즉, 제목에서 보는 것입니다. 기본적으로는 "공간 아날로그"입니다. 접선을 찾는 문제그리고 법선하나의 변수에 대한 함수의 그래프로 나타내므로 어려움이 발생하지 않아야 합니다.

몇 가지 기본적인 질문부터 시작하겠습니다. 접평면은 무엇이며 법선은 무엇입니까? 많은 사람들이 직관 수준에서 이러한 개념을 알고 있습니다. 생각나는 가장 단순한 모델은 얇고 평평한 판지가 그 위에 놓여 있는 공입니다. 판지는 가능한 한 구에 가깝게 위치하고 한 지점에서 접촉합니다. 또한, 접점에 바늘을 똑바로 찔러 고정합니다.

이론적으로 접평면에 대한 다소 독창적인 정의가 있습니다. 임의의 상상 표면그리고 그것에 속하는 점. 분명히, 많은 공간선이 표면에 속합니다. 누가 어떤 협회를 가지고 있습니까? =) ... 문어를 직접 소개했습니다. 각 라인이 다음과 같다고 가정합니다. 공간 탄젠트그 시점에.

정의 1: 접평면한 점에서 표면에 비행기이 표면에 속하고 점을 통과하는 모든 곡선에 대한 접선을 포함합니다.

정의 2: 정상한 점에서 표면에 똑바로접평면에 수직인 이 점을 통과합니다.

심플하고 우아합니다. 그건 그렇고, 자료의 단순함에 지루해 죽지 않도록 잠시 후에 다양한 정의를 벼락치기에 대해 한 번 그리고 영원히 잊을 수 있는 우아한 비밀 하나를 공유하겠습니다.

특정 예에서 직접 작동 공식과 솔루션 알고리즘에 대해 알게 될 것입니다. 압도적인 다수의 문제에서 접평면 방정식과 법선 방정식을 모두 작성해야 합니다.

실시예 1

해결책: 표면이 방정식으로 주어진 경우 (즉, 암시적으로), 그러면 한 점에서 주어진 표면에 대한 접평면의 방정식은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

나는 특이한 편도함수에 특별한 주의를 기울입니다. 혼동되지 않도록~와 함께 암시적으로 정의된 함수의 편도함수 (표면이 암시적으로 지정되더라도)... 이러한 파생 상품을 찾을 때 다음 지침을 따라야 합니다. 세 변수의 함수 미분 규칙즉, 변수에 대해 미분할 때 다른 두 문자는 상수로 간주됩니다.

계산대를 떠나지 않고 다음 지점에서 편미분을 찾습니다.

비슷하게:

이것은 허용되지 않으면 실수가 끊임없이 나타나는 결정의 가장 불쾌한 순간이었습니다. 그럼에도 불구하고 여기에 효과적인 검증 기술이 있습니다. 수업에서 이야기했습니다. 방향 미분 및 기울기.

모든 "성분"이 발견되었으며 이제 추가 단순화로 깔끔하게 대체됩니다.

– 일반 방정식필요한 접평면.

솔루션의 이 단계도 확인하는 것이 좋습니다. 먼저 터치 포인트의 좌표가 찾은 방정식을 실제로 충족하는지 확인해야 합니다.

- 진정한 평등.

이제 우리는 평면의 일반 방정식의 계수를 "제거"하고 해당 값과 일치 또는 비례하는지 확인합니다. 이 경우 비례합니다. 부터 기억하세요? 해석 기하학 코스, - 이것은 법선 벡터접평면, 그리고 그것은 - 방향 벡터정상적인 직선. 작곡하자 정준 방정식점 및 방향 벡터에 의한 법선:

원칙적으로 분모는 "2"로 줄일 수 있지만 특별히 그럴 필요는 없다.

답변:

그러나 일부 문자로 방정식을 지정하는 것은 금지되어 있지 않습니다. 왜? 여기, 그래서 무엇이 무엇인지는 매우 분명합니다.

다음 두 가지 예는 자조용입니다. 약간의 "수학 혀 트위스터":

실시예 2

한 점에서 표면에 대한 접평면과 법선의 방정식을 찾으십시오.

그리고 기술적인 관점에서 흥미로운 작업:

실시예 3

한 점에서 표면에 대한 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성하십시오.

그 시점에.

혼란스러울 뿐만 아니라 녹음할 때 어려움을 겪을 수 있는 모든 기회가 있습니다. 선의 정준 방정식... 그리고 당신이 아마 이해했듯이 법선의 방정식은 일반적으로이 형식으로 작성됩니다. 일부 뉘앙스의 건망증이나 무지로 인해 매개 변수 형식이 허용되는 것 이상입니다.

수업이 끝날 때 마무리 솔루션의 샘플 예.

접하는 평면이 표면의 임의의 지점에 존재합니까? 일반적으로 물론 아닙니다. 고전적인 예는 테이퍼 표면 그리고 점 - 이 점의 접선은 직접 원추형 표면을 형성하며 물론 동일한 평면에 있지 않습니다. 문제를 분석적으로 확신하는 것은 쉽습니다.

문제의 또 다른 원인은 사실입니다. 존재하지 않는한 점에서 모든 편도함수. 그러나 이것이 주어진 점에 단일 접평면이 없다는 것을 의미하지는 않습니다.

그러나 그것은 실질적으로 중요한 정보보다 대중적인 과학일 가능성이 높으며 일상 업무로 돌아갑니다.

한 점에서의 접평면과 법선의 방정식을 작성하는 방법,
표면이 명시적 함수에 의해 제공되는 경우?

암시적으로 다시 작성해 보겠습니다.

그리고 동일한 원칙에 따라 편도함수를 찾을 수 있습니다.

따라서 접평면에 대한 공식은 다음 방정식으로 변환됩니다.

따라서 정규 정규 방정식은 다음과 같습니다.

짐작하시겠지만, - 이것들은 이미 "진짜"입니다. 두 변수의 함수의 편도함수우리가 문자 "z"로 지정하고 100,500번 찾은 지점에서.

이 기사에서는 필요한 경우 다른 모든 것을 쉽게 도출할 수 있는 첫 번째 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. (당연히, 기본 수준의 교육을 받는 것)... 이것은 정확한 과학의 연구에서 사용해야 하는 접근 방식입니다. 최소한의 정보에서 최대한의 결론과 결과를 "추출"하려고 노력해야 합니다. "Soobrazhalovka"와 이미 존재하는 지식이 도움이 됩니다! 이 원칙은 당신이 아는 것이 거의 없을 때 위급한 상황에서 당신을 구할 가능성이 있다는 점에서도 유용합니다.

몇 가지 예를 들어 "수정된" 수식을 살펴보겠습니다.

실시예 4

접평면과 표면에 대한 법선에 대한 방정식을 작성하십시오. 그 시점에.

여기 작은 오버레이가 지정으로 밝혀졌습니다. 이제 문자는 평면의 한 지점을 나타내지 만해야 할 일 - 인기있는 문자 ....

해결책: 필요한 접평면의 방정식은 다음 공식으로 컴파일됩니다.

점에서 함수의 값을 계산해 보겠습니다.

계산하자 1차 편도함수이 지점에서:

따라서:

서두르지 않고 조심스럽게:

우리는 한 점에서 법선의 정준 방정식을 씁니다.

답변:

DIY 솔루션의 마지막 예:

실시예 5

한 점에서 표면에 대한 접평면과 법선에 대한 방정식을 작성하십시오.

마지막 하나 - 사실 나는 모든 기술적 요점을 설명했으며 추가할 특별한 것은 없기 때문입니다. 이 작업에서 제공되는 함수 자체도 둔하고 단조롭습니다. 실제로 "다항식"을 접하게 될 것이며 이러한 의미에서 지수가 있는 예제 2번은 "검은 양"처럼 보입니다. 그건 그렇고, 방정식으로 주어진 표면을 만날 가능성이 훨씬 더 높으며 이것이 "두 번째 숫자"라는 기사에 함수가 포함 된 또 다른 이유입니다.

마지막으로 약속된 비밀: 벼락치기 정의를 어떻게 피할 수 있습니까? (물론 시험 직전에 학생이 미친듯이 벼락치기를 하는 상황을 말하는 것은 아닙니다)

개념 / 현상 / 대상의 정의는 우선 다음 질문에 대한 답변을 제공합니다. 그것이 무엇입니까? (누가 / 그런 / 그런 / 그런). 의식적으로이 질문에 답할 때 반영하려고 노력해야 합니다. 필수적인표지판, 분명히이것 또는 저것의 개념/현상/대상을 식별합니다. 예, 처음에는 다소 엉뚱하고 부정확하고 중복되는 것으로 밝혀졌지만(교사는 = 수정) 시간이 지남에 따라 완전히 가치 있는 과학적 연설이 발전합니다.

예를 들어 가장 추상적 인 대상에 대한 연습은 Cheburashka가 누구입니까?라는 질문에 답하십시오. 간단하지 않아요 ;-) "큰 귀, 눈, 갈색 머리를 가진 동화 속 캐릭터"인가요? 정의와는 거리가 멀고 그러한 특성을 가진 캐릭터가 있다는 것을 결코 알지 못합니다 .... 그러나 이것은 이미 정의에 훨씬 더 가깝습니다. "Cheburashka는 1966년 작가 Eduard Uspensky가 발명한 캐릭터로, 그는 ... (주요 특징의 열거)"... 얼마나 잘 시작했는지 주목

1 °

1 °. 표면의 명시적 지정의 경우 접평면과 법선의 방정식.

두 변수의 함수에 대한 편도함수의 기하학적 응용 중 하나를 고려하십시오. 기능을 보자 지 = NS (NS;와이)점에서 미분 가능 (x 0; 0에서)일부 지역 NSÎ R 2... 표면을 자르자 NS,이미징 기능 지,비행기 x = x 0그리고 y = y 0(그림 11).

비행기 NS = x 0표면을 가로지르다 NS어떤 선을 따라 z 0 (와이),식에 원래 함수를 대입하여 얻은 방정식 z ==NS (NS;와이)대신에 NS숫자들 x 0.가리키다 남 0 (x 0;y 0,NS (x 0;y 0))곡선에 속한다 z 0 (와이).미분 기능 덕분에 지그 시점에 남 0기능 z 0 (와이)점에서도 미분 가능 y = y 0.따라서 비행기의 이 지점에서 x = x 0곡선으로 z 0 (와이)접선을 그릴 수 있습니다 내가 1.

섹션에 대해 유사한 추론 수행 ~에 = 0에서,접선을 작성 내가 2곡선으로 z 0 (NS)그 시점에 NS = x 0 -직접 1 1 그리고 1 2 이라는 평면을 정의 접평면표면으로 NS그 시점에 남 0.

그녀의 방정식을 만들어 봅시다. 평면이 점을 통과하기 때문에 모(x 0;y 0;z 0),그 방정식은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0,

다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(방정식을 -C로 나누고 ).

찾다 1그리고 B1.

접선 방정식 1 1 그리고 1 2 형태가 있다

각기.

접선 내가 1평면에 놓여있다 , 따라서 모든 점의 좌표 내가 1식 (1)을 만족한다. 이 사실은 시스템으로 쓸 수 있습니다.

B1에 대해 이 시스템을 풀면, 우리는 그것을 얻습니다. 내가 3, 그것을 설정하는 것은 쉽습니다.

값 대체 1및 B 1을 방정식 (1)에 대입하면 접평면의 필요한 방정식을 얻습니다.

점을 통과하는 선 남 0그리고 표면의 이 지점에서 구성된 접평면에 수직인 것을 그것의 정상.

직선과 평면의 직각도 조건을 사용하면 법선의 정준 방정식을 쉽게 얻을 수 있습니다.

논평.접평면과 표면에 대한 법선에 대한 공식은 표면의 일반 점, 즉 비특이점에 대해 구합니다. 가리키다 남 0표면은 특별한,이 시점에서 모든 편도함수가 0과 같거나 그 중 적어도 하나가 존재하지 않는 경우. 우리는 그러한 점을 고려하지 않습니다.

예시. 접평면과 그 점에서 표면에 대한 법선의 방정식을 쓰십시오. M(2, -1, 1).

해결책. 이 함수의 편도함수와 점 M에서 그 값을 찾자

따라서 공식 (2)와 (3)을 적용하면 다음과 같습니다. z-1 = 2(x-2) +2(y + 1)또는 2x + 2y-z-1 = 0- 접평면의 방정식과 - 정규 방정식.

2 °. 암시적 표면 정의의 경우 접평면과 법선의 방정식.

만약 표면 NS방정식에 의해 주어진 NS (NS; 와이;지)= 0, 편도함수가 암시적 함수의 도함수로 발견될 수 있다는 사실을 고려하여 방정식 (2)와 (3).

법선 방정식

1.

4.

접평면 및 표면 법선

어떤 표면이 주어졌을 때 A는 표면의 고정점이고 B는 표면의 가변점입니다.

(그림 1).

0이 아닌 벡터

→

N

~라고 불리는 법선 벡터다음과 같은 경우 점 A에서 표면으로

임 나 → 아 j = π 2 .

표면 F (x, y, z) = 0의 점은 이 점에서

1. 편도함수 F "x, F" y, F "z는 연속적입니다.
2. (F "x) 2 + (F"y) 2 + (F"z) 2 ≠ 0.

이러한 조건 중 하나 이상이 위반되면 표면의 한 점을 표면의 특이점 .

정리 1. M(x 0, y 0, z 0)은 표면 F(x, y, z) = 0의 일반 점이며 벡터

→ N = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → NS + F "y (x 0, y 0, z 0) → 제이 + F "z (x 0, y 0, z 0) → 케이

(1)

점 M(x 0, y 0, z 0)에서 이 표면에 수직입니다.

증거 I.M.의 책에 나와 있습니다. 페트루슈코, LA Kuznetsov, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` 고등 수학 과정: 적분 미적분. 여러 변수의 기능. 미분 방정식. 모스크바: MPEI 출판사, 2002년 (p. 128).

표면에 수직어떤 지점에서 직선이라고 하며 방향 벡터는 이 지점에서 표면에 수직이고 이 지점을 통과합니다.

정식 정규 방정식로 나타낼 수 있습니다

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "Y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

접평면어떤 점에서 표면에 대한 수직선은 이 점에서 표면에 수직인 이 점을 통과하는 평면이라고 합니다.

이 정의에 따르면 접평면 방정식다음과 같이 보입니다.

(3)

표면의 점이 특이점인 경우 이 점에서 표면에 수직인 벡터가 존재하지 않을 수 있으므로 표면에 수직 및 접선이 없을 수 있습니다.

두 변수의 함수의 총 미분의 기하학적 의미

함수 z = f(x, y)를 점 a(x 0, y 0)에서 미분 가능하게 둡니다. 그 그래프는 표면

f (x, y) - z = 0.

우리는 z 0 = f (x 0, y 0)를 넣습니다. 그런 다음 점 A(x 0, y 0, z 0)는 표면에 속합니다.

함수 F(x, y, z) = f(x, y) - z의 편도함수는 다음과 같습니다.

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

그리고 점 A에서 (x 0, y 0, z 0)

1. 그들은 연속적입니다.
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

따라서 A는 표면 F(x, y, z)의 일반적인 점이며 이 점에서 표면에 접하는 평면이 있습니다. (3)에 따르면 접평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

점 a(x 0, y 0)에서 임의의 점 p(x, y)로 지나갈 때 접평면 위의 점의 수직 변위는 B Q입니다(그림 2). 해당 증분은

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

여기 오른쪽에 디퍼렌셜이 있습니다. NS점 a(x 0, x 0)에서 함수 z = f(x, y)의 z. 따라서,
NS f(x 0, y 0). 는 점(x 0, y 0, z 0 = f(x 0, y 0))에서 함수 f(x, y)의 그래프에 접하는 평면 점의 적용 증가분입니다.

미분의 정의에서 함수 그래프의 점 P와 접평면의 점 Q 사이의 거리는 점 p에서 점 a까지의 거리보다 더 높은 차수의 무한히 작습니다.

정의.일반 방정식 (1)에 의해 GDSK에 대해 주어지는 2차 표면에 있는 한 점을 비특이점이라고 합니다. 다음 세 숫자 중 0이 아닌 값이 하나 이상 있는 경우입니다.

따라서 2차 표면에 있는 한 점이 중심인 경우에만 특이점이 아니며, 그렇지 않은 경우 표면이 원추형이고 점이 이 표면의 정점인 경우입니다.

정의.주어진 비특이점에서 2차 곡면에 대한 접선은 이 점을 지나는 직선이며, 이중 점에서 2차 곡면과 교차하거나 곡면의 직선 모선입니다.

정리 3.주어진 비특이점에서 2차 표면에 대한 접선은 문제의 점에서 표면에 대한 접평면이라고 하는 하나의 평면에 있습니다. 접평면 방정식은

증거. 식 (1)로 주어진 2차 곡면의 비특이점을 지나는 직선의 매개변수 방정식을 이라 하자. 대신에 방정식 (1)을 대입하면 다음을 얻습니다.

점이 표면(1)에 있기 때문에 방정식(3)에서도 찾을 수 있습니다(이 값은 점에 해당함). 직선과 표면(1)의 교차점이 이중이 되거나 직선이 표면에 완전히 놓이려면 등식이 성립하는 것이 필요하고 충분합니다.

동시에:

직선과 표면(1)의 교차점은 두 배입니다. 만약 그러하다면:

그런 다음 전체 선이 표면(1)에 있습니다.

관계식 (4) 및,로부터 표면 (1)에 대한 접선에 있는 임의의 점의 좌표는 다음 방정식을 충족합니다.

반대로, 다른 점의 좌표가 이 방정식을 만족하면 좌표 벡터는 관계식 (4)를 만족합니다. 이는 선이 고려 중인 표면에 접함을 의미합니다.

점은 표면(1)의 비특이점이기 때문에 숫자 중에서 0이 아닌 적어도 하나가 있습니다. 그러면 식 (5)는 에 대한 1차 방정식이다. 이것은 주어진 비특이점에서 표면 (1)에 접하는 평면의 방정식입니다.

2차 표면의 정준 방정식을 기반으로 하면 접평면의 방정식을 타원체, 쌍곡면 등으로 쉽게 구성할 수 있습니다. 그들에게 주어진 지점에서.

1). 타원체에 대한 접평면:

2). 1장 및 2장 쌍곡면에 대한 접평면:

삼). 타원 및 쌍곡선 포물면에 대한 접평면:

§ 161. 2차 표면과 접하는 평면의 교차점.

우리는 2차 표면의 비특이점을 ODSK 좌표의 원점으로 삼고 그 점에서 표면에 접하는 평면에 배치할 것입니다. 그러면 표면(1)의 일반방정식에서 자유항은 0:이고 좌표의 원점에서 표면과 접하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 가져야 합니다.

그러나 원점을 통과하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

그리고, 이 방정식은 방정식과 동일해야 하므로,,,.

따라서 선택한 좌표계에서 표면 방정식 (1)은 다음과 같은 형식이어야 합니다.

역으로, 식 (6)은 원점을 통과하는 표면의 방정식이고 평면은 한 점에서 이 표면에 대한 접평면입니다. 한 점에서 표면에 대한 접평면이 표면(6)과 교차하는 선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

만약에 . 이것은 2차 라인에 대한 불변 이론에서 불변입니다. 식 (7)

2차 주문 라인입니다. 이 선의 형식은 불변이므로 다음과 같습니다.

때, 여기에 두 개의 가상 교차 직선이 있습니다.

에 - 두 개의 실제 교차 직선.

계수 중 적어도 하나가 0이 아닌 경우 교차선(7)은 두 개의 일치하는 직선입니다.

마지막으로 만약 그렇다면 비행기

이 표면의 일부이며 표면 자체가 한 쌍의 평면으로 분할됩니다.

§ 162. 2차 표면의 타원, 쌍곡선 또는 포물선 점.

1. 한 점에서 2차 표면에 대한 접평면이 가상의 교차하는 두 직선을 ​​따라 교차하도록 합니다. 이 경우 그 점을 표면의 타원점이라고 합니다.

2. 한 점에서 2차 표면에 대한 접평면이 접선 점에서 교차하는 두 개의 실제 직선을 따라 교차하도록 합니다. 이 경우 그 점을 표면의 쌍곡선 점이라고 합니다.

3. 한 점에서 2차 표면에 대한 접평면이 두 개의 일치하는 직선을 따라 교차하도록 합니다. 이 때 그 점을 곡면의 포물선점이라고 합니다.

정리 4. ODSK에 대한 2차 표면을 방정식 (1)로 지정하고 주어진 방정식 (1)은 2차의 실제 비 소멸 표면의 방정식입니다. 그렇다면, 만약; 그러면 표면의 모든 점이 타원형입니다.

증거. 새로운 좌표계를 도입하여 주어진 표면의 비특이점을 좌표의 원점으로 선택하고 그 점에서 표면에 접하는 평면에 축을 배치합니다. 새 좌표계의 방정식 (1)은 다음과 같은 형식으로 변환됩니다.

어디에 . 이 방정식의 불변량을 계산해 보겠습니다.

한 ODSK에서 다른 ODSK로 전환하는 동안 부호가 변경되지 않으므로 부호가 반대이므로, 그렇다면, 그렇다면; 그리고 분류에서 다음과 같이(§ 161 참조), 한 점에서 표면에 대한 접평면은 두 개의 가상 교차선을 따라 표면을 교차합니다. - 타원형 점.

2) 1장 쌍곡선과 쌍곡선 포물면은 쌍곡선 점으로 구성됩니다.

3) 2차 실수 원뿔(꼭짓점 제외), 타원(실제), 쌍곡선 및 포물선 원통은 포물선 점으로 구성됩니다.

포물선 실린더.

포물선 실린더의 위치를 ​​결정하려면 다음을 아는 것으로 충분합니다.

1) 실린더의 모선에 평행한 대칭 평면;

2) 이 대칭 평면에 수직인 실린더에 대한 접평면;

3) 이 접평면에 수직이고 실린더의 오목부를 향하는 벡터.

일반 방정식이 포물선 원통을 정의하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

우리는 선택할 것입니다 미디엄그래서 비행기

서로 수직일 것입니다:

이 값으로 미디엄비행기

실린더의 모선에 평행한 대칭 평면이 됩니다.

비행기

지정된 대칭 평면에 수직인 원통에 대한 접평면이 되고 벡터가 됩니다.

발견된 접평면에 수직이고 실린더의 오목한 방향으로 향합니다.

접하는 평면은 기하학에서 큰 역할을 합니다. 접평면의 존재는 접선 지점에서 표면에 대한 법선 방향을 결정할 수 있기 때문에 실용적인 측면에서 접평면의 구성이 중요합니다. 이 문제는 엔지니어링 실습에서 널리 사용됩니다. 접하는 평면은 닫힌 표면으로 둘러싸인 기하학적 모양의 윤곽을 구성하는 데에도 사용됩니다. 이론적으로 표면에 접하는 평면은 접선 지점 근처에서 표면의 특성을 연구하기 위해 미분 기하학에서 사용됩니다.

기본 개념 및 정의

표면에 접하는 평면은 시컨트 평면의 제한 위치로 간주되어야 합니다(곡선에 접하는 직선과 유사하며, 이는 시컨트 평면의 제한 위치로도 정의됨).

표면의 주어진 점에서 표면에 접하는 평면은 모든 직선의 집합입니다. 즉, 주어진 점을 통해 표면에 그려진 접선입니다.

미분 기하학에서 일반 점에서 그려진 표면에 대한 모든 접선은 동일 평면에 있음이 증명됩니다(같은 평면에 속함).

표면에 접하는 선이 어떻게 그려지는지 알아봅시다. 표면에 지정된 점 M에서 표면 β에 대한 접선 t(그림 203)는 교차점이 일치합니다(M ≡ M n, ln ≡ l M). 분명히 (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, g ⊂ β. 위로부터 다음 정의는 다음과 같습니다. 곡면에 접하는 직선은 곡면에 속하는 곡선에 접하는 직선입니다..

평면은 두 개의 교차 직선으로 정의되므로 주어진 점에서 표면에 접하는 평면을 정의하려면 이 점을 통해 표면에 속하는 두 개의 임의의 선(형태가 단순한 것이 바람직함)을 그리고 각각에 대해 충분합니다. 그들 중 이 선의 교차점에서 접선을 구성합니다 ... 구성된 접선은 접평면을 고유하게 정의합니다. 주어진 점 M에서 표면 β에 접하는 평면 α의 도면의 시각적 표현은 그림 1에 나와 있습니다. 204. 이 그림은 또한 표면 β에 대한 법선 n을 보여줍니다.

주어진 점에서 표면에 대한 법선은 접평면에 수직이고 접선점을 통과하는 직선입니다.

법선을 통과하는 평면과 곡면의 교차선을 곡면의 법선 단면이라고 합니다. 표면 유형에 따라 접평면은 표면과 하나 이상의 점(선)을 가질 수 있습니다. 접선은 동시에 표면과 평면의 교차선일 수 있습니다.

표면에 접선을 그릴 수 없는 표면에 점이 있는 경우도 가능합니다. 이러한 점을 특별이라고 합니다. 특이점의 예는 몸통 표면 반환의 가장자리에 속하는 점 또는 자오선과 축이 직각으로 교차하지 않는 경우 회전 표면의 자오선과 축의 교차점입니다.

접선 유형은 표면 곡률의 특성에 따라 다릅니다.

표면 곡률

표면 곡률에 대한 질문은 프랑스 수학자 F. Dupin(1784-1873)에 의해 조사되었는데, 그는 표면의 법선 단면의 곡률 변화를 시각적으로 묘사하는 방법을 제안했습니다.

이를 위해 점 M(그림 205, 206)에서 고려 중인 표면에 접하는 평면에서 이 섹션의 해당 곡률 반경 값의 제곱근과 동일한 세그먼트가 접선에 놓입니다. 이 지점의 양쪽에 있는 일반 섹션. 점 세트 - 세그먼트의 끝은 이라는 곡선을 정의합니다. 뒤팽 지표... Dupin 지표를 구성하는 알고리즘(그림 205)은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

여기서 R은 곡률 반경입니다.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n)은 Dupin 지표입니다.

표면의 Dupin 표시가 타원이면 점 M을 타원이라고 하고 표면을 타원 점이 있는 표면이라고 합니다.(그림 206). 이 경우 접평면은 표면과 하나의 공통점만을 가지며, 표면에 속하고 고려하는 점에서 교차하는 모든 선은 접평면의 한쪽에 위치합니다. 타원형 점이 있는 표면의 예는 회전 포물면, 회전 타원체, 구입니다(이 경우 Dupin 표시는 원 등입니다).

몸통 표면에 접하는 평면을 그릴 때 평면은 직선 모선을 따라 이 표면에 닿습니다. 이 선의 점을 호출합니다. 포물선이고 표면은 포물선 점이 있는 표면입니다.... 이 경우 Dupin의 지표는 두 개의 평행한 직선입니다(그림 207 *).

그림에서. 208은 다음과 같은 점으로 구성된 표면을 보여줍니다.

* 2차 곡선(포물선)은 특정 조건에서 두 개의 실제 평행 직선, 두 개의 가상 평행 직선, 두 개의 일치하는 직선으로 분할될 수 있습니다. 그림에서. 207 우리는 두 개의 실제 평행선을 다루고 있습니다.

접하는 평면이 표면과 교차합니다. 이러한 표면을 쌍곡선, 그리고 그것에 속하는 포인트 - 쌍곡선 점. 이 경우 Dupin의 지표는 과장법입니다.

모든 점이 쌍곡선인 표면은 안장 모양을 갖습니다(사선 평면, 1시트 쌍곡면, 회전의 오목 표면 등).

한 표면은 다른 유형의 포인트를 가질 수 있습니다. 예를 들어 몸통 표면(그림 209)에서 M은 타원형입니다. 포인트 N - 포물선; 점 K는 쌍곡선입니다.

미분 기하학 과정에서 곡률 값 K j = 1 / R j (여기서 R j는 고려 중인 단면의 곡률 반경)가 극단 값을 갖는 법선 단면은 두 개의 서로 수직인 평면.

이러한 곡률 K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min을 원리라고 하며, H = (K 1 + K 2) / 2 및 K = K 1 K 2 값은 각각 표면의 평균 곡률과 전체(가우시안) 고려 중인 점에서 표면의 곡률. 타원 점 K> 0의 경우 쌍곡선 점 K

몽주 플롯에서 표면에 접하는 평면 지정하기

아래에서 특정 예를 사용하여 타원(예 1), 포물선(예 2) 및 쌍곡선(예 3) 점을 가진 표면에 접하는 평면의 구성을 보여줍니다.

예 1. 타원형 점을 사용하여 회전 β의 표면에 접하는 평면 α를 구성합니다. 이 문제를 해결하기 위한 두 가지 옵션을 고려하십시오. a) 점 М ∈ β 및 b) 점 М ∉ β

옵션 a(그림 210).

접평면은 두 개의 접선 t 1 과 t 2 에 의해 정의됩니다.

표면 β의 평행 h에 대한 접선 t 1 의 투영은 t "1 ⊥ (S" M ") 및 t" 1 || x축. 점 M을 통과하는 표면 β의 자오선 d에 대한 접선 t "2의 수평 투영은 자오선의 수평 투영과 일치합니다. 접선 t" 2의 정면 투영을 찾으려면 자오 평면 γ(γ ∋ М) 표면의 축을 중심으로 회전하여 β는 평면 π 2에 평행한 위치 γ 1로 변환됩니다. 이 경우 점 M → M 1 (M "1, M" 1) 접선의 투영법 t "2 rarr; t" 2 1이 정의됩니다(M "1 S"). 이제 평면 γ 1 을 원래 위치로 되돌리면 점 S "는 제자리에 유지되고(회전 축에 속함) M" 1 → M "및 접선 t" 2의 정면 투영은 결정하다 (M "S")

점 М ∈ β에서 교차하는 두 개의 접선 t 1 및 t 2는 표면 β에 접하는 평면 α를 정의합니다.

옵션 b(그림 211)

표면에 속하지 않는 점을 통과하는 표면에 접하는 평면을 구성하려면 다음 고려 사항에서 진행해야 합니다. 표면에 접하는 평면 집합은 타원 점으로 구성된 표면 외부의 점을 통해 그릴 수 있습니다. 이러한 표면의 봉투는 일부 원추형 표면이 될 것입니다. 따라서 추가 지침이 없으면 문제는 많은 솔루션이 있으며 이 경우 이 표면 β에 접하는 원추형 표면 γ를 그리는 것으로 축소됩니다.

그림에서. 도 211은 구 β에 접하는 원추형 표면 γ의 구성을 도시한다. 원추형 표면 γ에 접하는 평면 α는 표면 β에 접합니다.

점 M "및 M"에서 표면 γ의 투영을 구성하려면 구의 투영인 원 h "및 f"에 접선을 그립니다. 터치 포인트 1(1 "및 1"), 2(2 "및 2"), 3(3 "및 3") 및 4(4 "및 4")를 표시합니다. 원의 수평 투영 - 원뿔 표면과 구의 접선이 [1 "2"]로 투영됩니다. 이 원이 정면 투영 평면에 투영될 타원의 점을 찾으려면 평행선을 사용하십시오. 구의.

그림에서. 이러한 방식으로 211에서 점 E 및 F(E "및 F")의 정면 투영이 결정됩니다. 원뿔형 표면 γ를 가지면 그것에 접하는 평면 α를 구성합니다. 그래픽의 특성과 순서

이를 위해 수행해야 하는 구성은 다음 예에 나와 있습니다.

예 2 포물선 점을 사용하여 표면 β에 접하는 평면 α를 구성하십시오.

예 1에서와 같이 솔루션에 대한 두 가지 옵션을 고려하십시오. a) 점 N ∈ β; b) 점 N ∉ β

옵션 a(그림 212).

원추형 표면은 포물선 점이 있는 표면을 나타냅니다(그림 207 참조). 원추형 표면에 접하는 평면은 직선 모선을 따라 접촉합니다.

1) 이 점 N을 통해 발전기 SN(S "N" 및 S "N")을 그립니다.

2) 모선(SN)과 가이드 d의 교차점을 표시합니다. (SN) ∩ d = A;

3) 점 A에서 접선 t를 d로 감습니다.

생성기(SA)와 이를 교차하는 접선 t는 주어진 점 N *에서 원추 표면 β에 접하는 평면 α를 정의합니다.

원추면 β에 접하고 점 N을 통과하는 평면 α를 그리려면

* 표면 β는 포물선 점으로 구성되어 있기 때문에(꼭짓점 S 제외), 그것에 접하는 평면 α는 한 점 N이 아니라 직선(SN)을 공유합니다.

주어진 표면에서 다음이 필요합니다.

1) 주어진 점 N과 원추면 β의 꼭짓점 S를 지나는 직선 a(a "and a")를 그립니다.

2) 이 직선 H a의 수평 궤적을 결정합니다.

3) H a 그리기 접선 t "1 및 t" 곡선의 2 h 0β - 원추형 표면의 수평 추적;

4) 접선 A(A "및 A") 및 B(B "및 B")의 점을 원추형 표면 S(S "및 S")의 상단에 연결합니다.

교차선 t 1, (AS) 및 t 2, (BS)는 구한 접평면 α 1 및 α 2를 정의합니다.

예 3. 쌍곡선 점을 사용하여 표면 β에 접하는 평면 α를 구성합니다.

점 K(그림 214)는 구형의 표면(링의 내부 표면)에 있습니다.

접평면 α의 위치를 ​​결정하려면 다음이 필요합니다.

1) 표면 β h(h ", h")에 평행한 점 K를 통해 그립니다.

2) 점 K "접선 그리기 t"를 통해 1 (t "1 ≡ h");

3) 자오선 단면에 대한 접선의 투영 방향을 결정하려면 점 K와 표면 축을 통해 평면 γ를 그릴 필요가 있습니다. 수평 투영 t "2는 h 0γ와 일치합니다. 정면 투영을 구성하려면 접선 t" 2의 경우 먼저 평면 γ를 회전 표면의 축을 중심으로 위치 γ 1 || 파이 2. 이 경우 γ 평면에 의한 자오선 단면은 정면 투영의 왼쪽 윤곽선 호 - 반원 g "와 결합됩니다.

자오선 단면의 곡선에 속하는 점 K(K ", K")는 위치 K 1(K "1, K" 1)로 이동합니다. K "1"을 통해 평면 γ 1 ||에 맞춰 정렬된 접선 t" 2 1의 정면 투영을 그립니다. π 2 위치를 지정하고 회전 축 S "1의 정면 투영과 교차점을 표시하십시오. 평면 γ 1을 원래 위치로 되돌리십시오. K" 1 → K "(점 S" 1 ≡ S "). 접선 t"2의 정면 투영은 점 K "및 S"에 의해 결정됩니다.

접선 t 1 및 t 2는 곡선 l을 따라 표면 β와 교차하는 원하는 접평면 α를 정의합니다.

예 4. 점 K에서 표면 β에 접하는 평면 α를 구성하십시오. 점 K는 한 장의 회전 쌍곡면의 표면에 있습니다(그림 215).

이 문제는 이전 예에서 사용된 알고리즘을 준수하여 해결할 수 있지만 한 시트 회전 쌍곡면의 표면이 두 개의 직선 생성기 패밀리와 하나의 생성기 각각을 갖는 괘면이라는 점을 고려하면 패밀리는 다른 패밀리의 모든 생성자와 교차합니다(§ 32, 그림 . 138 참조). 이 표면의 각 점을 통해 두 개의 교차 직선을 그릴 수 있습니다. 발전기는 한 장의 회전 쌍곡면 표면에 동시에 접합니다.

이러한 접선은 접평면을 정의합니다. 즉, 한 장의 회전 쌍곡면의 표면에 접하는 평면이 두 직선 g 1 및 g 2를 따라 이 표면과 교차합니다. 이 직선의 투영을 구성하려면 접선 t "1 및 t"2를 수평선으로 옮기기 위해 점 K의 수평 투영을 수행하는 것으로 충분합니다.

원의 국부 투영 d "2 - 한 장의 회전 쌍곡면 표면의 목, t "1 및 t" 2가 안내 표면 d 1 중 하나와 교차하는 지점 1"과 2를 결정합니다. 1 "및 2"의 경우 1 "및 2"를 찾으며 K "와 함께 찾고자 하는 직선의 정면 투영을 결정합니다.