피타고라스 정리의 적용을 위한 작업. 피타고라스 정리의 과학 박사 과정 시작

피타고라스 정리는 직각 삼각형에만 적용되므로 주어진 삼각형이 직각 삼각형인지 확인하십시오. 직각 삼각형에서 세 각 중 하나는 항상 90도입니다.

직각 삼각형의 직각은 직각이 아닌 각을 나타내는 곡선 대신 정사각형으로 표시됩니다.

삼각형의 변에 레이블을 지정합니다.다리를 "a"와 "b"(다리가 직각으로 교차하는 변)로 지정하고 빗변을 "c"(빗변은 직각 반대편에 있는 직각 삼각형의 가장 큰 변)로 지정합니다.

찾고자 하는 삼각형의 변을 결정하십시오.피타고라스 정리를 사용하면 직각 삼각형의 모든 변을 찾을 수 있습니다(다른 두 변이 알려진 경우). 어느 쪽(a, b, c)을 찾아야 하는지 결정합니다.

예를 들어 빗변이 5이고 다리가 3인 경우 이 경우 두 번째 다리를 찾아야 합니다. 나중에 이 예를 다시 살펴보겠습니다.
다른 두 변을 알 수 없는 경우 피타고라스 정리를 적용하려면 알 수 없는 한 변의 길이를 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 기본 삼각 함수를 사용하십시오(직각이 아닌 각 중 하나의 값이 제공된 경우).

수식에서 a 2 + b 2 \u003d c 2 귀하에게 제공된 값(또는 귀하가 찾은 값)을 대체하십시오. a와 b는 다리이고 c는 빗변임을 기억하십시오.

이 예에서는 다음과 같이 작성합니다. 3² + b² = 5².

알려진 각 변을 제곱하십시오.또는 지수를 그대로 두십시오. 나중에 숫자를 제곱할 수 있습니다.

이 예에서는 9 + b² = 25로 작성합니다.

방정식의 한 변에서 미지의 변을 분리합니다.이렇게 하려면 알려진 값을 방정식의 다른 쪽으로 옮깁니다. 빗변을 찾으면 피타고라스 정리에서 빗변은 이미 방정식의 한쪽에서 분리되어 있으므로 수행할 필요가 없습니다.

이 예에서 9를 방정식의 오른쪽으로 이동하여 미지의 b²를 분리합니다. b² = 16이 됩니다.

방정식의 양변에 제곱근을 취하십시오.이 단계에서 방정식의 한쪽에는 미지수(제곱)가 있고 다른 쪽에는 절편(숫자)이 있습니다.

이 예에서 b² = 16입니다. 방정식의 양변에 제곱근을 취하고 b = 4를 얻습니다. 따라서 두 번째 다리는 4 .

많은 실제 상황에 적용될 수 있으므로 일상 생활에서 피타고라스 정리를 사용하십시오. 이렇게 하려면 일상 생활에서 직각 삼각형을 인식하는 법을 배웁니다. 두 물체(또는 선)가 직각으로 교차하고 세 번째 물체(또는 선)가 처음 두 물체(또는 선), 피타고라스 정리를 사용하여 미지의 면을 찾을 수 있습니다(다른 두 면이 알려진 경우).

예: 건물에 기대어 있는 사다리가 있습니다. 계단 바닥은 벽 바닥에서 5m 떨어져 있습니다. 계단의 꼭대기는 지면에서 20m 떨어져 있습니다(벽 위로). 사다리의 길이는 얼마입니까?
- "벽 바닥에서 5미터"는 a = 5를 의미합니다. "지면에서 20미터"는 b = 20을 의미합니다(즉, 건물의 벽과 지구 표면이 직각으로 교차하기 때문에 직각 삼각형의 두 다리가 제공됨). 사다리의 길이는 알 수 없는 빗변의 길이입니다.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20.6. 따라서 계단의 대략적인 길이는 20.6미터.

학교 교과과정에서 공부하는 피타고라스 정리의 역사에 관심이 있는 사람이라면 1940년에 이 겉보기에 단순해 보이는 정리에 대한 370개의 증명을 담은 책이 출판된 것과 같은 사실도 궁금할 것이다. 그러나 그것은 다른 시대의 많은 수학자들과 철학자들의 마음을 사로잡았습니다. 기네스북에는 증명이 가능한 최대 개수의 정리로 기록되어 있다.

피타고라스 정리의 역사

피타고라스의 이름과 관련하여 이 정리는 위대한 철학자가 태어나기 오래 전에 알려졌습니다. 따라서 이집트에서는 구조물을 건설하는 동안 5천 년 전에 직각 삼각형의 변의 비율이 고려되었습니다. 바빌로니아 문헌에는 피타고라스가 탄생하기 1200년 전에 직각 삼각형의 변의 비율이 동일하다고 언급되어 있습니다.

그 이야기가 말하는 이유는 무엇입니까? 피타고라스 정리의 출현은 그에게 속합니다. 답은 하나뿐입니다. 그는 삼각형의 변의 비율을 증명했습니다. 그는 경험에 의해 확립된 종횡비와 빗변을 단순히 사용하는 사람들이 수세기 전에 하지 않은 일을 했습니다.

피타고라스의 삶에서

미래의 위대한 과학자, 수학자, 철학자는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났습니다. 역사적 문서에는 보석 조각가였던 피타고라스의 아버지에 대한 정보가 남아 있지만 그의 어머니에 대한 정보는 없습니다. 그들은 태어난 소년에 대해 어린 시절부터 음악과 시에 대한 열정을 보인 뛰어난 아이였다고 말했습니다. 역사가들은 헤르모다만트와 시로스의 페레키데스를 젊은 피타고라스의 교사들에게 돌립니다. 첫 번째는 소년을 뮤즈의 세계로 안내했고, 두 번째는 철학자이자 이탈리아 철학 학교의 창시자로서 젊은이의 시선을 로고스로 안내했습니다.

22세(기원전 548년)에 피타고라스는 이집트인의 언어와 종교를 연구하기 위해 나우크라티스로 갔다. 또한 그의 길은 멤피스에 있었는데, 제사장들 덕분에 독창적인 테스트를 거친 이집트 기하학을 이해했으며, 아마도 호기심 많은 청년이 피타고라스 정리를 증명하도록 자극했을 것입니다. 역사는 나중에 이 이름을 정리로 돌릴 것입니다.

바빌론 왕에게 포로로 잡혀감

헬라스로 돌아가는 길에 피타고라스는 바빌론 왕에게 붙잡힙니다. 그러나 포로 생활은 초보 수학자의 호기심 많은 마음에 도움이 되었기 때문에 배울 것이 많았습니다. 실제로 그 당시 바빌론의 수학은 이집트보다 더 발달했습니다. 그는 12년 동안 수학, 기하학, 마술을 공부했습니다. 그리고 아마도 삼각형의 변의 비율의 증명과 정리 발견의 역사에 관련된 것은 바빌론 기하학이었을 것입니다. 피타고라스는 이에 대한 충분한 지식과 시간을 갖고 있었습니다. 그러나 이것이 바벨론에서 일어났다는 사실에 대한 문서적 확인이나 반박은 없다.

기원전 530년 피타고라스는 포로 상태에서 고향으로 도망쳐 반노예의 신분으로 폭군 폴리크라테스의 궁정에서 생활합니다. 그런 삶은 피타고라스에게 어울리지 않아 사모스 동굴로 은퇴한 다음, 당시 그리스 식민지인 크로톤이 있던 이탈리아 남부로 간다.

비밀 수도원 주문

이 식민지를 기반으로 피타고라스는 종교적인 결합과 동시에 과학적인 사회인 비밀 수도원을 조직했습니다. 이 사회에는 특별한 생활 방식의 준수에 대해 언급한 헌장이 있었습니다.

피타고라스는 신을 이해하기 위해서는 대수와 기하학과 같은 과학을 알고 천문학을 알고 음악을 이해해야 한다고 주장했습니다. 연구 작업은 숫자와 철학의 신비한 측면에 대한 지식으로 축소되었습니다. 그 당시에 피타고라스가 설파한 원칙은 현재에도 모방하는 것이 타당하다는 점에 유의해야 합니다.

피타고라스의 제자들에 의해 이루어진 많은 발견은 그에게 기인했습니다. 그럼에도 불구하고 요컨대, 그 당시의 고대 역사가와 전기 작가가 피타고라스 정리를 만든 역사는이 철학자, 사상가 및 수학자의 이름과 직접 관련이 있습니다.

피타고라스의 가르침

아마도 역사가들은 다리와 빗변이 있는 속담 삼각형이 우리 삶의 모든 현상을 인코딩했다는 위대한 그리스인의 진술에서 영감을 받았을 것입니다. 그리고 이 삼각형은 발생하는 모든 문제를 해결하는 "핵심"입니다. 위대한 철학자는 삼각형을 봐야 문제의 3분의 2가 해결되었다고 가정할 수 있다고 말했습니다.

피타고라스는 자신의 가르침에 대해 메모하지 않고 비밀로 유지하면서 구두로만 제자들에게만 말했습니다. 불행히도 가장 위대한 철학자의 가르침은 오늘날까지 살아남지 못했습니다. 일부는 유출됐지만 지금까지 알려진 내용 중 어느 정도가 사실이고 어느 정도가 거짓인지는 분간할 수 없다. 피타고라스 정리의 역사에도 불구하고 모든 것이 확실한 것은 아닙니다. 수학의 역사가들은 피타고라스의 저자를 의심하며, 그들의 의견으로는 이 정리가 그의 출생보다 수세기 전에 사용되었다고 생각합니다.

피타고라스의 정리

이상하게 보일지 모르지만 피타고라스 자신이 정리를 증명한 역사적 사실은 아카이브나 다른 출처에 없습니다. 현대판에서는 유클리드 자신의 것이라고 믿어집니다.

기원전 2300년경 이집트인이 쓴 베를린 박물관에 보관된 파피루스를 발견한 가장 위대한 수학 역사가인 모리츠 칸토어(Moritz Kantor)의 증거가 있습니다. 이자형. 평등, 읽기: 3² + 4² = 5².

피타고라스 정리의 역사에서 간단히

번역에서 유클리드 "시작"의 정리 공식화는 현대 해석과 동일하게 들립니다. 읽는 데 새로운 것은 없습니다. 직각 반대편의 제곱은 직각에 인접한 변의 제곱의 합과 같습니다. 인도와 중국의 고대 문명이 이 정리를 사용했다는 사실은 주비수안진(Zhou Bi Suan Jin) 논문에서 확인됩니다. 여기에는 종횡비를 3:4:5로 설명하는 이집트 삼각형에 대한 정보가 포함되어 있습니다.

덜 흥미로운 것은 Baskhara의 힌두 기하학 그림과 일치하는 설명과 그림으로 피타고라스 삼각형을 언급하는 또 다른 중국 수학 책 "Chu-pei"입니다. 삼각형 자체에 대해 책에서는 직각을 구성 요소로 분해할 수 있다면 밑변이 3이고 높이가 4인 경우 변의 끝을 연결하는 선이 5와 같을 것이라고 말합니다.

기원전 7~5세기경으로 거슬러 올라가는 인도의 논문 "설바경(Sulva Sutra)". e., 이집트 삼각형을 사용하여 직각의 구성에 대해 알려줍니다.

정리의 증명

중세 시대에 학생들은 정리를 증명하는 것이 너무 어렵다고 생각했습니다. 약한 학생은 증명의 의미를 이해하지 않고 마음으로 정리를 배웠습니다. 이와 관련하여 피타고라스 정리가 당나귀를위한 다리와 같이 극복 할 수없는 장애물이었기 때문에 "당나귀"라는 별명을 받았습니다. 중세 시대에 학생들은 이 정리를 주제로 재미있는 구절을 생각해 냈습니다.

가장 쉬운 방법으로 피타고라스 정리를 증명하려면 증명에서 면적 개념을 사용하지 않고 측면을 측정해야 합니다. 직각 반대편의 길이는 c이고 그에 인접한 a와 b는 결과적으로 방정식을 얻습니다. a 2 + b 2 \u003d c 2. 이 명제는 위에서 언급한 바와 같이 직각 삼각형의 변의 길이를 측정함으로써 검증됩니다.

삼각형의 변에 만들어진 직사각형의 면적을 고려하여 정리의 증명을 시작하면 전체 그림의 면적을 결정할 수 있습니다. 한 변(a + b)이 있는 정사각형의 면적과 같으며, 반면에 네 개의 삼각형과 내부 정사각형의 면적의 합과 같습니다.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , 이것은 증명되어야 했습니다.

피타고라스 정리의 실질적인 의미는 선분의 길이를 측정하지 않고 구하는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 구조물을 건설하는 동안 거리, 지지대 및 보의 배치가 계산되고 무게 중심이 결정됩니다. 피타고라스 정리는 모든 현대 기술에도 적용됩니다. 그들은 높이, 길이, 너비, 시간, 냄새 및 맛의 일반적인 3가지 값 외에도 3D-6D 차원에서 영화를 만들 때 정리를 잊지 않았습니다. 맛과 냄새가 정리와 어떻게 관련되어 있습니까? 모든 것이 매우 간단합니다. 영화를 상영할 때 강당에서 지시할 냄새와 맛을 어디에서 계산해야 합니다.

시작일 뿐입니다. 새로운 기술을 발견하고 창조할 수 있는 무한한 범위가 호기심 많은 사람들을 기다리고 있습니다.

피타고라스는 약 2500년 전(기원전 564-473년)에 살았던 그리스 과학자입니다.

어느 쪽의 변이 있는 직각 삼각형이 주어졌다고 하자. ㅏ, 비그리고 ~와 함께(그림 267).

측면에 사각형을 만들자. 이 사각형의 면적은 각각 ㅏ 2 , 비 2 및 ~와 함께 2. 그것을 증명하자 ~와 함께 2 = 에이 2 +b 2 .

두 개의 정사각형 MKOR 및 M'K'O'R'(그림 268, 269)을 구성하고, 각각의 측면에 대해 직각 삼각형 ABC의 다리의 합과 동일한 세그먼트를 취합니다.

이 사각형에서 그림 268 및 269에 표시된 구성을 완료하면 MKOR 사각형이 ㅏ 2 및 비 2개와 4개의 동일한 직각 삼각형, 각각은 직각 삼각형 ABC와 같습니다. 정사각형 M'K'O'R'은 사변형(그림 269에서 음영 처리됨)과 4개의 직각 삼각형으로 나뉘며, 각각은 삼각형 ABC와 동일합니다. 음영 처리된 사변형은 변이 같기 때문에 정사각형입니다(각각은 삼각형 ABC의 빗변과 같습니다. ~와 함께), 그리고 각은 직선 ∠1 + ∠2 = 90°, 여기서 ∠3 = 90°).

따라서 다리에 만들어진 정사각형의 면적의 합(그림 268에서 이 정사각형은 음영 처리됨)은 4개의 동일한 삼각형의 면적의 합이 없는 MKOR 정사각형의 면적과 같습니다. 빗변에 지어진 정사각형(그림 269에서 이 정사각형도 음영 처리됨)은 M'K'O'R' 정사각형의 면적과 같으며, MKOR의 제곱과 같으며, 면적의 합은 제외됩니다. 네 개의 유사한 삼각형. 따라서 직각 삼각형의 빗변에 만들어진 정사각형의 면적은 다리에 지어진 정사각형의 면적의 합과 같습니다.

우리는 공식을 얻는다 ~와 함께 2 = 에이 2 +b 2, 어디 ~와 함께- 빗변, ㅏ그리고 비- 직각 삼각형의 다리.

피타고라스 정리는 다음과 같이 요약할 수 있습니다.

직각 삼각형의 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.

공식에서 ~와 함께 2 = 에이 2 +b 2 다음 공식을 얻을 수 있습니다.

ㅏ 2 = ~와 함께 2 - 비 2 ;

b 2 = ~와 함께 2 - ㅏ 2 .

이 공식은 두 변이 주어진 직각 삼각형의 알려지지 않은 변을 찾는 데 사용할 수 있습니다.

예를 들어:

a) 다리가 주어진 경우 ㅏ= 4cm, 비\u003d 3cm이면 빗변을 찾을 수 있습니다 ( ~와 함께):

~와 함께 2 = 에이 2 +b 2, 즉 ~와 함께 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25일 때 ~와 함께= √25 = 5(cm);

b) 빗변이 주어진 경우 ~와 함께= 17cm와 다리 ㅏ= 8cm이면 다른 다리를 찾을 수 있습니다( 비):

비 2 = ~와 함께 2 - ㅏ 2, 즉 비 2 = 17 2 - 8 2 ; 비 2 = 225, 어디서 비= √225 = 15(cm).

결론: 만약 두 개의 직각 삼각형 ABC와 A 1 B 1 C 1 빗변 ~와 함께그리고 ~와 함께 1은 같고 다리는 비삼각형 ABC는 다리보다 큽니다. 비 1 삼각형 A 1 B 1 C 1,

그런 다음 다리 ㅏ삼각형 ABC는 다리보다 작습니다. ㅏ 1 삼각형 A 1 B 1 C 1 .

실제로 피타고라스 정리에 따라 다음을 얻습니다.

ㅏ 2 = ~와 함께 2 - 비 2 ,

ㅏ 1 2 = ~와 함께 1 2 - 비 1 2

작성된 공식에서 빼기는 같고 첫 번째 공식의 감수는 두 번째 공식의 감수보다 크므로 첫 번째 차이는 두 번째 것보다 작습니다.

즉. ㅏ 2 1 2 . 어디에 ㅏ 1 .

샤포발로바 L.A. (역 Egorlykskaya, MBOU ESOSH No. 11)

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이번 학년도에 나는 고대부터 알려진 흥미로운 정리에 대해 알게 되었습니다.

"직각 삼각형의 빗변에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."

일반적으로이 진술의 발견은 고대 그리스 철학자이자 수학자 피타고라스 (기원전 6 세기)에 기인합니다. 그러나 고대 필사본에 대한 연구에 따르면 이 진술은 피타고라스가 탄생하기 오래 전에 알려져 있었습니다.

이 경우 왜 피타고라스라는 이름과 관련이 있는지 궁금했습니다.

주제의 관련성: 피타고라스 정리는 매우 중요합니다. 모든 단계에서 문자 그대로 기하학에 사용됩니다. 나는 피타고라스의 작품이 여전히 관련이 있다고 믿습니다. 우리가 어디를 보든 현대 생활의 다양한 분야에 구현된 그의 위대한 아이디어의 열매를 볼 수 있기 때문입니다.

내 연구의 목적은 피타고라스가 누구인지, 그리고 그가 이 정리와 어떤 관련이 있는지 알아내는 것이었습니다.

정리의 역사를 연구하면서 나는 다음을 찾기로 결정했습니다.

이 정리의 다른 증거가 있습니까?

사람들의 삶에서 이 정리의 의미는 무엇입니까?

피타고라스는 수학의 발전에서 어떤 역할을 했습니까?

피타고라스의 전기에서

사모스의 피타고라스는 위대한 그리스 과학자입니다. 그 명성은 피타고라스 정리의 이름과 관련이 있습니다. 지금 우리는 이 정리가 피타고라스보다 1200년 앞서 고대 바빌론에서 알려졌고, 그보다 2000년 앞선 이집트에서 변이 3, 4, 5인 직각 삼각형이 알려졌음을 이미 알고 있지만, 우리는 여전히 이것을 고대 바빌론의 이름으로 부릅니다. 과학자.

피타고라스의 삶에 대해 확실하게 알려진 것은 거의 없지만 그의 이름과 관련된 많은 전설이 있습니다.

피타고라스는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났다.

피타고라스는 잘 생긴 외모에 긴 수염과 머리에 황금 왕관을 쓰고 있었습니다. 피타고라스는 이름이 아니라 그리스의 신탁처럼 항상 정확하고 설득력 있게 말을 해서 철학자가 받은 별명이다. (피타고라스 - "설득력 있는 연설").

기원전 550년, 피타고라스는 결단을 내리고 이집트로 간다. 그래서 피타고라스 앞에 미지의 나라와 미지의 문화가 펼쳐진다. 이 나라에서 많은 놀라움과 놀라움을 선사한 피타고라스는 이집트인들의 삶을 관찰한 후 사제 계급이 보호하는 지식에 이르는 길이 종교를 통해 있다는 것을 깨달았습니다.

이집트에서 11년 동안 공부한 후 피타고라스는 고국으로 가 그곳에서 바빌론 포로로 끌려갑니다. 그곳에서 그는 이집트보다 더 발전된 바빌론 과학에 대해 알게 됩니다. 바빌론 사람들은 선형, 2차 및 일부 유형의 3차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 포로 생활에서 탈출한 그는 고국을 지배하는 폭력과 폭정의 분위기 때문에 조국에 오래 머물 수 없었습니다. 그는 크로톤(이탈리아 북부의 그리스 식민지)으로 이주하기로 결정했습니다.

피타고라스의 생애에서 가장 영광스러운 시기는 크로톤에서 시작됩니다. 그곳에서 그는 종교-윤리적 형제애나 비밀 수도원 같은 것을 설립했으며, 그 회원들은 이른바 피타고라스식 생활 방식을 이끌어야 했습니다.

피타고라스와 피타고라스 학파

아펜니노 반도의 남쪽에 있는 그리스 식민지에서 조직된 피타고라스는 나중에 피타고라스 연합이라고 부를 수도 있는 수도원과 같은 종교적 윤리적 형제애입니다. 노동 조합의 구성원은 첫째, 아름답고 영광스러운 것을 위해 노력하고, 둘째로 유용하고, 셋째로 높은 즐거움을 위해 노력하는 특정 원칙을 고수해야했습니다.

피타고라스가 그의 제자들에게 물려준 도덕적, 윤리적 규칙 체계는 고대, 중세, 르네상스 시대에 매우 유행했던 피타고라스 학파의 "황금 구절"의 일종의 도덕 규범으로 편집되었습니다.

피타고라스식 연구 시스템은 세 부분으로 구성되어 있습니다.

숫자에 대한 가르침 - 산수,

인물에 대한 가르침 - 기하학,

우주의 구조에 대한 가르침 - 천문학.

피타고라스가 세운 교육 시스템은 수세기 동안 지속되었습니다.

피타고라스 학파는 기하학에 과학의 성격을 부여하는 데 많은 기여를 했습니다. 피타고라스식 방법의 주요 특징은 기하학과 산술의 조합이었습니다.

피타고라스는 비율과 진행, 그리고 아마도 수치의 유사성에 대해 많은 것을 다루었습니다. 그가 문제를 해결한 것으로 인정받았기 때문입니다. 두 개의 수치가 주어졌다."

피타고라스와 그의 학생들은 다각형, 친수, 완전수의 개념을 소개하고 그 속성을 연구했습니다. 계산의 실천으로서의 산술은 피타고라스에게 관심이 없었으며 그는 자랑스럽게 "산술을 상인의 이익보다 우선시한다"고 선언했습니다.

피타고라스 연합의 구성원은 그리스의 많은 도시에 거주했습니다.

피타고라스 학파는 또한 여성을 사회로 받아들였습니다. 연합은 20년 이상 번성했고, 그 후 회원들에 대한 박해가 시작되었고 많은 학생들이 살해당했습니다.

피타고라스 자신의 죽음에 대한 다양한 전설이 있었습니다. 그러나 피타고라스와 그의 제자들의 가르침은 계속해서 살아 남았습니다.

피타고라스 정리 생성의 역사에서

현재 이 정리는 피타고라스에 의해 발견되지 않은 것으로 알려져 있습니다. 그러나 어떤 사람들은 피타고라스가 처음으로 완전한 증거를 제시했다고 믿고 다른 사람들은 그의 장점을 부인합니다. 일부는 유클리드가 그의 Elements의 첫 번째 책에서 제공한 증명을 피타고라스에 귀속시킵니다. 반면에 Proclus는 Elements의 증명이 Euclid 자신 때문이라고 주장합니다. 우리가 볼 수 있듯이 수학의 역사에는 피타고라스의 삶과 그의 수학적 활동에 대한 신뢰할 수 있는 구체적인 데이터가 거의 없습니다.

고대 중국의 피타고라스 정리에 대한 역사적 검토를 시작하겠습니다. 여기서 츄페이의 수학책이 특히 눈길을 끈다. 이 에세이는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말합니다.

"직각을 구성 요소로 분해하면 밑변이 3이고 높이가 4일 때 변의 끝을 연결하는 선이 5가 됩니다."

그들의 건설 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다. 12m 길이의 밧줄을 3m 거리에서 색깔 있는 스트립을 따라 묶습니다. 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝에서 4m. 3~4m 길이의 변 사이에 직각이 포함됩니다.

힌두교도의 기하학은 숭배와 밀접하게 연결되어 있었습니다. 빗변 제곱 정리는 기원전 8세기경 인도에서 이미 알려졌을 가능성이 매우 높습니다. 순전히 의례적인 처방과 함께 기하학적으로 신학적인 성격을 지닌 작품들이 있다. 기원전 4세기 또는 5세기로 거슬러 올라가는 이 글에서 우리는 변이 15, 36, 39인 삼각형을 사용하여 직각의 구성을 만납니다.

중세 시대에 피타고라스의 정리는 가능한 한 최대가 아니더라도 최소한 좋은 수학적 지식의 한계를 정의했습니다. 예를 들어 지금은 가끔 학생들이 교수나 남자의 가운을 입은 모자로 바뀌는 피타고라스 정리의 특징적인 그림은 그 당시 수학의 상징으로 자주 사용되었습니다.

결론적으로, 우리는 그리스어, 라틴어 및 독일어에서 번역된 피타고라스 정리의 다양한 공식을 제시합니다.

유클리드의 정리는 다음과 같습니다.

"직각 삼각형에서 직각에 걸친 변의 제곱은 직각을 둘러싼 변의 제곱과 같습니다."

보시다시피, 다른 국가와 다른 언어에는 친숙한 정리의 공식화 버전이 다릅니다. 서로 다른 시간과 다른 언어로 생성된 이 패턴은 하나의 수학적 패턴의 본질을 반영하며, 그 증명에도 여러 옵션이 있습니다.

피타고라스 정리를 증명하는 5가지 방법

고대 중국 증거

고대 중국 그림에서 다리 a, b, 빗변 c가 있는 4개의 동일한 직각 삼각형을 쌓아서 외부 윤곽은 변 a + b가 있는 정사각형을 형성하고 내부 윤곽은 변 c와 함께 정사각형을 형성합니다. 빗변

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfield의 증명(1882)

두 개의 동일한 직각 삼각형을 배열하여 그 중 하나의 다리가 다른 다리의 연속이 되도록 합시다.

고려중인 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱으로 발견됩니다

반면에 사다리꼴의 면적은 얻은 삼각형의 면적의 합과 같습니다.

이러한 표현식을 동일시하면 다음을 얻습니다.

증명은 간단하다

이 증명은 이등변 삼각형의 가장 간단한 경우에서 얻습니다.

아마도 정리는 그와 함께 시작되었을 것입니다.

실제로, 정리가 참인지 확인하려면 이등변 직각 삼각형의 타일링만 보면 됩니다.

예를 들어 삼각형 ABC의 경우 빗변 AC에 만들어진 사각형에는 4개의 초기 삼각형이 포함되고 다리에 만들어진 사각형에는 2개가 포함됩니다. 정리가 증명되었습니다.

고대 힌두교의 증거

측면(a + b)이 있는 정사각형은 그림과 같이 여러 부분으로 나눌 수 있습니다. 12. a, 또는 그림과 같이. 12b. 두 그림에서 파트 1, 2, 3, 4가 동일한 것이 분명합니다. 그리고 같음(면적)에서 같음을 빼면 같음은 그대로 유지됩니다. c2 = a2 + b2.

유클리드의 증명

2000년 동안 가장 흔한 것은 유클리드가 발명한 피타고라스 정리의 증명이었습니다. 그의 유명한 책 "Beginnings"에 나와 있습니다.

유클리드는 직각의 꼭짓점에서 빗변까지 높이 BH를 낮추고 그 확장이 빗변에 완성된 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누는 것을 증명했으며, 그 넓이는 다리에 만들어진 해당 정사각형의 넓이와 같습니다.

이 정리의 증명에 사용된 그림은 농담으로 "피타고라스 바지"라고 불립니다. 오랫동안 그는 수학 과학의 상징 중 하나로 여겨졌습니다.

피타고라스 정리의 적용

피타고라스 정리의 의미는 기하학의 대부분의 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 파생될 수 있고 많은 문제가 풀릴 수 있다는 사실에 있습니다. 또한 피타고라스 정리와 그 역정리의 실질적인 의미는 선분 자체를 측정하지 않고 선분의 길이를 찾는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 말하자면 이것은 직선에서 평면으로, 평면에서 체적 공간으로 그리고 그 너머로의 길을 열어줍니다. 이러한 이유로 피타고라스 정리는 더 많은 차원을 발견하고 이러한 차원에서 기술을 창조하고자 하는 인류에게 매우 중요합니다.

결론

피타고라스 정리는 너무 유명해서 들어보지 않은 사람은 상상하기 어렵습니다. 피타고라스 정리를 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다는 것을 배웠습니다. 나는 인터넷에 있는 정보를 포함하여 많은 역사적, 수학적 출처를 연구했고 피타고라스 정리가 그 역사뿐만 아니라 생명과 과학에서 중요한 위치를 차지하기 때문에 흥미롭다는 것을 깨달았습니다. 이것은 내가 이 논문에서 제시한 이 정리의 텍스트와 그 증명 방법에 대한 다양한 해석에 의해 입증됩니다.

따라서 피타고라스 정리는 기하학의 주요 정리 중 하나이며 가장 중요한 정리라고 할 수 있습니다. 그것의 중요성은 기하학의 대부분의 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 추론될 수 있다는 사실에 있습니다. 피타고라스의 정리는 그 자체로는 전혀 명백하지 않다는 점에서도 주목할 만합니다. 예를 들어, 이등변 삼각형의 속성은 도면에서 직접 볼 수 있습니다. 그러나 직각 삼각형을 아무리 살펴봐도 변 사이에 단순한 관계가 있다는 것을 결코 볼 수 없을 것입니다: c2 = a2 + b2. 따라서 이를 증명하기 위해 시각화가 자주 사용됩니다. 피타고라스의 장점은 그가 이 정리에 대한 완전한 과학적 증거를 제시했다는 것입니다. 이 정리에 의해 우연히 기억이 보존되지 않는 과학자 자신의 성격이 흥미롭습니다. 피타고라스는 음악과 숫자, 선과 정의, 지식과 건강한 생활 방식의 조화에 중점을 둔 훌륭한 연사이자 교사이자 교육자이며 그의 학교 조직자입니다. 그는 먼 후손인 우리에게 좋은 본보기가 될 것입니다.

서지 링크

투마노바 S.V. 피타고라스 정리를 증명하는 여러 가지 방법 // 과학에서 시작하십시오. - 2016. - 2호. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44(액세스 날짜: 2020년 2월 28일).

van der Waerden에 따르면 일반적인 형태의 비율은 기원전 18세기 경 바빌론에서 이미 알려졌을 가능성이 매우 높습니다. 이자형.

기원전 400년경. 예를 들어, Proclus에 따르면 Plato는 대수학과 기하학을 결합하여 피타고라스식 삼중항을 찾는 방법을 제시했습니다. 기원전 300년경 이자형. 유클리드의 "요소"에서 피타고라스 정리의 가장 오래된 공리 증명이 나타났습니다.

말씨

주요 공식은 대수 연산을 포함합니다 - 직각 삼각형에서 다리의 길이는 동일합니다 a (\displaystyle a)그리고 b(\디스플레이스타일 b), 빗변의 길이는 c(\디스플레이스타일 c), 관계가 충족됩니다.

면적 개념에 의존하여 동등한 기하학적 공식도 가능합니다. 도형: 직각 삼각형에서 빗변에 지어진 사각형의 면적은 다리에 지어진 사각형의 면적의 합과 같습니다. 이 형식에서 정리는 유클리드의 원리로 공식화됩니다.

역 피타고라스 정리-변의 길이가 관계식으로 관련된 삼각형의 직사각형에 대한 설명 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). 결과적으로 양수의 3배에 대해 a (\displaystyle a), b(\디스플레이스타일 b)그리고 c(\디스플레이스타일 c), 그렇게 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), 다리가 있는 직각 삼각형이 있습니다. a (\displaystyle a)그리고 b(\디스플레이스타일 b)빗변 c(\디스플레이스타일 c).

증명

최소한 400개의 피타고라스 정리의 증명이 과학 문헌에 기록되어 있으며 기하학의 근본적인 가치와 결과의 기본성에 의해 설명됩니다. 증명의 주요 방향은 다음과 같습니다. 요소 삼각형의 비율의 대수적 사용(예: 인기 있는 유사성 방법), 면적 방법, 다양한 이국적인 증명(예: 미분 방정식 사용)도 있습니다.

비슷한 삼각형을 통해

유클리드의 고전적 증명은 빗변 위의 정사각형을 다리 위의 정사각형과 직각에서 높이로 해부하여 형성된 직사각형 사이의 면적을 동일하게 설정하는 것을 목표로 합니다.

증명에 사용된 구성은 다음과 같습니다. 직각을 가진 직각 삼각형의 경우 C(\디스플레이스타일 C), 다리 위의 사각형 및 빗변 위의 사각형 A B I K(\displaystyle ABIK)높이 건설 중 CH(\디스플레이스타일 CH)그리고 그것을 이어가는 빔 s (\displaystyle s), 빗변 위의 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누고 . 증명은 직사각형 영역의 평등을 확립하는 것을 목표로 합니다. A H J K (\displaystyle AHJK)다리 위에 사각형으로 A C(\displaystyle AC); 빗변 위의 정사각형인 두 번째 직사각형과 다른 쪽 다리 위의 직사각형의 면적의 동일성은 비슷한 방식으로 설정됩니다.

직사각형 면적의 평등 A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 A C E D(\displaystyle ACED)삼각형의 합동으로 성립 △ A C K (\displaystyle \triangle ACK)그리고 △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), 각각의 면적은 정사각형 면적의 절반과 같습니다. A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 A C E D(\displaystyle ACED)다음 속성과 관련하여 각각 : 삼각형의 면적은 그림에 공통면이 있고 공통면에 대한 삼각형의 높이는 다른면인 경우 직사각형 면적의 절반과 같습니다. 직사각형. 삼각형의 합동은 두 변(정사각형의 변)과 그 사이의 각(직각과 A(\디스플레이스타일 A).

따라서 증명은 직사각형으로 구성된 빗변 위의 정사각형 면적이 A H J K (\displaystyle AHJK)그리고 B H J I (\displaystyle BHJI), 다리 위의 정사각형 면적의 합과 같습니다.

레오나르도 다빈치의 증거

면적법에는 레오나르도 다빈치가 발견한 증명도 포함됩니다. 직각 삼각형이 있다고 하자 △ A B C (\displaystyle \삼각형 ABC)직각 C(\디스플레이스타일 C)그리고 사각형 A C E D(\displaystyle ACED), B C F G(\displaystyle BCFG)그리고 A B H J (\displaystyle ABHJ)(그림 참조). 옆에 있는 이 증명에서 HJ(\displaystyle HJ)후자, 삼각형은 외부에 구성되고 합동 △ A B C (\displaystyle \삼각형 ABC)또한 빗변과 빗변 높이에 대해 모두 반영됩니다(즉, J I = B C (\displaystyle JI=BC)그리고 HI = AC (\displaystyle HI=AC)). 똑바로 C I (\displaystyle CI)삼각형은 빗변에 만들어진 정사각형을 두 개의 동일한 부분으로 나눕니다. △ A B C (\displaystyle \삼각형 ABC)그리고 △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)건설에서 평등합니다. 증명은 사변형의 합동을 설정합니다. C A J I (\displaystyle CAJI)그리고 D A B G (\displaystyle DABG), 한편으로 각각의 면적은 다리의 정사각형 면적의 절반과 원래 삼각형의 면적의 합과 같습니다. 다른 한편으로는 면적의 절반 빗변 위의 정사각형에 원래 삼각형의 면적을 더한 값. 전체적으로 다리 위의 정사각형 면적의 절반은 빗변 위의 정사각형 면적의 절반과 같으며, 이는 피타고라스 정리의 기하학적 공식과 같습니다.

극소법에 의한 증명

미분 방정식의 기술을 사용하는 몇 가지 증명이 있습니다. 특히 Hardy는 극소량의 다리 증분을 사용한 증명으로 인정됩니다. a (\displaystyle a)그리고 b(\디스플레이스타일 b)빗변 c(\디스플레이스타일 c), 원래 직사각형과의 유사성을 유지하는 것, 즉 다음 미분 관계의 충족을 보장합니다.

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

변수의 분리 방법에 의해 미분 방정식이 파생됩니다. c d c = a d a + b d b (\디스플레이 스타일 c\ dc=a\,da+b\,db), 그 통합이 관계를 제공합니다. c 2 = a 2 + b 2 + C on s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). 초기 조건의 적용 a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)상수를 0으로 정의하여 정리를 주장합니다.

최종 공식의 2차 종속성은 삼각형의 변과 증분 사이의 선형 비례로 인해 나타나는 반면 합계는 다른 다리의 증분에서 독립적인 기여로 인해 나타납니다.

변형 및 일반화

3면에 유사한 기하학적 모양

피타고라스 정리의 중요한 기하학적 일반화는 "초기"에서 유클리드에 의해 주어졌으며, 측면의 정사각형 영역에서 임의의 유사한 기하학적 도형의 영역으로 이동합니다. 다리에 지어진 그러한 도형의 면적의 합은 다음과 같습니다. 빗변에 지어진 그들과 비슷한 그림의 면적과 같습니다.

이 일반화의 주요 아이디어는 그러한 기하학적 도형의 면적이 선형 치수의 제곱, 특히 임의의 변의 길이의 제곱에 비례한다는 것입니다. 따라서 면적이 비슷한 수치의 경우 A(\디스플레이스타일 A), B(\디스플레이 스타일 B)그리고 C(\디스플레이스타일 C)길이가있는 다리에 내장 a (\displaystyle a)그리고 b(\디스플레이스타일 b)빗변 c(\디스플레이스타일 c)따라서 다음과 같은 관계가 있습니다.

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

피타고라스 정리에 따르면 a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), 그러면 완료됩니다.

또한 피타고라스 정리에 의존하지 않고 직각 삼각형의 변에있는 세 개의 유사한 기하학적 도형의 면적에 대한 관계를 증명할 수 있다면 A + B = C (\displaystyle A+B=C), 그런 다음 유클리드의 일반화 증명의 역순을 사용하여 피타고라스 정리의 증명을 도출할 수 있습니다. 예를 들어 빗변에 면적이 있는 초기 삼각형에 합동인 직각 삼각형을 구성하면 C(\디스플레이스타일 C), 그리고 다리에 - 면적이 있는 두 개의 유사한 직각 삼각형 A(\디스플레이스타일 A)그리고 B(\디스플레이 스타일 B), 그러면 다리의 삼각형은 초기 삼각형을 높이로 나눈 결과로 형성됩니다. 즉, 삼각형의 두 작은 영역의 합은 세 번째 영역과 같으므로 A + B = C (\displaystyle A+B=C)그리고 유사한 그림에 대한 관계를 적용하여 피타고라스 정리가 도출됩니다.

코사인 정리

피타고라스 정리는 임의의 삼각형에서 변의 길이와 관련된 보다 일반적인 코사인 정리의 특수한 경우입니다.

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

측면 사이의 각도는 어디입니까 a (\displaystyle a)그리고 b(\디스플레이스타일 b). 각도가 90°이면 cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), 그리고 공식은 일반적인 피타고라스 정리로 단순화됩니다.

임의의 삼각형

임의의 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 일반화가 있으며, 전적으로 변의 길이의 비율에만 작용하며, 사비아의 천문학자 Sabit ibn Kurra에 의해 처음 확립된 것으로 믿어집니다. 그 안에 변이 있는 임의의 삼각형에 대해 밑변이 변에 있는 이등변 삼각형 c(\디스플레이스타일 c), 원래 삼각형의 꼭짓점과 일치하는 꼭짓점, 반대쪽 측면 c(\디스플레이스타일 c)그리고 각도와 같은 밑면의 각도 θ (\displaystyle \theta )반대편 c(\디스플레이스타일 c). 결과적으로 원래 삼각형과 유사한 두 개의 삼각형이 형성됩니다. 첫 번째 삼각형에는 측면이 있습니다. a (\displaystyle a), 내접 이등변 삼각형의 측면은 그것에서 멀리 떨어져 있으며, r(\디스플레이스타일 r)- 측면 부품 c(\디스플레이스타일 c); 두 번째는 측면에서 대칭입니다. b(\디스플레이스타일 b)파티와 함께 s (\displaystyle s)- 측면의 해당 부분 c(\디스플레이스타일 c). 결과적으로 관계가 충족됩니다.

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

에서 피타고라스 정리로 퇴화한다. θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). 비율은 형성된 삼각형의 유사성의 결과입니다.

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

파푸스 영역 정리

비유클리드 기하학

피타고라스 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 파생되며 비유클리드 기하학에는 유효하지 않습니다. 피타고라스 정리의 충족은 유클리드 평행법의 가정과 같습니다.

비유클리드 기하학에서 직각 삼각형의 변 사이의 관계는 필연적으로 피타고라스의 정리와 다른 형태가 될 것입니다. 예를 들어, 구형 기하학에서 단위 구의 팔분의 경계를 이루는 직각 삼각형의 세 변의 길이는 모두 다음과 같습니다. π / 2 (\디스플레이 스타일 \pi /2), 이것은 피타고라스 정리와 모순됩니다.

또한, 삼각형이 직사각형이라는 요구 사항이 삼각형의 두 각의 합이 세 번째와 같아야 한다는 조건으로 대체되는 경우 피타고라스 정리는 쌍곡선 및 타원 기하학에서 유효합니다.

구형 기하학

반지름이 있는 구의 모든 직각 삼각형에 대해 R(\디스플레이스타일 R)(예: 삼각형의 각도가 올바른 경우) 측면 포함 a , b , c (\displaystyle a,b,c)측면 간의 관계는 다음과 같습니다.

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

이 평등은 모든 구면 삼각형에 유효한 구면 코사인 정리의 특별한 경우로 파생될 수 있습니다.

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac) c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

어디 ch (\displaystyle \연산자 이름 (ch) )- 쌍곡선 코사인. 이 공식은 모든 삼각형에 유효한 쌍곡선 코사인 정리의 특별한 경우입니다.

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

어디 γ(\디스플레이스타일 \감마)- 꼭짓점이 한 변과 반대인 각 c(\디스플레이스타일 c).

쌍곡선 코사인에 대해 Taylor 급수 사용( 채널 ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\약 1+x^(2)/2)) 쌍곡 삼각형이 감소하면(즉, a (\displaystyle a), b(\디스플레이스타일 b)그리고 c(\디스플레이스타일 c) 0이 되는 경향이 있음), 직각 삼각형의 쌍곡선 관계는 고전적인 피타고라스 정리의 관계에 접근합니다.

애플리케이션

2차원 직사각형 시스템의 거리

피타고라스 정리의 가장 중요한 적용은 직사각형 시스템 좌표에서 두 점 사이의 거리를 결정하는 것입니다. s (\displaystyle s)좌표가 있는 점 사이 (a, b) (\displaystyle (a,b))그리고 (c, d) (\displaystyle (c,d))같음:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

복소수의 경우 피타고라스 정리는 계수 복소수 수를 찾는 자연 공식을 제공합니다. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)길이와 같다