Definiția unui monom: concepte înrudite, exemple. Definiția unui monom, concepte înrudite, exemple Forma standard a unei reguli de monom cu un exemplu

1. Un coeficient întreg pozitiv. Să avem monomiul +5a, deoarece numărul pozitiv +5 este considerat a fi același cu numărul aritmetic 5, atunci

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

De asemenea +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc și așa mai departe.

Pe baza acestor exemple, putem stabili că un coeficient întreg pozitiv arată de câte ori factorul literal (sau: produsul factorilor literali) al monomului este repetat de termen.

Ar trebui să se obișnuiască cu asta în așa măsură încât să apară imediat în imaginație că, de exemplu, în polinom

3a + 4a² + 5a³

problema se reduce la faptul că mai întâi a² se repetă de 3 ori ca termen, apoi a³ se repetă de 4 ori ca termen și apoi a se repetă de 5 ori ca termen.

De asemenea: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.

2. Coeficient fracțional pozitiv. Să avem monomul +a. Deoarece numărul pozitiv + coincide cu numărul aritmetic, atunci +a = a ∙ , ceea ce înseamnă: trebuie să luați trei sferturi din numărul a, adică.

Prin urmare: un coeficient pozitiv fracționar arată de câte ori și ce parte din multiplicatorul literal al monomului este repetat de termen.

Polinom ar trebui să fie ușor de reprezentat ca:

etc.

3. Coeficient negativ. Cunoscând înmulțirea numerelor relative, putem stabili cu ușurință că, de exemplu, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) sau (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) sau în general a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); de asemenea a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.

Prin urmare, dacă luăm un monom cu un coeficient negativ, de exemplu, –3a, atunci

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a este luat ca termen de 3 ori).

Din aceste exemple, vedem că coeficientul negativ arată de câte ori se repetă de către termen partea de literă a monomului, sau fracția sa certă, luată cu semnul minus.

Monomiile sunt unul dintre principalele tipuri de expresii studiate ca parte a unui curs de algebră școlară. În acest articol, vă vom spune care sunt aceste expresii, vom defini forma lor standard și vă vom arăta exemple, precum și vom trata concepte înrudite, cum ar fi gradul unui monom și coeficientul acestuia.

Ce este un monom

Manualele școlare oferă de obicei următoarea definiție a acestui concept:

Definiția 1

Monomerii includ numere, variabile, precum și gradele acestora cu un indicator natural și diferite tipuri de produse alcătuite din acestea.

Pe baza acestei definiții, putem da exemple de astfel de expresii. Deci, toate numerele 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 se vor referi la monomii. Toate variabilele, de exemplu, x , a , b , p , q , t , y , z vor fi, de asemenea, monomii prin definiție. Aceasta include, de asemenea, puterile variabilelor și numerelor, de exemplu, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 și t 15, precum și expresii precum 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z etc. Vă rugăm să rețineți că un monom poate include fie un număr sau variabilă, fie mai multe și ele pot fi menționate de mai multe ori ca parte a unui polinom.

Asemenea tipuri de numere precum numerele întregi, raționale, naturale aparțin și ele monomiilor. De asemenea, puteți include aici numere reale și complexe. Deci, expresii precum 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 vor fi, de asemenea, monomii.

Care este forma standard a unui monom și cum se transformă o expresie în aceasta

Pentru comoditatea muncii, toate monomiile sunt mai întâi reduse la o formă specială, numită cea standard. Să fim specifici despre ce înseamnă asta.

Definiția 2

Forma standard a monomului ei o numesc o astfel de formă în care este produsul unui factor numeric și puteri naturale ale diferitelor variabile. Factorul numeric, numit și coeficient monomial, este de obicei scris primul din partea stângă.

Pentru claritate, selectăm câteva monomii de forma standard: 6 (acesta este un monom fără variabile), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Aceasta include și expresia X y(aici coeficientul va fi egal cu 1), − x 3(aici coeficientul este - 1).

Acum dăm exemple de monomii care trebuie aduse la forma standard: 4 a a 2 a 3(aici trebuie să combinați aceleași variabile), 5 x (− 1) 3 y 2(aici trebuie să combinați factorii numerici din stânga).

De obicei, în cazul în care un monom are mai multe variabile scrise cu litere, factorii de litere sunt scriși în ordine alfabetică. De exemplu, intrarea preferată 6 a b 4 c z 2, Cum b 4 6 a z 2 c. Cu toate acestea, ordinea poate fi diferită dacă scopul calculării o impune.

Orice monom poate fi redus la forma standard. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați toate transformările identice necesare.

Conceptul de gradul unui monom

Noțiunea de însoțire a gradului unui monom este foarte importantă. Să scriem definiția acestui concept.

Definiția 3

Gradul unui monom, scris în formă standard, este suma exponenților tuturor variabilelor care sunt incluse în înregistrarea sa. Dacă nu există o singură variabilă în ea, iar monomul în sine este diferit de 0, atunci gradul său va fi zero.

Să dăm exemple de gradele monomului.

Exemplul 1

Deci, monomul a are gradul 1 deoarece a = a 1 . Dacă avem un monom 7 , atunci acesta va avea un grad zero, deoarece nu are variabile și este diferit de 0 . Și aici este intrarea 7 a 2 x y 3 a 2 va fi un monom de gradul 8, deoarece suma exponenților tuturor gradelor variabilelor incluse în acesta va fi egală cu 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Monomul standardizat și polinomul original vor avea același grad.

Exemplul 2

Să arătăm cum să calculăm gradul unui monom 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. În formă standard, poate fi scris ca − 6 x 8 y 4. Calculăm gradul: 8 + 4 = 12 . Prin urmare, gradul polinomului original este, de asemenea, egal cu 12 .

Conceptul de coeficient monomial

Dacă avem un monom standardizat care include cel puțin o variabilă, atunci vorbim despre el ca un produs cu un singur factor numeric. Acest factor se numește coeficient numeric sau coeficient monomial. Să scriem definiția.

Definiția 4

Coeficientul unui monom este factorul numeric al unui monom redus la forma standard.

Luați, de exemplu, coeficienții diferitelor monomii.

Exemplul 3

Deci, în expresie 8 la 3 coeficientul va fi numărul 8, iar în (− 2 , 3) ​​​​x y z ei vor − 2 , 3 .

O atenție deosebită trebuie acordată coeficienților egali cu unu și minus unu. De regulă, acestea nu sunt indicate în mod explicit. Se crede că într-un monom al formei standard, în care nu există un factor numeric, coeficientul este 1, de exemplu, în expresiile a, x z 3, a t x, deoarece pot fi considerate ca 1 a, x z 3 - la fel de 1 x z 3 etc.

În mod similar, în monomiile care nu au un factor numeric și care încep cu semnul minus, putem considera coeficientul - 1.

Exemplul 4

De exemplu, expresiile − x, − x 3 y z 3 vor avea un astfel de coeficient, deoarece pot fi reprezentate ca − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 etc.

Dacă un monom nu are deloc un singur multiplicator literal, atunci este posibil să vorbim despre un coeficient și în acest caz. Coeficienții unor astfel de numere-monomiale vor fi aceste numere în sine. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 9 va fi egal cu 9.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lecție pe tema: "Forma standard a unui monom. Definiție. Exemple"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VII-a
Manual electronic „Geometrie înțeleasă” pentru clasele 7-9
Ghid de studiu multimedia „Geometrie în 10 minute” pentru clasele 7-9

Monomial. Definiție

Monomial este o expresie matematică care este produsul unui factor prim și una sau mai multe variabile.

Monoamele includ toate numerele, variabilele, puterile lor cu un exponent natural:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b 3 ; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Destul de des este dificil de determinat dacă o anumită expresie matematică se referă la un monom sau nu. De exemplu, $\frac(4a^3)(5)$. Este monom sau nu? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să simplificăm expresia, i.e. reprezentați sub forma: $\frac(4)(5)*а^3$.
Putem spune cu siguranță că această expresie este un monom.

Forma standard a unui monom

Când se calculează, este de dorit să se aducă monomiul la forma standard. Aceasta este cea mai scurtă și mai înțeleasă notație a monomului.

Ordinea aducerii monomului la forma standard este următoarea:
1. Înmulțiți coeficienții monomului (sau ai factorilor numerici) și puneți rezultatul pe primul loc.
2. Selectați toate gradele cu aceeași bază de litere și înmulțiți-le.
3. Repetați punctul 2 pentru toate variabilele.

Exemple.
I. Reduceți monomiul dat $3x^2zy^3*5y^2z^4$ la forma standard.

Decizie.
1. Înmulțiți coeficienții monomului $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Acum să prezentăm termeni similari $15х^2y^5z^5$.

II. Convertiți monomiul dat $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ la forma standard.

Decizie.
1. Înmulțiți coeficienții monomului $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Acum să prezentăm termeni similari $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Monomial este o expresie care este produsul a doi sau mai mulți factori, fiecare dintre care este un număr exprimat printr-o literă, cifre sau putere (cu un exponent întreg nenegativ):

2A, A 3 X, 4abc, -7X

Deoarece produsul factorilor identici poate fi scris ca un grad, atunci un singur grad (cu un exponent întreg nenegativ) este, de asemenea, un monom:

(-4) 3 , X 5 ,

Deoarece un număr (întreg sau fracționar), exprimat printr-o literă sau numere, poate fi scris ca produs al acestui număr cu unul, atunci orice număr poate fi considerat, de asemenea, ca un monom:

X, 16, -A,

Forma standard a unui monom

Forma standard a unui monom- acesta este un monom, care are un singur factor numeric, care trebuie scris în primul rând. Toate variabilele sunt în ordine alfabetică și sunt conținute în monom o singură dată.

Numerele, variabilele și gradele variabilelor se referă și la monomii de forma standard:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomii de formă standard.

Factorul numeric al unui monom de formă standard se numește coeficientul monomial. Coeficienții monomi egali cu 1 și -1 de obicei nu se scriu.

Dacă nu există un factor numeric în monomul formei standard, atunci se presupune că coeficientul monomului este 1:

X 3 = 1 X 3

Dacă nu există un factor numeric în monomul formei standard și este precedat de un semn minus, atunci se presupune că coeficientul monomului este -1:

-X 3 = -1 X 3

Reducerea unui monom la forma standard

Pentru a aduce monomul la forma standard, aveți nevoie de:

1. Înmulțiți factorii numerici, dacă sunt mai mulți. Ridicați un factor numeric la o putere dacă are un exponent. Pune multiplicatorul de numere pe primul loc.
2. Înmulțiți toate variabilele identice, astfel încât fiecare variabilă să apară o singură dată în monom.
3. Aranjați variabilele după factorul numeric în ordine alfabetică.

Exemplu. Exprimați monomul în formă standard:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 bc 0,5 ab 3

Decizie:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 bc 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Gradul unui monom

Gradul unui monom este suma exponenților tuturor literelor din ea.

Dacă un monom este un număr, adică nu conține variabile, atunci gradul său este considerat egal cu zero. De exemplu:

5, -7, 21 - monomii de grade zero.

Prin urmare, pentru a găsi gradul unui monom, trebuie să determinați exponentul fiecăreia dintre literele incluse în acesta și să adăugați acești exponenți. Dacă exponentul literei nu este specificat, atunci este egal cu unu.

Exemple:

Deci ce mai faci X exponentul nu este specificat, ceea ce înseamnă că este egal cu 1. Monomul nu conține alte variabile, ceea ce înseamnă că gradul său este egal cu 1.

Monomul conține o singură variabilă în gradul doi, ceea ce înseamnă că gradul acestui monom este 2.

3) ab 3 c 2 d

Indicator A este egal cu 1, indicatorul b- 3, indicator c- 2, indicator d- 1. Gradul acestui monom este egal cu suma acestor indicatori.

Gradul unui monom

Pentru un monom există conceptul de gradul său. Să ne dăm seama ce este.

Definiție.

Gradul unui monom forma standard este suma exponenților tuturor variabilelor incluse în înregistrarea sa; dacă nu există variabile în intrarea monomului și este diferită de zero, atunci gradul său este considerat zero; numărul zero este considerat un monom, al cărui grad nu este definit.

Definiția gradului unui monom ne permite să dăm exemple. Gradul monomului a este egal cu unu, deoarece a este a 1 . Gradul monomului 5 este zero, deoarece este diferit de zero și notația sa nu conține variabile. Iar produsul 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 este un monom de gradul al optulea, deoarece suma exponenților tuturor variabilelor a, x și y este 2+1+3+2=8.

Apropo, gradul unui monom care nu este scris în formă standard este egal cu gradul monomului corespunzător al formei standard. Pentru a ilustra ceea ce s-a spus, calculăm gradul monomului 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Acest monom în formă standard are forma −6·x 8 ·y 4 , gradul său este 8+4=12 . Astfel, gradul monomului original este 12 .

Coeficientul monomial

Un monom în formă standard, având cel puțin o variabilă în notația sa, este un produs cu un singur factor numeric - un coeficient numeric. Acest coeficient se numește coeficient monomial. Să formalizăm raționamentul de mai sus sub forma unei definiții.

Definiție.

Coeficientul monomial este factorul numeric al monomului scris în forma standard.

Acum putem da exemple de coeficienți ai diferitelor monomii. Numărul 5 este coeficientul monomului 5 a 3 prin definiție, în mod similar monomul (−2.3) x y z are coeficientul −2.3 .

Coeficienții monomiilor egali cu 1 și −1 merită o atenție specială. Ideea aici este că de obicei nu sunt prezente în mod explicit în înregistrare. Se crede că coeficientul monomiilor formei standard, care nu au un factor numeric în notația lor, este egal cu unu. De exemplu, monomiile a , x z 3 , a t x etc. au coeficientul 1, deoarece a poate fi considerat ca 1 a, x z 3 ca 1 x z 3 etc.

În mod similar, coeficientul monomiilor, ale căror intrări în formularul standard nu au un factor numeric și încep cu semnul minus, este considerat minus unu. De exemplu, monomiile −x , −x 3 y z 3 etc. au coeficientul −1 , deoarece −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.

Apropo, conceptul de coeficient al unui monom este adesea menționat ca monomii de forma standard, care sunt numere fără factori de litere. Coeficienții unor astfel de numere-monomii sunt considerați a fi aceste numere. Deci, de exemplu, coeficientul monomului 7 este considerat egal cu 7.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.