Lucrarea practică nr. 2

„Funcție diferențială”

Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe această temă.

Întrebări de teorie (linie de bază):

1. Aplicarea derivatelor pentru studiul funcțiilor la extrem.

2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.

3. Diferenţial complet al unei funcţii de mai multe variabile.

4. Starea corpului în funcție de multe variabile.

5. Calcule aproximative.

6. Găsirea derivatelor parțiale și diferențialelor totale.

7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.

(auto-pregătire)

1. răspunde la întrebări pe tema lecției;

2. rezolva exemple.

Exemple

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor

Condiție pentru ca funcția y = f(x) să crească pe intervalul [a, b]

Condiție pentru ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]

Condiție pentru funcția maximă y=f(x)at x=a

f"(a)=0 și f"" (a)<0

Dacă la x=a derivatele f"(a) = 0 și f"(a) = 0, atunci este necesar să se studieze f"(x) în vecinătatea punctului x = a. Funcția y=f( x) la x=a are un maxim, dacă, la trecerea prin punctul x = a, derivata f"(x) își schimbă semnul din „+” în „-”, în cazul unui minim - din „-” la „+” Dacă f"(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă

Diferenţial de funcţie.

Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:

Diferenţialul funcţiei y=f(x)

Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v

Diferenţialul produsului a două funcţii y=uv

Diferenţialul câtului a două funcţii y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Creșterea funcției

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

unde Δx: - increment argument.

Calculul aproximativ al valorii funcției:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erori absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Eroarea relativă a rezultatului măsurării

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

Diferenţialul unei funcţii ca parte principală a incrementului unei funcţii Și. Strâns legat de conceptul de derivată este conceptul de diferenţial al unei funcţii. Lasă funcția f(x) este continuă pentru valorile date Xși are o derivată

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde incrementul funcției Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dх® 0. Să determinăm ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:

Prin urmare, infinitezimal f¢(x)DxȘi Dx au aceeași ordine de micime, adică f¢(x)Dx = O.

Să determinăm ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх relativ la infinitezimal Dx:

Prin urmare, infinitezimal a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime comparativ cu infinitezimal Dx, acesta este a(Dx)Dx = o.

Astfel, incrementul infinitezimal Df functia diferentiabila poate fi reprezentata sub forma a doi termeni: infinitezimal f¢(x)Dx de aceeași ordin de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dх® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică a(Dx)Dx = o.

Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit functie diferentiala f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de igrek” sau „de ef”). Asa de,

dy = df = f¢(x)Dx.

Sensul analitic al diferenţialului este că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de creşterea unei funcţii printr-un infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.

Exemplu. Calculați valoarea diferențială a unei funcții f(x) = x 3 + 2x, Când X variază de la 1 la 1,1.

Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:

Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1Și x = 1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.

Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivată parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare Xîn punctul în cauză (X y) numită limită

dacă există.

Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X este indicată de unul dintre următoarele simboluri:

În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:

Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont, în fiecare caz, care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.

Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), considerând-o pe aceasta din urmă o funcţie a unui singur argument X, A la- constant; a găsi df/dy- viceversa.

Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x 2 + y 2 la punct P(1;2).

Soluţie. Socoteală f(x,y) funcția unui singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

Considerând f(x;y) o funcție a unui argument y, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTĂ A ELEVULUI:

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

Rezolvați următoarele probleme:

1. Cât de mult va scădea aria unui pătrat cu latura x=10 cm dacă latura se micșorează cu 0,01 cm?

2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2, unde s este exprimat în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.

LITERATURĂ

1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M.: „Școala Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza M.: „Mir”, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M.: „Școala Superior”, 1987. P16-20.

Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, întâlnesc derivate parțiale în anul I în semestrul II. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale apare aproape întotdeauna la examen.

Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere; este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: – funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile reprezintă cel mai adesea o suprafață în spațiu tridimensional (plan, cilindru, sferă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră este analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu mi-a lăsat-o niciodată să o scriu și este „punctul meu forte”.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, pe care le vom cunoaște chiar acum:

...da, apropo, pentru acest subiect pe care l-am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „prindeți dinții” în doar câteva ore. Dar utilizând site-ul, veți obține cu siguranță același rezultat - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:
sau – derivată parțială în raport cu „x”
sau – derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „loc” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, îl poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Să simplificăm sau, după cum îmi place să spun, să „ajustăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta din semnul derivatei, în al doilea termen nu putem scoate nimic deoarece este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- Acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi, respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „creșterilor” și „pantelor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici ne referim la direcții care paralel axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific din plan și să calculăm valoarea funcției („înălțimea”) la acesta:
– și acum imaginează-ți că ești aici (LA suprafață).

Să calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre in scadere funcţionează într-un punct în direcţia axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic, mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi vom coborî pe panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei ordonatelor:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct din direcția axei funcția crește. Pentru a spune simplu, aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo– cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există interesul de a realiza o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de definire al acestei funcţii de-a lungul tuturor căilor disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una dintre lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.

Să sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când facem diferență față de , variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) prin care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:
sau – derivata a doua în raport cu „x”
sau – derivata a doua în raport cu „y”
sau - amestecat derivată a lui „x prin igr”
sau - amestecat derivata lui "Y"

Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi, să găsim derivate mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.

De asemenea:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, să o luăm și diferențiază-l prin „x” din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, întrucât nu există egalități miraculoase care să le verifice.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, aplicații practice largi, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul. Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța să găsiți astfel de derivate „din mers”.

Să ne îmbunătățim la exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indicele: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Luăm toate constantele în afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei; în acest caz, constanta este .

(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului .

(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:

Și conform solicitărilor repetate ale cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Să găsim cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva pare dificil; poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai stăpânit tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție - important este că aici produsul a doua functii, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „Y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientilor: . Al doilea termen depinde NUMAI de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o glumă veche cu Mehmatov pentru ușurare:

Într-o zi, un derivat malefic a apărut în spațiul funcțiilor și a început să diferențieze pe toți. Toate funcțiile sunt împrăștiate în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se transforme! Și o singură funcție nu fuge. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:

- De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui X”, iar tu nu-mi vei face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „Y”, așa că ar trebui să fii zero.

Cine a înțeles gluma a stăpânit derivatele, cel puțin la nivelul „C”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog iubitorilor de matematică încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complex, cât este greoi din punct de vedere computațional.

Pentru a simplifica înregistrarea și prezentarea materialului, ne vom limita la cazul funcțiilor a două variabile. Tot ceea ce urmează este valabil și pentru funcțiile oricărui număr de variabile.

Definiție. Derivată parțială funcții z = f(X y) prin variabilă independentă X numit derivat

calculată la constantă la.

Derivata parțială față de o variabilă este determinată în mod similar la.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile regulile și formulele uzuale de diferențiere.

Definiție. Produsul derivatei parțiale și incrementul argumentului X(y) se numește diferenţial parţial după variabilă X(la) funcţii a două variabile z = f(X y) (simbol: ):

Dacă sub diferenţialul variabilei independente dx(dy) înțelege increment X(la), Acea

Pentru funcție z = f(X y) să aflăm semnificația geometrică a derivatelor sale de frecvență și .

Luați în considerare punctul, punctul P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) la suprafață z = f(X,la) și curbă L, care se obține prin tăierea suprafeței cu un plan y = y 0 . Această curbă poate fi privită ca un grafic al unei funcții a unei variabile z = f(X y) in avion y = y 0 . Dacă ținut la punct R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangentă la curbă L, apoi, după semnificația geometrică a derivatei unei funcții a unei variabile , Unde A – unghiul format de o tangentă cu direcția pozitivă a axei Oh.

Sau: Să reparăm în mod similar o altă variabilă, de ex. să facem o secțiune transversală a suprafeței z = f(X y) avion x = x 0 . Apoi funcția

z = f(X 0 , y) poate fi considerat ca o functie a unei variabile la:

Unde b– unghiul format de tangenta in punct M 0 (X 0 , y 0) cu direcția pozitivă a axei Oi(Fig. 1.2).

Orez. 1.2. Ilustrarea semnificației geometrice a derivatelor parțiale

Exemplul 1.6. Dată o funcție z = x 2 – 3X y - 4la 2 – x + 2y + 1. Găsiți și .

Soluţie. Luand in considerare la ca o constantă, obținem

Socoteală X constantă, găsim

Cursul 3 FNP, derivate parțiale, diferențiale

Care este principalul lucru pe care l-am învățat în ultima prelegere?

Am învățat ce este o funcție a mai multor variabile cu un argument din spațiul euclidian. Am studiat ce limită și continuitatea sunt pentru o astfel de funcție

Ce vom învăța în această prelegere?

Continuând studiul nostru asupra FNP-urilor, vom studia derivatele și diferențiale parțiale pentru aceste funcții. Să învățăm cum să scriem ecuația unui plan tangent și a unei normale la o suprafață.

Derivată parțială, diferențială completă a FNP. Legătura dintre diferențiabilitatea unei funcții și existența derivatelor parțiale

Pentru o funcție a unei variabile reale, în urma studierii temelor „Limite” și „Continuitate” (Introducere în calcul), s-au studiat derivatele și diferențialele funcției. Să trecem la considerarea întrebărilor similare pentru funcțiile mai multor variabile. Rețineți că dacă toate argumentele, cu excepția unuia, sunt fixate în FNP, atunci FNP generează o funcție a unui argument, pentru care pot fi luate în considerare incrementul, diferența și derivata. Le vom numi increment parțial, diferențială parțială și, respectiv, derivată parțială. Să trecem la definiții precise.

Definiția 10. Să fie dată o funcție de variabile unde - element de spațiu euclidian și incremente corespunzătoare de argumente , ,…, . Când valorile sunt numite incremente parțiale ale funcției. Incrementul total al unei funcții este cantitatea .

De exemplu, pentru o funcție a două variabile, unde este un punct pe plan și , incrementele corespunzătoare ale argumentelor, incrementele parțiale vor fi , . În acest caz, valoarea este incrementul total al unei funcții de două variabile.

Definiția 11. Derivată parțială a unei funcții de variabile peste o variabilă este limita raportului dintre incrementul parțial al unei funcții peste această variabilă și incrementul argumentului corespunzător atunci când acesta tinde spre 0.

Să scriem Definiția 11 ca formulă sau în formă extinsă. (2) Pentru o funcție a două variabile, Definiția 11 se va scrie sub formă de formule , . Din punct de vedere practic, această definiție înseamnă că atunci când se calculează derivata parțială față de o variabilă, toate celelalte variabile sunt fixe și considerăm această funcție ca o funcție a unei variabile selectate. Derivata obișnuită este luată în raport cu această variabilă.

Exemplul 4. Pentru funcția în care, găsiți derivatele parțiale și punctul în care ambele derivate parțiale sunt egale cu 0.

Soluţie . Să calculăm derivatele parțiale, și scrieți sistemul sub forma Soluția acestui sistem este două puncte și .

Să luăm acum în considerare modul în care conceptul de diferenţial este generalizat la FNP. Reamintim că o funcție a unei variabile se numește diferențiabilă dacă incrementul ei este reprezentat sub formă , în acest caz, mărimea este partea principală a incrementului funcției și se numește diferența sa. Mărimea este o funcție a lui , are proprietatea că , adică este o funcție infinitezimală față de . O funcție a unei variabile este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă are o derivată în acel punct. În acest caz, constanta și este egală cu această derivată, adică formula este valabilă pentru diferenţial .

Dacă se ia în considerare o creștere parțială a FNP, atunci doar unul dintre argumente se schimbă, iar această creștere parțială poate fi considerată ca o creștere a unei funcții a unei variabile, adică aceeași teorie funcționează. Prin urmare, condiția de diferențiere este valabilă dacă și numai dacă derivata parțială există, caz în care diferența parțială este dată de .

Care este diferența totală a unei funcții de mai multe variabile?

Definiția 12. Funcție variabilă numit diferențiabil într-un punct , dacă incrementul său este reprezentat sub forma . În acest caz, partea principală a incrementului se numește diferenţial FNP.

Deci, diferenţialul FNP este valoarea. Să clarificăm ce înțelegem prin cantitate , pe care îl vom numi infinitezimal în comparație cu incrementele argumentelor . Aceasta este o funcție care are proprietatea că, dacă toate incrementele cu excepția unuia sunt egale cu 0, atunci egalitatea este adevărată. . În esență, asta înseamnă că = = + +…+ .

Cum sunt legate între ele condițiile de diferențiere a unui FNP și condițiile de existență a derivatelor parțiale ale acestei funcții?

Teorema 1. Dacă o funcție de variabile este diferențiabilă într-un punct , atunci are derivate parțiale în raport cu toate variabilele în acest moment și în același timp.

Dovada. Scriem egalitatea pentru și în formă și împărțiți ambele părți ale egalității rezultate la . În egalitatea rezultată, trecem la limita la . Ca rezultat, obținem egalitatea necesară. Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Diferenţialul unei funcţii de variabile se calculează folosind formula . (3)

În exemplul 4, diferența funcției a fost egală cu . Rețineți că aceeași diferență în punct este egală cu . Dar dacă îl calculăm într-un punct cu incremente , , atunci diferența va fi egală cu . Rețineți că , valoarea exactă a funcției date în punctul este egală cu , dar aceeași valoare, calculată aproximativ folosind prima diferență, este egală cu . Vedem că prin înlocuirea incrementului unei funcții cu diferența sa, putem calcula aproximativ valorile funcției.

Va fi diferențiabilă o funcție a mai multor variabile într-un punct dacă are derivate parțiale în acest punct? Spre deosebire de o funcție a unei variabile, răspunsul la această întrebare este negativ. Formularea exactă a relației este dată de următoarea teoremă.

Teorema 2. Dacă o funcţie de variabile într-un punct există derivate parțiale continue cu privire la toate variabilele, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

la fel de . Doar o variabilă se modifică în fiecare paranteză, așa că putem aplica formula de increment finit Lagrange în ambele. Esența acestei formule este că, pentru o funcție diferențiabilă continuu a unei variabile, diferența dintre valorile funcției în două puncte este egală cu valoarea derivatei într-un punct intermediar, înmulțită cu distanța dintre puncte. Aplicând această formulă la fiecare dintre paranteze, obținem . Datorită continuității derivatelor parțiale, derivata într-un punct și derivata într-un punct diferă de derivatele într-un punct prin mărimile și , tinzând spre 0 ca , tinzând spre 0. Dar atunci, evident, . Teorema a fost demonstrată. , și coordonatele. Verificați dacă acest punct aparține suprafeței. Scrieți ecuația planului tangent și ecuația normalei la suprafață în punctul indicat.

Soluţie. Într-adevăr, . În ultima prelegere, am calculat deja diferența acestei funcții într-un punct arbitrar; într-un punct dat este egală cu . In consecinta, ecuatia planului tangent se va scrie sub forma sau , iar ecuatia normalei - sub forma .

Fiecare derivată parțială (prin Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a funcției z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).

Să fie dată funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a altui argument y, atunci funcția va primi un increment

numită creștere parțială a funcției f(X, y) De X.

Luând în considerare o schimbare de funcție zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este indicată de unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:

și derivată parțială f(X, y) De y:

(6)

Exemplul 1.

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singuratică, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.

Exemplul 2. Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul A (1; 2).

Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a unei constante:

Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv A (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un multiplicator la y).

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Acea u numită funcţie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

.

Soluţie. yȘi z fix:

XȘi z fix:

XȘi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 5.

Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P călătorii feroviari pot fi exprimați prin funcție

Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R- distanta dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P De R, egal

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.

Derivată parțială P De N, egal

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale la și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.