분모가 다른 세 분수의 곱셈. 분수
분수로 할 수 있는 또 다른 작업은 곱하기입니다. 우리는 문제를 해결할 때 기본 규칙을 설명하고 일반 분수에 곱하는 방법을 보여 주려고 노력할 것입니다. 자연수세 분수 이상을 올바르게 곱하는 방법.
먼저 기본 규칙을 작성해 보겠습니다.
정의 1
하나의 일반 분수를 곱하면 결과 분수의 분자는 원래 분수의 분자 곱과 같고 분모는 분모의 곱과 같습니다. 문자 그대로 두 분수 a / b 및 c / d에 대해 이것은 a b c d = a c b d로 표현할 수 있습니다.
이 규칙을 올바르게 적용하는 방법의 예를 살펴보겠습니다. 한 변이 하나의 숫자 단위와 같은 정사각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 그러면 그림의 면적은 1제곱미터가 됩니다. 단위. 정사각형을 숫자 단위의 변이 1 4 및 1 8인 동일한 직사각형으로 나누면 이제 32개의 직사각형으로 구성됩니다(8 4 = 32이기 때문에). 따라서 각각의 면적은 전체 그림 면적의 1 32, 즉 1 32제곱미터 단위.
측면이 5 8 숫자 단위 및 3 4 숫자 단위와 같은 음영 처리된 조각이 있습니다. 따라서 면적을 계산하려면 첫 번째 분수에 두 번째 분수를 곱해야 합니다. 5 8 · 3 4 sq와 같습니다. 단위. 그러나 조각에 포함된 사각형의 수를 간단히 셀 수 있습니다. 그 중 15개가 있습니다. 즉, 전체 면적 15 32 평방 단위입니다.
5 3 = 15 및 8 4 = 32이므로 다음 등식을 작성할 수 있습니다.
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
이것은 b c d = a c b d로 표현되는 일반 분수의 곱셈에 대해 우리가 공식화한 규칙의 확인입니다. 규칙적인 분수와 불규칙한 분수 모두에 대해 동일하게 작동합니다. 그것을 사용하여 분모가 다르고 동일한 분수를 곱할 수 있습니다.
일반 분수에 대한 몇 가지 곱셈 문제에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.
실시예 1
7 11에 9 8을 곱합니다.
해결책
먼저 7에 9를 곱하여 표시된 분수의 분자의 곱을 계산해 보겠습니다. 우리는 63을 얻었습니다. 그런 다음 분모의 곱을 계산하여 11 8 = 88을 얻습니다. 두 숫자를 답으로 만들어 봅시다: 63 88.
전체 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
답변: 7 11 9 8 = 63 88.
답변에 취소 가능한 분수가 있으면 계산을 끝내고 취소를 수행해야 합니다. 잘못된 분수를 얻으면 전체 부분을 선택해야 합니다.
실시예 2
분수의 곱 계산 4 15 및 55 6.
해결책
위에서 연구한 규칙에 따라 분자에 분자를 곱하고 분모에 분모를 곱해야 합니다. 솔루션 레코드는 다음과 같습니다.
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
취소 가능한 분수가 있습니다. 10의 배수가 되는 것.
분수를 줄여봅시다: 220 90 GCD (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. 결과적으로 전체 부분을 선택하고 대분수 22 9 = 2 4 9를 얻는 잘못된 분수를 얻었습니다.
답변: 4 15 55 6 = 2 4 9.
계산의 편의를 위해 곱셈 연산을 수행하기 전에 원래 분수를 줄일 수도 있습니다. 이를 위해 분수를 a · c b · d 형식으로 줄여야 합니다. 변수의 값을 소인수로 분해하고 같은 값을 줄이자.
특정 작업의 데이터를 사용하여 어떻게 보이는지 설명하겠습니다.
실시예 3
곱 4 15 55 6을 계산합니다.
해결책
곱셈 규칙에 따라 계산을 작성해 보겠습니다. 우리는 얻을 것이다:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 및 6 = 2 3이므로 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3입니다.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
답변: 4 15 55 6 = 2 4 9.
일반 분수의 곱셈이 발생하는 수치 표현식에는 변위 속성이 있습니다. 즉, 필요한 경우 요인의 순서를 변경할 수 있습니다.
a b c d = c d a b = a c b d
분수에 자연수를 곱하는 방법
바로 기본원칙을 적어두고 실전에서 설명을 해보도록 하겠습니다.
정의 2
일반 분수에 자연수를 곱하려면 이 분수의 분자에 이 숫자를 곱해야 합니다. 이 경우 최종 분수의 분모는 원본 분수의 분모와 같습니다. 공통 분수... 어떤 분수 a b에 자연수 n을 곱하는 것은 공식 a b n = a n b로 쓸 수 있습니다.
자연수는 분모가 1인 일반 분수로 나타낼 수 있음을 기억하면 이 공식을 쉽게 이해할 수 있습니다.
a b n = ab n 1 = 에이 n b 1 = 에이 n b
구체적인 예를 들어 생각을 명확히 합시다.
실시예 4
2 27의 곱을 5로 계산합니다.
해결책
원래 분수의 분자에 두 번째 요소를 곱한 결과 10이 됩니다. 위의 규칙 덕분에 결과적으로 10 27을 얻습니다. 전체 솔루션은 이 게시물에 나와 있습니다.
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
답변: 2 27 5 = 10 27
자연수에 일반 분수를 곱할 때 결과를 축약하거나 대분수로 나타내야 하는 경우가 많습니다.
실시예 5
조건: 8 x 5 12의 곱을 계산합니다.
해결책
위의 규칙에 따라 자연수에 분자를 곱합니다. 결과적으로 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12가 됩니다. 마지막 분수는 2로 나눌 수 있는 기호가 있으므로 이를 줄여야 합니다.
LCM (40, 12) = 4이므로 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
이제 전체 부분을 선택하고 완성된 답을 기록하기만 하면 됩니다. 10 3 = 3 1 3.
이 항목에서 전체 솔루션을 볼 수 있습니다. 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
분자와 분모를 소인수로 확장하여 분수를 소거할 수도 있으며 결과는 정확히 같습니다.
답변: 5 12 8 = 3 1 3.
자연수에 분수를 곱한 수식에도 이동하는 속성이 있습니다. 즉, 요인의 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
에이 b n = n 에이 b = 에이 n b
세 개 이상의 분수를 곱하는 방법
우리는 자연수를 곱하는 특징과 동일한 속성을 일반 분수를 곱하는 작업으로 확장할 수 있습니다. 이것은 이러한 개념의 정의에서 비롯됩니다.
조합 및 변위 속성에 대한 지식 덕분에 3개 이상의 분수를 곱하는 것이 가능합니다. 더 편리한 위치에 승수를 재배열하거나 계산하기 쉽도록 대괄호를 배열하는 것이 허용됩니다.
이것이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보여 드리겠습니다.
실시예 6
4개의 분수 1 20, 12 5, 3 7, 5 8을 곱합니다.
솔루션: 먼저 곡을 녹음해 보겠습니다. 우리는 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8을 얻습니다. 모든 분자와 모든 분모를 곱해야 합니다. 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8.
곱하기를 시작하기 전에 우리는 그것을 조금 더 쉽게 만들고 추가 감소를 위해 소수의 숫자를 소인수로 인수할 수 있습니다. 결과 분수를 줄이는 것보다 쉽습니다.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
답변: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9 280.
실시예 7
숫자 5를 곱하십시오. 7 8 12 8 5 36 10.
해결책
편의를 위해 분수 7 8을 숫자 8로, 숫자 12를 분수 5 36으로 그룹화할 수 있습니다. 이 경우 미래의 약어가 명확해지기 때문입니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 3 = 5 3 50 116 2 3
답변: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
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기원전 5세기에 고대 그리스 철학자 엘레아의 제노는 그의 유명한 아포리아를 공식화했는데, 그 중 가장 유명한 아포리아는 "아킬레스와 거북이"입니다. 소리는 다음과 같습니다.아킬레스가 거북이보다 10배 빠르며 거북이보다 천 걸음 뒤처져 있다고 가정해 봅시다. 아킬레스가 이 거리를 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 100보를 기어갑니다. 아킬레우스가 100보를 달리면 거북이는 10보를 더 기어가는 식입니다. 이 과정은 무기한 계속될 것이며 아킬레스는 거북이를 따라잡지 못할 것입니다.
이 추론은 모든 후속 세대에게 논리적 충격으로 다가왔습니다. 아리스토텔레스, 디오게네스, 칸트, 헤겔, 힐베르트 ... 그들 모두는 어떤 식 으로든 Zeno의 아포리아를 고려했습니다. 충격이 너무 강해서 " ... 토론은 현재 계속되고 있으며 과학계는 아직 역설의 본질에 대한 공통된 의견에 도달하지 못했습니다 ... 수학적 분석, 집합 이론, 새로운 물리적 및 철학적 접근이 문제 연구에 참여했습니다 ; 그들 중 누구도 질문에 대한 일반적으로 받아 들여지는 해결책이되지 않았습니다 ..."[위키피디아, Zeno's Aporia"]. 자신이 속고 있다는 것은 누구나 알지만 속임수가 무엇인지는 아무도 모른다.
수학의 관점에서 Zeno는 아포리아에서 크기에서 크기로의 전환을 명확하게 보여주었습니다. 이 전환은 상수 대신 적용을 의미합니다. 내가 아는 한, 가변 측정 단위를 적용하는 수학적 장치는 아직 개발되지 않았거나 Zeno의 아포리아에 적용되지 않았습니다. 우리의 일반적인 논리를 적용하면 함정에 빠지게 됩니다. 우리는 사고의 관성에 의해 일정한 시간 측정 단위를 역수에 적용합니다. 물리적인 관점에서 볼 때 아킬레스건이 거북이와 수평이 되는 순간 완전히 멈출 때까지 시간 팽창처럼 보입니다. 시간이 멈춘다면 아킬레스는 더 이상 거북이를 따라잡을 수 없습니다.
우리가 익숙한 논리를 뒤집으면 모든 것이 제자리에 들어갑니다. 아킬레스는 일정한 속도로 달립니다. 그의 경로의 각 후속 세그먼트는 이전 세그먼트보다 10배 더 짧습니다. 따라서 그것을 극복하는 데 소요되는 시간은 이전보다 10 배 적습니다. 이런 상황에서 '무한'이라는 개념을 적용한다면 '아킬레스가 거북이를 무한히 빠르게 따라잡을 것이다'라고 말하는 것이 맞을 것이다.
이 논리적 함정을 어떻게 피할 수 있습니까? 일정한 시간 단위를 유지하고 뒤로 가지 마십시오. Zeno의 언어로 다음과 같이 보입니다.
아킬레우스가 천 걸음을 달리는 동안 거북이는 같은 방향으로 백 걸음을 기어갑니다. 첫 번째 시간과 같은 다음 시간 간격 동안 아킬레스는 천 걸음을 더 달릴 것이고 거북이는 백 걸음을 기어갈 것입니다. 이제 아킬레스는 거북이보다 800보 앞서 있습니다.
이 접근 방식은 논리적 역설 없이 현실을 적절하게 설명합니다. 그러나 이것은 문제에 대한 완전한 해결책이 아닙니다. 빛의 속도의 초능력에 대한 아인슈타인의 진술은 Zeno aporia "Achilles and Turtle"과 매우 유사합니다. 우리는 여전히 이 문제를 연구하고 재고하고 해결해야 합니다. 그리고 솔루션은 무한히 많은 숫자가 아니라 측정 단위로 찾아야 합니다.
또 다른 흥미로운 아포리아 Zeno는 날아다니는 화살에 대해 다음과 같이 이야기합니다.
날아가는 화살은 움직이지 않고, 매 순간 정지해 있기 때문에, 매 순간 정지해 있기 때문에 항상 정지해 있다.
이 아포리아에서 논리적 역설은 매우 간단하게 극복됩니다. 매 순간 날아가는 화살이 공간의 다른 지점에 있음을 명확히 하는 것으로 충분합니다. 이는 실제로 움직임입니다. 여기서 또 다른 점에 주목해야 합니다. 도로 위의 한 장의 자동차 사진으로는 그 움직임의 사실이나 거리를 결정하는 것이 불가능합니다. 자동차의 움직임의 사실을 확인하려면 동일한 지점에서 다른 시점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 거리를 결정할 수는 없습니다. 자동차까지의 거리를 결정하려면 동시에 공간의 다른 지점에서 찍은 두 장의 사진이 필요하지만 그로부터의 움직임 사실을 결정하는 것은 불가능합니다(물론 계산에는 추가 데이터가 필요하며 삼각법이 도움이 될 것입니다 너). 특히 주목하고 싶은 점은 두 점의 시간과 공간은 서로 다른 연구 기회를 제공하기 때문에 혼동해서는 안 되는 것입니다.
2018년 7월 4일 수요일
집합과 다중 집합의 구분은 Wikipedia에 잘 설명되어 있습니다. 우리는 본다.
보시다시피 "집합에는 동일한 요소가 두 개 있을 수 없습니다." 하지만 동일한 요소가 집합에 있는 경우 이러한 집합을 "다중집합"이라고 합니다. 그러한 부조리의 논리는 이성적인 존재에 의해 결코 이해되지 않을 것이다. '완전히'라는 단어에서 지능이 부족한 말하는 앵무새와 훈련된 원숭이의 수준입니다. 수학자들은 그들의 터무니없는 생각을 우리에게 전하는 평범한 훈련사처럼 행동합니다.
다리를 건설한 엔지니어들은 다리 테스트 중에 다리 아래 보트에 있었습니다. 다리가 무너지면 무능한 엔지니어는 자신이 만든 잔해 아래에서 사망했습니다. 다리가 하중을 견딜 수 있다면 재능 있는 엔지니어가 다른 다리를 지을 것입니다.
수학자들이 '추어, 집에 있다', '수학은 추상적인 개념을 연구한다'라는 말 뒤에 숨는다 해도 현실과 떼려야 뗄 수 없는 하나의 탯줄이 있다. 이 탯줄은 돈입니다. 수학자 자신에게 수학적 집합론을 적용해 보자.
우리는 수학을 아주 잘 공부했고 지금은 계산대에 앉아서 급여를 주고 있습니다. 여기 그의 돈을 위해 수학자가 온다. 우리는 그에게 전체 금액을 계산하고 같은 교단의 지폐를 넣는 다른 더미에 테이블 위에 놓습니다. 그런 다음 우리는 각 더미에서 하나의 지폐를 꺼내 수학자에게 그의 "수학적 급여 세트"를 건네줍니다. 동일한 요소가 없는 집합이 동일한 요소를 가진 집합과 같지 않다는 것을 증명할 때만 나머지 지폐를 받을 것이라는 수학을 설명하겠습니다. 여기서부터 재미가 시작됩니다.
우선, 대리인의 논리가 작동합니다. "다른 사람에게 적용할 수 있지만 나에게는 적용할 수 없습니다!" 또한 동일한 금액의 지폐에는 다른 지폐 번호가 있으므로 동일한 요소로 간주될 수 없음을 확인하기 시작할 것입니다. 좋아요, 급여를 동전으로 계산해 보겠습니다. 동전에는 숫자가 없습니다. 여기서 수학자는 물리학을 미친 듯이 기억하기 시작할 것입니다. 동전마다 먼지의 양이 다르고, 결정 구조와 각 동전의 원자 배열이 독특합니다...
이제 가장 흥미로운 질문이 있습니다. 다중 집합의 요소가 집합의 요소로 바뀌거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 그러한 선은 존재하지 않습니다. 모든 것은 무당에 의해 결정되며 과학은 여기 근처에 있지 않습니다.
이봐. 우리는 같은 피치의 축구 경기장을 선택합니다. 필드의 면적은 동일하므로 다중 집합이 있습니다. 하지만 같은 경기장의 이름을 생각해 보면 이름이 다르기 때문에 많은 것을 얻을 수 있습니다. 보시다시피 동일한 요소 집합은 동시에 집합과 다중 집합입니다. 어떻게 정확합니까? 그리고 여기서 수학자-샤먼-슐러는 자신의 소매에서 트럼프 에이스를 꺼내서 집합이나 다중 집합에 대해 이야기하기 시작합니다. 어쨌든 그는 자신이 옳다는 것을 우리에게 확신시킬 것입니다.
현대 샤먼이 집합 이론으로 작동하는 방식을 이해하고 현실에 연결하려면 한 가지 질문에 답하는 것으로 충분합니다. 한 집합의 요소가 다른 집합의 요소와 어떻게 다른가요? "하나의 전체가 아닌 것으로 생각할 수 있다" 또는 "전체로 생각할 수 없다"는 표현 없이 보여드리겠습니다.
2018년 3월 18일 일요일
숫자의 자릿수의 합은 수학과 아무 관련이없는 탬버린을 가진 무당의 춤입니다. 예, 수학 수업에서 우리는 숫자의 자릿수의 합을 찾아 사용하도록 배웠습니다. 그러나 그것이 그들의 후손에게 기술과 지혜를 가르치기 위해 그들이 무당인 이유입니다. 그렇지 않으면 무당은 단순히 죽을 것입니다.
증거가 필요하십니까? Wikipedia를 열고 숫자의 합 페이지를 찾습니다. 존재하지 않습니다. 수학에는 모든 숫자의 자릿수의 합을 구하는 공식이 없습니다. 결국, 숫자는 우리가 숫자를 쓰는 데 도움이 되는 그래픽 기호이며 수학 언어로 작업은 다음과 같이 들립니다. "모든 숫자를 나타내는 그래픽 기호의 합 찾기." 수학자들은 이 문제를 해결할 수 없지만 샤먼은 기본적입니다.
주어진 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을, 어떻게 하는지 봅시다. 그래서, 숫자 12345가 있다고 가정해 봅시다. 이 숫자의 자릿수의 합을 찾기 위해 무엇을 해야 할까요? 모든 단계를 순서대로 살펴보겠습니다.
1. 종이에 번호를 적습니다. 우리는 무엇을 했습니까? 숫자를 숫자의 그래픽 기호로 변환했습니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.
2. 하나의 결과 사진을 별도의 숫자가 포함된 여러 사진으로 자릅니다. 그림을 자르는 것은 수학적인 작업이 아닙니다.
3. 개별 그래픽 기호를 숫자로 변환합니다. 이것은 수학적인 연산이 아닙니다.
4. 결과 숫자를 더하십시오. 이제 수학입니다.
12345의 숫자의 합은 15입니다. 이것은 수학자들이 사용하는 무당의 "재단 및 봉제 과정"입니다. 하지만 그게 다가 아닙니다.
수학의 관점에서 우리가 숫자를 쓰는 숫자 체계는 중요하지 않습니다. 따라서 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 수학에서 숫자 체계는 숫자 오른쪽에 첨자로 표시됩니다. 큰 숫자 12345로 머리를 속이고 싶지 않습니다. 기사에서 숫자 26을 고려하십시오. 이 숫자를 2진수, 8진수, 10진수 및 16진수 시스템으로 작성해 보겠습니다. 우리는 현미경으로 모든 단계를 보지 않을 것입니다. 우리는 이미 그렇게 했습니다. 결과를 보자.
보시다시피 다른 숫자 체계에서는 같은 숫자의 자릿수의 합이 다릅니다. 이 결과는 수학과 관련이 없습니다. 직사각형의 면적을 미터와 센티미터로 결정할 때 완전히 다른 결과를 얻는 것과 같습니다.
모든 숫자 체계에서 0은 동일하게 보이며 자릿수 합이 없습니다. 이것은 사실에 대한 또 다른 주장입니다. 수학자들을 위한 질문: 수학에서 숫자가 아닌 것은 어떻게 지정됩니까? 수학자에게 숫자 외에는 존재하지 않는 것은 무엇입니까? 무당의 경우 허용할 수 있지만 과학자의 경우에는 허용되지 않습니다. 현실은 숫자가 전부가 아닙니다.
얻은 결과는 숫자 체계가 숫자의 측정 단위라는 증거로 간주되어야 합니다. 결국, 우리는 측정 단위가 다른 숫자를 비교할 수 없습니다. 동일한 수량의 다른 측정 단위를 사용한 동일한 작업이 비교 후 다른 결과로 이어진다면 이는 수학과는 관련이 없습니다.
진정한 수학이란 무엇인가? 이것은 수학적 작업의 결과가 숫자의 크기, 사용된 측정 단위 및 이 작업을 수행하는 사람에 따라 달라지지 않는 경우입니다.
아야! 여기는 여자화장실 아님?
- 젊은 여성! 승천하는 영혼들의 무분별한 거룩함을 연구하는 실험실입니다! 위쪽 및 위쪽 화살표의 후광. 다른 화장실은?
여성 ... 위의 후광과 아래쪽 화살표는 남성입니다.
이런 디자인 아트가 하루에도 몇 번씩 눈앞에 번쩍이면
그런 다음 차에서 갑자기 이상한 아이콘을 발견하는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
개인적으로 똥싸는 사람(한 장의 사진)에서 영하 4도(여러 장의 사진 구성: 빼기 기호, 숫자 4, 도 지정)가 보이도록 스스로 노력합니다. 그리고 난 이 여자가 바보라고 생각하지 않아, 아니 물리학에 정통한... 그녀는 그래픽 이미지에 대한 고정 관념을 가지고 있습니다. 그리고 수학자들은 끊임없이 우리에게 이것을 가르칩니다. 여기 예가 있습니다.
1A는 "마이너스 4도" 또는 "1 a"가 아닙니다. 이것은 16진수 표기법으로 "똥을 싼 사람" 또는 숫자 "26"입니다. 이 숫자 체계에서 끊임없이 일하는 사람들은 자동으로 숫자와 문자를 하나의 그래픽 기호로 인식합니다.
) 및 분모에 의한 분모 (우리는 제품의 분모를 얻습니다).
분수를 곱하는 공식:
예를 들어:
분자와 분모를 곱하기 전에 분수를 줄일 수 있는지 확인해야 합니다. 분수를 줄일 수 있다면 더 많은 계산을 하기가 더 쉬울 것입니다.
일반 분수를 분수로 나누는 것.
자연수의 참여로 분수의 나눗셈.
들리는 것처럼 무섭지 않습니다. 덧셈의 경우와 마찬가지로 정수를 분모가 1인 분수로 변환합니다. 예를 들어:
혼합 분수의 곱셈.
분수 곱하기 규칙(혼합):
- 혼합 분수를 불규칙 분수로 변환하는 단계;
- 분수의 분자와 분모를 곱합니다.
- 우리는 분수를 줄입니다.
- 받은 경우 가분수, 그런 다음 가분수를 혼합 분수로 변환합니다.
메모!대분수에 다른 대분수를 곱하려면 먼저 가분수 형태로 가져온 다음 일반 분수의 곱셈 규칙에 따라 곱해야 합니다.
분수에 자연수를 곱하는 두 번째 방법.
일반 분수에 숫자를 곱하는 두 번째 방법을 사용하는 것이 더 편리할 수 있습니다.
메모!분수에 자연수를 곱하려면 분수의 분모를 이 숫자로 나누고 분자는 그대로 두어야 합니다.
위의 예에서 분수의 분모를 나머지 없이 자연수로 나눌 때 이 옵션을 사용하는 것이 더 편리함을 알 수 있습니다.
다층 분수.
고등학교에서는 3층(또는 그 이상) 분수가 종종 발견됩니다. 예시:
이러한 분수를 일반적인 형태로 가져오려면 2점으로 나누기를 사용합니다.
메모!분수의 나눗셈에서 나눗셈의 순서는 매우 중요합니다. 여기서 헷갈리기 쉬우니 주의하세요.
메모, 예를 들어:
1을 임의의 분수로 나눌 때 결과는 역전된 동일한 분수가 됩니다.
분수의 곱셈과 나눗셈에 대한 실용적인 팁:
1. 분수식 작업에서 가장 중요한 것은 정확성과 주의력입니다. 모든 계산을 집중하고 명확하게 신중하고 정확하게 수행하십시오. 머리 속으로 계산하는 데 혼란스러워하는 것보다 초안에 몇 줄을 더 쓰는 것이 좋습니다.
2. 다른 유형의 분수 작업에서 - 일반 분수의 형태로 이동하십시오.
3. 줄일 수 없을 때까지 모든 분수를 줄입니다.
4. 다층 분수 표현식은 2 점으로 나누어서 일반 분수 표현식으로 변환됩니다.
5. 단순히 분수를 뒤집어서 단위를 정신적으로 분수로 나눕니다.
지난 시간에 분수를 더하고 빼는 방법을 배웠습니다("분수 더하기 및 빼기" 단원 참조). 이러한 작업에서 가장 어려운 순간은 분수를 다음으로 줄이는 것이었습니다. 공통분모.
이제 곱셈과 나눗셈을 다룰 차례입니다. 좋은 소식은 이러한 연산이 더하기 및 빼기보다 수행하기가 훨씬 더 쉽다는 것입니다. 우선, 전용 정수 부분이 없는 두 개의 양수 분수가 있는 가장 간단한 경우를 고려하십시오.
두 분수를 곱하려면 분자와 분모를 따로 곱해야 합니다. 첫 번째 숫자는 새 분수의 분자가 되고 두 번째 숫자는 분모가 됩니다.
두 분수를 분리하려면 첫 번째 분수에 "역전된" 두 번째 분수를 곱해야 합니다.
지정:
분수의 나눗셈은 곱셈으로 축소된다는 정의에서 비롯됩니다. 분수를 "뒤집기"하려면 분자와 분모의 위치를 바꾸는 것으로 충분합니다. 따라서 전체 수업에서는 주로 곱셈을 고려할 것입니다.
곱셈의 결과로 취소 가능한 분수가 발생할 수 있으며(자주 발생하기도 함) 물론 취소해야 합니다. 모든 수축 후에 분수가 잘못된 것으로 판명되면 전체 부분을 선택해야합니다. 그러나 곱셈에서 확실히 일어나지 않을 것은 공통 분모로 축소하는 것입니다. 십자형 방법이 없고, 가장 큰 요인과 최소 공배수입니다.
정의에 따르면 다음이 있습니다.
전체 분수와 음수 분수의 곱셈
분수에 정수 부분이 있으면 잘못된 부분으로 변환해야 하며 위에서 설명한 체계에 따라 곱해야 합니다.
분수의 분자, 분모 또는 그 앞에 빼기가 있으면 곱셈 범위에서 빼거나 다음 규칙에 따라 제거할 수도 있습니다.
- 더하기와 빼기는 빼기를 제공합니다.
- 두 개의 부정이 긍정을 만듭니다.
지금까지 이러한 규칙은 전체 부분을 제거해야 하는 경우 음수 분수를 더하거나 뺄 때만 발생했습니다. 생산의 경우 한 번에 여러 가지 단점을 "타는" 것으로 일반화할 수 있습니다.
- 완전히 사라질 때까지 마이너스를 쌍으로 지우십시오. 극단적 인 경우 하나의 마이너스가 생존 할 수 있습니다. 쌍이없는 것입니다.
- 빼기가 없으면 작업이 완료된 것입니다. 곱하기를 시작할 수 있습니다. 마지막 빼기가 지워지지 않으면 쌍을 찾지 못했기 때문에 곱셈 한계 밖으로 이동합니다. 음수 분수를 얻습니다.
일. 표현의 의미 찾기:
모든 분수를 잘못된 분수로 변환한 다음 마이너스를 곱셈 한계 밖으로 이동합니다. 남은 것 곱하기 일반적인 규칙... 우리는 다음을 얻습니다:
강조 표시된 정수 부분이 있는 분수 앞에 있는 빼기는 정수 부분이 아니라 특히 전체 분수를 나타냄을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다(이는 마지막 두 예에 적용됨).
또한 음수에주의하십시오. 곱할 때 괄호로 묶습니다. 이것은 곱셈 기호에서 빼기를 분리하고 전체 표기법을 보다 정확하게 만들기 위해 수행됩니다.
즉석에서 분수 줄이기
곱셈은 시간이 많이 걸리는 작업입니다. 여기에 있는 숫자는 상당히 큰 것으로 판명되었으며 작업을 단순화하기 위해 분수를 훨씬 더 줄이려고 할 수 있습니다. 곱하기 전에... 실제로 분수의 분자와 분모는 본질적으로 일반적인 요소이므로 분수의 기본 속성을 사용하여 취소할 수 있습니다. 예를 살펴보십시오.
일. 표현의 의미 찾기:
정의에 따르면 다음이 있습니다.
모든 예에서 감소된 숫자와 남은 숫자는 빨간색으로 표시됩니다.
참고: 첫 번째 경우에는 승수가 완전히 감소했습니다. 그 대신에 일반적으로 말해서 생략할 수 있는 몇 가지만 있습니다. 두 번째 예에서는 완전한 감소를 달성할 수 없었지만 총 계산량은 여전히 감소했습니다.
그러나 분수의 덧셈과 뺄셈은 어떤 경우에도 이 기법을 사용하지 마십시오! 예, 때로는 줄이고 싶은 유사한 숫자가 있습니다. 여기, 살펴보세요:
당신은 그것을 할 수 없습니다!
더할 때 합이 숫자의 곱이 아니라 분수의 분자에 나타나기 때문에 오류가 발생합니다. 결과적으로 이 속성에서 분수의 주요 속성을 적용할 수 없습니다. 그것은 온다숫자를 곱하는 것입니다.
분수를 줄이는 데는 다른 이유가 없으므로 이전 문제에 대한 올바른 솔루션은 다음과 같습니다.
올바른 솔루션:
보시다시피 정답은 그다지 예쁘지 않은 것으로 나타났습니다. 일반적으로 주의하십시오.
공통 분수의 곱셈
예를 들어 보겠습니다.
$ \ frac (1) (3) $를 접시에 있는 사과의 일부라고 하자. $ \ frac (1) (2) $ 부분을 찾아야 합니다. 필요한 부분은 분수 $ \ frac (1) (3) $와 $ \ frac (1) (2) $를 곱한 결과입니다. 두 분수를 곱한 결과는 일반 분수입니다.
두 분수의 곱하기
일반 분수 곱하기 규칙:
분수에 분수를 곱한 결과는 분수이며 분자는 곱한 분수의 분자 곱과 같고 분모는 분모의 곱과 같습니다.
실시예 1
일반 분수 $ \ frac (3) (7) $ 및 $ \ frac (5) (11) $의 곱셈을 수행합니다.
해결책.
일반 분수를 곱하는 규칙을 사용합시다.
\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]
답변:$ \ frac (15) (77) $
분수를 곱한 결과 취소 가능하거나 불규칙한 분수가 얻어지면 단순화해야합니다.
실시예 2
분수 $ \ frac (3) (8) $와 $ \ frac (1) (9) $를 곱합니다.
해결책.
일반 분수를 곱하는 규칙을 사용합니다.
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]
결과적으로 우리는 취소 가능한 분수를 얻었습니다 ($ 3 $로 나눕니다. 분수의 분자와 분모를 $ 3 $로 나누면 다음을 얻습니다.
\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3:3) (72:3) = \ frac (1) (24) \]
짧은 솔루션:
\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]
답변:$ \ frac (1) (24). $
분수를 곱할 때 곱을 찾을 때까지 분자와 분모를 줄일 수 있습니다. 이 경우 분수의 분자와 분모를 소인수로 분해한 후 반복인자를 소거하여 결과를 구한다.
실시예 3
분수 $ \ frac (6) (75) $와 $ \ frac (15) (24) $의 곱을 계산하십시오.
해결책.
일반 분수를 곱하는 공식을 사용합시다.
\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]
분명히 분자와 분모에는 $ 2 $, $ 3 $ 및 $ 5 $로 쌍으로 줄일 수있는 숫자가 포함되어 있습니다. 분자와 분모를 소인수로 확장하고 소거를 수행해 보겠습니다.
\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]
답변:$ \ frac (1) (20). $
분수를 곱할 때 변위 법칙을 적용할 수 있습니다.
일반 분수에 자연수 곱하기
일반 분수에 자연수를 곱하는 규칙:
분수에 자연수를 곱한 결과는 분자가 자연수를 곱한 분수의 분자 곱과 같고 분모가 곱한 분수의 분모와 같은 분수입니다.
여기서 $ \ frac (a) (b) $는 일반 분수이고 $ n $는 자연수입니다.
실시예 4
$ \ frac (3) (17) $에 $ 4 $를 곱합니다.
해결책.
일반 분수에 자연수를 곱하는 규칙을 사용합시다.
\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]
답변:$ \ frac (12) (17). $
분수의 소거 또는 가분수에 의한 곱셈 결과를 확인하는 것을 잊지 마십시오.
실시예 5
분수 $ \ frac (7) (15) $를 $ 3 $로 곱합니다.
해결책.
분수에 자연수를 곱하는 공식을 사용해 보겠습니다.
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]
숫자로 나누면 $ 3 $) 결과 분수를 줄일 수 있는지 확인할 수 있습니다.
\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21:3) (15:3) = \ frac (7) (5) \]
결과적으로 잘못된 분수를 얻었습니다. 전체 부분을 선택합시다.
\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
짧은 솔루션:
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5)\]
분자와 분모의 숫자를 소인수로 분해하여 분수를 줄이는 것도 가능했습니다. 이 경우 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]
답변:$ 1 \ frac (2) (5). $
분수에 자연수를 곱할 때 변위 법칙을 사용할 수 있습니다.
일반 분수의 나눗셈
나눗셈 연산은 곱셈의 역이며 그 결과는 두 분수의 알려진 곱을 얻기 위해 알려진 분수를 곱해야 하는 분수입니다.
두 분수의 나눗셈
일반 분수를 나누는 규칙:분명히 결과 분수의 분자와 분모는 소인수로 확장되고 축소될 수 있습니다.
\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]
결과적으로 전체 부분을 선택하는 잘못된 분수를 얻었습니다.
\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]
답변:$ 1 \ frac (5) (9). $
