Sarcini pentru aplicarea teoremei lui Pitagora. Începeți în Science Doc în Teoremele lui Pitagora

Asigurați-vă că triunghiul care vi se oferă este un triunghi dreptunghic, deoarece teorema lui Pitagora se aplică doar triunghiurilor dreptunghiulare. În triunghiuri dreptunghiulare, unul dintre cele trei unghiuri are întotdeauna 90 de grade.

• Un unghi drept într-un triunghi dreptunghic este indicat printr-un pătrat în loc de o curbă, care reprezintă unghiuri nedreapte.

Etichetați laturile triunghiului. Desemnați catetele ca „a” și „b” (catetele sunt laturi care se intersectează în unghi drept), iar ipotenuza ca „c” (ipotenuza este cea mai mare latură a unui triunghi dreptunghic care se află opus unghiului drept).

Stabiliți ce parte a triunghiului doriți să găsiți. Teorema lui Pitagora vă permite să găsiți orice latură a unui triunghi dreptunghic (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute). Determinați care parte (a, b, c) trebuie găsită.

• De exemplu, având în vedere o ipotenuză egală cu 5 și având un catet egal cu 3. În acest caz, trebuie să găsiți al doilea catet. Vom reveni la acest exemplu mai târziu.
• Dacă celelalte două laturi sunt necunoscute, este necesar să găsim lungimea uneia dintre laturile necunoscute pentru a putea aplica teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, utilizați funcțiile trigonometrice de bază (dacă vi se dă valoarea unuia dintre unghiurile nedrepte).

Înlocuiți în formula a 2 + b 2 \u003d c 2 valorile date dvs. (sau valorile găsite de dvs.). Amintiți-vă că a și b sunt catete și c este ipotenuza.

• În exemplul nostru, scrieți: 3² + b² = 5².

Patratează fiecare latură cunoscută. Sau lăsați exponenții - puteți pătra numerele mai târziu.

• În exemplul nostru, scrieți: 9 + b² = 25.

Izolați partea necunoscută pe o parte a ecuației. Pentru a face acest lucru, transferați valorile cunoscute pe cealaltă parte a ecuației. Dacă găsiți ipotenuza, atunci în teorema lui Pitagora este deja izolată pe o parte a ecuației (deci nu trebuie făcut nimic).

• În exemplul nostru, mutați 9 în partea dreaptă a ecuației pentru a izola b² necunoscut. Veți obține b² = 16.

Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației.În această etapă, există o necunoscută (pătrat) pe o parte a ecuației și o intersecție (număr) pe cealaltă parte.

• În exemplul nostru, b² = 16. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației și obțineți b = 4. Deci, al doilea catet este 4 .

Utilizați teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi, deoarece poate fi aplicată într-un număr mare de situații practice. Pentru a face acest lucru, învață să recunoști triunghiuri dreptunghiulare în viața de zi cu zi - în orice situație în care două obiecte (sau linii) se intersectează în unghi drept, iar un al treilea obiect (sau linie) conectează (în diagonală) vârfurile primelor două obiecte (sau linii), puteți folosi teorema lui Pitagora pentru a găsi latura necunoscută (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute).

• Exemplu: Având o scară sprijinită de o clădire. Partea de jos a scărilor este la 5 metri de baza peretelui. Partea de sus a scărilor este la 20 de metri de sol (în sus pe perete). Care este lungimea scării?
  • „5 metri de la baza zidului” înseamnă că a = 5; „este la 20 de metri de sol” înseamnă că b = 20 (adică vi se dau două catete ale unui triunghi dreptunghic, deoarece peretele clădirii și suprafața Pământului se intersectează în unghi drept). Lungimea scării este lungimea ipotenuzei, care este necunoscută.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Astfel, lungimea aproximativă a scărilor este 20,6 metri.

Cei care sunt interesați de istoria teoremei lui Pitagora, care este studiată în programa școlară, vor fi, de asemenea, curioși de un astfel de fapt precum publicarea în 1940 a unei cărți cu trei sute șaptezeci de dovezi ale acestei teoreme aparent simple. Dar a intrigat mințile multor matematicieni și filozofi din diferite epoci. În Cartea Recordurilor Guinness, este înregistrată ca o teoremă cu numărul maxim de dovezi.

Istoria teoremei lui Pitagora

Asociată cu numele de Pitagora, teorema era cunoscută cu mult înainte de nașterea marelui filozof. Deci, în Egipt, în timpul construcției structurilor, raportul dintre laturile unui triunghi dreptunghic a fost luat în considerare acum cinci mii de ani. Textele babiloniene menționează același raport al laturilor unui triunghi dreptunghic cu 1200 de ani înainte de nașterea lui Pitagora.

Se pune întrebarea de ce atunci povestea spune - apariția teoremei lui Pitagora îi aparține? Nu poate exista decât un singur răspuns - el a demonstrat raportul laturilor din triunghi. A făcut ceea ce cei care au folosit pur și simplu raportul de aspect și ipotenuza, stabilite de experiență, nu făceau cu secole în urmă.

Din viața lui Pitagora

Viitorul mare om de știință, matematician, filozof s-a născut pe insula Samos în anul 570 î.Hr. Documentele istorice au păstrat informații despre tatăl lui Pitagora, care a fost cioplitor de pietre prețioase, dar nu există informații despre mama lui. Ei au spus despre băiatul născut că a fost un copil remarcabil care a arătat o pasiune pentru muzică și poezie încă din copilărie. Istoricii îi atribuie pe Hermodamant și Pherekides din Syros profesorilor tinerilor Pitagora. Primul l-a introdus pe băiat în lumea Muzelor, iar al doilea, fiind filosof și fondator al școlii italiene de filosofie, a îndreptat privirea tânărului către logos.

La vârsta de 22 de ani (548 î.Hr.), Pitagora a mers la Naucratis pentru a studia limba și religia egiptenilor. Mai departe, calea sa a fost în Memphis, unde, datorită preoților, trecând prin testele lor ingenioase, el a înțeles geometria egipteană, ceea ce, poate, l-a determinat pe tânărul iscoditor să demonstreze teorema lui Pitagora. Istoria va atribui mai târziu acest nume teoremei.

Capturat de regele Babilonului

În drum spre casă spre Hellas, Pitagora este capturat de regele Babilonului. Dar fiind în captivitate a beneficiat mintea iscoditoare a matematicianului începător, avea multe de învățat. Într-adevăr, în acei ani, matematica în Babilon era mai dezvoltată decât în ​​Egipt. A petrecut doisprezece ani studiind matematica, geometria și magia. Și, poate, geometria babiloniană a fost implicată în demonstrarea raportului dintre laturile triunghiului și în istoria descoperirii teoremei. Pitagora avea destule cunoștințe și timp pentru asta. Dar că acest lucru s-a întâmplat în Babilon, nu există nicio confirmare documentară sau infirmare a acestui lucru.

În 530 î.Hr Pitagora fuge din captivitate în patria sa, unde locuiește la curtea tiranului Policrate în statutul de semi-sclav. O astfel de viață nu i se potrivește lui Pitagora, iar el se retrage în peșterile din Samos, apoi pleacă în sudul Italiei, unde se afla colonia greacă din Croton la acea vreme.

Ordinul monahal secret

Pe baza acestei colonii, Pitagora a organizat un ordin monahal secret, care era o uniune religioasă și o societate științifică în același timp. Această societate avea statutul ei, care vorbea despre respectarea unui mod special de viață.

Pitagora a susținut că, pentru a-L înțelege pe Dumnezeu, o persoană trebuie să cunoască științe precum algebra și geometria, să cunoască astronomia și să înțeleagă muzica. Munca de cercetare s-a redus la cunoașterea laturii mistice a numerelor și a filozofiei. De remarcat că principiile predicate la acea vreme de Pitagora au sens în imitație în prezent.

Multe dintre descoperirile făcute de discipolii lui Pitagora i-au fost atribuite. Cu toate acestea, pe scurt, istoria creării teoremei lui Pitagora de către istoricii și biografii antici ai vremii este direct asociată cu numele acestui filozof, gânditor și matematician.

Învățăturile lui Pitagora

Poate că istoricii s-au inspirat din afirmația marelui grec că triunghiul proverbial cu picioarele și ipotenuza lui codifica toate fenomenele vieții noastre. Iar acest triunghi este „cheia” pentru rezolvarea tuturor problemelor care apar. Marele filozof a spus că ar trebui să vedem un triunghi, atunci putem presupune că problema este rezolvată în două treimi.

Pitagora a povestit despre învățătura sa doar elevilor săi oral, fără să facă notițe, păstrând secretul. Din păcate, învățăturile celui mai mare filozof nu au supraviețuit până în zilele noastre. Unele dintre ele s-au scurs, dar este imposibil de spus cât de mult este adevărat și cât de mult este fals în ceea ce a devenit cunoscut. Chiar și cu istoria teoremei lui Pitagora, nu totul este sigur. Istoricii matematicii se îndoiesc de paternitatea lui Pitagora, în opinia lor, teorema a fost folosită cu multe secole înainte de nașterea lui.

teorema lui Pitagora

Poate părea ciudat, dar nu există fapte istorice ale demonstrației teoremei de către Pitagora însuși - nici în arhive, nici în alte surse. În versiunea modernă, se crede că nu aparține nimeni altul decât însuși Euclid.

Există dovezi ale unuia dintre cei mai mari istorici ai matematicii, Moritz Kantor, care a descoperit pe un papirus depozitat în Muzeul din Berlin, scris de egipteni în jurul anului 2300 î.Hr. e. egalitate, care arată: 3² + 4² = 5².

Pe scurt din istoria teoremei lui Pitagora

Formularea teoremei din „Începuturile” euclidiane în traducere sună la fel ca în interpretarea modernă. Nu este nimic nou în citirea sa: pătratul laturii opuse unghiului drept este egal cu suma pătratelor laturilor adiacente unghiului drept. Faptul că civilizațiile antice din India și China au folosit teorema este confirmat de tratatul Zhou Bi Suan Jin. Conține informații despre triunghiul egiptean, care descrie raportul de aspect ca 3:4:5.

Nu mai puțin interesantă este o altă carte de matematică chineză „Chu-pei”, care menționează și triunghiul pitagoreic cu o explicație și desene care coincid cu desenele geometriei hinduse din Baskhara. Despre triunghiul în sine, cartea spune că dacă un unghi drept poate fi descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor va fi egală cu cinci, dacă baza este trei, iar înălțimea este patru.

Tratatul indian „Sulva Sutra”, datând din aproximativ secolele VII-V î.Hr. e., vorbește despre construcția unui unghi drept folosind triunghiul egiptean.

Demonstrarea teoremei

În Evul Mediu, studenții considerau prea dificilă demonstrarea unei teoreme. Elevii slabi au învățat teoreme pe de rost, fără să înțeleagă sensul demonstrației. În acest sens, ei au primit porecla „măgari”, deoarece teorema lui Pitagora era un obstacol de netrecut pentru ei, precum un pod pentru un măgar. În Evul Mediu, elevii au venit cu un vers jucăuș pe tema acestei teoreme.

Pentru a demonstra teorema lui Pitagora în cel mai simplu mod, ar trebui să îi măsurați pur și simplu laturile, fără a utiliza conceptul de arii din demonstrație. Lungimea laturii opuse unghiului drept este c, iar a și b adiacente acesteia, ca rezultat obținem ecuația: a 2 + b 2 \u003d c 2. Această afirmație, așa cum am menționat mai sus, este verificată prin măsurarea lungimii laturilor unui triunghi dreptunghic.

Dacă începem demonstrarea teoremei luând în considerare aria dreptunghiurilor construite pe laturile triunghiului, putem determina aria întregii figuri. Va fi egal cu aria unui pătrat cu o latură (a + b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și pătratul interior.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , ceea ce urma să fie demonstrat.

Semnificația practică a teoremei lui Pitagora este că poate fi folosită pentru a găsi lungimile segmentelor fără a le măsura. În timpul construcției structurilor se calculează distanțele, amplasarea suporturilor și grinzilor, se determină centrele de greutate. Teorema lui Pitagora este aplicată și în toate tehnologiile moderne. Nu au uitat de teoremă atunci când au creat filme în dimensiuni 3D-6D, unde, pe lângă cele 3 valori obișnuite, sunt luate în considerare: înălțimea, lungimea, lățimea, timpul, mirosul și gustul. Cum sunt gusturile și mirosurile legate de teoremă, vă întrebați? Totul este foarte simplu - atunci când difuzați un film, trebuie să calculați unde și ce mirosuri și gusturi să regizați în sală.

Este doar începutul. Un spațiu nelimitat pentru descoperirea și crearea de noi tehnologii așteaptă minți curios.

Pitagora este un om de știință grec care a trăit în urmă cu aproximativ 2500 de ani (564-473 î.Hr.).

Să fie dat un triunghi dreptunghic ale cărui laturi A, bși cu(Fig. 267).

Să construim pătrate pe laturile sale. Suprafețele acestor pătrate sunt, respectiv A 2 , b 2 și cu 2. Să demonstrăm asta cu 2 = a 2 +b 2 .

Să construim două pătrate MKOR și M'K'O'R' (Fig. 268, 269), luând pentru latura fiecăruia dintre ele un segment egal cu suma catetelor triunghiului dreptunghic ABC.

După finalizarea construcțiilor prezentate în figurile 268 și 269 în aceste pătrate, vom vedea că pătratul MKOR este împărțit în două pătrate cu zone. A 2 și b 2 și patru triunghiuri dreptunghiulare egale, fiecare dintre ele egal cu triunghiul dreptunghic ABC. Pătratul M'K'O'R' este împărțit într-un patrulater (este umbrit în Figura 269) și patru triunghiuri dreptunghiulare, fiecare dintre ele fiind, de asemenea, egal cu triunghiul ABC. Patrulaterul umbrit este un pătrat, deoarece laturile sale sunt egale (fiecare este egală cu ipotenuza triunghiului ABC, adică. cu), iar unghiurile sunt drepte ∠1 + ∠2 = 90°, de unde ∠3 = 90°).

Astfel, suma ariilor pătratelor construite pe picioare (în Figura 268 aceste pătrate sunt umbrite) este egală cu aria pătratului MKOR fără suma ariilor a patru triunghiuri egale și aria lui ​pătratul construit pe ipotenuză (în Figura 269 acest pătrat este și umbrit) este egal cu aria pătratului M'K'O'R', egal cu pătratul lui MKOR, fără suma ariilor lui patru triunghiuri asemănătoare. Prin urmare, aria pătratului construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Primim formula cu 2 = a 2 +b 2, unde cu- ipotenuza, Ași b- catetele unui triunghi dreptunghic.

Teorema lui Pitagora poate fi rezumată după cum urmează:

Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor.

Din formula cu 2 = a 2 +b 2 puteți obține următoarele formule:

A 2 = cu 2 - b 2 ;

b 2 = cu 2 - A 2 .

Aceste formule pot fi folosite pentru a găsi latura necunoscută a unui triunghi dreptunghic având în vedere două dintre laturile sale.

De exemplu:

a) dacă sunt date picioare A= 4 cm, b\u003d 3 cm, atunci puteți găsi ipotenuza ( cu):

cu 2 = a 2 +b 2, adică cu 2 = 4 2 + 3 2 ; cu 2 = 25, de unde cu= √25 = 5(cm);

b) dacă este dată ipotenuza cu= 17 cm și picior A= 8 cm, apoi puteți găsi un alt picior ( b):

b 2 = cu 2 - A 2, adică b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, de unde b= √225 = 15 (cm).

Corolar: Dacă în două triunghiuri dreptunghice ABC și A 1 B 1 C 1 ipotenuza cuși cu 1 sunt egale, iar piciorul b triunghiul ABC este mai mare decât catetul b 1 triunghi A 1 B 1 C 1,

apoi piciorul A triunghiul ABC este mai mic decât catetul A 1 triunghi A 1 B 1 C 1 .

Într-adevăr, pe baza teoremei lui Pitagora, obținem:

A 2 = cu 2 - b 2 ,

A 1 2 = cu 1 2 - b 1 2

În formulele scrise, minuendurile sunt egale, iar subtraendul din prima formulă este mai mare decât subtrahendul din a doua formulă, prin urmare, prima diferență este mai mică decât a doua,

adică A 2 a 1 2 . Unde A a 1 .

1

Shapovalova L.A. (stația Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr. 11)

1. Glazer G.I. Istoria matematicii la școala clasele VII - VIII, ghid pentru profesori, - M: Educație, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „În spatele paginilor unui manual de matematică” Manual pentru elevii din clasele 5-6. – M.: Iluminismul, 1989.

3. Zenkevici I.G. „Estetica lecției de matematică”. – M.: Iluminismul, 1981.

4. Litzman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. „Pitagora”. - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „Dincolo de paginile unui manual de algebră”. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. „Geometrie în clasa a X-a”. - M., 1986.

8. Ziarul „Matematică” 17/1996.

9. Ziarul „Matematică” 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Culegere de probleme de matematică elementară”. - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Manual de matematică”. - M., 1973.

12. Şchetnikov A.I. „Doctrina pitagoreică a numărului și mărimii”. - Novosibirsk, 1997.

13. „Numere reale. Expresii iraționale» Clasa a VIII-a. Presa Universității din Tomsk. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. „Geometrie” clasa 7-9. – M.: Iluminismul, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

În acest an universitar, m-am familiarizat cu o teoremă interesantă, cunoscută, după cum sa dovedit, din cele mai vechi timpuri:

„Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catete.”

De obicei, descoperirea acestei afirmații este atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar studiul manuscriselor antice a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înainte de nașterea lui Pitagora.

M-am întrebat de ce, în acest caz, este asociat cu numele lui Pitagora.

Relevanța subiectului: Teorema lui Pitagora este de mare importanță: este folosită în geometrie literalmente la fiecare pas. Consider că lucrările lui Pitagora sunt încă relevante, pentru că oriunde ne uităm, peste tot putem vedea roadele marilor sale idei, întruchipate în diverse ramuri ale vieții moderne.

Scopul cercetării mele a fost: să aflu cine a fost Pitagora și ce relație are el cu această teoremă.

Studiind istoria teoremei, am decis să aflu:

Există și alte dovezi ale acestei teoreme?

Care este semnificația acestei teoreme în viața oamenilor?

Ce rol a jucat Pitagora în dezvoltarea matematicii?

Din biografia lui Pitagora

Pitagora din Samos este un mare om de știință grec. Faima sa este asociată cu numele teoremei lui Pitagora. Deși acum știm deja că această teoremă era cunoscută în Babilonul antic cu 1200 de ani înainte de Pitagora, iar în Egipt, cu 2000 de ani înainte de el, se cunoștea un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5, îl numim încă cu numele acestui antic. om de stiinta.

Aproape nimic nu este cunoscut cu certitudine despre viața lui Pitagora, dar un număr mare de legende sunt asociate cu numele său.

Pitagora s-a născut în anul 570 î.Hr. pe insula Samos.

Pitagora avea un aspect frumos, purta o barbă lungă și o diademă de aur pe cap. Pitagora nu este un nume, ci o poreclă pe care a primit-o filozoful pentru că a vorbit mereu corect și convingător, ca un oracol grecesc. (Pitagora - „vorbire persuasivă”).

În anul 550 î.Hr., Pitagora ia o decizie și pleacă în Egipt. Așadar, înaintea lui Pitagora se deschide o țară necunoscută și o cultură necunoscută. Mult uimit și surprins pe Pitagora în această țară, iar după câteva observații asupra vieții egiptenilor, Pitagora și-a dat seama că calea către cunoaștere, ocrotită de casta preoților, este prin religie.

După unsprezece ani de studii în Egipt, Pitagora pleacă în patria sa, unde pe parcurs cade în captivitatea babiloniană. Acolo se familiarizează cu știința babiloniană, care era mai dezvoltată decât cea egipteană. Babilonienii au știut să rezolve ecuații liniare, pătratice și unele tipuri de ecuații cubice. Scăpat din captivitate, nu a putut rămâne mult timp în patria sa din cauza atmosferei de violență și tiranie care domnea acolo. A decis să se mute la Croton (o colonie greacă din nordul Italiei).

În Croton începe cea mai glorioasă perioadă din viața lui Pitagora. Acolo a înființat ceva ca o frăție religios-etică sau un ordin monahal secret, ai cărui membri erau obligați să ducă așa-numitul mod de viață pitagoreic.

Pitagora și pitagoreenii

Pitagora a organizat într-o colonie greacă din sudul peninsulei Apenini o frăție religioasă și etică, precum un ordin monahal, care mai târziu avea să se numească Uniunea Pitagoreică. Membrii uniunii trebuiau să adere la anumite principii: în primul rând, să se străduiască pentru frumos și glorios, în al doilea rând, să fie folositori și, în al treilea rând, să se străduiască pentru o mare plăcere.

Sistemul de reguli morale și etice, lăsat moștenire de Pitagora studenților săi, a fost compilat într-un fel de cod moral al pitagoreenilor „Versuri de aur”, care au fost foarte populare în epoca Antichității, Evul Mediu și Renaștere.

Sistemul pitagoreic de studii a constat din trei secțiuni:

Învățături despre numere - aritmetică,

Învățături despre figuri - geometrie,

Învățături despre structura universului - astronomie.

Sistemul de învățământ stabilit de Pitagora a durat multe secole.

Școala lui Pitagora a făcut mult pentru a da geometriei caracterul unei științe. Principala caracteristică a metodei pitagoreice a fost combinarea geometriei cu aritmetica.

Pitagora s-a ocupat mult de proporții și progresii și, probabil, de asemănarea cifrelor, întrucât i se atribuie rezolvarea problemei: „Construiți un al treilea, egal ca mărime cu unul dintre date și asemănător celui de-al doilea, pe baza date două cifre.”

Pitagora și studenții săi au introdus conceptul de numere poligonale, prietenoase, perfecte și le-au studiat proprietățile. Aritmetica, ca practică de calcul, nu-l interesa pe Pitagora, iar el declara cu mândrie că „pune aritmetica mai presus de interesele negustorului”.

Membrii Uniunii Pitagoreice erau rezidenți ai multor orașe din Grecia.

Pitagoreii au acceptat și femeile în societatea lor. Uniunea a înflorit timp de mai bine de douăzeci de ani, iar apoi a început persecuția membrilor săi, mulți dintre studenți au fost uciși.

Au existat multe legende despre moartea lui Pitagora însuși. Dar învățăturile lui Pitagora și ale ucenicilor lui au continuat să trăiască.

Din istoria creării teoremei lui Pitagora

În prezent se știe că această teoremă nu a fost descoperită de Pitagora. Cu toate acestea, unii cred că Pitagora a fost primul care a dat dovada completă, în timp ce alții îi neagă acest merit. Unii îi atribuie lui Pitagora dovada pe care Euclid o dă în prima carte a Elementelor sale. Pe de altă parte, Proclu susține că demonstrația din Elemente se datorează lui Euclid însuși. După cum putem vedea, istoria matematicii nu are aproape date concrete sigure despre viața lui Pitagora și activitatea sa matematică.

Să începem revizuirea istorică a teoremei lui Pitagora cu China antică. Aici cartea de matematică a lui Chu-pei atrage o atenție deosebită. Acest eseu spune asta despre triunghiul lui Pitagora cu laturile 3, 4 și 5:

„Dacă un unghi drept este descompus în părțile sale componente, atunci linia care leagă capetele laturilor sale va fi 5 când baza este 3 și înălțimea este 4.”

Este foarte ușor să reproduci metoda lor de construcție. Luați o frânghie de 12 m lungime și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Un unghi drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime.

Geometria în rândul hindușilor era strâns legată de cultul. Este foarte probabil ca teorema ipotenuzei pătratului să fie deja cunoscută în India în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. Alături de prescripțiile pur ritualice, există lucrări de natură geometrică teologică. În aceste scrieri, datând din secolul al IV-lea sau al V-lea î.Hr., întâlnim construirea unui unghi drept folosind un triunghi cu laturile 15, 36, 39.

În Evul Mediu, teorema lui Pitagora a definit limita, dacă nu cea mai mare posibilă, atunci cel puțin a bunelor cunoștințe matematice. Desenul caracteristic al teoremei lui Pitagora, care acum este uneori transformat de școlari, de exemplu, într-o pălărie de cilindru îmbrăcat în halatul unui profesor sau al unui bărbat, a fost adesea folosit în acele vremuri ca simbol al matematicii.

În concluzie, prezentăm diverse formulări ale teoremei lui Pitagora traduse din greacă, latină și germană.

Teorema lui Euclid spune (traducere literală):

„Într-un triunghi dreptunghic, pătratul laturii care se întinde pe unghiul drept este egal cu pătratele de pe laturile care încadrează unghiul drept.”

După cum puteți vedea, în diferite țări și limbi diferite, există diferite versiuni ale formulării teoremei familiare. Create în momente diferite și în limbi diferite, ele reflectă esența unui model matematic, a cărui dovadă are și mai multe opțiuni.

Cinci moduri de a demonstra teorema lui Pitagora

dovezi chineze antice

Într-un desen chinezesc antic, patru triunghiuri dreptunghiulare egale cu catetele a, b și ipotenuza c sunt stivuite astfel încât conturul lor exterior să formeze un pătrat cu latura a + b, iar cel interior să formeze un pătrat cu latura c, construit pe ipotenuză

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dovada de J. Gardfield (1882)

Să aranjam două triunghiuri dreptunghiulare egale, astfel încât catetul unuia dintre ele să fie o continuare a celuilalt.

Aria trapezului luat în considerare se găsește ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea

Pe de altă parte, aria trapezului este egală cu suma ariilor triunghiurilor obținute:

Echivalând aceste expresii, obținem:

Dovada este simplă

Această demonstrație se obține în cel mai simplu caz al unui triunghi dreptunghic isoscel.

Probabil, teorema a început cu el.

Într-adevăr, este suficient să ne uităm la placarea triunghiurilor dreptunghiulare isoscele pentru a vedea că teorema este adevărată.

De exemplu, pentru triunghiul ABC: pătratul construit pe ipotenuza AC conține 4 triunghiuri inițiale, iar pătratele construite pe catete conțin două. Teorema a fost demonstrată.

Dovada hindușilor antici

Un pătrat cu o latură (a + b), poate fi împărțit în părți fie ca în fig. 12. a, sau ca în fig. 12b. Este clar că părțile 1, 2, 3, 4 sunt aceleași în ambele figuri. Și dacă egali sunt scăzuți din egali (arii), atunci egali vor rămâne, i.e. c2 = a2 + b2.

Dovada lui Euclid

Timp de două milenii, cea mai comună a fost demonstrarea teoremei lui Pitagora, inventată de Euclid. Este plasat în celebra sa carte „Începuturi”.

Euclid a coborât înălțimea BH de la vârful unghiului drept la ipotenuză și a demonstrat că extensia sa împarte pătratul completat pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe catete.

Desenul folosit în demonstrarea acestei teoreme este numit în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.

Aplicarea teoremei lui Pitagora

Semnificația teoremei lui Pitagora constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi derivate din ea sau cu ajutorul ei și se pot rezolva multe probleme. În plus, semnificația practică a teoremei lui Pitagora și a teoremei sale inverse este că pot fi folosite pentru a găsi lungimile segmentelor fără a măsura segmentele în sine. Aceasta, așa cum spuneam, deschide calea de la o linie dreaptă la un plan, de la un plan la spațiul volumetric și mai departe. Din acest motiv este atât de importantă teorema lui Pitagora pentru umanitate, care caută să descopere mai multe dimensiuni și să creeze tehnologii în aceste dimensiuni.

Concluzie

Teorema lui Pitagora este atât de faimoasă încât este dificil să-ți imaginezi o persoană care nu a auzit despre ea. Am învățat că există mai multe moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. Am studiat o serie de surse istorice și matematice, inclusiv informații de pe Internet, și am realizat că teorema lui Pitagora este interesantă nu numai pentru istoria sa, ci și pentru că ocupă un loc important în viață și știință. Acest lucru este dovedit de diversele interpretări ale textului acestei teoreme date de mine în această lucrare și modalitățile de demonstrare a acesteia.

Deci, teorema lui Pitagora este una dintre principalele și, s-ar putea spune, cea mai importantă teoremă de geometrie. Semnificația sa constă în faptul că majoritatea teoremelor de geometrie pot fi deduse din ea sau cu ajutorul ei. Teorema lui Pitagora este de asemenea remarcabilă prin faptul că în sine nu este deloc evidentă. De exemplu, proprietățile unui triunghi isoscel pot fi văzute direct pe desen. Dar oricât de mult te uiți la un triunghi dreptunghic, nu vei vedea niciodată că există o relație simplă între laturile lui: c2 = a2 + b2. Prin urmare, vizualizarea este adesea folosită pentru a dovedi acest lucru. Meritul lui Pitagora a fost că a dat o demonstrație științifică completă a acestei teoreme. Personalitatea omului de știință însuși, a cărui memorie nu este păstrată accidental de această teoremă, este interesantă. Pitagora este un orator minunat, profesor și educator, organizatorul școlii sale, axat pe armonia muzicii și a numerelor, bunătate și dreptate, cunoaștere și un stil de viață sănătos. El poate servi drept exemplu pentru noi, descendenții îndepărtați.

Link bibliografic

Tumanova S.V. MAI MULTE MODALITĂȚI DE DEMONSTRARE A TEOREMA PITAGORICE // Începeți în știință. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data accesului: 28/02/2020).

Potrivit lui van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost deja cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

Aproximativ 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. în „Elementele” lui Euclid a apărut cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora.

Cuvântare

Formularea principală conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), relația este îndeplinită:

.

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de zonă figura: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. În această formă, teorema este formulată în Principia lui Euclid.

Teorema inversă a lui Pitagora- afirmația despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru orice triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).

Dovada de

În literatura științifică au fost înregistrate cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora, ceea ce se explică atât prin valoarea fundamentală pentru geometrie, cât și prin elementaritatea rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: ​​utilizarea algebrică a rapoartelor elementelor triunghi (cum ar fi, de exemplu, metoda similară populară), metoda zonei, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Demonstrația clasică a lui Euclid își propune să stabilească egalitatea ariilor dintre dreptunghiurile formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei cu înălțimea din unghiul drept cu pătratele de deasupra catetelor.

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CH H (\displaystyle CH)şi fasciculul care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, care este un pătrat deasupra ipotenuzei, și dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabilește în mod similar.

Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)și A C E D (\displaystyle ACED) stabilit prin congruenţa triunghiurilor △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK)și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror suprafață este egală cu jumătate din suprafața pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)și A C E D (\displaystyle ACED) respectiv, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă latură a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).

Astfel, demonstrația stabilește că aria pătratului de deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)și B H J I (\displaystyle BHJI), este egal cu suma ariilor pătratelor de deasupra catetelor.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Metoda zonei include și dovada găsită de Leonardo da Vinci. Să fie un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral H J (\displaystyle HJ) acesta din urmă, se construiește un triunghi spre exterior, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în ​​raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) sunt egale în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)și D A B G (\displaystyle DABG), aria fiecăruia dintre ele, pe de o parte, este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, cu jumătate din suprafața pătratul ipotenuzei plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Dovada prin metoda infinitezimală

Există mai multe dovezi folosind tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale piciorului a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Prin metoda separării variabilelor, din acestea se derivă o ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relaţia c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește o constantă ca 0, ceea ce are ca rezultat afirmarea teoremei.

Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în „Începuturi”, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile unor figuri geometrice similare arbitrare: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri asemănătoare lor, construită pe ipotenuză.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)și C (\displaystyle C) construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)în consecință, există o relație:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Întrucât conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), atunci este gata.

În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a recurge la teorema lui Pitagora că pentru ariile a trei figuri geometrice asemănătoare de pe laturile unui triunghi dreptunghic, relația A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul dovezii generalizării lui Euclid, putem deriva demonstrația teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu aria C (\displaystyle C), iar pe picioare - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe picioare sunt formate ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma a două suprafețe mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai generală care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:

a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.

Triunghi arbitrar

Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Sabit ibn Kurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ) partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri asemănătoare cu cel original: primul cu laturi a (\displaystyle a), latura laterală a triunghiului isoscel înscris departe de acesta și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea este simetric cu acesta din lateral b (\displaystyle b) cu o petrecere s (\displaystyle s)- partea relevantă a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, relația este îndeplinită:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

care degenerează în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Raportul este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorema zonei Pappus

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și este invalidă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.

În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care leagă un octant al unei sfere unitare, au lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.

Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică, dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma celor două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.

geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul din triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\dreapta)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\dreapta)).

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus unei laturi c (\displaystyle c).

Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă triunghiul hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.

Aplicație

Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea numărului modul complex  - pentru z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea