Zadania do zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Zacznij od Science Doc w twierdzeniach Pitagorasa

Upewnij się, że otrzymany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, ponieważ twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. W trójkątach prostokątnych jeden z trzech kątów ma zawsze 90 stopni.

• Kąt prosty w trójkącie prostokątnym jest oznaczony kwadratem zamiast krzywej, która reprezentuje kąty inne niż proste.

Oznacz boki trójkąta. Oznacz nogi jako „a” i „b” (nogi są bokami przecinającymi się pod kątem prostym), a przeciwprostokątną jako „c” (przeciwprostokątna jest największym bokiem trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciwko kąta prostego).

Określ, którą stronę trójkąta chcesz znaleźć. Twierdzenie Pitagorasa pozwala znaleźć dowolny bok trójkąta prostokątnego (jeśli znane są dwa pozostałe boki). Określ, którą stronę (a, b, c) należy znaleźć.

• Na przykład, mając przeciwprostokątną równą 5 i daną nogę równą 3. W tym przypadku musisz znaleźć drugą nogę. Do tego przykładu wrócimy później.
• Jeśli pozostałe dwa boki są nieznane, konieczne jest znalezienie długości jednego z nieznanych boków, aby móc zastosować twierdzenie Pitagorasa. Aby to zrobić, użyj podstawowych funkcji trygonometrycznych (jeśli podano wartość jednego z kątów nieprostych).

Zastąp we wzorze a 2 + b 2 \u003d c 2 wartościami podanymi (lub wartościami znalezionymi przez Ciebie). Pamiętaj, że aib to nogi, a c to przeciwprostokątna.

• W naszym przykładzie napisz: 3² + b² = 5².

Kwadrat po każdej znanej stronie. Lub zostaw wykładniki - możesz później podnieść liczby do kwadratu.

• W naszym przykładzie napisz: 9 + b² = 25.

Wyizoluj nieznaną stronę po jednej stronie równania. Aby to zrobić, przenieś znane wartości na drugą stronę równania. Jeśli znajdziesz przeciwprostokątną, to w twierdzeniu Pitagorasa jest ona już izolowana po jednej stronie równania (więc nic nie trzeba robić).

• W naszym przykładzie przesuń 9 na prawą stronę równania, aby wyizolować nieznane b². Otrzymasz b² = 16.

Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Na tym etapie po jednej stronie równania znajduje się niewiadoma (do kwadratu), a po drugiej punkt przecięcia (liczba).

• W naszym przykładzie b² = 16. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron równania i otrzymaj b = 4. Zatem druga noga to 4 .

Użyj twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym, ponieważ można je zastosować w wielu praktycznych sytuacjach. Aby to zrobić, naucz się rozpoznawać trójkąty prostokątne w życiu codziennym - w każdej sytuacji, w której dwa obiekty (lub linie) przecinają się pod kątem prostym, a trzeci obiekt (lub linia) łączy (po przekątnej) wierzchołki dwóch pierwszych obiektów (lub linii), możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć nieznaną stronę (jeśli pozostałe dwie strony są znane).

• Przykład: Dana drabina oparta o budynek. Dolna część schodów znajduje się 5 metrów od podstawy ściany. Szczyt schodów znajduje się 20 metrów od ziemi (pod ścianą). Jaka jest długość drabiny?
  • „5 metrów od podstawy ściany” oznacza, że ​​a = 5; „jest 20 metrów nad ziemią” oznacza, że ​​b = 20 (czyli otrzymujesz dwie nogi trójkąta prostokątnego, ponieważ ściana budynku i powierzchnia Ziemi przecinają się pod kątem prostym). Długość drabiny to długość przeciwprostokątnej, która jest nieznana.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Tak więc przybliżona długość schodów wynosi 20,6 metra.

Tych, którzy interesują się historią twierdzenia Pitagorasa, które jest badane w szkolnym programie nauczania, zaciekawi również taki fakt, jak opublikowanie w 1940 roku książki zawierającej trzysta siedemdziesiąt dowodów tego pozornie prostego twierdzenia. Ale intrygował umysły wielu matematyków i filozofów różnych epok. W Księdze Rekordów Guinnessa jest to zapisane jako twierdzenie z maksymalną liczbą dowodów.

Historia twierdzenia Pitagorasa

Związane z imieniem Pitagorasa twierdzenie znane było na długo przed narodzinami wielkiego filozofa. Tak więc w Egipcie podczas budowy konstrukcji uwzględniono stosunek boków trójkąta prostokątnego pięć tysięcy lat temu. Teksty babilońskie wspominają o tym samym stosunku boków trójkąta prostokątnego 1200 lat przed narodzinami Pitagorasa.

Powstaje pytanie, dlaczego wtedy historia mówi - pojawienie się twierdzenia Pitagorasa należy do niego? Odpowiedź może być tylko jedna - udowodnił stosunek boków w trójkącie. Zrobił coś, czego wieki temu nie zrobili ci, którzy po prostu używali proporcji i przeciwprostokątnej, ustalonych przez doświadczenie.

Z życia Pitagorasa

Przyszły wielki naukowiec, matematyk, filozof urodził się na wyspie Samos w 570 pne. W dokumentach historycznych zachowały się informacje o ojcu Pitagorasa, który był rzeźbiarzem kamieni szlachetnych, brak jest natomiast informacji o jego matce. O urodzonym chłopcu mówili, że był wybitnym dzieckiem, które od dzieciństwa przejawiało pasję do muzyki i poezji. Historycy przypisują Hermodamanta i Ferekidesa z Syros nauczycielom młodego Pitagorasa. Pierwsza wprowadziła chłopca w świat Muz, a druga, będąc filozofem i założycielem włoskiej szkoły filozofii, skierowała spojrzenie młodzieńca na logos.

W wieku 22 lat (548 pne) Pitagoras udał się do Naucratis, aby studiować język i religię Egipcjan. Co więcej, jego droga wiodła w Memfis, gdzie dzięki kapłanom, po przejściu ich pomysłowych testów, zrozumiał geometrię egipską, co być może skłoniło dociekliwego młodzieńca do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Historia później przypisze tę nazwę twierdzeniu.

Pojmany przez króla Babilonu

W drodze do domu do Hellady Pitagoras zostaje schwytany przez króla Babilonu. Ale przebywanie w niewoli przyniosło korzyść dociekliwemu umysłowi początkującego matematyka, musiał się wiele nauczyć. Rzeczywiście, w tamtych latach matematyka w Babilonie była bardziej rozwinięta niż w Egipcie. Spędził dwanaście lat studiując matematykę, geometrię i magię. I być może to geometria babilońska bierze udział w dowodzie stosunku boków trójkąta i historii odkrycia twierdzenia. Pitagoras miał na to wystarczająco dużo wiedzy i czasu. Ale że stało się to w Babilonie, nie ma udokumentowanego potwierdzenia ani obalenia tego.

W 530 rpne Pitagoras ucieka z niewoli do ojczyzny, gdzie mieszka na dworze tyrana Polikratesa w statusie półniewolnika. Takie życie nie pasuje do Pitagorasa, a on wycofuje się do jaskiń Samos, a następnie udaje się na południe Włoch, gdzie w tym czasie znajdowała się grecka kolonia Kroton.

Tajny zakon monastyczny

Na bazie tej kolonii Pitagoras zorganizował tajny zakon klasztorny, będący jednocześnie związkiem religijnym i towarzystwem naukowym. Społeczeństwo to miało swój statut, który mówił o przestrzeganiu szczególnego sposobu życia.

Pitagoras przekonywał, że aby zrozumieć Boga, człowiek musi znać takie nauki, jak algebra i geometria, znać astronomię i rozumieć muzykę. Praca badawcza sprowadzała się do poznania mistycznej strony liczb i filozofii. Należy zauważyć, że zasady głoszone wówczas przez Pitagorasa mają sens w naśladowaniu w chwili obecnej.

Wiele odkryć dokonanych przez uczniów Pitagorasa przypisywano mu. Krótko mówiąc, historia powstania twierdzenia Pitagorasa przez starożytnych historyków i biografów tamtych czasów jest bezpośrednio związana z imieniem tego filozofa, myśliciela i matematyka.

Nauki Pitagorasa

Być może historycy zainspirowali się stwierdzeniem wielkiego Greka, że ​​przysłowiowy trójkąt z nogami i przeciwprostokątną zakodował wszystkie zjawiska naszego życia. A ten trójkąt jest „kluczem” do rozwiązania wszystkich pojawiających się problemów. Wielki filozof powiedział, że trzeba widzieć trójkąt, wtedy możemy założyć, że problem jest rozwiązany w dwóch trzecich.

Pitagoras opowiadał o swoim nauczaniu tylko swoim uczniom ustnie, bez robienia żadnych notatek, zachowując to w tajemnicy. Niestety do dziś nie zachowały się nauki największego filozofa. Część z nich wyciekła, ale nie da się powiedzieć, ile w tym, co zostało poznane, jest prawdą, a ile fałszem. Nawet z historią twierdzenia Pitagorasa nie wszystko jest pewne. Historycy matematyki wątpią w autorstwo Pitagorasa, ich zdaniem twierdzenie to było używane wiele wieków przed jego narodzinami.

twierdzenie Pitagorasa

Może wydawać się to dziwne, ale nie ma faktów historycznych potwierdzających twierdzenie samego Pitagorasa - ani w archiwach, ani w żadnych innych źródłach. We współczesnej wersji uważa się, że należy do nikogo innego, jak do samego Euklidesa.

Istnieją dowody na istnienie jednego z największych historyków matematyki, Moritza Kantora, który odkrył na papirusie przechowywanym w Muzeum Berlińskim, napisanym przez Egipcjan około 2300 roku p.n.e. mi. równość, która brzmi: 3² + 4² = 5².

Krótko z historii twierdzenia Pitagorasa

Sformułowanie twierdzenia z „Początków” Euklidesa w tłumaczeniu brzmi tak samo, jak we współczesnej interpretacji. W jego odczytaniu nie ma nic nowego: kwadrat boku przeciwległego do kąta prostego jest równy sumie kwadratów boków przyległych do kąta prostego. Fakt, że starożytne cywilizacje Indii i Chin posługiwały się tym twierdzeniem, potwierdza traktat Zhou Bi Suan Jin. Zawiera informacje o trójkącie egipskim, który opisuje proporcje 3:4:5.

Nie mniej interesująca jest inna chińska książka matematyczna „Chu-pei”, w której wspomina się również o trójkącie pitagorejskim z wyjaśnieniem i rysunkami, które pokrywają się z rysunkami hinduskiej geometrii Baskhary. O samym trójkącie książka mówi, że jeśli kąt prosty można rozłożyć na jego części składowe, to linia łącząca końce boków będzie równa pięciu, jeśli podstawa ma trzy, a wysokość cztery.

Indyjski traktat „Sulva Sutra”, odnoszący się do około VII-V wieku p.n.e. e., opowiada o budowie kąta prostego za pomocą trójkąta egipskiego.

Dowód twierdzenia

W średniowieczu uczniowie uważali udowodnienie twierdzenia za zbyt trudne. Słabi uczniowie nauczyli się twierdzeń na pamięć, nie rozumiejąc znaczenia dowodu. W związku z tym otrzymali przydomek „osły”, ponieważ twierdzenie Pitagorasa było dla nich przeszkodą nie do pokonania, jak most dla osła. W średniowieczu uczniowie wymyślili żartobliwy werset na temat tego twierdzenia.

Aby w najprostszy sposób udowodnić twierdzenie Pitagorasa, należy po prostu zmierzyć jego boki, bez używania pojęcia obszarów w dowodzie. Długość boku przeciwnego do kąta prostego wynosi c, a sąsiadujące z nim a i b, w wyniku czego otrzymujemy równanie: a 2 + b 2 \u003d c 2. To stwierdzenie, jak wspomniano powyżej, jest weryfikowane poprzez pomiar długości boków trójkąta prostokątnego.

Jeżeli dowód twierdzenia zaczniemy od rozpatrzenia pola prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta, możemy wyznaczyć pole całej figury. Będzie on równy powierzchni kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2 + 2ab + b2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , co miało zostać udowodnione.

Praktyczne znaczenie twierdzenia Pitagorasa polega na tym, że można go używać do znajdowania długości odcinków bez ich mierzenia. Podczas budowy konstrukcji obliczane są odległości, rozmieszczenie podpór i belek, określane są środki ciężkości. Twierdzenie Pitagorasa jest również stosowane we wszystkich nowoczesnych technologiach. Nie zapomnieli o twierdzeniu przy tworzeniu filmów w wymiarach 3D-6D, gdzie oprócz zwykłych 3 wartości brane są pod uwagę: wysokość, długość, szerokość, czas, zapach i smak. Pytasz, jak smaki i zapachy są powiązane z twierdzeniem? Wszystko jest bardzo proste - pokazując film, trzeba obliczyć, gdzie i jakie zapachy i smaki skierować na widownię.

To dopiero początek. Na dociekliwe umysły czekają nieograniczone możliwości odkrywania i tworzenia nowych technologii.

Pitagoras to grecki naukowiec, który żył około 2500 lat temu (564-473 pne).

Niech zostanie podany trójkąt prostokątny, którego boki a, b oraz z(ryc. 267).

Zbudujmy kwadraty po jego bokach. Pola tych kwadratów to odpowiednio a 2 , b 2 i z 2. Udowodnijmy, że z 2 = a 2 +b 2 .

Skonstruujmy dwa kwadraty MKOR i M'K'O'R' (ryc. 268, 269), biorąc za bok każdego z nich odcinek równy sumie boków trójkąta prostokątnego ABC.

Po wykonaniu konstrukcji pokazanych na rysunkach 268 i 269 w tych kwadratach, zobaczymy, że kwadrat MKOR jest podzielony na dwa kwadraty o polach a 2 i b 2 i cztery równe trójkąty prostokątne, z których każdy jest równy trójkątowi prostokątnemu ABC. Kwadrat M'K'O'R' jest podzielony na czworokąt (zacieniony na rysunku 269) i cztery trójkąty prostokątne, z których każdy jest równy trójkątowi ABC. Zacieniony czworokąt jest kwadratem, ponieważ jego boki są równe (każdy jest równy przeciwprostokątnej trójkąta ABC, tj. z), a kąty są liniami prostymi ∠1 + ∠2 = 90°, skąd ∠3 = 90°).

Zatem suma pól kwadratów zbudowanych na nogach (na rysunku 268 te kwadraty są zacieniowane) jest równa polu kwadratu MKOR bez sumy pól czterech trójkątów równych i pola ​​kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej (na rysunku 269 ten kwadrat jest również zacieniony) jest równy polu kwadratu M'K'O'R', równemu kwadratowi MKOR, bez sumy pól cztery podobne trójkąty. Dlatego pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Otrzymujemy formułę z 2 = a 2 +b 2 , gdzie z- przeciwprostokątna, a oraz b- nogi trójkąta prawego.

Twierdzenie Pitagorasa można podsumować następująco:

Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg.

Z formuły z 2 = a 2 +b 2 możesz otrzymać następujące formuły:

a 2 = z 2 - b 2 ;

b 2 = z 2 - a 2 .

Te wzory można wykorzystać do znalezienia nieznanego boku trójkąta prostokątnego, biorąc pod uwagę dwa jego boki.

Na przykład:

a) jeśli podano nogi a= 4 cm, b\u003d 3 cm, możesz znaleźć przeciwprostokątną ( z):

z 2 = a 2 +b 2 , tj. z 2 = 4 2 + 3 2 ; gdzie 2 = 25, skąd z= √25 = 5(cm);

b) jeśli podano przeciwprostokątną z= 17 cm i noga a= 8 cm, wtedy możesz znaleźć kolejną nogę ( b):

b 2 = z 2 - a 2 , tj. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, skąd b= √225 = 15 (cm).

Wniosek: Jeśli w dwóch trójkątach prostokątnych ABC i A 1 B 1 C 1 przeciwprostokątna z oraz z 1 są równe, a noga b trójkąt ABC jest większy niż noga b 1 trójkąt A 1 B 1 C 1,

potem noga a trójkąt ABC jest mniejszy niż noga a 1 trójkąt A 1 B 1 C 1 .

Rzeczywiście, na podstawie twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

a 2 = z 2 - b 2 ,

a 1 2 = z 1 2 - b 1 2

W pisanych formułach odjemniki są równe, a odjemnik w pierwszej formule jest większy niż odjąd w drugiej formule, dlatego pierwsza różnica jest mniejsza niż druga,

tj. a 2 a 1 2 . Gdzie a 1 .

1

Shapovalova L.A. (stacja Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Glazer G.I. Historia matematyki w klasach VII - VIII, przewodnik dla nauczycieli, - M: Edukacja, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Za kartkami podręcznika do matematyki” Podręcznik dla uczniów klas 5-6. – M.: Oświecenie, 1989.

3. Zenkiewicz I.G. „Estetyka lekcji matematyki”. – M.: Oświecenie, 1981.

4. Litzman V. Twierdzenie Pitagorasa. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. „Pitagoras”. - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „Poza stronami podręcznika algebry”. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. „Geometria w 10. klasie”. - M., 1986.

8. Gazeta „Matematyka” 17/1996.

9. Gazeta „Matematyka” 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Zbiór problemów z matematyki elementarnej”. - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Podręcznik matematyki”. - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. „Pitagorejska doktryna liczby i wielkości”. - Nowosybirsk, 1997.

13. „Liczby rzeczywiste. Wyrażenia irracjonalne» klasa 8. Wydawnictwo Uniwersytetu Tomskiego. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan MS „Geometria” klasa 7-9. – M.: Oświecenie, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

W tym roku akademickim zapoznałem się z ciekawym twierdzeniem, znanym, jak się okazało, od czasów starożytnych:

„Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach”.

Zwykle odkrycie tego stwierdzenia przypisuje się starożytnemu greckiemu filozofowi i matematykowi Pitagorasowi (VI wpne). Ale badanie starożytnych rękopisów wykazało, że stwierdzenie to było znane na długo przed narodzinami Pitagorasa.

Zastanawiałem się, dlaczego w tym przypadku wiąże się to z imieniem Pitagoras.

Trafność tematu: Twierdzenie Pitagorasa ma ogromne znaczenie: jest używane w geometrii dosłownie na każdym kroku. Uważam, że prace Pitagorasa są nadal aktualne, bo gdziekolwiek nie spojrzymy, wszędzie możemy zobaczyć owoce jego wspaniałych pomysłów, ucieleśnionych w różnych gałęziach współczesnego życia.

Celem moich badań było: dowiedzieć się, kim był Pitagoras i jaki ma on związek z tym twierdzeniem.

Studiując historię twierdzenia, postanowiłem dowiedzieć się:

Czy istnieją inne dowody tego twierdzenia?

Jakie jest znaczenie tego twierdzenia w życiu ludzi?

Jaką rolę odegrał Pitagoras w rozwoju matematyki?

Z biografii Pitagorasa

Pitagoras z Samos to wielki grecki naukowiec. Jego sława związana jest z nazwą twierdzenia Pitagorasa. Chociaż teraz już wiemy, że twierdzenie to było znane w starożytnym Babilonie 1200 lat przed Pitagorasem, a w Egipcie 2000 lat przed nim znany był trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5, nadal nazywamy to imieniem tego starożytnego naukowiec.

Prawie nic nie wiadomo na pewno o życiu Pitagorasa, ale z jego imieniem wiąże się wiele legend.

Pitagoras urodził się w 570 pne na wyspie Samos.

Pitagoras miał przystojny wygląd, nosił długą brodę i złoty diadem na głowie. Pitagoras to nie imię, ale przydomek, który filozof otrzymał za to, że zawsze mówił poprawnie i przekonująco, jak grecka wyrocznia. (Pythagoras - „mowa przekonująca”).

W 550 pne Pitagoras podejmuje decyzję i udaje się do Egiptu. Tak więc przed Pitagorasem otwiera się nieznany kraj i nieznana kultura. Bardzo zdziwiony i zaskoczony Pitagoras w tym kraju, a po kilku obserwacjach życia Egipcjan, Pitagoras zdał sobie sprawę, że droga do wiedzy, chroniona przez kastę kapłanów, prowadzi przez religię.

Po jedenastu latach studiów w Egipcie Pitagoras udaje się do swojej ojczyzny, gdzie po drodze wpada w niewolę babilońską. Tam zapoznaje się z nauką babilońską, bardziej rozwiniętą niż egipska. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania liniowe, kwadratowe i niektóre rodzaje równań sześciennych. Po ucieczce z niewoli nie mógł pozostać długo w ojczyźnie z powodu panującej tam atmosfery przemocy i tyranii. Postanowił przenieść się do Croton (greckiej kolonii w północnych Włoszech).

To w Krotonie rozpoczyna się najwspanialszy okres w życiu Pitagorasa. Założył tam coś w rodzaju bractwa religijno-etycznego lub tajnego zakonu, którego członkowie byli zobowiązani do prowadzenia tak zwanego pitagorejskiego stylu życia.

Pitagoras i pitagorejczycy

Pitagoras zorganizował w greckiej kolonii na południu Półwyspu Apenińskiego braterstwo religijne i etyczne, takie jak zakon monastyczny, który później nazwano Unią Pitagorasa. Członkowie związku musieli przestrzegać pewnych zasad: po pierwsze dążyć do tego, co piękne i chwalebne, po drugie, aby być użytecznym, a po trzecie, dążyć do wysokiej przyjemności.

System zasad moralnych i etycznych, pozostawiony przez Pitagorasa swoim uczniom, został złożony w rodzaj kodeksu moralnego pitagorejskich „Złotych wersetów”, które były bardzo popularne w epoce starożytności, średniowiecza i renesansu.

Pitagorejski system badań składał się z trzech części:

Nauki o liczbach - arytmetyka,

Nauki o figurach - geometria,

Nauki o budowie wszechświata - astronomia.

System edukacji ustanowiony przez Pitagorasa przetrwał wiele stuleci.

Szkoła Pitagorasa zrobiła wiele, aby nadać geometrii charakter nauki. Główną cechą metody pitagorejskiej było połączenie geometrii z arytmetyką.

Pitagoras dużo zajmował się proporcjami i progresjami oraz prawdopodobnie podobieństwem liczb, ponieważ przypisuje się mu rozwiązanie problemu: „Skonstruuj trzecią, równą wielkością jednej z danych i podobną do drugiej, na podstawie biorąc pod uwagę dwie cyfry.”

Pitagoras i jego uczniowie wprowadzili pojęcie liczb wielokątnych, przyjaznych, doskonałych i zbadali ich własności. Arytmetyka, jako praktyka liczenia, nie interesowała Pitagorasa i z dumą oświadczył, że „przedstawia arytmetykę ponad interesy kupca”.

Członkowie Związku Pitagorasa byli mieszkańcami wielu miast Grecji.

Pitagorejczycy również przyjmowali kobiety do swojego społeczeństwa. Związek kwitł przez ponad dwadzieścia lat, a potem rozpoczęły się prześladowania jego członków, wielu studentów zostało zabitych.

Było wiele różnych legend o śmierci samego Pitagorasa. Ale nauki Pitagorasa i jego uczniów nadal żyły.

Z historii powstania twierdzenia Pitagorasa

Obecnie wiadomo, że twierdzenia tego nie odkrył Pitagoras. Jednak niektórzy uważają, że to Pitagoras jako pierwszy dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Niektórzy przypisują Pitagorasowi dowód, który Euklides podaje w pierwszej księdze jego Elementów. Z drugiej strony, Proclus twierdzi, że dowód w elementach należy do samego Euklidesa. Jak widać, w historii matematyki nie ma prawie żadnych wiarygodnych, konkretnych danych na temat życia Pitagorasa i jego działalności matematycznej.

Zacznijmy nasz historyczny przegląd twierdzenia Pitagorasa od starożytnych Chin. Tutaj szczególną uwagę zwraca matematyczna księga Chu-pei. Ten esej mówi to o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5:

„Jeśli kąt prosty zostanie rozłożony na części składowe, to linia łącząca końce jego boków będzie wynosić 5, gdy podstawa ma 3, a wysokość 4”.

Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Między bokami o długości od 3 do 4 metrów zostanie zamknięty kąt prosty.

Geometria wśród Hindusów była ściśle związana z kultem. Jest wysoce prawdopodobne, że twierdzenie o kwadracie przeciwprostokątnej znane było w Indiach już około VIII wieku p.n.e. Obok czysto rytualnych recept istnieją dzieła o charakterze teologicznym geometrycznie. W pismach tych, datowanych na IV lub V wiek p.n.e., spotykamy się z konstrukcją kąta prostego za pomocą trójkąta o bokach 15, 36, 39.

W średniowieczu twierdzenie Pitagorasa wyznaczało granicę, jeśli nie najwyższej możliwej, to przynajmniej dobrej wiedzy matematycznej. Charakterystyczny rysunek twierdzenia Pitagorasa, który obecnie czasami uczniowie zamieniają np. w cylinder ubrany w szatę profesora lub mężczyznę, był często używany w tamtych czasach jako symbol matematyki.

Na zakończenie przedstawiamy różne sformułowania twierdzenia Pitagorasa w tłumaczeniu z greki, łaciny i niemieckiego.

Twierdzenie Euklidesa brzmi (tłumaczenie dosłowne):

„W trójkącie prostokątnym kwadrat boku rozciągającego się pod kątem prostym jest równy kwadratom po bokach obejmujących kąt prosty”.

Jak widać, w różnych krajach i różnych językach istnieją różne wersje sformułowania znanego twierdzenia. Tworzone w różnym czasie i w różnych językach, odzwierciedlają istotę jednego wzoru matematycznego, którego dowód również ma kilka opcji.

Pięć sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa

starożytne chińskie dowody

Na starożytnym chińskim rysunku cztery równe trójkąty prostokątne z nogami a, b i przeciwprostokątną c są ułożone tak, że ich zewnętrzny kontur tworzy kwadrat o boku a + b, a wewnętrzny kwadrat o boku c, zbudowany na przeciwprostokątna

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dowód J. Gardfielda (1882)

Ułóżmy dwa równe trójkąty prostokątne tak, aby noga jednego z nich była kontynuacją drugiego.

Obszar rozpatrywanego trapezu określa się jako iloczyn połowy sumy podstaw i wysokości

Z drugiej strony powierzchnia trapezu jest równa sumie pól powstałych trójkątów:

Porównując te wyrażenia, otrzymujemy:

Dowód jest prosty

Dowód ten uzyskuje się w najprostszym przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego.

Prawdopodobnie od niego zaczęło się twierdzenie.

Rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na układanie równoramiennych trójkątów prostokątnych, aby zobaczyć, że twierdzenie jest prawdziwe.

Na przykład dla trójkąta ABC: kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej AC zawiera 4 trójkąty początkowe, a kwadraty zbudowane na nogach zawierają dwa. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód starożytnych Hindusów

Kwadrat o boku (a + b) można podzielić na części tak jak na ryc. 12. a, lub jak na ryc. 12b. Oczywiste jest, że części 1, 2, 3, 4 są takie same na obu figurach. A jeśli równe są odjęte od równych (obszarów), to równe pozostaną, tj. c2 = a2 + b2.

Dowód Euklidesa

Przez dwa tysiąclecia najczęstszym był dowód twierdzenia Pitagorasa, wymyślonego przez Euklidesa. Umieszczono ją w jego słynnej książce „Początki”.

Euklides obniżył wysokość BH od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej i udowodnił, że jej przedłużenie dzieli kwadrat wypełniony na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty, których pola są równe polam odpowiednich kwadratów zbudowanych na nogach.

Rysunek użyty w dowodzie tego twierdzenia nazywa się żartobliwie „pitagorejskimi spodniami”. Przez długi czas uważany był za jeden z symboli nauk matematycznych.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Znaczenie twierdzenia Pitagorasa polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niego wyprowadzić lub za jego pomocą i wiele problemów można rozwiązać. Ponadto praktyczne znaczenie twierdzenia Pitagorasa i jego twierdzenia odwrotnego polega na tym, że można ich użyć do znalezienia długości segmentów bez mierzenia samych segmentów. To niejako otwiera drogę od linii prostej do płaszczyzny, od płaszczyzny do przestrzeni wolumetrycznej i dalej. Z tego powodu twierdzenie Pitagorasa jest tak ważne dla ludzkości, która stara się odkrywać więcej wymiarów i tworzyć technologie w tych wymiarach.

Wniosek

Twierdzenie Pitagorasa jest tak znane, że trudno wyobrazić sobie osobę, która o nim nie słyszała. Dowiedziałem się, że istnieje kilka sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa. Przestudiowałem szereg źródeł historycznych i matematycznych, w tym informacje z Internetu, i zdałem sobie sprawę, że twierdzenie Pitagorasa jest interesujące nie tylko ze względu na swoją historię, ale także dlatego, że zajmuje ważne miejsce w życiu i nauce. Świadczą o tym różne interpretacje tekstu tego twierdzenia podane przeze mnie w tym artykule oraz sposoby jego dowodu.

Tak więc twierdzenie Pitagorasa jest jednym z głównych i można powiedzieć, najważniejszym twierdzeniem geometrii. Jej znaczenie polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niej wyprowadzić lub za jej pomocą. Twierdzenie Pitagorasa jest również niezwykłe, ponieważ samo w sobie nie jest wcale oczywiste. Na przykład właściwości trójkąta równoramiennego można zobaczyć bezpośrednio na rysunku. Ale bez względu na to, jak bardzo spojrzysz na trójkąt prostokątny, nigdy nie zobaczysz, że istnieje prosta relacja między jego bokami: c2 = a2 + b2. Dlatego często do udowodnienia tego używa się wizualizacji. Zaletą Pitagorasa było to, że dał pełny naukowy dowód tego twierdzenia. Interesująca jest osobowość samego naukowca, którego pamięć nie jest przypadkowo zachowana przez to twierdzenie. Pitagoras to wspaniały mówca, nauczyciel i wychowawca, organizator swojej szkoły, skupiony na harmonii muzyki i liczb, dobroci i sprawiedliwości, wiedzy i zdrowym stylu życia. Równie dobrze może służyć za przykład dla nas, dalekich potomków.

Link bibliograficzny

Tumanova S.V. KILKA SPOSOBÓW DOWODZENIA TWIERDZENIA PITAGOREA // Zacznij od nauki. - 2016 r. - nr 2. - str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data dostępu: 28.02.2020).

Według van der Waerdena jest bardzo prawdopodobne, że proporcja w ogólnej formie była już znana w Babilonie około XVIII wieku p.n.e. mi.

Około 400 pne. e. według Proclusa Platon podał metodę znajdowania trójek pitagorejskich, łącząc algebrę i geometrię. Około 300 p.n.e. mi. w „Elementach” Euklidesa pojawił się najstarszy aksjomatyczny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Sformułowanie

Główne sformułowanie zawiera operacje algebraiczne - w trójkącie prostokątnym, którego długości nóg są równe a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b), a długość przeciwprostokątnej wynosi c (\displaystyle c), relacja jest spełniona:

.

Możliwe jest również równoważne sformułowanie geometryczne, odwołując się do pojęcia pole-figura: w trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach. W tej postaci twierdzenie jest sformułowane w Principia Euklidesa.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa- stwierdzenie o prostokątności dowolnego trójkąta, którego długości boków są powiązane relacją a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). W konsekwencji dla dowolnej trójki liczb dodatnich a (\styl wyświetlania a), b (\styl wyświetlania b) oraz c (\displaystyle c), taki, że a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), jest trójkąt prawy z nogami a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c).

Dowodem

W literaturze naukowej odnotowano co najmniej 400 dowodów twierdzenia Pitagorasa, co tłumaczy się zarówno fundamentalną wartością geometrii, jak i elementarnością wyniku. Głównymi kierunkami dowodu są: algebraiczne wykorzystanie stosunków elementów-trójkąt (taka jak np. popularna metoda podobieństwa), metoda powierzchni, istnieją też różne egzotyczne dowody (np. za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Klasyczny dowód Euklidesa ma na celu ustalenie równości pól między prostokątami utworzonymi przez przecięcie kwadratu nad przeciwprostokątną z wysokością pod kątem prostym z kwadratami nad nogami.

Konstrukcja zastosowana do dowodu jest następująca: dla trójkąta prostokątnego o kącie prostym C (\displaystyle C), kwadraty nad nogami i i kwadraty nad przeciwprostokątną A B I K (\displaystyle ABIK) wysokość jest budowana C H (\ Displaystyle CH) i wiązkę, która to kontynuuje s (\styl wyświetlania), dzieląc kwadrat nad przeciwprostokątną na dwa prostokąty i . Dowód ma na celu ustalenie równości pól prostokąta A H J K (\displaystyle AHJK) z kwadratem nad nogą C (\displaystyle AC); w podobny sposób ustala się równość pól drugiego prostokąta, który jest kwadratem nad przeciwprostokątną i prostokąta nad drugą odnogą.

Równość pól prostokąta A H J K (\displaystyle AHJK) oraz A C E D (\ Displaystyle ACED) ustanowiony przez zbieżność trójkątów △ A C K ​​​​(\displaystyle \trójkąt ACK) oraz △ A B D (\ Displaystyle \ trójkąt ABD), z których powierzchnia każdego jest równa połowie powierzchni kwadratów A H J K (\displaystyle AHJK) oraz A C E D (\ Displaystyle ACED) odpowiednio w związku z następującą właściwością: pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta, jeśli figury mają wspólny bok, a wysokość trójkąta do wspólnego boku jest drugą stroną prostokąt. Zgodność trójkątów wynika z równości dwóch boków (boków kwadratów) i kąta między nimi (złożonego z kąta prostego i kąta przy A (\styl wyświetlania A).

W ten sposób dowód ustala, że ​​powierzchnia kwadratu nad przeciwprostokątną, złożona z prostokątów A H J K (\displaystyle AHJK) oraz B H J I (\displaystyle BHJI), jest równa sumie pól kwadratów nad nogami.

Dowód Leonarda da Vinci

Metoda powierzchniowa obejmuje również dowód znaleziony przez Leonarda da Vinci. Niech będzie trójkąt prostokątny △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC) prosty kąt C (\displaystyle C) i kwadraty A C E D (\ Displaystyle ACED), B C F G (\ Displaystyle BCFG) oraz A B H J (\ Displaystyle ABHJ)(widzieć zdjęcie). W tym dowodzie z boku H J (\ Displaystyle HJ) ten ostatni, trójkąt jest zbudowany na zewnątrz, przystający △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC), co więcej, odbite zarówno względem przeciwprostokątnej, jak i względem jej wysokości (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) oraz H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Prosty C I (\displaystyle CI) dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej na dwie równe części, ponieważ trójkąty △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC) oraz △ J H I (\displaystyle \trójkąt ŻIH) są równe w budowie. Dowód ustala zgodność czworokątów C A J I (\displaystyle CAJI) oraz D A B G (\displaystyle DABG), z których pole z jednej strony jest równe sumie połowy pól kwadratów na nogach i pola pierwotnego trójkąta, z drugiej strony, do połowy pola kwadrat na przeciwprostokątnej plus obszar pierwotnego trójkąta. W sumie połowa sumy pól kwadratów nad nogami jest równa połowie pola kwadratu nad przeciwprostokątną, co odpowiada geometrycznemu sformułowaniu twierdzenia Pitagorasa.

Dowód metodą nieskończenie małą

Istnieje kilka dowodów wykorzystujących technikę równań różniczkowych. W szczególności Hardy'emu przypisuje się dowód wykorzystujący nieskończenie małe przyrosty nóg a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c), oraz zachowanie podobieństwa z pierwotnym prostokątem, czyli zapewnienie spełnienia następujących zależności różniczkowych:

d za d do = do za (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d do = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Metodą separacji zmiennych wyprowadza się z nich równanie różniczkowe c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), którego integracja daje relację c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (stała) ). Zastosowanie warunków początkowych a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiuje stałą jako 0, co skutkuje stwierdzeniem twierdzenia.

Zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, natomiast suma wynika z niezależnych udziałów przyrostu różnych boków.

Wariacje i uogólnienia

Podobne kształty geometryczne z trzech stron

Ważne geometryczne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa zostało podane przez Euklidesa w „Początkach”, przechodząc z obszarów kwadratów po bokach do obszarów dowolnych podobnych figur geometrycznych: suma obszarów takich figur zbudowanych na nogach będzie wynosić równej powierzchni figury podobnej do nich, zbudowanej na przeciwprostokątnej.

Główną ideą tego uogólnienia jest to, że powierzchnia takiej figury geometrycznej jest proporcjonalna do kwadratu dowolnego z jej wymiarów liniowych, a w szczególności do kwadratu o długości dowolnego boku. Dlatego dla podobnych figur z obszarami A (\styl wyświetlania A), B (\styl wyświetlania B) oraz C (\displaystyle C) zbudowany na nogach z długościami a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c) w związku z tym istnieje relacja:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), to jest zrobione.

Ponadto, jeśli można udowodnić bez odwoływania się do twierdzenia Pitagorasa, że ​​dla obszarów trzech podobnych figur geometrycznych po bokach trójkąta prostokątnego zależność A + B = C (\displaystyle A+B=C), a następnie używając odwrotności dowodu uogólnienia Euklidesa, możemy wyprowadzić dowód twierdzenia Pitagorasa. Na przykład, jeśli na przeciwprostokątnej zbudujemy trójkąt prostokątny przystający do początkowego z polem C (\displaystyle C), a na nogach - dwa podobne trójkąty prostokątne z obszarami A (\styl wyświetlania A) oraz B (\styl wyświetlania B), okazuje się, że trójkąty na nogach powstają w wyniku podzielenia początkowego trójkąta przez jego wysokość, czyli suma dwóch mniejszych obszarów trójkątów jest równa powierzchni trzeciego, a więc A + B = C (\displaystyle A+B=C) i stosując zależność dla podobnych figur, wyprowadza się twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie cosinus

Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia cosinus, które wiąże długości boków w dowolnym trójkącie:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta)=c^(2)),

gdzie jest kąt między bokami? a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b). Jeśli kąt wynosi 90°, to cos ⁡ θ = 0 (\ Displaystyle \ cos \ theta = 0), a formuła upraszcza się do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.

Dowolny trójkąt

Istnieje uogólnienie twierdzenia Pitagorasa do dowolnego trójkąta, działającego wyłącznie na podstawie stosunku długości boków, uważa się, że zostało ono po raz pierwszy ustalone przez sabiańskiego astronoma Sabit ibn Kurrę. W nim, dla dowolnego trójkąta z bokami, równoramienny (trójkąt z podstawą z boku) c (\displaystyle c), wierzchołek pokrywający się z wierzchołkiem pierwotnego trójkąta, po przeciwnej stronie c (\displaystyle c) i kąty u podstawy równe kątowi θ (\displaystyle \theta) Przeciwna strona c (\displaystyle c). W efekcie powstają dwa trójkąty, podobne do pierwotnego: pierwszy z bokami a (\styl wyświetlania a), boczna strona wpisanego trójkąta równoramiennego daleko od niego, oraz r (\displaystyle r)- części boczne c (\displaystyle c); drugi jest symetryczny do niego z boku b (\styl wyświetlania b) z imprezą s (\styl wyświetlania)- odpowiednia część boku c (\displaystyle c). W rezultacie relacja jest spełniona:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

który degeneruje się w twierdzenie Pitagorasa w θ = π / 2 (\ Displaystyle \ theta = \ pi / 2). Stosunek jest konsekwencją podobieństwa utworzonych trójkątów:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Twierdzenie o obszarze Pappusa

Geometria nieeuklidesowa

Twierdzenie Pitagorasa wywodzi się z aksjomatów geometrii euklidesowej i jest nieważne dla geometrii nieeuklidesowej - spełnienie twierdzenia Pitagorasa jest równoznaczne z postulatem równoległości euklidesowej.

W geometrii nieeuklidesowej związek między bokami trójkąta prostokątnego z konieczności będzie miał inną postać niż twierdzenie Pitagorasa. Na przykład w geometrii sferycznej wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, który ogranicza oktant sfery jednostkowej, mają długość π / 2 (\ Displaystyle \ pi / 2), co jest sprzeczne z twierdzeniem Pitagorasa.

Co więcej, twierdzenie Pitagorasa jest ważne w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej, jeśli wymóg, aby trójkąt był prostokątny, zostanie zastąpiony warunkiem, że suma dwóch kątów trójkąta musi być równa trzeciej.

geometria sferyczna

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego na kuli o promieniu R (\ Displaystyle R)(na przykład, jeśli kąt w trójkącie jest prawy) z bokami a , b , c (\displaystyle a,b,c) relacja między stronami to:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \lewo((\frac (c)(R))\prawo)=\cos \lewo((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Równość tę można wyprowadzić jako szczególny przypadek twierdzenia o sferycznym cosinusie, które obowiązuje dla wszystkich trójkątów sferycznych:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + grzech ⁡ (a R) ⋅ grzech ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \lewo((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b),

gdzie ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hiperboliczny cosin. Ten wzór jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o cosinusie hiperbolicznym, które obowiązuje dla wszystkich trójkątów:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b- \ nazwa operatora (sh) a\cdot \nazwa operatora (sh) b\cdot \cos \gamma ),

gdzie γ (\ Displaystyle \ gamma)- kąt, którego wierzchołek jest przeciwny do boku c (\displaystyle c).

Używając szeregu Taylora dla cosinusa hiperbolicznego ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ok 1+x^(2)/2)) można wykazać, że jeśli trójkąt hiperboliczny maleje (czyli kiedy a (\styl wyświetlania a), b (\styl wyświetlania b) oraz c (\displaystyle c) mają tendencję do zera), to relacje hiperboliczne w trójkącie prostokątnym zbliżają się do relacji z klasycznego twierdzenia Pitagorasa.

Podanie

Odległość w dwuwymiarowych układach prostokątnych

Najważniejszym zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa jest wyznaczenie odległości między dwoma punktami w układzie prostokątnym o współrzędnych: odległość s (\styl wyświetlania) między punktami o współrzędnych (a , b) (\displaystyle (a,b)) oraz (c , d) (\displaystyle (c,d)) równa się:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

W przypadku liczb zespolonych twierdzenie Pitagorasa daje naturalny wzór na znalezienie liczby złożonej modułu - dla z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) jest równa długości