Który jest zawsze kwadratowy. Rozwiązywanie równań kwadratowych, wzór na pierwiastki, przykłady
Transformacja pełnego równania kwadratowego w niekompletne wygląda tak (dla przypadku \(b=0\)):
W przypadkach, gdy \(c=0\) lub oba współczynniki są równe zeru, wszystko jest podobne.
Należy pamiętać, że \(a\) nie jest równe zeru, nie może być równe zeru, ponieważ w tym przypadku zamienia się w:
Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych
Przede wszystkim musisz zrozumieć, że niepełne równanie kwadratowe jest nadal, dlatego można je rozwiązać w taki sam sposób, jak zwykłe kwadratowe (przez). Aby to zrobić, po prostu dodaj brakujący składnik równania o zerowym współczynniku.
Przykład
: Znajdź pierwiastki równania \(3x^2-27=0\)
Decyzja
:
|
Mamy niepełne równanie kwadratowe o współczynniku \(b=0\). Oznacza to, że możemy zapisać równanie w następującej postaci: |
||
|
\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
W rzeczywistości tutaj jest to samo równanie, co na początku, ale teraz można je rozwiązać jako zwykły kwadrat. Najpierw spisujemy współczynniki. |
|
|
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Oblicz dyskryminator za pomocą wzoru \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Znajdźmy pierwiastki równania za pomocą wzorów |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
|
Zapisz odpowiedź |
Odpowiedź : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
Przykład
: Znajdź pierwiastki równania \(-x^2+x=0\)
Decyzja
:
|
Znowu niepełne równanie kwadratowe, ale teraz współczynnik \(c\) jest równy zero. Piszemy równanie jako kompletne. |
||
Równanie kwadratowe czyli równanie drugiego stopnia z jedną niewiadomą to równanie, które po przekształceniach można sprowadzić do postaci:
topór 2 + bx + c = 0 - równanie kwadratowe
gdzie x jest nieznane, i a, b oraz c- współczynniki równania. W równaniach kwadratowych a nazywa się pierwszym współczynnikiem ( a ≠ 0), b nazywa się drugim współczynnikiem, a c nazywa się znanym lub wolnym członkiem.
Równanie:
topór 2 + bx + c = 0
nazywa kompletny równanie kwadratowe. Jeśli jeden ze współczynników b lub c wynosi zero lub oba te współczynniki są równe zeru, to równanie przedstawiane jest jako niepełne równanie kwadratowe.
Zredukowane równanie kwadratowe
Całe równanie kwadratowe można zredukować do wygodniejszej postaci, dzieląc wszystkie jego wyrazy przez a, czyli dla pierwszego współczynnika:
Równanie x 2 + px + q= 0 nazywa się zredukowanym równaniem kwadratowym. Dlatego każde równanie kwadratowe, w którym pierwszy współczynnik jest równy 1, można nazwać zredukowanym.
Na przykład równanie:
x 2 + 10x - 5 = 0
jest redukowane, a równanie:
3x 2 + 9x - 12 = 0
można zastąpić powyższym równaniem, dzieląc wszystkie jego wyrazy przez -3:
x 2 - 3x + 4 = 0
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, musisz doprowadzić je do jednej z następujących postaci:
topór 2 + bx + c = 0
topór 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0
Każdy typ równania ma swój własny wzór na znalezienie pierwiastków:
Zwróć uwagę na równanie:
topór 2 + 2kx + c = 0
to jest przekształcone równanie topór 2 + bx + c= 0, w którym współczynnik b- parzysty, co pozwala na zastąpienie go typem 2 k. Dlatego wzór na znalezienie pierwiastków dla tego równania można uprościć, podstawiając 2 k zamiast b:
Przykład 1 Rozwiązać równanie:
3x 2 + 7x + 2 = 0
Ponieważ drugi współczynnik w równaniu nie jest liczbą parzystą, a pierwszy współczynnik nie jest równy jeden, będziemy szukać pierwiastków za pomocą pierwszego wzoru, zwanego ogólną formułą znajdowania pierwiastków równania kwadratowego. Najpierw
a = 3, b = 7, c = 2
Teraz, aby znaleźć pierwiastki równania, po prostu podstawiamy wartości współczynników do wzoru:
| x 1 = | -2 | = - | 1 | , x 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Odpowiedź: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Przykład 2:
x 2 - 4x - 60 = 0
Ustalmy, jakie współczynniki są równe:
a = 1, b = -4, c = -60
Ponieważ drugi współczynnik w równaniu jest liczbą parzystą, użyjemy wzoru na równania kwadratowe z parzystym drugim współczynnikiem:
x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6
Odpowiedź: 10, -6.
Przykład 3
tak 2 + 11tak = tak - 25
Sprowadźmy równanie do ogólnej postaci:
tak 2 + 11tak = tak - 25
tak 2 + 11tak - tak + 25 = 0
tak 2 + 10tak + 25 = 0
Ustalmy, jakie współczynniki są równe:
a = 1, p = 10, q = 25
Ponieważ pierwszy współczynnik jest równy 1, będziemy szukać pierwiastków korzystając ze wzoru na powyższe równania z parzystym drugim współczynnikiem:
Odpowiedź: -5.
Przykład 4
x 2 - 7x + 6 = 0
Ustalmy, jakie współczynniki są równe:
a = 1, p = -7, q = 6
Ponieważ pierwszy współczynnik jest równy 1, będziemy szukać pierwiastków według wzoru dla danych równań z nieparzystym drugim współczynnikiem:
x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1
Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Wyróżnik pozwala rozwiązywać dowolne równania kwadratowe za pomocą ogólnego wzoru, który ma następującą postać:
Wzór na dyskryminację zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych o następującej postaci:
Wyróżnik ma następujące właściwości, które musisz znać:
* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);
* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem w swoich współczynnikach; co więcej, współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym bierze się pierwiastki.
Załóżmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe o następującej postaci:
1 równanie
Zgodnie z formułą mamy:
Ponieważ \, to równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:
Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminującego solvera online?
Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz też obejrzeć film instruktażowy i dowiedzieć się, jak rozwiązywać równanie na naszej stronie, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszego grona, zawsze chętnie Ci pomożemy.
Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.
Za pomocą dyskryminatora rozwiązywane są tylko pełne równania kwadratowe; do rozwiązywania niekompletnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule "Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych".
Jakie równania kwadratowe nazywamy kompletnymi? To jest równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zeru. Tak więc, aby rozwiązać całe równanie kwadratowe, musisz obliczyć dyskryminator D.
D \u003d b 2 - 4ac.
W zależności od tego, jaką wartość ma wyróżnik, spiszemy odpowiedź.
Jeśli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy wyróżnik jest liczbą dodatnią (D > 0),
wtedy x1 = (-b - √D)/2a i x2 = (-b + √D)/2a.
Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpowiedź: 2.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Odpowiedź: bez korzeni.
Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Odpowiedź: - 3,5; jeden.
Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych za pomocą schematu na rysunku 1.
Te wzory można wykorzystać do rozwiązania dowolnego pełnego równania kwadratowego. Musisz tylko uważać, aby równanie zostało zapisane jako wielomian w postaci standardowej
a x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie zdecydować, że
a = 1, b = 3 i c = 2. Wtedy
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1, a następnie równanie ma dwa pierwiastki. A to nieprawda. (Patrz przykład 2 rozwiązanie powyżej).
Dlatego, jeśli równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, najpierw całe równanie kwadratowe musi być zapisane jako wielomian postaci standardowej (jednomian z największym wykładnikiem powinien być na pierwszym miejscu, czyli a x 2 , to z mniej – bx, a następnie wolny termin z.
Rozwiązując powyższe równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem dla drugiego członu, można również zastosować inne wzory. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym z drugim członem współczynnik jest parzysty (b = 2k), to równanie można rozwiązać za pomocą wzorów przedstawionych na wykresie na rysunku 2.
Pełne równanie kwadratowe nazywamy zredukowanym, jeśli współczynnik przy x 2 równa się jedność, a równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub otrzymuje się dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik a stojąc w x 2 .
Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązania zredukowanego kwadratu 
równania. Rozważ przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.
Przykład. Rozwiązać równanie
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Rozwiążmy to równanie za pomocą wzorów przedstawionych na rysunku 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3
Widać, że współczynnik przy x w tym równaniu jest liczbą parzystą, to znaczy b \u003d 6 lub b \u003d 2k, skąd k \u003d 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie za pomocą wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i dzieląc, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x - 2 = 0 Rozwiązujemy to równanie używając wzorów na zredukowane kwadratowe 
równania rysunek 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Odpowiedź: -1 - √3; –1 + √3.
Jak widać, rozwiązując to równanie przy użyciu różnych formuł, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dobrym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1 zawsze możesz rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Treść lekcjiCo to jest równanie kwadratowe i jak je rozwiązać?
Pamiętamy, że równanie to równość zawierająca zmienną, której wartość należy znaleźć.
Jeżeli zmienna zawarta w równaniu jest podnoszona do drugiej potęgi (do kwadratu), to takie równanie nazywa się równanie drugiego stopnia lub równanie kwadratowe.
Na przykład następujące równania są kwadratowe:
Rozwiązujemy pierwsze z tych równań, a mianowicie x 2 − 4 = 0 .
Wszystkie identyczne przekształcenia, których użyliśmy do rozwiązywania zwykłych równań liniowych, można również zastosować do rozwiązywania równań kwadratowych.
Więc w równaniu x 2 − 4 = 0 przesuwamy wyraz -4 z lewej strony na prawą zmieniając znak:
Mam równanie x 2 = 4 . Wcześniej powiedzieliśmy, że równanie uważa się za rozwiązane, jeśli w jednej części zmienna jest zapisana w pierwszym stopniu i jej współczynnik jest równy jeden, a w drugiej część równa się jakiejś liczbie. Oznacza to, że aby rozwiązać równanie, należy je sprowadzić do postaci x = a, gdzie a- pierwiastek równania.
Mamy zmienną x jeszcze w drugim stopniu, więc rozwiązanie musi być kontynuowane.
Aby rozwiązać równanie x 2 = 4 , musisz odpowiedzieć na pytanie przy jakiej wartości x lewa strona staje się 4 . Oczywiście dla wartości 2 i -2 . Aby uzyskać te wartości, używamy definicji pierwiastka kwadratowego.
Numer b nazwany pierwiastkiem kwadratowym z liczby a, jeśli b 2 = a i jest oznaczony jako
Teraz mamy podobną sytuację. W końcu, co jest? x 2 = 4? Zmienny x w tym przypadku jest to pierwiastek kwadratowy z 4, ponieważ druga potęga x równa się 4.
Wtedy możemy napisać, że . Obliczenie prawej strony pozwoli Ci dowiedzieć się, co jest równe x. Pierwiastek kwadratowy ma dwa znaczenia: dodatnie i ujemne. Wtedy dostajemy x= 2 i x= −2 .
Zwykle piszą to w ten sposób: stawiają znak plus-minus przed pierwiastkiem kwadratowym, a następnie znajdują. W naszym przypadku na etapie pisania wyrażenia znak ± należy umieścić przed
Następnie znajdź wartość arytmetyczną pierwiastka kwadratowego
Wyrażenie x= ± 2 oznacza, że x= 2 i x= -2 . To znaczy pierwiastki równania x 2 − 4 = 0 to liczby 2 i −2 . Piszemy kompletne rozwiązanie tego równania:
W obu przypadkach lewa strona to zero. Więc równanie jest poprawne.
Rozwiążmy kolejne równanie. Niech będzie wymagane rozwiązanie równania kwadratowego ( x+ 2) 2 = 25
Najpierw przeanalizujmy to równanie. Lewa strona jest kwadratowa i równa się 25 . Jaka liczba do kwadratu to 25? Oczywiście liczby 5 i -5
Oznacza to, że naszym zadaniem jest znalezienie x, pod którym wyrażenie x+ 2 będzie równe liczbom 5 i -5 . Napiszmy te dwa równania:
Rozwiążmy oba równania. Są to zwykłe równania liniowe, które można łatwo rozwiązać:
Więc pierwiastki równania ( x+ 2) 2 = 25 to liczby 3 i -7 .
W tym przykładzie, podobnie jak w przeszłości, możesz użyć definicji pierwiastka kwadratowego. Tak więc w równaniach ( x+ 2) 2 = 25 wyrażenie ( x+ 2) to pierwiastek kwadratowy z 25. Dlatego najpierw możemy to napisać 
.
Wtedy prawa strona staje się równa ±5 . Otrzymasz dwa równania: x+ 2 = 5 i x+ 2 = -5. Rozwiązując każde z tych równań osobno, dojdziemy do pierwiastków 3 i -7.
Zapiszmy kompletne rozwiązanie równania ( x+ 2) 2 = 25
Z rozważanych przykładów widać, że równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Aby nie zapomnieć o znalezionych korzeniach, zmienna x można podpisać indeksami dolnymi. Zatem pierwiastek 3 można oznaczyć jako x 1 , a pierwiastek od -7 do x 2
W poprzednim przykładzie możesz również to zrobić. Równanie x 2 − 4 = 0 miało pierwiastki 2 i −2 . Te korzenie można określić jako x 1 = 2 i x 2 = −2.
Zdarza się również, że równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek lub wcale. Rozważymy takie równania później.
Sprawdźmy równanie ( x+ 2) 2 = 25 . Zastąp w nim pierwiastki 3 i -7. Jeżeli dla wartości 3 i -7 lewa strona jest równa 25 , oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie:
W obu przypadkach lewa strona to 25 . Więc równanie jest poprawne.
Równanie kwadratowe ma różne formy. Jego najczęstsza forma wygląda tak:
topór 2 + bx + c= 0
,
gdzie a, b, c- kilka liczb x- nieznany.
To tak zwane ogólna postać równania kwadratowego. W takim równaniu wszystkie terminy są zebrane w jednym miejscu (w jednej części), a druga część jest równa zeru. W przeciwnym razie ten typ równania nazywa się postać normalna równania kwadratowego.
Niech zostanie podane równanie 3 x 2 + 2x= 16 . Ma zmienną x podniesione do drugiej potęgi, więc równanie jest kwadratowe. Sprowadźmy to równanie do ogólnej postaci.
Więc musimy uzyskać równanie, które będzie podobne do równania topór 2 + bx+ c= 0 . W tym celu w równaniu 3 x 2 + 2x= 16 przesuwamy 16 z prawej strony na lewą zmieniając znak:
3x 2 + 2x − 16 = 0
Mam równanie 3x 2 + 2x− 16 = 0 . W tym równaniu a= 3 , b= 2 , c= −16 .
W równaniu kwadratowym postaci topór 2 + bx+ c= 0 liczby a , b oraz c mają swoje imiona. Tak, liczba a zwany pierwszym lub starszym współczynnikiem; numer b nazwany drugim współczynnikiem; numer c nazwany wolnym członkiem.
W naszym przypadku dla równania 3x 2 + 2x− 16 = 0 pierwszy lub najwyższy współczynnik wynosi 3 ; drugi współczynnik to liczba 2 ; wolny członek to liczba −16 . Istnieje inna popularna nazwa liczb a, b oraz c — opcje.
Tak więc w równaniu 3x 2 + 2x− 16 = 0 parametrami są liczby 3 , 2 i −16 .
W równaniu kwadratowym pożądane jest ułożenie wyrazów tak, aby były ułożone w tej samej kolejności, co w normalnej postaci równania kwadratowego.
Na przykład, biorąc pod uwagę równanie −5 + 4x 2 + x= 0 , to pożądane jest zapisanie go w formie normalnej, czyli w formie topór 2 + bx + c= 0.
W równaniu −5 + 4x 2 + x = 0 widać, że wolny termin to -5 , powinien znajdować się na końcu lewej strony. członek 4 x 2 zawiera wiodący współczynnik, musi być umieszczony jako pierwszy. Członek x odpowiednio będzie znajdować się na drugim miejscu:
Równanie kwadratowe może przybierać różne formy w zależności od przypadku. Wszystko zależy od wartości a , b oraz z .
Jeżeli współczynniki a , b oraz c nie są równe zero, to równanie kwadratowe nazywa się kompletny. Na przykład równanie kwadratowe jest kompletne 2x 2 + 6x - 8 = 0 .
Jeśli którykolwiek ze współczynników jest równy zero (czyli nieobecny), to równanie jest znacznie zredukowane i przybiera prostszą postać. To równanie kwadratowe nazywa się niekompletny. Na przykład równanie kwadratowe 2 jest niekompletne x 2 + 6x= 0, ma współczynniki a oraz b(numery 2 i 6 ), ale nie ma wolnego członka c.
Rozważmy każdy z tych typów równań i dla każdego z nich zdefiniujemy jego własny sposób rozwiązywania.
Niech równanie kwadratowe 2x 2 + 6x - 8 = 0 . W tym równaniu a= 2 , b= 6 , c= -8 . Jeśli b ustawić na zero, to równanie przyjmie postać:
Okazało się, że równanie 2 x 2 – 8 = 0 . Aby go rozwiązać, przesuwamy -8 w prawą stronę, zmieniając znak:
2x 2 = 8
Aby jeszcze bardziej uprościć równanie, korzystamy z wcześniej zbadanych identycznych przekształceń. W takim przypadku obie części można podzielić na 2
Mamy równanie, które rozwiązaliśmy na początku tej lekcji. Aby rozwiązać równanie x 2 \u003d 4, powinieneś użyć definicji pierwiastka kwadratowego. Jeśli x 2 = 4 , to . Stąd x= 2 i x= −2 .
Czyli pierwiastki równania 2 x 2 − 8 = 0 to liczby 2 i −2 . Piszemy kompletne rozwiązanie tego równania:
Sprawdźmy. Podstawiamy pierwiastki 2 i -2 do pierwotnego równania i wykonujemy odpowiednie obliczenia. Jeśli dla wartości 2 i -2 lewa strona jest równa zero, to będzie oznaczać, że równanie zostało rozwiązane poprawnie:
W obu przypadkach lewa strona jest równa zero, co oznacza, że równanie jest rozwiązane poprawnie.
Równanie, które teraz rozwiązaliśmy, to: niepełne równanie kwadratowe. Nazwa mówi sama za siebie. Jeśli całe równanie kwadratowe wygląda tak: topór 2 + bx+ c= 0 , a następnie tworząc współczynnik b zero jest niepełnym równaniem kwadratowym topór 2 + c= 0 .
Najpierw mieliśmy również pełne równanie kwadratowe 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Ale zrobiliśmy stosunek b zero, czyli zamiast cyfry 6 wstaw 0 . W rezultacie równanie zamieniło się w niepełne równanie kwadratowe 2 x 2 − 4 = 0 .
Na początku tej lekcji rozwiązaliśmy równanie kwadratowe x 2 – 4 = 0 . Jest to również równanie postaci topór 2 + c= 0, czyli niekompletne. W nim a= 1 , b= 0 , z= −4 .
Równanie kwadratowe będzie również niekompletne, jeśli współczynnik c równa się zero.
Rozważ całe równanie kwadratowe 2x 2 + 6x - 4 = 0 . Zróbmy współczynnik c zero. Oznacza to, że zamiast cyfry 4 wstaw 0
Masz równanie kwadratowe 2 x 2 + 6x=0 , co jest niekompletne. Aby rozwiązać takie równanie, zmienna x poza nawiasami:
Okazało się, że równanie x(2x+ 6) = 0, w którym znaleźć x, przy której lewa strona staje się równa zero. Zauważ, że w tym równaniu wyrażenia x i 2 x+ 6) są czynnikami. Jedna z właściwości mnożenia mówi, że iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (albo pierwszy czynnik, albo drugi).
W naszym przypadku równość zostanie osiągnięta, jeśli x będzie równy zero lub (2 x+ 6) będzie równe zero. Zacznijmy od napisania tego:
Istnieją dwa równania: x= 0 i 2 x+ 6 = 0 . Pierwszego równania nie trzeba rozwiązywać - zostało już rozwiązane. Oznacza to, że pierwszy korzeń to zero.
Aby znaleźć drugi pierwiastek, rozwiązujemy równanie 2 x+ 6 = 0 . To jest proste równanie liniowe, które jest łatwe do rozwiązania:
Widzimy, że drugi pierwiastek to -3.
Czyli pierwiastki równania 2 x 2 + 6x= 0 to liczby 0 i -3 . Piszemy kompletne rozwiązanie tego równania:
Sprawdźmy. Wstawiamy pierwiastki 0 i -3 do pierwotnego równania i wykonujemy odpowiednie obliczenia. Jeżeli dla wartości 0 i -3 lewa strona jest równa zero, oznacza to, że równanie zostało rozwiązane poprawnie:
Kolejny przypadek to sytuacja, w której liczby b oraz z są równe zeru. Rozważ całe równanie kwadratowe 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Zróbmy współczynniki b oraz c zera. Wtedy równanie hello to:
Masz równanie 2 x 2 = 0 . Lewa strona to produkt, a prawa strona to zero. Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. To oczywiste, że x= 0 . Rzeczywiście, 2 × 0 2 = 0 . Stąd 0 = 0 . Dla innych wartości x równość nie zostanie osiągnięta.
Mówiąc najprościej, jeśli w równaniu kwadratowym postaci topór 2 + bx+ c= 0 liczby b oraz z są równe zero, to pierwiastek takiego równania jest równy zero.
Zwróć uwagę, że gdy wyrażenia „ b to zero" lub " c to zero „to rozumie się, że parametry b lub c w ogóle nieuwzględnione w równaniu.
Na przykład, jeśli dane równanie 2 x 2 − 32 = 0 , wtedy mówimy, że b= 0 . Ponieważ w porównaniu do pełnego równania topór 2 + bx+ c= 0 , widać, że w równaniu 2 x 2 − 32 = 0 jest wiodący współczynnik a, równy 2; jest punkt przecięcia -32 ; ale bez współczynnika b .
Na koniec rozważ pełne równanie kwadratowe topór 2 + bx+ c= 0 . Jako przykład rozwiążmy równanie kwadratowe x 2 − 2x+ 1 = 0 .
Więc musimy znaleźć x, przy której lewa strona staje się równa zero. Wykorzystajmy te same przekształcenia, które omówiliśmy wcześniej.
Przede wszystkim zauważ, że lewa strona równania to . Jeśli pamiętamy jak , trafiamy na lewą stronę ( x− 1) 2 .
Spieramy się dalej. Lewa strona jest kwadratowa i równa się zero. Jaka liczba do kwadratu to zero? Oczywiście tylko 0 . Dlatego naszym zadaniem jest znalezienie x, przy którym wyrażenie x− 1 jest równe zeru. Rozwiązując najprostsze równanie x− 1 = 0 , możesz dowiedzieć się, co jest równe x
Ten sam wynik można uzyskać za pomocą pierwiastka kwadratowego. W równaniu ( x− 1) 2 = 0 wyrażenie ( x− 1) to pierwiastek kwadratowy z zera. Wtedy można to napisać 
. W tym przykładzie nie musisz pisać znaku ± przed pierwiastkiem, ponieważ pierwiastek zera ma tylko jedną wartość - zero. Potem się okazuje x− 1 = 0 . Stąd x= 1
.
Więc pierwiastek równania x 2 − 2x+ 1 = 0 jest jednostką. To równanie nie ma innych pierwiastków. W tym przypadku rozwiązaliśmy równanie kwadratowe, które ma tylko jeden pierwiastek. Tak też się dzieje.
Proste równania nie zawsze są podane. Rozważmy na przykład równanie x 2 + 2x− 3 = 0 .
W tym przypadku lewa strona nie jest już kwadratem sumy lub różnicy. Dlatego trzeba znaleźć inne rozwiązania.
Zauważ, że lewa strona równania jest trójmianem kwadratowym. Następnie możemy spróbować wybrać pełny kwadrat z tego trójmianu i zobaczyć, co nam to daje.
Wybieramy pełny kwadrat z trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie równania:
W otrzymanym równaniu przenosimy -4 na prawą stronę zmieniając znak:
Teraz użyjmy pierwiastka kwadratowego. W równaniu ( x+ 1) 2 = 4 wyrażenie ( x+ 1) to pierwiastek kwadratowy z 4. Wtedy można to napisać 
. Obliczenie prawej strony da wyrażenie x+ 1 = ±2 . Z tego otrzymujemy dwa równania: x+ 1 = 2 i x+ 1 = -2, których pierwiastkami są liczby 1 i -3
Więc pierwiastki równania x 2 + 2x− 3 = 0 to liczby 1 i -3 .
Sprawdźmy:
Przykład 3. Rozwiązać równanie x 2 − 6x+ 9 = 0 , wybierając pełny kwadrat.
Więc pierwiastek równania x 2 − 6x+ 9 = 0 to 3. Sprawdźmy:
Przykład 4 4x 2 + 28x− 72 = 0 , podświetlając cały kwadrat:
Wybierz pełny kwadrat z lewej strony:
Przenieśmy się −121 z lewej strony na prawą, zmieniając znak:
Użyjmy pierwiastka kwadratowego:
Mamy dwa proste równania: 2 x+ 7 = 11 i 2 x+ 7 = -11. Rozwiążmy je:
Przykład 5. Rozwiązać równanie 2x 2 + 3x− 27 = 0
To równanie jest trochę bardziej skomplikowane. Kiedy wybieramy pełny kwadrat, przedstawiamy pierwszy wyraz trójmianu kwadratowego jako kwadrat pewnego wyrażenia.
Tak więc w poprzednim przykładzie pierwszym członem równania był 4 x 2. Może być reprezentowany jako kwadrat z wyrażenia 2 x, tj (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Aby sprawdzić, czy jest to poprawne, możesz wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z wyrażenia 4 x 2. To jest pierwiastek kwadratowy z iloczynu - jest równy iloczynowi pierwiastków:
W równaniu 2x 2 + 3x− 27 = 0 pierwszy członek to 2 x 2. Nie może być reprezentowany jako kwadrat o dowolnym wyrażeniu. Ponieważ nie ma liczby, której kwadrat wynosi 2. Gdyby była taka liczba, to ta liczba byłaby pierwiastkiem kwadratowym z liczby 2. Ale pierwiastek kwadratowy z liczby 2 jest wyciągany tylko w przybliżeniu. A przybliżona wartość nie jest odpowiednia do przedstawienia liczby 2 jako kwadratu.
Jeśli obie części pierwotnego równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, to otrzymamy równanie równoważne pierwotnemu. Ta zasada obowiązuje również dla równania kwadratowego.
Następnie możemy podzielić obie strony naszego równania przez 2. To pozbędzie się dwójki wcześniej x 2 co później da nam możliwość wybrania pełnego kwadratu:
Przepisz lewą stronę jako trzy ułamki z mianownikiem 2
Zmniejszamy pierwszy ułamek o 2. Przepisujemy pozostałe elementy po lewej stronie bez zmian. Prawa strona nadal będzie wynosić zero:
Wybierzmy pełny kwadrat.
Gdy termin jest reprezentowany jako podwójny iloczyn, pojawienie się współczynnika 2 doprowadziłoby do zmniejszenia tego współczynnika i mianownika ułamka. Aby temu zapobiec, podwojony iloczyn został pomnożony przez. Wybierając pełny kwadrat, należy zawsze starać się upewnić, że wartość oryginalnego wyrażenia się nie zmieni.
Zwińmy wynikowy pełny kwadrat:
Oto podobni członkowie:
Przesuńmy ułamek na prawą stronę, zmieniając znak:
Użyjmy pierwiastka kwadratowego. Wyrażenie to pierwiastek kwadratowy z liczby
Aby obliczyć prawą stronę, stosujemy zasadę ekstrakcji:
Wtedy nasze równanie przyjmie postać:
Otrzymujemy dwa równania:
Rozwiążmy je:
Więc pierwiastki równania 2x 2 + 3x− 27 = 0 to liczby 3 i .
Wygodniej jest pozostawić pierwiastek w tej formie, bez dzielenia licznika przez mianownik. Ułatwi to sprawdzenie.
Sprawdźmy. Znalezione korzenie podstawiamy do pierwotnego równania:
W obu przypadkach lewa strona jest równa zero, więc równanie 2x 2 + 3x− 27 = 0 zdecydował się dobrze.
Rozwiązywanie równania 2x 2 + 3x− 27 = 0 , na samym początku podzieliliśmy obie części przez 2 . W rezultacie otrzymano równanie kwadratowe, w którym współczynnik przed x 2 równa się jeden:
Ten rodzaj równania kwadratowego nazywa się zredukowane równanie kwadratowe.
Dowolne równanie kwadratowe postaci topór 2 + bx+ c= 0 można zmniejszyć. Aby to zrobić, musisz podzielić obie jego części przez współczynnik znajdujący się przed x². W tym przypadku obie strony równania topór 2 + bx+ c= 0 należy podzielić na a
Przykład 6. Rozwiąż równanie kwadratowe 2x 2 + x+ 2 = 0
Zmniejszmy to równanie:
Wybierzmy pełny kwadrat:
Mam równanie 
, w którym kwadrat wyrażenia jest równy liczbie ujemnej. Tak nie może być, ponieważ kwadrat dowolnej liczby lub wyrażenia jest zawsze dodatni.
Dlatego nie ma takiego x, przy którym lewa strona stałaby się równa . Więc równanie nie ma korzeni.
A ponieważ równanie jest odpowiednikiem oryginalnego równania 2x 2 + x+ 2 = 0
, to (pierwotne równanie) nie ma pierwiastków.
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Wybór pełnego kwadratu dla każdego rozwiązywanego równania kwadratowego nie jest zbyt wygodny.
Czy można stworzyć uniwersalne wzory do rozwiązywania równań kwadratowych? Okazuje się, że możesz. Teraz zajmiemy się tym.
Na podstawie dosłownego równania topór 2 + bx+ c= 0 , a po wykonaniu kilku identycznych przekształceń możemy otrzymać wzory na wyprowadzenie pierwiastków równania kwadratowego topór 2 + bx+ c= 0 . Współczynniki można podstawić do tych wzorów a , b , z i uzyskaj rozwiązania.
Tak więc wybieramy pełny kwadrat z lewej strony równania topór 2 + bx+ c= 0. Najpierw zmniejszmy to równanie. Podzielmy obie części na a
Teraz w otrzymanym równaniu wybieramy pełny kwadrat:
Przenosimy terminy i na prawą stronę zmieniając znak:
Sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika. Ułamki składające się z liter prowadzą do wspólnego mianownika. Oznacza to, że mianownik pierwszej ułamka staje się dodatkowym współczynnikiem drugiej ułamka, a mianownik drugiej ułamka staje się dodatkowym współczynnikiem pierwszej ułamka:
W liczniku po prawej stronie wyjmujemy z nawiasów a
Skróćmy prawą stronę o a
Ponieważ wszystkie przekształcenia były identyczne, powstałe równanie 
ma te same pierwiastki co pierwotne równanie topór 2 + bx+ c= 0.
Równanie będzie miał pierwiastki tylko wtedy, gdy prawa strona jest większa lub równa zero. Dzieje się tak dlatego, że podnoszenie do kwadratu wykonuje się po lewej stronie, a kwadrat dowolnej liczby jest dodatni lub równy zeru (jeśli zero jest podniesione do tego kwadratu). A to, czym będzie równa prawa strona, zależy od tego, co zostanie zastąpione zamiast zmiennych a
, b oraz c
.
Ponieważ dla każdego a nierówny zero, mianownik prawej strony równania zawsze będzie dodatni, to znak ułamka będzie zależał od znaku jego licznika, czyli od wyrażenia b 2 − 4AC
.
Wyrażenie b 2 − 4AC nazywa dyskryminator równania kwadratowego. Dyskryminant to łacińskie słowo oznaczające wyróżnik . Dyskryminator równania kwadratowego jest oznaczony literą D
D = b 2 − 4AC
Wyróżnik pozwala z góry wiedzieć, czy równanie ma pierwiastki, czy nie. Tak więc w poprzednim zadaniu długo rozwiązywaliśmy równanie 2x 2 + x+ 2 = 0 i okazało się, że nie ma korzeni. Wyróżnik pozwoliłby nam z góry wiedzieć, że nie ma korzeni. W równaniu 2x 2 + x+ 2 = 0 szanse a , b oraz c to odpowiednio 2, 1 i 2. Zastąp je formułą D = b 2 −4AC
D = b 2 − 4AC= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.
Widzimy to D(To jest b 2 − 4AC) jest liczbą ujemną. Wtedy nie ma sensu rozwiązywać równania 2x 2 + x+ 2 = 0,
zaznaczenie w nim pełnego kwadratu, bo gdy dojdziemy do równania postaci , okazuje się, że prawa strona staje się mniejsza od zera (ze względu na negatywny dyskryminator). A kwadrat liczby nie może być ujemny. Dlatego to równanie nie ma pierwiastków.
Staje się jasne, dlaczego starożytni ludzie rozważali wyrażenie b 2 − 4AC wyróżnik. To wyrażenie, podobnie jak wskaźnik, pozwala odróżnić równanie z pierwiastkami od równania bez pierwiastków.
Więc, D równa się b 2 − 4AC. Podstaw w równaniu zamiast wyrażenia b 2 − 4AC list D
Jeśli dyskryminator pierwotnego równania jest mniejszy od zera ( D< 0) , то уравнение примет вид:
W tym przypadku oryginalne równanie nie ma pierwiastków, ponieważ kwadrat dowolnej liczby nie może być ujemny.
Jeśli dyskryminator pierwotnego równania jest większy od zera ( D> 0) , to równanie przyjmie postać:
W takim przypadku równanie będzie miało dwa pierwiastki. Aby je wyprowadzić, używamy pierwiastka kwadratowego:
Mam równanie 
. Z tego otrzymujemy dwa równania: 
oraz 
. Wyrazić x w każdym z równań:
Otrzymane dwie równości są uniwersalnymi wzorami do rozwiązywania równania kwadratowego topór 2 + bx+ c= 0. Nazywają się wzory na pierwiastki równania kwadratowego.
Najczęściej formuły te są oznaczane jako x 1 i x 2. Oznacza to, że do obliczenia pierwszego pierwiastka używana jest formuła o indeksie 1; wyprowadzić drugi pierwiastek - formułę o indeksie 2. Oznaczmy nasze formuły w ten sam sposób:
Kolejność stosowania formuł nie jest istotna.
Rozwiążmy na przykład równanie kwadratowe x 2 + 2x− 8 = 0 korzystając ze wzorów pierwiastków równania kwadratowego. Współczynnikami tego równania kwadratowego są liczby 1 , 2 i -8 . Tj, a= 1 , b= 2 , c= −8 .
Przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego musisz znaleźć wyróżnik tego równania.
Znajdźmy wyróżnik równania kwadratowego. W tym celu korzystamy ze wzoru D = b 2 − 4 ac. Zamiast zmiennych a, b oraz c będziemy mieli współczynniki równania x 2 + 2x− 8 = 0
D = b 2 − 4AC= 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36
Dyskryminator jest większy od zera. Więc równanie ma dwa pierwiastki. Teraz możesz użyć formuł pierwiastków równania kwadratowego:
Więc pierwiastki równania x 2 + 2x− 8 = 0 to liczby 2 i -4 . Sprawdzenie, aby upewnić się, że korzenie zostały znalezione poprawnie:
Na koniec rozważmy przypadek, w którym wyróżnik równania kwadratowego jest równy zero. Wróćmy do równania. Jeżeli dyskryminator wynosi zero, to prawa strona równania przyjmie postać:
W tym przypadku równanie kwadratowe będzie miało tylko jeden pierwiastek. Użyjmy pierwiastka kwadratowego:
To kolejny wzór na wyprowadzenie pierwiastka kwadratowego. Rozważmy jego zastosowanie. Wcześniej rozwiązaliśmy równanie x 2 − 6x+ 9 = 0 , który ma jeden pierwiastek 3. Rozwiązaliśmy go wybierając pełny kwadrat. Teraz spróbujmy rozwiązać za pomocą formuł.
Znajdźmy wyróżnik równania kwadratowego. W tym równaniu a= 1 , b= −6 , c= 9 . Wtedy zgodnie ze wzorem na dyskryminację mamy:
D = b 2 − 4AC= (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
Wyróżnikiem jest zero ( D= 0) . Oznacza to, że równanie ma tylko jeden pierwiastek i jest obliczane ze wzoru
Więc pierwiastek równania x 2 − 6x+ 9 = 0 to liczba 3.
W przypadku równania kwadratowego, które ma jeden pierwiastek, wzory mają również zastosowanie 
oraz 
. Ale zastosowanie każdego z nich da ten sam rezultat.
Zastosujmy te dwie formuły do poprzedniego równania. W obu przypadkach otrzymujemy tę samą odpowiedź 3
Jeśli równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek, zaleca się stosowanie formuły, a nie formuł oraz . Oszczędza to czas i miejsce.
Przykład 3. Rozwiązać równanie 5x 2 − 6x+ 1 = 0
Więc pierwiastki równania 5x 2 − 6x+ 1 = 0 to liczby 1 i .
Odpowiedź: 1; .
Przykład 4. Rozwiązać równanie x 2 + 4x+ 4 = 0
Znajdźmy wyróżnik równania kwadratowego:
Wyróżnikiem jest zero. Więc równanie ma tylko jeden pierwiastek. Oblicza się go według wzoru
Więc pierwiastek równania x 2 + 4x+ 4 = 0 to liczba -2.
Odpowiedź: -2.
Przykład 5. Rozwiązać równanie 3x 2 + 2x+ 4 = 0
Znajdźmy wyróżnik równania kwadratowego:
Dyskryminator jest mniejszy od zera. Więc to równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: bez korzeni.
Przykład 6. Rozwiązać równanie (x+ 4) 2 = 3x+ 40
Sprowadźmy to równanie do postaci normalnej. Po lewej stronie znajduje się kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Rozłóżmy to:
Przenieśmy wszystkie terminy z prawej strony na lewą, zmieniając ich znaki. Zero pozostanie po prawej stronie:
Dyskryminator jest większy od zera. Więc równanie ma dwa pierwiastki. Użyjmy wzorów pierwiastków równania kwadratowego:
Więc pierwiastki równania (x+ 4) 2 = 3x+ 40 to liczby 3 i -8 .
Odpowiedź: 3; −8.
Przykład 7. Rozwiązać równanie 
Pomnóż obie strony tego równania przez 2. Pozwoli nam to pozbyć się ułamka po lewej stronie:
W powstałym równaniu przenosimy 22 z prawej strony na lewą, zmieniając znak. 0 pozostanie po prawej stronie
Oto podobne terminy po lewej stronie:
W otrzymanym równaniu znajdujemy wyróżnik:
Dyskryminator jest większy od zera. Więc równanie ma dwa pierwiastki. Użyjmy wzorów pierwiastków równania kwadratowego:
Więc pierwiastki równania to liczby 23 i -1 .
Odpowiedź: 23; −1.
Przykład 8. Rozwiązać równanie 
Pomnóż obie części przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. To pozbędzie się frakcji w obu częściach. Najmniejszą wspólną wielokrotnością 2 i 3 jest 6 . Następnie otrzymujemy:
W wynikowym równaniu otwórz nawiasy w obu częściach:
Teraz przenieśmy wszystkie terminy z prawej strony na lewą, zmieniając ich znaki. 0 pozostanie po prawej stronie
Oto podobne terminy po lewej stronie:
W otrzymanym równaniu znajdujemy wyróżnik:
Dyskryminator jest większy od zera. Więc równanie ma dwa pierwiastki. Użyjmy wzorów pierwiastków równania kwadratowego:
Więc pierwiastki równania to liczby i 2.
Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych
Przykład 1. Rozwiązać równanie x 2 = 81
Jest to najprostsze równanie kwadratowe, w którym musisz określić liczbę, której kwadrat wynosi 81. To są liczby 3 i -3. Użyjmy pierwiastka kwadratowego, aby je wyprowadzić:
Odpowiedź: 9, −9 .
Przykład 2. Rozwiązać równanie x 2 − 9 = 0
To jest niepełne równanie kwadratowe. Aby go rozwiązać, musisz przesunąć wyraz -9 na prawą stronę, zmieniając znak. Następnie otrzymujemy:
Odpowiedź: 3, −3.
Przykład 3. Rozwiązać równanie x 2 − 9x= 0
To jest niepełne równanie kwadratowe. Aby go rozwiązać, musisz najpierw wyjąć x dla wsporników:
Lewa strona równania to iloczyn. Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru.
Lewa strona stanie się równa zeru, jeśli osobno x wynosi zero, lub jeśli wyrażenie x− 9 jest równe zeru. Dostajesz dwa równania, z których jedno zostało już rozwiązane:
Odpowiedź: 0, 9 .
Przykład 4. Rozwiązać równanie x 2 + 4x− 5 = 0
To jest kompletne równanie kwadratowe. Można to rozwiązać metodą wyboru pełnego kwadratu lub za pomocą wzorów pierwiastków równania kwadratowego.
Rozwiążmy to równanie za pomocą wzorów. Najpierw znajdźmy wyróżnik:
D= b 2 − 4AC= 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
Dyskryminator jest większy od zera. Więc równanie ma dwa pierwiastki. Obliczmy je:
Odpowiedź: 1, −5 .
Przykład 5. Rozwiązać równanie 
Pomnóżmy obie części przez 5, 3 i 6. W ten sposób pozbędziemy się ułamków w obu częściach:
W powstałym równaniu przenosimy wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą, zmieniając znak. Zero pozostanie po prawej stronie:
Oto podobni członkowie:
Odpowiedź: 5 , .
Przykład 6. Rozwiązać równanie x 2 = 6
W tym przykładzie, ponieważ musisz użyć pierwiastka kwadratowego:
Jednak pierwiastek kwadratowy z 6 nie jest brany. Jest wydobywany tylko w przybliżeniu. Korzeń można wyodrębnić z pewną dokładnością. Wyodrębnijmy to do najbliższej setnej części:
Ale najczęściej korzeń pozostaje jako radykalny:
Odpowiedź:
Przykład 7. Rozwiązać równanie (2x+ 3) 2 + (x− 2) 2 = 13
Otwórzmy nawiasy po lewej stronie równania:
W powstałym równaniu przenosimy 13 z prawej strony na lewą, zmieniając znak. Następnie podajemy podobnych członków:
Otrzymaliśmy niepełne równanie kwadratowe. Rozwiążmy to:
Odpowiedź: 0 , −1,6 .
Przykład 8. Rozwiązać równanie (5 + 7x)(4 − 3x) = 0
Równanie to można rozwiązać na dwa sposoby. Rozważmy każdy z nich.
Pierwszy sposób. Rozwiń nawiasy i uzyskaj normalną postać równania kwadratowego.
Rozwińmy nawiasy:
Oto podobni członkowie:
Wynikowe równanie przepisujemy tak, aby wyraz o najwyższym współczynniku znajdował się jako pierwszy, wyraz z drugim współczynnikiem był drugi, a wyraz wolny jako trzeci:
Aby wyraz wiodący był dodatni, mnożymy obie strony równania przez -1. Wtedy wszystkie wyrazy równania zmienią swoje znaki na przeciwne:
Otrzymane równanie rozwiązujemy za pomocą wzorów pierwiastków równania kwadratowego:
Drugi sposób. Znajdź wartości x, dla której współczynniki po lewej stronie równania są równe zero. Ta metoda jest wygodniejsza i znacznie krótsza.
Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. W tym przypadku równość w równaniu (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 zostanie osiągnięty, jeśli wyrażenie (5 + 7 x) jest równe zero lub wyrażenie (4 − 3 x) wynosi zero. Naszym zadaniem jest dowiedzieć się, pod czym x zdarza się:
Przykłady rozwiązywania problemów
Wyobraź sobie, że konieczne stało się zbudowanie małego pomieszczenia o powierzchni 8 m2. W takim przypadku długość pomieszczenia powinna być dwukrotnie większa od szerokości. Jak określić długość i szerokość takiego pomieszczenia?
Zróbmy przybliżony rysunek tego pokoju, który ilustruje widok z góry:
Oznacz szerokość pomieszczenia przez x. A długość pokoju po 2 x, ponieważ w zależności od stanu problemu długość powinna być dwukrotnie większa od szerokości. Mnożnik wynosi 2 i spełni to wymaganie:
Powierzchnia pomieszczenia (jego podłoga) to prostokąt. Aby obliczyć powierzchnię prostokąta, pomnóż długość prostokąta przez jego szerokość. Zróbmy to:
2x × x
W zależności od stanu problemu powierzchnia powinna wynosić 8 m2. Więc wyrażenie 2 x× x powinno być zrównane z 8
2x × x = 8
Mam równanie. Jeśli go rozwiążesz, możesz znaleźć długość i szerokość pokoju.
Pierwszą rzeczą, którą możesz zrobić, to wykonać mnożenie po lewej stronie równania:
2x 2 = 8
W wyniku tej transformacji zmienna x przeniósł się do drugiego stopnia. I powiedzieliśmy, że jeśli zmienna zawarta w równaniu zostanie podniesiona do drugiej potęgi (do kwadratu), to takie równanie jest równaniem drugiego stopnia lub równaniem kwadratowym.
Aby rozwiązać nasze równanie kwadratowe, używamy wcześniej zbadanych identycznych przekształceń. W takim przypadku obie części można podzielić na 2
Teraz użyjmy pierwiastka kwadratowego. Jeśli x 2 = 4 , to . Stąd x= 2 i x= −2 .
Przez x wskazano szerokość pokoju. Szerokość nie może być ujemna, więc brana jest pod uwagę tylko wartość 2. Dzieje się tak często podczas rozwiązywania problemów, w których używane jest równanie kwadratowe. W odpowiedzi uzyskuje się dwa pierwiastki, ale tylko jeden z nich spełnia warunek problemu.
A długość została wskazana przez 2 x. Oznaczający x teraz znany, zastąp go wyrażeniem 2 x i oblicz długość:
2x= 2 × 2 = 4
Długość wynosi 4 m, a szerokość 2 m. To rozwiązanie spełnia stan problemu, ponieważ powierzchnia pokoju wynosi 8 m 2
4 × 2 = 8 m 2
Odpowiedź: Długość pomieszczenia 4m, szerokość 2m.
Przykład 2. Działka ogrodowa w kształcie prostokąta, której jedna strona jest o 10 m dłuższa od drugiej, musi być ogrodzona. Określ długość ogrodzenia, jeśli wiadomo, że powierzchnia terenu wynosi 1200 m 2
Decyzja
Długość prostokąta jest zwykle większa niż jego szerokość. Niech szerokość działki x metrów i długości ( x+ 10) metrów. Powierzchnia działki 1200 m 2 . Pomnóż długość przekroju przez jego szerokość i zrównaj się z 1200, otrzymujemy równanie:
x(x+ 10) = 1200
Rozwiążmy to równanie. Najpierw otwórz wsporniki po lewej stronie:
Przesuńmy 1200 z prawej strony na lewą, zmieniając znak. 0 pozostanie po prawej stronie
Otrzymane równanie rozwiązujemy za pomocą wzorów:
Pomimo tego, że równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, bierzemy pod uwagę tylko wartość 30. Ponieważ szerokość nie może być wyrażona jako liczba ujemna.
Więc przez x zaznaczono szerokość terenu. Jest równy trzydziestu metrom. A długość została wskazana przez wyrażenie x+ 10 . Zastąp ją znalezioną wartością x i oblicz długość:
x
Podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
