그래프에서 가장 큰 미분 값을 결정하는 방법. 도함수의 값이 가장 큰 시점은? 파생 상품의 가치 계산

그 사이에 ( 하지만,NS), 하지만 NS- 주어진 간격의 무작위로 선택된 점입니다. 주장을 해보자 NS 증가Δx(양수 또는 음수).

함수 y = f(x)는 다음과 같은 증분 Δy를 받습니다.

Δy = f(x + Δx) -f(x).

극소량 Δх에서 증가Δy도 무한히 작습니다.

예를 들어:

물체의 자유 낙하의 예를 사용하여 함수의 도함수의 해를 고려합시다.

t 2 = t l + Δt이므로

.

한계를 계산하면 다음을 찾습니다.

함수의 극한을 계산할 때 t의 불변성을 강조하기 위해 표기법 t 1이 도입되었습니다. t 1 은 임의의 시간 값이므로 인덱스 1을 삭제할 수 있습니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다.

속도가 난다는 것을 알 수 있다. V,방법처럼 NS, 있다 함수시각. 기능 유형 V전적으로 기능 유형에 따라 다릅니다. NS그래서 기능 NS기능을 "생성"하는 것처럼 V... 따라서 " 파생 함수».

다른 것을 고려 예.

함수의 도함수 값을 찾습니다.

y = x 2~에 x = 7.

해결책. ~에 x = 7우리는 y = 7 2 = 49... 주장을 해보자 NS증가 Δ NS... 인수가 같아집니다 7 + Δ NS, 함수는 값을 받습니다. (7 + Δ x) 2.

함수의 미분은 학교 커리큘럼에서 어려운 주제 중 하나입니다. 모든 졸업생이 파생 상품이 무엇인지 질문에 답하지는 않습니다.

이 기사는 파생 상품이 무엇이며 무엇을 위한 것인지 간단하고 명확하게 설명합니다.... 우리는 이제 표현의 수학적 엄격함을 추구하지 않을 것입니다. 가장 중요한 것은 의미를 이해하는 것입니다.

정의를 기억합시다.

도함수는 함수의 변화율입니다.

그림은 세 가지 기능의 그래프를 보여줍니다. 어느 쪽이 더 빨리 성장하고 있다고 생각합니까?

대답은 분명합니다. 세 번째입니다. 가장 큰 변화율, 즉 가장 큰 파생 상품을 가지고 있습니다.

여기 또 다른 예가 있습니다.

Kostya, Grisha 및 Matvey는 동시에 직업을 얻었습니다. 그들의 수입이 1년 동안 어떻게 변했는지 봅시다.

차트에서 모든 것을 바로 볼 수 있습니다. 그렇지 않나요? Kostya의 수입은 6개월 만에 두 배 이상 증가했습니다. 그리고 Grisha의 수입도 증가했지만 약간만 증가했습니다. 그리고 Matvey의 수입은 0으로 떨어졌습니다. 시작 조건은 동일하지만 함수의 변화율, 즉 유도체, - 다른. Matvey의 경우 소득의 파생 상품은 일반적으로 음수입니다.

직관적으로 함수의 변화율을 쉽게 추정할 수 있습니다. 하지만 어떻게 해야 할까요?

우리는 실제로 함수 그래프가 얼마나 가파르게 올라가는지(또는 내려가는지) 보고 있습니다. 즉, x를 변경하면 y가 얼마나 빨리 변하는가를 나타냅니다. 분명히, 다른 지점에서 동일한 함수는 다른 도함수 값을 가질 수 있습니다. 즉, 더 빠르거나 느리게 변할 수 있습니다.

함수의 도함수가 표시됩니다.

그래프를 사용하여 찾는 방법을 보여 드리겠습니다.

어떤 기능의 그래프가 그려집니다. 횡좌표를 사용하여 요점을 살펴보겠습니다. 이 지점에서 함수의 그래프에 접선을 그리도록 합시다. 함수 그래프가 얼마나 가파르게 올라가는지 추정하고 싶습니다. 이에 대한 편리한 값은 접선의 경사각의 접선.

한 점에서 함수의 도함수는 이 점에서 함수의 그래프에 그려진 접선의 경사각의 접선과 같습니다.

주의 - 접선의 경사각으로 접선과 축의 양의 방향 사이의 각도를 취합니다.

때때로 학생들은 탄젠트 함수가 무엇인지 묻습니다. 이것은 이 섹션의 그래프와 하나의 공통점을 갖는 직선이며 우리 그림과 같습니다. 원에 접하는 것처럼 보입니다.

우리가 찾을거야. 직각 삼각형에서 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율과 같습니다. 삼각형에서:

함수식도 모르는 상태에서 그래프를 이용하여 도함수를 구했습니다. 이러한 문제는 종종 수학 시험에서 숫자 아래에서 발견됩니다.

또 다른 중요한 관계가 있습니다. 직선이 방정식으로 주어진다는 것을 기억하십시오.

이 방정식의 양을 직선의 기울기... 축에 대한 직선의 경사각의 접선과 같습니다.

.

우리는 그것을 얻는다

이 공식을 기억합시다. 도함수의 기하학적 의미를 표현합니다.

한 점에서 함수의 도함수는 그 점에서 함수의 그래프에 그려진 탄젠트의 기울기와 같습니다.

즉, 미분은 접선의 경사각의 접선과 같습니다.

우리는 이미 같은 함수가 다른 지점에서 다른 도함수를 가질 수 있다고 말했습니다. 도함수가 함수의 동작과 어떻게 관련되어 있는지 봅시다.

어떤 함수의 그래프를 그려봅시다. 이 기능이 일부 영역에서는 증가하고 다른 영역에서는 다른 비율로 감소하도록 하십시오. 그리고 이 함수가 최대점과 최소점을 갖도록 하십시오.

어느 시점에서 기능이 증가합니다. 한 점에서 그린 그래프의 접선은 축의 양의 방향과 예각을 형성합니다. 이것은 도함수가 점에서 양수임을 의미합니다.

그 시점에서 우리의 기능은 감소합니다. 이 점의 접선은 축의 양의 방향과 둔각을 형성합니다. 둔각의 탄젠트가 음수이므로 해당 지점에서 도함수는 음수입니다.

다음과 같은 일이 발생합니다.

함수가 증가하면 미분 값은 양수입니다.

감소하면 파생 상품은 음수입니다.

그리고 최대 및 최소 지점에서 어떤 일이 발생합니까? 우리는 점(최대점)과 (최소점)에서 접선이 수평임을 알 수 있습니다. 결과적으로 이러한 점에서 접선의 경사각의 접선은 0이고 미분도 0입니다.

포인트는 최대 포인트입니다. 이 시점에서 기능의 증가는 감소로 대체됩니다. 결과적으로 도함수의 부호는 "플러스"에서 "마이너스"로 변경됩니다.

점 - 최소점 - 미분도 0이지만 부호는 "빼기"에서 "플러스"로 변경됩니다.

결론: 도함수를 사용하면 함수의 동작에 대해 관심 있는 모든 것을 배울 수 있습니다.

도함수가 양수이면 함수가 증가합니다.

도함수가 음수이면 함수가 감소합니다.

최대점에서 도함수는 0이고 부호를 "플러스"에서 "마이너스"로 변경합니다.

최소 지점에서 도함수도 0이고 부호가 "마이너스"에서 "플러스"로 변경됩니다.

이러한 결론을 표 형식으로 작성해 보겠습니다.

	증가하고있다	최대 포인트	감소	최소 포인트	증가하고있다
+	0	-	0	+

두 가지 간단한 설명을 해보겠습니다. 시험 문제를 풀 때 그 중 하나가 필요합니다. 또 다른 - 첫해에 기능과 파생 상품에 대한보다 진지한 연구와 함께.

어떤 지점에서 함수의 도함수가 0과 같지만 이 지점에서 함수의 최대값이나 최소값이 없는 경우가 가능합니다. 이것은 이른바 :

한 점에서 그래프의 접선은 수평이고 도함수는 0입니다. 그러나 그 지점까지는 기능이 증가하고 그 지점 이후에는 계속 증가합니다. 도함수의 부호는 변경되지 않습니다. 양수이므로 그대로 유지됩니다.

최대 또는 최소 지점에 미분값이 존재하지 않는 경우도 발생합니다. 그래프에서 이것은 주어진 점에서 접선을 그릴 수 없을 때 급격한 굽힘에 해당합니다.

그리고 함수가 그래프가 아니라 공식으로 주어진 경우 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까? 이 경우,

새로운 작업이 나타났습니다. 그들의 솔루션을 살펴보겠습니다.

B8 미션 프로토타입(# 317543)

그림은 함수 y = f(x)의 그래프를 나타내고 점 -2, -1, 1, 2가 표시되어 있는데, 이 중 도함수의 값이 가장 큰 점은? 이 점을 답에 표시하십시오.

우리가 알다시피, 그것은

인수 증분이 0이 되는 경향이 있을 때 인수 증분에 대한 함수 증분 비율의 한계:

점의 미분은 다음을 보여줍니다. 기능 변화율이 지점에서. 함수 변경이 빠를수록, 즉 함수의 증분이 클수록 접선의 경사각이 커집니다. 문제에서 미분 값이 가장 큰 지점을 결정해야 하기 때문에 가로 좌표가 -1 및 1인 지점을 고려에서 제외합니다. 이 지점에서 함수가 감소하고 미분 값이 음수입니다.

함수는 점 -2와 2에서 증가합니다. 그러나 점 -2에서 함수의 그래프가 점 2보다 더 가파르게 상승하므로 이 점에서 함수의 증가가 다른 방식으로 증가합니다. 따라서 파생 상품이 더 큽니다.

답: -2

그리고 비슷한 작업:

프로토타입 미션 B8 (# 317544)

그림은 함수의 그래프를 나타내고 -2, -1, 1, 4가 표시되어 있는데, 이 중 미분 값이 가장 작은 점은? 이 점을 답에 표시하십시오.

이 문제에 대한 해결책은 이전의 "정반대"에 대한 해결책과 유사합니다.

우리는 도함수가 가장 작은 값을 취하는 지점에 관심이 있습니다. 즉, 함수가 가장 빠르게 감소하는 지점을 찾고 있습니다. 그래프에서 이것은 가장 가파른 "하강" 지점입니다. 이것은 가로축이 4인 점입니다.

이 섹션에는 함수 및 그 도함수 연구와 관련된 주제에 대한 수학 시험 문제가 포함되어 있습니다.

데모 버전 2020년 통합 국가 시험 번호로 만날 수 있는 해 14 기본 레벨 및 언더 넘버용 7 프로필 수준.

이 세 가지 함수 그래프를 자세히 살펴보십시오.
이러한 기능이 어떤 의미에서는 "관련"되어 있다는 사실을 알고 계셨습니까?
예를 들어, 녹색 함수의 그래프가 0 위에 있는 영역에서는 빨간색 함수가 증가합니다. 녹색 함수의 그래프가 0 미만인 영역에서는 빨간색 함수가 감소합니다.
빨간색과 파란색 그래프에 대해서도 비슷한 설명을 할 수 있습니다.
또한 녹색 기능의 0(점 NS = -1 및 NS = 3) 빨간색 그래프의 극점과 일치합니다. NS = −1 빨간색 차트에서 로컬 최대값을 볼 수 있습니다. NS = 빨간색 차트의 3, 로컬 최소값.
파란색 차트의 로컬 고점과 저점이 빨간색 차트가 값을 통과하는 동일한 지점에 도달했음을 쉽게 알 수 있습니다. 와이 = 0.
이 그래프의 행동 특성에 대해 몇 가지 더 결론을 내릴 수 있습니다. 왜냐하면 그것들은 실제로 서로 관련되어 있기 때문입니다. 각 그래프 아래에 있는 함수의 공식을 보고 계산을 통해 각각의 이전 함수가 다음 함수에 대한 도함수인지, 따라서 다음 함수가 이전 함수의 사전 형식 중 하나인지 확인하십시오.

φ 1 (NS ) = φ" 2 (NS ) φ 2 (NS ) = Φ 1 (NS )
φ 2 (NS ) = φ" 3 (NS ) φ 3 (NS ) = Φ 2 (NS )

파생 상품에 대해 알고 있는 내용을 기억해 보겠습니다.

함수의 도함수 와이 = NS(NS) 그 시점에 NS점에서 함수의 변화율을 나타냅니다. NS.

파생 상품의 물리적 의미도함수는 종속성 y = f(x)로 설명되는 프로세스의 속도를 표현한다는 사실에 있습니다.

도함수의 기하학적 의미고려 중인 점에서의 값이 이 점에서 미분 함수의 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같다는 사실에 있습니다.

이제 그림에 빨간색 그래프가 표시되지 않도록 합니다. 함수 공식도 모른다고 가정해 봅시다.

함수의 동작과 관련된 질문을 해도 될까요? φ 2 (NS ) 함수의 도함수임을 알고 있는 경우 φ 3 (NS ) 및 역도함수 함수 φ 1 (NS )?
할 수있다. 그리고 우리는 도함수가 함수의 변화율의 특성이라는 것을 알고 있기 때문에 많은 질문에 정확하게 답할 수 있습니다. 따라서 다른 함수의 그래프를 보고 이러한 함수 중 하나의 동작을 판단할 수 있습니다.

다음 질문에 답하기 전에 페이지를 위로 스크롤하여 빨간색 그래프가 포함된 맨 위 그림이 숨겨지도록 합니다. 답이 나오면 다시 넣어 결과를 확인합니다. 그리고 그 후에야 내 결정을 볼 수 있습니다.

주목: 교육 효과를 높이려면 답변 및 솔루션노란색 배경의 버튼을 순차적으로 눌러 각 작업에 대해 별도로 로드됩니다. (작업이 많을 경우 버튼이 늦게 나타날 수 있습니다. 버튼이 전혀 보이지 않을 경우 브라우저 허용 여부를 확인하세요.) 자바스크립트.)

1) 도함수의 그래프 사용 φ" 2 (NS ) (우리의 경우 이것은 녹색 그래프임), 함수의 2개 값 중 어느 것이 더 큰지 결정 φ 2(-3) 또는 φ 2 (−2)?

도함수의 그래프는 세그먼트 [-3; −2]에서 값이 완전히 양수임을 보여줍니다. 즉, 이 세그먼트의 함수만 증가하므로 왼쪽 끝에 있는 함수의 값 NS = −3은 오른쪽 끝에 있는 값보다 작습니다. NS = −2.

답변: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) 역도함수 그래프 사용 Φ 2 (NS ) (우리의 경우 이것은 파란색 그래프임), 함수의 2개 값 중 어느 것이 더 큰지 결정 φ 2(-1) 또는 φ 2 (4)?

역도함수 그래프는 점을 보여줍니다. NS = -1은 증가하는 영역에 있으므로 해당 도함수의 값은 양수입니다. 점 NS = 4는 감소하는 영역에 있고 해당 도함수의 값은 음수입니다. 양수 값이 음수 값보다 크기 때문에 정확히 도함수인 미지수 함수의 값은 지점 4에서 -1보다 작다는 결론을 내립니다.

답변: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

누락된 일정에 대해 질문할 수 있는 유사한 질문이 많이 있으며, 이는 동일한 계획에 따라 구축된 짧은 답변으로 매우 다양한 작업으로 이어집니다. 그들 중 일부를 해결하려고합니다.

함수의 그래프 도함수의 특성을 결정하기 위한 작업.

그림 1.

그림 2.

문제 1

와이 = NS (NS ) 구간(-10.5, 19)에 정의됩니다. 함수의 도함수가 양수인 정수 점의 수를 결정합니다.

함수의 도함수는 함수가 증가하는 영역에서 양수입니다. 그림은 이것이 구간(-10.5, -7.6), (-1, 8.2) 및 (15.7, 19)임을 보여줍니다. "−10", "- 9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6" 간격 안에 전체 점을 나열해 보겠습니다. ", "7", "8", "16", "17", "18". 총 15개의 포인트가 있습니다.

답변: 15

비고.
1. 함수의 그래프에 관한 문제에서 "점"의 이름을 지정해야 할 때 일반적으로 인수의 값만을 의미합니다 NS , 이는 그래프에 있는 해당 점의 횡좌표입니다. 이 점의 세로 좌표는 함수의 값이며 종속적이며 필요한 경우 쉽게 계산할 수 있습니다.
2. 포인트를 나열할 때 이 포인트의 기능이 증가하거나 감소하지 않고 "펼쳐지기" 때문에 간격의 가장자리를 고려하지 않았습니다. 이러한 점에서의 미분은 양수도 음수도 아니며 0과 같으므로 정지점이라고 합니다. 또한 여기에서 정의 영역의 경계를 고려하지 않습니다. 조건이 이것이 간격이라고 하기 때문입니다.

작업 2

그림 1은 함수의 그래프를 보여줍니다. 와이 = NS (NS ) 구간(-10.5, 19)에 정의됩니다. 함수의 도함수가 나타나는 정수 점의 수를 결정합니다. NS " (NS )은 음수입니다.

함수의 도함수는 함수가 감소하는 영역에서 음수입니다. 그림은 이것이 구간(-7.6; −1)과 (8.2; ​​15.7)임을 보여줍니다. 이 간격 내의 정수 포인트: "−7", "- 6", "−5", "- 4", "−3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". 총 13개의 포인트가 있습니다.

답변: 13

이전 작업에 대한 참고 사항을 참조하십시오.

다음 문제를 해결하려면 정의를 하나 더 기억해야 합니다.

기능의 최대 및 최소 포인트는 공통 이름으로 통합됩니다. 극점 .

이 지점에서 함수의 도함수는 0이거나 존재하지 않습니다( 필요 극한 조건).
그러나 필요조건은 기호일 뿐 기능의 극한값이 존재한다는 보장은 아니다. 극한의 충분조건는 도함수의 부호 변화입니다. 한 점에서 도함수가 부호를 "+"에서 "-"로 변경하면 이것이 함수의 최대 점입니다. 한 점에서 도함수가 부호를 "-"에서 "+"로 변경하면 이것이 함수의 최소점입니다. 함수의 도함수가 한 점에서 0과 같거나 존재하지 않지만 이 점을 통과할 때 도함수의 부호가 반대로 바뀌지 않으면 지정된 점은 함수의 극한점이 아닙니다. 이것은 함수 그래프의 변곡점, 중단점 또는 중단점이 될 수 있습니다.

문제 3

그림 1은 함수의 그래프를 보여줍니다. 와이 = NS (NS ) 구간(-10.5, 19)에 정의됩니다. 함수의 그래프에 대한 접선이 직선과 평행한 점의 수를 찾으십시오. 와이 = 6 또는 일치합니다.

선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖는다는 것을 기억하십시오. 와이 = kx + NS , 어디 케이- 축에 대한 이 직선의 경사 계수 황소... 우리의 경우 케이= 0, 즉 똑바로 와이 = 6 기울어지지 않았지만 축에 평행 황소... 이는 필요한 접선도 축과 평행해야 함을 의미합니다. 황소또한 기울기가 0이어야 합니다. 접선은 함수의 극점에서 이 속성을 갖습니다. 따라서 질문에 답하려면 차트의 모든 극점을 계산하기만 하면 됩니다. 그 중 4개가 있습니다 - 2개의 최대 포인트와 2개의 최소 포인트.

답변: 4

문제 4

기능 와이 = NS (NS ) 구간(-11; 23)에 정의됩니다. 세그먼트에서 함수의 극점의 합을 찾습니다.

표시된 세그먼트에서 2개의 극점을 볼 수 있습니다. 기능의 최대값에 도달한 지점 NS 1 = 4, 점에서 최소 NS 2 = 8.
NS 1 + NS 2 = 4 + 8 = 12.

답변: 12

문제 5

그림 1은 함수의 그래프를 보여줍니다. 와이 = NS (NS ) 구간(-10.5, 19)에 정의됩니다. 함수의 도함수가 있는 점의 수를 구합니다. NS " (NS )는 0과 같습니다.

함수의 도함수는 극점에서 0과 같으며 그 중 4개는 그래프에서 볼 수 있습니다.
최대 2점, 최소 2점입니다.

답변: 4

파생 그래프에서 함수의 특성을 결정하는 작업.

그림 1.

그림 2.

문제 6

그림 2는 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-11; 23)에 정의됩니다. 세그먼트 [−6; 2]의 어느 지점에서 함수 NS (NS )가 가장 큰 값을 취합니다.

표시된 구간에서 도함수는 양수가 아니므로 함수가 증가하지 않았습니다. 감소하거나 정지점을 통과했습니다. 따라서 이 함수는 세그먼트의 왼쪽 경계에서 가장 큰 값에 도달했습니다. NS = −6.

답변: −6

논평: 도함수의 그래프는 세그먼트 [−6; 2]에서 0과 세 번 같음을 보여줍니다. NS = −6, NS = −2, NS = 2. 하지만 그 시점에서 NS = −2, 부호가 바뀌지 않았으므로 이 시점에서 함수의 극한값이 있을 수 없습니다. 원래 함수 그래프에 변곡점이 있었을 가능성이 큽니다.

문제 7

그림 2는 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-11; 23)에 정의됩니다. 세그먼트의 어느 지점에서 함수가 가장 작은 값을 취합니다.

세그먼트에서 도함수는 완전히 양수이므로 이 세그먼트의 기능만 증가했습니다. 따라서 함수는 세그먼트의 왼쪽 경계에서 가장 작은 값에 도달했습니다. NS = 3.

답변: 3

문제 8

그림 2는 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-11, 23)에 정의됩니다. 함수의 최대 포인트 수 찾기 NS (NS ) 세그먼트 [−5; 10]에 속합니다.

극한값의 필요조건에 따라 함수의 최대값은 아마도도함수가 0인 지점에서. 주어진 세그먼트에서 다음은 포인트입니다. NS = −2, NS = 2, NS = 6, NS = 10. 그러나 충분조건에 따르면 확실히 될 것입니다도함수의 부호가 "+"에서 "-"로 변경되는 경우에만 해당합니다. 도함수의 그래프에서 우리는 나열된 점 중 점만이 그러한 점임을 알 수 있습니다. NS = 6.

답변: 1

문제 9

그림 2는 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-11, 23)에 정의됩니다. 함수의 극점 개수 찾기 NS (NS ) 세그먼트에 속합니다.

함수의 극값은 도함수가 0인 지점에 있을 수 있습니다. 도함수 그래프의 주어진 세그먼트에서 5개의 이러한 지점을 볼 수 있습니다. NS = 2, NS = 6, NS = 10, NS = 14, NS = 18. 하지만 그 시점에서 NS = 14 도함수는 부호가 변경되지 않았으므로 고려 대상에서 제외해야 합니다. 이렇게 하면 4점이 남습니다.

답변: 4

문제 10

그림 1은 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-10.5, 19)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 NS (NS ). 답에서 가장 긴 것의 길이를 표시하십시오.

함수의 증가 구간은 도함수의 양수 구간과 일치합니다. 그래프에서 (−9; −7), (4; 12), (18; 19) 세 가지를 볼 수 있습니다. 그 중 가장 긴 것은 두 번째입니다. 길이 엘 = 12 − 4 = 8.

답변: 8

과제 11

그림 2는 그래프를 보여줍니다 NS " (NS ) - 함수의 미분 NS (NS ) 구간(-11, 23)에 정의됩니다. 함수의 그래프에 접하는 점의 수를 찾으십시오. NS (NS )는 직선에 평행하다 와이 = −2NS − 11 또는 일치합니다.

주어진 직선 k = −2의 기울기(기울기의 탄젠트라고도 함). 우리는 평행하거나 일치하는 접선에 관심이 있습니다. 기울기가 같은 직선. 도함수의 기하학적 의미-함수 그래프의 고려된 지점에서 접선의 기울기에 따라 도함수가 -2와 같은 지점을 다시 계산합니다. 그림 2에는 이러한 점이 9개 있습니다. 그래프와 축의 값 -2를 통과하는 격자선의 교차점으로 계산하는 것이 편리합니다. 오이.

답변: 9

보시다시피, 동일한 그래프를 사용하여 함수 및 파생 상품의 동작에 대해 다양한 질문을 할 수 있습니다. 또한 동일한 질문이 다른 기능의 그래프에 기인할 수 있습니다. 시험에서 이 문제를 풀 때 주의하십시오. 그러면 매우 쉽게 보일 것입니다. 역도함수의 기하학적 의미에 관한 이 과제의 다른 유형의 문제는 다른 섹션에서 논의될 것입니다.

여보세요! 고품질의 체계적인 준비와 과학의 화강암을 갈기 위한 집념으로 다가오는 USE를 노리자!!! 입력게시물 끝에 경쟁 문제가 있습니다. 첫 번째가 되십시오! 이 제목의 기사 중 하나에서 함수의 그래프가 제공되고 극값, 증가(감소) 간격 및 기타에 관한 다양한 질문이 제기된 기사에서 우리는 당신과 함께합니다.

이 기사에서는 함수의 미분 그래프가 주어지는 수학 시험에 포함 된 문제를 고려하고 다음 질문이 제기됩니다.

1. 주어진 세그먼트의 어느 지점에서 함수가 가장 큰(또는 가장 작은) 값을 취합니다.

2. 주어진 세그먼트에 속하는 함수의 최대(또는 최소) 포인트 수를 찾습니다.

3. 주어진 세그먼트에 속하는 함수의 극점 개수를 찾습니다.

4. 주어진 세그먼트에 속하는 함수의 극점을 찾습니다.

5. 함수의 증가(또는 감소) 간격을 찾고 답에 이 간격에 포함된 정수 포인트의 합을 표시하십시오.

6. 함수의 증가(또는 감소) 간격을 찾습니다. 답에 이 구간 중 가장 큰 구간의 길이를 표시하십시오.

7. 함수 그래프의 접선이 y = kx + b 형식의 직선과 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾으십시오.

8. 함수 그래프의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로 좌표를 찾습니다.

다른 질문이 있을 수 있지만 이해하면 문제가 발생하지 않습니다.

기본 정보(간단히):

1. 증가하는 구간의 도함수는 양의 부호를 갖습니다.

특정 구간에서 특정 지점의 미분 값이 양수이면 이 구간에서 함수의 그래프가 증가합니다.

2. 감소 구간에서 미분은 음의 부호를 갖습니다.

특정 구간에서 특정 지점의 미분 값이 음수이면 이 구간에서 함수 그래프가 감소합니다.

3. 점 x에서의 도함수는 같은 점에서 함수의 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같습니다.

4. 함수의 극한점(최대-최소)에서 도함수는 0과 같습니다. 이 점에서 함수의 그래프에 대한 접선은 황소 축과 평행합니다.

이것은 분명히 이해하고 기억해야합니다 !!!

많은 사람들이 파생 그래프에 대해 혼란스러워합니다. 어떤 사람들은 실수로 그것을 함수 자체의 그래프로 착각합니다. 따라서 그러한 건물에서 그래프가 제공되는 것을 볼 때 즉시 주어진 조건에 주의를 집중하십시오: 함수의 그래프 또는 함수의 도함수 그래프?

이것이 함수 도함수의 그래프인 경우 함수 자체의 "반사"로 취급하여 단순히 이 함수에 대한 정보를 제공합니다.

다음 작업을 고려하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-2, 21)에 정의됩니다.

우리는 다음 질문에 답할 것입니다:

1. 세그먼트의 어느 지점에 함수가 있습니까? NS(NS)가장 큰 가치를 둡니다.

주어진 세그먼트에서 함수의 도함수는 음수이며, 이는 이 세그먼트에서 함수가 감소함을 의미합니다(구간 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 감소). 따라서, 함수의 가장 큰 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 점 7에서 달성됩니다.

답: 7

2. 세그먼트의 어느 지점에 함수가 있습니까? NS(NS)

이 미분 그래프를 기반으로 다음과 같이 말할 수 있습니다. 주어진 세그먼트에서 함수의 도함수는 양수이며, 이는 함수가 이 세그먼트에서 증가함을 의미합니다(구간 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 증가함). 따라서 함수의 가장 작은 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 점 x = 3에 도달합니다.

답: 3

3. 함수의 최대 포인트 수 찾기 NS(NS)

최대 포인트는 도함수의 부호가 양수에서 음수로 변경되는 지점에 해당합니다. 기호가 이러한 방식으로 변경되는 위치를 살펴보겠습니다.

세그먼트(3, 6)에서 미분은 양수이고 세그먼트(6, 16)에서 미분은 음수입니다.

세그먼트(16; 18)에서 파생 상품은 양수이고 세그먼트(18; 20)에서 파생 상품은 음수입니다.

따라서 주어진 세그먼트에서 함수는 두 개의 최대 점 x = 6 및 x = 18을 갖습니다.

답: 2

4. 함수의 최소점 수 찾기 NS(NS)세그먼트에 속합니다.

최소점은 도함수의 부호가 음수에서 양수로 변경되는 지점에 해당합니다. 구간(0, 3)에 대한 미분은 음수이고 구간(3, 4)에서 양수입니다.

따라서 이 함수는 세그먼트에서 단 하나의 최소점 x = 3을 갖습니다.

* 답을 기록할 때 주의하세요 - x의 값이 아닌 점수를 기록하는 것이므로 부주의로 인해 이런 실수가 생길 수 있습니다.

답: 1

5. 함수의 극점 개수 찾기 NS(NS)세그먼트에 속합니다.

찾으셔야 하니 참고하세요 양극한점(최대점과 최소점 모두).

극한점은 도함수 부호의 변화점에 해당합니다(양수에서 음수 또는 그 반대로). 조건의 주어진 그래프에서 이들은 함수의 0입니다. 도함수는 점 3, 6, 16, 18에서 사라집니다.

따라서 함수는 세그먼트에 4개의 극점을 갖습니다.

답: 4

6. 함수 증가 구간 찾기 NS(NS)

이 함수의 오름차순 간격 NS(NS)도함수가 양수인 구간, 즉 구간 (3, 6) 및 (16, 18)에 해당합니다. 간격의 테두리는 포함되지 않습니다(괄호 - 테두리는 간격에 포함되지 않음, 사각형 - 포함됨). 이 간격에는 정수 포인트 4, 5, 17이 포함됩니다. 합계는 4 + 5 + 17 = 26입니다.

답: 26

7. 함수 감소 구간 찾기 NS(NS)주어진 간격으로. 답에는 이 구간에 포함된 전체 점수의 합을 표시하십시오.

함수 간격 줄이기 NS(NS)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 이 문제에서 이것은 구간(-2; 3), (6; 16), (18; 21)입니다.

이러한 간격에는 -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20과 같은 정수 포인트가 포함됩니다. 그 합계는 다음과 같습니다.

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

답: 140

* 조건에 주의: 경계가 간격에 포함되는지 여부. 경계가 포함된 경우 솔루션 프로세스에서 고려되는 간격에서 이러한 경계도 고려해야 합니다.

8. 함수 증가 구간 찾기 NS(NS)

함수의 오름차순 범위 NS(NS)함수의 도함수가 양수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 (3, 6) 및 (16, 18)을 표시했습니다. 그 중 가장 큰 것은 간격(3, 6)이며 길이는 3입니다.

답: 3

9. 함수 감소 구간 찾기 NS(NS)... 답에서 가장 긴 것의 길이를 표시하십시오.

함수 간격 줄이기 NS(NS)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 그것들을 표시했습니다. 이들은 간격 (-2; 3), (6; 16), (18; 21)이고 길이는 각각 5, 10, 3입니다.

가장 큰 것의 길이는 10입니다.

답: 10

10. 함수의 그래프에 접하는 점의 수를 찾으십시오. NS(NS)직선 y = 2x + 3에 평행하거나 일치합니다.

접선의 미분 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선은 직선 y = 2x + 3에 평행하거나 일치하므로 기울기는 2입니다. 따라서 y ′(x 0) = 2인 점의 수를 찾아야 합니다. 기하학적으로 이것은 직선과 미분 그래프의 교차점 수 y = 2. 이 간격에는 4개의 그러한 점이 있습니다.

답: 4

11. 함수의 극점 찾기 NS(NS)세그먼트에 속합니다.

함수의 극한점은 해당 도함수가 0인 점이며 이 점 근처에서 도함수는 부호를 변경합니다(양수에서 음수 또는 그 반대로). 세그먼트에서 도함수의 그래프가 가로축을 교차하고 도함수가 음수에서 양수로 부호를 변경합니다. 따라서 점 x = 3은 극점입니다.

답: 3

12. 그래프 y = f(x)의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로 좌표를 찾으십시오. 그 중 가장 큰 것을 답에 표시하십시오.

그래프 y = f(x)에 대한 접선은 도함수가 0인 지점에서만 가로축에 평행하거나 일치할 수 있습니다(이것은 도함수가 없는 주변에서 극한점 또는 정지점이 될 수 있습니다. 기호를 변경). 이 그래프는 도함수가 점 3, 6, 16, 18에서 0과 같다는 것을 보여줍니다. 가장 큰 것은 18입니다.

다음과 같은 방법으로 추론을 구축할 수 있습니다.

접선의 미분 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선이 가로 좌표와 평행하거나 일치하므로 기울기는 0입니다(사실 0도의 접선은 0입니다). 따라서 기울기가 0과 같은 점을 찾고 있습니다. 이는 미분 값이 0과 같다는 것을 의미합니다. 도함수는 그래프가 가로축과 교차하는 점에서 0과 같으며 점 3, 6, 16, 18입니다.

답: 18

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-8, 4)에 정의됩니다. 세그먼트 [-7, -3]의 어느 지점에서 함수 NS(NS)가장 작은 값을 취합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-7, 14)에 정의됩니다. 함수의 최대 포인트 수 찾기 NS(NS)세그먼트 [-6; 9]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-18, 6)에 정의됩니다. 함수의 최소점 수 찾기 NS(NS)세그먼트 [–13; 1]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-11, -11)에 정의됩니다. 함수의 극점 개수 찾기 NS(NS)세그먼트에 속하는 [–10; -10].

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-7, 4)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 NS(NS)... 답에는 이 구간에 포함된 전체 점수의 합을 표시하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-5, 7)에 정의됩니다. 감소하는 함수의 구간 찾기 NS(NS)... 답에는 이 구간에 포함된 전체 점수의 합을 표시하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 y =NS'(NS)- 함수의 미분 NS(NS)간격(-11, 3)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 NS(NS)... 답에서 가장 긴 것의 길이를 표시하십시오.

F 그림은 그래프를 보여줍니다

문제의 조건은 동일합니다(우리가 고려한). 세 숫자의 합을 구합니다.

1. 함수 f(x)의 극값의 제곱의 합.

2. 함수 f(x)의 최대 점 합과 최소 점 합의 제곱 간의 차이.

3. 직선 y = -3x + 5에 평행한 f(x)에 대한 접선의 수.

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