Definicja równoległobok Rysunek podstawowe elementy właściwości. Definicja równoległe i jego właściwości
Tak, tak: progresja arytmetyczna nie jest twoim zabawkami :) Cóż, przyjaciele, jeśli przeczytasz ten tekst, to wewnętrzna czapka oczywista mówi mi, że nadal nie wiesz, jaki jest progresja arytmetyczna, ale bardzo (nie, tak jak: oooooo!) Chcesz wiedzieć. Dlatego nie udręczę ci długotrwałe przystąpienie i natychmiast przejdź do sprawy.
Za rozpoczęty kilka przykładów. Rozważ kilka zestawów liczb:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ Sqrt (2); 2 sqrt (2); 3 sqrt (2); ... $
Co jest wspólne dla wszystkich tych zestawów? Na pierwszy rzut oka - nic. Ale w rzeczywistości coś jest. Mianowicie: każdy następny element różni się od poprzedniej i tego samego numeru..
Sędzia sam. Pierwszy zestaw jest po prostu w rzędzie liczby, każdy inny inny jest większy niż poprzedni. W drugim przypadku różnica między liczbami pobliskowymi jest już równa pięciu, ale różnica ta jest nadal stała. W trzecim przypadku ogólnie korzenie. Jednak 2 USD SQRT (2) \u003d sqrt (2) + sqrt (2) $ i 3 USD SQRT (2) \u003d 2 sqrt (2) + sqrt (2) $, tj. W tym przypadku każdy następny element po prostu zwiększa $ sqrt (2) $ (i niech nie straszy, że liczba ta jest irracjonalna).
Więc: wszystkie takie sekwencje są nazywane postępami arytmetycznymi. Udzielmy ścisłej definicji:
Definicja. Sekwencja liczb, w których każde następne funkcje różni się od poprzedniej jednej i tej samej wartości zwanej progresja arytmetyczna. Rozmiar numeru jest inny, nazywana jest różnicą w progresji, a najczęściej wskazywana przez literę $ D $.
Oznaczenie: $ left ((a) _ (n)) prawy) $ - sama progresja, $ d $ jest jego różnicą.
I natychmiast kilka ważnych komentarzy. Po pierwsze, postęp jest uważany tylko za uporządkowany Sekwencja liczb: mogą czytać ściśle w kolejności, w jakiej są rejestrowane - iw jakikolwiek sposób. Nie można zmienić i zmienić liczby liczb.
Po drugie, sama sekwencja może być skończona, jak i niekończąca się. Na przykład zestaw (1; 2; 3) jest oczywiście ostatecznym postępem arytmetyczny. Ale jeśli piszesz coś w duchu (1; 2; 3; 4; ...) - jest to nieskończony postęp. Po czwartym, po czwartym, jak to było wskazówki, wciąż jest jeszcze kilka liczb. Na przykład nieskończenie. :)
Chciałbym również zauważyć, że progresja rośnie i zmniejsza się. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zestaw (1; 2; 3; 4;). Ale przykłady progresji malejącej:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ Sqrt (5); sqrt (5) -1; \\ sqrt (5) -2; \\ sqrt (5) -3; ... $
OK OK: ostatni przykład Może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale reszta, myślę, że jesteś zrozumiały. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:
Definicja. Progresja arytmetyczna jest nazywana:
- zwiększenie, jeśli każdy następny element jest większy niż poprzedni;
- schodząc, jeśli, przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.
Ponadto istnieją tak zwane sekwencje "stacjonarne" - składają się z tej samej liczby powtarzających się. Na przykład (3; 3; 3; ...).
Istnieje tylko jedno pytanie: jak odróżnić rosnącą progresję ze zmniejszenia? Na szczęście wszystko zależy od tego, co jest znakiem numeru $ D $, tj. Różnica progresji:
- Jeśli $ D GT 0 $, następnie zwiększa się progresja;
- Jeśli $ D. LT 0 $, wówczas postęp jest oczywiście malejący;
- Wreszcie, istnieje przypadek $ d \u003d 0 $ - w tym przypadku cały progresja jest zmniejszona do stacjonarnej sekwencji tych samych liczb: (1; 1; 1; 1;) itp.
Spróbujmy obliczyć różnicę $ D $ za trzy malejące postępy podane powyżej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład, pierwsza i druga) i odejmij się spośród właściwych elementów numerów. Będzie wyglądać tak:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ Sqrt (5) -1- sqrt (5) \u003d - 1 $.
Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica naprawdę okazała się negatywna. A teraz, kiedy mamy mniej więcej z wymienionych definicji, nadszedł czas, aby poradzić sobie z tym, w jaki sposób postępuje się i jakie mają właściwości.
Progresja i powtarzająca się wzór
Ponieważ elementy naszych sekwencji nie można zmienić w miejscach, mogą być ponumerowane:
[Left (((a) _ (N)) Prawo) \u003d Left (((a) _ (1)), (a) _ (2)), (a) _ (3 (3 )), ... \\ DOBRZE \\) \\]
Oddzielne elementy tego zestawu są nazywane członkami progresji. Wskazują je za pomocą numeru: Pierwszy Dick, drugi termin itp.
Ponadto, jak już wiemy, sąsiedni członkowie progresji są związane z formułą:
[(a) _ (n)) - (a) _ (n - 1)) \u003d d ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + D ]
Krótko mówiąc, aby znaleźć członek progresji $ n $, musisz poznać $ n-1 $ członka i różnicę $ D $. Taka formuła nazywana jest powtarzającym się, ponieważ może być używany do znalezienia dowolnej liczby, tylko znając poprzednią (i faktycznie - wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, dlatego istnieje bardziej przebiegłość, która zmniejsza dowolne obliczenia na pierwszy członek i różnicę:
[(a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) + Left (n-1 prawy) d
Z pewnością spotkałeś się z tą formułą. Uwielbia dać we wszystkich katalogach i Reshebnikh. Tak, w jakimkolwiek podręczniku wyjaśniającym na matematyce idzie jeden z pierwszych.
Niemniej jednak proponuję trochę napięcia.
Numer zadania 1. Zapewnij pierwszych trzech członków progresji arytmetycznej w lewo (((a) _ (n)) prawy) $, jeśli $ ((a) _ (1)) \u003d 8, D \u003d -5 $.
Decyzja. Znamy więc pierwszy termin $ (a) _ (1)) \u003d 8 USD i różnica w postępie $ D \u003d -5 $. Używamy wynikowego formuły i substytutu $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ i $ n \u003d 3 USD:
[Rozpocznij (wyrównać) i ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + Left (N-1 prawy) D; & (a) _ (1)) \u003d (a) _ (1)) + left (1-1 prawy) d \u003d (a) _ (1)) \u003d 8; & (a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + w lewo (2-1 prawy) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; & (a) _ (3)) \u003d (a) _ (1)) + w lewo (3-1 prawy) d \u003d (a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. Koniec (wyrównuj)]
Odpowiedź: (8; 3; -2)
To wszystko! Uwaga: nasz postęp jest malejącym.
Oczywiście, $ n \u003d 1 $ nie mógł zostać zastąpiony - pierwszy członek, którym również znamy. Jednak zastępując jednostkę, byliśmy przekonani, że nawet dla pierwszego członka, nasza formuła działa. W innych przypadkach wszystko zostało sprowadzone do banalnego arytmetycznego.
Zadanie numer 2. Napisz pierwsze trzech członków progresji arytmetycznej, jeśli jego siódmy członek wynosi -40, a siedemnastego członka wynosi -50.
Decyzja. Piszemy stan zadania w zwykłych terminach:
[(a) _ (7)) \u003d - 40; quad ((a) _ (17) \u003d - 50.
[Left \\ (rozpocznij (wyrównuj) i (a) _ (7)) \u003d (a) _ (1)) + 6D & (a) _ (17) \u003d (a) _ (1)) + 16d End (wyrównuj) Prawo.
[Po lewej (rozpocznij (wyrównać) i (a) _ (1)) + 6d \u003d -40 ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 end (wyrównanie) \\ Dobrze. \\]
Ustawiłem znak systemu, ponieważ wymagania te powinny być wykonywane jednocześnie. A teraz zauważamy, jeśli pierwszy odliczamy pierwsze równanie (mamy prawo do tego, ponieważ mamy system), otrzymujemy to:
[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (1)) + 16d- Left (((a) _ (1)) + 6D Prawo) \u003d - 50- Left (-40 Prawo); & (a) _ (1)) + 16d - (a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; & 10d \u003d -10; & D \u003d -1. Koniec (wyrównuj)]
To takie proste, znaleźliśmy różnicę w progresji! Pozostaje zastępować znaleziony numer do dowolnego równań systemu. Na przykład w pierwszej:
[rozpocznij (matryca) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; quad d \u003d -1 obwód (a) _ (1)) - 6 \u003d -40; ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. Koniec (macierz)]
Teraz, znając pierwszy członek i różnicę, pozostaje na znalezieniu drugiego i trzeciego kutasa:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + D \u003d -34-1 \u003d -35; & (a) _ (3)) \u003d (a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. Koniec (wyrównuj)]
Gotowy! Zadanie zostało rozwiązane.
Odpowiedź: (-34; -35; -36)
Zwróć uwagę na ciekawą własność progresji, którą znaleźliśmy: jeśli weźmiesz $ n $ i $ M Członkowie i odejmujesz ich od siebie, a potem otrzymamy różnicę w progresji pomnożonej przez $ N-M $
[(a) _ (n)) - (a) _ (m)) \u003d d CDOT Left (n-m prawo)]
Prosty, ale bardzo przydatna nieruchomośćŻe musisz wiedzieć - z nim możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów w postępach. Oto jasny przykład:
Numer zadania 3. Piąta kadencja progresji arytmetycznej wynosi 8,4, a jego dziesiąty członek wynosi 14.4. Znajdź piętnastego członka tego postępu.
Decyzja. Od $ (a) _ (5)) \u003d 8,4, $ (a) _ (10)) \u003d 14,4 USD, i musisz znaleźć $ ((a) _ (15)) $, a następnie zauważ:
[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (15)) - (a) _ (10)) \u003d 5d; & (a) _ (10)) - (a) _ (5) \u003d 5d. Koniec (wyrównuj)]
Ale według stanu $ (a) _ (10)) - (a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 USD, dlatego $ 5D \u003d 6 USD, skąd mamy:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. Koniec (wyrównuj)]
Odpowiedź: 20.4.
To wszystko! Nie musieliśmy być pewni systemów równań i rozważamy pierwszego członka i różnicę - wszystko postanowiło dosłownie w kilku linii.
Teraz rozważ kolejny rodzaj zadania - znaleźć negatywnych i pozytywnych członków postępowania. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja wzrasta, ze swoim pierwszym członkiem jej negatywnego, a następnie prędzej czy później będzie pozytywni członkowie. Prawie: członkowie zmniejszenia progresji prędzej czy później stanie się negatywne.
Jednocześnie nie zawsze jest możliwe dodanie tego momentu "w czole", kolejno obracając elementy. Często zadania są zaprojektowane tak, że nie będzie kilka arkuszy bez znajomości formuł - właśnie zasnąlibyśmy, gdy znaleźli odpowiedź. Dlatego spróbujmy rozwiązać te zadania w szybszy sposób.
Numer zadania 4. Ilu negatywnych członków w progresji arytmetycznej wynosi -38,5; -35,35,8; ...?
Decyzja. Tak $ (a) _ (1)) \u003d - 38,5 USD, $ (a) _ (2)) \u003d - 35,8 USD, gdzie natychmiast znajdziemy różnicę:
Zauważ, że różnica jest dodatnia, dlatego zwiększa się postęp. Pierwszy członek jest negatywny, więc w pewnym momencie będziemy utrudniać liczby dodatnich. Jedyne pytanie brzmi, gdy się zdarza.
Spróbujmy się dowiedzieć: jak długo (tj. Do jakiego rodzaju naturalnej liczbie $ N $), negatywność członków jest zachowana:
[Rozpocznij (wyrównać) i ((a) _ (n)) lt 0 wnęki (a) _ (1)) + Left (N-1 po prawej) d lt 0; & -38,5+ Left (N-1 Prawa) CDOT 2.7 LT 0; QUAD Left | Cdot 10 Prawo. & -385 + 27 CDOT Left (N-1 Po prawej) LT 0; & -385 + 27N-27 LT 0; & 27N LT 412; & N lt 15 frac (7) (27) prawy ((n) _ (max)) \u003d 15. Koniec (wyrównuj)]
Ostatnia linia wymaga wyjaśnienia. Wiemy, że $ n lt 15 frac (7) (27) $. Z drugiej strony, będziemy symulować tylko wartości liczb całkowitych numeru (więcej niż: $ n w MathBB (N) $), więc największą dopuszczalną liczbę jest dokładnie $ n \u003d 15 USD, aw żadnym wypadku 16.
Numer zadania 5. W progresji arytmetycznej $ (() _ (5)) \u003d - 150 (() _ (6) \u003d - 147 USD. Znajdź pierwszy pozytywny członek tego postępu.
Byłoby to dokładnie to samo zadanie, co poprzedni, jednak nie wiemy $ ((a) _ (1)) $. Ale sąsiedni członkowie znani: $ (a) _ (5)) $ i $ (a) _ (6)) $, więc łatwo znajdziemy różnicę w progresji:
Ponadto spróbujmy wyrazić piątego kutasa przez pierwszą i różnicę zgodnie ze standardową formułą:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + Left (N-1 Po prawej) CDOT D; & (a) _ (5)) \u003d (a) _ (1)) + 4d; & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 CDOT 3; & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. Koniec (wyrównuj)]
Teraz robimy analogię z poprzednim zadaniem. Dowiemy się w jakim punkcie naszej sekwencji będzie miała pozytywne liczby:
[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (n)) \u003d - 162+ Left (N-1 Prawa) CDOT 3 \\ GT 0; & -162 + 3N-3 GT 0; & 3N GT 165; & N GT 55 w prawy ((n) _ (min)) \u003d 56. Koniec (wyrównuj)]
Minimalne rozwiązanie całkowitego tej nierówności jest numer 56.
Uwaga: W ostatnim zadaniu wszystko zostało rozjaśnione do ścisłej nierówności, więc opcja $ n \u003d 55 $ nie będzie nam odpowiadać.
Teraz, kiedy dowiedzieliśmy się, jak rozwiązać proste zadania, zwracamy się do bardziej złożonego. Ale najpierw studiujmy kolejną bardzo przydatną własność postępów arytmetycznych, które w przyszłości pozwoli nam zaoszczędzić kilka i nierównych komórek. :)
Średnie instytucje arytmetyczne i równe
Rozważ kilka kolejnych członków rosnącej progresji arytmetycznej w lewo (((a) _ (n)) prawy) $. Spróbujmy zaznaczyć je na liczbowym prostym:
Członkowie progresji arytmetycznej na numerycznym bezpośrednimW szczególności zauważyłem arbitralnych członków (a) _ (n-3)), ... (a) _ (n + 3)) $, a nie niektóre $ ((a) _ (1)), \\ (a) _ (2)), (a) _ (3)) $ itd. Ponieważ reguła, którą teraz powiem, działa równie dla każdego "segmentów".
A reguła jest bardzo prosta. Pamiętajmy o formule nawrotowej i napisz go do wszystkich zaznaczonych członków:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n-3)) + D; & (a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n - 2)) + D; & (a) _ (n)) \u003d (a) _ (n - 1)) + d; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (N + 1)) + D; Koniec (wyrównuj)]
Jednak te równości mogą być przepisane inaczej:
[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n)) - d; & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; & (a) _ (n-3)) \u003d (a) _ (n)) - 3D; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; Koniec (wyrównuj)]
Cóż, więc co? A fakt, że członkowie $ ((a) _ (n - 1)) $ i $ (a) _ (n + 1)) $ leżą w tej samej odległości od $ (a) _ (n)) $. A ta odległość wynosi $ D $. To samo można powiedzieć o członkach $ (a) _ (n - 2)) $ i $ (a) _ (n + 2)) $ - są również usuwane z $ ((a) _ (n )) $ W tej samej odległości, równej 2D $. Możesz kontynuować nieskończoność, ale punkt jest dobrze zilustrowany przez zdjęcie
Członkowie progresji leżą w tej samej odległości od centrum Co to znaczy dla nas? Oznacza to, że możesz znaleźć $ ((a) _ (n)) $, jeśli sąsiedzi są znane:
[(a) _ (n)) \u003d frac (((a) _ (n - 1)) + (a) _ (n + 1)) (2)
Przywililiśmy wielką zatwierdzenie: każdy członek progresji arytmetycznej jest równy średniemu sąsiednimi członkom arytmetycznych! Ponadto: możemy wycofać się z naszego $ ((a) _ (n)) $ w lewo i prawej nie jeden krok, a na $ k $ Steps - i nadal formuła będzie poprawna:
[(a) _ (n)) \u003d frac (((a) _ (n - k)) + (a) _ (N + K))) (2)
Te. Możemy bezpiecznie znaleźć jakiś $ ((a) _ (150)) $, jeśli wiemy $ ((a) _ (100)) $ i $ ((a) _ (200)) $, ponieważ $ ((a) _ (150)) \u003d frac ((a) _ (100)) + (a) _ (200))) (2) $. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ten fakt nie daje nam nic przydatnych. Jednak w praktyce wiele zadań jest specjalnie "zaostrzonych", aby użyć średniego arytmetycznego. Spójrz:
Numer zadania 6. Znajdź wszystkie wartości $ x $, przy których numery $ -6 ((x) ^ (2)) $, x + 1 $ i 14 $ + 4 (((x) ^ (2)) $ są spójnymi członkami progresji arytmetycznej (określonej).
Decyzja. Ponieważ te liczby są członkami postępu, stan przeciętnego arytmetycznego jest dla nich wykonany: element centralny X + 1 $ można wyrażać przez sąsiednie elementy:
[Rozpocznij (wyrównaj) i x + 1 \u003d frac (-6 (((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d frac (14-2 (x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); & (x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. Koniec (wyrównuj)]
Okazało się klasyczne równanie kwadratowe. Jego korzenie: $ X \u003d 2 $ i $ x \u003d -3 $ - to jest odpowiedzi.
Odpowiedź: -3; 2.
Numer zadania 7. Znajdź wartość $$, przy czym liczby -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ stanowić progresję arytmetyczną (w określonej kolejności).
Decyzja. Ponownie wyrażamy przeciętny członek przez średnią arytmetyczną dla sąsiednich członków:
[Rozpocznij (wyrównuj) i 4x-3 \u003d frac (X-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); & 4x-3 \u003d frac (((x) ^ (2)) + x) (2); quay lewe | Cdot 2 Prawo.; & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; & (x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. Koniec (wyrównuj)]
Znowu równanie kwadratowe. I znowu dwa korzenie: $ x \u003d 6 $ i $ x \u003d 1 $.
Odpowiedź 1; 6.
Jeśli w procesie rozwiązywania problemu masz jakieś brutalne numery, lub nie jesteś w pełni pewny poprawności znalezionych odpowiedzi, czyli wspaniałą technikę, co pozwala sprawdzić: Czy rozwiązaliśmy zadanie?
Załóżmy, że w zadaniu numer 6 otrzymaliśmy odpowiedzi --3 i 2. Jak sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Zastazujmy je w oryginalnym stanie i zobaczmy, co się stanie. Pozwól mi przypomnieć, że mamy trzy liczby ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ i 14 $ + 4 (() ^ (2)) $), co powinno być progresją arytmetyczną. Zastąp $ x \u003d -3 $:
[Rozpocznij (wyrównuj) i x \u003d -3 wnęka do i -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; & x + 1 \u003d -2; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. Koniec (wyrównuj)]
Otrzymane liczby -54; -2; 50, który różni się 52 - niewątpliwie jest to progresja arytmetyczna. To samo dzieje się w $ X \u003d 2 $:
[Rozpocznij (wyrównuj) i x \u003d 2 wnęka do i -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; & x + 1 \u003d 3; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. Koniec (wyrównuj)]
Ponownie progresja, ale z różnicą 27. Zatem zadanie jest rozwiązywane prawdziwe. Ci, którzy życzą, mogą sprawdzić drugie zadanie samodzielnie, ale natychmiast powiem: wszystko jest tam prawdziwe.
Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązywanie najnowszych zadań, natknęliśmy się na inny interesujący faktKto też musi pamiętać:
Jeśli trzy liczby są takie, że drugi jest pierwszym i ostatniego arytmetyki, a następnie liczby te stanowią progresję arytmetyczną.
W przyszłości zrozumienie tego oświadczenia pozwoli nam dosłownie "projektować" niezbędne progresje, w oparciu o stan problemu. Ale zanim zajmiemy się takim "projektem", należy zwrócić uwagę na inny fakt, że bezpośrednio wynika z już rozważanych.
Grupowanie i ilość elementów
Wróćmy do osi numerycznej. Zauważamy, że kilka członków progresji, między którymi prawdopodobnie. Jest wielu innych członków:
6 elementów są oznaczone liczbowym prostymSpróbujmy wyrazić "lewy ogon" przez $ ((a) _ (n)) $ i $ d $, a "prawy ogon" przez $ ((a) _ (k)) $ i $ d $. To bardzo proste:
[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (n + 1)) \u003d (a) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; & (a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ k)) - d; & (a) _ (K-2) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. Koniec (wyrównuj)]
A teraz zauważamy, że następujące kwoty są równe:
[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (n)) + (a) _ (k)) \u003d s; & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d (a) _ (n)) + D + ((a) _ (k)) - D \u003d S; & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (K-2)) \u003d (a) _ (n)) + 2D + (a) _ (k)) - 2d \u003d S. Koniec (wyrównuj)]
Wystarczy umieścić, jeśli weźmiemy pod uwagę dwa elementy progresji jako początek, który w ilości jest równy dowolnej liczbie $ S $, a następnie rozpocząć spacery od tych przedmiotów w przeciwnych stronach (do siebie lub odwrotnie do usunięcia), następnie ilości elementów, które będą się potknąć, będą równe $ S $. Najwyraźniej może być reprezentowany graficznie:
Te same wcięcia dają równe kwoty. Zrozumienie tego faktu Pozwól nam rozwiązać problemy w zasadzie więcej wysoki poziom trudności niż te, które uważaliśmy powyżej. Na przykład taki:
Zadanie numer 8. Określ różnicę w progresji arytmetycznej, w której pierwsza kadencja wynosi 66, a prace drugiego i dwunastego członków jest najmniejszy możliwe.
Decyzja. Piszemy wszystko, co wiemy:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (1)) \u003d 66; & D \u003d? & (a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) \u003d min. Koniec (wyrównuj)]
Więc jesteśmy nieznani różnicą w postępie $ D $. W rzeczywistości wokół różnicy i zostaną zbudowane wszystkie rozwiązanie, ponieważ produkt jest $ ((a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) $ może przepisać w następujący sposób:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + D \u003d 66 + D; & (a) _ (12)) \u003d (a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; & (a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) \u003d Left (66 + D Prawy) CDOT Left (66 + 11d Prawo) \u003d & \u003d 11 Cdot Left (D + 66 Po prawej) CDOT Left (D + 6 Po prawej). Koniec (wyrównuj)]
Dla tych, którzy są w zbiorniku: przeprowadziłem ogólny mnożnik 11 drugiego wspornika. Tak więc pożądany produkt jest funkcją kwadratową w stosunku do zmiennej $ D $. Dlatego rozważamy funkcję $ F Left (D Prawo) \u003d 11 Left (D + 66 Po prawej) Left (D + 6 Prawo) $ - jego harmonogram będzie parabola oddziały, ponieważ Jeśli ujawnisz wsporniki, otrzymamy:
[Rozpocznij (Wyrównaj) i F Left (D Prawy) \u003d 11 Left (((d) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 CDOT 6 PRAWO) \u003d \\ \u003d 11 ( d) ^ (2)) + 11 CDOT 72D + 11 CDOT 66 CDOT 6 END (wyrównuj)
Jak widać, współczynnik z warunkami starszych jest równy 11 - jest to liczba dodatnia, więc jest to naprawdę radzenie sobie z oddziałami Parabola:
harmonogram funkcja kwadratowa - Parabola.
Uwaga: Minimalna wartość tej paraboli zajmuje wierzchołek z odcięciem $ ((d) _ (0)) $. Oczywiście możemy obliczyć tę odcięcie zgodnie ze standardowym schematem (istnieje formuła $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a); $), ale wiele wspaniałych zauważy, że pożądane Top leży na osi symetrię paraboli, dlatego punkt $ ((d) _ (0)) $ jest równy korzeniom równania $ F Left (D Prawy) \u003d 0 $:
[Rozpocznij (Wyrównaj) i F Left (D Prawy) \u003d 0; & 11 CDOT w lewo (D + 66 PRAWO) CDOT Left (D + 6 Po prawej) \u003d 0; & (d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. Koniec (wyrównuj)]
Dlatego tak naprawdę nie spieszę się, aby ujawnić wsporniki: w oryginalnej formie korzenie były bardzo i bardzo proste. W związku z tym odcięta jest równa średniej numery arytmetyczne -66 i -6:
[((d) _ (0)) \u003d frac (-66-6) (2) \u003d - 36
Co daje nam wykryty numer? Dzięki temu wymagana praca zajmuje najmniejszą wartość (przy okazji, nie rozważaliśmy $ ((y) _ (min)) $ - nie jest wymagane od nas). Jednocześnie liczba ta jest różnicą postępu początkowego, tj. Znaleźliśmy odpowiedź. :)
Odpowiedź: -36.
Zadanie numer 9. Między liczbami $ - frac (1) (2) $ i $ - frac (1) (6) $ Włóż trzy liczby, aby uczynić je progresję arytmetyczną wraz z tymi liczbami.
Decyzja. W istocie musimy dokonać sekwencji pięciu liczb, a pierwszy i ostatni numer jest już znany. Oznacz brakującą liczbę zmiennych $ x $, $ y $ i $ z $:
[Left (((a) _ (n)) prawy) \u003d lewy (- frac (1) (2); x; y; z; - frac (1) (6) prawo )]
Należy zauważyć, że numer $ Y $ jest "środkowym" naszej sekwencji - jest równomierny iz liczb $ x $ i $ z $, a od numerów $ - frac (1) (2) $ i $ - Frac (1) (6) $. A jeśli z numerów $ x $ i $ z $ jesteśmy w ten moment Nie możemy dostać $ y $, a następnie z końcami postępu, sytuacja jest inna. Pamiętamy o średniej arytmetycznej:
Teraz, wiedząc $ y $, znajdziemy pozostałe numery. Należy pamiętać, że $ x $ leży między numery $ - frac (1) (2) $ i znaleziono $ y \u003d - frac (1) (3) właśnie znaleziono. w związku z tym
Podobnie, argumentowanie, znajdziemy pozostały numer:
Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy liczby. Piszemy je w odpowiedzi w kolejności, w której muszą być włożone między liczbami początkowymi.
Odpowiedź: $ - frac (5) (12); frac (1) (3); - frac (1) (4) $
Numer zadania 10. Między liczbami 2 do 42, wstaw kilka liczb, które wraz z tymi liczbami tworzą progresję arytmetyczną, jeśli wiadomo, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej wstawionej liczby wynosi 56.
Decyzja. Jeszcze trudniejsze zadanie, które jednak jest rozwiązane przez ten sam schemat co poprzednie - przez średnią arytmetyczną. Problem polega na tym, że nie wiadomo, ile należy włożyć konkretnie numerów. Dlatego ustawiamy definicję, że po wprowadzeniu będzie dokładnie $ n $ numery, a pierwszy wynosi 2, a ostatni - 42. W tym przypadku wyszukiwanie postępu arytmetycznego jest prezentowany w formularzu:
[Left (((a) _ (N)) Prawo) \u003d Left (2; (a) _ (2)); (a) _ (3)); a) _ (n - 1)); 42 prawo)]
[(a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56
Należy jednak pamiętać, że numery $ (a) _ (2)) $ i $ ((a) _ (n - 1)) $ otrzymują z krawędzi liczb 2 i 42 o jeden krok w kierunku siebie, tj. . Do centrum sekwencji. A to oznacza to
[(a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44
Ale następnie wyrażenie nagrane powyżej można przepisać tak:
[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56; Lewa (((a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) Prawo) + ((a) _ (3)) \u003d 56; & 44 + (a) _ (3)) \u003d 56; & (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. Koniec (wyrównuj)]
Poznawanie $ (a) _ (3)) $ i $ (a) _ (1)) $, łatwo znajdziemy różnicę w progresji:
[Rozpocznij (wyrównanie) i (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; & (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d left (3-1 po prawej) CDOT D \u003d 2D; & 2d \u003d 10 rownarrow d \u003d 5. Koniec (wyrównuj)]
Pozostaje tylko znaleźć innych członków:
[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (1)) \u003d 2; & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; & (a) _ (3)) \u003d 12; & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 CDOT 5 \u003d 17; & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 CDOT 5 \u003d 22; & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 CDOT 5 \u003d 27; & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 CDOT 5 \u003d 32; & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 CDOT 5 \u003d 37; & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 CDOT 5 \u003d 42; Koniec (wyrównuj)]
Zatem, już w 9. etapie przyjdziemy na lewy koniec sekwencji - numer 42. Konieczne było włożenie tylko 7 numerów: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Zadania tekstowe z progresją
Podsumowując, chciałbym rozważyć parę stosunkowo proste zadania. Cóż, tak proste: dla większości studentów, którzy zbadają matematykę w szkole i nie czytał, co jest napisane powyżej, zadania te mogą wydawać się puszką. Niemniej jednak jest to takie zadania, aby natknąć się na OGE i EGE w matematyce, więc zalecam zapoznanie się z nimi.
Zadanie numer 11. Brygada wyprodukowana w 62 styczniach części, aw każdym miesiącu dokonała więcej niż 14 części niż w poprzednim. Ile szczegółów dokonało brygady w listopadzie?
Decyzja. Oczywiście liczba szczegółów, pomalowana przez miesiące, będzie rosnącym postępem arytmetyczny. I:
[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (1)) \u003d 62; quad d \u003d 14; & (a) _ (n)) \u003d 62+ Left (N-1 PRAWO) CDOT 14. Koniec (wyrównać)]
Listopad to 11. miesiąc rocznie, więc musimy znaleźć $ ((a) _ (11)) $:
[(a) _ (11)) \u003d 62 + 10 CDOT 14 \u003d 202
Dlatego też 202 szczegóły będą produkowane w listopadzie.
Zadanie numer 12. Obowiązujące warsztaty nakładają się w 216 styczniach książek, aw każdym miesiącu spleciała na 4 książkach więcej niż w poprzednim. Ile książek przytłoczyło warsztatów w grudniu?
Decyzja. Wszystkie takie same:
$ rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (1)) \u003d 216; quad d \u003d 4; & (a) _ (n)) \u003d 216+ Left (N-1 PRAWO) CDOT 4. END (wyrównaj) $
Grudzień jest ostatnim, 12 miesiącem rocznie, więc szukamy $ ((a) _ (12)) $:
[(a) _ (12)) \u003d 216 + 11 CDOT 4 \u003d 260
Jest to odpowiedź - 260 książek zostanie splecione w grudniu.
Cóż, jeśli go przeczytasz tutaj, spieszę się, by cię pogratulować: "kurs młodego myśliwca" na temat postępów arytmetycznych, które pomyślnie przeszedł. Możesz bezpiecznie przejść do następnej lekcji, gdzie studiujemy formułę kwoty progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje.
W matematyce jest własne piękno, jak w malarstwie i poezji.
Rosyjski naukowiec, mechanik N.e. Zhukovsky.
Bardzo popularne zadania testy wprowadzające W matematyce są wyzwania związane z koncepcją progresji arytmetycznej. Aby skutecznie rozwiązać takie zadania, konieczne jest poznanie właściwości progresji arytmetycznej i mieć pewne umiejętności ich stosowania.
Przyjmuj główne właściwości progresji arytmetycznej i podaj najważniejsze wzory, związane z tą koncepcją.
Definicja. Sekwencja numerowa, W którym każdy kolejny członek różni się od poprzedniego i tego samego numeru, zwany progresję arytmetyczną. W tym samym czasie zwana różnicą w progresji.
W przypadku formuł progresji arytmetycznej są ważne
, (1)
gdzie. Formuła (1) nazywa się formułą członka ogólnego progresji arytmetycznej, a wzula (2) jest główną własnością progresji arytmetycznej: Każdy członek progresji zbiega się ze średnią arytmetyczną z sąsiednich członków i.
Należy pamiętać, że z powodu tej właściwości jest, że przedmiotowy postęp jest nazywany "arytmetycznym".
Powyższe wzory (1) i (2) są uogólnione w następujący sposób:
(3)
Aby obliczyć sumę Pierwszy członkowie progresji arytmetycznej Formuła jest zwykle stosowana zwykle
(5) gdzie i.
Jeśli weźmiemy pod uwagę formułę (1), Następnie z Formuły (5) przepływa
Jeśli wyznaczysz
gdzie. Ponieważ formuły (7) i (8) są uogólnieniem odpowiednich wzorów (5) i (6).
W szczególności , Z formuły (5) następuje, co
Głównie znanych uczniów większościowych obejmują własność postępu arytmetycznego, sformułowany przez następujący twierdzenie.
Twierdzenie. Jeśli następnie
Dowód. Jeśli następnie
Twierdzenie jest udowodnione.
Na przykład , Za pomocą twierdzenia., można to pokazać
Odwracamy się do rozważenia typowych przykładów rozwiązywania problemów na temat "Progresja arytmetyczna".
Przykład 1. Niech będzie. Znaleźć .
Decyzja. Używając formuły (6), otrzymujemy. Jak to jest, a następnie.
Przykład 2. Niech będzie trzy razy więcej, a podczas dzielenia się prywatnym, okazuje się 2 i pozostałości 8. Określ i.
Decyzja. Od stanu przykładowego systemu równań przepływa
Ponieważ, z systemu równań (10) dostajemy
Rozwiązywanie tego systemu równań jest i.
Przykład 3. Znajdź, jeśli i.
Decyzja. Zgodnie z wzorem (5) mamy lub. Jednak korzystając z nieruchomości (9), otrzymujemy.
Od tego czasu z równości Następuje równanie lub.
Przykład 4.Znajdź, jeśli.
Decyzja.Według wzoru (5) mamy
Jednak używając twierdzenia, możesz nagrywać
Stąd i z formuły (11) dostajemy.
Przykład 5.. Dano: Znaleźć .
Decyzja. Od tego czasu. Dlatego jednak.
Przykład 6. Niech. Znaleźć .
Decyzja. Używając formuły (9), otrzymujemy. Dlatego, jeśli, to lub.
Także Następnie mają system równań
Rozwiązywanie, które dostajemy i.
Naturalne równanie korzenia jest.
Przykład 7. Znajdź, jeśli i.
Decyzja. Ponieważ w formule (3), mamy to, wówczas system równań przepływa z warunków problemu
Jeśli zastąpimy wyrażenie W drugim równaniu systemu, Dostaję lub.
Korzenie równanie kwadratowe są i.
Rozważmy dwa przypadki.
1. Niech. Bo a potem.
W tym przypadku, zgodnie z formułą (6), mamy
2. Jeśli, a następnie i
Odpowiedź: i.
Przykład 8. Wiadomo, że. Znaleźć .
Decyzja. Biorąc pod uwagę wzór (5) i stan przykładu, zapisz i.
Stąd system równań
Jeśli pierwsze równanie systemu jest pomnożone przez 2, a następnie połóż go drugim równaniem, a następnie dostajemy
Według wzoru (9) mamy. W tym względzie z (12) przepływów lub.
Bo a potem.
Odpowiedź:.
Przykład 9.Znajdź, jeśli i.
Decyzja. Od warunków, a następnie, a następnie.
Z formuły (5) znanej, co . Od tego czasu.
W związku z tym , Tutaj mamy system równań liniowych
Stąd dostajemy i. Biorąc pod uwagę formułę (8), napisz.
Przykład 10. Rozwiązać równanie.
Decyzja. Z określonego równania wynika z tego. Umieściliśmy to i. W tym przypadku .
W zależności od wzoru (1) możesz pisać lub.
Ponieważ równanie (13) ma jedyny odpowiedni korzeń.
Przykład 11. Znajdź maksymalną wartość.
Decyzja. Ponieważ powyższy progresja arytmetyczna jest malejącym. W tym względzie wyrażenie wymaga maksymalnej wartości, gdy jest to liczba minimalnego pozytywnego członka progresji.
Używamy wzoru (1) i faktuto i. Potem dostajemy to lub.
Od tego czasu lub . Jednak w tej nierównościnajwiększa liczba naturalna, więc .
Jeśli wartości i substytut we wzorze (6), otrzymamy.
Odpowiedź:.
Przykład 12. Określ sumę wszystkich dwucyfrowych liczby naturalneKtóry, gdy podzielony jest przez numer 6, podano w pozostałości 5.
Decyzja. Oznaczać zestaw wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, tj. . Ponadto konstruujemy podzbiór składający się z tych elementów (liczb) zestawów, które przy dzielą się do numeru 6, podano w pozostałości 5.
Jest łatwy w instalacji, co . Oczywiście te elementy zestawu Tworzyć progresję arytmetyczną.w którym i.
Aby ustalić moc (liczba elementów) zestawu, ustawiamy to. Ponieważ z formuły (1) powinno być albo. Biorąc pod uwagę formułę (5), otrzymujemy.
Powyższe przykłady rozwiązywania problemów w żadnym przypadku mogą ubiegać się o wyczerpującą kompletność. Ten artykuł jest napisany na podstawie analizy. nowoczesne metody Rozwiązania typowych zadań na danym temacie. W celu głębszego badania metod rozwiązywania problemów związanych z postępem arytmetycznych, wskazane jest odniesienie do listy zalecanych literatury.
1. Zbiór problemów z matematyki do przychodzącego w glebie / ed. MI. Schanavi. - M.: Pokój i edukacja, 2013. - 608 p.
2. SUPRUN V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: dodatkowe sekcje program szkolny. - m.: Lenand / Urss, 2014. - 216 p.
3. Medical M.m. Pełny bieg podstawowej matematyki w zadaniach i ćwiczeniach. Książka 2: Sekwencje numeryczne. i progresja. - m.: Oditus, 2015. - 208 p.
Mieć pytania?
Aby uzyskać pomoc na opiekun - zarejestruj się.
wymagana jest witryna, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału odniesienia do oryginalnego źródła.
