도함수에서 x0를 찾는 방법. 점 x0에서 함수의 도함수 값 찾기

실시예 1

참조: 함수를 표기하는 다음 방법은 동일합니다. 일부 작업에서는 기능을 "플레이어"로 지정하고 일부 작업에서는 "ef from x"로 지정하는 것이 편리할 수 있습니다.

먼저 도함수를 찾습니다.

실시예 2

한 점에서 함수의 도함수 계산

, , 전체 기능 연구등

실시예 3

점에서 함수의 도함수를 계산합니다. 도함수를 먼저 구해 봅시다.

글쎄요, 그건 완전히 다른 문제입니다. 점에서 도함수 값을 계산합니다.

파생 상품이 어떻게 발견되었는지 이해하지 못하는 경우 주제의 처음 두 수업으로 돌아가십시오. 아크탄젠트와 그 의미에 어려움(오해)이 있는 경우, 필연적으로 연구 방법론 자료 기본 함수의 그래프와 속성- 맨 마지막 단락. 아직 학생 연령에 대한 아크탄젠트가 충분하기 때문입니다.

실시예 4

점에서 함수의 도함수를 계산합니다.

함수 그래프에 대한 탄젠트 방정식

이전 단락을 통합하기 위해 접선을 찾는 문제를 고려하십시오. 기능 그래픽이 지점에서. 우리는 학교에서 이 과제를 만났고, 고등 수학 과정에서도 발견됩니다.

"데모" 기본 예를 고려하십시오.

횡좌표가 있는 점에서 함수의 그래프에 대한 접선에 대한 방정식을 작성하십시오. 나는 즉시 문제에 대한 기성 그래픽 솔루션을 제공할 것입니다(실제로 이것은 대부분의 경우 필요하지 않습니다).

탄젠트의 엄격한 정의는 다음과 같습니다. 함수의 도함수 정의, 그러나 지금은 문제의 기술적인 부분을 마스터할 것입니다. 확실히 거의 모든 사람이 접선이 무엇인지 직관적으로 이해합니다. "손가락으로"를 설명하면 함수의 그래프에 대한 접선은 다음과 같습니다. 똑바로, 이는 함수의 그래프와 관련이 있습니다. 유일한가리키다. 이 경우 직선의 모든 가까운 점은 함수의 그래프에 최대한 가깝게 위치합니다.

우리의 경우에 적용: at , 탄젠트(표준 표기법)는 단일 점에서 함수의 그래프에 닿습니다.

그리고 우리의 임무는 직선의 방정식을 찾는 것입니다.

한 점에서 함수의 도함수

한 점에서 함수의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까? 이 작업의 두 가지 분명한 점은 다음과 같은 문구에서 나옵니다.

1) 도함수를 찾아야 한다.

2) 주어진 지점에서 미분값을 계산할 필요가 있다.

실시예 1

한 점에서 함수의 도함수 계산

도움말: 함수를 표기하는 다음 방법은 동일합니다.


일부 작업에서는 기능을 "플레이어"로 지정하고 일부 작업에서는 "ef from x"로 지정하는 것이 편리할 수 있습니다.

먼저 도함수를 찾습니다.

나는 많은 사람들이 이미 구두로 그러한 파생 상품을 찾는 데 적응하기를 바랍니다.

두 번째 단계에서 다음과 같은 점에서 도함수 값을 계산합니다.

독립 솔루션을 위한 간단한 준비 예:

실시예 2

한 점에서 함수의 도함수 계산

수업이 끝날 때 완전한 솔루션과 답변.

점에서 도함수를 찾아야 할 필요성은 다음 작업에서 발생합니다. 함수의 그래프에 대한 접선 구성(다음 단락), 극한값에 대한 함수 연구 , 그래프의 굴절을 위한 함수 연구 , 전체 기능 연구 등

그러나 고려 중인 작업은 대조 문서 및 그 자체에서 발견됩니다. 그리고 일반적으로 그러한 경우 기능은 매우 복잡합니다. 이와 관련하여 두 가지 예를 더 고려하십시오.

실시예 3

함수의 도함수 계산 시점에서 .
먼저 도함수를 구해봅시다.

도함수를 구하는 것을 원칙으로 하며 필요한 값으로 대체할 수 있습니다. 하지만 정말 아무것도 하고 싶지 않습니다. 표현식이 매우 길고 "x" 값은 소수입니다. 따라서 우리는 가능한 한 도함수를 단순화하려고 노력합니다. 이 경우 마지막 세 항을 공통 분모로 줄이려고 합니다. 시점에서 .

이것은 DIY의 예입니다.

Ho 점에서 함수 F(x)의 도함수 값을 찾는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 어떻게 해결합니까?

공식이 주어지면 도함수를 찾고 X 대신 X-zero를 대체하십시오. 세다
b-8 USE, 그래프에 대해 이야기하는 경우 X 축에 대한 접선을 형성하는 각도(급 또는 둔각)의 접선을 찾아야 합니다(직각 삼각형의 정신적 구성을 사용하고 접선 결정 각도)

티무르 아딜호자예프

먼저 기호를 결정해야 합니다. 점 x0이 좌표 평면의 아래쪽 부분에 있으면 답의 부호는 마이너스가 되고 더 높으면 +가 됩니다.
둘째, 직사각형 직사각형의 접선이 무엇인지 알아야 합니다. 그리고 이것은 반대쪽(다리)과 인접한 쪽(다리)의 비율입니다. 일반적으로 그림에 몇 가지 검은 표시가 있습니다. 이 표시에서 직각 삼각형을 만들고 접선을 찾습니다.

점 x0에서 함수 f x의 도함수 값을 찾는 방법은 무엇입니까?

특별한 질문이 없습니다 - 3년 전

일반적으로 어떤 시점에서 어떤 변수에 대한 함수의 미분 값을 찾기 위해서는 이 변수에 대해 주어진 함수를 미분할 필요가 있습니다. 귀하의 경우 변수 X에 의해. 결과 표현식에서 X 대신 도함수 값을 찾아야 하는 지점에 x 값을 입력합니다. 즉, 귀하의 경우 0 X를 대체하고 결과 표현식을 계산하십시오.

글쎄, 내 생각에이 문제를 이해하려는 당신의 열망은 의심 할 여지없이 + 가치가 있습니다. 나는 깨끗한 양심으로 두었습니다.

도함수를 찾는 문제의 이러한 공식화는 종종 도함수의 기하학적 의미에 재료를 고정하기 위해 제기됩니다. 어떤 함수의 그래프가 완전히 임의적이고 방정식으로 주어지지 않고 제안되며 지정된 점 X0에서 도함수 값(도함수 자체가 아님!)을 찾아야 합니다. 이를 위해 주어진 함수에 대한 접선이 구성되고 좌표축과의 교차점을 찾습니다. 그런 다음 이 접선의 방정식은 y=kx+b 형식으로 작성됩니다.

이 방정식에서 계수 k는 도함수의 값이 됩니다. 계수 b의 값을 찾는 것만 남아 있습니다. 이렇게하려면 x \u003d o에서 y 값을 찾고 3과 같게 두십시오. 이것은 계수 b의 값입니다. 우리는 X0와 Y0의 값을 원래 방정식에 대입하고 k를 찾습니다.

문제 B9에서는 다음 양 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프가 제공됩니다.

1. 어떤 점 x 0에서의 도함수 값,
2. 고점 또는 저점(극한점),
3. 증가 및 감소 기능의 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 솔루션을 크게 단순화합니다. 작업이 수학적 분석 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생들의 힘 안에 있습니다.

도함수, 극한점 및 단조성 구간의 값을 찾기 위해 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 이들 모두는 아래에서 논의될 것입니다.

어리석은 실수를 하지 않기 위해 문제 B9의 조건을 주의 깊게 읽으십시오. 때때로 꽤 방대한 텍스트가 나타나지만 해결 과정에 영향을 미치는 중요한 조건은 거의 없습니다.

파생 상품의 가치 계산. 2점 방식

어떤 점 x 0 에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 문제에 주어지고 이 점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

1. 접선 그래프에서 두 개의 "적절한" 점을 찾습니다. 좌표는 정수여야 합니다. 이 점을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 표시합시다. 좌표를 정확하게 적어 두십시오. 이것이 솔루션의 핵심이며 여기에 실수가 있으면 오답이됩니다.
2. 좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
3. 마지막으로 도함수 D = Δy/Δx의 값을 찾습니다. 즉, 함수 증분을 인수 증분으로 나누어야 하며 이것이 답이 됩니다.

다시 한 번, 점 A와 B는 접선에서 정확하게 구해야 하며, 종종 그렇듯이 f(x) 함수의 그래프에서는 구해야 합니다. 접선에는 반드시 이러한 점이 두 개 이상 있어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 잘못 공식화됩니다.

점 A(−3, 2)와 B(−1, 6)를 고려하고 증분을 찾습니다.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

도함수의 값을 찾자: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 그림은 y \u003d f (x) 함수의 그래프와 가로 좌표 x 0이 있는 점에서 이에 대한 접선을 보여줍니다. 점 x 0 에서 함수 f(x) 의 도함수 값을 찾습니다.

점 A(0, 3)와 B(3, 0)를 고려하여 증분을 찾습니다.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

이제 우리는 미분 값을 찾습니다: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 그림은 y \u003d f (x) 함수의 그래프와 가로 좌표 x 0이 있는 점에서 이에 대한 접선을 보여줍니다. 점 x 0 에서 함수 f(x) 의 도함수 값을 찾습니다.

점 A(0, 2)와 B(5, 2)를 고려하고 증분을 찾습니다.
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

D = Δy/Δx = 0/5 = 0과 같이 미분 값을 찾아야 합니다.

마지막 예에서 우리는 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축에 평행하면 접선 지점에서 함수의 도함수는 0과 같습니다. 이 경우에는 아무 것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프만 보면 됩니다.

고점 및 저점 계산

때때로 문제 B9에서 함수의 그래프 대신에 도함수의 그래프가 주어지며 함수의 최대 또는 최소 점을 찾아야 합니다. 이 시나리오에서 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 ​​다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의하겠습니다.

1. f(x 0) ≥ f(x)와 같은 부등식이 이 점의 일부 이웃에서 유지되는 경우 점 x 0을 함수 f(x)의 최대 점이라고 합니다.
2. f(x 0) ≤ f(x)와 같은 부등식이 이 점의 일부 이웃에서 유지되는 경우 점 x 0을 함수 f(x)의 최소점이라고 합니다.

미분 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 수행하면 충분합니다.

1. 모든 불필요한 정보를 제거하고 도함수의 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 추가 데이터는 솔루션을 방해할 뿐입니다. 따라서 좌표축에 미분의 0을 표시하면 됩니다.
2. 0 사이의 간격에서 도함수의 부호를 찾으십시오. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0인 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0의 두 가지 옵션만 가능합니다. 도함수의 부호는 다음과 같습니다. 원래 도면에서 쉽게 확인할 수 있습니다. 미분 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로 미분 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
3. 도함수의 0과 부호를 다시 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 곳에 최소점이 있습니다. 반대로 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대 포인트입니다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 수행됩니다.

이 체계는 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 방법이 없습니다.

일. 그림은 세그먼트 [−5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

불필요한 정보를 제거합시다 - 테두리만 남길 것입니다 [−5; 5] 미분 x = −3 및 x = 2.5의 영점. 또한 다음 기호에 유의하십시오.

분명히 점 x = −3에서 도함수의 부호는 마이너스에서 플러스로 바뀝니다. 이것은 최소 포인트입니다.

일. 그림은 세그먼트 [−3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대점을 찾습니다.

경계만 남겨두고 그래프를 다시 그려 봅시다 [−3; 7] 그리고 미분 x = −1.7 및 x = 5의 0. 결과 그래프에서 미분의 부호를 확인합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

분명히 점 x = 5에서 도함수의 부호는 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 포인트입니다.

일. 그림은 세그먼트 [−6; 4]. 구간 [−4; 삼].

문제의 조건에서 세그먼트 [−4; 삼]. 따라서 경계만 표시하는 새 그래프를 작성합니다 [−4; 3] 그리고 그 안의 도함수의 0. 즉, 점 x = −3.5 및 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 최대점 x = 2만 있습니다. 도함수의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌는 것입니다.

정수가 아닌 좌표가 있는 점에 대한 작은 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 취할 수 있습니다. 문제가 올바르게 공식화되면 "고정 거주지가없는"포인트가 문제 해결에 직접 관련되지 않기 때문에 이러한 변경 사항이 답변에 영향을 미치지 않아야합니다. 물론 정수 포인트를 사용하면 그러한 트릭이 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이와 같은 문제에서 극대점과 극소점과 같이 도함수의 그래프에서 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 찾는 것을 제안한다. 먼저 오름차순과 내림차순이 무엇인지 정의해 보겠습니다.

1. 함수 f(x)는 이 세그먼트의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 문이 참이면 세그먼트에서 증가라고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값도 커집니다.
2. 함수 f(x)는 이 세그먼트의 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 문이 참인 경우 세그먼트에서 감소라고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). 저것들. 더 큰 인수 값은 더 작은 함수 값에 해당합니다.

우리는 증가 및 감소에 대한 충분한 조건을 공식화합니다.

1. 연속 함수 f(x) 가 세그먼트에서 증가하려면 세그먼트 내부의 도함수가 양수이면 충분합니다. f'(x) ≥ 0.
2. 연속 함수 f(x)가 세그먼트에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. f'(x) ≤ 0.

우리는 증거 없이 이러한 주장을 받아들입니다. 따라서 우리는 극한점을 계산하는 알고리즘과 여러면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

1. 모든 중복 정보를 제거하십시오. 도함수의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 0에 관심이 있으므로 0만 남겨둡니다.
2. 0 사이의 간격에 도함수의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고 f'(x) ≤ 0이면 함수가 감소합니다. 문제에 변수 x에 대한 제한이 있는 경우 새 차트에 추가로 표시합니다.
3. 이제 함수와 제약 조건의 동작을 알았으므로 문제에서 필요한 값을 계산해야 합니다.

일. 그림은 세그먼트 [−3; 7.5]. 감소 함수 f(x)의 구간을 찾습니다. 답에 이 구간에 포함된 정수의 합을 쓰십시오.

평소와 같이 그래프를 다시 그리고 경계를 표시합니다 [−3; 7.5], 미분 x = −1.5 및 x = 5.3의 영점. 그런 다음 도함수의 기호를 표시합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

도함수는 구간(− 1.5)에서 음수이므로 함수를 감소시키는 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수의 합계를 구해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 세그먼트 [−10; 4]. 증가하는 함수 f(x)의 구간을 찾습니다. 답에 가장 큰 길이를 쓰십시오.

불필요한 정보를 없애자. 경계만 남깁니다 [−10; 4] 그리고 미분의 0, 이번에는 4로 판명되었습니다: x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2. 미분의 부호에 주목하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 증가하는 기능의 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0. 그래프에는 (−8, −6) 및 (−3, 2)의 두 가지 구간이 있습니다. 길이를 계산해 보겠습니다.
내가 1 = − 6 − (−8) = 2;
내가 2 = 2 − (−3) = 5.

가장 큰 구간의 길이를 찾아야 하므로 응답으로 l 2 = 5 값을 씁니다.