항상 정사각형입니다. 이차 방정식의 해, 근의 공식, 예
완전한 2차 방정식을 불완전한 방정식으로 변환하면 다음과 같습니다(\(b=0\)의 경우).
\(c=0\) 또는 두 계수가 모두 0인 경우 모든 것이 유사합니다.
\(a\)는 0이 아니며 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 다음과 같이 변하기 때문입니다.
불완전한 이차 방정식 풀기
우선 불완전한 이차 방정식이 여전히 존재하므로 일반적인 이차 방정식(통과)과 같은 방식으로 풀 수 있음을 이해해야 합니다. 이를 위해 계수가 0인 방정식의 누락된 구성요소를 추가하기만 하면 됩니다.
예시
: 방정식 \(3x^2-27=0\)의 근을 찾습니다.
결정
:
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계수가 \(b=0\)인 불완전한 이차 방정식이 있습니다. 즉, 다음과 같은 형식으로 방정식을 작성할 수 있습니다. |
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\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
사실 여기에는 처음과 같은 방정식이 있지만 이제는 일반 제곱으로 풀 수 있습니다. 먼저 계수를 기록합니다. |
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\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
\(D=b^2-4ac\) 공식을 사용하여 판별식을 계산합니다. |
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\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
공식을 사용하여 방정식의 근을 구해 봅시다. |
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\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
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답을 적어라 |
답변 : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
예시
: 방정식 \(-x^2+x=0\)의 근을 찾습니다.
결정
:
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다시 말하지만, 불완전한 이차 방정식이지만 이제 계수 \(c\)는 0과 같습니다. 우리는 방정식을 완전한 것으로 씁니다. |
||
이차 방정식또는 미지수가 하나인 2차 방정식은 변환 후 다음 형식으로 축소될 수 있는 방정식입니다.
도끼 2 + bx + 씨 = 0 - 이차 방정식
어디 엑스는 미지의 것이고, ㅏ, 비그리고 씨- 방정식의 계수. 이차 방정식에서 ㅏ첫 번째 계수( ㅏ ≠ 0), 비두 번째 계수라고 하며, 씨알려진 회원 또는 무료 회원이라고 합니다.
방정식:
도끼 2 + bx + 씨 = 0
~라고 불리는 완벽한이차 방정식. 계수 중 하나가 비또는 씨가 0이거나 이 두 계수가 모두 0이면 방정식은 불완전한 2차 방정식으로 표시됩니다.
기약 이차 방정식
완전한 이차 방정식은 모든 항을 다음으로 나누어 더 편리한 형태로 줄일 수 있습니다. ㅏ, 즉, 첫 번째 계수에 대해:
방정식 엑스 2 + 픽셀 + 큐= 0을 기약 이차 방정식이라고 합니다. 따라서 첫 번째 계수가 1인 모든 이차 방정식은 축소라고 할 수 있습니다.
예를 들어 방정식은 다음과 같습니다.
엑스 2 + 10엑스 - 5 = 0
감소하고 방정식은 다음과 같습니다.
3엑스 2 + 9엑스 - 12 = 0
모든 항을 -3으로 나누어 위의 방정식으로 바꿀 수 있습니다.
엑스 2 - 3엑스 + 4 = 0
이차 방정식 풀기
이차 방정식을 풀려면 다음 형식 중 하나로 가져와야 합니다.
도끼 2 + bx + 씨 = 0
도끼 2 + 2kx + 씨 = 0
엑스 2 + 픽셀 + 큐 = 0
각 유형의 방정식에는 근을 찾기 위한 고유한 공식이 있습니다.
다음 방정식에 주의하십시오.
도끼 2 + 2kx + 씨 = 0
이것은 변환된 방정식입니다 도끼 2 + bx + 씨= 0, 여기서 계수 비- 짝수, 유형 2로 대체 가능 케이. 따라서 이 방정식의 근을 찾는 공식은 2를 대입하여 단순화할 수 있습니다. 케이대신에 비:
실시예 1방정식을 풉니다.
3엑스 2 + 7엑스 + 2 = 0
방정식의 두 번째 계수는 짝수가 아니고 첫 번째 계수는 1이 아니므로 이차 방정식의 근을 찾기 위한 일반 공식이라고 하는 첫 번째 공식을 사용하여 근을 찾습니다. 처음에
ㅏ = 3, 비 = 7, 씨 = 2
이제 방정식의 근을 찾기 위해 계수 값을 공식에 대입하면 됩니다.
| 엑스 1 = | -2 | = - | 1 | , 엑스 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| 답변: - | 1 | , -2. |
| 3 |
예 2:
엑스 2 - 4엑스 - 60 = 0
계수가 무엇인지 결정합시다.
ㅏ = 1, 비 = -4, 씨 = -60
방정식의 두 번째 계수는 짝수이므로 두 번째 계수가 짝수인 이차 방정식의 공식을 사용합니다.
엑스 1 = 2 + 8 = 10, 엑스 2 = 2 - 8 = -6
답변: 10, -6.
실시예 3
와이 2 + 11와이 = 와이 - 25
방정식을 일반 형식으로 가져오겠습니다.
와이 2 + 11와이 = 와이 - 25
와이 2 + 11와이 - 와이 + 25 = 0
와이 2 + 10와이 + 25 = 0
계수가 무엇인지 결정합시다.
ㅏ = 1, 피 = 10, 큐 = 25
첫 번째 계수가 1과 같기 때문에 두 번째 계수가 짝수인 위 방정식의 공식을 사용하여 근을 찾습니다.
답변: -5.
실시예 4
엑스 2 - 7엑스 + 6 = 0
계수가 무엇인지 결정합시다.
ㅏ = 1, 피 = -7, 큐 = 6
첫 번째 계수가 1과 같기 때문에 두 번째 계수가 홀수인 주어진 방정식에 대한 공식으로 근을 찾습니다.
엑스 1 = (7 + 5) : 2 = 6, 엑스 2 = (7 - 5) : 2 = 1
방정식의 사용은 우리 생활에 널리 퍼져 있습니다. 그들은 많은 계산, 구조 건설 및 스포츠에도 사용됩니다. 방정식은 고대부터 인간에 의해 사용되었으며 그 이후로 그 사용이 증가했습니다. 판별식을 사용하면 다음 형식을 갖는 일반 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 수 있습니다.
판별식은 다항식의 차수에 따라 다릅니다. 위의 공식은 다음 형식의 이차 방정식을 푸는 데 적합합니다.
판별식에는 알아야 할 다음과 같은 속성이 있습니다.
* "D"는 다항식이 다중 근(동일 근)을 가질 때 0입니다.
* "D"는 다항식의 근에 대한 대칭 다항식이므로 계수가 다항식입니다. 게다가, 이 다항식의 계수는 근이 취해진 확장에 관계없이 정수입니다.
다음 형식의 이차 방정식이 주어졌다고 가정합니다.
1 방정식
공식에 따르면:
\ 이후로 방정식은 2개의 근을 갖습니다. 그것들을 정의합시다:
판별식 온라인 솔버를 통해 방정식을 어디에서 풀 수 있습니까?
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이 기사를 공부한 후에 완전한 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 배우기를 바랍니다.
판별식의 도움으로 완전한 이차 방정식만 풀립니다. 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 "불완전 이차 방정식 풀기" 기사에서 찾을 수 있는 다른 방법이 사용됩니다.
어떤 이차 방정식을 완전이라고 합니까? 이것은 ax 2 + b x + c = 0 형식의 방정식, 여기서 계수 a, b 및 c는 0이 아닙니다. 따라서 완전한 이차 방정식을 풀려면 판별식 D를 계산해야 합니다.
D \u003d b 2-4ac.
판별식의 값에 따라 답을 적어 보겠습니다.
판별식이 음수인 경우(D< 0),то корней нет.
판별식이 0이면 x \u003d (-b) / 2a입니다. 판별식이 양수일 때(D > 0),
x 1 = (-b - √D)/2a 및 x 2 = (-b + √D)/2a.
예를 들어. 방정식을 풀다 x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (-(-4))/2 = 2
답: 2.
방정식 2 풀기 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
답: 뿌리가 없다.
방정식 2 풀기 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2-4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
답: - 3.5; 하나.
따라서 그림 1의 방식으로 완전한 이차 방정식의 해를 상상해 봅시다.
이 공식은 완전한 이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 당신은 단지 조심해야합니다 방정식은 표준 형식의 다항식으로 작성되었습니다.
ㅏ x 2 + bx + c,그렇지 않으면 실수할 수 있습니다. 예를 들어 방정식 x + 3 + 2x 2 = 0을 작성할 때 다음과 같이 잘못 결정할 수 있습니다.
a = 1, b = 3 및 c = 2. 그런 다음
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 그리고 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다. (위의 예제 2 솔루션 참조).
따라서 방정식이 표준 형식의 다항식으로 작성되지 않은 경우 먼저 완전한 이차 방정식이 표준 형식의 다항식으로 작성되어야 합니다(가장 큰 지수를 갖는 단항식이 첫 번째 위치에 있어야 합니다. 즉, ㅏ x 2 , 그럼 더 적은 – bx, 그리고 자유 기간 와 함께.
위의 이차방정식과 두 번째 항에 대한 계수가 짝수인 이차방정식을 풀 때 다른 공식을 사용할 수도 있습니다. 이 공식에 대해 알아 봅시다. 두 번째 항이 있는 전체 이차 방정식에서 계수가 짝수이면(b = 2k) 그림 2의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.
완전한 이차 방정식은 x 2 1과 같으며 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 + 픽셀 + q = 0. 이러한 방정식은 풀기 위해 주어질 수 있거나 방정식의 모든 계수를 계수로 나누어 얻을 수 있습니다 ㅏ에 서 x 2 .
그림 3은 축소된 제곱의 솔루션 다이어그램을 보여줍니다. 
방정식. 이 기사에서 논의된 공식을 적용한 예를 고려하십시오.
예시. 방정식을 풀다
3x 2 + 6x - 6 = 0.
그림 1에 표시된 공식을 사용하여 이 방정식을 풀어 보겠습니다.
D \u003d 6 2-4 3 (-6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
답: -1 - √3; –1 + √3
이 방정식에서 x에서의 계수는 짝수, 즉 b \u003d 6 또는 b \u003d 2k, 여기서 k \u003d 3임을 알 수 있습니다. 그런 다음 그림 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀어 보겠습니다. D 1 \u003d 3 2-3 (-6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
답: -1 - √3; –1 + √3. 이 2차 방정식의 모든 계수는 3으로 나눌 수 있고 나누면 기약 2차 방정식 x 2 + 2x - 2 = 0을 얻습니다. 기약 2차 방정식에 대한 공식을 사용하여 이 방정식을 풉니다. 
방정식 그림 3.
D 2 \u003d 2 2-4 (-2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
답: -1 - √3; –1 + √3.
보시다시피, 다른 공식을 사용하여 이 방정식을 풀 때 동일한 답을 얻었습니다. 따라서 그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 잘 마스터하면 완전한 이차 방정식을 항상 풀 수 있습니다.
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수업 내용이차 방정식이란 무엇이며 어떻게 해결합니까?
방정식은 값을 찾아야 하는 변수를 포함하는 등식이라는 것을 기억합니다.
방정식에 포함된 변수를 2승(제곱)하면 이러한 방정식을 2차 방정식또는 이차 방정식.
예를 들어, 다음 방정식은 2차입니다.
우리는 이러한 방정식 중 첫 번째 방정식을 풉니다. 엑스 2 − 4 = 0 .
우리가 일반 선형 방정식을 푸는 데 사용한 모든 동일한 변환은 제곱 방정식을 푸는 데에도 적용할 수 있습니다.
그래서 방정식에서 엑스 2 − 4 = 0 기호를 변경하여 항 −4를 왼쪽에서 오른쪽으로 이동합니다.
방정식을 얻었다 엑스 2 = 4 . 앞에서 우리는 한 부분에서 변수가 1차로 쓰여지고 그 계수가 1과 같고 다른 부분이 어떤 숫자와 같으면 방정식이 풀린 것으로 간주된다고 말했습니다. 즉, 방정식을 풀려면 다음 형식으로 줄여야 합니다. x = 에이, 어디 ㅏ- 방정식의 근.
변수가 있습니다 엑스아직 2단계이므로 솔루션을 계속해야 합니다.
방정식을 풀려면 엑스 2 = 4 , 당신은 어떤 값에 대한 질문에 답해야 합니다 엑스왼쪽은 4가 됩니다. 분명히, 값 2 및 −2 . 이러한 값을 도출하기 위해 제곱근의 정의를 사용합니다.
숫자 비숫자의 제곱근이라고 함 ㅏ, 만약 비 2 = 에이그리고 다음과 같이 표시됩니다.
우리도 지금 비슷한 상황에 처해 있습니다. 결국, 무엇 엑스 2 = 4? 변하기 쉬운 엑스이 경우 4의 제곱근입니다. 엑스 4에 해당합니다.
그러면 우리는 그것을 쓸 수 있습니다. 오른쪽을 계산하면 다음과 같은 것을 찾을 수 있습니다. 엑스. 제곱근에는 양수와 음수라는 두 가지 의미가 있습니다. 그럼 우리는 엑스= 2 및 엑스= −2 .
일반적으로 다음과 같이 작성합니다. 제곱근 앞에 더하기-빼기 기호를 넣은 다음 찾습니다. 우리의 경우 식을 쓰는 단계에서 ± 기호를 앞에 두어야 합니다.
그런 다음 제곱근의 산술 값을 찾으십시오.
표현 엑스= ± 2는 다음을 의미합니다. 엑스= 2 및 엑스= -2 . 즉, 방정식의 근 엑스 2 − 4 = 0 은 숫자 2 와 −2 입니다. 이 방정식의 완전한 솔루션을 작성합니다.
두 경우 모두 왼쪽은 0입니다. 따라서 방정식이 맞습니다.
다른 방정식을 풀어 봅시다. 2차 방정식( 엑스+ 2) 2 = 25
먼저 이 방정식을 분석해 보겠습니다. 왼쪽은 제곱이고 25와 같습니다. 25의 제곱은 몇입니까? 분명히 숫자 5와 -5는
즉, 우리의 임무는 엑스,그 아래의 표현 엑스+ 2는 숫자 5 및 −5와 같습니다. 다음 두 방정식을 작성해 보겠습니다.
두 방정식을 모두 풀어봅시다. 다음은 쉽게 풀 수 있는 일반 선형 방정식입니다.
따라서 방정식의 근( 엑스+ 2) 2 = 25는 숫자 3과 −7입니다.
이 예에서는 과거와 마찬가지로 제곱근의 정의를 사용할 수 있습니다. 따라서 방정식에서 ( 엑스+ 2) 2 = 25 식 ( 엑스+ 2)는 25의 제곱근입니다. 따라서 우리는 먼저 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
.
그러면 오른쪽이 ±5가 됩니다. 다음 두 방정식을 얻습니다. 엑스+ 2 = 5 및 엑스+ 2 = -5. 이 방정식 각각을 개별적으로 풀면 근 3과 −7이 됩니다.
방정식( 엑스+ 2) 2 = 25
고려한 예에서 이차 방정식에는 두 개의 근이 있음을 알 수 있습니다. 찾은 뿌리를 잊지 않기 위해 변수 엑스첨자로 서명할 수 있습니다. 따라서 루트 3은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 엑스 1 , 루트 -7 ~ 엑스 2
이전 예에서 이 작업을 수행할 수도 있습니다. 방정식 엑스 2 − 4 = 0 에는 근이 2 와 −2 가 있습니다. 이러한 뿌리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 엑스 1 = 2 및 엑스 2 = −2.
또한 이차 방정식에 근이 하나뿐이거나 근이 전혀 없는 경우도 있습니다. 우리는 나중에 그러한 방정식을 고려할 것입니다.
방정식( 엑스+ 2) 2 = 25 . 근 3과 -7을 대입하십시오. 값 3과 −7의 경우 왼쪽이 25 이면 방정식이 올바르게 풀렸다는 의미입니다.
두 경우 모두 좌변은 25 입니다. 따라서 방정식이 맞습니다.
이차 방정식은 다양한 형태로 제공됩니다. 가장 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
도끼 2 + bx + c= 0
,
어디 에이, ㄴ, ㄷ- 일부 숫자 엑스- 알려지지 않은.
이 소위 이차 방정식의 일반 형태. 이러한 방정식에서 모든 항은 공통 위치(한 부분에서)에 수집되고 다른 부분은 0과 같습니다. 그렇지 않으면 이러한 유형의 방정식을 이차 방정식의 정규형.
방정식 3이 주어집니다. 엑스 2 + 2엑스= 16 . 변수가 있다 엑스 2제곱이므로 방정식은 2차입니다. 이 방정식을 일반적인 형태로 가져오도록 합시다.
따라서 방정식과 유사한 방정식을 얻어야 합니다. 도끼 2 + bx+ 씨= 0 . 이를 위해 수학식 3에서 엑스 2 + 2엑스= 16 기호를 변경하여 16을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동합니다.
3엑스 2 + 2엑스 − 16 = 0
방정식을 얻었다 3엑스 2 + 2엑스− 16 = 0 . 이 방정식에서 ㅏ= 3 , 비= 2 , 씨= −16 .
형식의 이차 방정식에서 도끼 2 + bx+ 씨= 0 숫자 ㅏ , 비그리고 씨자신의 이름이 있습니다. 예, 번호 ㅏ첫 번째 또는 상위 계수라고 합니다. 숫자 비두 번째 계수라고 합니다. 숫자 씨무료 회원이라고 합니다.
우리의 경우 방정식에 대해 3엑스 2 + 2엑스− 16 = 0 첫 번째 또는 가장 높은 계수는 3입니다. 두 번째 계수는 숫자 2입니다. 자유 멤버는 −16입니다. 숫자에 대한 또 다른 일반적인 이름이 있습니다. ㅏ, 비그리고 씨 — 옵션.
따라서 방정식에서 3엑스 2 + 2엑스− 16 = 0 매개변수는 숫자 3 , 2 및 −16 입니다.
이차 방정식에서는 이차 방정식의 정규 형태와 같은 순서로 항들이 배열되도록 항을 배열하는 것이 바람직하다.
예를 들어, 주어진 방정식 −5 + 4엑스 2 + 엑스= 0 , 그렇다면 일반 형식, 즉 형식으로 작성하는 것이 바람직합니다. 도끼 2 + bx + c= 0.
방정식에서 −5 + 4엑스 2 + 엑스 = 0 자유 항은 -5 이며 왼쪽 끝에 있어야 합니다. 멤버 4 엑스 2는 선행 계수를 포함하므로 먼저 배치해야 합니다. 회원 엑스각각 두 번째에 위치합니다.
이차 방정식은 경우에 따라 다른 형태를 취할 수 있습니다. 그것은 모두 값이 무엇인지에 달려 있습니다 ㅏ , 비그리고 ~와 함께 .
만약 계수가 ㅏ , 비그리고 씨 0이 아닌 경우 이차 방정식이 호출됩니다. 완벽한. 예를 들어, 이차 방정식은 완전합니다. 2엑스 2 + 6엑스 - 8 = 0 .
계수 중 하나라도 0과 같으면(즉, 부재) 방정식이 크게 줄어들고 더 간단한 형식을 취합니다. 이 2차 방정식을 불완전한. 예를 들어, 이차 방정식 2는 불완전합니다. 엑스 2 + 6엑스= 0, 계수가 있습니다. ㅏ그리고 비(숫자 2와 6), 그러나 무료 회원이 없습니다 씨.
이러한 각 유형의 방정식을 고려하고 이러한 각 유형에 대해 고유한 해결 방법을 정의합니다.
이차 방정식을 보자 2엑스 2 + 6엑스 - 8 = 0 . 이 방정식에서 ㅏ= 2 , 비= 6 , 씨= -8 . 만약 비 0으로 설정하면 방정식은 다음 형식을 취합니다.
방정식 2가 나왔다. 엑스 2 − 8 = 0 . 이를 해결하기 위해 −8을 오른쪽으로 이동하여 부호를 변경합니다.
2엑스 2 = 8
방정식을 더 단순화하기 위해 이전에 연구한 동일한 변환을 사용합니다. 이 경우 두 부분을 2로 나눌 수 있습니다.
이 수업의 시작 부분에서 풀었던 방정식이 있습니다. 방정식을 풀려면 엑스 2 \u003d 4, 제곱근의 정의를 사용해야 합니다. 만약 엑스 2 = 4 , 그러면 . 여기에서 엑스= 2 및 엑스= −2 .
따라서 방정식 2의 근은 엑스 2 − 8 = 0은 숫자 2와 −2입니다. 이 방정식의 완전한 솔루션을 작성합니다.
확인을 해보자. 루트 2와 −2를 원래 방정식에 대입하고 해당 계산을 수행합니다. 값 2와 −2의 경우 왼쪽이 0이면 방정식이 올바르게 해결되었음을 의미합니다.
두 경우 모두 좌변은 0과 같으므로 방정식이 올바르게 풀렸습니다.
우리가 지금 풀었던 방정식은 불완전한 이차 방정식. 이름은 그 자체로 말합니다. 완전한 이차 방정식이 다음과 같다면 도끼 2 + bx+ 씨= 0 , 다음 계수 만들기 비 0은 불완전한 이차 방정식입니다. 도끼 2 + 씨= 0 .
우리는 또한 처음으로 완전한 이차 방정식을 가졌습니다. 2엑스 2 + 6엑스− 4 = 0 . 하지만 우리는 비율을 만들었습니다 비 0, 즉 숫자 6 대신 0 을 넣습니다. 결과적으로 방정식은 불완전한 이차 방정식 2로 바뀌었습니다. 엑스 2 − 4 = 0 .
이 수업의 시작 부분에서 우리는 이차 방정식을 풀었습니다. 엑스 2 − 4 = 0 . 형식의 방정식이기도 하다. 도끼 2 + 씨= 0 즉, 불완전합니다. 그 안에서 ㅏ= 1 , 비= 0 , ~와 함께= −4 .
또한 계수가 다음과 같으면 이차 방정식이 불완전합니다. 씨 0과 같습니다.
완전한 이차 방정식을 고려하십시오 2엑스 2 + 6엑스 - 4 = 0 . 계수를 만들자 씨영. 즉, 숫자 4 대신 0을 넣으십시오.
이차 방정식 2를 얻었습니다. 엑스 2 + 6엑스=0 , 불완전합니다. 이러한 방정식을 풀기 위해 변수 엑스대괄호 안에 넣다:
방정식이 나왔다 엑스(2엑스+ 6) = 찾을 0 엑스, 좌변이 0이 되는 지점. 이 방정식에서 표현식 엑스그리고 2 엑스+ 6) 요인입니다. 곱셈의 속성 중 하나는 인수 중 하나 이상이 0(첫 번째 인수 또는 두 번째 인수)과 같으면 곱이 0과 같다고 말합니다.
우리의 경우 평등이 달성됩니다. 엑스 0 또는 (2 엑스+ 6)은 0과 같습니다. 다음과 같이 작성해 보겠습니다.
두 가지 방정식이 있습니다. 엑스= 0과 2 엑스+ 6 = 0 . 첫 번째 방정식은 풀 필요가 없습니다. 이미 풀렸습니다. 즉, 첫 번째 루트는 0입니다.
두 번째 근을 찾기 위해 방정식 2를 풉니다. 엑스+ 6 = 0 . 이것은 풀기 쉬운 간단한 선형 방정식입니다.
두 번째 루트가 -3임을 알 수 있습니다.
따라서 방정식 2의 근은 엑스 2 + 6엑스= 0은 숫자 0과 −3입니다. 이 방정식의 완전한 솔루션을 작성합니다.
확인을 해보자. 루트 0과 -3을 원래 방정식에 대입하고 해당 계산을 수행합니다. 값 0과 -3의 경우 왼쪽이 0과 같으면 방정식이 올바르게 해결되었음을 의미합니다.
다음 경우는 숫자가 비그리고 ~와 함께 0과 같습니다. 완전한 이차 방정식을 고려하십시오 2엑스 2 + 6엑스− 4 = 0 . 계수를 만들자 비그리고 씨 0 그러면 hello 방정식은 다음과 같습니다.
식 2를 얻었다 엑스 2 = 0 . 왼쪽은 제품이고 오른쪽은 0입니다. 요인 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다. 그것은 분명하다 엑스= 0 . 실제로 2 × 0 2 = 0 입니다. 따라서 0 = 0 입니다. 다른 값의 경우 엑스평등이 이루어지지 않을 것입니다.
간단히 말해서, 다음 형식의 이차 방정식이라면 도끼 2 + bx+ 씨= 0 숫자 비그리고 ~와 함께 0과 같으면 그러한 방정식의 근은 0과 같습니다.
"라는 문구가 나올 때 주의하세요. b는 0이다" 또는 " c는 0이다 ", 그러면 매개변수가 비또는 씨방정식에 전혀 포함되지 않습니다.
예를 들어, 방정식 2가 주어지면 엑스 2 − 32 = 0 , 그러면 우리는 비= 0 . 왜냐하면 전체 방정식과 비교할 때 도끼 2 + bx+ 씨= 0 , 방정식 2에서 엑스 2 − 32 = 0 선행 계수가 있습니다. ㅏ, 2와 동일; 절편이 있습니다 -32 ; 그러나 계수 없음 비 .
마지막으로 완전한 이차 방정식을 고려하십시오. 도끼 2 + bx+ 씨= 0 . 예를 들어, 이차 방정식을 풀자 엑스 2 − 2엑스+ 1 = 0 .
그래서 우리는 찾아야합니다 엑스, 좌변이 0이 되는 지점. 앞에서 연구한 동일한 변환을 사용합시다.
우선, 방정식의 좌변은 입니다. 방법을 기억한다면 왼쪽( 엑스− 1) 2 .
우리는 더 주장합니다. 왼쪽은 제곱이고 0과 같습니다. 0의 제곱수는? 분명히 0뿐입니다. 따라서 우리의 임무는 엑스, 식 엑스- 1은 0과 같습니다. 가장 간단한 방정식을 풀면 엑스− 1 = 0 , 다음과 같은 것을 알 수 있습니다. 엑스
제곱근을 사용해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 방정식에서 ( 엑스− 1) 2 = 0 식( 엑스− 1)은 0의 제곱근입니다. 그런 다음 쓸 수 있습니다. 
. 이 예에서 0의 루트에는 0이라는 하나의 값만 있기 때문에 루트 앞에 ± 기호를 쓸 필요가 없습니다. 그러면 밝혀진다. 엑스− 1 = 0 . 여기에서 엑스= 1
.
따라서 방정식의 근 엑스 2 − 2엑스+ 1 = 0 는 단위입니다. 이 방정식에는 다른 근이 없습니다. 이 경우 루트가 하나만 있는 이차 방정식을 풀었습니다. 이것은 또한 발생합니다.
간단한 방정식이 항상 주어지는 것은 아닙니다. 예를 들어 방정식을 고려하십시오. 엑스 2 + 2엑스− 3 = 0 .
이 경우 좌변은 더 이상 합이나 차의 제곱이 아닙니다. 따라서 다른 솔루션을 찾아야 합니다.
방정식의 왼쪽은 이차 삼항식입니다. 그런 다음 우리는 이 삼항식에서 완전한 정사각형을 선택하고 그것이 우리에게 주는 것을 볼 수 있습니다.
방정식의 왼쪽에 있는 제곱 삼항식에서 전체 제곱을 선택합니다.
결과 방정식에서 부호를 변경하여 −4를 오른쪽으로 옮깁니다.
이제 제곱근을 사용합시다. 방정식에서 ( 엑스+ 1) 2 = 4 식 ( 엑스+ 1)은 4의 제곱근입니다. 그런 다음 쓸 수 있습니다. 
. 오른쪽을 계산하면 표현식이 나옵니다. 엑스+ 1 = ±2 . 이것으로부터 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. 엑스+ 1 = 2 및 엑스+ 1 = −2의 근이 숫자 1과 −3인 경우
따라서 방정식의 근 엑스 2 + 2엑스− 3 = 0 숫자 1과 -3입니다.
점검 해보자:
실시예 3. 방정식을 풀다 엑스 2 − 6엑스+ 9 = 0 , 전체 사각형을 선택합니다.
따라서 방정식의 근 엑스 2 − 6엑스+ 9 = 0은 3입니다. 확인해 보겠습니다.
실시예 4 4엑스 2 + 28엑스− 72 = 0 , 전체 사각형 강조 표시:
왼쪽에서 완전한 정사각형 선택:
부호를 변경하여 −121을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
제곱근을 사용합시다.
우리는 두 개의 간단한 방정식을 얻었습니다: 2 엑스+ 7 = 11 및 2 엑스+ 7 = -11. 문제를 해결해 보겠습니다.
실시예 5. 방정식을 풀다 2엑스 2 + 3엑스− 27 = 0
이 방정식은 조금 더 복잡합니다. 완전한 제곱을 선택하면 제곱 삼항식의 첫 번째 항을 일부 표현식의 제곱으로 나타냅니다.
따라서 이전 예에서 방정식의 첫 번째 항은 4입니다. 엑스 2. 식 2의 제곱으로 나타낼 수 있습니다. 엑스, 즉 (2엑스) 2 = 2 2 엑스 2 = 4엑스 2 . 이것이 올바른지 확인하기 위해 식 4의 제곱근을 사용할 수 있습니다. 엑스 2. 이것은 곱의 제곱근입니다. 이는 근의 곱과 같습니다.
방정식에서 2엑스 2 + 3엑스− 27 = 0 첫 번째 멤버는 2 엑스 2. 어떤 식의 제곱으로도 표현할 수 없습니다. 제곱이 2인 숫자는 없기 때문입니다. 그런 숫자가 있었다면 이 숫자는 숫자 2의 제곱근이 됩니다. 그러나 숫자 2의 제곱근은 대략적으로만 추출됩니다. 그리고 근사값은 숫자 2를 정사각형으로 표현하는 데 적합하지 않습니다.
원래 방정식의 두 부분에 같은 수를 곱하거나 나누면 원래 방정식과 동일한 방정식이 얻어집니다. 이 규칙은 이차 방정식에도 적용됩니다.
그런 다음 방정식의 양변을 2로 나눌 수 있습니다. 이것은 전에 듀스를 제거 할 것입니다 엑스 2는 나중에 전체 정사각형을 선택할 수 있는 기회를 제공합니다.
분모가 2인 세 분수로 좌변을 다시 씁니다.
첫 번째 분수를 2로 줄입니다. 왼쪽의 나머지 구성원을 변경하지 않고 다시 씁니다. 오른쪽은 여전히 0이 됩니다.
완전한 정사각형을 선택합시다.
항이 이중 곱으로 표시될 때 인수 2의 출현은 이 인수와 분수의 분모가 줄어들 것이라는 사실로 이어질 것입니다. 이를 방지하기 위해 2배의 곱을 곱했습니다. 완전한 정사각형을 선택할 때는 항상 원래 표현식의 값이 변경되지 않는지 확인해야 합니다.
결과로 나온 정사각형을 축소해 보겠습니다.
다음은 유사한 회원입니다.
부호를 변경하여 분수를 오른쪽으로 이동해 보겠습니다.
제곱근을 사용합시다. 표현식은 숫자의 제곱근입니다.
우변을 계산하기 위해 추출 규칙을 사용합니다.
그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
우리는 두 개의 방정식을 얻습니다.
문제를 해결해 보겠습니다.
따라서 방정식의 근 2엑스 2 + 3엑스− 27 = 0 숫자 3과 입니다.
분자를 분모로 나누지 않고 루트를 이 형식으로 두는 것이 더 편리합니다. 이렇게 하면 더 쉽게 확인할 수 있습니다.
확인을 해보자. 찾은 근을 원래 방정식에 대입합니다.
두 경우 모두 왼쪽은 0이므로 방정식은 2엑스 2 + 3엑스− 27 = 0 옳게 결정했다.
방정식 풀기 2엑스 2 + 3엑스− 27 = 0 , 맨 처음에 우리는 그것의 두 부분을 2로 나눴습니다. 그 결과, 이전의 계수가 엑스 2는 1과 같습니다.
이러한 종류의 2차 방정식을 감소된 이차 방정식.
형식의 모든 이차 방정식 도끼 2 + bx+ 씨= 0 감소시킬 수 있습니다. 이렇게 하려면 두 부분을 x² 앞에 있는 계수로 나누어야 합니다. 이 경우 방정식의 양변은 도끼 2 + bx+ 씨= 0 로 나눌 필요가 있다 ㅏ
실시예 6. 이차 방정식 풀기 2엑스 2 + 엑스+ 2 = 0
이 방정식을 축소해 보겠습니다.
완전한 정사각형을 선택합시다:
방정식을 얻었다 
, 식의 제곱은 음수와 같습니다. 어떤 숫자나 표현식의 제곱은 항상 양수이기 때문에 이것은 불가능합니다.
그러므로 그러한 것은 없다. 엑스, 왼쪽이 와 같아집니다. 그래서 방정식 뿌리가 없습니다.
그리고 방정식부터 원래 방정식과 동일합니다. 2엑스 2 + 엑스+ 2 = 0
, 그러면 (원래 방정식)에는 근이 없습니다.
이차 방정식의 근에 대한 공식
풀고 있는 각 이차 방정식에 대해 완전한 제곱을 선택하는 것은 그리 편리하지 않습니다.
이차 방정식을 풀기 위한 보편적인 공식을 만드는 것이 가능합니까? 당신이 할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 이제 우리는 이것을 다룰 것입니다.
리터럴 방정식을 기반으로 도끼 2 + bx+ 씨= 0 , 그리고 몇 가지 동일한 변환을 수행한 후 이차 방정식의 근을 유도하기 위한 공식을 얻을 수 있습니다. 도끼 2 + bx+ 씨= 0 . 계수는 다음 공식으로 대체될 수 있습니다. ㅏ , 비 , ~와 함께솔루션을 얻을 수 있습니다.
따라서 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택합니다. 도끼 2 + bx+ 씨= 0. 먼저 이 방정식을 축소해 보겠습니다. 두 부분을 나누어 보자. ㅏ
이제 결과 방정식에서 전체 정사각형을 선택합니다.
기호를 변경하여 조건을 오른쪽으로 옮깁니다.
우변을 공통 분모로 가져오자. 문자로 구성된 분수는 공통 분모로 이어집니다. 즉, 첫 번째 분수의 분모는 두 번째 분수의 추가 인수가 되고 두 번째 분수의 분모는 첫 번째 분수의 추가 인수가 됩니다.
오른쪽의 분자에서 대괄호를 빼냅니다. ㅏ
오른쪽을 줄이면 ㅏ
모든 변환이 동일했기 때문에 결과 방정식은 
원래 방정식과 같은 근을 가집니다. 도끼 2 + bx+ 씨= 0.
방정식 우변이 0보다 크거나 같은 경우에만 근을 갖습니다. 이것은 제곱이 왼쪽에서 수행되고 임의의 수의 제곱이 양수이거나 0과 같기 때문입니다(0이 이 제곱에 제곱된 경우). 그리고 오른쪽이 무엇과 같을지는 변수 대신 대체될 것에 달려 있습니다. ㅏ
, 비그리고 씨
.
왜냐하면 어떤 ㅏ 0과 같지 않음, 방정식 우변의 분모 항상 양수이면 분수의 부호는 분자의 부호, 즉 식에 따라 달라집니다. 비 2 − 4교류
.
표현 비 2 − 4교류~라고 불리는 이차 방정식의 판별식. 판별자는 라틴어로 다음을 의미합니다. 구별자 . 이차 방정식의 판별식은 문자로 표시됩니다. 디
디 = b 2 − 4교류
판별식을 사용하면 방정식에 근이 있는지 여부를 미리 알 수 있습니다. 그래서 이전 작업에서 방정식을 오랫동안 풀었습니다. 2엑스 2 + 엑스+ 2 = 0 뿌리가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 판별식을 사용하면 뿌리가 없음을 미리 알 수 있습니다. 방정식에서 2엑스 2 + 엑스+ 2 = 0 승산 에이, ㄴ그리고 씨각각 2, 1, 2입니다. 그것들을 공식에 대입하십시오. 디 = 비 2 −4교류
디 = 비 2 − 4교류= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.
우리는 그것을 본다 디(그것은이다 비 2 − 4교류)은 음수입니다. 그렇다면 방정식을 푸는 것은 의미가 없습니다 2엑스 2 + 엑스+ 2 = 0,
우리가 형식의 방정식에 도달 할 때 때문에 전체 사각형을 선택 , 우변이 0보다 작아지는 것으로 나타났습니다(음수 판별식으로 인해). 그리고 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 없습니다.
고대 사람들이 그 표현을 고려한 이유가 분명해집니다. 비 2 − 4교류구별자. 지표와 같은 이 표현식을 사용하면 근이 있는 방정식과 근이 없는 방정식을 구별할 수 있습니다.
그래서, 디같음 비 2 − 4교류. 방정식에 대입 표현 대신 비 2 − 4교류편지 디
원래 방정식의 판별식이 0보다 작은 경우( 디< 0) , то уравнение примет вид:
이 경우 임의의 수의 제곱은 음수가 아니어야 하므로 원래 방정식에 근이 없다고 합니다.
원래 방정식의 판별식이 0보다 큰 경우( 디> 0) 이면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
이 경우 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그것들을 도출하기 위해 제곱근을 사용합니다.
방정식을 얻었다 
. 그것으로부터 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. 
그리고 
. 표현하다 엑스각 방정식에서:
결과 두 방정식은 이차 방정식을 풀기 위한 보편적인 공식입니다. 도끼 2 + bx+ 씨= 0. 그들 불리는 이차 방정식의 근의 공식.
대부분의 경우 이러한 공식은 다음과 같이 표시됩니다. 엑스 1 및 엑스 2. 즉, 첫 번째 루트를 계산하기 위해 인덱스가 1인 공식이 사용됩니다. 두 번째 루트 - 인덱스 2가 있는 공식을 유도합니다. 같은 방식으로 공식을 표시해 보겠습니다.
공식이 적용되는 순서는 중요하지 않습니다.
예를 들어 이차 방정식을 풀자 엑스 2 + 2엑스− 8 = 0 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. 이 이차 방정식의 계수는 숫자 1, 2 및 -8입니다. 즉, ㅏ= 1 , 비= 2 , 씨= −8 .
이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 이 방정식의 판별식을 찾아야 합니다.
이차 방정식의 판별식을 구해 봅시다. 이를 위해 다음 공식을 사용합니다. 디 = b 2 − 4 교류변수 대신 에이, ㄴ그리고 씨우리는 방정식의 계수를 가질 것입니다 엑스 2 + 2엑스− 8 = 0
디 = b 2 − 4교류= 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36
판별식이 0보다 큽니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 이제 이차 방정식의 근 공식을 사용할 수 있습니다.
따라서 방정식의 근 엑스 2 + 2엑스− 8 = 0 숫자 2와 −4입니다. 뿌리가 올바르게 발견되었는지 확인하기:
마지막으로, 이차 방정식의 판별식이 0인 경우를 고려하십시오. 다시 방정식으로 돌아가 봅시다. 판별식이 0이면 방정식의 오른쪽은 다음 형식을 취합니다.
그리고 이 경우 이차 방정식은 하나의 근만 가질 것입니다. 제곱근을 사용합시다.
이것은 제곱근을 구하는 또 다른 공식입니다. 그 적용을 고려해 봅시다. 앞서 우리는 방정식을 풀었습니다. 엑스 2 − 6엑스+ 9 = 0 , 루트가 하나인 3. 완전한 정사각형을 선택하여 해결했습니다. 이제 공식을 사용하여 해결해 보겠습니다.
이차 방정식의 판별식을 구해 봅시다. 이 방정식에서 ㅏ= 1 , 비= −6 , 씨= 9 . 그러면 판별식에 따라 다음을 얻습니다.
디 = b 2 − 4교류= (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
판별식은 0( 디= 0) . 즉, 방정식에는 루트가 하나뿐이며 다음 공식으로 계산됩니다.
따라서 방정식의 근 엑스 2 − 6엑스+ 9 = 0 숫자 3입니다.
근이 하나인 이차 방정식의 경우 공식도 적용 가능합니다. 
그리고 
. 그러나 각각을 적용하면 동일한 결과가 나타납니다.
이전 방정식에 이 두 공식을 적용해 보겠습니다. 두 경우 모두 동일한 답변을 얻습니다 3
이차 방정식에 근이 하나만 있는 경우 공식이 아닌 공식을 사용하는 것이 좋습니다. 그리고 . 이것은 시간과 공간을 절약합니다.
실시예 3. 방정식을 풀다 5엑스 2 − 6엑스+ 1 = 0
따라서 방정식의 근 5엑스 2 − 6엑스+ 1 = 0 는 숫자 1과 입니다.
답변: 1; .
실시예 4. 방정식을 풀다 엑스 2 + 4엑스+ 4 = 0
이차 방정식의 판별식을 구해 보겠습니다.
판별식은 0입니다. 따라서 방정식에는 근이 하나만 있습니다. 공식에 따라 계산됩니다
따라서 방정식의 근 엑스 2 + 4엑스+ 4 = 0 숫자 -2입니다.
답: -2.
실시예 5. 방정식을 풀다 3엑스 2 + 2엑스+ 4 = 0
이차 방정식의 판별식을 구해 보겠습니다.
판별식은 0보다 작습니다. 따라서 이 방정식에는 근이 없습니다.
답변: 뿌리가 없다.
실시예 6. 방정식을 풀다 (엑스+ 4) 2 = 3엑스+ 40
이 방정식을 정규식으로 가져오도록 합시다. 왼쪽에는 두 식의 합을 제곱한 값이 있습니다. 분해해 보겠습니다.
기호를 변경하여 모든 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. 0은 오른쪽에 남습니다.
판별식이 0보다 큽니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용합시다.
따라서 방정식의 근 (엑스+ 4) 2 = 3엑스+ 40 숫자 3과 -8입니다.
답변: 3; −8.
실시예 7. 방정식을 풀다 
이 방정식의 양변에 2를 곱합니다. 이렇게 하면 왼쪽에 있는 분수를 제거할 수 있습니다.
결과 방정식에서 부호를 변경하여 22를 오른쪽에서 왼쪽으로 옮깁니다. 0은 오른쪽에 남습니다.
왼쪽에 유사한 용어가 있습니다.
결과 방정식에서 판별식을 찾습니다.
판별식이 0보다 큽니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용합시다.
따라서 방정식의 근 숫자 23 과 -1 입니다.
답변: 23; −1.
실시예 8. 방정식을 풀다 
두 부분에 두 분수 분모의 최소 공배수를 곱합니다. 이렇게 하면 두 부분의 분수가 제거됩니다. 2와 3의 최소공배수는 6입니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.
결과 방정식에서 두 부분의 대괄호를 엽니다.
이제 모든 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 기호를 변경해 보겠습니다. 0은 오른쪽에 남습니다.
왼쪽에 유사한 용어가 있습니다.
결과 방정식에서 판별식을 찾습니다.
판별식이 0보다 큽니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용합시다.
따라서 방정식의 근 숫자와 2입니다.
이차 방정식 풀기의 예
실시예 1. 방정식을 풀다 엑스 2 = 81
이것은 제곱이 81인 숫자를 결정해야 하는 가장 간단한 이차 방정식입니다. 이들은 숫자 3과 -3입니다. 제곱근을 사용하여 도출해 보겠습니다.
답변: 9, −9 .
실시예 2. 방정식을 풀다 엑스 2 − 9 = 0
이것은 불완전한 이차 방정식입니다. 이를 해결하려면 기호를 변경하여 항 -9를 오른쪽으로 이동해야 합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.
답변: 3, −3.
실시예 3. 방정식을 풀다 엑스 2 − 9엑스= 0
이것은 불완전한 이차 방정식입니다. 그것을 해결하려면 먼저 꺼내야합니다 엑스대괄호:
방정식의 왼쪽은 곱입니다. 요인 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다.
왼쪽은 별도로 있으면 0이됩니다. 엑스가 0이거나 표현식이 엑스- 9는 0과 같습니다. 두 개의 방정식을 얻을 수 있으며 그 중 하나는 이미 해결되었습니다.
답변: 0, 9 .
실시예 4. 방정식을 풀다 엑스 2 + 4엑스− 5 = 0
이것은 완전한 이차 방정식입니다. 그것은 완전한 제곱을 선택하는 방법이나 이차 방정식의 근의 공식을 사용하여 풀 수 있습니다.
공식을 사용하여 이 방정식을 풀어 보겠습니다. 판별식을 먼저 구합시다.
디= 비 2 − 4교류= 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
판별식이 0보다 큽니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 계산해 보겠습니다.
답변: 1, −5 .
실시예 5. 방정식을 풀다 
두 부분에 5, 3, 6을 곱해 보겠습니다. 이렇게 하면 두 부분의 분수가 제거됩니다.
결과 방정식에서 부호를 변경하여 모든 항을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮깁니다. 0은 오른쪽에 남습니다.
다음은 유사한 회원입니다.
답변: 5 , .
실시예 6. 방정식을 풀다 엑스 2 = 6
이 예에서는 제곱근을 사용해야 하므로 다음을 수행합니다.
그러나 6의 제곱근은 취하지 않습니다. 대략적으로만 추출됩니다. 루트는 특정 정확도로 추출될 수 있습니다. 가장 가까운 100분의 1 단위로 추출해 보겠습니다.
그러나 대부분의 경우 루트는 급진적으로 남겨집니다.
답변:
실시예 7. 방정식을 풀다 (2엑스+ 3) 2 + (엑스− 2) 2 = 13
방정식의 왼쪽에 있는 괄호를 열어 보겠습니다.
결과 방정식에서 13을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮기고 부호를 변경합니다. 그런 다음 유사한 구성원을 제공합니다.
우리는 불완전한 이차 방정식을 얻었습니다. 해결해 봅시다:
답변: 0 , −1,6 .
실시예 8. 방정식을 풀다 (5 + 7엑스)(4 − 3엑스) = 0
이 방정식은 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 각각을 고려해 보겠습니다.
첫 번째 방법. 대괄호를 확장하고 이차 방정식의 정규형을 얻습니다.
대괄호를 확장해 보겠습니다.
다음은 유사한 회원입니다.
결과 방정식을 다시 작성하여 계수가 가장 높은 항이 먼저, 계수가 두 번째인 항이 두 번째, 자유 항이 세 번째에 위치하도록 합니다.
선행 항을 양수로 만들기 위해 방정식의 양변에 -1을 곱합니다. 그러면 방정식의 모든 항은 부호를 반대로 바꿉니다.
우리는 이차 방정식의 근 공식을 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
두 번째 방법. 값 찾기 엑스, 방정식의 왼쪽에 있는 요인은 0과 같습니다. 이 방법은 더 편리하고 훨씬 짧습니다.
요인 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다. 이 경우 방정식의 평등 (5 + 7엑스)(4 − 3엑스) = 0 표현식 (5 + 7 엑스)는 0 또는 식 (4 − 3 엑스)는 0입니다. 우리의 임무는 엑스그것은 일어난다:
문제 해결의 예
면적이 8m 2인 작은 방을 짓는 것이 필요하게 되었다고 상상해 보십시오. 이 경우 방의 길이는 너비의 두 배여야 합니다. 그러한 방의 길이와 너비를 결정하는 방법은 무엇입니까?
평면도를 보여주는 이 방의 대략적인 그림을 만들어 보겠습니다.
통해 방의 너비를 나타냅니다. 엑스. 그리고 2 이후의 방의 길이 엑스, 문제의 조건에 따라 길이가 너비의 2배가 되어야 하기 때문입니다. 승수는 2이며 다음 요구 사항을 충족합니다.
방의 표면(바닥)은 직사각형입니다. 직사각형의 면적을 계산하려면 직사각형의 길이에 너비를 곱하십시오. 해보자:
2엑스 × 엑스
문제의 조건에 따라 면적은 8m 2이어야합니다. 그래서 식 2 엑스× 엑스 8과 동일해야합니다
2엑스 × 엑스 = 8
방정식이 생겼습니다. 풀면 방의 길이와 너비를 알 수 있습니다.
가장 먼저 할 수 있는 일은 방정식의 왼쪽에 곱셈을 하는 것입니다.
2엑스 2 = 8
이 변환의 결과로 변수 엑스 2급으로 옮겼다. 그리고 방정식에 포함된 변수를 2승(제곱)하면 그러한 방정식은 2차 방정식 또는 이차 방정식이라고 말했습니다.
이차 방정식을 풀기 위해 이전에 연구한 동일한 변환을 사용합니다. 이 경우 두 부분을 2로 나눌 수 있습니다.
이제 제곱근을 사용합시다. 만약 엑스 2 = 4 , 그러면 . 여기에서 엑스= 2 및 엑스= −2 .
을 통해 엑스방의 너비를 표시했습니다. 너비는 음수가 아니어야 하므로 값 2만 고려됩니다. 이것은 이차 방정식이 사용되는 문제를 풀 때 종종 발생합니다. 답에서 두 개의 근을 얻었지만 그 중 하나만 문제의 조건을 만족합니다.
그리고 길이는 2로 표시했습니다. 엑스. 의미 엑스이제 알려진, 식 2로 대체 엑스길이를 계산하십시오.
2엑스= 2 × 2 = 4
따라서 길이는 4m이고 너비는 2m입니다. 이 솔루션은 방의 면적이 8m 2이기 때문에 문제의 조건을 충족합니다.
4 × 2 = 8m 2
답변: 방의 길이는 4m, 너비는 2m입니다.
실시예 2. 한쪽이 다른 쪽보다 10m 더 긴 직사각형 모양의 정원 구획은 울타리로 둘러싸여 있어야 합니다. 부지 면적이 1200m 2인 경우 울타리의 길이를 결정하십시오.
결정
직사각형의 길이는 일반적으로 너비보다 큽니다. 플롯 너비를 보자 엑스미터 및 길이( 엑스+ 10) 미터. 플롯 면적은 1200m 2 입니다. 단면의 길이에 너비를 곱하고 1200과 같으면 다음 방정식을 얻습니다.
엑스(엑스+ 10) = 1200
이 방정식을 풀자. 먼저 왼쪽에 있는 브래킷을 엽니다.
부호를 바꿔서 1200을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동시켜 봅시다. 0은 오른쪽에 남습니다.
다음 공식을 사용하여 결과 방정식을 풉니다.
이차 방정식에 두 개의 근이 있다는 사실에도 불구하고 값 30만 고려합니다. 너비는 음수로 표현할 수 없기 때문입니다.
그래서 통해 엑스영역의 너비를 표시했습니다. 그것은 삼십 미터와 같습니다. 그리고 길이는 식을 통해 표시되었습니다. 엑스+ 10 . 찾은 값을 대체하십시오. 엑스길이를 계산하십시오.
엑스
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