Cuantificatori de generalitate și existență. Cuantificatori Sensul formulei logice a predicatelor

În legătură cu introducerea cuantificatorilor, trebuie luate în considerare următoarele:

1. O formulă logică predicată nu poate conține aceeași variabilă obiectiv, care ar fi legată într-o parte a formulei și liberă în alta.

2. Aceeași variabilă nu poate fi în regiunea cuantificatorilor care sunt duali unul cu celălalt.

Se numește încălcarea acestor condiții coliziune variabilă.

Cum se stabilește valoarea de adevăr a unei afirmații cu un cuantificator?

Pentru a demonstra o afirmație cu un cuantificator general trebuie să vă asigurați că atunci când înlocuiți fiecare dintre valori Xîntr-un predicat P(x) acesta din urmă se transformă într-o afirmație adevărată. Dacă mulțimea X este finită, atunci acest lucru se poate face prin enumerarea tuturor cazurilor; dacă mulțimea X este infinită, atunci este necesar să se efectueze raționamentul într-o formă generală.

Afirmație (x) P(x) false dacă o astfel de valoare poate fi specificată AX, la care P(x) se transformă într-o declarație falsă R(a). De aceea, a infirma o afirmație cu un cuantificator general Este suficient să dau un exemplu.

Afirmație (x) P(x) adevărat dacă o astfel de valoare poate fi specificată AX, la care P(x) se transformă într-o afirmație adevărată R(a). Prin urmare, în ordine verifica adevărul unei afirmații cu un cuantificator existenţă , este suficient să dai un exemplu și astfel să-l dovedești.

Pentru a verifica falsitatea unei afirmatii cu cuantificator existenţă (x) P(x), este necesar să se verifice falsitatea fiecăruia P(x), P(x), …, P(x). Dacă setul X Desigur, acest lucru se poate face prin forță brută. Daca sunt multi X la infinit, atunci este necesar să se efectueze raționamentul într-o formă generală.

Exemple.

1. Găsiți valoarea adevărului „dintre numere” 1, 2, 3, 4 există un număr prim”.

Soluţie: Enunțul conține un cuantificator existențial și, prin urmare, poate fi reprezentat ca o disjuncție de enunțuri: „ 1 - număr prim" sau " 2 - număr prim" sau " 3 - număr prim" sau " 4 - Număr prim". Pentru a dovedi adevărul unei disjuncții, adevărul a cel puțin unei afirmații este suficient, de exemplu, „ 3 este un număr prim care este adevărat. Prin urmare, afirmația inițială este de asemenea adevărată.

2. Să demonstrăm că orice pătrat este dreptunghi.

Soluţie: Enunțul conține un cuantificator general. Prin urmare, poate fi prezentat ca o conjuncție: „pătrat - dreptunghi” și „pătrat - dreptunghi” și „pătrat - dreptunghi”, etc. Deoarece toate aceste afirmații sunt adevărate, atunci conjuncția acestor afirmații este adevărată, prin urmare, propoziția inițială este adevărată.

3. „Orice triunghi este isoscel.” Aceasta este o afirmație falsă. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să desenați un triunghi care nu este isoscel.a

Pentru a construi negația unui enunț cu cuantificatori necesar:

1) înlocuiți cuantificatorul de generalitate cu cuantificatorul de existență, iar cuantificatorul de existență cu cuantificatorul de generalitate;

2) înlocuiți predicatul cu negația lui.

Exemplu. Să formulăm o negație pentru următoarele afirmații:

a) toate elementele multimii Z chiar; b) unele verbe răspund la întrebarea „ce să faci?”.

Soluţie: a) Să înlocuim cuantificatorul generalității cu cuantificatorul existenței, iar enunțul lui cu negația lui: unele elemente ale mulțimii Z ciudat.

b) Să înlocuim cuantificatorul existenței cu un cuantificator al generalității, iar expresia lui cu negație: toate verbele nu răspund la întrebarea „ce să faci?”

Predicat (lat. praedicatum- afirmat, menționat, spus) - orice enunț matematic în care există cel puțin o variabilă. Predicatul este obiectul principal de studiu în logica de ordinul întâi.

Un predicat este o expresie cu variabile logice care au sens pentru orice valori permise ale acestor variabile.

Expresii: x > 5, x > y – predicate.

predicat ( n-local, sau n-ary) este o funcție cu un set de valori (0,1) (sau „fals” și „adevărat”), definite pe mulțime. Astfel, fiecare set de elemente ale multimii M caracterizat fie ca „adevărat”, fie „fals”.

Un predicat poate fi asociat cu o relație matematică: dacă n-ka aparține relației, atunci predicatul va returna pe ea 1. În special, un predicat unar definește relația de apartenență la o anumită mulțime.

Un predicat este unul dintre elementele logicii de ordinul întâi și superior. Pornind de la logica de ordinul doi, cuantificatorii pot fi plasați pe predicate în formule.

Predicatul este numit identic adevărat si scrie:

dacă pe orice set de argumente ia valoarea 1.

Predicatul este numit identic fals si scrie:

dacă pe orice set de argumente ia valoarea 0.

Predicatul este numit fezabil, dacă ia valoarea 1 pe cel puțin un set de argumente.

Deoarece predicatele au doar două semnificații, toate operațiile algebrei booleene le sunt aplicabile, de exemplu: negație, implicație, conjuncție, disjuncție etc.

Cuantificator este un nume general pentru operațiile logice care limitează domeniul de adevăr al unui predicat. Cel mai des menționat:

Cuantificator universal(denumirea: citește: „pentru toți...”, „pentru toată lumea...” sau „fiecare...”, „oricare...”, „pentru orice...”).

Cuantificator de existență(denumirea: , citește: „există...” sau „va fi găsit...”).

Exemple

Să notăm P(X) predicat " X divizibil cu 5." Folosind cuantificatorul general, putem scrie formal următoarele afirmații (false, desigur):

orice număr natural este divizibil cu 5;

fiecare număr natural este un multiplu al lui 5;

toate numerele naturale sunt multipli ai lui 5;

in felul urmator:

.

Următoarele afirmații (deja adevărate) folosesc cuantificatorul existențial:

există numere naturale care sunt multipli ai lui 5;

există un număr natural care este multiplu al lui 5;

cel puțin un număr natural este divizibil cu 5.

Notația lor formală:

.Introducere în concept

Fie predicatul P(x) dat pe mulțimea X de numere prime: „Numărul prim x este impar”. Să înlocuim cuvântul „oricare” în fața acestui predicat. Obținem afirmația falsă „orice număr prim x este impar” (această afirmație este falsă, deoarece 2 este un număr prim par).

Înlocuind cuvântul „există” în fața predicatului dat P(x), obținem afirmația adevărată „Există un număr prim x care este impar” (de exemplu, x = 3).

Astfel, puteți transforma un predicat într-un enunț punând în fața predicatului cuvintele „totul”, „există”, etc., numite cuantificatori în logică.

Cuantificatori în logica matematică

Declarația înseamnă că intervalul variabilei X incluse în domeniul adevărului predicatului P(X).

("Pentru toate valorile lui (x), afirmația este adevărată.")

Afirmația înseamnă că domeniul de adevăr al predicatului P(X) nu este gol.

(„Există un (x) pentru care afirmația este adevărată”).

Întrebarea 31 Graficul și elementele sale. Noțiuni de bază. Incidență, multiplicitate, buclă, contiguitate. Tipuri de grafice. Traseul din grafic și lungimea acestuia. Clasificarea rutelor. Matrici de adiacență ale graficelor direcționate și nedirecționate.

În teoria grafurilor matematice și în informatică, un graf este o colecție de un set nevid de vârfuri și un set de perechi de vârfuri.

Obiectele sunt reprezentate ca vârfuri sau noduri ale unui graf, iar conexiunile sunt reprezentate ca arce sau muchii. Pentru diferite domenii de aplicare, tipurile de grafice pot diferi în direcționalitate, restricții privind numărul de conexiuni și date suplimentare despre vârfuri sau muchii.

O cale (sau lanț) într-un graf este o succesiune finită de vârfuri în care fiecare vârf (cu excepția ultimului) este conectat la următorul din succesiunea de vârfuri printr-o muchie.

O cale direcționată într-un digraf este o succesiune finită de vârfuri v i, pentru care toate perechile ( v i,v i+ 1) sunt muchii (orientate).

Un ciclu este o cale în care primul și ultimul vârf coincid. În acest caz, lungimea unei căi (sau a unui ciclu) este numărul componentelor sale coaste. Rețineți că dacă vârfurile uȘi v sunt capetele unei muchii, apoi, conform acestei definiții, secvența ( u,v,u) este un ciclu. Pentru a evita astfel de cazuri „degenerate”, sunt introduse următoarele concepte.

O cale (sau ciclu) se numește simplu dacă marginile sale nu se repetă; elementar dacă este simplu și vârfurile sale nu se repetă. Este ușor să vezi că:

Fiecare cale care leagă două vârfuri conține o cale elementară care leagă aceleași două vârfuri.

Orice simplu neelementare calea conține elementare ciclu.

Orice simplu un ciclu care trece printr-un vârf (sau muchie) conține elementar(sub-)ciclu care trece prin același vârf (sau muchie).

O buclă este un ciclu elementar.

Grafic sau grafic nedirecționat G este o pereche ordonată G: = (V,E

V

E acesta este un set de perechi (în cazul unui graf nedirecționat, neordonat) de vârfuri, numite muchii.

V(prin urmare E, altfel ar fi un multiset) sunt de obicei considerate multimi finite. Multe rezultate bune obținute pentru grafice finite nu sunt adevărate (sau diferă într-un fel) pentru grafice infinite. Acest lucru se datorează faptului că o serie de considerații devin false în cazul mulțimilor infinite.

Vârfurile și muchiile unui graf se mai numesc și elemente de graf, numărul de vârfuri din graf | V| - ordinea, numărul muchiilor | E| - dimensiunea graficului.

Vârfurile uȘi v sunt numite vârfuri terminale (sau pur și simplu capete) ale unei muchii e = {u,v). O muchie, la rândul său, leagă aceste vârfuri. Două vârfuri ale aceleiași muchii sunt numite adiacente.

Se spune că două muchii sunt adiacente dacă au un vârf comun de capăt.

Două muchii sunt numite multiple dacă mulțimile vârfurilor lor de capăt coincid.

O muchie se numește buclă dacă capetele ei coincid, adică e = {v,v}.

grad deg V culmi V apelați numărul de muchii incidente cu acesta (în acest caz, buclele sunt numărate de două ori).

Se spune că un vârf este izolat dacă nu este capătul vreunei muchii; agățat (sau frunză) dacă este capătul exact al unei margini.

Grafic direcționat (digraf abreviat) G este o pereche ordonată G: = (V,A), pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

V este un set nevid de vârfuri sau noduri,

A este un set de perechi (ordonate) de vârfuri distincte, numite arce sau muchii direcționate.

Arc este o pereche ordonată de vârfuri (v, w), unde este vârful v numit începutul și w- capătul arcului. Putem spune că arcul duce de sus vîn partea de sus w.

Grafic mixt

Grafic mixt G este un grafic în care unele muchii pot fi direcționate și altele pot fi nedirecționate. Scris ca un triplu comandat G: = (V,E,A), Unde V, EȘi A definit la fel ca mai sus.

Graficele direcționate și nedirecționate sunt cazuri speciale de grafice mixte.

Grafice izomorfe(?)

Grafic G se numește izomorf la grafic H, dacă există o bijecție f din mulţimea vârfurilor graficului G la setul de vârfuri ale graficului H, care are următoarea proprietate: dacă în grafic G există o muchie de la vârf Aîn partea de sus B, apoi în grafic H f(A) în partea de sus f(B) și invers - dacă în grafic H există o muchie de la vârf Aîn partea de sus B, apoi în grafic G trebuie să existe o muchie de la vârf f − 1 (A) în partea de sus f − 1 (B). În cazul unui graf direcționat, această bijecție trebuie să păstreze și orientarea muchiei. În cazul unui grafic ponderat, bijecția trebuie să păstreze și greutatea muchiei.

Graficul matricei adiacentei G cu un număr finit de vârfuri n(numerotate de la 1 la n) este o matrice pătrată A mărimea n, în care valoarea elementului a ij egal cu numărul muchiilor de la i al-lea vârf al graficului în j-al-lea vârf.

Uneori, mai ales în cazul unui graf nedirecționat, o buclă (o muchie de la i al-lea vârf în sine) este numărat ca două muchii, adică valoarea elementului diagonal a iiîn acest caz egal cu dublul numărului de bucle din jur i vârful.

Matricea de adiacență a unui grafic simplu (care nu conține bucle sau muchii multiple) este o matrice binară și conține zerouri pe diagonala principală.

Întrebarea 32 Funcția. Metode de atribuire. Clasificarea funcțiilor. Funcții elementare de bază și grafice ale acestora. Compoziția funcțiilor. Funcții elementare.

Funcția este un concept matematic care reflectă relația dintre elementele mulțimilor. Putem spune că o funcție este o „lege” conform căreia fiecare element dintr-o mulțime (numit domeniul definirii ) este pus în corespondență cu un element al altui set (numit intervalul de valori ).

Conceptul matematic al unei funcții exprimă ideea intuitivă a modului în care o cantitate determină complet valoarea unei alte mărimi. Deci valoarea variabilei X definește în mod unic sensul unei expresii X 2, iar valoarea lunii determină în mod unic valoarea lunii următoare, de asemenea, orice persoană poate fi comparată cu o altă persoană - tatăl său. În mod similar, un algoritm preconceput produce anumite date de ieșire pe baza datelor de intrare variabile.

Metode pentru specificarea unei funcții

Metoda analitica

O funcție este un obiect matematic care este o relație binară care îndeplinește anumite condiții. O funcție poate fi specificată direct ca un set de perechi ordonate, de exemplu: există o funcție . Cu toate acestea, această metodă este complet nepotrivită pentru funcții pe mulțimi infinite (care sunt funcțiile reale obișnuite: putere, liniară, exponențială, logaritmică etc.).

Pentru a specifica o funcție, utilizați expresia: . în care, X este o variabilă care trece prin domeniul de definire al funcției și y- gama de valori. Această intrare indică prezența unei relații funcționale între elementele mulțimilor. XȘi y poate rula prin orice set de obiecte de orice natură. Acestea pot fi numere, vectori, matrici, mere, culori ale curcubeului. Să explicăm cu un exemplu:

Să fie un set mar, avion, para, scaunși multe om, locomotivă, pătrat. Să definim funcția f după cum urmează: (măr, persoană), (avion, locomotivă), (pare, pătrat), (scaun, persoană). Dacă introducem o variabilă x care trece prin mulțime și o variabilă y care trece prin mulțime, funcția specificată poate fi specificată analitic ca: .

Funcțiile numerice pot fi specificate în mod similar. De exemplu: unde x trece prin mulțimea numerelor reale și definește o funcție f. Este important să înțelegeți că expresia în sine nu este o funcție. O funcție ca obiect este un set de (perechi ordonate). Și această expresie ca obiect este egalitatea a două variabile. Definește o funcție, dar nu este una.

Cu toate acestea, în multe ramuri ale matematicii, este posibil să se noteze cu f(x) atât funcția în sine, cât și expresia analitică care o definește. Această convenție sintactică este extrem de convenabilă și justificată.

Metoda grafică

Funcțiile numerice pot fi specificate și folosind un grafic. Fie o funcție reală a n variabile.

Să considerăm un spațiu liniar (n+1)-dimensional peste câmpul numerelor reale (deoarece funcția este reală). Să alegem orice bază () în acest spațiu. Fiecare punct al funcției este asociat cu un vector: . Astfel, vom avea un set de vectori spațiali liniari corespunzători punctelor unei funcții date conform regulii specificate. Punctele spațiului afin corespunzător vor forma o anumită suprafață.

Dacă luăm spațiul euclidian al vectorilor geometrici liberi (segmente direcționate) ca spațiu liniar, iar numărul de argumente al funcției f nu depășește 2, setul specificat de puncte poate fi reprezentat vizual sub forma unui desen (grafic ). Dacă, în plus, se consideră că baza inițială este ortonormală, obținem definiția „școală” a graficului unei funcții.

Pentru funcțiile de 3 sau mai multe argumente, această reprezentare nu este aplicabilă din cauza lipsei de intuiție geometrică a spațiilor multidimensionale a unei persoane.

Cu toate acestea, pentru astfel de funcții se poate veni cu o reprezentare vizuală semi-geometrică (de exemplu, fiecare valoare a celei de-a patra coordonate a unui punct poate fi asociată cu o anumită culoare pe grafic)

Cantitati proportionale. Dacă variabilele yȘi x sunt direct proporționale

y = k x ,

Unde k- valoare constantă ( factor de proporționalitate).

Programa proporționalitate directă– o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor și formează o linie cu axa X unghi a cărui tangentă este egală cu k: bronz = k(Fig. 8). Prin urmare, se mai numește și coeficientul de proporționalitate pantă. Figura 8 prezintă trei grafice pentru k = 1/3, k= 1 și k = 3 .

Funcție liniară. Dacă variabilele yȘi X sunt legate prin ecuația de gradul I:

A x + B y = C ,

unde cel puțin unul dintre numere A sau B nu este egal cu zero, atunci graficul acestei dependențe funcționale este linie dreapta. Dacă C= 0, atunci trece prin origine, altfel nu. Grafice ale funcțiilor liniare pentru diverse combinații A,B,C sunt prezentate în Fig.9.

Proporționalitate inversă. Dacă variabilele yȘi x sunt invers proporționale, atunci relația funcțională dintre ele este exprimată prin ecuația:

y = k / X,

Unde k- valoare constantă.

Graficul invers proporțional – hiperbolă(Fig. 10). Această curbă are două ramuri. Hiperbolele se obțin atunci când un con circular se intersectează cu un plan (pentru secțiuni conice, vezi secțiunea „Con” din capitolul „Stereometrie”). După cum se arată în Fig. 10, produsul coordonatelor punctelor hiperbolei este o valoare constantă, în exemplul nostru egală cu 1. În cazul general, această valoare este egală cu k, care rezultă din ecuația hiperbolei: xy = k.

Principalele caracteristici și proprietăți ale unei hiperbole:

X 0, interval: y 0 ;

Funcția este monotonă (descrescătoare) la X< 0 și la x> 0, dar nu

per total monoton datorită punctului de rupere X = 0);

Funcție nemărginită, discontinuă într-un punct X= 0, impar, neperiodic;

- Funcția nu are zerouri.

Funcția pătratică. Aceasta este funcția: y = topor 2 + bx + c, Unde a, b, c- permanent, A b=c= 0 și y = topor 2. Graficul acestei funcții parabolă pătrată - OY, Care e numit axa parabolei.Punct O vârful parabolei.

Funcția pătratică. Aceasta este funcția: y = topor 2 + bx + c, Unde a, b, c- permanent, A 0. În cel mai simplu caz avem: b=c= 0 și y = topor 2. Graficul acestei funcții parabolă pătrată - o curbă care trece prin originea coordonatelor (Fig. 11). Fiecare parabolă are o axă de simetrie OY, Care e numit axa parabolei.Punct O se numește intersecția unei parabole cu axa ei vârful parabolei.

Graficul unei funcții y = topor 2 + bx + c- de asemenea o parabolă pătrată de același tip ca y = topor 2, dar vârful său nu se află la origine, ci într-un punct cu coordonate:

Forma și locația unei parabole pătrate în sistemul de coordonate depinde în întregime de doi parametri: coeficientul A la X 2 și discriminant D:D=b 2 – 4ac. Aceste proprietăți rezultă din analiza rădăcinilor unei ecuații pătratice (vezi secțiunea corespunzătoare din capitolul „Algebră”). Toate cazurile diferite posibile pentru o parabolă pătrată sunt prezentate în Fig. 12.

Principalele caracteristici și proprietăți ale unei parabole pătrate:

Domeniul de aplicare:  < X+ (adică X R), și zona

valori: … (Vă rugăm să răspundeți singur la această întrebare!);

Funcția în ansamblu nu este monotonă, ci la dreapta sau la stânga vârfului

se comportă ca monoton;

Funcția este nelimitată, continuă peste tot, chiar și atunci când b = c = 0,

și neperiodică;

- la D< 0 не имеет нулей.

Functie exponentiala. Funcţie y = un x, Unde A- se numește un număr constant pozitiv functie exponentiala.Argument X acceptă orice valori valide; funcțiile sunt considerate valori numai numere pozitive, deoarece altfel avem o funcție cu mai multe valori. Da, funcția y = 81X are la X= 1/4 patru valori diferite: y = 3, y = 3, y = 3 iȘi y = 3 i(Nota, vă rog!). Dar considerăm ca fiind valoarea funcției numai y= 3. Grafice ale funcției exponențiale pt A= 2 și A= 1/2 sunt prezentate în Fig. 17. Ele trec prin punctul (0, 1). La A= 1 avem un grafic al unei drepte paralele cu axa X, adică funcţia se transformă într-o valoare constantă egală cu 1. Când A> 1 funcția exponențială crește, iar la 0< A < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Domeniul de aplicare:  < X+ (adică X R);

gamă: y> 0 ;

Funcția este monotonă: crește cu A> 1 și scade la 0< A < 1;

- Funcția nu are zerouri.

Funcția logaritmică. Funcţie y=log un x, Unde A– se numește un număr pozitiv constant care nu este egal cu 1 logaritmică. Această funcție este inversul funcției exponențiale; graficul său (Fig. 18) poate fi obținut prin rotirea graficului funcției exponențiale în jurul bisectoarei primului unghi de coordonate.

Principalele caracteristici și proprietăți ale funcției logaritmice:

Domeniul de aplicare: X> 0 și interval de valori:  < y+

(adică y R);

Aceasta este o funcție monotonă: crește pe măsură ce A> 1 și scade la 0< A < 1;

Funcția este nelimitată, continuă peste tot, neperiodică;

Funcția are un zero: X = 1.

Funcții trigonometrice. Când construim funcții trigonometrice folosim radian masura unghiurilor.Apoi functia y= păcat X este reprezentată printr-un grafic (Fig. 19). Această curbă se numește sinusoid.

Graficul unei funcții y=cos X prezentat în Fig. 20; aceasta este, de asemenea, o undă sinusoidală rezultată din deplasarea graficului y= păcat X de-a lungul axei X la stânga prin 2

Din aceste grafice, caracteristicile și proprietățile acestor funcții sunt evidente:

Domeniu:  < X+ interval de valori: 1 y +1;

Aceste funcții sunt periodice: perioada lor este 2;

Funcții limitate (| y| , continuă peste tot, nu monotonă, dar

având așa-zis intervale de monotonie, in interiorul caruia se afla

se comportă ca funcții monotone (vezi graficele din Fig. 19 și Fig. 20);

Funcțiile au un număr infinit de zerouri (pentru mai multe detalii, vezi secțiunea

„Ecuații trigonometrice”).

Grafice de funcții y= bronzat XȘi y=cot X sunt prezentate în Fig. 21, respectiv Fig. 22.

Din grafice este clar că aceste funcții sunt: ​​periodice (perioada lor ,

nelimitat, în general nu monoton, dar au intervale de monotonitate

(care?), discontinue (ce puncte de discontinuitate au aceste funcții?). Regiune

definițiile și intervalul de valori ale acestor funcții:

Funcții y= Arcin X(Fig.23) și y= Arccos X(Fig. 24) multivaloric, nelimitat; domeniul lor de definire și, respectiv, domeniul de valori: 1 X+1 și  < y+ . Deoarece aceste funcții au mai multe valori, nu

considerate în matematica elementară, principalele lor valori sunt considerate funcții trigonometrice inverse: y= arcsin XȘi y= arccos X; graficele lor sunt evidențiate în Fig. 23 și Fig. 24 cu linii groase.

Funcții y= arcsin XȘi y= arccos X au următoarele caracteristici și proprietăți:

Ambele funcții au același domeniu de definiție: 1 X +1 ;

intervalul lor de valori:  /2 y/2 pentru y= arcsin X si 0 y Pentru y= arccos X;

(y= arcsin X– functie de crestere; y= arccos X - in scadere);

Fiecare funcție are un zero ( X= 0 pentru funcție y= arcsin XȘi

X= 1 pentru funcție y= arccos X).

Funcții y= Arctan X(Fig.25) și y= Arccot X(Fig. 26) - funcții multi-valorice, nelimitate; domeniul lor de definire:  X+ . Principalele lor semnificații y= arctan XȘi y= arccot X sunt considerate funcții trigonometrice inverse; graficele lor sunt evidențiate în Fig. 25 și Fig. 26 cu ramuri aldine.

Funcții y= arctan XȘi y= arccot X au următoarele caracteristici și proprietăți:

Ambele funcții au același domeniu de definiție:  X + ;

intervalul lor de valori:  /2<y < /2 для y= arctan X si 0< y < для y= arccos X;

Funcțiile sunt limitate, neperiodice, continue și monotone

(y= arctan X– functie de crestere; y= arccot X - in scadere);

Doar funcție y= arctan X are un singur zero ( X= 0);

funcţie y= arccot X nu are zerouri.

Compoziția funcțiilor

Dacă sunt date două hărți și , unde , atunci „harta de la capăt la capăt” de la , dată de formula , are sens, care se numește compoziția funcțiilor și și se notează cu .

Fig. 1.30 Afișare de la capăt la capăt de la până la