적분과 그 속성. 무한 적분의 기본 속성

미적분학의 주요 과제파생 상품을 찾고 있습니다 NS '(NS)또는 차동 DF =NS '(NS)DX기능 NS (NS).적분 미적분에서는 역 문제가 해결됩니다. 주어진 기능에 대해 NS (NS) 그러한 기능을 찾는 데 필요합니다. NS (NS),뭐라고 요 F '(x) =NS (NS)또는 dF(x) =NS '(NS)DX =NS (NS)DX.

따라서, 적분 미적분의 주요 임무기능의 회복이다 NS (NS)이 함수의 알려진 도함수(미분)에 의해. 적분 미적분은 기하학, 역학, 물리학 및 공학 분야에서 수많은 응용 분야를 가지고 있습니다. 면적, 부피, 무게 중심 등을 찾는 일반적인 방법을 제공합니다.

정의. 기능NS (x)는 함수에 대한 역도함수라고 합니다.NS (x) 집합 X에 대해 미분 가능한 경우NS '(x) =NS (x) 또는dF(x) =NS (NS)DX.

정리. 세그먼트의 모든 연속 [NS;b] 기능NS (x) 이 세그먼트에 역도함수가 있습니다.에프(x).

정리. 만약에여 1 (x) 및여 2 (x) - 동일한 함수의 두 개의 다른 역도함수NS (x) 집합 x에 대해 상수 항에 의해 서로 다릅니다. 즉,여 2 (x) =여 1x) +C, 여기서 C는 상수.

무한 적분, 그 속성.

정의. 집계NS (x) +함수의 모든 역도함수의 CNS (x) 집합 X에서 무한 적분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

- (1)

식 (1)에서 NS (NS)DX~라고 불리는 피적분,NS (x)는 피적분, x는 적분 변수, NS С - 적분 상수.

정의에서 이어지는 무한 적분의 속성을 고려하십시오.

1. 무한 적분의 미분은 피적분과 같고, 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

그리고 .

2. 어떤 함수의 미분의 무한 적분은 이 함수와 임의의 상수의 합과 같습니다.

3. 상수 인자 a(a ≠ 0)는 무한 적분 기호 외부에서 사용할 수 있습니다.

4. 유한한 수의 함수의 대수 합에 대한 무한 적분은 다음 함수의 적분의 대수 합과 같습니다.

5. 만약에NS (x)는 함수의 역도함수입니다.NS (x), 다음:

6(적분 공식의 불변성). 적분 변수가 이 변수의 미분 가능한 함수로 대체되는 경우 모든 적분 공식은 형식을 유지합니다.

어디u는 미분 가능한 함수입니다.

무한 적분 테이블.

주자 기능을 통합하기 위한 기본 규칙.

주자 기본 무한 적분 표.(여기서 미적분학에서와 같이 문자는 유독립변수로 나타낼 수 있다 (유 =NS)그리고 독립변수의 함수 (유 =유 (NS)).)

(n ≠ -1). (a> 0, a ≠ 1). (a ≠ 0). (a ≠ 0). (| 유 |> | a |).(| 유 |< |a|).

적분 1 - 17이 호출됩니다. 표의.

미분표에 유사점이 없는 적분표의 위 공식 중 일부는 우변을 미분하여 확인합니다.

무한 적분의 부분에 의한 변수 변경 및 적분.

대체에 의한 적분(변수 대체). 적분을 계산하도록 요구하자

표 형식이 아닙니다. 대체 방법의 본질은 적분에서 변수 NS변수로 대체 NS공식에 따라 x = φ (NS),어디 dx = φ '(NS)dt.

정리. 기능을 보자x = φ (t)는 일부 집합 T에서 정의되고 미분 가능하며 X를 이 함수의 값 집합이라고 하자.NS (NS). 그런 다음 집합 X에 있는 경우 함수NS (

이러한 속성은 기본 적분 중 하나로 축소하고 추가 계산을 목적으로 적분의 변환을 수행하는 데 사용됩니다.

1. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

2. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

3. 어떤 함수의 미분의 무한 적분은 이 함수와 임의의 상수의 합과 같습니다.

4. 정수 계수는 적분 기호에서 제거할 수 있습니다.

또한, a ≠ 0

5. 합(차)의 적분은 적분의 합(차)과 같습니다.

6. 속성은 속성 4와 속성 5의 조합입니다.

또한 a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. 무한 적분의 불변 속성:

그렇다면

8. 재산:

그렇다면

사실 이 속성은 변수 변경 방법을 사용한 적분의 특별한 경우이며 다음 섹션에서 더 자세히 설명합니다.

예를 들어 보겠습니다.

먼저 속성 5를 적용한 다음 속성 4를 적용한 다음 역도함수 테이블을 사용하여 결과를 얻었습니다.

온라인 적분 계산기의 알고리즘은 위에 나열된 모든 속성을 지원하며 적분에 대한 자세한 솔루션을 쉽게 찾을 수 있습니다.

이러한 속성은 기본 적분 중 하나로 축소하고 추가 계산을 목적으로 적분의 변환을 수행하는 데 사용됩니다.

1. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

2. 무한 적분의 미분은 피적분과 같습니다.

3. 어떤 함수의 미분의 무한 적분은 이 함수와 임의의 상수의 합과 같습니다.

4. 정수 계수는 적분 기호에서 제거할 수 있습니다.

또한, a ≠ 0

5. 합(차)의 적분은 적분의 합(차)과 같습니다.

6. 속성은 속성 4와 속성 5의 조합입니다.

또한 a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. 무한 적분의 불변 속성:

그렇다면

8. 재산:

그렇다면

사실 이 속성은 변수 변경 방법을 사용한 적분의 특별한 경우이며 다음 섹션에서 더 자세히 설명합니다.

예를 들어 보겠습니다.

먼저 속성 5를 적용한 다음 속성 4를 적용한 다음 역도함수 테이블을 사용하여 결과를 얻었습니다.

온라인 적분 계산기의 알고리즘은 위에 나열된 모든 속성을 지원하며 적분에 대한 자세한 솔루션을 쉽게 찾을 수 있습니다.

적분을 푸는 것은 쉬운 작업이지만 선택된 소수에게만 해당됩니다. 이 문서는 적분을 이해하는 방법을 배우고 싶지만 적분에 대해 전혀 또는 거의 알지 못하는 사람들을 위한 것입니다. 적분 ... 왜 필요한가요? 그것을 계산하는 방법? 정적분과 부정 적분이란 무엇입니까?

당신이 알고 있는 일체형의 유일한 용도가 일체형 아이콘 모양의 크로셰 뜨개질로 손이 닿기 어려운 곳에서 유용한 것을 크로셰 뜨개질하는 것이라면 환영합니다! 기초 및 기타 적분을 푸는 방법과 수학에서 적분 없이는 할 수 없는 이유를 배웁니다.

개념 탐색 « 완전한 »

통합은 고대 이집트부터 알려져 왔습니다. 물론 현대적인 형태는 아니지만 여전히. 그 이후로 수학자들은 이 주제에 대해 많은 책을 저술했습니다. 특히 두각을 나타냈다 뉴턴 그리고 라이프니츠 그러나 사물의 본질은 변하지 않았습니다.

적분을 처음부터 어떻게 이해합니까? 안 돼요! 이 주제를 이해하려면 여전히 미적분학의 기초에 대한 기본 지식이 필요합니다. 블로그에 적분을 이해하는 데 필요한 정보가 이미 있습니다.

무한 적분

어떤 종류의 기능이 있다고 가정합니다. f (x) .

함수의 무한 적분 f (x) 그런 함수를 호출 에프(x) 그 도함수가 함수와 같음 f (x) .

즉, 적분은 역도함수 또는 역도함수입니다. 그건 그렇고, 우리 기사에서 방법에 대해 읽으십시오.

모든 연속 함수에 대해 역도함수가 존재합니다. 또한 상수에 따라 다른 함수의 도함수가 일치하기 때문에 상수의 부호는 종종 역도함수에 추가됩니다. 적분을 찾는 과정을 적분이라고 합니다.

간단한 예:

기본 함수의 역도함수를 지속적으로 계산하지 않으려면 테이블로 가져와 미리 만들어진 값을 사용하는 것이 편리합니다.

학생을 위한 완전한 적분표

한정적분

적분의 개념을 다룰 때 우리는 극소량을 다룹니다. 적분은 그림의 면적, 불균일한 몸체의 질량, 고르지 않은 움직임으로 이동한 경로 등을 계산하는 데 도움이 됩니다. 적분은 무한히 많은 수의 무한히 작은 항의 합이라는 것을 기억해야 합니다.

예를 들어 어떤 함수의 그래프를 상상해 봅시다.

함수의 그래프로 둘러싸인 모양의 영역을 찾는 방법은 무엇입니까? 적분 사용! 우리는 좌표축과 함수의 그래프로 경계를 이루는 곡선 사다리꼴을 무한히 작은 세그먼트로 나눕니다. 따라서 그림은 얇은 기둥으로 나뉩니다. 기둥 면적의 합은 사다리꼴 면적이 됩니다. 그러나 그러한 계산은 대략적인 결과를 제공한다는 것을 기억하십시오. 그러나 세그먼트가 작고 좁을수록 계산이 더 정확해집니다. 길이가 0이 되는 정도로 그것들을 줄이면 세그먼트 면적의 합은 그림의 면적이 되는 경향이 있습니다. 이것은 다음과 같이 쓰여지는 확실한 적분입니다.

점과 b를 적분의 한계라고 합니다.

« 완전한 »

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인형을 위한 적분 계산 규칙

무한 적분 속성

무한 적분을 푸는 방법? 여기서 우리는 예제를 풀 때 유용할 무한 적분의 속성을 살펴볼 것입니다.

적분의 미분은 피적분과 같습니다.

정수는 적분 기호 아래에서 가져올 수 있습니다.

합계의 적분은 적분의 합과 같습니다. 차이에 대해서도 마찬가지입니다.

한정적분의 속성

선형성:

적분 한계가 반전되면 적분 기호가 변경됩니다.

~에 어느포인트들 NS, NS그리고 ~와 함께:

우리는 이미 한정적분이 합의 극한이라는 것을 알아냈습니다. 그러나 예제를 풀 때 특정 값을 어떻게 얻습니까? 이를 위해 Newton-Leibniz 공식이 있습니다.

통합 솔루션의 예

아래에서 우리는 무한 적분과 솔루션의 예를 고려할 것입니다. 우리는 솔루션의 복잡성을 독립적으로 파악하고 명확하지 않은 경우 의견에 질문할 것을 제안합니다.

자료를 통합하려면 실제로 적분을 해결하는 방법에 대한 비디오를 시청하십시오. 적분이 바로 주어지지 않는다고 낙심하지 마십시오. 전문 학생 서비스에 연락하면 닫힌 표면에서 3중 또는 곡선 적분을 처리할 수 있습니다.

기능을 보자 와이 = NS(NS)는 세그먼트 [ NS, NS ], NS < NS... 다음 작업을 수행해 보겠습니다.

1) 우리는 [ NS, NS] 점 NS = NS 0 < NS 1 < ... < NS NS- 1 < NS NS < ... < NS N = NS ~에 N부분 선분 [ NS 0 , NS 1 ], [NS 1 , NS 2 ], ..., [NS NS- 1 , NS NS ], ..., [NS N- 1 , NS N ];

2) 각 부분 세그먼트에서 [ NS NS- 1 , NS NS ], NS = 1, 2, ... N, 임의의 점을 선택하고 이 점에서 함수의 값을 계산합니다. NS(z 나는 ) ;

3) 작품 찾기 NS(z 나는 ) · Δ NS NS , 여기서 부분 세그먼트의 길이는 [ NS NS- 1 , NS NS ], NS = 1, 2, ... N;

4) 작곡 적분기능 와이 = NS(NS) 세그먼트에서 [ NS, NS ]:

기하학적 관점에서 볼 때 이 합 σ는 밑면이 부분 세그먼트인 직사각형 면적의 합입니다. NS 0 , NS 1 ], [NS 1 , NS 2 ], ..., [NS NS- 1 , NS NS ], ..., [NS N- 1 , NS N ], 그리고 높이는 NS(지 1 ) , NS(지 2 ), ..., NS(z n) 각각(그림 1). 로 나타내자 λ 가장 큰 부분 세그먼트의 길이:

5) 다음과 같은 경우 적분합의 극한을 구합니다. λ → 0.

정의.적분합 (1)의 유한한 한계가 있고 세그먼트 분할 방법에 의존하지 않는 경우 [ NS, NS] 부분 세그먼트 또는 포인트 선택에서 z 나는그들에서이 한계는 호출됩니다 한정적분기능에서 와이 = NS(NS) 세그먼트에서 [ NS, NS]로 표시됩니다.

따라서,

이 경우 함수 NS(NS)라고 한다 통합 가능에 [ NS, NS]. 숫자 NS그리고 NS각각 적분의 하한과 상한이라고 하며, NS(NS) 는 피적분이고, NS(NS ) DX- 피적분, NS- 통합 변수; 부분 [ NS, NS]를 적분구간이라고 합니다.

정리 1.기능의 경우 와이 = NS(NS)는 세그먼트 [ NS, NS], 그러면 이 세그먼트에 통합할 수 있습니다.

동일한 적분 한계를 갖는 한정 적분은 0과 같습니다.

만약에 NS > NS, 그런 다음 정의에 따라

2. 한정적분의 기하학적 의미

세그먼트에 하자 [ NS, NS] 음이 아닌 연속 함수가 주어집니다. 와이 = NS(NS ) . 곡선 사다리꼴함수의 그래프로 위에서 경계를 이루는 그림입니다. 와이 = NS(NS), 아래에서 - Ox 축으로, 왼쪽과 오른쪽으로 - 직선으로 x = 에이그리고 x = b(그림 2).

음이 아닌 함수의 한정적분 와이 = NS(NS) 기하학적 관점에서 볼 때 함수의 그래프에 의해 위에서 경계가 지정된 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 와이 = NS(NS), 왼쪽 및 오른쪽 - 선분 기준 x = 에이그리고 x = b, 아래 - Ox 축의 세그먼트로.

3. 정적분의 기본 속성

1. 한정 적분의 값은 적분 변수의 지정에 의존하지 않습니다.

2. 일정한 계수는 한정적분의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

3. 두 함수의 대수 합에 대한 한정 적분은 다음 함수의 한정 적분의 대수 합과 같습니다.

4.기능의 경우 와이 = NS(NS)는 [ NS, NS] 그리고 NS < NS < 씨, 그 다음에

5. (평균값 정리)... 기능의 경우 와이 = NS(NS)는 세그먼트 [ NS, NS], 이 세그먼트에는 다음과 같은 점이 있습니다.

4. 뉴턴-라이프니츠 공식

정리 2.기능의 경우 와이 = NS(NS)는 세그먼트 [ NS, NS] 그리고 NS(NS) 이 세그먼트에 대한 반도함수가 있는 경우 다음 공식이 유효합니다.

라고 불리는 뉴턴 - 라이프니츠 공식에 의해차이점 NS(NS) - NS(NS) 다음과 같이 쓰는 것이 관례입니다.

여기서 문자는 이중 와일드카드 문자라고 합니다.

따라서 식 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

예 1.적분 계산

해결책. 피적분 NS(NS ) = NS 2 임의의 역도함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

Newton-Leibniz 공식에서 모든 역도함수를 사용할 수 있으므로 적분을 계산하기 위해 가장 단순한 형태의 역도함수를 사용합니다.

5. 정적분에서 변수의 변화

정리 3.기능을 보자 와이 = NS(NS)는 세그먼트 [ NS, NS]. 만약에:

1) 기능 NS = φ ( NS) 및 그 미분 φ "( NS)는 다음에서 연속적입니다.

2) 함수의 값 집합 NS = φ ( NS)는 세그먼트 [ NS, NS ];

3) φ( NS) = NS, φ ( NS) = NS, 다음 공식

라고 불리는 한정적분의 변수 변화 공식에 의해 .

이 경우 무한 적분과 달리 필요하지 않다통합의 원래 변수로 돌아가기 - 통합 α 및 β의 새로운 한계를 찾는 것으로 충분합니다(이를 위해서는 변수에 대해 해결할 필요가 있습니다) NS방정식 φ ( NS) = NS및 φ ( NS) = NS).

대체 대신 NS = φ ( NS) 대체를 사용할 수 있습니다 NS = NS(NS). 이 경우 변수에 대한 적분의 새로운 한계를 찾는 NS단순화: α = NS(NS) , β = NS(NS) .

실시예 2... 적분 계산

해결책. 공식으로 새로운 변수를 도입합시다. 평등의 양쪽을 제곱하면 1 +를 얻습니다. x = NS 2 , 어디 x = NS 2 - 1, DX = (NS 2 - 1)"dt= 2tdt... 우리는 통합의 새로운 한계를 찾습니다. 이를 위해 기존 한계를 공식으로 대체합니다. x = 3 그리고 x = 8. 우리는 다음을 얻습니다. NS= 2 및 α = 2; , 어디 NS= 3 그리고 β = 3. 그래서,

예 3.계산하다

해결책. 하자 유= 인 NS, 그 다음에 , V = NS... 공식 (4)에 따르면