Kaka znajdzie różnicę w progresji arytmetycznej. Jak znaleźć różnicę w progresji arytmetycznej: wzory i przykłady rozwiązań

Tak, tak: progresja arytmetyczna nie jest twoim zabawkami :)

Cóż, przyjaciele, jeśli przeczytasz ten tekst, to wewnętrzna czapka oczywista mówi mi, że nadal nie wiesz, jaki jest progresja arytmetyczna, ale bardzo (nie, tak jak: oooooo!) Chcesz wiedzieć. Dlatego nie udręczę ci długotrwałe przystąpienie i natychmiast przejdź do sprawy.

Za rozpoczęty kilka przykładów. Rozważ kilka zestawów liczb:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ Sqrt (2); 2 sqrt (2); 3 sqrt (2); ... $

Co jest wspólne dla wszystkich tych zestawów? Na pierwszy rzut oka - nic. Ale w rzeczywistości coś jest. Mianowicie: każdy następny element różni się od poprzedniej i tego samego numeru..

Sędzia sam. Pierwszy zestaw jest po prostu w rzędzie liczby, każdy inny inny jest większy niż poprzedni. W drugim przypadku różnica między liczbami pobliskowymi jest już równa pięciu, ale różnica ta jest nadal stała. W trzecim przypadku ogólnie korzenie. Jednak 2 USD SQRT (2) \u003d sqrt (2) + sqrt (2) $ i 3 USD SQRT (2) \u003d 2 sqrt (2) + sqrt (2) $, tj. W tym przypadku każdy następny element po prostu zwiększa $ sqrt (2) $ (i niech nie straszy, że liczba ta jest irracjonalna).

Więc: wszystkie takie sekwencje są nazywane postępami arytmetycznymi. Udzielmy ścisłej definicji:

Definicja. Sekwencja liczb, w których każde następne funkcje różnią się od poprzedniej i tej samej wartości nazywa się progresji arytmetycznej. Rozmiar numeru jest inny, nazywana jest różnicą w progresji, a najczęściej wskazywana przez literę $ D $.

Oznaczenie: $ left ((a) _ (n)) prawy) $ - sama progresja, $ d $ jest jego różnicą.

I natychmiast kilka ważnych komentarzy. Po pierwsze, postęp jest uważany tylko za uporządkowany Sekwencja liczb: mogą czytać ściśle w kolejności, w jakiej są rejestrowane - iw jakikolwiek sposób. Nie można zmienić i zmienić liczby liczb.

Po drugie, sama sekwencja może być skończona, jak i niekończąca się. Na przykład zestaw (1; 2; 3) jest oczywiście ostatecznym postępem arytmetyczny. Ale jeśli piszesz coś w duchu (1; 2; 3; 4; ...) - jest to nieskończony postęp. Po czwartym, po czwartym, jak to było wskazówki, wciąż jest jeszcze kilka liczb. Na przykład nieskończenie. :)

Chciałbym również zauważyć, że progresja rośnie i zmniejsza się. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zestaw (1; 2; 3; 4;). Ale przykłady progresji malejącej:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ Sqrt (5); sqrt (5) -1; \\ sqrt (5) -2; \\ sqrt (5) -3; ... $

OK OK: ostatni przykład Może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale reszta, myślę, że jesteś zrozumiały. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:

Definicja. Progresja arytmetyczna nazywa:

zwiększenie, jeśli każdy następny element jest większy niż poprzedni;

schodząc, jeśli, przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.

Ponadto istnieją tak zwane sekwencje "stacjonarne" - składają się z tej samej liczby powtarzających się. Na przykład (3; 3; 3; ...).

Istnieje tylko jedno pytanie: jak odróżnić rosnącą progresję ze zmniejszenia? Na szczęście wszystko zależy od tego, co jest znakiem numeru $ D $, tj. Różnica progresji:

Jeśli $ D GT 0 $, następnie zwiększa się progresję;
Jeśli $ D. LT 0 $, wówczas postęp jest oczywiście malejący;
Wreszcie, istnieje przypadek $ d \u003d 0 $ - w tym przypadku cały progresja jest zmniejszona do stacjonarnej sekwencji tych samych liczb: (1; 1; 1; 1;) itp.

Spróbujmy obliczyć różnicę $ D $ za trzy malejące postępy podane powyżej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład, pierwsza i druga) i odejmij się spośród właściwych elementów numerów. Będzie wyglądać tak:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ Sqrt (5) -1- sqrt (5) \u003d - 1 $.

Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica naprawdę okazała się negatywna. A teraz, kiedy mamy mniej więcej z wymienionych definicji, nadszedł czas, aby poradzić sobie z tym, w jaki sposób postępuje się i jakie mają właściwości.

Progresja i powtarzająca się wzór

Ponieważ elementy naszych sekwencji nie można zmienić w miejscach, mogą być ponumerowane:

[Left (((a) _ (N)) Prawo) \u003d Left (((a) _ (1)), (a) _ (2)), (a) _ (3 (3 )), ... \\ DOBRZE \\) \\]

Oddzielne elementy tego zestawu są nazywane członkami progresji. Wskazują je za pomocą numeru: Pierwszy Dick, drugi termin itp.

Ponadto, jak już wiemy, sąsiedni członkowie progresji są związane z formułą:

[(a) _ (n)) - (a) _ (n - 1)) \u003d d ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + D ]

Krótko mówiąc, aby znaleźć członek progresji $ n $, musisz poznać $ n-1 $ członka i różnicę $ D $. Taka formuła nazywana jest powtarzającym się, ponieważ może być używany do znalezienia dowolnej liczby, tylko znając poprzednią (i faktycznie - wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, dlatego istnieje bardziej przebiegłość, która zmniejsza dowolne obliczenia na pierwszy członek i różnicę:

[(a) _ (n)) \u003d (a) _ (1)) + Left (n-1 prawy) d

Z pewnością spotkałeś się z tą formułą. Uwielbia dać we wszystkich katalogach i Reshebnikh. Tak, w jakimkolwiek podręczniku wyjaśniającym na matematyce idzie jeden z pierwszych.

Niemniej jednak proponuję trochę napięcia.

Numer zadania 1. Zapewnij pierwszych trzech członków progresji arytmetycznej w lewo (((a) _ (n)) prawy) $, jeśli $ ((a) _ (1)) \u003d 8, D \u003d -5 $.

Decyzja. Znamy więc pierwszy termin $ (a) _ (1)) \u003d 8 USD i różnica w postępie $ D \u003d -5 $. Używamy wynikowego formuły i substytutu $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ i $ n \u003d 3 USD:

[Rozpocznij (wyrównać) i ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + Left (N-1 prawy) D; & (a) _ (1)) \u003d (a) _ (1)) + left (1-1 prawy) d \u003d (a) _ (1)) \u003d 8; & (a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + w lewo (2-1 prawy) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; & (a) _ (3)) \u003d (a) _ (1)) + w lewo (3-1 prawy) d \u003d (a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. Koniec (wyrównuj)]

Odpowiedź: (8; 3; -2)

To wszystko! Uwaga: nasz postęp jest malejącym.

Oczywiście, $ n \u003d 1 $ nie mógł zostać zastąpiony - pierwszy członek, którym również znamy. Jednak zastępując jednostkę, byliśmy przekonani, że nawet dla pierwszego członka, nasza formuła działa. W innych przypadkach wszystko zostało sprowadzone do banalnego arytmetycznego.

Zadanie numer 2. Napisz pierwsze trzech członków progresji arytmetycznej, jeśli jego siódmy członek wynosi -40, a siedemnastego członka wynosi -50.

Decyzja. Piszemy stan zadania w zwykłych terminach:

[(a) _ (7)) \u003d - 40; quad ((a) _ (17) \u003d - 50.

[Left \\ (rozpocznij (wyrównuj) i (a) _ (7)) \u003d (a) _ (1)) + 6D & (a) _ (17) \u003d (a) _ (1)) + 16d End (wyrównuj) Prawo.

[Po lewej (rozpocznij (wyrównać) i (a) _ (1)) + 6d \u003d -40 ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 end (wyrównanie) \\ Dobrze. \\]

Ustawiłem znak systemu, ponieważ wymagania te powinny być wykonywane jednocześnie. A teraz zauważamy, jeśli pierwszy odliczamy pierwsze równanie (mamy prawo do tego, ponieważ mamy system), otrzymujemy to:

[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (1)) + 16d- Left (((a) _ (1)) + 6D Prawo) \u003d - 50- Left (-40 Prawo); & (a) _ (1)) + 16d - (a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; & 10d \u003d -10; & d \u003d -1. Koniec (wyrównuj)]

To takie proste, znaleźliśmy różnicę w progresji! Pozostaje zastępować znaleziony numer do dowolnego równań systemu. Na przykład w pierwszej:

[rozpocznij (matryca) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; quad d \u003d -1 obwód (a) _ (1)) - 6 \u003d -40; ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. Koniec (macierz)]

Teraz, znając pierwszy członek i różnicę, pozostaje na znalezieniu drugiego i trzeciego kutasa:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + D \u003d -34-1 \u003d -35; & (a) _ (3)) \u003d (a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. Koniec (wyrównuj)]

Gotowy! Zadanie zostało rozwiązane.

Odpowiedź: (-34; -35; -36)

Zwróć uwagę na ciekawą własność progresji, którą znaleźliśmy: jeśli weźmiesz $ n $ i $ M Członkowie i odejmujesz ich od siebie, a potem otrzymamy różnicę w progresji pomnożonej przez $ N-M $

[(a) _ (n)) - (a) _ (m)) \u003d d CDOT Left (n-m prawo)]

Prosty, ale bardzo przydatna nieruchomośćŻe musisz wiedzieć - z nim możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów w postępach. Oto jasny przykład:

Numer zadania 3. Piąta kadencja progresji arytmetycznej wynosi 8,4, a jego dziesiąty członek wynosi 14.4. Znajdź piętnastego członka tego postępu.

Decyzja. Od $ (a) _ (5)) \u003d 8,4, $ (a) _ (10)) \u003d 14,4 USD, i musisz znaleźć $ ((a) _ (15)) $, a następnie zauważ:

[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (15)) - (a) _ (10)) \u003d 5d; & (a) _ (10)) - (a) _ (5) \u003d 5d. Koniec (wyrównuj)]

Ale według stanu $ (a) _ (10)) - (a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 USD, dlatego $ 5D \u003d 6 USD, skąd mamy:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. Koniec (wyrównuj)]

Odpowiedź: 20.4.

To wszystko! Nie musieliśmy być pewni systemów równań i rozważamy pierwszego członka i różnicę - wszystko postanowiło dosłownie w kilku linii.

Teraz rozważ kolejny rodzaj zadania - znaleźć negatywnych i pozytywnych członków postępowania. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja wzrasta, ze swoim pierwszym członkiem jej negatywnego, a następnie prędzej czy później będzie pozytywni członkowie. Prawie: członkowie zmniejszenia progresji prędzej czy później stanie się negatywne.

Jednocześnie nie zawsze jest możliwe dodanie tego momentu "w czole", kolejno obracając elementy. Często zadania są zaprojektowane tak, że nie będzie kilka arkuszy bez znajomości formuł - właśnie zasnąlibyśmy, gdy znaleźli odpowiedź. Dlatego spróbujmy rozwiązać te zadania w szybszy sposób.

Numer zadania 4. Ilu negatywnych członków w progresji arytmetycznej wynosi -38,5; -35,35,8; ...?

Decyzja. Tak $ (a) _ (1)) \u003d - 38,5 USD, $ (a) _ (2)) \u003d - 35,8 USD, gdzie natychmiast znajdziemy różnicę:

Zauważ, że różnica jest dodatnia, dlatego zwiększa się postęp. Pierwszy członek jest negatywny, więc w pewnym momencie będziemy utrudniać liczby dodatnich. Jedyne pytanie brzmi, gdy się zdarza.

Spróbujmy dowiedzieć się: jak długo (tj. Do czego liczba naturalna $ n $) zachowuje negatywność członków:

[Rozpocznij (wyrównać) i ((a) _ (n)) lt 0 wnęki (a) _ (1)) + Left (N-1 po prawej) d lt 0; & -38,5+ Left (N-1 Prawa) CDOT 2.7 LT 0; QUAD Left | Cdot 10 Prawo. & -385 + 27 CDOT Left (N-1 Po prawej) LT 0; & -385 + 27N-27 LT 0; & 27N LT 412; & N lt 15 frac (7) (27) prawy ((n) _ (max)) \u003d 15. Koniec (wyrównuj)]

Ostatnia linia wymaga wyjaśnienia. Wiemy, że $ n lt 15 frac (7) (27) $. Z drugiej strony, będziemy symulować tylko wartości liczb całkowitych numeru (więcej niż: $ n w MathBB (N) $), więc największą dopuszczalną liczbę jest dokładnie $ n \u003d 15 USD, aw żadnym wypadku 16.

Numer zadania 5. W progresji arytmetycznej $ (() _ (5)) \u003d - 150 (() _ (6) \u003d - 147 USD. Znajdź pierwszy pozytywny członek tego postępu.

Byłoby to dokładnie to samo zadanie, co poprzedni, jednak nie wiemy $ ((a) _ (1)) $. Ale sąsiedni członkowie znani: $ (a) _ (5)) $ i $ (a) _ (6)) $, więc łatwo znajdziemy różnicę w progresji:

Ponadto spróbujmy wyrazić piątego kutasa przez pierwszą i różnicę zgodnie ze standardową formułą:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + Left (N-1 Po prawej) CDOT D; & (a) _ (5)) \u003d (a) _ (1)) + 4d; & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 CDOT 3; & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. Koniec (wyrównuj)]

Teraz robimy analogię z poprzednim zadaniem. Dowiemy się w jakim punkcie naszej sekwencji będzie miała pozytywne liczby:

[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (n)) \u003d - 162+ Left (N-1 Prawa) CDOT 3 \\ GT 0; & -162 + 3N-3 GT 0; & 3N GT 165; & N GT 55 w prawy ((n) _ (min)) \u003d 56. Koniec (wyrównuj)]

Minimalne rozwiązanie całkowitego tej nierówności jest numer 56.

Uwaga: W ostatnim zadaniu wszystko zostało rozjaśnione do ścisłej nierówności, więc opcja $ n \u003d 55 $ nie będzie nam odpowiadać.

Teraz, kiedy dowiedzieliśmy się, jak rozwiązać proste zadania, zwracamy się do bardziej złożonego. Ale najpierw studiujmy kolejną bardzo przydatną własność postępów arytmetycznych, które w przyszłości pozwoli nam zaoszczędzić kilka i nierównych komórek. :)

Średnie instytucje arytmetyczne i równe

Rozważ kilka kolejnych członków rosnącej progresji arytmetycznej w lewo (((a) _ (n)) prawy) $. Spróbujmy zaznaczyć je na liczbowym prostym:

Członkowie progresji arytmetycznej na numerycznym bezpośrednim

W szczególności zauważyłem arbitralnych członków (a) _ (n-3)), ... (a) _ (n + 3)) $, a nie niektóre $ ((a) _ (1)), \\ (a) _ (2)), (a) _ (3)) $ itd. Ponieważ reguła, którą teraz powiem, działa równie dla każdego "segmentów".

A reguła jest bardzo prosta. Pamiętajmy o formule nawrotowej i napisz go do wszystkich zaznaczonych członków:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (n-2)) \u003d (a) _ (n-3)) + D; & (a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n - 2)) + d; & (a) _ (n)) \u003d (a) _ (n - 1)) + d; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (N + 1)) + D; Koniec (wyrównuj)]

Jednak te równości mogą być przepisane inaczej:

[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (n - 1)) \u003d (a) _ (n)) - d; & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; & (a) _ (n-3)) \u003d (a) _ (n)) - 3d; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; Koniec (wyrównuj)]

Cóż, więc co? A fakt, że członkowie $ ((a) _ (n - 1)) $ i $ (a) _ (n + 1)) $ leżą w tej samej odległości od $ (a) _ (n)) $. A ta odległość wynosi $ D $. To samo można powiedzieć o członkach $ (a) _ (n - 2)) $ i $ (a) _ (n + 2)) $ - są również usuwane z $ ((a) _ (n )) $ W tej samej odległości, równej 2D $. Możesz kontynuować nieskończoność, ale punkt jest dobrze zilustrowany przez zdjęcie

Członkowie progresji leżą w tej samej odległości od centrum

Co to znaczy dla nas? Oznacza to, że możesz znaleźć $ ((a) _ (n)) $, jeśli sąsiedzi są znane:

[(a) _ (n)) \u003d frac (((a) _ (n - 1)) + (a) _ (n + 1)) (2)

Przywililiśmy wielką zatwierdzenie: każdy członek progresji arytmetycznej jest równy średniemu sąsiednimi członkom arytmetycznych! Ponadto: możemy wycofać się z naszego $ ((a) _ (n)) $ w lewo i prawej nie jeden krok, a na $ k $ Steps - i nadal formuła będzie poprawna:

[(a) _ (n)) \u003d frac (((a) _ (n - k)) + (a) _ (N + K))) (2)

Te. Możemy bezpiecznie znaleźć jakiś $ ((a) _ (150)) $, jeśli wiemy $ ((a) _ (100)) $ i $ ((a) _ (200)) $, ponieważ $ ((a) _ (150)) \u003d frac ((a) _ (100)) + (a) _ (200))) (2) $. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ten fakt nie daje nam nic przydatnych. Jednak w praktyce wiele zadań jest specjalnie "zaostrzonych", aby użyć średniego arytmetycznego. Spójrz:

Numer zadania 6. Znajdź wszystkie wartości $ x $, przy których numery $ -6 ((x) ^ (2)) $, x + 1 $ i 14 $ + 4 (((x) ^ (2)) $ są spójnymi członkami progresji arytmetycznej (określonej).

Decyzja. Ponieważ te liczby są członkami postępu, stan przeciętnego arytmetycznego jest dla nich wykonany: element centralny X + 1 $ można wyrażać przez sąsiednie elementy:

[Rozpocznij (wyrównaj) i x + 1 \u003d frac (-6 (((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d frac (14-2 (x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); & (x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. Koniec (wyrównuj)]

Okazało się klasyczne równanie kwadratowe. Jego korzenie: $ X \u003d 2 $ i $ x \u003d -3 $ - to jest odpowiedzi.

Odpowiedź: -3; 2.

Numer zadania 7. Znajdź wartość $$, przy czym liczby -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ stanowić progresję arytmetyczną (w określonej kolejności).

Decyzja. Ponownie wyrażamy przeciętny członek przez średnią arytmetyczną dla sąsiednich członków:

[Rozpocznij (wyrównuj) i 4x-3 \u003d frac (X-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); & 4x-3 \u003d frac (((x) ^ (2)) + x) (2); quay lewe | Cdot 2 Prawo.; & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; & (x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. Koniec (wyrównuj)]

Znowu równanie kwadratowe. I znowu dwa korzenie: $ x \u003d 6 $ i $ x \u003d 1 $.

Odpowiedź 1; 6.

Jeśli w procesie rozwiązywania problemu masz jakieś brutalne numery, lub nie jesteś w pełni pewny poprawności znalezionych odpowiedzi, czyli wspaniałą technikę, co pozwala sprawdzić: Czy rozwiązaliśmy zadanie?

Załóżmy, że w zadaniu numer 6 otrzymaliśmy odpowiedzi --3 i 2. Jak sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Zastazujmy je w oryginalnym stanie i zobaczmy, co się stanie. Pozwól mi przypomnieć, że mamy trzy liczby ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ i 14 $ + 4 (() ^ (2)) $), co powinno być progresją arytmetyczną. Zastąp $ x \u003d -3 $:

[Rozpocznij (wyrównuj) i x \u003d -3 wnęka do i -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; & x + 1 \u003d -2; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. Koniec (wyrównuj)]

Otrzymane liczby -54; -2; 50, który różni się 52 - niewątpliwie jest to progresja arytmetyczna. To samo dzieje się w $ X \u003d 2 $:

[Rozpocznij (wyrównuj) i x \u003d 2 wnęka do i -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; & x + 1 \u003d 3; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. Koniec (wyrównuj)]

Ponownie progresja, ale z różnicą 27. Zatem zadanie jest rozwiązywane prawdziwe. Ci, którzy życzą, mogą sprawdzić drugie zadanie samodzielnie, ale natychmiast powiem: wszystko jest tam prawdziwe.

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązywanie najnowszych zadań, natknęliśmy się na inny interesujący faktKto też musi pamiętać:

Jeśli trzy liczby są takie, że druga jest średnia arytmetyczne pierwsze I te ostatnie liczby te stanowią progresję arytmetyczną.

W przyszłości zrozumienie tego oświadczenia pozwoli nam dosłownie "projektować" niezbędne progresje, w oparciu o stan problemu. Ale zanim zajmiemy się takim "projektem", należy zwrócić uwagę na inny fakt, że bezpośrednio wynika z już rozważanych.

Grupowanie i ilość elementów

Wróćmy do osi numerycznej. Zauważamy, że kilka członków progresji, między którymi prawdopodobnie. Jest wielu innych członków:

6 elementów są oznaczone liczbowym prostym

Spróbujmy wyrazić "lewy ogon" przez $ ((a) _ (n)) $ i $ d $, a "prawy ogon" przez $ ((a) _ (k)) $ i $ d $. To bardzo proste:

[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (n + 1)) \u003d (a) _ (n)) + D; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; & (a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ k)) - d; & (a) _ (K-2) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. Koniec (wyrównuj)]

A teraz zauważamy, że następujące kwoty są równe:

[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (n)) + (a) _ (k)) \u003d s; & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d (a) _ (n)) + D + ((a) _ (k)) - D \u003d S; & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (K-2)) \u003d (a) _ (n)) + 2D + (a) _ (k)) - 2d \u003d S. Koniec (wyrównuj)]

Wystarczy umieścić, jeśli weźmiemy pod uwagę dwa elementy progresji jako początek, który w ilości jest równy dowolnej liczbie $ S $, a następnie rozpocząć spacery od tych przedmiotów w przeciwnych stronach (do siebie lub odwrotnie do usunięcia), następnie ilości elementów, które będą się potknąć, będą równe $ S $. Najwyraźniej może być reprezentowany graficznie:

Te same wcięcia dają równe kwoty.

Zrozumienie tego faktu Rozwiążmy zadania zasadniczo wyższego poziomu złożoności niż te, które uważaliśmy powyżej. Na przykład taki:

Zadanie numer 8. Określ różnicę w progresji arytmetycznej, w której pierwsza kadencja wynosi 66, a prace drugiego i dwunastego członków jest najmniejszy możliwe.

Decyzja. Piszemy wszystko, co wiemy:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (1)) \u003d 66; & D \u003d? & (a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) \u003d min. Koniec (wyrównuj)]

Więc jesteśmy nieznani różnicą w postępie $ D $. W rzeczywistości wokół różnicy i zostaną zbudowane wszystkie rozwiązanie, ponieważ produkt jest $ ((a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) $ może przepisać w następujący sposób:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) \u003d (a) _ (1)) + D \u003d 66 + D; & (a) _ (12)) \u003d (a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; & (a) _ (2)) CDOT ((a) _ (12)) \u003d Left (66 + D Prawy) CDOT Left (66 + 11d Prawo) \u003d & \u003d 11 Cdot Left (D + 66 Po prawej) CDOT Left (D + 6 Po prawej). Koniec (wyrównuj)]

Dla tych, którzy są w zbiorniku: przeprowadziłem ogólny mnożnik 11 drugiego wspornika. Tak więc pożądany produkt jest funkcją kwadratową w stosunku do zmiennej $ D $. Dlatego rozważamy funkcję $ F Left (D Prawo) \u003d 11 Left (D + 66 Po prawej) Left (D + 6 Prawo) $ - jego harmonogram będzie parabola oddziały, ponieważ Jeśli ujawnisz wsporniki, otrzymamy:

[Rozpocznij (Wyrównaj) i F Left (D Prawy) \u003d 11 Left (((d) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 CDOT 6 PRAWO) \u003d \\ \u003d 11 ( d) ^ (2)) + 11 CDOT 72D + 11 CDOT 66 CDOT 6 END (wyrównuj)

Jak widać, współczynnik z warunkami starszych jest równy 11 - jest to liczba dodatnia, więc jest to naprawdę radzenie sobie z oddziałami Parabola:

harmonogram funkcja kwadratowa - Parabola.
Uwaga: Minimalna wartość tej paraboli zajmuje wierzchołek z odcięciem $ ((d) _ (0)) $. Oczywiście możemy obliczyć tę odcięcie zgodnie ze standardowym schematem (istnieje formuła $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a); $), ale wiele wspaniałych zauważy, że pożądane Top leży na osi symetrię paraboli, dlatego punkt $ ((d) _ (0)) $ jest równy korzeniom równania $ F Left (D Prawy) \u003d 0 $:

[Rozpocznij (Wyrównaj) i F Left (D Prawy) \u003d 0; & 11 CDOT w lewo (D + 66 PRAWO) CDOT Left (D + 6 Po prawej) \u003d 0; & (d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. Koniec (wyrównuj)]

Dlatego tak naprawdę nie spieszę się, aby ujawnić wsporniki: w oryginalnej formie korzenie były bardzo i bardzo proste. W związku z tym odcięta jest równa średniej liczbie arytmetycznej -66 i -6:

[((d) _ (0)) \u003d frac (-66-6) (2) \u003d - 36

Co daje nam wykryty numer? Dzięki temu wymagana praca zajmuje najmniejszą wartość (przy okazji, nie rozważaliśmy $ ((y) _ (min)) $ - nie jest wymagane od nas). Jednocześnie liczba ta jest różnicą postępu początkowego, tj. Znaleźliśmy odpowiedź. :)

Odpowiedź: -36.

Zadanie numer 9. Między liczbami $ - frac (1) (2) $ i $ - frac (1) (6) $ Włóż trzy liczby, aby uczynić je progresję arytmetyczną wraz z tymi liczbami.

Decyzja. W istocie musimy dokonać sekwencji pięciu liczb, a pierwszy i ostatni numer jest już znany. Oznacz brakującą liczbę zmiennych $ x $, $ y $ i $ z $:

[Left (((a) _ (n)) prawy) \u003d lewy (- frac (1) (2); x; y; z; - frac (1) (6) prawo )]

Należy zauważyć, że numer $ Y $ jest "środkowym" naszej sekwencji - jest równomierny iz liczb $ x $ i $ z $, a od numerów $ - frac (1) (2) $ i $ - Frac (1) (6) $. A jeśli z numerów $ x $ i $ z $ jesteśmy w ten moment Nie możemy dostać $ y $, a następnie z końcami postępu, sytuacja jest inna. Pamiętamy o średniej arytmetycznej:

Teraz, wiedząc $ y $, znajdziemy pozostałe numery. Należy pamiętać, że $ x $ leży między numery $ - frac (1) (2) $ i znaleziono $ y \u003d - frac (1) (3) właśnie znaleziono. w związku z tym

Podobnie, argumentowanie, znajdziemy pozostały numer:

Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy liczby. Piszemy je w odpowiedzi w kolejności, w której muszą być włożone między liczbami początkowymi.

Odpowiedź: $ - frac (5) (12); frac (1) (3); - frac (1) (4) $

Numer zadania 10. Między liczbami 2 do 42, wstaw kilka liczb, które wraz z tymi liczbami tworzą progresję arytmetyczną, jeśli wiadomo, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej wstawionej liczby wynosi 56.

Decyzja. Jeszcze trudniejsze zadanie, które jednak jest rozwiązane przez ten sam schemat co poprzednie - przez średnią arytmetyczną. Problem polega na tym, że nie wiadomo, ile należy włożyć konkretnie numerów. Dlatego ustawiamy definicję, że po wprowadzeniu będzie dokładnie $ n $ numery, a pierwszy wynosi 2, a ostatni - 42. W tym przypadku wyszukiwanie postępu arytmetycznego jest prezentowany w formularzu:

[Left (((a) _ (N)) Prawo) \u003d Left (2; (a) _ (2)); (a) _ (3)); a) _ (n - 1)); 42 prawo)]

[(a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56

Należy jednak pamiętać, że numery $ (a) _ (2)) $ i $ ((a) _ (n - 1)) $ otrzymują z krawędzi liczb 2 i 42 o jeden krok w kierunku siebie, tj. . Do centrum sekwencji. A to oznacza to

[(a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44

Ale następnie wyrażenie nagrane powyżej można przepisać tak:

[Rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (2)) + (a) _ (3)) + (a) _ (n - 1)) \u003d 56; Lewa (((a) _ (2)) + (a) _ (n - 1)) Prawo) + ((a) _ (3)) \u003d 56; & 44 + (a) _ (3)) \u003d 56; & (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. Koniec (wyrównuj)]

Poznawanie $ (a) _ (3)) $ i $ (a) _ (1)) $, łatwo znajdziemy różnicę w progresji:

[Rozpocznij (wyrównanie) i (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; & (a) _ (3)) - (a) _ (1)) \u003d left (3-1 po prawej) CDOT D \u003d 2D; & 2d \u003d 10 rownarrow d \u003d 5. Koniec (wyrównuj)]

Pozostaje tylko znaleźć innych członków:

[Rozpocznij (wyrównaj) i ((a) _ (1)) \u003d 2; & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; & (a) _ (3)) \u003d 12; & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 CDOT 5 \u003d 17; & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 CDOT 5 \u003d 22; & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 CDOT 5 \u003d 27; & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 CDOT 5 \u003d 32; & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 CDOT 5 \u003d 37; & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 CDOT 5 \u003d 42; Koniec (wyrównuj)]

Zatem, już w 9. etapie przyjdziemy na lewy koniec sekwencji - numer 42. Konieczne było włożenie tylko 7 numerów: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Zadania tekstowe z progresją

Podsumowując, chciałbym rozważyć parę stosunkowo proste zadania. Cóż, tak proste: dla większości studentów, którzy zbadają matematykę w szkole i nie czytał, co jest napisane powyżej, zadania te mogą wydawać się puszką. Niemniej jednak jest to takie zadania, aby natknąć się na OGE i EGE w matematyce, więc zalecam zapoznanie się z nimi.

Zadanie numer 11. Brygada wyprodukowana w 62 styczniach części, aw każdym miesiącu dokonała więcej niż 14 części niż w poprzednim. Ile szczegółów dokonało brygady w listopadzie?

Decyzja. Oczywiście liczba szczegółów, pomalowana przez miesiące, będzie rosnącym postępem arytmetyczny. I:

[Rozpocznij (wyrównuj) i ((a) _ (1)) \u003d 62; quad d \u003d 14; & (a) _ (n)) \u003d 62+ Left (N-1 PRAWO) CDOT 14. Koniec (wyrównać)]

Listopad to 11. miesiąc rocznie, więc musimy znaleźć $ ((a) _ (11)) $:

[(a) _ (11)) \u003d 62 + 10 CDOT 14 \u003d 202

Dlatego też 202 szczegóły będą produkowane w listopadzie.

Zadanie numer 12. Obowiązujące warsztaty nakładają się w 216 styczniach książek, aw każdym miesiącu spleciała na 4 książkach więcej niż w poprzednim. Ile książek przytłoczyło warsztatów w grudniu?

Decyzja. Wszystkie takie same:

$ rozpocznij (wyrównanie) i ((a) _ (1)) \u003d 216; quad d \u003d 4; & (a) _ (n)) \u003d 216+ Left (N-1 PRAWO) CDOT 4. END (wyrównaj) $

Grudzień jest ostatnim, 12 miesiącem rocznie, więc szukamy $ ((a) _ (12)) $:

[(a) _ (12)) \u003d 216 + 11 CDOT 4 \u003d 260

Jest to odpowiedź - 260 książek zostanie splecione w grudniu.

Cóż, jeśli go przeczytasz tutaj, spieszę się, by cię pogratulować: "kurs młodego myśliwca" na temat postępów arytmetycznych, które pomyślnie przeszedł. Możesz bezpiecznie przejść do następnej lekcji, gdzie studiujemy formułę kwoty progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje.

Uwaga!
Ten temat ma dodatkowe
Materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy silnie "nie bardzo ..."
A dla tych, którzy są "bardzo ...")

Progresja arytmetyczna jest liczbą liczb, w których każda liczba jest większa niż (lub mniej) poprzedniej i tej samej wartości.

Ten temat jest często złożony i niezrozumiały. Indeksy na dziób, n-th człon Progresja, różnica postępu - wszystko w jakiś sposób myliwa, tak ... Zrozummy ze znaczeniem postępu arytmetycznego i wszystko będzie natychmiast poinformować.)

Koncepcja progresji arytmetycznej.

Progresja arytmetyczna - koncepcja jest bardzo prosta i jasna. Wątpić? Na próżno.) Zobacz siebie.

Napiszę niedokończoną liczbę numerów:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Czy możesz przedłużyć tę serię? Jakie numery pójdą dalej po pierwszej piątce? Każdy ... UH-UH ..., Krótko mówiąc, wszyscy będą dowiedzieć się, że numery 6, 7, 8, 9 itd. Pójdą dalej.

Wykonać zadanie. Daję niedokończoną liczbę numerów:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Możesz złapać regularność, rozszerzyć rząd i zadzwoń siódmy Liczba rzędów?

Jeśli zdałeś sobie sprawę, że jest to numer 20 - gratuluję! Nie tylko czułeś kluczowe punkty progresji arytmetycznej, Ale z powodzeniem użył ich w przypadku! Jeśli nie zrealizowany - czytamy dalej.

A teraz przeniesiemy kluczowe chwile z doznań w matematyce.)

Pierwszy kluczowy moment.

Postęp arytmetyczny radzi sobie z liczbami. Najpierw jest zdezorientowany. Jesteśmy przyzwyczajeni do równania, aby zdecydować, budować wykresy i wszystko ..., a następnie rozszerzyć numer, znajdź liczbę rzędów ...

Nic złego. Tylko progresja jest pierwszym znajomym z nową sekcją matematyki. Sekcja nazywana jest "wierszami" i pracuje dokładnie z szeregami liczb i wyrażeń. Przyzwyczaić się.)

Drugi kluczowy moment.

W progresji arytmetycznej każdy numer różni się od poprzedniego na tej samej wielkości.

W pierwszym przykładzie ta różnica jest jedna. Co za numer nie jest ani więcej niż poprzednia na jednostkę. W drugiej - Troika. Dowolna liczba więcej niż poprzednia. Właściwie to jest moment i daje nam możliwość złapania wzoru i obliczenia kolejnych liczb.

Trzeci kluczowy punkt.

Ten moment nie jest uderzający, tak ... ale bardzo, bardzo ważny. Oto: każda liczba progresji jest na swoim miejscu. Jest pierwszy numer, jest siódmy, jest czterdzieści piątej itp. Jeśli są mylone, gdy spadł, wzór zniknie. Progresja arytmetyczna zniknie. Będzie tylko wiele liczb.

To cały punkt.

Oczywiście B. nowy temat Pojawiają się nowe warunki i notacja. Muszą wiedzieć. W przeciwnym razie nie zrozumiem zadania. Na przykład musisz coś zdecydować, jak:

Napisz pierwszych sześciu członków progresji arytmetycznej (A N), jeśli A 2 \u003d 5, D \u003d -2.5.

Inspiruje?) Cooks, niektóre indeksy ... i zadanie, przy okazji - nie jest łatwiejsze. Musisz tylko zrozumieć znaczenie warunków. Teraz opanujemy tę rzecz i wrócimy do zadania.

Warunki i oznaczenia.

Progresja arytmetyczna - Jest to wiele liczb, w których każda liczba różni się od poprzedniego na tej samej wielkości.

Ta wartość jest nazywana . Doznajmy bardziej szczegółowo z tą koncepcją.

Różnica postępu arytmetycznego.

Różnica w progresji arytmetycznej - Jest to wartość, która dowolna liczba progresji jeszcze Poprzedni.

Jeden ważny punkt. Proszę zwrócić uwagę na słowo "jeszcze". Matematycznie oznacza to, że otrzymuje się każda liczba progresji dodość Różnica w progresji arytmetycznej do poprzedniego numeru.

Aby obliczyć, powiedzmy druga Liczba wierszy, konieczna jest pierwszy Numer dodaj Ta różnica w progresji arytmetycznej. Do obliczenia piąty - różnica jest konieczna dodaj do czwarty Dobrze itp.

Różnica w progresji arytmetycznej może pozytywny Wtedy każda liczba wierszy więcej niż poprzedni. Taka progresja nazywa się wzrastający. Na przykład:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Oto każda liczba okazuje się dodość Liczba dodatnia, +5 do poprzedniego.

Różnica może być negatywny Wtedy każda liczba wierszy okaże się mniej niż poprzedni. Taki postęp jest nazywany (nie uwierzysz w to!) malejący.

Na przykład:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tutaj otrzymuje się każdy numer dodość Do poprzedniej, ale już negatywnej liczby, -5.

Przy okazji, podczas pracy z postępem, bardzo przydatne jest natychmiastowe określenie jego charakteru - zwiększa się lub zmniejsza się. Bardzo pomaga poruszać się w decyzji, uszkodzić swoje błędy i naprawić je, aż będzie za późno.

Różnica w progresji arytmetycznej oznacza, jak reguła litera re.

Jak znaleźć rE. ? Bardzo prosta. Należy zabrać z dowolnej liczby dowolnej liczby poprzedni numer. Odjąć. Nawiasem mówiąc, wynik odejmowania nazywany jest "różnicą".)

Definiujemy na przykład, rE. W celu zwiększenia progresji arytmetycznej:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Weź dowolną liczbę wierszy, ile chcemy, na przykład 11. Zabierz z niego poprzedni numer. te. osiem:

To jest poprawna odpowiedź. Dla tego postępu arytmetycznego różnica wynosi trzy.

Możesz wziąć dokładnie dowolna liczba progresji Dlatego Dla konkretnego postępu. d -zawsze to samo. Chociaż gdzieś na początku rzędu, nawet w środku, przynajmniej w dowolnym miejscu. Nie możesz zrobić tylko pierwszego numeru. Tylko dlatego, że przy pierwszej liczbie Nie poprzedni.)

Nawiasem mówiąc, wiedząc o tym d \u003d 3., Bardzo proste jest znalezienie siódmej liczby tego postępu. Dodajemy 3 do piątego numeru - dostaniemy szóste, będziemy 17. Dodam do szóstej liczby najlepszych trzech, otrzymamy siódmą liczbę - dwadzieścia.

Określać rE. Do zmniejszenia progresji arytmetycznej:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Przypominam o tym, niezależnie od znaków, aby określić rE. potrzeba z dowolnej liczby zabierz poprzedni. Wybierz dowolną liczbę progresji, na przykład -7. Poprzedni ma numer -2. Następnie:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Różnica w progresji arytmetycznej może być dowolna liczba: cały, ułamkowy, irracjonalny, wszelkiego rodzaju.

Inne warunki.

Każda liczba wierszy jest nazywana członek progresji arytmetycznej.

Każdy członek progresji robi twój numer. Pokoje przechodzą ściśle w kilku, bez skupienia. Pierwsza, druga, trzecia, czwarta itp. Na przykład w progresji 2, 5, 8, 11, 14, ... Drugi - jest to pierwszy członek, pięć, drugi, jedenaście - czwarty, cóż, zrozumiałeś ...) Pytam o wyraźne zrozumienie - same numery może być całkowicie dowolnym, całym, ułamkowym, negatywnym, który spadł, ale numery numeracji - ściśle w porządku!

Jak napisać progresję w formie ogólnej? Nie ma problemu! Każda liczba wierszy jest zapisywana w formie listu. Wskazać progresję arytmetyczną, zwykle jest litera zA.. Numer członkowski jest wskazany przez indeks w prawym dolnym rogu. Członkowie piszą przecinek (lub punkt z przecinkiem), podobnie jak to:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5, .....

a 1.- To jest pierwsza liczba a 3. - trzeci itp. Nic sprytnego. Nagrywaj tę serię, którą możesz krótko podać: (N.).

Progresja jest tam Skończony i niekończący się.

Skończone Progresja ma ograniczoną liczbę członków. Pięć, trzydzieści osiem, tyle, ile chcesz. Ale - skończony numer.

Nieskończony Progresja - ma nieskończoną liczbę członków, ile możesz zgadnąć.)

Nagraj ostateczny postęp za pomocą serii może być taki, wszyscy członkowie i punkt na końcu:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5.

Lub tak, jeśli wielu członków to:

a 1, 2, ... A 14, A 15.

W krótkim rekordzie będziesz musiał dodatkowo określić liczbę członków. Na przykład (dla dwudziestu członków), podobnie jak to:

(n), n \u003d 20

Nieskończony postęp można znaleźć w edycji na końcu wiersza, jak w przykładach tej lekcji.

Teraz możesz tworzyć zadania. Zadania są proste, czysto zrozumieć znaczenie progresji arytmetycznej.

Przykłady zadań progresji arytmetycznej.

Przeanalizujemy szczegółowe zadanie podane powyżej:

1. Zdejmij pierwszych sześciu członków progresji arytmetycznej (A N), jeśli A 2 \u003d 5, D \u003d -2.5.

Przetłumaczymy zadanie do zrozumienia języka. Dana niekończący się progresja arytmetyczna. Znany drugą liczbę tego postępu: a 2 \u003d 5. Różnica w progresji jest znana: d \u003d -2.5. Konieczne jest znalezienie pierwszego, trzeciego, czwartego, piątego i szóstego członków tego postępu.

Dla jasności, napisz szereg warunków zadania. Pierwszych sześciu członków, gdzie drugi członek jest piąty:

a 1, 5, 3, A 4, A 5, 6, ....

a 3. = a 2. + rE.

Zastępujemy w wyrażeniu a 2 \u003d 5 i d \u003d -2.5.. Nie zapomnij o minus!

a 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trzeci członek okazał się mniej niż drugi. Wszystko jest logiczne. Jeśli liczba jest większa niż poprzedni negatywny Kwota, sama liczba okazuje się mniej niż poprzedni. Progresja jest malejąca. Dobra, rozważmy.) Uważamy czwarty członek naszej serii:

a 4. = a 3. + rE.

a 4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5. = a 4. + rE.

5.=0+(-2,5)= - 2,5

6. = 5. + rE.

6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tak więc członkowie z trzecim obliczono na szóstym. Okazało się taką serię:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Pozostaje znaleźć pierwszy członka a 1. przez znany sekundę. Jest to krok do drugiej strony, lewo.) Tak, różnica w progresji arytmetycznej rE. Nie możemy dodawać do a 2., ale na wynos:

a 1. = a 2. - rE.

a 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To wszystko. Odpowiedź Quest:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Uzgodnie zauważ, że rozwiązaliśmy to zadanie nawracający droga. To straszny słowo oznacza tylko członek postępu zgodnie z poprzednim (przylegającym) numerem. Inne sposoby na pracę z postępem, które będziemy dalej spojrzeć.

Z tego prostego zadania możesz dokonać jednego ważnego wyjścia.

Zapamiętaj:

Jeśli jesteśmy znani co najmniej jednego członka i różnicę w progresji arytmetycznej, możemy znaleźć dowolny członek tego postępu.

Zapamiętaj? Ten prosty wniosek pozwala rozwiązać większość zadań kursu szkolnego na ten temat. Wszystkie zadania wirują się wokół trzech głównych parametrów: członek postępu arytmetycznego, różnica postępu, członek liczby progresji. Wszystko.

Oczywiście cała poprzednia algebra nie jest anulowana.) W progresji nierówności i równań, a inne rzeczy są uwięzione. Ale dla samego postępu - wszystko obraca się wokół trzech parametrów.

Na przykład rozważmy kilka popularnych zadań na ten temat.

2. Zapisz końcową progresję arytmetyczną w postaci serii, jeśli n \u003d 5, D \u003d 0,4 i 1 \u003d 3,6.

Wszystko jest tutaj proste. Wszystko jest już podane. Konieczne jest, aby pamiętać, jak członkowie progresji arytmetycznej są uważane za obliczanie i pisać. Wskazane jest, aby nie przegapić słów w warunkach przypisania: "Final" i " n \u003d 5."Aby nie liczyć do całkowitego scoff.) W tym progresji, tylko 5 (pięć) członków:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 4 + 0,4 \u003d 4.4

a 4. = a 3. + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

5. = a 4. + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5.2

W lewo, aby nagrać odpowiedź:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Więcej zadań:

3. Określ, czy liczba ma 7 członka progresji arytmetycznej (n), jeśli a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Hmm ... kto go zna? Jak coś określić?

Jak ... Tak, napisz progresję w formie rzędu i zobacz, będzie tam siedem, czy nie! Rozważamy:

a 2 \u003d A 1 + D \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 5,3 + 1.2 \u003d 6,5

a 4. = a 3. + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz wyraźnie widać, że jesteśmy po prostu poślizgnął Między 6,5 a 7,7! Siedem wszedł do naszej liczby liczb, a to znaczy, siedem nie będzie członkiem danego postępu.

Odpowiedź: Nie.

Ale problem oparty na prawdziwa opcja. GIA:

4. Istnieje kilka kolejnych członków progresji arytmetycznej:

...; piętnaście; x; dziewięć; 6; ...

Tutaj odnotowano wiersz bez końca i zacznij. Nie ma numerów członkowskich ani różnicy rE.. Nic złego. Aby rozwiązać zadanie, wystarczy zrozumieć znaczenie progresji arytmetycznej. Wyglądamy i myślę, że możesz odkryć Z tej serii? Jakie są parametry trzech głównych?

Liczby członków? Nie ma pojedynczego numeru.

Ale są trzy liczby i uwagę! - Słowo "Zgodny" W stanie. Oznacza to, że liczby są ściśle w porządku, bez pomijania. Czy w tym rzędzie jest dwa dwa sąsiedni Znane liczby? Tak jest! Jest to 9 i 6. stało się, możemy obliczyć różnicę w progresji arytmetycznej! Od SixTur Telter. poprzedni Numer, tj. Dziewięć:

Pozostały pozostałe drobiazgi. Jaki numer będzie poprzednim dla IKSA? Piętnaście. Tak, X można łatwo znaleźć. Do 15 dodaj różnicę w progresji arytmetycznej:

To wszystko. Odpowiedź: x \u003d 12.

Następujące zadania rozwiązują siebie. Uwaga: Te zadania nie są dla formuł. Wyłącznie na zrozumieniu znaczenia progresji arytmetycznej.) Po prostu napisz wiersz z liczbami, spójrz i myślimy.

5. Znajdź pierwszy dodatni członek postępu arytmetycznego, jeśli A 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Wiadomo, że liczba 5.5 jest członkiem progresji arytmetycznej (N), gdzie 1 \u003d 1,6; d \u003d 1.3. Określ liczbę n tego członka.

7. Wiadomo, że w progresji arytmetycznej A 2 \u003d 4; A 5 \u003d 15.1. Znajdź 3.

8. Kilku kolejnych członków progresji arytmetycznej jest napisane:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Znajdź członka postępu wskazanego przez literę x.

9. Pociąg zaczął się poruszać ze stacji, równomiernie zwiększając prędkość 30 metrów na minutę. Jaka będzie prędkość pociągu w pięć minut? Odpowiedź daj KM / h.

10. Znane jest, że w progresji arytmetycznej A 2 \u003d 5; A 6 \u003d -5. Znajdź 1..

Odpowiedzi (w zaburzeniach): 7.7; 7.5; 9.5; dziewięć; 0,3; cztery.

Wszystko działało? Wspaniale! Możesz zbadać progresję arytmetyczną więcej wysoki poziomW następujących lekcjach.

Nie wszystko się stało? Nie ma problemu. W specjalnej sekcji 555 wszystkie te zadania są zdemontowane wokół kości.) I oczywiście opisano prosty praktyczny przyjęcie, który natychmiast podkreśla roztwór takich zadań jasno, jasne jest, jak dłoń!

Nawiasem mówiąc, w problemie pociągu znajdują się dwa problemy, które ludzie często się potkną. Jedna jest wyłącznie na progresji, a druga jest wspólna dla wszelkich problemów w matematyce i fizyce też. Jest to tłumaczenie wymiarów od jednego do drugiego. Pokazano, jak rozwiązać te problemy.

W tej lekcji przeglądaliśmy podstawowe znaczenie postępu arytmetycznego i jego głównych parametrów. Wystarczy, aby rozwiązać prawie wszystkie zadania na ten temat. Dostosować rE. Do numerów, napisz wiersz, wszystko zostanie podjęte.

Rozwiązanie "na palcach" jest dobrze dostosowane do bardzo krótkich elementów liczby, jak w przykładach tej lekcji. Jeśli wiersz jest bardziej kompletny, obliczenia są skomplikowane. Na przykład, jeśli w zadaniu 9 zostanie zastąpi "pięć minut" na "Trzydzieści pięć minut", Zadanie stanie się niezbędne.)

I są kiedyś proste zadania w istocie, ale nie ważne obliczenia, na przykład:

Podano progresję arytmetyczną (n). Znajdź 121, jeśli A 1 \u003d 3 i D \u003d 1/6.

A co, dodamy dużo więcej do 1/6? Możesz go zabić!

Możesz.) Jeśli nie znasz prostej formuły, zgodnie z którym takie zadania można rozwiązać za minutę. Ta formuła będzie w następnej lekcji. A to zadanie jest tam rozwiązane. W minutę.)

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kolejną kilka ciekawych witryn.)

Dostęp do nich można uzyskać w rozwiązywaniu przykładów i znajdź swój poziom. Testowanie z natychmiastową kontrolą. Ucz się - z zainteresowaniem!)

Możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Instrukcja

Progresja arytmetyczna jest sekwencją formularza A1, A1 + D, A1 + 2D ..., A1 + (N - 1) D. Numer D Krok postęp. Oczywiście, że całkowity arbitralny członek N-th arytmetyki postęp Wygląda: AN \u003d A1 + (n - 1) d. Potem znasz jednego z członków postępczłonek postęp i krok postęp, To jest możliwe, że liczba członka postępu. Oczywiście zostanie on określony przez wzorze N \u003d (AN-A1 + D) / D.

Poznaj teraz M-Dick postęp A ona jest kolejnym członkiem postęp - NTH, ale N, jak w poprzednim przypadku, ale wiadomo, że N i M się nie pasują. Hasha postęp Można obliczyć o wzorze: D \u003d (AN-AM) / (N-M). Następnie n \u003d (an-am + md) / d.

Jeśli suma kilku elementów arytmetycznego postęp, a także pierwszy i ostatni, może być określona liczba tych elementów. System arytmetyczny postęp Będzie to: s \u003d ((A1 + A) / 2) N. Następnie n \u003d 2S / (A1 + AN) - Ctenov postęp. Wykorzystując fakt, że A \u003d A1 + (N - 1) D, formuła ta może być przepisana w postaci: n \u003d 2S / (2A1 + (N - 1) D). Z tego można wyrażać n, rozwiązywanie równania kwadratowego.

Sekwencja arytmetyczna nazywana jest taki zamówiony zestaw liczb, który każdy członek, który oprócz pierwszego, różni się od poprzedniej i tej samej wartości. Ta stała wartość nazywana jest różnica w postępie lub jego etapie i może być obliczona zgodnie ze znanymi członkami progresji arytmetycznej.

Instrukcja

Jeśli wartości zadania są znane pierwszej i drugą lub dowolną inną parę sąsiednich elementów, aby obliczyć różnicę (D) po prostu zabrać od kolejnego członka poprzedniego. Wynikowa wartość może być zarówno liczba dodatnia, jak i ujemna - zależy od tego, czy postęp wzrostu. Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie dla arbitralnie zabranego pary (Aᵢ i Aᵢ₊₁) sąsiednich członków postępu jest rejestrowany w następujący sposób: D \u003d Aᵢ₊₁ - Aᵢ.

Dla kilku członków takiego postępu, z których jedna jest pierwsza (A₁), a druga - każda inna arbitralnie wybrana, można również być formułą znalezienia różnicy (D). Jednak w tym przypadku należy znać numer sekwencji (I) dowolnego wybranego członu sekwencji. Aby obliczyć różnicę, umieścić obie numery, a wynikowy wynik jest podzielony na mniejszą liczbę dowolnego elementu zredukowanego na jednostkę. Ogólnie rzecz biorąc, formuła ta jest zapisywana w następujący sposób: D \u003d (A₁ + Aᵢ) / (I-1).

Jeśli oprócz dowolnego członka progresji arytmetycznej z numerem sekwencji I, inny członek jest znany z numerem sekwencji U, zmień odpowiednio formułę z poprzedniego kroku. W tym przypadku różnica (d) progresji będzie sumą tych dwóch członków, podzielona na różnicę ich numerów sekwencji: D \u003d (Aᵢ + Aᵥ) / (I-V).

Formuła obliczania różnicy (D) jest nieco skomplikowana, jeśli wartość pierwszej kadencji (A₁) i sumę pierwszych członków sekwencji arytmetycznej (I) są podane w warunkach problemu. Aby uzyskać pożądaną wartość, podziel kwotę według liczby członków jego członków, weź pierwszą liczbę w sekwencji, a wynik jest podwójny. Uzyskana wartość jest podzielona na liczbę zmniejszoną o jedną przez ilość członków. Ogólnie rzecz biorąc, formuła obliczania dyskryminacji jest rejestrowana w następujący sposób: D \u003d 2 * (Sᵢ / I-A₁) / (I-1).

Na przykład sekwencja (2); \$pięć\$; \$osiem\$; \$jedenaście\$; (14) ... jest progresją arytmetyczną, ponieważ każdy następny element różni się od poprzedniego (można uzyskać z poprzedniej dodawania):

W tym progresji różnica (d) jest dodatnia (równa (3)), a zatem każdy następny członek jest większy niż poprzedni. Taka progresja nazywa się wzrastający.

Jednak (d) może być liczbą ujemną. na przykład, w progresji arytmetycznej (16); (10); (cztery); (- 2); (- 8) ... różnica progresji (d) jest minus sześć.

W tym przypadku każdy następny element będzie mniejszy niż poprzedni. Te progresje są nazywane malejący.

Oznaczenie progresji arytmetycznej

Progresja jest oznaczona małym listu łacińskiego.

Numery tworzące progresję członkowie (lub elementy).

Są one oznaczane przez ten sam list jako progresję arytmetyczną, ale z indeksem numerycznym równą liczbie elementu w porządku.

Na przykład, progresja arytmetyczna (A_N \u003d Left (2; 5; 8; 11; 14 ... Prawo)) składa się z elementów (A_1 \u003d 2); (A_2 \u003d 5); (A_3 \u003d 8) i tak dalej.

Innymi słowy, dla progresji (A_N \u003d Left \\ (2; 8; 11; 14 ... Prawo)

Rozwiązywanie zadań progresji arytmetycznej

Zasadniczo powyższe informacje są już wystarczające, aby rozwiązać niemal wszelkie zadania progresji arytmetycznej (w tym te, które oferują na OGE).

Przykład (OGE). Progresja arytmetyczna jest ustalana przez warunki (B_1 \u003d 7; D \u003d 4). Znajdź (b_5).
Decyzja:

Odpowiedź: (b_5 \u003d 23)

Przykład (OGE). Podano pierwszych trzech członków progresji arytmetycznej: (62; 49; 36 ...) Znajdź wartość pierwszego ujemnego członka tego postępu ..
Decyzja:

	Dostajemy pierwsze elementy sekwencji i wiadomo, że jest to progresja arytmetyczna. Oznacza to, że każdy element różni się od tej samej liczby sąsiednich. Uczymy się na tym, co, odliczenie od następnego elementu poprzedni: (d \u003d 49-62 \u003d -13).
	Teraz możemy przywrócić nasz postęp do tego, którego potrzebujemy (pierwszego negatywnego) elementu.
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: $-3$

Przykład (OGE). Istnieje kilka elementów progresji arytmetycznej elementów progresji arytmetycznej: (... 5; x; 10; 12.5 ...) Zlokalizuj wartość elementu wskazanego przez literę (x
Decyzja:

	Aby znaleźć (x), musimy wiedzieć, ile następnego elementu różni się od poprzedniego, innymi słowy - różnica postępu. Znajdziemy go z dwóch znanych sąsiednich elementów: (d \u003d 12.5-10 \u003d 2,5).
	A teraz bez żadnych problemów znajdziemy pożądany: (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7,5).
	Gotowy. Możesz napisać odpowiedź.

Odpowiedź: $7,5$.

Przykład (OGE). Progresja arytmetyczna jest ustalana w następujących warunkach: (A_1 \u003d -11); (A_ (N + 1) \u003d A_N + 5) Znajdź sumę pierwszych sześciu członków tego postępu.
Decyzja:

Musimy znaleźć kwotę pierwszych sześciu członków postępowania. Ale nie znamy swoich wartości, otrzymujemy tylko pierwszy element. Dlatego najpierw oblicz wartości z kolei, używając do nas:

(n \u003d 1); (A_ (1 + 1) \u003d A_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6)
(n \u003d 2); (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1
(n \u003d 3); (A_ (3 + 1) \u003d A_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4
A obliczenie sześciu elementów potrzebujemy - znajdziemy ich sumę.

(S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Znaleziono żądaną kwotę.

Odpowiedź: (S_6 \u003d 9).

Przykład (OGE). W progresji arytmetycznej (A_ (12) \u003d 23); (A_ (16) \u003d 51). Znajdź różnicę w tym postępie.
Decyzja:

Odpowiedź: (D \u003d 7).

Ważne formuły do \u200b\u200bprogresji arytmetycznej

Jak widać, wiele zadań na progresji arytmetycznej można rozwiązać, po prostu zrozumiała główną rzecz - że progresja arytmetyczna jest łańcuchem liczb, a każdy następny element w tym łańcuchu uzyskuje się przez dodanie do poprzedniego i tego samego numeru ( Różnica progresji).

Jednak czasami istnieją sytuacje, w których jest dość niewygodne, aby zdecydować "w czole". Na przykład, wyobraź sobie, że w pierwszym przykładzie musimy znaleźć nie piąty element (B_5) i trzysta osiemdziesiąt sześć (B_ (386)). To jest co, dodać cztery razy? Lub wyobraź sobie, że w przedostatnym przykładzie konieczne jest znalezienie sumy pierwszych siedemdziesięciu trzech elementów. Rozważ tortury ...

Dlatego w takich przypadkach "w czole" nie rozwiązuje, ale stosować specjalne wzory pochodzące do progresji arytmetycznej. A główne z nich są formułą nieprawidłowego członka postępu i wzoru kwoty (n) pierwszych członków.

Formuła \\ (n) - Członek: (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D (A_1) jest pierwszą kadencją postępu;
(n) - liczba elementów artystycznych;
(A_N) jest członkiem postępu o liczbie (n).

Ta formuła pozwala nam szybko znaleźć co najmniej trzy setna, co najmniej miliona elementu, znając tylko pierwszą i różnicę postępu.

Przykład. Progresja arytmetyczna jest ustalana przez warunki: (B_1 \u003d -159); (d \u003d 8.2). Znajdź (B_ (246)).
Decyzja:

Odpowiedź: (B_ (246) \u003d 1850).

Formuła kwoty pierwszych członków: (S_N \u003d Frac (A_1 + A_N) (2) CDOT N), gdzie

(a_n) - ostatni członek podsumowujący;

Przykład (OGE). Progresja arytmetyczna jest ustalana przez warunki (A_N \u003d 3.4N-0,6). Znajdź kwotę członków pierwszego (25) tego postępu.
Decyzja:

(S_ (25) \u003d) (Frac (A_1 + A_ (25)) (2)) (CDOT 25)		Aby obliczyć ilość pierwszych dwadzieścia pięć elementów, musimy znać wartość członka pierwszego i dwudziestego piątego członka. Nasz progresja jest proszona o formułę członka enona w zależności od liczby (więcej szczegółów). Obliczmy pierwszy element, zastępować zamiast (n) jednostki.
(n \u003d 1;) (A_1 \u003d 3,4 · 1-0,6 \u003d 2,8)		Teraz znajdziemy dwadzieścia piątego członka, zastąpiąc zamiast (n) dwadzieścia pięć.
(n \u003d 25;) (a_ (25) \u003d 3,4 · 25-0,6 \u003d 84,4)		Cóż, a teraz bez żadnych problemów obliczymy żądaną kwotę.
(S_ 25) \u003d) (Frac (A_1 + A_ (25)) (2)) (CDOT 25 \u003d) (\u003d) (Frac (2.8 + 84.4) (2) (CDOT 25 \u003d) (1090)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: (S_ (25) \u003d 1090).

Dla kwoty (n) pierwszych członków, możesz uzyskać kolejną formułę: po prostu musisz (S_ (25) \u003d) (frac (A_1 + A_ (25)) (2) CDOT 25) zamiast (A_N), zastępuj formułę dla IT (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D). Dostajemy:

Formuła kwoty pierwszych członków: (S_N \u003d) (frac (2a_1 + (n - 1) d) (2)) (CDOT N), gdzie

(S_N) to żądana kwota (n) pierwszych elementów;
(A_1) - pierwszy członek podsumowujący;
(D) - różnica postępu;
(n) - liczba elementów w wysokości.

Przykład. Znajdź kwotę pierwszego (33) - byłego członków progresji arytmetycznej: (17); (15.5); \$czternaście\$…
Decyzja:

Odpowiedź: (S_ (33) \u003d - 231).

Bardziej złożone zadania dla progresji arytmetycznej

Teraz masz wszystkie niezbędne informacje, aby rozwiązać prawie każde zadanie na progresję arytmetyczną. Wypełnij temat z uwzględnieniem zadań, w których nie jest łatwe w użyciu formuły, ale także myśleć trochę (w matematyce jest przydatne ☺)

Przykład (OGE). Znajdź sumę wszystkich negatywnych członków postępu: (- 19.3); \$-dziewiętnaście\$; (- 18.7) ...
Decyzja:

(S_N \u003d) (frac (2a_1 + (n - 1) d) (2)) (CDOT N)		Zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Zaczynamy również rozwiązać: Najpierw znajdziemy (d).
(D \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19,3) \u003d 0,3		Teraz zastąpiłbym (d) w formule na kwotę ... i tu pojawia się mały niuans - nie wiemy (n). Innymi słowy, nie wiemy, ilu członków musi zostać złożony. Jak się dowiedzieć? Pomyślmy. Przestamy składać elementy, gdy dotrzemy do pierwszego elementu pozytywnego. To znaczy, musisz znać liczbę tego przedmiotu. W jaki sposób? Piszemy formułę obliczania dowolnego elementu progresji arytmetycznej: (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d) dla naszej sprawy.
(a_n \u003d a_1 + (n - 1) d
(a_n \u003d -19.3 + (n - 1) · 0,3		Potrzebujemy, aby (a_n) stał się więcej zero. Tak, z co stanie się.
(- 19.3+ (N - 1) · 0,3\u003e 0
((n - 1) · 0,3\u003e 19.3) (\|: 0,3)		Podzielimy obie części nierówności (0,3).
(N - 1) (frac (19.3) (0,3)		Nosić minus jeden, nie zapominając o zmianie znaków
(N\u003e (19,3) (0,3)) (+ 1)		Oblicz ...
(N\u003e 65,333 ...)		... I okazuje się, że pierwszy element dodatni ma numer (66). W związku z tym ten ostatni negatywny ma (n \u003d 65). Na wszelki wypadek sprawdź.
(n \u003d 65;) (A_ (65) \u003d - 19,3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0.1 (n \u003d 66;) (A_ (66) \u003d - 19,3+ (66-1) · 0,3 \u003d 0,2)		W ten sposób musimy złożyć pierwsze elementy (65).
(S_ (65) \u003d) (Frac (2 CDOT (-19.3) + (65-1) 0,3) (2)(CDOT 65) (S_ (65) \u003d) ((- 38,6 + 19.2) (2) (CDOT 65 \u003d -630.5)		Odpowiedź jest gotowa.

Odpowiedź: (S_ (65) \u003d - 630.5).

Przykład (OGE). Progresja arytmetyczna jest ustalana przez warunki: (A_1 \u003d -33); (A_ (n + 1) \u003d A_N + 4). Znajdź sumę z (26) do elementu (42) włącznie.
Decyzja:

(A_1 \u003d -33;) (a_ (n + 1) \u003d a_n + 4	To zadanie musi również znaleźć ilość elementów, ale zaczynając nie od pierwszego i C (26). W takim przypadku nie mamy żadnych formuł. Jak rozwiązać? Łatwy - aby uzyskać kwotę z (26) - Idź do (42) - och, konieczne jest najpierw znaleźć kwotę z (1) - WOW \\ (42) - OH, a następnie odliczanie Pierwsza kwota z niego (25) - GUS (patrz zdjęcie).
	Dla naszego postępu (A_1 \u003d -33) i różnica (D \u003d 4) (W końcu dodajemy do poprzedniego elementu do poprzedniego elementu, aby znaleźć następny). Wiedząc, że znajdziemy ilość pierwszego (42) - kończy.
(S_ (42) \u003d) (Frac (2 CDOT (-33) + (42-1) 4) (2)(CDOT 42 \u003d) (\u003d) (Frac (-66 + 164) (2) (CDOT 42 \u003d 2058)	Teraz ilość pierwszych elementów (25).
(S_ (25) \u003d) (Frac (2 CDOT (-33) + (25-1) 4) (2)(CDOT 25 \u003d) (\u003d) (Frac (-66 + 96) (2) (CDOT 25 \u003d 375)	I wreszcie obliczymy odpowiedź.
(S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683

Odpowiedź: (S \u003d 1683).

W przypadku progresji arytmetycznej istnieje kilka więcej formuł, których nie uwzględniliśmy w tym artykule ze względu na ich małe praktyczne użyteczność. Jednak możesz je łatwo znaleźć.

Podczas studiowania algebry w szkole średniej (klasa 9), jeden z ważnych tematów jest sekwencje numeryczne.Do którego postęp izometrycznego i arytmetycznego. W tym artykule rozważ progresję arytmetyczną i przykłady z rozwiązaniami.

Jaki jest progresja arytmetyczna?

Aby to zrozumieć, konieczne jest określenie postępu postępu, a także przynieść podstawowe wzory, które będą dalej używane podczas rozwiązywania problemów.

Arytmetyczne lub jest takim zestawem zamówionych liczb racjonalnych, którego każdy członek różni się od poprzedniego w pewnej stałej wartości. Ta wartość nazywa się różnicą. Oznacza to, że znajomość jakiegokolwiek członka zamówionej serii liczb i różnicy, można przywrócić cały progresję arytmetyczną.

Daj nam przykład. Następną sekwencją liczb będzie postępowanie arytmetycznego: 4, 8, 12, 16, ..., ponieważ różnica w tym przypadku wynosi 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). Ale zestaw liczb 3, 5, 8, 12, 17 nie można przypisać temu rodzaju progresji, ponieważ różnica nie jest stałą wartością (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Ważne formuły

Obecnie przedstawiamy podstawowe wzory, które będą potrzebne do rozwiązania problemów przy użyciu progresji arytmetycznej. Oznaczają symbolem członkiem N N-TH sekwencji, gdzie N jest liczbą całkowitą. Różnica jest oznaczona literą łacińską d. Następnie następujące wyrażenia są prawdziwe:

Aby określić wartość członu N-T, formuła jest odpowiednia: A N \u003d (N - 1) * D + A 1.
Aby określić ilość pierwszego n komponentów: S n \u003d (A N + A 1) * N / 2.

Aby zrozumieć wszelkie przykłady postępu arytmetycznego z decyzją w klasie 9, wystarczy zapamiętać te dwa wzory, ponieważ wszelkie zadania rozpatrywanego typu są zbudowane na ich użyciu. Nie powinniśmy również zapominać, że różnica w progresji jest określona przez wzór: D \u003d A N - A N-1.

Przykład №1: Znalezienie nieznanego członka

Dajemy prosty przykład postępowania arytmetyki i formuł, które należy wykorzystać do rozwiązania.

Niech sekwencję 10, 8, 6, 4, ... konieczne jest znaleźć w nim pięciu członków.

Z warunkiem problemu wynika już z tego, że znane są pierwsze 4 komponenty. Piąta może być zdefiniowana na dwa sposoby:

Obliczyć, aby rozpocząć różnicę. Mamy: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. Podobnie możesz wziąć dwóch innych członków stojących obok siebie. Na przykład d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Ponieważ wiadomo, że D \u003d A N - A N-1, następnie D \u003d A 5 - A 4, z miejsca, w którym otrzymujemy: A 5 \u003d A 4 \u200b\u200b+ D. Zastępujemy znane wartości: A 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Drugą metodą wymaga również wiedzy na temat różnicy w rozpatrywanej progresji, należy zatem najpierw konieczne do określenia, jak pokazano powyżej (D \u003d -2). Wiedząc, że pierwsza kadencja wynosi 1 \u003d 10, używamy formuły dla N Liczba sekwencji. Mamy: n \u003d (N - 1) * D + A 1 \u003d (N - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zastępowanie w ostatniej ekspresji n \u003d 5 otrzymujemy: A 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Jak widać, obie metody rozwiązywania doprowadziły do \u200b\u200btego samego wyniku. Należy pamiętać, że w tym przykładzie różnica D progresji jest wartością ujemną. Takie sekwencje są nazywane malejące, ponieważ każda następna kadencja jest mniejsza niż poprzedni.

Przykład numer 2: Różnica postępu

Teraz komplikuje trochę zadania, dajemy przykład, jak znaleźć różnicę w postępie arytmetycznego.

Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznego pierwszego członka wynosi 6, a 7. członek ma 18 lat. Konieczne jest znalezienie różnicy i przywrócenie tej sekwencji do 7 członków.

Używamy formuły do \u200b\u200bokreślenia nieznanego członu: a n \u003d (n - 1) * D + A 1. Zastępujemy dobrze znane dane ze stanu, czyli liczby A 1 i A 7, mamy: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Tak więc odpowiedzieli na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić sekwencję do 7 członka, należy użyć definicji postęp algebraicznyOznacza to, że A 2 \u003d A 1 + D, A 3 \u003d A 2 + D i tak dalej. W rezultacie przywracamy całą sekwencję: A 1 \u003d 6, A 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, A 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, A 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, A 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , A 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, A 7 \u003d 18.

Przykład Numer 3: Produkcja progresji

Complikujmy jeszcze silniejsze warunki zadania. Teraz konieczne jest odpowiedź na pytanie, jak znaleźć progresję arytmetyczną. Można podać następujący przykład: dwie liczby są podawane, na przykład - 4 i 5. Konieczne jest progresję algebraicznego, aby umieścić trzech więcej członków.

Przed rozpoczęciem rozwiązywania tego zadania konieczne jest zrozumienie, jakie miejsce będzie daną liczbą w przyszłym postępie. Ponieważ między nimi będzie trzech kolejnych członków, a następnie 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Zainstalując go, włączamy do zadania podobnego do poprzedniego. Ponownie dla członka N-T, którego używamy formuły, otrzymujemy: A 5 \u003d A 1 + 4 * d. Lokalizacja: D \u003d (A 5 - A 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tutaj nie otrzymaliśmy jednak całej wartości różnicy, jest to racjonalna liczba, więc wzory postępu algebraicznego pozostają takie same.

Teraz dodaj różnicę znalezioną 1 i przywrócić brakujący członek postępu. Dostajemy: A 1 \u003d - 4, A 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, A 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, A 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, A 5 \u003d 5, + 2,25 \u003d 5, które zbiegły się z warunkami problemu.

Przykład №4: Pierwszy członek progresji

Nadal przynosimy przykłady progresji arytmetycznej z rozwiązaniem. We wszystkich poprzednich zadaniach była znana pierwsza liczba progresji algebraicznej. Teraz rozważ zadanie innego typu: Niech podano dwie liczby, gdzie A 15 \u003d 50 i 43 \u003d 37. Konieczne jest znalezienie, z czego rozpoczyna się ta sekwencja.

Wzory stosowane do tej pory sugerują wiedzę A 1 i D. W warunkach problemu tych liczb nic nie jest nieznany. Niemniej jednak napiszemy wyrażenia dla każdego członka, który istnieje informacje: A 15 \u003d A 1 + 14 * D i 43 \u003d A 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których 2 nieznane wartości (A 1 i D). Oznacza to, że zadanie jest ograniczone do rozwiązania systemu równań liniowych.

Określony system jest najłatwiejszy do wyrażania w każdym równaniu A 1, a następnie porównuj uzyskane wyrażenia. Pierwsze równanie: A 1 \u003d A 15 - 14 * D \u003d 50 - 14 * D; Drugie równanie: A 1 \u003d A 43 - 42 * D \u003d 37 - 42 * d. Radzimy te wyrażenia, otrzymujemy: 50 - 14 * D \u003d 37 - 42 * D, gdzie d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (42 - 14) \u003d - 0,464 (tylko 3 znaki dokładności po przecinku) są podane.

Poznanie D, możesz użyć dowolnej z 2 wyrażeń powyżej dla 1. Na przykład, pierwszy: A 1 \u003d 50 - 14 * D \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jeśli w wyniku wyniku pojawi się wątpliwości, możesz to sprawdzić, na przykład, aby określić 43 członka progresji, który jest ustawiony w stanie. Otrzymujemy: 43 \u003d A 1 + 42 * D \u003d 56 496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37.008. Niewielki błąd jest związany z faktem, że gdy obliczenia stosują zaokrąglanie do tysięcznych frakcji.

Przykład numer 5: Kwota

Teraz rozważ kilka przykładów z rozwiązaniami do ilości progresji arytmetycznej.

Niech następujący postęp następnego formularza: 1, 2, 3, 4, ... ,. Jak obliczyć kwotę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowych możesz zdecydować to zadanie, czyli kolejno złożone wszystkie numery, które maszyna obliczeniowa uczyni ją natychmiast, gdy osoba naciska klawisz Enter. Jednakże zadanie można rozwiązać na uwadze, jeśli zwracasz uwagę, że liczba prezentowanych liczb jest progresja algebraicznego, a jego różnica wynosi 1. Za pomocą wzoru do ilości, otrzymujemy: s n \u003d n * (A 1 + A) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Należy zauważyć, że to zadanie nazywa się "Gaussian", ponieważ na początku XVIII wieku, słynny niemiecki wciąż jest w wieku 10 lat, był w stanie rozwiązać go w umyśle w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał formuły ilości progresji algebraicznej, ale zauważył, że jeśli składamy liczby na krawędziach sekwencji, to jeden wynik jest zawsze uzyskany, czyli 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., a ponieważ kwoty te będą dokładnie 50 (100/2), wystarczy pomnożyć 50 do 101, aby uzyskać prawidłową odpowiedź.

Przykład №6: Ilość członków od n do m

Inny typowy przykład Ilość progresji arytmetycznej jest następujący: Dan Takimi liczb Zakres: 3, 7, 11, 15, ... Musisz znaleźć suma jego członków od 8 do 14 będzie równa.

Zadanie jest rozwiązane na dwa sposoby. Pierwszy oznacza znalezienie nieznanych członków od 8 do 14, a następnie ich spójne sumowanie. Ponieważ terminy są nieco, ta metoda nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązać ten problem z drugą metodą, która jest bardziej wszechstronna.

Pomysł jest uzyskanie formuły sumy postępu algebraicznego wśród członków M i N, gdzie N\u003e M jest liczbami całkowitymi. Piłowaliśmy dwie wyrażenia obu przypadków:

S M \u003d M * (A M + A 1) / 2.
S n \u003d N * (A N + A 1) / 2.

Od N\u003e M jest oczywiste, że kwota kwoty obejmuje pierwszy. Ostatni wniosek oznacza, że \u200b\u200bjeśli wziąłeś różnicę między tymi sumami, a dodaj do niego członka (w przypadku różnicy, zostanie on potrącany z sumy), a następnie uzyskamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: s mn \u003d s n - s m + am \u003d n * (A 1 + A) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM \u003d A 1 * (N - M) / 2 + A * N / 2 + AM * (1- m / 2). W tym wyrażeniu konieczne jest zastąpienie wzoru dla n i m. Następnie otrzymujemy: S Mn \u003d A 1 * (N - M) / 2 + N * (A 1 + (N - 1) * D) / 2 + (A 1 + (M - 1) * D) * (1 - M / 2) \u003d A 1 * (N - M + 1) + D * N * (N - 1) / 2 + D * (3 * m - M2 - 2) / 2.

Uzyskana formuła jest nieco kłopotna, mimo to suma s mn zależy tylko na N, M, A 1 i D. W naszym przypadku, a 1 \u003d 3, D \u003d 4, N \u003d 14, M \u003d 8. Podstawiając te liczby, otrzymujemy: S Mn \u003d 301.

Jak widać z podanych rozwiązań, wszystkie zadania opierają się na wiedzy na temat ekspresji dla członka N-T i wzoru do ilości zestawu pierwszych składników. Przed rozpoczęciem rozwiązywania któregokolwiek z tych zadań zaleca się starannie przeczytać stan, jasne jest zrozumienie, co jest wymagane, a tylko następnie przejdź do rozwiązania.

Inną radą jest w pragnieniu prostoty, czyli, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie, bez zastosowania złożonych obliczeń matematycznych, konieczne jest działanie w ten sposób, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo jest mniej niż błąd. Na przykład, w przykładzie postępu arytmetycznego z numerem decyzyjnym 6, możliwe byłoby mieszkanie na wzorze S Mn \u003d N * (A 1 + A) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM, i rozbić zadanie ogólne W oddzielnych podtaskach (w tym przypadku najpierw znajdź członków A N i A M).

Jeśli w wyniku rezultatu są wątpliwości, zaleca się to sprawdzenie, jak zostało zrobione w niektórych przykładach podanych. Jak znaleźć progresję arytmetyczną, dowiedział się. Jeśli to zrozumiesz, nie jest to takie trudne.