Adăugarea mișcărilor de translație și rotație. Mișcarea șurubului

Mișcare înainte,
- rotație în jurul unei axe fixe,
- mișcare plată,
- miscare sferica,
- mișcare liberă.

Mișcarea de translație a unui corp rigid - aceasta este o mișcare în care orice linie dreaptă asociată corpului, în timpul mișcării acestuia, rămâne paralelă cu poziția sa inițială.

Exemple de mișcare de translație: mișcarea pedalelor de bicicletă în raport cu cadrul acesteia, mișcarea pistoanelor în cilindrii unui motor cu ardere internă în raport cu cilindrii, mișcarea cabinelor roților Ferris față de Pământ etc.

Problema cinematicii mișcării de translație a unui corp rigid se reduce la problema cinematicii unui punct material.

Teorema . În timpul mișcării de translație, toate punctele corpului descriu traiectorii identice (coincidente atunci când sunt suprapuse) și au în fiecare moment de timp aceeași viteză și accelerație în mărime și direcție.

Dovada.

Dacă selectați două puncte ale unui corp rigid AȘi ÎN, atunci vectorii de rază ai acestor puncte sunt legați prin relație

Traiectoria punctului A este o curbă care este specificată de funcție și de traiectoria punctului B este o curbă care este specificată de funcție. Traiectoria punctului B se obține prin transferarea traiectoriei punctului A în spațiu de-a lungul vectorului AB, care nu își schimbă amploarea și direcția în timp (AB = const).În consecință, traiectoriile tuturor punctelor corpului rigid sunt aceleași.

Să diferențiem expresia în funcție de timp

Primim

Să diferențiem viteza în funcție de timp și să obținem expresia a B = a A .În consecință, vitezele și accelerațiile tuturor punctelor unui corp rigid sunt aceleași.

Pentru a specifica mișcarea de translație a unui corp rigid, este suficient să specificați mișcarea unuia dintre punctele sale

Mișcare de rotație- tipul mișcării mecanice. Când un punct material se rotește, el descrie un cerc. În timpul mișcării de rotație a unui corp absolut rigid, toate punctele sale descriu cercuri situate în planuri paralele. Centrele tuturor cercurilor se află pe aceeași dreaptă, perpendiculară pe planurile cercurilor și numită axă de rotație. Axa de rotație poate fi situată în interiorul corpului sau în exteriorul acestuia. Axa de rotație într-un sistem de referință dat poate fi mobilă sau staționară. De exemplu, în cadrul de referință asociat cu Pământul, axa de rotație a rotorului generatorului la o centrală este staționară.

Alegând anumite axe de rotație, puteți obține o mișcare de rotație complexă - mișcare sferică, atunci când punctele corpului se mișcă de-a lungul sferelor. Când se rotește în jurul unei axe fixe care nu trece prin centrul corpului sau un punct de material rotativ, mișcarea de rotație se numește circulară.

Rotația se caracterizează prin unghi, măsurat în grade sau radiani, viteza unghiulară (măsurată în rad/s) și accelerația unghiulară (unitatea rad/s²).

6. Relația dintre parametrul unghiular și liniar

Pentru a schimba vectorul rază trasat în punctul A dintr-un punct arbitrar O pe axa de rotație a corpului, avem . Să împărțim ambele părți ale acestei expresii prin, ținând cont de faptul că și , - formula lui Euler.

Modulul de viteză. Să găsim accelerația totală a punctului A din formula lui Euler, folosind regula de diferențiere a produsului a două funcții sau .

Să determinăm ce termen reprezintă normal și care accelerație tangențială:

- al doilea mandat, - primul termen;

sau, raționând altfel: întrucât axa de rotație este nemișcată, atunci - aceasta este ; - .

Aceste proiecții egal ; ,

A modul de accelerare completă - .

Vectorii de accelerație totală ai punctelor unui corp rigid situate pe aceeași rază desenate perpendicular pe axa de rotație sunt paraleli între ei, iar modulul lor crește proporțional cu distanța față de axă. Unghiul caracterizează direcția față de rază și este egal cu

, nu depinde de .

Asa de, parametrii liniari și unghiulari sunt legațiîn felul următor :

Puteți efectua următoarele analogieîntre tipurile de mișcare de translație și rotație: deci, cu: , ; la : , .

7. Dinamica. Masa și impulsul unui corp. Legile de bază ale dinamicii.

Dinamica – aceasta este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor sub influența forțelor aplicate acestora. Când se studiază cantități care sunt caracterizate nu numai prin mărime, ci și prin direcție (de exemplu, viteză, accelerație, forță etc.), se folosește imaginea vectorială a acestora.

Greutate

Greutate- o mărime fizică care este o măsură a inerției corpurilor ( masa inertă) și proprietățile lor gravitaționale ( masa gravitațională)

inertie - conformitatea unui corp la modificările vitezei sale (în mărime sau direcție).

Unități mase în SI:

Proprietățile masei:
- aditivitatea: - masa sistemului este egală cu suma maselor elementelor sale individuale;
- independență față de viteză;
- constanța masei pentru un sistem izolat de corpuri și independență față de procesele care au loc în ele: legea conservării masei.

Impulsul corpului

- impuls(după Newton) ; puls(nume modern).

Dinamica clasică în mecanică (ramura principală a mecanicii) se bazează pe cele trei legi ale lui Newton.

Prima lege a lui Newton: fiecare punct material (corp) menţine o stare de repaus sau mişcare rectilinie uniformă până când impact din alte corpuri nu o va obliga să schimbe această stare.

Se numește dorința unui corp de a menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă inerţie. Prin urmare, prima lege a lui Newton se mai numește legea inerției.

Mișcarea mecanică este relativă, iar natura ei depinde de cadrul de referință. Prima lege a lui Newton nu este îndeplinită în fiecare cadru de referință, iar acele sisteme în raport cu care este îndeplinită se numesc sisteme de referință inerțiale.

Un sistem de referință inerțial este un sistem de referință în raport cu care punctul material, fără influențe externe, fie în repaus, fie deplasându-se uniform și în linie dreaptă. Prima lege a lui Newton afirmă existența cadrelor de referință inerțiale.

Din experiență se știe că sub aceleași influențe, corpuri diferite își schimbă viteza mișcării în mod diferit, adică, cu alte cuvinte, dobândesc accelerații diferite. Accelerația depinde nu numai de amploarea impactului, ci și de proprietățile corpului însuși (masa acestuia).

Pentru a descrie influențele menționate în prima lege a lui Newton, este introdus conceptul de forță. Sub influența forțelor

corpurile fie modifică viteza de mișcare, adică dobândesc accelerație (manifestarea dinamică a forțelor), fie se deformează, adică își schimbă forma și dimensiunea (manifestarea statică a forțelor).

În fiecare moment de timp, forța este caracterizată de o valoare numerică, direcție în spațiu și punct

aplicatii. Asa de, forta - aceasta este o mărime vectorială, care este o măsură a impactului mecanic asupra unui corp de la alte corpuri sau câmpuri, în urma căreia corpul capătă accelerație sau își schimbă forma și dimensiunea.

A doua lege a lui Newton- legea de bază a dinamicii mișcării de translație - răspunde la întrebarea cum se modifică mișcarea mecanică a unui punct material (corp) sub influența forțelor aplicate acestuia.

Dacă luăm în considerare acțiunea diferitelor forțe asupra aceluiași corp, rezultă că accelerația dobândită de corp este întotdeauna proporțională cu rezultanta forțelor aplicate: .

Când aceeași forță acționează asupra corpurilor cu mase diferite, accelerația lor

se dovedesc a fi diferiti si anume

Având în vedere că forța și accelerația sunt mărimi vectoriale, putem scrie

Raportul exprimă A doua lege a lui Newton: accelerația dobândită de un punct material (corp), proporțională cu forța care îl provoacă, coincide cu acesta în direcție și este invers proporțională cu masa

punct material (corp).

În coeficientul de proporționalitate SI La - 1. Apoi sau

Având în vedere că masa unui punct material (corp) în mecanica clasică este o mărime constantă, aceasta poate fi inclusă în expresia sub semnul derivat:

Această expresie - o formulare mai generală a celei de-a doua legi a lui Newton: rata de schimbare a impulsului unui punct material este egală cu forța care acționează asupra acestuia. Expresia se mai numește ecuația de mișcare a unui punct material.

Dacă asupra unui corp acționează mai multe forțe, atunci în formulele de mai jos F rezultanta lor este implicită

(suma vectoriala a fortelor).

Unitatea de forță SI este newton (N): 1 N este o forță care conferă accelerație 1 unei mase de 1 kg în direcția forței: 1 N = 1 kg*. A doua lege a lui Newton este valabilă numai în cadrele de referință inerțiale.

Se determină interacțiunea dintre punctele materiale (corpurile). A treia lege a lui Newton: fiecare acțiune a punctelor materiale (corpurilor) unul asupra celuilalt este de natura interacțiunii; forțele cu care punctele materiale acționează unele asupra altora sunt întotdeauna egale ca mărime, direcționate opus și acționează de-a lungul dreptei care leagă aceste puncte: , unde - forță care acționează asupra primului punct material din al doilea; - forta care actioneaza asupra celui de-al doilea punct material din primul. Aceste forțe sunt aplicate la diferit puncte materiale (corpuri), acţionează întotdeauna in perechiși sunt forțe de aceeasi natura.

A treia lege a lui Newton, ca și primele două, este valabilă numai în cadrele de referință inerțiale.

8. Clasificarea fortelor. Totul tine de putere.

Forta este o mărime vectorială care caracterizează măsura influenței asupra unui punct material în orice moment al altor obiecte materiale.

Dimensiune putere:

,

Rezultatul tuturor forțelor, acţionând asupra punctului studiat, conform principiul suprapunerii

Unde este forța cu care ar acționa al-lea corp într-un punct dat în lipsa alte corpuri .

Linie de acțiune forță – o linie dreaptă de-a lungul căreia este îndreptat vectorul forță.

Două forțe egală ca mărime și direcționată opus– dacă acestea, aplicate pe corp, nu provoacă accelerare.

Tipuri de interacțiuni: gravitațional, electromagnetic, puternic, slab.

Două manifestări de forță:
- static (deformarea corpurilor),

Dinamic (modificarea vitezei de mișcare).

Clasificarea forțelor

- Forțe fundamentale:
a) gravitațional,
b) electrice.

- Forțe aproximative:

a) gravitația;

b) forta de frecare;

c) forța elastică (forța elastică);

d) forța de rezistență.

A) Gravitatieîn cadrul de referință asociat cu Pământul,

Forță de reacție suspensia sau sprijinul este forta cu care alte corpuri actioneaza asupra corpului, limitandu-i miscarea.

Greutate corporala- forta cu care corpul actioneaza asupra unui suport sau suspensie.

Dacă suspensia sau suportul este în repaus în raport cu Pământul (sau se mișcă fără accelerare):

b) Forța de frecare

1) extern (apare în punctele de contact ale corpurilor și împiedică mișcarea relativă a acestora);

Frecare de alunecare (apare atunci când un corp se deplasează înainte de-a lungul suprafeței altuia);

Frecare de rulare (apare atunci când un corp se rostogolește pe suprafața altuia);

Frecare statică (apare atunci când se încearcă deplasarea);

2) intern (apare atunci când părți de lichid sau gaz se mișcă)

Legea empirică pentru toate tipurile de forțe de frecare externe:

Unde este forța normală de presiune care presează suprafețele de contact una față de alta, este coeficientul de frecare de alunecare (repaus, rulare), în funcție de natura și starea suprafețelor (rugozitate etc.).

V) Forță elastică

Unde este vectorul rază care caracterizează deplasarea unui punct material de la poziţia de echilibru, este coeficientul de proporţionalitate.mişcarea cu masă variabilă.

t masa de rachete T,și viteza ei v, apoi după timp dt T - dm, iar viteza va deveni egală v+dv. dt

Unde Și -

Al doilea termen din partea dreaptă este numit forța reactivă Fp. Dacă Și opus v direcția, atunci racheta accelerează, iar dacă coincide cu v, apoi încetinește. Deci am primit ecuația de mișcare a unui corp de masă variabilă , care a fost derivat pentru prima dată de I. B. Meshchersky (1859-1935):

Unde - Forța reactivă, care apare ca urmare a acțiunii masei atașate (separate) asupra corpului.

10. Mișcarea unui corp cu masă variabilă. formula lui Ciolkovski.

Mișcarea unor corpuri este însoțită de o modificare a masei lor, de exemplu, masa unei rachete scade din cauza fluxului de gaze formate în timpul arderii combustibilului etc. Această mișcare se numește mișcare cu masă variabilă.

Să derivăm ecuația de mișcare a unui corp de masă variabilă folosind exemplul mișcării unei rachete. Dacă în acest moment t masa de rachete T,și viteza ei v, apoi după timp dt masa sa va scadea cu dm si va deveni egala T - dm, iar viteza va deveni egală v+dv. Schimbarea impulsului sistemului într-o perioadă de timp dt

Unde Și - viteza fluxului de gaz în raport cu racheta.

Dacă forțele externe acționează asupra sistemului, atunci fie

Presupunând F = 0 și presupunând că viteza gazelor emise în raport cu racheta este constantă (racheta se mișcă în linie dreaptă), obținem , din care

Valoarea constantă de integrare CU determinam din conditiile initiale. Dacă în momentul inițial de timp viteza rachetei este zero, iar masa de lansare a acesteia , Acea C= . Prin urmare,

Această relație se numește formula Tsiolkovsky. Ea arată că: 1) cu cât masa finală a rachetei este mai mare, cu atât masa de lansare a rachetei ar trebui să fie mai mare; 2) cu cât viteza de ieșire a gazului este mai mare, cu atât masa finală poate fi mai mare pentru o anumită masă de lansare a rachetei.

11. Dinamica mișcării de rotație a unui corp rigid.

Legea fundamentală.

mișcarea unui corp rigid, ca și mișcarea unui punct, poate fi complexă.

Lăsați corpul să facă o mișcare în raport cu sistemul de coordonate 0 X 1 y 1 z 1, care, la rândul său, se deplasează în raport cu axele fixe 0 xyz.Relativ mișcarea unui corp este mișcarea sa față de sistemul de coordonate în mișcare 0 X 1 y 1 z 1 . A descoperi portabil Mișcarea corpului în fiecare moment de timp ar trebui considerată ca fiind atașată rigid de cadrul de referință în mișcare, iar mișcarea pe care o va face corpul cu cadrul de referință în mișcare în raport cu cadrul fix va fi mișcare portabilă. Se numește mișcarea unui corp față de un sistem de coordonate fix absolut.

Sarcina principală a cinematicii mișcării complexe a unui corp rigid este de a stabili relații între caracteristicile cinematice ale mișcării absolute, relative și de translație. Mișcarea complexă a unui corp rigid poate consta în mișcări de translație și rotație sau poate fi obținută prin adăugarea mișcărilor de translație și rotație. În unele probleme de cinematică, o mișcare complexă dată a unui corp rigid este descompusă în componente ale mișcării (analiza); în altele, se cere determinarea unei mișcări complexe ca urmare a adăugării celor mai simple (sinteză). Atât în ​​analiza, cât și în sinteza mișcărilor vorbim despre descompunerea și adăugarea mișcărilor considerate la un moment dat (mișcări instantanee).

Adăugarea mișcărilor de translație ale unui corp rigid

Lăsați un corp rigid să participe simultan la două mișcări de translație instantanee, dintre care una este de translație cu o viteză v 1, al doilea - portabil cu viteză v 2 (Figura 2.73). Să alegem un punct M corpuri. Să găsim viteza absolută a punctului M

v A = v r + v e = v 1 + v 2 . (2.113)

Deoarece atât mișcarea relativă, cât și cea portabilă a unui corp rigid sunt translaționale instantanee, viteza relativă, portabilă și, prin urmare, conform formulei (2.113), vitezele absolute ale tuturor punctelor corpului vor fi egale între ele în fiecare moment de timp. (egale ca mărime și paralele ca direcție) , i.e. mișcarea absolută a unui corp este, de asemenea, instantaneu de translație.

Evident, această concluzie este aplicabilă mișcării complexe a unui corp rigid, constând din trei sau mai multe mișcări de translație instantanee, apoi în cazul general

Deci, ca rezultat al adunării mișcărilor de translație instantanee ale unui corp rigid, mișcarea rezultată este instantaneu de translație.

cometariu. Mișcarea de translație instantanee a unui corp rigid diferă de mișcarea de translație prin aceea că, cu mișcarea de translație în fiecare moment de timp, vitezele și accelerațiile tuturor punctelor corpului sunt egale, iar cu mișcarea de translație instantanee la un moment dat de timp numai vitezele tuturor punctele corpului sunt egale.

66, 67 Adăugarea rotațiilor în jurul axelor paralele

Să luăm în considerare cazul când mișcarea relativă a corpului este rotația

cu viteza unghiulara in jurul unei axe fixate pe manivela (Fig. 1a), si portabila - prin rotirea manivelei in jurul unei axe paralele cu , cu viteza unghiulara . Atunci mișcarea corpului va fi plan-paralelă față de planul perpendicular pe axele.

Să presupunem că rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție. Să descriem secțiunea transversală a corpului cu un plan perpendicular pe axele (fig. 1 b). Urmele axelor din secțiune vor fi notate cu literele și . Apoi și. În acest caz, vectorii sunt paraleli între ei, perpendiculari și direcționați în direcții diferite. Atunci punctul este centrul instantaneu al vitezelor și, prin urmare, axa paralelă cu axele și este axa instantanee de rotație. Pentru a determina viteza unghiulară a rotației absolute a unui corp în jurul unei axe și poziția axei în sine, i.e. puncte, vom folosi proprietatea centrului de viteză instantanee

.

Înlocuind valorile și în aceste egalități, obținem în sfârșit

Deci, la adăugarea a două rotații direcționate în aceeași direcție în jurul axelor paralele, mișcarea rezultată a corpului va fi rotație instantanee cu viteză absolută în jurul axei instantanee paralele cu datele, a cărei poziție este determinată de proporții (2).

În timp, axa instantanee de rotație își schimbă poziția, descriind o suprafață cilindrică.

Să luăm acum în considerare cazul când rotațiile sunt direcționate în direcții diferite (Fig. 2).

Să presupunem că. Apoi, raționând ca în cazul precedent, pentru viteza unghiulară a mișcării absolute a unui corp în jurul unei axe și poziția axei în sine, obținem

Astfel, la adăugarea a două rotații direcționate în direcții diferite în jurul axelor paralele, mișcarea rezultată a corpului va fi rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul axei instantanee, a cărei poziție este determinată de proporții (4).

Rețineți că în acest caz punctul împarte distanța dintre axele paralele în exterior.

Să luăm în considerare un caz special când rotațiile în jurul axelor paralele sunt direcționate în direcții diferite, dar în valoare absolută (Fig. 3).

Un astfel de set de rotații se numește pereche de rotații, iar vectorii formează o pereche de viteze unghiulare. În acest caz obținem și , adică = . Atunci centrul instantaneu de viteze este la infinit și toate punctele corpului la un moment dat de timp au aceleași viteze.

În consecință, mișcarea rezultată a corpului va fi o mișcare de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză egală numeric și direcționată perpendicular pe planul care trece prin vectorii și . Astfel, o pereche de rotații este echivalentă cu o mișcare de translație instantanee cu o viteză egală cu momentul unei perechi de viteze unghiulare ale acestor rotații.

Un exemplu de pereche de viteze unghiulare este mișcarea pedalei de bicicletă în raport cu cadrul bicicletei (Fig. 4).

Această mișcare este o combinație de rotație portabilă cu manivela în jurul axei și rotația relativă a pedalei în raport cu manivela în jurul axei. Pe durata întregii mișcări, pedala rămâne paralelă cu poziția inițială, adică. face mișcare înainte.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1. O manivela se rotește în jurul unei axe în sensul acelor de ceasornic cu o viteză unghiulară de , iar un disc cu rază se rotește în jurul unei axe în sensul acelor de ceasornic cu aceeași viteză unghiulară față de manivelă. Aflați mărimea și direcția vitezelor absolute ale punctelor și (Fig. 5).

Soluţie. Deoarece vitezele unghiulare ale rotațiilor portabile și relative sunt egale ca mărime și sunt direcționate în aceeași direcție, centrul de rotație instantaneu al discului se află la mijloc între și , i.e. . Mărimea vitezei unghiulare absolute de rotație a discului în jurul unui punct este egală cu . De aici găsim:

, ,

, .

Exemplul 2. Manivela se rotește în jurul unei axe cu viteza unghiulară . O roată dințată cu rază este montată lejer pe știftul manivelei și îmbinată cu un angrenaj cu rază staționară. Aflați viteza unghiulară absolută a angrenajului și viteza sa unghiulară în raport cu manivela (Fig. 6).

Soluţie. Deoarece treapta de viteză este cuplată cu o roată staționară, viteza absolută a punctului de angrenare a angrenajului cu această roată este zero, adică. punctul este centrul instantaneu de rotație al angrenajului. De aici sau ,

Rețineți că sensul de rotație al angrenajului coincide cu sensul de rotație al manivelei.

Apoi găsim viteza unghiulară absolută a angrenajului din egalitate

MIȘCAREA șurubului- miscarea unui corp rigid, format dintr-un rectilinie mișcare înainte la o anumită viteză Și mișcare de rotație cu o anumită viteză unghiulară în jurul axei aa 1, paralel cu direcția postulatului. viteza (fig. 1). Un corp care efectuează un V.D. staționar, adică V.D., cu care direcția axei aa 1 rămâne neschimbat, numit şurub; axă aa 1 numit axa șurubului; distanta parcursa de orice punct al corpului situat pe axa aa 1, în timpul unei revoluții, numit. Etapa hșurub, valoarea este parametrul șurubului. Dacă vectorul este îndreptat în direcția din care se vede că rotația corpului are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci cu vectori îndreptați într-o direcție, se numește șurubul. dreapta și în direcții diferite - stânga.

Viteza și accelerația oricărui punct M corp îndepărtat de axă aa 1 la distanta r, sunt egale numeric

Când parametrul R constant, pasul elicei este de asemenea constantă. În acest caz, fiecare punct M corpul neîntins pe ax aa 1, descrie o linie elicoidală, tangenta la tăietură în orice punct formează cu planul yz, perpendicular pe ax aa 1, unghi Orice mișcare complexă a unui corp rigid este în general compusă dintr-o serie de V.D elementare sau instantanee. Se numește axa V.D instantanee. axa șurubului instantaneu. Spre deosebire de axa unei mișcări verticale staționare, axa elicoidală instantanee își schimbă continuu poziția atât în ​​raport cu sistemul de referință în care se ia în considerare mișcarea corpului, cât și în raport cu corpul însuși, formând astfel 2 rânduite (atingând ci drepte) ) suprafete, numite respectiv, axoide fixe şi mobile (fig. 2). Geom. În cazul general, o imagine a mișcării unui corp poate fi obținută prin rularea cu alunecare longitudinală a unui axoid mobil peste unul staționar, realizându-se astfel o serie de secvențe. V. d., din care se compune mișcarea corpului.