Jak znaleźć x0 w pochodnej. Znajdź wartość pochodnej funkcji w punkcie x0

Przykład 1

Odniesienie: Następujące sposoby zapisu funkcji są równoważne: W niektórych zadaniach wygodnie jest oznaczyć funkcję jako „gracz”, a w niektórych jako „ef od x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

, , pełne badanie funkcji itd.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji w punkcie . Najpierw znajdźmy pochodną:

Cóż, to zupełnie inna sprawa. Oblicz wartość pochodnej w punkcie :

W przypadku, gdy nie rozumiesz, jak znaleziono pochodną, ​​wróć do pierwszych dwóch lekcji tematu. Jeśli są trudności (niezrozumienie) z arc tangens i jego znaczeniami, koniecznie badanie materiału metodologicznego Wykresy i własności funkcji elementarnych- ostatni akapit. Ponieważ jest jeszcze wystarczająco dużo arcus tangensów dla wieku studenckiego.

Przykład 4

Oblicz pochodną funkcji w punkcie .

Równanie stycznej do wykresu funkcji

Aby skonsolidować poprzedni akapit, rozważ problem znalezienia stycznej do grafika funkcji w tym momencie. Sprostaliśmy temu zadaniu w szkole, spotyka się je również w toku matematyki wyższej.

Rozważmy elementarny przykład „demonstracji”.

Napisz równanie na styczną do wykresu funkcji w punkcie z odciętą. Od razu podam gotowe graficzne rozwiązanie problemu (w praktyce w większości przypadków nie jest to konieczne):

Ścisła definicja stycznej jest podana przez definicje pochodnej funkcji, ale na razie opanujemy techniczną część wydania. Z pewnością prawie każdy intuicyjnie rozumie, czym jest styczna. Jeśli wyjaśnisz „na palcach”, to styczna do wykresu funkcji to prosty, który dotyczy wykresu funkcji w jedyny punkt. W tym przypadku wszystkie pobliskie punkty linii prostej znajdują się jak najbliżej wykresu funkcji.

W naszym przypadku: w , styczna (notacja standardowa) dotyka wykresu funkcji w jednym punkcie.

A naszym zadaniem jest znalezienie równania linii prostej.

Pochodna funkcji w punkcie

Jak znaleźć pochodną funkcji w punkcie? Z jego sformułowania wynikają dwa oczywiste punkty tego zadania:

1) Konieczne jest znalezienie pochodnej.

2) Konieczne jest obliczenie wartości pochodnej w danym punkcie.

Przykład 1

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Pomoc: Następujące sposoby zapisu funkcji są równoważne:


W niektórych zadaniach wygodnie jest oznaczyć funkcję jako „gracz”, a w niektórych jako „ef od x”.

Najpierw znajdujemy pochodną:

Mam nadzieję, że wielu już przystosowało się do ustnego znajdowania takich pochodnych.

W drugim kroku obliczamy wartość pochodnej w punkcie :

Mały przykład rozgrzewki dla samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Oblicz pochodną funkcji w punkcie

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Konieczność znalezienia pochodnej w punkcie pojawia się w następujących zadaniach: konstruowanie stycznej do wykresu funkcji (następny akapit), badanie funkcji ekstremum , badanie funkcji przegięcia grafu , pełne badanie funkcji itd.

Ale rozważane zadanie znajduje się w dokumentach kontrolnych i samo w sobie. I z reguły w takich przypadkach funkcja jest dość złożona. W związku z tym rozważ jeszcze dwa przykłady.

Przykład 3

Oblicz pochodną funkcji W punkcie .
Najpierw znajdźmy pochodną:

W zasadzie pochodna jest znaleziona i wymagana wartość może zostać podstawiona. Ale tak naprawdę nie chcę nic robić. Wyrażenie jest bardzo długie, a wartość „x” jest ułamkowa. Dlatego staramy się maksymalnie uprościć naszą pochodną. W takim przypadku spróbujmy zredukować ostatnie trzy wyrazy do wspólnego mianownika: W punkcie .

To jest przykład zrób to sam.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji F(x) w punkcie Ho? Jak to ogólnie rozwiązać?

Jeśli wzór jest podany, znajdź pochodną i podstaw X-zero zamiast X. liczyć
Jeśli mówimy o wykresie b-8 USE, to musisz znaleźć styczną kąta (ostrego lub rozwartego), który tworzy styczną do osi X (wykorzystując mentalną konstrukcję trójkąta prostokątnego i wyznaczając styczną kąt)

Timur Adilchodzhajew

Najpierw musisz zdecydować się na znak. Jeśli punkt x0 znajduje się w dolnej części płaszczyzny współrzędnych, to znakiem w odpowiedzi będzie minus, a jeśli jest wyższy, to +.
Po drugie, musisz wiedzieć, czym jest tanga w prostokątnym prostokącie. I to jest stosunek strony przeciwnej (nogi) do strony sąsiedniej (również nogi). Na obrazie jest zwykle kilka czarnych śladów. Z tych znaków tworzysz trójkąt prostokątny i znajdujesz tange.

Jak znaleźć wartość pochodnej funkcji f x w punkcie x0?

nie ma konkretnego pytania - 3 lata temu

W ogólnym przypadku, aby w dowolnym momencie znaleźć wartość pochodnej funkcji względem jakiejś zmiennej, konieczne jest zróżnicowanie danej funkcji względem tej zmiennej. W twoim przypadku przez zmienną X. W wyrażeniu wynikowym zamiast X wpisz wartość x w punkcie, dla którego musisz znaleźć wartość pochodnej, tj. w twoim przypadku podstaw zero X i oblicz wynikowe wyrażenie.

Cóż, Twoje pragnienie zrozumienia tej kwestii moim zdaniem bez wątpienia zasługuje na +, który stawiam z czystym sumieniem.

Takie sformułowanie problemu znalezienia pochodnej jest często postawione w celu ustalenia materiału na geometrycznym znaczeniu pochodnej. Proponowany jest wykres pewnej funkcji, całkowicie dowolny i nie podany przez równanie, i wymagane jest znalezienie wartości pochodnej (nie samej pochodnej!) w określonym punkcie X0. W tym celu konstruowana jest styczna do danej funkcji i znajdowane są punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych. Następnie sporządzono równanie tej stycznej w postaci y=kx+b.

W tym równaniu współczynnik k i będzie wartością pochodnej. pozostaje tylko znaleźć wartość współczynnika b. Aby to zrobić, znajdujemy wartość y przy x \u003d o, niech będzie równa 3 - jest to wartość współczynnika b. Podstawiamy wartości X0 i Y0 do pierwotnego równania i znajdujemy k - naszą wartość pochodnej w tym punkcie.

W zadaniu B9 podany jest wykres funkcji lub pochodnej, z którego należy wyznaczyć jedną z następujących wielkości:

1. Wartość pochodnej w pewnym punkcie x 0,
2. Punkty wysokie lub niskie (punkty ekstremalne),
3. Przedziały funkcji narastających i malejących (przedziały monotoniczności).

Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie upraszcza rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do działu analizy matematycznej, jest w zasięgu nawet najsłabszych uczniów, ponieważ nie jest tu wymagana głęboka wiedza teoretyczna.

Aby znaleźć wartość pochodnej, ekstrema i przedziały monotoniczności, istnieją proste i uniwersalne algorytmy - wszystkie zostaną omówione poniżej.

Uważnie przeczytaj stan problemu B9, aby nie popełnić głupich błędów: czasami trafiają się dość obszerne teksty, ale jest kilka ważnych warunków, które wpływają na przebieg rozwiązania.

Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa

Jeżeli do zadania zadany zostanie wykres funkcji f(x), stycznej do tego wykresu w pewnym punkcie x 0 , i wymagane jest znalezienie wartości pochodnej w tym punkcie, to stosuje się następujący algorytm:

1. Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznej: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty jako A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapisz poprawnie współrzędne - jest to kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj prowadzi do błędnej odpowiedzi.
2. Znając współrzędne, łatwo obliczyć przyrost argumentu Δx = x 2 − x 1 oraz przyrost funkcji Δy = y 2 − y 1 .
3. Na koniec znajdujemy wartość pochodnej D = Δy/Δx. Innymi słowy, musisz podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu - i to będzie odpowiedź.

Znowu zauważamy: punkty A i B należy szukać właśnie na stycznej, a nie na wykresie funkcji f(x), jak to często bywa. Styczna będzie koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty, w przeciwnym razie problem zostanie sformułowany niepoprawnie.

Rozważ punkty A (-3; 2) i B (-1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Znajdźmy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeśli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w miejscu styku jest równa zero. W takim przypadku nie musisz nawet niczego obliczać - wystarczy spojrzeć na wykres.

Obliczanie najwyższych i najniższych punktów

Czasami zamiast wykresu funkcji w zadaniu B9 podaje się wykres pochodnej i wymagane jest znalezienie maksymalnego lub minimalnego punktu funkcji. W tym scenariuszu metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:

1. Punkt x 0 nazywamy punktem maksymalnym funkcji f(x), jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkt x 0 nazywamy punktem minimum funkcji f(x), jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≤ f(x).

Aby znaleźć maksymalne i minimalne punkty na wykresie pochodnej, wystarczy wykonać następujące czynności:

1. Przerysuj wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Jak pokazuje praktyka, dodatkowe dane tylko zakłócają rozwiązanie. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - i tyle.
2. Znajdź znaki pochodnej na odstępach między zerami. Jeżeli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f'(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f'(x 0) ≥ 0 lub f'(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej łatwe do ustalenia na podstawie oryginalnego rysunku: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f'(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f'(x) ≤ 0.
3. Ponownie sprawdzamy zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest punkt minimum. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.

Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - nie ma innych w problemie B9.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−5; 5]. Znajdź minimalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji – zostawimy tylko granice [−5; 5] oraz zera pochodnej x = -3 i x = 2,5. Zwróć także uwagę na znaki:

Oczywiście w punkcie x = -3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest minimum.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.

Przerysujmy wykres, pozostawiając tylko granice [−3; 7] oraz zera pochodnej x = -1,7 i x = 5. Zanotuj znaki pochodnej na wykresie wynikowym. Mamy:

Oczywiście w punkcie x = 5 znak pochodnej zmienia się z plus na minus - to jest punkt maksymalny.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−6; 4]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do przedziału [−4; 3].

Z warunków problemu wynika, że ​​wystarczy wziąć pod uwagę tylko część grafu ograniczoną odcinkiem [−4; 3]. Dlatego budujemy nowy graf, na którym zaznaczamy tylko granice [−4; 3] i zera pochodnej w nim zawartej. Mianowicie punkty x = -3,5 i x = 2. Otrzymujemy:

Na tym wykresie jest tylko jeden punkt maksymalny x = 2. To na nim znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.

Mała uwaga na temat punktów o współrzędnych niecałkowitych. Na przykład w ostatnim zadaniu uwzględniono punkt x = -3,5, ale z takim samym sukcesem możemy przyjąć x = -3,4. Jeśli problem jest sformułowany poprawnie, takie zmiany nie powinny wpływać na odpowiedź, ponieważ punkty „bez stałego miejsca zamieszkania” nie są bezpośrednio zaangażowane w rozwiązanie problemu. Oczywiście przy liczbach całkowitych taka sztuczka nie zadziała.

Znajdowanie przedziałów wzrostu i spadku funkcji

W takim zadaniu, podobnie jak punkty maksimum i minimum, proponuje się znaleźć obszary, w których sama funkcja rośnie lub maleje z wykresu pochodnej. Najpierw zdefiniujmy, czym są rosnąco i malejąco:

1. Funkcję f(x) nazywamy rosnącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka twierdzenie jest prawdziwe: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
2. Funkcję f(x) nazywamy malejącą na odcinku, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka twierdzenie jest prawdziwe: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tych. większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

Formułujemy wystarczające warunki do zwiększania i zmniejszania:

1. Aby funkcja ciągła f(x) rosła na odcinku wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka będzie dodatnia, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Aby funkcja ciągła f(x) zmniejszała się na odcinku wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka jest ujemna, tj. f'(x) ≤ 0.

Przyjmujemy te twierdzenia bez dowodu. W ten sposób otrzymujemy schemat znajdowania przedziałów wzrostu i spadku, który pod wieloma względami jest podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremów:

1. Usuń wszystkie zbędne informacje. Na oryginalnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc zostawiamy tylko je.
2. Zaznacz znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdy f'(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdy f'(x) ≤ 0, maleje. Jeżeli problem ma ograniczenia na zmienną x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
3. Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wymaganą wartość w zadaniu.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−3; 7,5]. Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi wpisz sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.

Jak zwykle przerysowujemy wykres i zaznaczamy granice [−3; 7,5] oraz zera pochodnej x = -1,5 i x = 5,3. Następnie zaznaczamy znaki pochodnej. Mamy:

Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (−1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite znajdujące się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na odcinku [−10; 4]. Znajdź przedziały rosnącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi wpisz długość największego z nich.

Pozbądźmy się zbędnych informacji. Zostawiamy tylko granice [−10; 4] oraz zerami pochodnej, które tym razem okazały się być czterema: x = -8, x = -6, x = -3 i x = 2. Zanotuj znaki pochodnej i uzyskaj następujący obrazek:

Interesują nas przedziały funkcji narastania, tj. gdzie f'(x) ≥ 0. Na wykresie są dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Ponieważ wymagane jest znalezienie długości największego z przedziałów, w odpowiedzi wpisujemy wartość l 2 = 5.