Rădăcina lui x. Funcția y = rădăcina pătrată a lui x, proprietățile sale și graficul

Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Rădăcină cubică. Proprietăți ale rădăcinii cubice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a 9-a
Complex educațional 1C: „Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11” Mediu software „1C: Constructor matematic 6.0”

Definiția unei funcții de putere - rădăcină cubă

Băieți, continuăm să studiem funcțiile puterii. Astăzi vom vorbi despre funcția „Rădăcină cubică a lui x”.
Ce este o rădăcină cubă?
Numărul y se numește rădăcină cubă a lui x (rădăcină de gradul al treilea) dacă este valabilă egalitatea $y^3=x$.
Notat cu $\sqrt(x)$, unde x este un număr radical, 3 este un exponent.
$\sqrt(27)=3$; 3$^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
După cum putem vedea, rădăcina cubă poate fi extrasă și din numere negative. Se pare că rădăcina noastră există pentru toate numerele.
A treia rădăcină a unui număr negativ este egală cu un număr negativ. Când este ridicat la o putere impară, semnul este păstrat; a treia putere este impară.

Să verificăm egalitatea: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Fie $\sqrt((-x))=a$ și $\sqrt(x)=b$. Să ridicăm ambele expresii la a treia putere. $–x=a^3$ și $x=b^3$. Apoi $a^3=-b^3$ sau $a=-b$. Folosind notația pentru rădăcini obținem identitatea dorită.

Proprietățile rădăcinilor cubice

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Să demonstrăm a doua proprietate. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Am descoperit că numărul $\sqrt(\frac(a)(b))$ cub este egal cu $\frac(a)(b)$ și apoi este egal cu $\sqrt(\frac(a)(b))$ , care și trebuia dovedit.

Băieți, să construim un grafic al funcției noastre.
1) Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară, deoarece $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Apoi, luați în considerare funcția noastră pentru $x≥0$, apoi afișați graficul relativ la origine.
3) Funcția crește atunci când $x≥0$. Pentru funcția noastră, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, ceea ce înseamnă creștere.
4) Funcția nu este limitată de sus. De fapt, dintr-un număr arbitrar de mare putem calcula a treia rădăcină și ne putem deplasa în sus la nesfârșit, găsind valori din ce în ce mai mari ale argumentului.
5) Pentru $x≥0$ cea mai mică valoare este 0. Această proprietate este evidentă.
Să construim un grafic al funcției prin puncte la x≥0.

Să construim graficul funcției pe întregul domeniu de definiție. Amintiți-vă că funcția noastră este impară.

Proprietățile funcției:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funcția impară.
3) Crește cu (-∞;+∞).
4) Nelimitat.
5) Nu există o valoare minimă sau maximă.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convex în jos cu (-∞;0), convex în sus cu (0;+∞).

Exemple de rezolvare a funcțiilor de putere

Exemple
1. Rezolvați ecuația $\sqrt(x)=x$.
Soluţie. Să construim două grafice pe același plan de coordonate $y=\sqrt(x)$ și $y=x$.

După cum puteți vedea, graficele noastre se intersectează în trei puncte.
Răspuns: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construiți un grafic al funcției. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Soluţie. Graficul nostru este obținut din graficul funcției $y=\sqrt(x)$, prin translație paralelă două unități la dreapta și trei unități în jos.

3. Reprezentați grafic funcția și citiți-o. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Soluţie. Să construim două grafice de funcții pe același plan de coordonate, ținând cont de condițiile noastre. Pentru $x≥-1$ construim un grafic al rădăcinii cubice, pentru $x≤-1$ construim un grafic al unei funcții liniare.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funcția nu este nici pară, nici impară.
3) Descrește cu (-∞;-1), crește cu (-1;+∞).
4) Nelimitat de sus, limitat de jos.
5) Nu există cea mai mare valoare. Cea mai mică valoare este minus unu.
6) Funcția este continuă pe întreaga linie numerică.
7) E(y)= (-1;+∞).

Probleme de rezolvat independent

1. Rezolvați ecuația $\sqrt(x)=2-x$.
2. Construiți un grafic al funcției $y=\sqrt((x+1))+1$.
3.Tratați un grafic al funcției și citiți-l. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Ai căutat rădăcina x a lui x egal? . O soluție detaliată cu descriere și explicații vă va ajuta să rezolvați chiar și cea mai complexă problemă, iar x este rădăcina lui y, fără excepție. Vă vom ajuta să vă pregătiți pentru teme, teste, olimpiade, precum și pentru intrarea la universitate. Și indiferent de exemplu, indiferent de interogarea matematică pe care o introduceți, avem deja o soluție. De exemplu, „x este rădăcina lui x este egală”.

Utilizarea diverselor probleme matematice, calculatoare, ecuații și funcții este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit matematica din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Cu toate acestea, acum știința nu stă pe loc și ne putem bucura de roadele activității sale, cum ar fi un calculator online care poate rezolva probleme precum x rădăcina lui x este egală, x rădăcina lui y, rădăcina lui x, rădăcina lui x este egală cu x, rădăcina lui x este egală cu x, rădăcina lui x este egală cu x, funcția y este rădăcina lui minus x, funcția y minus rădăcina lui x, x este rădăcina lui y, x este rădăcina lui x este egală cu. Pe această pagină veți găsi un calculator care vă va ajuta să rezolvați orice întrebare, inclusiv x rădăcina lui x egal. (de exemplu, rădăcina lui x).

Unde poți rezolva orice problemă de matematică, precum și rădăcina x a lui x egală online?

Puteți rezolva problema x rădăcina lui x egală pe site-ul nostru. Soluția online gratuită vă va permite să rezolvați o problemă online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să vă introduceți corect sarcina pe site-ul nostru web. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în chat-ul din stânga jos a paginii calculatorului.

Obiective de bază:

1) formați o idee despre fezabilitatea unui studiu generalizat al dependențelor cantităților reale folosind exemplul de cantități legate de relația y=

2) să dezvolte capacitatea de a construi un grafic y= și proprietățile acestuia;

3) repeta si consolideaza tehnicile de calcul oral si scris, la patrat, extragerea radacinilor patrate.

Echipament, material demonstrativ: fișe.

1. Algoritm:

2. Exemplu pentru finalizarea sarcinii în grupuri:

3. Exemplu pentru autotestarea muncii independente:

4. Card pentru etapa de reflecție:

1) Am înțeles cum să grafic funcția y=.

2) Pot enumera proprietățile sale folosind un grafic.

3) Nu am făcut greșeli în munca independentă.

4) Am făcut greșeli în munca mea independentă (enumerați aceste greșeli și indicați motivul).

În timpul orelor

1. Autodeterminare pentru activități educaționale

Scopul etapei:

1) include elevii în activități educaționale;

2) determinați conținutul lecției: continuăm să lucrăm cu numere reale.

Organizarea procesului educațional la etapa 1:

– Ce am studiat în ultima lecție? (Am studiat mulțimea numerelor reale, operații cu acestea, am construit un algoritm pentru a descrie proprietățile unei funcții, funcții repetate studiate în clasa a VII-a).

– Astăzi vom continua să lucrăm cu un set de numere reale, o funcție.

2. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități

Scopul etapei:

1) actualizarea conținutului educațional necesar și suficient pentru perceperea noului material: funcție, variabilă independentă, variabilă dependentă, grafice

y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,

2) actualizarea operaţiilor mentale necesare şi suficiente pentru perceperea materialului nou: comparaţie, analiză, generalizare;

3) înregistrați toate conceptele și algoritmii repeți sub formă de diagrame și simboluri;

4) să înregistreze o dificultate individuală în activitate, demonstrând la un nivel personal semnificativ insuficiența cunoștințelor existente.

Organizarea procesului educațional la etapa 2:

1. Să ne amintim cum puteți seta dependențe între cantități? (Folosind text, formulă, tabel, grafic)

2. Cum se numește o funcție? (O relație între două mărimi, în care fiecare valoare a unei variabile corespunde unei singure valori a altei variabile y = f(x)).

Care este numele lui x? (variabilă independentă - argument)

Care este numele lui? (Variabilă dependentă).

3. În clasa a VII-a am studiat funcțiile? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,).

Sarcina individuală:

Care este graficul funcțiilor y = kx + m, y =x 2, y =?

3. Identificarea cauzelor dificultăților și stabilirea obiectivelor activităților

Scopul etapei:

1) organizează interacțiunea comunicativă, în cadrul căreia se identifică și se înregistrează proprietatea distinctivă a sarcinii care a cauzat dificultăți în activitățile de învățare;

2) cădeți de acord asupra scopului și temei lecției.

Organizarea procesului educațional la etapa 3:

-Ce este special la această sarcină? (Dependența este dată de formula y = pe care nu am întâlnit-o încă.)

– Care este scopul lecției? (Fă cunoștință cu funcția y =, proprietățile și graficul acesteia. Utilizați funcția din tabel pentru a determina tipul de dependență, construiți o formulă și grafic.)

– Puteți formula tema lecției? (Funcția y=, proprietățile și graficul acesteia).

– Scrieți subiectul în caiet.

4. Construirea unui proiect pentru iesirea dintr-o dificultate

Scopul etapei:

1) organizarea interacțiunii comunicative pentru a construi o nouă metodă de acțiune care să elimine cauza dificultății identificate;

2) fixați o nouă metodă de acțiune într-o formă simbolică, verbală și cu ajutorul unui standard.

Organizarea procesului educațional la etapa 4:

Lucrarea în această etapă poate fi organizată în grupuri, cerându-le grupurilor să construiască un grafic y =, apoi să analizeze rezultatele. De asemenea, grupurilor li se poate cere să descrie proprietățile unei anumite funcții folosind un algoritm.

5. Consolidarea primară în vorbirea externă

Scopul etapei: înregistrarea conținutului educațional studiat în vorbire externă.

Organizarea procesului educațional la etapa 5:

Construiți un grafic al lui y= - și descrieți proprietățile acestuia.

Proprietăţi y= - .

1.Domeniul de definire a unei funcții.

2. Gama de valori ale funcției.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 dacă x = 0.

y<0, если х(0;+)

4. Funcții în creștere, scădere.

Funcția scade cu x.

Să construim un grafic al lui y=.

Să selectăm partea sa pe segment. Rețineți că avem = 1 pentru x = 1 și y max. =3 la x = 9.

Răspuns: pe numele nostru. = 1, y max. =3

6. Lucru independent cu autotestare conform standardului

Scopul etapei: să-ți testezi capacitatea de a aplica conținut educațional nou în condiții standard, pe baza comparării soluției tale cu un standard pentru autotestare.

Organizarea procesului educațional la etapa 6:

Elevii îndeplinesc sarcina în mod independent, efectuează un autotest în raport cu standardul, analizează și corectează erorile.

Să construim un grafic al lui y=.

Folosind un grafic, găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției de pe segment.

7. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetiție

Scopul etapei: formarea abilităților de utilizare a noilor conținuturi împreună cu cele studiate anterior: 2) repetarea conținutului educațional care va fi solicitat în lecțiile următoare.

Organizarea procesului educațional la etapa 7:

Rezolvați grafic ecuația: = x – 6.

Un elev este la tablă, restul sunt în caiete.

8. Reflectarea activității

Scopul etapei:

1) înregistrați noul conținut învățat în lecție;

2) evaluați-vă propriile activități din lecție;

3) mulțumesc colegilor care au ajutat la obținerea rezultatului lecției;

4) să înregistreze dificultățile nerezolvate ca direcții pentru activitățile educaționale viitoare;

5) discutați și scrieți-vă temele.

Organizarea procesului educațional la etapa 8:

- Băieți, care era scopul nostru astăzi? (Studiați funcția y=, proprietățile și graficul acesteia).

– Ce cunoștințe ne-au ajutat să ne atingem obiectivul? (Abilitatea de a căuta modele, capacitatea de a citi grafice.)

– Analizați-vă activitățile în clasă. (Carti cu reflexie)

Teme pentru acasă

paragraful 13 (înainte de exemplul 2) № 13.3, 13.4

Rezolvați ecuația grafic.

Lecție și prezentare pe tema: „Grafic al funcției rădăcinii pătrate. Domeniul de definire și construcție a graficului”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Ajutoare educaționale și simulatoare în magazinul online Integral pentru clasa a VIII-a
Manual electronic pentru manual de Mordkovich A.G.
Caiet de lucru algebră electronică pentru clasa a VIII-a

Graficul funcției rădăcinii pătrate

Băieți, ne-am întâlnit deja cu construirea de grafice de funcții și de mai multe ori. Am construit multe funcții liniare și parabole. În general, este convenabil să scrieți orice funcție ca $y=f(x)$. Aceasta este o ecuație cu două variabile - pentru fiecare valoare a lui x obținem y. După ce am efectuat o operație dată f, mapăm mulțimea tuturor x posibile la mulțimea y. Putem scrie aproape orice operație matematică ca funcție f.

De obicei, atunci când trasăm funcții, folosim un tabel în care înregistrăm valorile lui x și y. De exemplu, pentru funcția $y=5x^2$ este convenabil să folosiți următorul tabel: Marcați punctele rezultate pe sistemul de coordonate carteziene și conectați-le cu grijă cu o curbă netedă. Funcția noastră nu este limitată. Numai cu aceste puncte putem înlocui absolut orice valoare x din domeniul de definiție dat, adică acele x pentru care expresia are sens.

Într-una din lecțiile anterioare, am învățat o nouă operație de extragere a rădăcinii pătrate. Apare întrebarea: putem, folosind această operație, să definim o funcție și să construim graficul acesteia? Să folosim forma generală a funcției $y=f(x)$. Să lăsăm y și x în locul lor, iar în loc de f introducem operația cu rădăcina pătrată: $y=\sqrt(x)$.
Cunoscând operația matematică, am putut defini funcția.

Reprezentarea grafică a funcției rădăcină pătrată

Să reprezentăm grafic această funcție. Pe baza definiției rădăcinii pătrate, o putem calcula numai din numere nenegative, adică $x≥0$.
Să facem un tabel:
Să ne marchem punctele pe planul de coordonate.

Tot ce trebuie să facem este să conectăm cu atenție punctele rezultate.

Băieți, fiți atenți: dacă graficul funcției noastre este întors pe partea sa, obținem ramura stângă a unei parabole. De fapt, dacă liniile din tabelul de valori sunt schimbate (linia de sus cu cea de jos), atunci obținem valori doar pentru parabolă.

Domeniul funcției $y=\sqrt(x)$

Folosind graficul unei funcții, este destul de ușor să descrii proprietățile.
1. Domeniul de aplicare: $$.
b) $$.

Soluţie.
Ne putem rezolva exemplul în două moduri. În fiecare scrisoare vom descrie diferite metode.

A) Să revenim la graficul funcției construite mai sus și să marchem punctele necesare ale segmentului. Se vede clar că pentru $x=9$ funcția este mai mare decât toate celelalte valori. Aceasta înseamnă că atinge cea mai mare valoare în acest moment. Când $x=4$ valoarea funcției este mai mică decât toate celelalte puncte, ceea ce înseamnă că aceasta este cea mai mică valoare.

$y_(cel mai mult)=\sqrt(9)=3$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(4)=2$.

B) Știm că funcția noastră este în creștere. Aceasta înseamnă că fiecare valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Cele mai mari și cele mai scăzute valori sunt obținute la sfârșitul segmentului:

$y_(cel mai mult)=\sqrt(11)$, $y_(cel mai mult)=\sqrt(2)$.

Exemplul 2.
Rezolvați ecuația:

$\sqrt(x)=12-x$.

Soluţie.
Cel mai simplu mod este de a construi două grafice ale unei funcții și de a găsi punctul lor de intersecție.
Punctul de intersecție cu coordonatele $(9;3)$ este clar vizibil pe grafic. Aceasta înseamnă că $x=9$ este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=9$.

Băieți, putem fi siguri că acest exemplu nu mai are soluții? Una dintre funcții crește, cealaltă scade. În general, ele fie nu au puncte comune, fie se intersectează doar la unul.

Exemplul 3.

Construiți și citiți graficul funcției:

$\begin (cazuri) -x, x 9. \end (cazuri)$

Trebuie să construim trei grafice parțiale ale funcției, fiecare pe propriul interval.

Să descriem proprietățile funcției noastre:
1. Domeniul definiției: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ pentru $x=0$ și $x=12$; $у>0$ pentru $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funcția scade pe intervalele $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funcția crește pe intervalul $(0;9)$.
4. Funcția este continuă pe întregul domeniu de definiție.
5. Nu există o valoare maximă sau minimă.
6. Interval de valori: $(-∞;+∞)$.

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției rădăcinii pătrate pe segment:
a) $$;
b) $$.
2. Rezolvați ecuația: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Construiți și citiți graficul funcției: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construiți și citiți graficul funcției: $y=\sqrt(-x)$.

Rădăcina pătrată ca funcție elementară.

Rădăcină pătrată este o funcţie elementară şi un caz special de funcţie de putere pentru . Rădăcina pătrată aritmetică este netedă la , iar la zero este continuă, dar nu este diferențiabilă.

Ca funcție, o rădăcină variabilă complexă este o funcție cu două valori ale cărei frunze converg la zero.

Reprezentarea grafică a funcției rădăcinii pătrate.

1. Completarea tabelului de date:

X
la

2. Reprezentăm punctele pe care le-am primit pe planul de coordonate.

3. Conectați aceste puncte și obțineți un grafic al funcției rădăcinii pătrate:

Transformarea graficului unei funcții rădăcină pătrată.

Să determinăm ce transformări de funcții trebuie făcute pentru a construi grafice de funcții. Să definim tipurile de transformări.

	Tip de conversie	Conversie
		Transferarea unei funcții de-a lungul unei axe OY pentru 4 unitati sus.
	intern	Transferarea unei funcții de-a lungul unei axe BOU pentru 1 unitate La dreapta.
	intern	Graficul se apropie de axă OY de 3 ori și se comprimă de-a lungul axei OH.
		Graficul se îndepărtează de axă BOU OY.
	intern	Graficul se îndepărtează de axă OY de 2 ori și întins de-a lungul axei OH.

Adesea, transformările funcțiilor sunt combinate.

De exemplu, trebuie să grafici funcția . Acesta este un grafic rădăcină pătrată care trebuie mutat cu o unitate în jos pe axă OYși o unitate la dreapta de-a lungul axei OHși în același timp întinzându-l de 3 ori de-a lungul axei OY.

Se întâmplă ca imediat înainte de construirea unui grafic al unei funcții să fie necesare transformări preliminare de identitate sau simplificări ale funcțiilor.