추가하면 더 낮은 Darboux 합계는 감소하지 않고 상위 합계는 증가하지 않습니다.

함수 y = f(x)가 간격 및 인수의 값에 대해 적분할 수 있는 경우 .

이 속성은 리만 적분의 정의를 통해 증명됩니다. 세그먼트의 파티션 점과 에서의 점 선택에 대한 모든 적분 합은 음이 아닌(양수가 아님)입니다.

결과.

구간에서 적분할 수 있는 함수 y = f(x) 및 y = g(x)의 경우 다음 부등식이 성립합니다.


이 진술은 불평등의 통합이 허용됨을 의미합니다. 우리는 이 추론을 사용하여 다음 속성을 증명할 것입니다.

함수 y = f(x)가 구간에서 적분 가능하다고 가정하면 부등식 .

증거.

그것은 분명하다 ... 이전 속성에서 우리는 부등식이 항별로 적분될 수 있음을 발견했으며, 따라서 참입니다. ... 이 이중 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. .

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 간격 및 인수의 값에 대해 적분 가능하다고 가정하면 다음과 같습니다. , 어디 그리고 .

증명은 비슷합니다. m과 M은 세그먼트에서 함수 y = f(x)의 가장 작은 값과 가장 큰 값이므로, ... 이중 부등식에 음이 아닌 함수 y = g(x)를 곱하면 다음과 같은 이중 부등식이 나옵니다. 이를 세그먼트에 통합하면 검증 중인 주장에 도달합니다.

결과.

g(x) = 1을 취하면 부등식은 다음 형식을 취합니다. .

첫 번째 평균 값 공식.

함수 y = f(x)가 구간에서 적분 가능하다고 가정하고, 그런 다음 숫자가 있습니다. .

결과.

함수 y = f(x)가 구간에서 연속이면 다음과 같은 숫자가 있습니다. .

일반화된 형태의 평균에 대한 첫 번째 공식입니다.

함수 y = f(x) 및 y = g(x)가 구간에서 적분 가능하다고 가정하고, 그리고, 그리고 g(x)> 0은 인수의 값입니다. 그런 다음 숫자가 있습니다. .

평균에 대한 두 번째 공식.

함수 y = f(x)가 구간에서 적분 가능하고 y = g(x)가 단조인 경우, 같음을 나타내는 숫자가 존재합니다. .