Care este întotdeauna pătrat. Rezolvarea ecuațiilor pătratice, formula rădăcinilor, exemple

Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că \(a\) nu este egal cu zero, nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se transformă în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

În primul rând, trebuie să înțelegeți că ecuația pătratică incompletă este încă, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca și ecuația pătratică obișnuită (prin). Pentru a face acest lucru, adăugați pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Decizie :

		Avem o ecuație pătratică incompletă cu coeficientul \(b=0\). Adică, putem scrie ecuația în următoarea formă:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De fapt, aici este aceeași ecuație ca la început, dar acum poate fi rezolvată ca un pătrat obișnuit. Mai întâi notăm coeficienții.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Să găsim rădăcinile ecuației folosind formulele \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrieți răspunsul

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Decizie :

		Din nou, o ecuație pătratică incompletă, dar acum coeficientul \(c\) este egal cu zero. Scriem ecuația ca fiind completă.

Ecuație cuadratică sau o ecuație de gradul doi cu o necunoscută este o ecuație care, după transformări, poate fi redusă la următoarea formă:

topor 2 + bx + c = 0 - ecuație pătratică

Unde X este necunoscutul, și A, bși c- coeficienții ecuației. În ecuațiile pătratice A se numește primul coeficient ( A ≠ 0), b se numește al doilea coeficient și c este numit membru cunoscut sau liber.

Ecuația:

topor 2 + bx + c = 0

numit complet ecuație pătratică. Dacă unul dintre coeficienţi b sau c este zero, sau ambii acești coeficienți sunt egali cu zero, atunci ecuația este prezentată ca o ecuație pătratică incompletă.

Ecuație pătratică redusă

Ecuația pătratică completă poate fi redusă la o formă mai convenabilă prin împărțirea tuturor termenilor ei la A, adică pentru primul coeficient:

Ecuația X 2 + px + q= 0 se numește ecuație pătratică redusă. Prin urmare, orice ecuație pătratică în care primul coeficient este egal cu 1 poate fi numită redusă.

De exemplu, ecuația:

X 2 + 10X - 5 = 0

se reduce, iar ecuația:

3X 2 + 9X - 12 = 0

poate fi înlocuită cu ecuația de mai sus împărțind toți termenii ei la -3:

X 2 - 3X + 4 = 0

Rezolvarea ecuațiilor pătratice

Pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să o aduceți la una dintre următoarele forme:

topor 2 + bx + c = 0

topor 2 + 2kx + c = 0

X 2 + px + q = 0

Fiecare tip de ecuație are propria formulă pentru găsirea rădăcinilor:

Atenție la ecuație:

topor 2 + 2kx + c = 0

aceasta este ecuația convertită topor 2 + bx + c= 0, în care coeficientul b- chiar, ceea ce permite înlocuirea acestuia cu tipul 2 k. Prin urmare, formula pentru găsirea rădăcinilor acestei ecuații poate fi simplificată prin înlocuirea cu 2 kîn loc de b:

Exemplul 1 Rezolvați ecuația:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Deoarece al doilea coeficient din ecuație nu este un număr par, iar primul coeficient nu este egal cu unu, vom căuta rădăcinile folosind chiar prima formulă, numită formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. La început

A = 3, b = 7, c = 2

Acum, pentru a găsi rădăcinile ecuației, pur și simplu înlocuim valorile coeficienților în formula:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Răspuns: -	1	, -2.
	3

Exemplul 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:

A = 1, b = -4, c = -60

Deoarece al doilea coeficient din ecuație este un număr par, vom folosi formula pentru ecuațiile pătratice cu un al doilea coeficient par:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Răspuns: 10, -6.

Exemplul 3

y 2 + 11y = y - 25

Să aducem ecuația într-o formă generală:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:

A = 1, p = 10, q = 25

Deoarece primul coeficient este egal cu 1, vom căuta rădăcinile folosind formula pentru ecuațiile de mai sus cu un al doilea coeficient par:

Răspuns: -5.

Exemplul 4

X 2 - 7X + 6 = 0

Să determinăm cu ce coeficienți sunt egali:

A = 1, p = -7, q = 6

Deoarece primul coeficient este egal cu 1, vom căuta rădăcinile prin formula pentru ecuațiile date cu un al doilea coeficient impar:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Discriminantul vă permite să rezolvați orice ecuație pătratică folosind formula generală, care are următoarea formă:

Formula discriminantă depinde de gradul polinomului. Formula de mai sus este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de următoarea formă:

Discriminantul are următoarele proprietăți pe care trebuie să le cunoașteți:

* „D” este 0 când polinomul are rădăcini multiple (rădăcini egale);

* „D” este un polinom simetric în raport cu rădăcinile polinomului și, prin urmare, este un polinom în coeficienții săi; mai mult, coeficienții acestui polinom sunt numere întregi, indiferent de extensia în care sunt luate rădăcinile.

Să presupunem că ni se oferă o ecuație pătratică de următoarea formă:

1 ecuație

După formula avem:

Deoarece \, atunci ecuația are 2 rădăcini. Să le definim:

Unde pot rezolva ecuația prin rezolvatorul online discriminant?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Aceasta este ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. rezolva ecuatia x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; unu.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete după schema din figura 1.

Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca un polinom de formă standard

A x 2 + bx + c, altfel poti face o greseala. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi exemplul 2 soluția de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie pe primul loc, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bx, iar apoi termenul liber cu.

La rezolvarea ecuației pătratice de mai sus și a ecuației pătratice cu un coeficient par pentru al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unitatea și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată de rezolvat sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă a soluției pătratului redus
ecuații. Luați în considerare exemplul aplicării formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. rezolva ecuatia

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Puteți vedea că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi, să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figură D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și împărțind, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvăm această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Conținutul lecției

Ce este o ecuație pătratică și cum se rezolvă?

Ne amintim că o ecuație este o egalitate care conține o variabilă a cărei valoare trebuie găsită.

Dacă variabila inclusă în ecuație este ridicată la a doua putere (pătrat), atunci o astfel de ecuație se numește ecuație de gradul doi sau ecuație pătratică.

De exemplu, următoarele ecuații sunt pătratice:

Rezolvăm prima dintre aceste ecuații și anume X 2 − 4 = 0 .

Toate transformările identice pe care le-am folosit în rezolvarea ecuațiilor liniare obișnuite pot fi aplicate și în rezolvarea celor pătrate.

Deci în ecuație X 2 − 4 = 0 mutăm termenul −4 din partea stângă în partea dreaptă prin schimbarea semnului:

Am primit ecuația X 2 = 4 . Mai devreme am spus că ecuația este considerată rezolvată dacă într-o parte variabila este scrisă în gradul I și coeficientul ei este egal cu unul, iar cealaltă parte este egală cu un anumit număr. Adică, pentru a rezolva ecuația, aceasta ar trebui redusă la forma x = a, Unde A- rădăcina ecuației.

Avem o variabilă X inca in gradul doi, deci solutia trebuie continuata.

Pentru a rezolva ecuația X 2 = 4, trebuie să răspundeți la întrebarea la ce valoare X partea stângă devine 4 . Evident, pentru valorile 2 și −2 . Pentru a obține aceste valori, folosim definiția rădăcinii pătrate.

Număr b numită rădăcina pătrată a numărului A, dacă b 2 = ași este notat ca

Avem o situație similară acum. La urma urmei, ce este X 2 = 4? Variabil Xîn acest caz este rădăcina pătrată a lui 4, deoarece a doua putere X echivalat cu 4.

Atunci putem scrie asta. Calculul părții drepte vă va permite să aflați cu ce este egal X. Rădăcina pătrată are două semnificații: pozitiv și negativ. Apoi primim X= 2 și X= −2 .

De obicei ei scriu astfel: pun un semn plus-minus în fața rădăcinii pătrate, apoi găsesc. În cazul nostru, în stadiul în care se scrie expresia, semnul ± trebuie plasat înainte

Apoi găsiți valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate

Expresie X= ± 2 înseamnă că X= 2 și X= −2 . Adică rădăcinile ecuației X 2 − 4 = 0 sunt numerele 2 și −2 . Scriem soluția completă a acestei ecuații:

În ambele cazuri, partea stângă este zero. Deci ecuația este corectă.

Să rezolvăm o altă ecuație. Să fie necesar să se rezolve ecuația pătratică ( X+ 2) 2 = 25

Mai întâi, să analizăm această ecuație. Partea stângă este pătrată și este egală cu 25 . Ce număr la pătrat este 25? Evident, numerele 5 și −5

Adică, sarcina noastră este să găsim X, sub care expresia X+ 2 va fi egal cu numerele 5 și −5 . Să scriem aceste două ecuații:

Să rezolvăm ambele ecuații. Acestea sunt ecuații liniare obișnuite care sunt ușor de rezolvat:

Deci rădăcinile ecuației ( X+ 2) 2 = 25 sunt numerele 3 și −7 .

În acest exemplu, ca și în trecut, puteți folosi definiția rădăcinii pătrate. Deci, în ecuațiile ( X+ 2) 2 = 25 expresie ( X+ 2) este rădăcina pătrată a lui 25. Prin urmare, putem mai întâi să scriem asta .

Apoi partea dreaptă devine egală cu ±5. Obțineți două ecuații: X+ 2 = 5 și X+ 2 = −5. Rezolvând fiecare dintre aceste ecuații separat, vom ajunge la rădăcinile 3 și −7.

Să notăm soluția completă a ecuației ( X+ 2) 2 = 25

Din exemplele luate în considerare, se poate observa că ecuația pătratică are două rădăcini. Pentru a nu uita de rădăcinile găsite, variabila X poate fi semnat cu indice. Astfel, rădăcina 3 poate fi notată ca X 1 și rădăcina −7 prin X 2

În exemplul anterior, puteți face și acest lucru. Ecuația X 2 − 4 = 0 avea rădăcinile 2 și −2 . Aceste rădăcini pot fi numite X 1 = 2 și X 2 = −2.

De asemenea, se întâmplă ca o ecuație pătratică să aibă o singură rădăcină sau să nu aibă deloc rădăcină. Vom lua în considerare astfel de ecuații mai târziu.

Să verificăm ecuația ( X+ 2) 2 = 25 . Înlocuiți rădăcinile 3 și −7 în el. Dacă pentru valorile 3 și -7 partea stângă este egală cu 25, atunci aceasta va însemna că ecuația este rezolvată corect:

În ambele cazuri, partea stângă este 25 . Deci ecuația este corectă.

Ecuația pătratică este dată în diferite forme. Forma sa cea mai comună arată astfel:

topor 2 + bx + c= 0 ,
Unde a, b, c- unele numere X- necunoscut.

Acest așa-zis forma generală a ecuației pătratice. Într-o astfel de ecuație, toți termenii sunt adunați într-un loc comun (într-o parte), iar cealaltă parte este egală cu zero. În caz contrar, se numește acest tip de ecuație forma normală a unei ecuații pătratice.

Să fie dată ecuația 3 X 2 + 2X= 16 . Are o variabilă X ridicată la a doua putere, deci ecuația este pătratică. Să aducem această ecuație într-o formă generală.

Deci, trebuie să obținem o ecuație care va fi similară cu ecuația topor 2 + bx+ c= 0 . Pentru aceasta, în ecuația 3 X 2 + 2X= 16 mutăm 16 din partea dreaptă în partea stângă schimbând semnul:

3X 2 + 2X − 16 = 0

Am primit ecuația 3X 2 + 2X− 16 = 0 . În această ecuație A= 3 , b= 2 , c= −16 .

Într-o ecuație pătratică de forma topor 2 + bx+ c= 0 numerele A , bși c au propriile nume. Da, numărul A numit primul sau coeficient superior; număr b numit al doilea coeficient; număr c numit membru liber.

În cazul nostru, pentru ecuație 3X 2 + 2X− 16 = 0 primul sau cel mai mare coeficient este 3; al doilea coeficient este numărul 2; membrul liber este numărul −16 . Există un alt nume comun pentru numere A, bși c — Opțiuni.

Deci, în ecuație 3X 2 + 2X− 16 = 0 parametrii sunt numerele 3 , 2 și −16 .

Într-o ecuație pătratică, este de dorit să se aranjeze termenii astfel încât să fie aranjați în aceeași ordine ca în forma normală a ecuației pătratice.

De exemplu, având în vedere ecuația −5 + 4X 2 + X= 0 , atunci este de dorit să o scrieți în forma normală, adică în forma topor 2 + bx + c= 0.

În ecuație −5 + 4X 2 + X = 0 se poate observa că termenul liber este -5, ar trebui să fie situat la capătul laturii stângi. membru 4 X 2 conține coeficientul de conducere, acesta trebuie plasat primul. Membru X respectiv va fi situat al doilea:

Ecuația pătratică poate lua forme diferite în funcție de caz. Totul depinde de care sunt valorile A , bși cu .

Dacă coeficienţii A , bși c nu sunt egale cu zero, atunci se numește ecuația pătratică complet. De exemplu, ecuația pătratică este completă 2X 2 + 6X - 8 = 0 .

Dacă oricare dintre coeficienți este egal cu zero (adică absent), atunci ecuația este redusă semnificativ și ia o formă mai simplă. Această ecuație pătratică se numește incomplet. De exemplu, ecuația pătratică 2 este incompletă X 2 + 6X= 0, are coeficienți Ași b(numerele 2 și 6 ), dar nu există un membru liber c.

Să luăm în considerare fiecare dintre aceste tipuri de ecuații, iar pentru fiecare dintre aceste tipuri vom defini propriul mod de rezolvare.

Fie ecuația pătratică 2X 2 + 6X - 8 = 0 . În această ecuație A= 2 , b= 6 , c= −8 . În cazul în care un b egal cu zero, atunci ecuația va lua forma:

A rezultat ecuația 2 X 2 − 8 = 0 . Pentru a o rezolva, mutăm −8 în partea dreaptă, schimbând semnul:

2X 2 = 8

Pentru a simplifica și mai mult ecuația, folosim transformările identice studiate anterior. În acest caz, puteți împărți ambele părți în 2

Avem ecuația pe care am rezolvat-o la începutul acestei lecții. Pentru a rezolva ecuația X 2 \u003d 4, ar trebui să utilizați definiția rădăcinii pătrate. În cazul în care un X 2 = 4 , atunci . De aici X= 2 și X= −2 .

Deci rădăcinile ecuației 2 X 2 − 8 = 0 sunt numerele 2 și −2 . Scriem soluția completă a acestei ecuații:

Hai să facem o verificare. Înlocuim rădăcinile 2 și −2 în ecuația originală și efectuăm calculele corespunzătoare. Dacă pentru valorile 2 și -2 partea stângă este egală cu zero, atunci aceasta va însemna că ecuația este rezolvată corect:

În ambele cazuri, partea stângă este egală cu zero, ceea ce înseamnă că ecuația este rezolvată corect.

Ecuația pe care am rezolvat-o acum este ecuație pătratică incompletă. Numele vorbește de la sine. Dacă ecuația pătratică completă arată ca topor 2 + bx+ c= 0 , apoi făcând coeficientul b zero este o ecuație pătratică incompletă topor 2 + c= 0 .

De asemenea, am avut mai întâi o ecuație pătratică completă 2X 2 + 6X− 4 = 0 . Dar noi am făcut raportul b zero, adică în loc de numărul 6 pune 0 . Ca rezultat, ecuația s-a transformat într-o ecuație pătratică incompletă 2 X 2 − 4 = 0 .

La începutul acestei lecții, am rezolvat ecuația pătratică X 2 − 4 = 0 . Este, de asemenea, o ecuație a formei topor 2 + c= 0 , adică incomplet. În el A= 1 , b= 0 , cu= −4 .

De asemenea, ecuația pătratică va fi incompletă dacă coeficientul c este egal cu zero.

Luați în considerare ecuația pătratică completă 2X 2 + 6X - 4 = 0 . Să facem un coeficient c zero. Adică, în loc de numărul 4, pune 0

Am o ecuație pătratică 2 X 2 + 6X=0 , care este incomplet. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, variabila X scos din paranteze:

A rezultat ecuația X(2X+ 6) = 0 în care să se găsească X, la care partea stângă devine egală cu zero. Rețineți că în această ecuație expresiile Xși 2 X+ 6) sunt factori. Una dintre proprietățile înmulțirii spune că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero (fie primul factor, fie al doilea).

În cazul nostru, egalitatea va fi atinsă dacă X va fi egal cu zero sau (2 X+ 6) va fi egal cu zero. Să începem prin a scrie asta:

Există două ecuații: X= 0 și 2 X+ 6 = 0 . Prima ecuație nu trebuie rezolvată - a fost deja rezolvată. Adică prima rădăcină este zero.

Pentru a găsi a doua rădăcină, rezolvăm ecuația 2 X+ 6 = 0 . Aceasta este o ecuație liniară simplă care este ușor de rezolvat:

Vedem că a doua rădăcină este −3.

Deci rădăcinile ecuației 2 X 2 + 6X= 0 sunt numerele 0 și −3 . Scriem soluția completă a acestei ecuații:

Hai să facem o verificare. Înlocuim rădăcinile 0 și −3 în ecuația originală și efectuăm calculele corespunzătoare. Dacă pentru valorile 0 și -3 partea stângă este egală cu zero, atunci aceasta va însemna că ecuația este rezolvată corect:

Următorul caz este când numerele bși cu sunt egale cu zero. Luați în considerare ecuația pătratică completă 2X 2 + 6X− 4 = 0 . Să facem coeficienți bși c zerouri. Atunci ecuația salut este:

Am primit ecuația 2 X 2 = 0 . Partea stângă este produsul, iar partea dreaptă este zero. Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Este evident că X= 0 . Într-adevăr, 2 × 0 2 = 0 . Prin urmare, 0 = 0. Pentru alte valori X egalitatea nu va fi atinsă.

Mai simplu spus, dacă într-o ecuație pătratică de forma topor 2 + bx+ c= 0 numerele bși cu sunt egale cu zero, atunci rădăcina unei astfel de ecuații este egală cu zero.

Rețineți că atunci când expresiile „ b este zero" sau " c este zero „, atunci se înțelege că parametrii b sau c nu sunt incluse deloc în ecuație.

De exemplu, dacă este dată ecuația 2 X 2 − 32 = 0 , atunci spunem că b= 0 . Pentru că în comparație cu ecuația completă topor 2 + bx+ c= 0 , se poate observa că în ecuația 2 X 2 − 32 = 0 există un coeficient de conducere A, egal cu 2; există o interceptare -32; dar nici un coeficient b .

În cele din urmă, luați în considerare ecuația pătratică completă topor 2 + bx+ c= 0 . De exemplu, să rezolvăm ecuația pătratică X 2 − 2X+ 1 = 0 .

Deci trebuie să găsim X, la care partea stângă devine egală cu zero. Să folosim transformările identice studiate mai devreme.

În primul rând, rețineți că partea stângă a ecuației este . Dacă ne amintim cum, ajungem pe partea stângă ( X− 1) 2 .

Ne certăm mai departe. Partea stângă este pătrată și egală cu zero. Ce număr la pătrat este zero? Evident doar 0. Prin urmare, sarcina noastră este să găsim X, la care expresia X− 1 este egal cu zero. Prin rezolvarea celei mai simple ecuații X− 1 = 0 , puteți afla cu ce este egal X

Același rezultat poate fi obținut folosind rădăcina pătrată. În ecuația ( X− 1) 2 = 0 expresie ( X− 1) este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci se poate scrie asta . În acest exemplu, nu trebuie să scrieți semnul ± înainte de rădăcină, deoarece rădăcina lui zero are o singură valoare - zero. Apoi se dovedește X− 1 = 0 . De aici X= 1 .

Deci rădăcina ecuației X 2 − 2X+ 1 = 0 este o unitate. Această ecuație nu are alte rădăcini. În acest caz, am rezolvat o ecuație pătratică care are o singură rădăcină. Se întâmplă și asta.

Ecuațiile simple nu sunt întotdeauna date. Luați în considerare, de exemplu, ecuația X 2 + 2X− 3 = 0 .

În acest caz, partea stângă nu mai este pătratul sumei sau al diferenței. Prin urmare, trebuie găsite alte soluții.

Rețineți că partea stângă a ecuației este un trinom pătratic. Apoi putem încerca să selectăm un pătrat complet din acest trinom și să vedem ce ne oferă.

Selectăm pătratul complet din trinomul pătrat situat în partea stângă a ecuației:

În ecuația rezultată, transferăm −4 în partea dreaptă schimbând semnul:

Acum să folosim rădăcina pătrată. În ecuația ( X+ 1) 2 = 4 expresie ( X+ 1) este rădăcina pătrată a lui 4. Atunci se poate scrie asta . Calculând partea dreaptă va da expresia X+ 1 = ±2 . Din aceasta obținem două ecuații: X+ 1 = 2 și X+ 1 = −2 ale căror rădăcini sunt numerele 1 și −3

Deci rădăcinile ecuației X 2 + 2X− 3 = 0 sunt numerele 1 și −3 .

Sa verificam:

Exemplul 3. rezolva ecuatia X 2 − 6X+ 9 = 0 , selectând un pătrat întreg.

Deci rădăcina ecuației X 2 − 6X+ 9 = 0 este 3. Să verificăm:

Exemplul 4 4X 2 + 28X− 72 = 0 , evidențiind pătratul complet:

Selectați un pătrat complet din partea stângă:

Să mutăm −121 din partea stângă în partea dreaptă, schimbând semnul:

Să folosim rădăcina pătrată:

Avem două ecuații simple: 2 X+ 7 = 11 și 2 X+ 7 = -11. Să le rezolvăm:

Exemplul 5. rezolva ecuatia 2X 2 + 3X− 27 = 0

Această ecuație este puțin mai complicată. Când selectăm un pătrat complet, reprezentăm primul termen al trinomului pătrat ca un pătrat al unei expresii.

Deci, în exemplul anterior, primul termen al ecuației a fost 4 X 2. Ar putea fi reprezentat ca un pătrat al expresiei 2 X, adică (2X) 2 = 2 2 X 2 = 4X 2 . Pentru a verifica dacă acest lucru este corect, puteți lua rădăcina pătrată a expresiei 4 X 2. Aceasta este rădăcina pătrată a produsului - este egală cu produsul rădăcinilor:

În ecuație 2X 2 + 3X− 27 = 0 primul membru este 2 X 2. Nu poate fi reprezentat ca un pătrat al vreunei expresii. Pentru că nu există un număr al cărui pătrat este 2. Dacă ar exista un astfel de număr, atunci acest număr ar fi rădăcina pătrată a numărului 2. Dar rădăcina pătrată a numărului 2 se extrage doar aproximativ. Și valoarea aproximativă nu este potrivită pentru a reprezenta numărul 2 ca un pătrat.

Dacă ambele părți ale ecuației inițiale sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci se va obține o ecuație echivalentă cu cea inițială. Această regulă este valabilă și pentru ecuația pătratică.

Apoi putem împărți ambele părți ale ecuației noastre la 2. Acest lucru va scăpa de zeul înainte X 2 care ulterior ne va oferi posibilitatea de a selecta un pătrat complet:

Rescrie partea stângă ca trei fracții cu numitorul 2

Reducem prima fracție cu 2. Rescriem membrii rămași din partea stângă fără modificări. Partea dreaptă va deveni în continuare zero:

Să selectăm un pătrat complet.

Când un termen este reprezentat ca produs dublu, apariția unui factor de 2 ar duce la faptul că acest factor și numitorul fracției ar fi reduse. Pentru a preveni acest lucru, produsul dublat a fost înmulțit cu. Când selectați un pătrat complet, ar trebui să încercați întotdeauna să vă asigurați că valoarea expresiei originale nu se modifică.

Să restrângem pătratul complet rezultat:

Iată membri similari:

Să mutăm fracția în partea dreaptă schimbând semnul:

Să folosim rădăcina pătrată. Expresia este rădăcina pătrată a unui număr

Pentru a calcula partea dreaptă, folosim regula de extracție:

Atunci ecuația noastră va lua forma:

Obținem două ecuații:

Să le rezolvăm:

Deci rădăcinile ecuației 2X 2 + 3X− 27 = 0 sunt numerele 3 și .

Este mai convenabil să lăsați rădăcina în această formă, fără a împărți numărătorul la numitor. Acest lucru va face mai ușor de verificat.

Hai să facem o verificare. Înlocuim rădăcinile găsite în ecuația originală:

În ambele cazuri, partea stângă este egală cu zero, deci ecuația 2X 2 + 3X− 27 = 0 hotărât corect.

Rezolvarea ecuației 2X 2 + 3X− 27 = 0 , la început am împărțit ambele părți ale acestuia la 2 . Ca urmare, s-a obținut o ecuație pătratică în care coeficientul anterior X 2 este egal cu unu:

Acest tip de ecuație pătratică se numește ecuație pătratică redusă.

Orice ecuație pătratică de formă topor 2 + bx+ c= 0 poate fi redus. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți ambele părți la coeficientul care se află în fața lui x². În acest caz, ambele părți ale ecuației topor 2 + bx+ c= 0 trebuie împărțit în A

Exemplul 6. Rezolvați o ecuație pătratică 2X 2 + X+ 2 = 0

Să reducem această ecuație:

Să selectăm un pătrat complet:

Am primit ecuația , în care pătratul expresiei este egal cu un număr negativ. Acest lucru nu poate fi, deoarece pătratul oricărui număr sau expresie este întotdeauna pozitiv.

Prin urmare, nu există așa ceva X, la care partea stângă ar deveni egală cu . Deci ecuația nu are rădăcini.

Și din moment ce ecuația este echivalentă cu ecuația inițială 2X 2 + X+ 2 = 0 , atunci ea (ecuația originală) nu are rădăcini.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Selectarea unui pătrat complet pentru fiecare ecuație pătratică rezolvată nu este foarte convenabilă.

Este posibil să se creeze formule universale pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice? Se dovedește că poți. Acum ne vom ocupa de asta.

Pe baza ecuației literale topor 2 + bx+ c= 0 , iar după efectuarea unor transformări identice, putem obține formule pentru derivarea rădăcinilor ecuației pătratice topor 2 + bx+ c= 0 . Coeficienții pot fi înlocuiți în aceste formule A , b , cuși obțineți soluții.

Deci, selectăm pătratul complet din partea stângă a ecuației topor 2 + bx+ c= 0. Mai întâi, să reducem această ecuație. Să împărțim ambele părți în A

Acum, în ecuația rezultată, selectăm pătratul complet:

Transferăm termenii și în partea dreaptă schimbând semnul:

Să aducem partea dreaptă la un numitor comun. Fracțiile formate din litere duc la un numitor comun. Adică, numitorul primei fracții devine factorul suplimentar al celei de-a doua fracții, iar numitorul celei de-a doua fracții devine factorul suplimentar al primei fracții:

În numărătorul din partea dreaptă, scoatem din paranteze A

Să scurtăm partea dreaptă A

Deoarece toate transformările au fost identice, ecuația rezultată are aceleași rădăcini ca ecuația originală topor 2 + bx+ c= 0.

Ecuația va avea rădăcini numai dacă partea dreaptă este mai mare sau egală cu zero. Acest lucru se datorează faptului că pătratul se face pe partea stângă, iar pătratul oricărui număr este pozitiv sau egal cu zero (dacă zero este pătrat în acest pătrat). Și ceea ce va fi partea dreaptă depinde de ceea ce va fi înlocuit în loc de variabile A , bși c .

Pentru că pentru orice A nu este egal cu zero, numitorul părții drepte a ecuației va fi întotdeauna pozitiv, atunci semnul fracției va depinde de semnul numărătorului ei, adică de expresia b 2 − 4ac .

Expresie b 2 − 4ac numit discriminant al unei ecuații pătratice. Discriminant este un cuvânt latin care înseamnă deosebitor . Discriminantul unei ecuații pătratice este notat cu litera D

D = b 2 − 4ac

Discriminantul vă permite să știți în avans dacă ecuația are rădăcini sau nu. Deci, în sarcina anterioară, am rezolvat ecuația mult timp 2X 2 + X+ 2 = 0 și s-a dovedit că nu are rădăcini. Discriminantul ne-ar permite să știm dinainte că nu există rădăcini. În ecuație 2X 2 + X+ 2 = 0 cote a, bși c sunt 2, 1 și, respectiv, 2. Înlocuiți-le în formulă D = b 2 −4ac

D = b 2 − 4ac= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Vedem asta D(este b 2 − 4ac) este un număr negativ. Atunci nu are rost să rezolvi ecuația 2X 2 + X+ 2 = 0, selectând un pătrat întreg în el, pentru că atunci când ajungem la o ecuație a formei , rezultă că partea dreaptă devine mai mică decât zero (din cauza discriminantului negativ). Și pătratul unui număr nu poate fi negativ. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Devine clar de ce oamenii antici au considerat expresia b 2 − 4ac deosebitor. Această expresie, ca un indicator, vă permite să distingeți între o ecuație cu rădăcini și o ecuație fără rădăcini.

Asa de, D egală b 2 − 4ac. Înlocuiți în ecuație în loc de expresie b 2 − 4ac scrisoare D

Dacă discriminantul ecuației inițiale este mai mic decât zero ( D< 0) , то уравнение примет вид:

În acest caz, se spune că ecuația inițială nu are rădăcini, deoarece pătratul oricărui număr nu trebuie să fie negativ.

Dacă discriminantul ecuației inițiale este mai mare decât zero ( D> 0), atunci ecuația va lua forma:

În acest caz, ecuația va avea două rădăcini. Pentru a le deriva, folosim rădăcina pătrată:

Am primit ecuația . Din aceasta obținem două ecuații: și . Expres Xîn fiecare dintre ecuații:

Cele două egalități rezultate sunt formulele universale de rezolvare a ecuației pătratice topor 2 + bx+ c= 0. Ei sunt numiti, cunoscuti formulele rădăcinilor ecuației pătratice.

Cel mai adesea, aceste formule sunt notate ca X 1 și X 2. Adică, pentru a calcula prima rădăcină, se folosește o formulă cu indicele 1; pentru a deriva a doua rădăcină - o formulă cu indicele 2. Să notăm formulele noastre în același mod:

Ordinea în care sunt aplicate formulele nu este importantă.

Să rezolvăm de exemplu o ecuație pătratică X 2 + 2X− 8 = 0 folosind formulele rădăcinilor unei ecuații pătratice. Coeficienții acestei ecuații pătratice sunt numerele 1 , 2 și −8 . adica A= 1 , b= 2 , c= −8 .

Înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, trebuie să găsiți discriminantul acestei ecuații.

Să găsim discriminantul ecuației pătratice. Pentru a face acest lucru, folosim formula D = b 2 − 4 ac.În loc de variabile a, bși c vom avea coeficienții ecuației X 2 + 2X− 8 = 0

D = b 2 − 4ac= 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Discriminantul este mai mare decât zero. Deci ecuația are două rădăcini. Acum puteți folosi formulele rădăcinilor ecuației pătratice:

Deci rădăcinile ecuației X 2 + 2X− 8 = 0 sunt numerele 2 și −4 . Verificați pentru a vă asigura că rădăcinile sunt găsite corect:

În sfârșit, luați în considerare cazul în care discriminantul ecuației pătratice este egal cu zero. Să revenim la ecuație. Dacă discriminantul este zero, atunci partea dreaptă a ecuației va lua forma:

Și în acest caz, ecuația pătratică va avea o singură rădăcină. Să folosim rădăcina pătrată:

Aceasta este o altă formulă pentru derivarea rădăcinii pătrate. Să luăm în considerare aplicarea sa. Mai devreme am rezolvat ecuația X 2 − 6X+ 9 = 0 , care are o rădăcină 3. Am rezolvat-o selectând un pătrat complet. Acum să încercăm să rezolvăm folosind formule.

Să găsim discriminantul ecuației pătratice. În această ecuație A= 1 , b= −6 , c= 9 . Apoi, conform formulei discriminante, avem:

D = b 2 − 4ac= (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Discriminantul este zero ( D= 0). Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină și este calculată prin formula

Deci rădăcina ecuației X 2 − 6X+ 9 = 0 este cifra 3.

Pentru o ecuație pătratică care are o rădăcină, formulele sunt de asemenea aplicabile și . Dar aplicarea fiecăruia dintre ele va da același rezultat.

Să aplicăm aceste două formule pentru ecuația anterioară. În ambele cazuri obținem același răspuns 3

Dacă ecuația pătratică are o singură rădăcină, atunci este recomandabil să folosiți formula și nu formulele și . Acest lucru economisește timp și spațiu.

Exemplul 3. rezolva ecuatia 5X 2 − 6X+ 1 = 0

Deci rădăcinile ecuației 5X 2 − 6X+ 1 = 0 sunt numerele 1 și .

Răspuns: 1; .

Exemplul 4. rezolva ecuatia X 2 + 4X+ 4 = 0

Să găsim discriminantul ecuației pătratice:

Discriminantul este zero. Deci ecuația are o singură rădăcină. Se calculează după formula

Deci rădăcina ecuației X 2 + 4X+ 4 = 0 este numărul −2.

Raspuns: -2.

Exemplul 5. rezolva ecuatia 3X 2 + 2X+ 4 = 0

Să găsim discriminantul ecuației pătratice:

Discriminantul este mai mic decât zero. Deci această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6. rezolva ecuatia (X+ 4) 2 = 3X+ 40

Să aducem această ecuație la forma normală. În partea stângă este pătratul sumei a două expresii. Să o descompunem:

Să mutăm toți termenii din partea dreaptă în partea stângă, schimbându-le semnele. Zero va rămâne pe partea dreaptă:

Discriminantul este mai mare decât zero. Deci ecuația are două rădăcini. Să folosim formulele rădăcinilor ecuației pătratice:

Deci rădăcinile ecuației (X+ 4) 2 = 3X+ 40 sunt numerele 3 și −8 .

Răspuns: 3; −8.

Exemplul 7. rezolva ecuatia

Înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații cu 2. Acest lucru ne va permite să scăpăm de fracția din partea stângă:

În ecuația rezultată, transferăm 22 din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. 0 va rămâne pe partea dreaptă

Iată termeni similari în partea stângă:

În ecuația rezultată găsim discriminantul:

Discriminantul este mai mare decât zero. Deci ecuația are două rădăcini. Să folosim formulele rădăcinilor ecuației pătratice:

Deci rădăcinile ecuației sunt numerele 23 și −1 .

Răspuns: 23; −1.

Exemplul 8. rezolva ecuatia

Înmulțiți ambele părți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Acest lucru va scăpa de fracțiile din ambele părți. Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3 este 6. Atunci obținem:

În ecuația rezultată, deschideți parantezele din ambele părți:

Acum să transferăm toți termenii din partea dreaptă în partea stângă, schimbându-le semnele. 0 va rămâne pe partea dreaptă

Iată termeni similari în partea stângă:

În ecuația rezultată găsim discriminantul:

Discriminantul este mai mare decât zero. Deci ecuația are două rădăcini. Să folosim formulele rădăcinilor ecuației pătratice:

Deci rădăcinile ecuației sunt numere și 2.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Exemplul 1. rezolva ecuatia X 2 = 81

Aceasta este cea mai simplă ecuație pătratică în care trebuie să determinați numărul al cărui pătrat este 81. Acestea sunt numerele 3 și -3. Să folosim rădăcina pătrată pentru a le deriva:

Răspuns: 9, −9 .

Exemplul 2. rezolva ecuatia X 2 − 9 = 0

Aceasta este o ecuație pătratică incompletă. Pentru a o rezolva, trebuie să mutați termenul -9 în partea dreaptă schimbând semnul. Atunci obținem:

Răspuns: 3, −3.

Exemplul 3. rezolva ecuatia X 2 − 9X= 0

Aceasta este o ecuație pătratică incompletă. Pentru a o rezolva, mai întâi trebuie să scoți X pentru paranteze:

Partea stângă a ecuației este produsul. Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Partea stângă va deveni egală cu zero dacă este separat X este zero sau dacă expresia X− 9 este egal cu zero. Obțineți două ecuații, dintre care una a fost deja rezolvată:

Răspuns: 0, 9 .

Exemplul 4. rezolva ecuatia X 2 + 4X− 5 = 0

Aceasta este o ecuație pătratică completă. Poate fi rezolvată prin metoda selectării unui pătrat complet sau folosind formulele rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să rezolvăm această ecuație folosind formule. Să găsim mai întâi discriminantul:

D= b 2 − 4ac= 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Discriminantul este mai mare decât zero. Deci ecuația are două rădăcini. Să le calculăm:

Răspuns: 1, −5 .

Exemplul 5. rezolva ecuatia

Să înmulțim ambele părți cu 5, 3 și 6. Acest lucru va scăpa de fracțiile din ambele părți:

În ecuația rezultată, transferăm toți termenii din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. Zero va rămâne pe partea dreaptă:

Iată membri similari:

Răspuns: 5 , .

Exemplul 6. rezolva ecuatia X 2 = 6

În acest exemplu, deoarece trebuie să utilizați rădăcina pătrată:

Cu toate acestea, rădăcina pătrată a lui 6 nu este luată. Se extrage doar aproximativ. Rădăcina poate fi extrasă cu o anumită precizie. Să o extragem la cea mai apropiată sutime:

Dar cel mai adesea rădăcina este lăsată ca un radical:

Răspuns:

Exemplul 7. rezolva ecuatia (2X+ 3) 2 + (X− 2) 2 = 13

Să deschidem parantezele din partea stângă a ecuației:

În ecuația rezultată, transferăm 13 din partea dreaptă în partea stângă, schimbând semnul. Apoi oferim membri similari:

Avem o ecuație pătratică incompletă. Hai sa o rezolvam:

Răspuns: 0 , −1,6 .

Exemplul 8. rezolva ecuatia (5 + 7X)(4 − 3X) = 0

Această ecuație poate fi rezolvată în două moduri. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

Prima cale. Extindeți parantezele și obțineți forma normală a ecuației pătratice.

Să extindem parantezele:

Iată membri similari:

Rescriem ecuația rezultată astfel încât termenul cu cel mai mare coeficient să fie situat primul, termenul cu al doilea coeficient să fie al doilea, iar termenul liber să fie situat al treilea:

Pentru a face termenul principal pozitiv, înmulțim ambele părți ale ecuației cu −1. Apoi toți termenii ecuației își vor schimba semnele în sens invers:

Rezolvăm ecuația rezultată folosind formulele rădăcinilor ecuației pătratice:

A doua cale. Găsiți valori X, pentru care factorii din partea stângă a ecuației sunt egali cu zero. Această metodă este mai convenabilă și mult mai scurtă.

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. În acest caz, egalitatea din ecuație (5 + 7X)(4 − 3X) = 0 se va realiza dacă expresia (5 + 7 X) este egal cu zero sau expresia (4 - 3 X) este zero. Sarcina noastră este să aflăm sub ce X s-a întâmplat:

Exemple de rezolvare a problemelor

Imaginați-vă că a devenit necesar să construiți o cameră mică cu o suprafață de 8 m 2. În acest caz, lungimea camerei ar trebui să fie de două ori lățimea ei. Cum se determină lungimea și lățimea unei astfel de încăperi?

Să facem un desen aproximativ al acestei camere, care ilustrează vederea de sus:

Indicați lățimea camerei prin X. Și lungimea camerei după 2 X, deoarece, în funcție de starea problemei, lungimea ar trebui să fie de două ori lățimea. Multiplicatorul este 2 și va îndeplini această cerință:

Suprafața camerei (pardoseala) este un dreptunghi. Pentru a calcula aria unui dreptunghi, înmulțiți lungimea dreptunghiului cu lățimea acestuia. S-o facem:

2X × X

În funcție de starea problemei, suprafața ar trebui să fie de 8 m 2. Deci expresia 2 X× X ar trebui echivalat cu 8

2X × X = 8

Am o ecuație. Dacă o rezolvi, poți găsi lungimea și lățimea camerei.

Primul lucru pe care îl puteți face este să faceți înmulțirea din partea stângă a ecuației:

2X 2 = 8

Ca urmare a acestei transformări, variabila X mutat la gradul doi. Și am spus că dacă variabila inclusă în ecuație este ridicată la a doua putere (pătrat), atunci o astfel de ecuație este o ecuație de gradul doi sau o ecuație pătratică.

Pentru a rezolva ecuația noastră pătratică, folosim transformările identice studiate anterior. În acest caz, puteți împărți ambele părți în 2

Acum să folosim rădăcina pătrată. În cazul în care un X 2 = 4 , atunci . De aici X= 2 și X= −2 .

Prin X era indicată lăţimea încăperii. Lățimea nu trebuie să fie negativă, deci se ia în considerare doar valoarea 2. Acest lucru se întâmplă adesea când se rezolvă probleme în care se utilizează o ecuație pătratică. În răspuns se obțin două rădăcini, dar numai una dintre ele satisface condiția problemei.

Și lungimea a fost indicată cu 2 X. Sens X acum cunoscut, înlocuiți-l în expresia 2 X si calculeaza lungimea:

2X= 2 × 2 = 4

Deci lungimea este de 4 m, iar lățimea este de 2 m. Această soluție satisface starea problemei, deoarece suprafața camerei este de 8 m 2

4 × 2 = 8 m 2

Răspuns: Lungimea camerei este de 4m iar latimea este de 2m.

Exemplul 2. Un teren de grădină în formă de dreptunghi, a cărui latură este cu 10 m mai lungă decât cealaltă, trebuie să fie înconjurat de un gard. Determinați lungimea gardului, dacă se știe că aria site-ului este de 1200 m 2

Decizie

Lungimea unui dreptunghi este de obicei mai mare decât lățimea acestuia. Lasă lățimea parcelei X metri și lungimea ( X+ 10) metri. Suprafata terenului este de 1200 m 2 . Înmulțind lungimea secțiunii cu lățimea ei și echivalând cu 1200, obținem ecuația:

X(X+ 10) = 1200

Să rezolvăm această ecuație. Mai întâi, deschideți parantezele din partea stângă:

Să mutăm 1200 din partea dreaptă în partea stângă prin schimbarea semnului. 0 va rămâne pe partea dreaptă

Rezolvăm ecuația rezultată folosind formulele:

În ciuda faptului că ecuația pătratică are două rădăcini, luăm în considerare doar valoarea 30. Deoarece lățimea nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Deci prin X s-a marcat lățimea zonei. Este egal cu treizeci de metri. Iar lungimea era indicată prin expresie X+ 10 . Înlocuiți valoarea găsită în ea X si calculeaza lungimea:

X

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții