Aflați valoarea derivatei în punctul x0. Aflați valoarea derivatei funcției în punctul x0

Exemplul 1

Referinţă: Următoarele moduri de notare a unei funcții sunt echivalente: În unele sarcini, poate fi convenabil să desemnați funcția ca „jucător”, iar în unele ca „ef din x”.

Mai întâi găsim derivata:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

, , studiu complet al funcției si etc.

Exemplul 3

Calculați derivata funcției în punctul . Să găsim mai întâi derivata:

Ei bine, asta e cu totul altă chestiune. Calculați valoarea derivatei în punctul:

În cazul în care nu înțelegeți cum a fost găsit derivatul, reveniți la primele două lecții ale subiectului. Dacă există dificultăți (neînțelegeri) cu arc-tangente și semnificațiile acesteia, neapărat studiul materialului metodologic Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare- ultimul paragraf. Pentru că există încă suficiente arctangente pentru vârsta studenților.

Exemplul 4

Calculați derivata funcției în punctul .

Ecuația tangentei la graficul funcției

Pentru a consolida paragraful anterior, luați în considerare problema găsirii tangentei la grafica functionalaîn acest moment. Am îndeplinit această sarcină la școală și se regăsește și în cursul matematicii superioare.

Luați în considerare un exemplu elementar de „demonstrație”.

Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul cu abscisa. Voi oferi imediat o soluție grafică gata făcută problemei (în practică, acest lucru nu este necesar în majoritatea cazurilor):

O definiție riguroasă a unei tangente este dată de definiții ale derivatei unei funcții, dar deocamdată vom stăpâni partea tehnică a problemei. Cu siguranță aproape toată lumea înțelege intuitiv ce este o tangentă. Dacă explicați „pe degete”, atunci tangenta la graficul funcției este Drept, care se referă la graficul funcției în singurul punct. În acest caz, toate punctele apropiate ale dreptei sunt situate cât mai aproape de graficul funcției.

Așa cum se aplică în cazul nostru: la , tangenta (notația standard) atinge graficul funcției într-un singur punct.

Și sarcina noastră este să găsim ecuația unei linii drepte.

Derivată a unei funcții într-un punct

Cum se află derivata unei funcții într-un punct? Din formulare rezultă două puncte evidente ale acestei sarcini:

1) Este necesar să se găsească derivata.

2) Este necesar să se calculeze valoarea derivatei la un punct dat.

Exemplul 1

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Ajutor: Următoarele moduri de notare a unei funcții sunt echivalente:


În unele sarcini, poate fi convenabil să desemnați funcția ca „jucător”, iar în unele ca „ef din x”.

Mai întâi găsim derivata:

Sper că mulți s-au adaptat deja pentru a găsi astfel de derivate pe cale orală.

La a doua etapă, calculăm valoarea derivatei în punctul:

Un mic exemplu de încălzire pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Necesitatea de a găsi derivata într-un punct apare în următoarele sarcini: construirea unei tangente la graficul unei funcții (paragraful următor), studiul unei funcții pentru un extremum , studiul functiei de inflexie a graficului , studiu complet al funcției si etc.

Dar sarcina luată în considerare se găsește în documentele de control și de la sine. Și, de regulă, în astfel de cazuri, funcția este dată destul de complexă. În acest sens, luați în considerare încă două exemple.

Exemplul 3

Calculați derivata unei funcții la punctul .
Să găsim mai întâi derivata:

Derivata, în principiu, se găsește, iar valoarea cerută poate fi înlocuită. Dar chiar nu vreau să fac nimic. Expresia este foarte lungă, iar valoarea lui „x” este fracțională. Prin urmare, încercăm să simplificăm cât mai mult posibil derivata noastră. În acest caz, să încercăm să reducem ultimii trei termeni la un numitor comun: la punctul .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției F(x) în punctul Ho? Cum se rezolvă în general?

Dacă formula este dată, atunci găsiți derivata și înlocuiți X-zero în loc de X. numara
Dacă vorbim de b-8 USE, grafic, atunci trebuie să găsiți tangenta unghiului (acut sau obtuz), care formează o tangentă la axa X (folosind construcția mentală a unui triunghi dreptunghic și determinând tangenta lui unghiul)

Timur adilhodzhaev

În primul rând, trebuie să vă decideți asupra semnului. Dacă punctul x0 se află în partea inferioară a planului de coordonate, atunci semnul din răspuns va fi minus, iar dacă este mai mare, atunci +.
În al doilea rând, trebuie să știți ce este tange într-un dreptunghi dreptunghiular. Și acesta este raportul dintre partea opusă (picior) și partea adiacentă (de asemenea, piciorul). De obicei, pe tablou există câteva semne negre. Din aceste semne faceți un triunghi dreptunghic și găsiți tange.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției f x în punctul x0?

nu există nicio întrebare specifică - acum 3 ani

În cazul general, pentru a găsi valoarea derivatei unei funcții în raport cu o variabilă în orice moment, este necesar să se diferențieze funcția dată față de această variabilă. În cazul dvs., prin variabila X. În expresia rezultată, în loc de X, puneți valoarea lui x în punctul pentru care trebuie să găsiți valoarea derivatei, adică. în cazul dvs., înlocuiți zero X și calculați expresia rezultată.

Ei bine, dorința ta de a înțelege această problemă, după părerea mea, merită fără îndoială +, pe care l-am pus cu conștiința curată.

O astfel de formulare a problemei găsirii derivatului este adesea pusă pentru a fixa materialul pe sensul geometric al derivatului. Se propune un grafic al unei anumite funcții, complet arbitrar și nu este dat de o ecuație, și se cere să se găsească valoarea derivatei (nu derivata în sine!) în punctul specificat X0. Pentru a face acest lucru, se construiește o tangentă la funcția dată și se găsesc punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate. Atunci ecuația acestei tangente se întocmește sub forma y=kx+b.

În această ecuație, coeficientul k și va fi valoarea derivatei. rămâne doar să găsim valoarea coeficientului b. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea lui y la x \u003d o, să fie egală cu 3 - aceasta este valoarea coeficientului b. Înlocuim valorile lui X0 și Y0 în ecuația originală și găsim k - valoarea noastră a derivatei în acest punct.

În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
3. Intervale de funcţii crescătoare şi descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condiția problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivatului. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la un răspuns greșit.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calcularea punctelor mari și scăzute

Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic al derivatei și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vecinătatea acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

1. Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare interferează doar cu soluția. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:

Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Noi avem:

Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.

Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții

Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:

1. O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a functiei.

Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

1. Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.

Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Acolo unde f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
3. Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Noi avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; 4]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.