Definicja jednomianu: pojęcia pokrewne, przykłady. Definicja jednomianu, pojęcia pokrewne, przykłady Standardowa postać reguły jednomianu z przykładem

1. Całkowity dodatni współczynnik. Niech mamy jednomian +5a, ponieważ liczba dodatnia +5 jest uważana za to samo co liczba arytmetyczna 5, to

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Również +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc i tak dalej.

Na podstawie tych przykładów możemy ustalić, że dodatni współczynnik całkowity pokazuje, ile razy czynnik dosłowny (lub: iloczyn czynników dosłownych) jednomianu jest powtarzany przez termin.

Należy się do tego przyzwyczaić do tego stopnia, że ​​od razu pojawia się w wyobraźni, że np. w wielomianu

3a + 4a² + 5a³

sprawa sprowadza się do tego, że najpierw a² powtarza się 3 razy jako wyraz, potem a³ 4 razy jako wyraz, a następnie a 5 razy jako wyraz.

Również: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ itd.

2. Dodatni współczynnik ułamkowy. Niech mamy jednomian +a. Ponieważ liczba dodatnia + pokrywa się z liczbą arytmetyczną, to +a = a ∙ , co oznacza: musisz wziąć trzy czwarte liczby a, tj.

Dlatego: dodatni współczynnik ułamkowy pokazuje, ile razy i jaka część dosłownego mnożnika jednomianu jest powtarzana przez termin.

Wielomian powinny być łatwo reprezentowane jako:

itp.

3. Ujemny współczynnik. Znając mnożenie liczb względnych możemy łatwo ustalić, że np. (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) lub (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) lub ogólnie a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); także ∙ (–) = (–a) ∙ (+) itd.

Dlatego jeśli weźmiemy jednomian o ujemnym współczynniku, na przykład –3a, to

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a jest przyjmowane jako wyraz 3 razy).

Z tych przykładów widzimy, że ujemny współczynnik pokazuje, ile razy część literowa jednomianu lub jego pewna część, wzięta ze znakiem minus, jest powtarzana przez termin.

Jednomiany są jednym z głównych typów wyrażeń, których uczy się w ramach szkolnego kursu algebry. W tym artykule opowiemy, czym są te wyrażenia, określimy ich standardową formę i pokażemy przykłady, a także zajmiemy się powiązanymi pojęciami, takimi jak stopień jednomianu i jego współczynnik.

Co to jest jednomian

Podręczniki szkolne zwykle podają następującą definicję tego pojęcia:

Definicja 1

Monomery obejmują liczby, zmienne, a także ich stopnie z naturalnym wskaźnikiem oraz różnego rodzaju produkty z nich złożone.

Na podstawie tej definicji możemy podać przykłady takich wyrażeń. Tak więc wszystkie liczby 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 będą odnosić się do jednomianów. Wszystkie zmienne, na przykład x , a , b , p , q , t , y , z również będą z definicji jednomianami. Obejmuje to również potęgi zmiennych i liczb, na przykład 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 i t 15, a także wyrażenia takie jak 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z itd. Należy zauważyć, że jednomian może zawierać jedną liczbę lub zmienną lub kilka i mogą być wymieniane kilka razy jako część jednego wielomianu.

Takie typy liczb jak liczby całkowite, wymierne, naturalne również należą do jednomianów. W tym miejscu można również uwzględnić liczby rzeczywiste i zespolone. Zatem wyrażenia takie jak 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 również będą jednomianami.

Jaka jest standardowa forma jednomianu i jak przekonwertować na nią wyrażenie?

Dla wygody pracy wszystkie jednomiany są najpierw sprowadzane do specjalnej formy, zwanej standardową. Powiedzmy konkretnie, co to oznacza.

Definicja 2

Standardowa forma jednomianu nazywają to taką formą, w której jest iloczynem czynnika liczbowego i naturalnych sił różnych zmiennych. Współczynnik liczbowy, zwany również współczynnikiem jednomianowym, zapisywany jest zwykle najpierw od lewej strony.

Dla jasności wybieramy kilka jednomianów postaci standardowej: 6 (jest to jednomian bez zmiennych), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Obejmuje to również wyrażenie x y(tu współczynnik będzie równy 1), − x 3(tu współczynnik wynosi - 1).

Teraz podajemy przykłady jednomianów, które należy sprowadzić do postaci standardowej: 4 za 2 za 3(tu trzeba połączyć te same zmienne), 5 x (− 1) 3 lata 2(tutaj musisz połączyć czynniki liczbowe po lewej stronie).

Zwykle w przypadku, gdy jednomian ma kilka zmiennych zapisanych literami, współczynniki literowe zapisywane są w kolejności alfabetycznej. Na przykład preferowany wpis 6 a b 4 c z 2, Jak b 4 6 a z 2 c. Jednak kolejność może być inna, jeśli wymaga tego cel obliczeń.

Każdy jednomian można zredukować do postaci standardowej. Aby to zrobić, musisz wykonać wszystkie niezbędne identyczne przekształcenia.

Pojęcie stopnia jednomianu

Bardzo ważne jest towarzyszące jej pojęcie stopnia jednomianu. Zapiszmy definicję tego pojęcia.

Definicja 3

Stopień jednomianu, napisany w standardowej formie, jest sumą wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jego rekordzie. Jeśli nie ma w nim ani jednej zmiennej, a sam jednomian jest różny od 0, to jego stopień będzie wynosił zero.

Podajmy przykłady stopni jednomianu.

Przykład 1

Tak więc jednomian a ma stopień 1, ponieważ a = a 1 . Jeśli mamy jednomian 7 , to będzie miał zerowy stopień, ponieważ nie ma zmiennych i jest różny od 0 . A oto wpis 7 za 2 x r 3 za 2 będzie jednomianem 8 stopnia, ponieważ suma wykładników wszystkich stopni zawartych w nim zmiennych będzie równa 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standaryzowany jednomian i oryginalny wielomian będą miały ten sam stopień.

Przykład 2

Pokażmy, jak obliczyć stopień jednomianu 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. W standardowej formie można go zapisać jako − 6 x 8 lat 4. Obliczamy stopień: 8 + 4 = 12 . Stąd stopień pierwotnego wielomianu jest również równy 12 .

Pojęcie współczynnika jednomianowego

Jeśli mamy znormalizowany jednomian, który zawiera przynajmniej jedną zmienną, to mówimy o nim jako o produkcie z jednym czynnikiem liczbowym. Czynnik ten nazywany jest współczynnikiem liczbowym lub współczynnikiem jednomianowym. Zapiszmy definicję.

Definicja 4

Współczynnik jednomianu jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zredukowanego do postaci standardowej.

Weźmy na przykład współczynniki różnych jednomianów.

Przykład 3

Tak więc w wyrażeniu 8 a 3 współczynnik będzie liczbą 8, a in (− 2 , 3) ​​x y z oni będą − 2 , 3 .

Szczególną uwagę należy zwrócić na współczynniki równe jeden i minus jeden. Z reguły nie są one wyraźnie wskazane. Uważa się, że w jednomianu postaci standardowej, w której nie ma współczynnika liczbowego, współczynnik wynosi 1, na przykład w wyrażeniach a, x z 3, a t x, ponieważ można je uznać za 1 a, x z 3 - jak 1 x z 3 itp.

Podobnie w przypadku jednomianów, które nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, możemy rozważyć współczynnik - 1.

Przykład 4

Na przykład wyrażenia − x, − x 3 y z 3 będą miały taki współczynnik, ponieważ można je przedstawić jako − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 itd.

Jeśli jednomian nie ma w ogóle pojedynczego mnożnika dosłownego, to w tym przypadku można mówić o współczynniku. Współczynnikami takich jednomianów-liczb będą same te liczby. Na przykład współczynnik jednomianu 9 będzie równy 9.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Lekcja na ten temat: „Standardowa forma jednomianu. Definicja. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała geometria” dla klas 7-9
Multimedialny przewodnik do nauki „Geometria w 10 minut” dla klas 7-9

Jednomian. Definicja

Jednomian to wyrażenie matematyczne będące iloczynem czynnika pierwszego i jednej lub więcej zmiennych.

Jednomiany obejmują wszystkie liczby, zmienne, ich potęgi z wykładnikiem naturalnym:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b3; topór4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Dość często trudno jest określić, czy dane wyrażenie matematyczne odnosi się do jednomianu, czy nie. Na przykład $\frac(4a^3)(5)$. Czy jest jednomianowy, czy nie? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy uprościć wyrażenie, tj. reprezentować w postaci: $\frac(4)(5)*а^3$.
Możemy z całą pewnością powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem.

Standardowa forma jednomianu

Przy obliczaniu pożądane jest doprowadzenie jednomianu do postaci standardowej. Jest to najkrótszy i najbardziej zrozumiały zapis jednomianu.

Kolejność doprowadzenia jednomianu do postaci standardowej jest następująca:
1. Pomnóż współczynniki jednomianu (lub współczynniki liczbowe) i umieść wynik na pierwszym miejscu.
2. Wybierz wszystkie stopnie o tej samej podstawie literowej i pomnóż je.
3. Powtórz punkt 2 dla wszystkich zmiennych.

Przykłady.
I. Zredukuj podany jednomian $3x^2zy^3*5y^2z^4$ do postaci standardowej.

Decyzja.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Teraz przedstawmy podobne warunki $15х^2y^5z^5$.

II. Przekształć podany jednomian $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ na postać standardową.

Decyzja.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Teraz przedstawmy podobne wyrażenia $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Jednomian to wyrażenie będące iloczynem dwóch lub więcej czynników, z których każdy jest liczbą wyrażoną w postaci litery, cyfry lub potęgi (z nieujemnym wykładnikiem całkowitym):

2a, a 3 x, 4ABC, -7x

Ponieważ iloczyn identycznych czynników można zapisać jako stopień, to pojedynczy stopień (z nieujemnym wykładnikiem całkowitym) jest również jednomianem:

(-4) 3 , x 5 ,

Ponieważ liczbę (całkowitą lub ułamkową), wyrażoną literą lub cyframi, można zapisać jako iloczyn tej liczby przez jeden, to dowolna liczba może być również uważana za jednomian:

x, 16, -a,

Standardowa forma jednomianu

Standardowa forma jednomianu- jest to jednomian, który ma tylko jeden czynnik liczbowy, który należy wpisać w pierwszej kolejności. Wszystkie zmienne są uporządkowane alfabetycznie i są zawarte w jednomianu tylko raz.

Liczby, zmienne i stopnie zmiennych również odnoszą się do jednomianów postaci standardowej:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - jednomiany postaci standardowej.

Współczynnik liczbowy jednomianu postaci standardowej nazywa się współczynnik jednomianowy. Współczynniki jednomianowe równe 1 i -1 zwykle nie są zapisywane.

Jeżeli w jednomianu postaci standardowej nie ma współczynnika liczbowego, zakłada się, że współczynnik jednomianu wynosi 1:

x 3 = 1 x 3

Jeżeli w jednomianu postaci standardowej nie ma współczynnika liczbowego i jest on poprzedzony znakiem minus, to zakłada się, że współczynnik jednomianu wynosi -1:

-x 3 = -1 x 3

Redukcja jednomianu do postaci standardowej

Aby sprowadzić jednomian do standardowej postaci, potrzebujesz:

1. Pomnóż współczynniki liczbowe, jeśli jest ich kilka. Podnieś współczynnik liczbowy do potęgi, jeśli ma wykładnik. Umieść mnożnik liczby na pierwszym miejscu.
2. Pomnóż wszystkie identyczne zmienne tak, aby każda zmienna występowała tylko raz w jednomianu.
3. Ułóż zmienne po współczynniku liczbowym w kolejności alfabetycznej.

Przykład. Wyraź jednomian w formie standardowej:

a) 3 yx 2 (-2) tak 5 x; b) 6 pne 0,5 ab 3

Decyzja:

a) 3 yx 2 (-2) tak 5 x= 3 (-2) x 2 xtaktak 5 = -6x 3 tak 6
b) 6 pne 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Stopień jednomianu

Stopień jednomianu jest sumą wykładników wszystkich zawartych w nim liter.

Jeśli jednomian jest liczbą, to znaczy nie zawiera zmiennych, to jego stopień jest uważany za równy zero. Na przykład:

5, -7, 21 - jednomiany zero stopni.

Dlatego, aby znaleźć stopień jednomianu, musisz określić wykładnik każdej z zawartych w nim liter i dodać te wykładniki. Jeśli wykładnik litery nie jest określony, jest równy jeden.

Przykłady:

Więc jak się masz x wykładnik nie jest określony, co oznacza, że ​​jest równy 1. Jednomian nie zawiera innych zmiennych, co oznacza, że ​​jego stopień jest równy 1.

Jednomian zawiera tylko jedną zmienną w drugim stopniu, co oznacza, że ​​stopień tego jednomianu wynosi 2.

3) ab 3 c 2 d

Wskaźnik a jest równy 1, wskaźnik b-3, wskaźnik c-2, wskaźnik d- 1. Stopień tego jednomianu jest równy sumie tych wskaźników.

Stopień jednomianu

Dla jednomianu istnieje pojęcie jego stopnia. Dowiedzmy się, co to jest.

Definicja.

Stopień jednomianu postać standardowa to suma wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej zapisie; jeśli nie ma zmiennych we wpisie jednomianowym i jest on niezerowy, to jego stopień jest uważany za zero; liczba zero jest uważana za jednomian, którego stopień nie jest określony.

Definicja stopnia jednomianu pozwala nam podać przykłady. Stopień jednomianu a jest równy jeden, ponieważ a jest 1 . Stopień jednomianu 5 wynosi zero, ponieważ jest niezerowy, a jego zapis nie zawiera zmiennych. A iloczyn 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 jest jednomianem ósmego stopnia, ponieważ suma wykładników wszystkich zmiennych a, x i y wynosi 2+1+3+2=8.

Nawiasem mówiąc, stopień jednomianu nie zapisanego w formie standardowej jest równy stopniowi odpowiedniego jednomianu w formie standardowej. Aby zilustrować to, co zostało powiedziane, obliczamy stopień jednomianu 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Jednomian ten w postaci standardowej ma postać −6·x 8 ·y 4 , jego stopień wynosi 8+4=12 . Tak więc stopień pierwotnego jednomianu wynosi 12 .

Współczynnik jednomianowy

Jednomian w postaci standardowej, mający w zapisie przynajmniej jedną zmienną, to iloczyn z jednym czynnikiem liczbowym - współczynnikiem liczbowym. Współczynnik ten nazywa się współczynnikiem jednomianowym. Sformalizujmy powyższe rozumowanie w formie definicji.

Definicja.

Współczynnik jednomianowy jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zapisanego w formie standardowej.

Teraz możemy podać przykłady współczynników różnych jednomianów. Liczba 5 jest z definicji współczynnikiem jednomianu 5 a 3, podobnie jednomian (−2.3) x y z ma współczynnik −2,3 .

Na szczególną uwagę zasługują współczynniki jednomianów równe 1 i -1. Chodzi o to, że zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie. Uważa się, że współczynnik jednomianów postaci standardowej, które nie mają w swoim zapisie współczynnika liczbowego, jest równy jeden. Na przykład jednomiany a , x z 3 , a t x , itd. mają współczynnik 1, ponieważ a można uznać za 1 a, x z 3 za 1 x z 3 itd.

Podobnie współczynnik jednomianów, których wpisy w standardowej formie nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, jest uważany za minus jeden. Na przykład jednomiany -x , -x 3 y z 3 itd. mieć współczynnik −1 , ponieważ −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itp.

Nawiasem mówiąc, pojęcie współczynnika jednomianu jest często określane jako jednomiany postaci standardowej, które są liczbami bez współczynników alfabetycznych. Za te liczby uważa się współczynniki takich jednomianów-liczb. Na przykład współczynnik jednomianu 7 jest uważany za równy 7.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 17. ed., dodaj. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ch. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.