산술 진행 공식에서 1을 찾는 방법. 역행렬

따라서 온라인으로 행렬을 해결하기 위한 서비스:

행렬 작업을 위한 서비스를 사용하면 기본 행렬 변환을 수행할 수 있습니다.
더 복잡한 변환을 수행해야 하는 작업이 있는 경우 이 서비스를 생성자로 사용해야 합니다.

예시... 주어진 행렬 NS그리고 NS, 찾을 필요가 씨 = NS -1 * NS + NS NS,

당신은 먼저 찾아야합니다 역행렬A1 = NS-1, 역행렬을 찾는 서비스를 사용합니다.
또한 행렬을 찾은 후 A1해 행렬 곱셈A2 = A1 * NS행렬 곱셈 서비스 사용
실행하자 행렬 전치A3 = NS T(전치행렬을 찾는 서비스);
그리고 마지막으로 - 행렬의 합을 찾으십시오. 와 함께 = A2 + A3(행렬의 합을 계산하는 서비스) - 가장 자세한 솔루션으로 답을 얻습니다!

행렬의 곱

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첫 번째 요인 행렬 도입 NS
두 번째 요인 행렬 또는 열 벡터 도입 NS

행렬-벡터 곱하기

벡터에 의한 행렬의 곱셈은 서비스를 사용하여 찾을 수 있습니다. 행렬 곱셈
(첫 번째 요소는 주어진 행렬이 될 것이고, 두 번째 요소는 주어진 벡터의 요소로 구성된 열이 될 것입니다)

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매트릭스 입력 NS, 역행렬을 찾아야 하는 경우
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행렬의 행렬식

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행렬 전치

여기에서 행렬 전치 알고리즘을 추적하고 이러한 문제를 스스로 해결하는 방법을 배울 수 있습니다.
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매트릭스 입력 NS전치되다

매트릭스 순위

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매트릭스 입력 NS, 순위를 찾아야 하는

행렬 고유값 및 행렬 고유 벡터

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매트릭스 입력 NS, 고유 벡터와 고유값(고유값)을 찾아야 하는 경우

행렬의 지수화

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매트릭스 입력 NS, 당신이 권력에 올릴 것입니다
정수를 입력하세요 NS- 도

$ A ^ (- 1) $ 조건 $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $가 충족되면 행렬 $ A ^ (- 1) $는 정방 행렬 $ A $에 대해 역행렬이라고 합니다. , 여기서 $ E $는 행렬 $ A $의 순서와 동일한 단위 행렬입니다.

비축퇴 행렬 - 행렬의 행렬식이 0이 아닙니다. 따라서 축퇴 행렬은 행렬식이 0인 행렬입니다.

역행렬 $ A ^ (- 1) $는 $ A $ 행렬이 축퇴되지 않은 경우에만 존재합니다. 역행렬 $ A ^ (- 1) $가 존재하면 고유합니다.

역행렬을 찾는 방법에는 여러 가지가 있으며 그 중 두 가지를 살펴보겠습니다. 이 페이지에서는 대부분의 고등 수학 과정에서 표준으로 간주되는 adjoint 행렬 방법을 다룹니다. 가우스 방법 또는 가우스-조던 방법을 사용하는 역행렬을 찾는 두 번째 방법(기본 변환 방법)은 두 번째 부분에서 설명합니다.

adjoint(adjoint) 행렬 방법

행렬 $ A_ (n \ x n) $가 주어집니다. $ A ^ (- 1) $ 행렬의 역행렬을 찾으려면 세 단계가 필요합니다.

행렬 $ A $의 행렬식을 찾고 $ \ Delta A \ neq 0 $, 즉 행렬 A는 축퇴하지 않습니다.
행렬 $ A $의 각 요소에 대한 대수 보수 $ A_ (ij) $를 구성하고 행렬 $ A_ (n \ x n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ 대수적 보수를 찾았습니다.
공식을 고려하여 역행렬을 작성하십시오. $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

행렬 $(A ^(*)) ^ T $는 종종 행렬 $ A $에 인접(상호, 인접)이라고 합니다.

솔루션이 수동으로 수행되는 경우 첫 번째 방법은 두 번째(), 세 번째(), 네 번째()와 같이 상대적으로 작은 차수의 행렬에만 적합합니다. 고차 행렬의 역행렬을 찾는 데 다른 방법이 사용됩니다. 예를 들어, 두 번째 부분에서 설명하는 가우스 방법입니다.

예 # 1

$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

네 번째 열의 모든 요소가 0이므로 $ \ Delta A = 0 $입니다(즉, 행렬 $ A $는 축퇴됨). $ \ Delta A = 0 $이므로 $ A $ 행렬의 역행렬은 존재하지 않습니다.

답변: 행렬 $ A ^ (- 1) $는 존재하지 않습니다.

실시예 2

행렬 $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $의 역행렬을 찾습니다. 확인하다.

우리는 adjoint 행렬 방법을 사용합니다. 먼저 주어진 행렬 $ A $의 행렬식을 찾습니다.

$$ \ 델타 A = \ 왼쪽 | \ 시작 (배열) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ 끝 (배열) \ 오른쪽 | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

$ \ Delta A \ neq 0 $이므로 역행렬이 존재하므로 솔루션을 계속 진행합니다. 대수적 보수 찾기

\ 시작(정렬) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (-1) ^ 3 \ cdot 9 = -9, \\ & A_ (21) = (-1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ 끝(정렬)

우리는 대수적 보수로부터 행렬을 구성합니다: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

결과 행렬을 전치합니다. $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (결과 행렬은 종종 $ A $ 행렬에 대한 adjoint 또는 adjoint 행렬이라고 합니다. 공식 $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $를 사용하여 다음을 얻습니다.

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ 왼쪽(\ 시작(배열)(cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ 끝(배열) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 (\ 시작(배열) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $$

그래서 역이 발견됩니다: $ A ^ (- 1) = \ 왼쪽 (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. 결과의 진실을 확인하려면 $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ 또는 $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ 중 하나의 진실을 확인하는 것으로 충분합니다. $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $가 같은지 확인합시다. 분수 작업을 줄이기 위해 행렬 $ A ^ (- 1) $ $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 형식이 아닌 행렬로 대체합니다. & 5/103 \ end (array) \ right) $, 그리고 $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) $:

$$ A ^ (- 1) \ cdot (A) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end ( 배열) \ 오른쪽) \ cdot \ 왼쪽(\ 시작(배열) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ 끝(배열) \ 오른쪽) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ 왼쪽( \ 시작 (배열) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 (\ 시작 (배열) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ 끝 (배열 ) \ 오른쪽) = E $$

답변: $ A ^ (- 1) = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

실시예 3

행렬 $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $의 역행렬을 찾습니다. 확인하다.

행렬 $ A $의 행렬식을 계산하는 것으로 시작하겠습니다. 따라서 행렬 $ A $의 행렬식은 다음과 같습니다.

$$ \ 델타 A = \ 왼쪽 | \ 시작 (배열) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ 끝 (배열) \ 오른쪽 | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

$ \ Delta A \ neq 0 $이므로 역행렬이 존재하므로 솔루션을 계속 진행합니다. 주어진 행렬의 각 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.

대수 보수 행렬을 구성하고 전치합니다.

$$ A ^ * = \ 왼쪽(\ 시작(배열)(ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ 끝(배열) \ 오른쪽); \; (A ^ *) ^ T = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ 끝(배열) \ 오른쪽) ... $$

공식 $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $를 사용하면 다음을 얻습니다.

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ 왼쪽 (\ 시작(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 (\ 시작 (배열) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $$

따라서 $ A ^ (- 1) = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $. 결과의 진실을 확인하려면 $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ 또는 $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $ 중 하나의 진실을 확인하는 것으로 충분합니다. $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $가 같은지 확인합시다. 분수를 덜 사용하기 위해 행렬 $ A ^ (- 1) $ $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $, 그리고 $ \ frac (1) (26) \ cdot \ 왼쪽 ( \ 시작(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $:

$$ A \ cdot (A ^ (- 1)) = \ 왼쪽(\ 시작(배열)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ 끝(배열) \ 오른쪽) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ 왼쪽 (\ 시작(배열) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) = \ frac (1) (26) \ cdot \ 왼쪽 (\ 시작 (배열) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) = \ 왼쪽 (\ 시작 (배열) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ 끝 (배열) \ 오른쪽) = E $$

확인에 성공했으며 역 $ A ^ (- 1) $가 올바르게 발견되었습니다.

답변: $ A ^ (- 1) = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

실시예 4

$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8의 역 찾기 & -8 & -3 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

4차 행렬의 경우 대수 보수를 사용하여 역행렬을 찾는 것은 다소 어렵습니다. 그러나 이러한 예는 시험지에서 발견됩니다.

역행렬을 찾으려면 먼저 행렬 $ A $의 행렬식을 계산해야 합니다. 이 상황에서 이를 수행하는 가장 좋은 방법은 행(열)별로 행렬식을 확장하는 것입니다. 행이나 열을 선택하고 선택한 행이나 열의 각 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.

예를 들어, 첫 번째 줄에 대해 다음을 얻습니다.

$$ A_ (11) = \ 왼쪽 | \ 시작(배열) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ 끝(배열) \ 오른쪽 | = 556; \; A_ (12) = - \ 왼쪽 | \ 시작(배열) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ 끝(배열) \ 오른쪽 | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ 왼쪽 | \ 시작(배열) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ 끝(배열) \ 오른쪽 | = -536; A_ (14) = - \ 왼쪽 | \ 시작(배열) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ 끝(배열) \ 오른쪽 | = -112. $$

행렬 $ A $의 행렬식은 다음 공식으로 계산됩니다.

$$ \ 델타 (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14 ) = 6 \ cdot 556 + (-5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

$$ \ 시작(정렬) & A_(21) = - 77, \, A_(22) = 50, \, A_(23) = 87, \, A_(24) = 4, \\ & A_(31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ 끝(정렬) $$

대수 보수 행렬: $ A ^ * = \ 왼쪽(\ 시작(배열)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

결합된 행렬: $ (A ^ *) ^ T = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

역행렬:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ 왼쪽 (\ 시작(배열) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ 끝(배열) \ 오른쪽) = \ 왼쪽(\ 시작(배열)(cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $$

원하는 경우 이전 예와 동일한 방식으로 검사를 수행할 수 있습니다.

답변: $ A ^ (- 1) = \ 왼쪽(\ 시작(배열) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ 끝(배열) \ 오른쪽) $.

두 번째 부분에서는 Gauss 방법 또는 Gauss-Jordan 방법의 변환을 사용하는 역행렬을 찾는 다른 방법을 고려할 것입니다.

에 대한 선형 방정식 (3)의 시스템을 풀기 위해 x 1우리는 가우스 방법을 사용할 것입니다.

나머지 선형 방정식 (2) 시스템은 유사한 방식으로 해결됩니다.

마지막으로 열 벡터 그룹 x 1, x 2, ..., x n역을 형성 A -1.

순열 행렬을 찾으면 P1, P2, ..., Pn-1및 제외 행렬 M 1, M 2, ..., M n-1(페이지 가우스 제거 방법 참조) 및 행렬 구성

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1,

시스템 (2)는 다음 형식으로 변환될 수 있습니다.

최대 1 = 나 1,
최대 2 = 나 2,
......
최대 n = 나 n.

여기에서 x 1, x 2, ..., x n, 다른 오른쪽 나 1, 나 2, ..., 나 n.

역행렬을 계산할 때 원래 행렬의 오른쪽에 단위행렬을 추가하고 순방향과 역방향으로 가우시안 방법을 적용하는 것이 더 편리합니다.

예를 들어 보겠습니다.

역행렬 계산의 예

역행렬을 구하도록 하십시오. A -1주어진 행렬에 대해 NS:

오른쪽에 단위 행렬을 작성해 보겠습니다.

피벗 요소 "4"(절대값이 가장 크므로)를 선택하고 첫 번째 및 세 번째 줄을 재정렬합니다.

첫 번째 열에 가우스 예외를 적용합니다.

두 번째 행과 세 번째 행을 바꾸고 두 번째 열에 가우스 제외를 적용합니다.

역행렬을 찾는 방법. 정방 행렬을 고려하십시오.

Δ = det A를 나타냅니다.

정방 행렬 A는 비 퇴화,또는 비특수행렬식이 0이 아닌 경우 퇴화하다,또는 특별한, 만약Δ = 0.

정방 행렬 B는 곱 A B = B A = E인 경우 동일한 차수의 정방 행렬 A에 대해 존재합니다. 여기서 E는 행렬 A 및 B와 동일한 차수의 단위 행렬입니다.

정리 . 행렬 A가 역행렬을 가지려면 행렬식이 0이 아닌 것이 필요하고 충분합니다.

A로 표시된 행렬 A의 역행렬- 1, 그래서 B = A - 1 공식에 의해 계산됩니다

, (1)

여기서 А i j는 행렬 A ..의 요소 a i j의 대수적 보수입니다.

고차 행렬에 대한 공식 (1)에 따라 A-1을 계산하는 것은 매우 힘들기 때문에 실제로는 기본 변환(EP) 방법을 사용하여 A-1을 찾는 것이 편리합니다. 비특이 행렬 A는 열만(또는 행만) EP만큼 단위 행렬 E로 축소될 수 있습니다. 행렬 A와 E에 대해 동시에 EP를 수행하는 것이 편리합니다. 두 행렬을 선을 통해 나란히 쓰는 것입니다. 찾을 목적으로 행렬의 표준 형식을 찾을 때 행과 열의 변환을 사용할 수 있습니다. 역행렬을 찾아야 하는 경우 변환 프로세스에서 행 또는 열만 사용해야 합니다.

실시예 1... 매트릭스의 경우 A -1을 찾으십시오.

해결책.먼저 행렬 A의 행렬식을 찾습니다.
따라서 역행렬이 존재하며 다음 공식으로 찾을 수 있습니다. , 여기서 A i j (i, j = 1,2,3)는 원래 행렬의 요소 a i j의 대수 보수입니다.

어디에 .

실시예 2... 기본 변환 방법을 사용하여 행렬 A =에 대해 A -1을 찾습니다.

해결책.동일한 차수의 단위 행렬 오른쪽에 있는 원래 행렬에 할당합니다. ... 기본 열 변환의 도움으로 왼쪽 "절반"을 단위 1로 가져오고 동시에 오른쪽 행렬에 대해 정확히 동일한 변환을 수행합니다.
이렇게 하려면 첫 번째 열과 두 번째 열을 교환해 보겠습니다. ~ ... 첫 번째 열을 세 번째 열에 추가하고 첫 번째 열에 -2를 곱한 값을 두 번째 열에 추가합니다. ... 첫 번째 열에서 두 번째 열을 뺍니다. 세 번째 열에서 두 번째 열에서 6을 곱합니다. ... 첫 번째와 두 번째 열에 세 번째 열을 추가해 보겠습니다. ... 마지막 열에 -1을 곱해 보겠습니다. ... 수직 막대의 오른쪽에 있는 정사각형 행렬은 주어진 행렬 A의 역행렬입니다. 따라서,
.

일반 교육 학교 (9 학년)에서 대수학을 공부할 때 중요한 주제 중 하나는 기하 및 산술의 진행을 포함하는 숫자 시퀀스 연구입니다. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션의 예를 고려할 것입니다.

산술 진행이란 무엇입니까?

이를 이해하려면 고려되는 진행에 대한 정의를 제공하고 문제를 해결하는 데 추가로 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.

산술 또는 대수 진행은 순서가 지정된 유리수의 집합이며, 각 항은 이전 항과 일정한 양만큼 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 정렬된 일련의 숫자와 그 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다. 이 경우의 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이기 때문에 다음 숫자 시퀀스는 4, 8, 12, 16, ...과 같은 산술 진행입니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 더 이상 고려된 진행 유형에 기인할 수 없습니다. 그 차이는 상수 값이 아니기 때문입니다(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

중요한 공식

이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공하겠습니다. 수열의 n번째 항을 n으로 표시합시다. 여기서 n은 정수입니다. 차이는 라틴 문자 d로 표시됩니다. 그러면 다음 표현식이 유효합니다.

n번째 항의 값을 결정하려면 다음 공식이 적합합니다. a n = (n-1) * d + a 1.
처음 n개의 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1) * n / 2.

9학년의 해를 사용한 산술 진행의 예를 이해하려면 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 고려 중인 유형의 문제는 사용을 기반으로 하기 때문입니다. 진행의 차이는 d = a n - a n-1 공식에 의해 결정된다는 점도 기억해야 합니다.

예제 # 1: 알 수 없는 멤버 찾기

풀기 위해 사용해야 하는 산술 진행과 공식의 간단한 예를 들어 보겠습니다.

시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 그 안에 다섯 개의 항을 찾아야합니다.

문제 진술에서 처음 4개 항을 알고 있다는 사실이 이미 뒤따릅니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.

먼저 차이를 계산해 보겠습니다. d = 8 - 10 = -2입니다. 마찬가지로, 서로 옆에 서 있는 다른 두 멤버를 취할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d = a n - a n-1인 것으로 알려져 있기 때문에 d = a 5 - a 4, 여기서 우리는 a 5 = a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값을 대체하십시오: a 5 = 4 + (-2) = 2.
두 번째 방법은 또한 고려된 진행의 차이를 알아야 하므로 먼저 위에 표시된 대로(d = -2) 이를 판별해야 합니다. 첫 번째 항 a 1 = 10을 알면 시퀀스의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n이 있습니다. 마지막 식에서 n = 5를 대입하면 a 5 = 12-2 * 5 = 2가 됩니다.

보시다시피 두 가지 해결 방법 모두 동일한 결과를 얻었습니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 각 다음 항이 이전 항보다 작기 때문에 이러한 수열을 감소라고 합니다.

예제 # 2: 진행 차이

이제 작업을 조금 복잡하게 하고 예를 들어 보겠습니다.

어떤 경우에는 1항이 6과 같고 7항이 18인 것으로 알려져 있습니다. 차이를 찾아 이 수열을 7항으로 복원해야 합니다.

공식을 사용하여 미지의 항을 결정해 봅시다: a n = (n - 1) * d + a 1. 우리는 조건에서 알려진 데이터, 즉 숫자 a 1과 a 7을 대체합니다. 18 = 6 + 6 * d. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다. d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분에 답했습니다.

최대 7개의 항까지 시퀀스를 복원하려면 대수적 진행의 정의, 즉 a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등을 사용해야 합니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

예제 # 3: 진행하기

문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예를 들 수 있습니다. 두 개의 숫자, 예를 들어 - 4와 5가 주어집니다. 이들 사이에 세 개의 항이 더 들어가도록 대수적 진행을 할 필요가 있습니다.

이 문제를 해결하기 시작하기 전에 주어진 숫자가 미래 진행에서 어떤 위치를 차지할 것인지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에 3개의 항이 더 있을 것이므로 a 1 = -4 및 a 5 = 5입니다. 이를 설정한 후 이전 문제와 유사한 문제로 진행합니다. 다시 n번째 항에 대해 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. a 5 = a 1 + 4 * d. 어디에서: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. 여기서 우리는 차이의 정수 값을 받지 않았지만 유리수이므로 대수적 진행에 대한 공식은 동일하게 유지됩니다.

이제 발견된 차이를 1에 추가하고 진행의 누락된 구성원을 복원합니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, 일치 문제의 조건과 함께.

예제 # 4: 진행의 첫 번째 용어

해를 사용하여 산술 진행의 예를 계속 제공하겠습니다. 앞의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자는 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. a 15 = 50 및 a 43 = 37인 두 개의 숫자가 주어집니다. 이 수열이 시작되는 숫자를 찾아야 합니다.

지금까지 사용된 공식은 1과 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제 설명에서 이 숫자에 대해 알려진 것은 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 정보가 있는 각 구성원에 대한 표현식을 작성합니다: a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d. 2개의 미지수(a 1 및 d)가 있는 2개의 방정식을 받았습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.

이 시스템을 푸는 가장 쉬운 방법은 각 방정식에서 1을 표현한 다음 결과 표현을 비교하는 것입니다. 첫 번째 방정식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. 이러한 표현식을 동일시하면 50 - 14 * d = 37 - 42 * d가 됩니다. 여기서 차이 d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464(소수점 3자리만 제공됨).

d를 알면 1에 대해 위의 2가지 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

결과에 대해 의심이 가는 경우 조건에 지정된 진행의 43항을 결정하는 등의 결과를 확인할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. 작은 오류는 계산이 천분의 일 반올림을 사용했기 때문입니다.

예 # 5: 금액

이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1, 2, 3, 4, ...,. 이 100개의 숫자의 합을 어떻게 계산합니까?

컴퓨터 기술의 발전 덕분에 사람이 Enter 키를 누르 자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더하는이 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수적 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의를 기울이면 문제는 마음 속에서 해결될 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 다음을 얻습니다. S n = n * (a 1 + a) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

이 문제를 "가우시안"이라고 부른다는 점은 흥미롭습니다. 왜냐하면 18세기 초에 그 유명한 독일인이 아직 10살 밖에 되지 않았지만 몇 초 만에 머리로 풀 수 있었기 때문입니다. 그 소년은 대수적 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자를 쌍으로 더하면 항상 하나의 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., 그리고 이 양들 중 정확히 50(100/2)이 될 것이기 때문에 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.

예제 # 6: n에서 m까지의 멤버 합

산술 진행의 합에 대한 또 다른 전형적인 예는 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어졌을 때: 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 구성원 합이 무엇인지 찾아야 합니다.

문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8부터 14까지 알려지지 않은 용어를 찾은 다음 순차적으로 추가하는 것입니다. 항이 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결할 것을 제안한다.

아이디어는 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n> m은 정수입니다. 두 경우의 합계에 대해 두 가지 식을 작성해 보겠습니다.

Sm = m * (m + a 1) / 2.
S n = n * (n + a 1) / 2.

n>m이므로, 2의 합이 1을 포함하는 것은 자명하다. 마지막 결론은 이러한 합계의 차이에 a m이라는 용어를 추가하면(차이를 취하는 경우 합계 S n에서 빼면) 문제에 대한 필요한 답을 얻을 수 있다는 의미입니다. S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + 오전 * (1- m / 2). 이 식에서 n과 m에 대한 공식을 대체해야 합니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

결과 공식은 다소 번거롭지만 S mn의 합은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대입하면 S mn = 301이 됩니다.

주어진 해에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항의 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제의 해결을 진행하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 발견해야 할 사항을 명확하게 이해한 다음 해결을 진행하는 것이 좋습니다.

또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 실수할 확률이 적기 때문에 그렇게 해야 합니다. 예를 들어, 솔루션 # 6을 사용한 산술 진행의 예에서 공식 S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am에서 멈출 수 있습니다. 일반적인 문제를 별도의 하위 작업으로 나눕니다(이 경우 먼저 구성원과 am을 찾습니다).

얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 제공된 일부 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 우리는 산술 진행을 찾는 방법을 알아 냈습니다. 알아내면 그리 어렵지 않습니다.