Rezolvarea problemelor C4 din cuvântul Matematică (Start). IV.

Timpul la examen este mai puțin și mai puțin tRIAL EGE. Este din ce în ce mai des, nervii de elevi și profesorii lor sunt tensionarea tuturor celor mai puternici. În ajunul deschiderii sezonului de pregătire "intensivă" pentru examene de absolvire și de intrare, vă sugerez să practici în rezolvarea problemelor C4 din beneficiul dezvoltat de MIO pentru a pregăti elevii la examenul din matematică. Sarcinile sunt oferite cu soluții, totuși, ar fi util să le rezolvăm mai întâi în mod independent.

Opțiunea 3. Triunghi Abc. inscripționate în cercul razei 12. Se știe că Ab. \u003d 6 I. BC. \u003d 4. Găsiți AC..

Decizie:

Din teorema sinusurilor pentru un triunghi Abc. Avem:

Din partea principală identitatea trigonometrică Găsiți că:

Apoi, pe teorema cosinului pentru triunghi Abc. Avem pentru ambele cazuri:

Răspuns: √35 ± √15.

Opțiunea 5. Într-un triunghi Abc.a ținut înălțimi BM.și Cn., O.- Cercul inscripționat central. Se știe că Bc \u003d.24 , Mn \u003d.12. Localizați raza cercului descrisă în apropierea triunghiului Boc..

Decizie:

Două cazuri posibile: ∠a - Sharp și ∠a - Stupid

Două cazuri sunt posibile:

1) Lăsați ∠ A. - Acute (desenul stâng). Dom dovedi că triunghiurile AMN. și Abc. Ca. Într-adevăr, puncte B., N., M. și C. Situată pe un cerc cu un diametru BC., prin urmare, ∠ NMB. = ∠NCB.de la triunghiurile dreptunghiulare Bam. și BNC.:
∠AMN. = 90 0 — ∠NMB,∠B \u003d.90 0 — ∠NCB., din care, evident, rezultă că ∠ AMN.= ∠B.În afară de ∠. A.- Comună pentru ambele triunghiuri, prin urmare, ele sunt similare cu cele două colțuri.

De triunghi dreptunghiular Amb.: cos∠. A. = A.M./Ab. ANC.: cos∠. A. = UN./AC.Aceleași relații sunt, evident, rapoartele părților din astfel de triunghiuri AMN. și Abc.ceea ce urmează că cos∠ A \u003d nm./Bc \u003d.1/2, ceea ce înseamnă ∠ A \u003d.60 0, deoarece suma colțurilor din triunghi este de 180 0, ∠ B +.∠C \u003d. 120 0. Centrul inscris în triunghiul cercului se află, așa cum se știe, la punctul de intersecție al bisectorului său. Din aceasta concluzionăm că:
∠OBC +.∠O. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 60 0, ceea ce înseamnă ∠ Boc \u003d.120 0. De teorema sinusurilor pentru un triunghi Boc. Avem: BC./ SIN∠. Boc. = 2R.Unde R. R. = 8√3.

2) Lăsați acum ∠ A. - Stupid (desenul drept). De la un triunghi dreptunghiular Abm. Găsiți că cos∠. Bam. = A.M./Ab., de la un triunghi dreptunghiular POATE SA Găsiți că cos∠. Poate \u003d an./AC.. ∠Bam \u003d.∠C. UN. deoarece acestea sunt mijloace verticale A.M./Ab. = UN./AC. \u003d COS∠. Bam. \u003d COS∠. BAS. Deoarece ultimele colțuri din față sunt adiacente. Deci triunghiuri Abc. și Anm. Ca și colțul și două partide proporționale. Raportul de similaritate este cos∠ BAC \u003d MN. /Bc \u003d. -1/2, și colțul în sine ∠ BAC \u003d. 120 0 .

Mai multe raționamente sunt similare. Deoarece suma colțurilor din triunghi este de 180 0, ∠ B +.∠C \u003d. 60 0. Centrul inscris în triunghiul cercului se află la punctul de intersector al bisectorului său, deci:
∠OBC +.∠O. Cb \u003d. 1/2 · (∠ B +.∠C) \u003d. 30 0, ceea ce înseamnă ∠ Boc \u003d.150 0. De teorema sinusurilor pentru un triunghi Boc. Avem: BC./ SIN∠. Boc. = 2R.Unde R.- raza dorită descrisă în apropierea triunghiului cercului. De aici: R. = 24.

Răspuns: 8√3 sau 24.

Opțiunea 8. Perimetrul unui trapeziu în boabe este de 52. Se știe că în acest trapeziune puteți intra în cerc și partea este împărțită cu un punct de atingere în raport cu 4: 9. Direct, trecând prin centrul cercului și Vârful trapezului, se stinge din trapezul triunghiului. Găsiți atitudinea acestei zone de triunghi în zona trapezoidă.

Decizie:

Figura pentru a rezolva sarcina C4 cu un trapez

De teorema segmentelor de tangente Kb. = BP. = PC. = CQ. = 4x., Qd. = Dl. = LA = Ak. = 9x., atunci perimetrul trapezului este de 4 · (9 x. + 4x.) \u003d 52, de unde x. \u003d 1. De aici calculam laturile Ab. = CD \u003d 13 și bază BC. = 8, ANUNȚ \u003d 18. Apoi AH. = (ANUNȚ — BC.) / 2 \u003d 5. dintr-un triunghi dreptunghiular BHA. Potrivit teoremei Pythagora găsim înălțimea trapezului Bh. \u003d 12, SIN∠ A. \u003d Sin∠. D. \u003d 12/13. Zona trapezului este apoi egală S. = (BC. + ANUNȚ) · Bh./2 = 156.

În funcție de ceea ce este menționat direct în ceea ce privește problema, sunt posibile două cazuri:

1) Lăsați acest lucru direct prin intermediul vârfului care conține o bază mai mică a trapezului (în desen este drept BM.). Centrul inscripționat în colțul cercului se află pe bisectorul său, adică ∠ Abm. = ∠MBC., ∠MBC. = ∠Amb. (ca mincinos cu linii drepte paralele BC., ANUNȚ Și vânzarea BM.) înseamnă ∠. Abm. = ∠Amb. și triunghi Abm. - Isol, A.M. = Ab. \u003d 13. Apoi zona triunghiului Abm. \u003d 0,5 · Ab. · A.M. · SIN∠. A. \u003d 0,5 · 13,13 · 12/13 \u003d 78, iar raportul dorit este 78/156 \u003d 1/2.

2) Acum lăsați direct referindu-se la starea, trece printr-un vârf care conține o bază mai mică a trapezului (în desen este drept UN.). Efectuați construcții suplimentare: Voi prelungi baza BC. Și drept. UN. înainte de intersecție la punct Y.. În mod similar, dovedim că triunghiul Aby. - Isol, Ab. = De = 13, CY. = De — BC. \u003d 5. triunghiuri CNY și Și. Ca două colțuri (∠ Și. = ∠CNY ca vertical, ∠ Cya. = ∠Yad. Cum se va afla minciunile cu linii drepte paralele BC., ANUNȚ Și vânzarea AY.) Asa de DN. : NC. = ANUNȚ : CY. \u003d 18: 5, atunci DN. = 18/23 CD = 18/23 Ab. \u003d 234/23. Apoi zona triunghiului Adn. \u003d 0,5 · ANUNȚ · DN. · SIN∠. D. \u003d 0,5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23, iar relația dorită este de 162/299.

Răspuns: 1/2 sau 162/299.

Sergey Valerievich.

Secțiuni: Matematică

La lecțiile finale privind geometria timpului de a sparge sarcinile din jurul cursului în ansamblu, practic nu rămâne. A B. Kim Eger. În mod tradițional, sunt incluse sarcini, a cărei soluție necesită cunoașterea Planimeuriei pe tema "Cercuri înscrise și descrise". Prin urmare, materialul propus va contribui nu numai la reamintarea acestui subiect, ci și să sistematizeze cunoștințele obținute anterior pentru a rezolva sarcinile planimetrice la cercurile inscripționate și descrise, precum și pentru a se pregăti pentru rezolvarea acestor sarcini în utilizare. Se presupune că elevul cel puțin la nivel minim deține întregul curs de geometrie școlară (planimetrie).

Prima și cea mai importantă etapă a deciziei problemei geometrice este de a construi un desen. Este imposibil să învățăm să rezolvăm sarcini suficient de semnificativ, fără a elabora abilități puternice pentru fabricarea desenelor "bune", fără a lucra obiceiurile (chiar reflex) - să nu înceapă să rezolve sarcina până când se face desenul "mare și frumos". Ca metodă principală de rezolvare a problemelor geometrice, o metodă algebrică este prezentată cu compilarea algoritmului ulterior. Metoda algebrică este setată la capul unei pasiuni excesive de algebră și scorul, nu uitați că încă vorbim despre sarcini geometrice și, prin urmare, lucrăm la sarcină, ar trebui să căutați caracteristici geometrice, să învățați să vizionați și să vedeți geometrie. Având evidențierea celor două componente care determină capacitatea de a rezolva sarcinile geometrice - desenul plus metoda, adaugă a treia la posesia anumitor teoreme și sarcini de referință cunoscute faptelor geometrice.

I. Teoremele și sarcinile de referință necesare pentru cercul inscripționat în triunghi și în cvadrangle și cercul descris lângă triunghi și cvadrangle. ( Atasamentul 1 )

II. Rezolvarea sarcinilor pe desene gata făcute (utilizați în mod convenabil codecopul).

În acest caz, studenții explică verbal cursul de rezolvare a problemelor, formulează teoreme și sarcini de referință utilizate în rezolvarea sarcinilor pe desene gata făcute.

Desenarea pregătită	Dano. A găsi	Decizie Răspuns
	AB \u003d BC.	Segmentele Tanner sunt: \u200b\u200bBM \u003d BK \u003d 5 Ab \u003d bc \u003d 12 Mc \u003d cn \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d A \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Răspuns: P ABC \u003d 38
	AB \u003d 6, JSC \u003d.	Secțiunile Tanner sunt egale: AV \u003d Sun 1) , 2) ab \u003d soare, pentru că In - Bissektris. 3) ABC - echilateral, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Răspuns: P ABC \u003d 18
	Diametrul anunțului cercului, AB \u003d 3, Vd \u003d 4. 1. Dovedește: Nm AD 2. r \u003d?	1. Deoarece Diametrul ad-diametru, atunci db an și ac dn, adică AC și DB - altitudine și, apoi NK - înălțime, pentru că Se intersectează la un moment dat. Deci, AD NM. 2. ad \u003d \u003d 5, r \u003d Răspuns: r \u003d 2,5
	R \u003d?	AC - diametrul cercului și al ipotezei dreptunghiular ABC, R \u003d \u003d 1,5 Răspuns: R \u003d 1,5
	AB \u003d 24, OK \u003d 5.	O este punctul de intersecție al perpendiclulelor medii către părți. Bko - dreptunghiular, vk \u003d ak \u003d 12, Ko \u003d 5, la \u003d \u003d 13 \u003d r Răspuns: R \u003d 13

III. Rezolvarea sarcinilor.

1. Găsiți perimetrul triunghiului dreptunghiular, dacă raza cercului inscripționat este de 2 cm, iar hypotenuseul este de 13 cm.

Lăsați am \u003d an \u003d x, apoi AC \u003d X + 2, CB \u003d 2 + 13 - X \u003d 15 - X (X + 2) 2 + (15 - X) 2 \u003d 169 X 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, CB \u003d 12; P \u003d 30 cm Răspuns: p \u003d 30 cm.

2. Radiusul inscripționat în triunghiul dreptunghiular al cercului este de 3 cm, un cerc inscripționat în centru ,,. Găsiți o zonă de triunghi.

SA - Bissektris, Ako - dreptunghiular, păcat \u003d păcatul 30 o \u003d , JSC \u003d 6, An \u003d ak \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, Tg 60 o \u003d, cb \u003d S abc \u003d. = Răspuns: S \u003d cm2.

3. Perimetrul triunghiului 84. Punctul de atingere al cercului inscripționat împarte una dintre laturile la segmentele 12 și 14. Găsiți raza cercului inscripționat și a zonei ABC, dacă OV \u003d 18, O este centrul inscripției cerc.

4. Într-un triunghi în mod egal, distanța de la centrul cercului inscripționat la vârful unui unghi egal nu este de 5 cm. Houl este de 10 cm. Găsiți raza cercului inscris.

Ob \u003d 5, , OM \u003d OB. . = , BH \u003d 5 + R, AH \u003d 2R, AHB - dreptunghiulară, 4R2 \u003d 100 - (5 + R) 2, R2 + 2R - 15 \u003d 0, R 1 \u003d - 5, R2 \u003d 3 Răspuns: R \u003d 3 cm.

5. Baza unui triunghi de dimensiuni egale, inscripționat într-un cerc de rază de 5 cm, este de 6 cm. Găsiți perimetrul triunghiului.

Aho - dreptunghiular: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, Ab \u003d bc \u003d \u003d \u003d P \u003d. Răspuns: P \u003d cm.

6. Perimetrul triunghiului ABC este de 72 cm. AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Găsiți raza descrisă în apropierea triunghiului cercului.

AB + BC + AC \u003d 72, , AC \u003d 20, ab \u003d bc \u003d \u003d 26, bh \u003d 24 Bn \u003d na \u003d 13, , R \u003d. Răspuns: R \u003d cm.

7. Baza unui triunghi issicat prost este egal cu 24 cm, iar raza cercului descris este de 13 cm. Găsiți partea laterală a triunghiului.

8. Cercul, diametrul căruia servește triunghiul ABS, trece prin punctul de intersecție al medianului acestui triunghi. Găsiți raportul dintre lungimea laterală a AC până la lungimea medianului petrecut pe ea.

AO \u003d OC \u003d R \u003d OM, BM \u003d 2R, BO \u003d 3R, Răspuns:.

9. Localizați zona egală de trapeziu descrisă în apropierea cercului cu o rază 4, dacă se știe că partea laterală a trapezului este egală cu 10.

S abcd \u003d. pentru că Cercul inscripționat, apoi AB + CD \u003d AD + BC \u003d 20 H \u003d 2r \u003d 8, , S abcd \u003d 10 8 \u003d 80 Răspuns: 80.

10. Dan Rhombd ABCD. Cercul descris în apropierea triunghiului ABD traversează diagonala mare a Rhombusului AC la punctul E. Găsiți CE dacă AB \u003d, BD \u003d 16.

IV. Sarcini pentru auto-hotărâtă.

1. Radiusul cercului, inscripționat în triunghiul dreptunghiular, este de 2 cm, iar raza cercului descris este de 5 cm. Găsiți o catache de triunghi mai mare.

Răspuns: (6; 8).

2. În apropierea unui triunghi echitabil, cu baza AC și un unghi la baza 75, descrie un cerc cu centrul O. Găsiți raza sa dacă zona triunghiului este egală cu 16.

Răspuns: (8).

3. Găsiți raza giratistă inclusă în triunghiul acut al ABC dacă înălțimea BH este de 12 și se știe că.

Răspuns: (4).

4. Unul dintre catetele triunghiului dreptunghiular este de 15, iar proiecția celei de-a doua categorii de hipotenuse este 16. Localizați diametrul cercului descris în apropierea acestui triunghi.

Răspuns: (25).

5. O circumferință este inscripționată într-un triunghi egal președinte. În paralel, baza sa a UA a fost efectuată tangentă în cerc, traversând laturile la punctele D și E. Găsiți raza cercului dacă DE \u003d 8, AC \u003d 18.

Răspuns: (6).

6. În apropierea triunghiului ABC este descrisă. Medianul triunghiului am este extins la intersecția cu un cerc la punctul K. Găsiți AC lateral dacă am \u003d 18, mk \u003d 8, bk \u003d 10.

Răspuns: (15).

7. Cercul inscris într-un triunghi de echilibru se referă la laturile laterale la punctele K și A. Point K împarte partea acestui triunghi pe segmentele 15 și 10, numărând de la bază. Găsiți lungimea lungimii CA.

Răspuns: (12).

8. Unghiul din triunghiul ABS este de 60 o, raza cercului descris despre ABC este 2. Să găsească raza cercului care trece prin punctele A și C și centrul cercului înscris în ABC.

Răspuns: (2).

9. Partea laterală a triunghiului sunt egale cu 5, 6 și 7. Găsiți raportul dintre segmentele la care bisectorul unghiului mai mare al acestui triunghi este împărțit în centrul cercului inscripționat în triunghi.

Răspuns: (11: 7).

10. Radiusul cercului, inscripționat în triunghiul dreptunghiular, este egal cu durabilitatea catetelor sale. Găsiți raportul dintre o categorie mai mare la un mai mic.

. Găsiți hipotenuse și raza cercului descris în apropierea triunghiului.

Dacă toate laturile poligonului ating cercul, circumferința este apelată inscripționat într-un poligon, și poligon - descris Lângă acest cerc. În figura 231, Quadrilatorul EFMN este descris în apropierea cercului cu centrul O, iar Quadroller DKMN nu este descris în apropierea acestei circumferințe, deoarece partea DK nu se aplică cercului.

Smochin. 231.

În figura 232, triunghiul ABC este descris în apropierea cercului cu centrul O.

Smochin. 232.

Noi dovedim teorema despre cercul înscris în triunghi.

Teorema

Dovezi

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și denotă scrisoarea privind punctul de intersector al bisectorului său. Tăiați din punctul de vedere al OK, OL și OH OH, respectiv la părțile de AV, Soare și CA (vezi figura 232). Deoarece punctul este echidistant din partea laterală a triunghiului ABC, apoi OK \u003d OL \u003d Ohm. Prin urmare, cercul cu centrul de rază OK trece prin punctele K, L și M. Marginea triunghiului ABC atinge acest cerc la puncte spre, L, M, deoarece sunt perpendiculare pe radiații OK, OL și OM. Deci, un cerc cu centrul de rază OK este inscripționat în triunghiul ABC. Teorema este dovedită.

Nota 1.

Rețineți că numai un cerc poate intra într-un triunghi.

De fapt, să spunem că într-un triunghi puteți introduce două cercuri. Apoi, centrul fiecărui cerc este echidistant al laturilor triunghiului și, înseamnă că punctul de trecere a bisectorului triunghiului este coincis, iar raza este egală cu distanța de la punctul de triunghi al triunghiului. În consecință, aceste cercuri coincid.

Nota 2.

Să ne întoarcem la figura 232. Vedem că triunghiul ABC este alcătuit din trei triunghiuri: ABO și Sao. Dacă în fiecare dintre aceste triunghiuri să ia pentru baza laterală a triunghiului ABC, atunci raza cercului inscripționat în triunghiul ABC va fi înălțime. Prin urmare, suprafața triunghiului ABC este exprimată prin formula

În acest fel,

Nota 3.

Spre deosebire de triunghi nu în fiecare quadril poate intra în cerc.

Luați în considerare, de exemplu, un dreptunghi, în care părțile adiacente nu sunt egale, adică un dreptunghi care nu este pătrat. Este clar că într-un astfel de dreptunghi puteți "pune" un cerc referitor la trei dintre partidele sale (fig.33, a), dar este imposibil să "pună" un cerc astfel încât să se refere la toate cele patru partide, Este, nu puteți intra în cerc. Dacă puteți introduce un cerc într-un cvadriclu, atunci partidele sale au următoarea proprietate minunată:

Smochin. 233.

Această proprietate este ușor de instalat, utilizând Figura 233, B, pe care aceleași litere sunt marcate cu segmente egale de tangente. De fapt, AV + CD \u003d A + B + C + D, aeronavă + AD-A + B + C + D, prin urmare AV + CD \u003d Avioane + AD. Se pare că declarația opusă este, de asemenea, adevărată.

Circle descrise

Dacă toate vârfurile poligonului se află pe cerc, circumferința este numită descris Lângă Poligon și un poligon - inscripționat În acest cerc. În figura 234, Quadrilul ABCD este introdus într-un cerc cu centrul Oh, iar Quadrilatorul AECD nu este înscris în acest cerc, deoarece vârful E nu se află pe cerc.

Smochin. 234.

Triunghiul ABC din Figura 235 este înscris într-un cerc cu centrul O.

Smochin. 235.

Doveim teorema despre cercul descris în apropierea triunghiului.

Teorema

Dovezi

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Denotă de scrisoarea privind punctul de intersecție a mijlocului perpendicular pe părțile sale și efectuează segmentele OA, OB și OS (Fig.235). Deoarece punctul este echidistant de la vârfurile triunghiului ABC, apoi despre A \u003d OS \u003d OS. Prin urmare, cercul cu centrul razei OA trece prin toate cele trei noduri ale triunghiului și, înseamnă descris în apropierea triunghiului ABC. Teorema este dovedită.

Nota 1.

Rețineți că aproape de triunghi poate fi descris numai de un cerc..

De fapt, presupunem că lângă triunghi puteți descrie două cercuri. Apoi, centrul fiecăruia dintre ele este egal cu vârfurile sale și, prin urmare, coincide cu punctul de intersecție a perpendiculelor medii pe părțile laterale ale triunghiului, iar raza este egală cu distanța de la punctul de triunghi. În consecință, aceste cercuri coincid.

Nota 2.

Spre deosebire de triunghi despre cvadrilul nu poate descrie întotdeauna cercul.

De exemplu, este imposibil să descrieți un cerc în apropierea unui romb care nu este un pătrat (explicați de ce). Dacă puteți descrie un cerc despre un quadril, atunci colțurile sale au următoarea proprietate minunată:

Această proprietate este ușor de instalat dacă se va referi la Figura 236 și să utilizați teorema inserată a colțului. Într-adevăr,

unde urmează

Smochin. 236.

Se pare că este adevărat și opusul:

Sarcini

689. Într-un triunghi în mod egal, baza este de 10 cm, iar partea laterală este de 13 cm. Găsiți raza cercului înscris în acest triunghi.

690. Găsiți baza unui triunghi fără anose în cazul în care centrul inscris în el împarte înălțimea condusă la bază în raport cu 12: 5, numărarea de la vârful vârfului și partea laterală este de 60 cm.

691. Punctul de atingere a cercului inscris într-un triunghi de echilibru, împarte una dintre laturile laterale la segmente egale cu 3 cm și 4 cm, numărând de la bază. Găsiți perimetrul triunghiului.

692. Un cerc este inscripționat în triunghiul ABC, care se referă la partidele AV, Sun și CA la punctele P, Q și R. Găsiți ar, RV, BQ, QC, SV, RA, dacă AV \u003d 10 cm, Sun \u003d 12 cm, SA \u003d 5 cm.

693. Într-un triunghi dreptunghiular, cercul razei este înscris în perimetrul triunghiului, dacă: a) hipotenuse este de 26 cm, r \u003d 4cm; b) Punctul de atingere împarte ipoteza asupra segmentelor egale cu 5 cm și 12 cm.

694. Localizați diametrul cercului, inscripționat în triunghiul dreptunghiular, dacă hipotenoza triunghiului este egală cu C, iar cantitatea de catete este egală cu m.

695. Suma celor două laturi opuse ale cadraterale descrise este de 15 cm. Găsiți perimetrul acestui quadril.

696. Dovedește că, dacă puteți introduce un cerc în paralelograme, această paralelogramă este Rhombus.

697. Dovedește că zona poligonului descris este egală cu jumătate din munca perimetrului său pe raza cercului inscripționat.

698. Suma celor două laturi opuse ale cadraterale descrise este de 12 cm, iar raza inscripționată în el este de 5 cm. Găsiți zona Quadricle.

699. Suma celor două laturi opuse ale cvadrilatului descris este de 10 cm, iar zona sa este de 12 cm2. Găsiți raza gi-ului, inscripționată în acest quadril.

700. Dovediți că în orice romb puteți introduce un cerc.

701. Instruiți trei triunghiuri: acută, dreptunghiulară și stupidă. În fiecare dintre ele, introduceți cercul.

702. Triunghiul ABC este inscripționat în cerc, astfel încât AV este diametrul cercului. Găsiți colțurile triunghiului, dacă: a) BC \u003d 134 °; b) AC \u003d 70 °.

703. Facturile ABC sunt înlănțuite triunghi cu baza aeronavei. Găsiți colțurile triunghiului în cazul în care soarele \u003d 102 °.

704. Cercul cu centrul O este descris în apropierea triunghiului dreptunghiular. a) demonstrează că punctul este mijlocul hipotenusei. b) găsiți părțile laterale ale triunghiului dacă diametrul cercului este egal cu D și unul din colțuri acute Triunghiul este egal cu α.

705. Aproape de triunghiul dreptunghiular ABC cu un unghi direct cu un cerc descris. Găsiți raza acestui cerc dacă: a) AC \u003d 8 cm, soare \u003d 6 cm; b) AC \u003d 18 cm, ∠B \u003d 30 °.

706. Găsiți partea triunghiului echilateral, dacă raza circumferinței descrisă aproape de ea este de 10 cm.

707. Unghiul, o bază opusă a unui triunghi în grinzi este de 120 °, partea laterală a triunghiului este de 8 cm. Găsiți diametrul cercului descris în apropierea acestui triunghi.

708. Dovediți că puteți descrie cercul: a) în apropierea oricărui dreptunghi; b) În apropierea oricărui trapeziu anaulic.

709. Dovedește că, dacă despre paralelograma poate descrie cercul, atunci această paralelogramă este un dreptunghi.

710. Dovediți că dacă cercul poate fi descris în apropierea trapezii, atunci acest trapeziu este liber.

711. Înscrieți trei triunghiuri: stupide, dreptunghiulare și echilaterale. Pentru fiecare dintre ele, construiți cercul descris.