Viteza liniară la deplasarea într-un cerc. Mișcarea unui punct material într-un cerc

Mișcarea unui corp într-un cerc cu o viteză absolută constantă- aceasta este o mișcare în care un corp descrie arcuri identice la orice intervale de timp egale.

Se determină poziția corpului pe cerc vector rază\(~\vec r\) desenat din centrul cercului. Modulul vectorului rază este egal cu raza cercului R(Fig. 1).

În timpul Δ t corpul se mișcă dintr-un punct A exact ÎN, face o deplasare \(~\Delta \vec r\) egală cu coarda AB, și parcurge o cale egală cu lungimea arcului l.

Vectorul rază se rotește cu un unghi Δ φ . Unghiul este exprimat în radiani.

Viteza \(~\vec \upsilon\) a mișcării unui corp de-a lungul unei traiectorii (cercului) este direcționată tangent la traiectorie. Se numeste viteza liniară. Modulul vitezei liniare este egal cu raportul dintre lungimea arcului de cerc l la intervalul de timp Δ t pentru care acest arc este completat:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

O mărime fizică scalară, egală numeric cu raportul dintre unghiul de rotație al vectorului rază și perioada de timp în care a avut loc această rotație, se numește viteză unghiulară:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

Unitatea SI a vitezei unghiulare este radianul pe secundă (rad/s).

Cu mișcare uniformă într-un cerc, viteza unghiulară și modulul de viteză liniară sunt mărimi constante: ω = const; υ = const.

Poziția corpului poate fi determinată dacă modulul vectorului rază \(~\vec r\) și unghiul φ , pe care o compune cu axa Bou(coordonată unghiulară). Dacă în momentul inițial al timpului t 0 = 0 coordonata unghiulară este φ 0 și la timp t este egal φ , apoi unghiul de rotație Δ φ vectorul rază pentru timp \(~\Delta t = t - t_0 = t\) este egal cu \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Apoi din ultima formulă putem obține ecuația cinematică a mișcării unui punct material de-a lungul unui cerc:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Vă permite să determinați în orice moment poziția corpului t. Având în vedere că \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), se obține\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Sageata dreapta\]

\(~\upsilon = \omega R\) - formulă pentru relația dintre viteza liniară și cea unghiulară.

Interval de timp Τ timp în care corpul face o revoluție completă se numește perioada de rotatie:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

Unde N- numărul de rotații făcute de corp în timpul Δ t.

În timpul Δ t = Τ corpul parcurge calea \(~l = 2 \pi R\). Prin urmare,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Magnitudinea ν , se numește inversul perioadei, care arată câte rotații face un corp pe unitatea de timp viteza de rotație:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Prin urmare,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

Literatură

Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: manual. alocație pentru instituțiile care oferă învățământ general. mediu, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 18-19.

Distanța și timpul necesar pentru a parcurge această distanță sunt legate de un concept fizic - viteza. Și o persoană, de regulă, nu are întrebări despre determinarea acestei valori. Toată lumea înțelege că a conduce o mașină cu o viteză de 100 km/h înseamnă a conduce 100 de kilometri într-o oră.

Dar dacă corpul se rotește? De exemplu, un ventilator de uz casnic obișnuit face zeci de rotații pe secundă. Și, în același timp, viteza de rotație a lamelor este de așa natură încât acestea pot fi oprite cu ușurință cu mâna, fără a vă răni. Pământul în jurul stelei sale - Soarele - face o revoluție într-un an întreg, ceea ce înseamnă mai mult de 30 de milioane de secunde, dar viteza mișcării sale pe orbita circumstelară este de aproximativ 30 de kilometri pe secundă!

Cum se conectează viteza obișnuită cu viteza de rotație, cum arată formula pentru viteza unghiulară?

Conceptul de viteză unghiulară

Conceptul de viteză unghiulară este utilizat în studiul legilor de rotație. Se aplică tuturor corpurilor rotative. Fie că este vorba de rotația unei anumite mase în jurul alteia, ca în cazul Pământului și a Soarelui, sau de rotația corpului însuși în jurul axei polare (rotația zilnică a planetei noastre).

Diferența dintre viteza unghiulară și viteza liniară este că înregistrează schimbarea unghiului, nu a distanței, pe unitatea de timp. În fizică, viteza unghiulară este de obicei indicată de litera alfabetului grecesc „omega” - ω.

Formula clasică pentru viteza unghiulară de rotație este considerată după cum urmează.

Să ne imaginăm că un corp fizic se rotește în jurul unui anumit centru A cu o viteză constantă. Poziția sa în spațiu față de centru este determinată de unghiul φ. La un moment dat în timp t1, corpul în cauză se află în punctul B. Unghiul de abatere al corpului de la φ1 inițial.

Apoi corpul se deplasează în punctul C. Este acolo la momentul t2. Timp necesar pentru această mișcare:

Se schimbă și poziția corpului în spațiu. Acum unghiul de deviere este φ2. Modificarea unghiului pe perioada de timp ∆t a fost:

∆φ = φ2 - φ1.

Acum formula pentru viteza unghiulară este formulată după cum urmează: viteza unghiulară este definită ca raportul modificării unghiului ∆φ în timp ∆t.

Unitățile vitezei unghiulare

Viteza liniară a unui corp este măsurată în cantități diferite. Deplasarea vehiculelor pe drumuri este de obicei indicată în kilometri pe oră; navele maritime fac noduri - mile marine pe oră. Dacă luăm în considerare mișcarea corpurilor cosmice, aici apar cel mai adesea kilometri pe secundă.

Viteza unghiulară, în funcție de mărime și de obiectul care se rotește, se măsoară și în diferite unități.

Radiani pe secundă (rad/s) este măsura clasică a vitezei în Sistemul Internațional de Unități (SI). Ele arată câți radiani (într-o rotație completă 2 ∙ 3,14 radiani) reușește corpul să se rotească într-o secundă.

Revoluțiile pe minut (rpm) sunt cea mai comună unitate pentru indicarea vitezelor de rotație în tehnologie. Arborele motoarelor electrice și de automobile produc exact (doar uitați-vă la turometrul din mașină) rotații pe minut.

Revoluții pe secundă (rps) - utilizate mai rar, în primul rând în scopuri educaționale.

Perioada de circulație

Uneori este mai convenabil să folosiți un alt concept pentru a determina viteza de rotație. Perioada de revoluție se numește de obicei timpul în care un anumit corp face o revoluție de 360° (un cerc complet) în jurul centrului de rotație. Formula pentru viteza unghiulară, exprimată în termeni de perioadă de revoluție, ia forma:

Exprimarea vitezei de rotație a corpurilor prin perioada de revoluție este justificată în cazurile în care corpul se rotește relativ lent. Să revenim la mișcarea planetei noastre în jurul stelei.

Formula pentru viteza unghiulară vă permite să o calculați, cunoscând perioada de revoluție:

ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

Privind rezultatul obținut, se poate înțelege de ce, luând în considerare rotația corpurilor cerești, este mai convenabil să se folosească perioada de revoluție. O persoană vede numere clare în fața sa și își imaginează clar scara.

Relația dintre vitezele unghiulare și cele liniare

În unele probleme, trebuie determinată viteza liniară și unghiulară. Formula de transformare este simplă: viteza liniară a unui corp este egală cu produsul dintre viteza unghiulară și raza de rotație. Așa cum se arată în imagine.

Expresia „funcționează” și în ordine inversă; cu ajutorul ei, se determină viteza unghiulară. Formula prin viteza liniară se obține prin manipulări aritmetice simple.

De obicei, când vorbim despre mișcare, ne imaginăm un obiect care se mișcă în linie dreaptă. Viteza unei astfel de mișcări este de obicei numită liniară, iar calculul valorii sale medii este simplu: este suficient să găsim raportul dintre distanța parcursă și timpul în care a fost parcursă de corp. Dacă un obiect se mișcă într-un cerc, atunci în acest caz nu este determinat liniar, ci Care este această cantitate și cum se calculează? Este exact ceea ce va fi discutat în acest articol.

Viteza unghiulară: concept și formulă

Când se deplasează de-a lungul unui cerc, viteza mișcării acestuia poate fi caracterizată prin mărimea unghiului de rotație al razei care leagă obiectul în mișcare de centrul acestui cerc. Este clar că această valoare se schimbă constant în funcție de timp. Viteza cu care are loc acest proces nu este altceva decât viteza unghiulară. Cu alte cuvinte, acesta este raportul dintre deviația vectorului rază al unui obiect și perioada de timp în care i-a luat obiectul pentru a face o astfel de întoarcere. Formula vitezei unghiulare (1) poate fi scrisă după cum urmează:

w = φ / t, unde:

φ - unghiul de rotație al razei,

t - perioada de timp de rotație.

Unități de măsură

În Sistemul Internațional de Unități Comune (SI), radianii sunt utilizați pentru a caracteriza virajele. Prin urmare, 1 rad/s este unitatea de bază utilizată în calculele vitezei unghiulare. În același timp, nimeni nu interzice utilizarea gradelor (amintim că un radian este egal cu 180/pi sau 57˚18’). De asemenea, viteza unghiulară poate fi exprimată în numărul de rotații pe minut sau pe secundă. Dacă mișcarea în jurul cercului are loc uniform, atunci această valoare poate fi găsită folosind formula (2):

unde n este viteza de rotație.

În caz contrar, la fel ca pentru viteza obișnuită, se calculează viteza unghiulară medie sau instantanee. Trebuie remarcat faptul că cantitatea luată în considerare este una vectorială. Pentru a-i determina direcția, se folosește de obicei, care este adesea folosit în fizică. Vectorul viteză unghiulară este direcționat în aceeași direcție cu șurubul cu filet la dreapta. Cu alte cuvinte, este îndreptată de-a lungul axei în jurul căreia se rotește corpul, în direcția din care se vede că rotația are loc în sens invers acelor de ceasornic.

Exemple de calcul

Să presupunem că trebuie să determinați care este viteza liniară și unghiulară a unei roți, dacă se știe că diametrul acesteia este egal cu un metru, iar unghiul de rotație se modifică în conformitate cu legea φ = 7t. Să folosim prima noastră formulă:

w = φ / t = 7t / t = 7 s -1 .

Aceasta va fi viteza unghiulară dorită. Acum să trecem la căutarea vitezei de mișcare care ne este familiară. După cum se știe, v = s/t. Având în vedere că s în cazul nostru este roțile (l = 2π*r), iar 2π este o revoluție completă, obținem următoarele:

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0,5 = 3,5 m/s

Iată un alt puzzle pe această temă. Se știe că la ecuator sunt 6370 de kilometri. Este necesar să se determine viteza liniară și unghiulară de mișcare a punctelor situate pe această paralelă, care apare ca urmare a rotației planetei noastre în jurul axei sale. În acest caz, avem nevoie de a doua formulă:

w = 2π*n = 2*3,14 *(1/(24*3600)) = 7,268 *10 -5 rad/s.

Rămâne să aflăm cu ce viteza liniară este egală: v = w*r = 7,268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s.

Mișcare uniformă în jurul unui cerc- acesta este cel mai simplu exemplu. De exemplu, capătul unui ceas se mișcă într-un cerc în jurul unui cadran. Viteza unui corp care se deplasează într-un cerc se numește viteza liniară.

Cu mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc, modulul vitezei corpului nu se modifică în timp, adică v = const, și doar direcția vectorului viteză se schimbă; în acest caz, nu există nicio modificare (a r = 0), iar schimbarea vectorului viteză în direcție este caracterizată de o mărime numită accelerație centripetă() un n sau un CS. În fiecare punct, vectorul de accelerație centripet este îndreptat spre centrul cercului de-a lungul razei.

Modulul de accelerație centripetă este egal cu

a CS =v 2 / R

Unde v este viteza liniară, R este raza cercului

Orez. 1.22. Mișcarea unui corp într-un cerc.

Când descriem mișcarea unui corp într-un cerc, folosim unghiul de rotație al razei– unghiul φ prin care, în timpul t, se rotește raza trasată din centrul cercului până la punctul în care se află corpul în mișcare în acel moment. Unghiul de rotație se măsoară în radiani. egală cu unghiul dintre două raze ale unui cerc, lungimea arcului dintre care este egală cu raza cercului (Fig. 1.23). Adică dacă l = R, atunci

1 radian = l / R

Deoarece circumferinţă egal cu

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π rad.

Prin urmare

1 rad. = 57,2958 o = 57 sau 18’

Viteză unghiulară mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc este valoarea ω, egală cu raportul dintre unghiul de rotație al razei φ și perioada de timp în care se efectuează această rotație:

ω = φ / t

Unitatea de măsură pentru viteza unghiulară este radiani pe secundă [rad/s]. Modulul de viteză liniară este determinat de raportul dintre lungimea traseului parcurs l și intervalul de timp t:

v=l/t

Viteza liniară cu mișcare uniformă în jurul unui cerc, este îndreptată de-a lungul unei tangente într-un punct dat al cercului. Când un punct se mișcă, lungimea l a arcului de cerc străbătut de punct este legată de unghiul de rotație φ prin expresia

l = Rφ

unde R este raza cercului.

Atunci, în cazul mișcării uniforme a punctului, vitezele liniare și unghiulare sunt legate prin relația:

v = l / t = Rφ / t = Rω sau v = Rω

Orez. 1.23. Radian.

Perioada de circulație– aceasta este perioada de timp T în care corpul (punctul) face o revoluție în jurul cercului. Frecvență– aceasta este reciproca perioadei de revoluție – numărul de rotații pe unitatea de timp (pe secundă). Frecvența circulației se notează cu litera n.

n=1/T

Pe o perioadă, unghiul de rotație φ al unui punct este egal cu 2π rad, deci 2π = ωT, de unde

T = 2π/ω

Adică viteza unghiulară este egală cu

ω = 2π / T = 2πn

Accelerație centripetă poate fi exprimat în termeni de perioadă T și frecvență de circulație n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

În această lecție ne vom uita la mișcarea curbilinie, și anume mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc. Vom afla ce este viteza liniară, accelerația centripetă atunci când un corp se mișcă într-un cerc. Vom introduce, de asemenea, mărimi care caracterizează mișcarea de rotație (perioada de rotație, frecvența de rotație, viteza unghiulară) și vom conecta aceste mărimi între ele.

Prin mișcare circulară uniformă înțelegem că corpul se rotește prin același unghi pe orice perioadă egală de timp (vezi Fig. 6).

Orez. 6. Mișcare uniformă în cerc

Adică, modulul vitezei instantanee nu se modifică:

Această viteză se numește liniar.

Deși mărimea vitezei nu se modifică, direcția vitezei se schimbă continuu. Să considerăm vectorii viteză în puncte AȘi B(vezi Fig. 7). Sunt îndreptate în direcții diferite, deci nu sunt egale. Dacă scadem din viteza în punct B viteza la un punct A, obținem vectorul .

Orez. 7. Vectori viteză

Raportul dintre modificarea vitezei () și timpul în care a avut loc această modificare () este accelerația.

Prin urmare, orice mișcare curbilinie este accelerată.

Dacă luăm în considerare triunghiul vitezei obținut în figura 7, atunci cu o aranjare foarte apropiată de puncte AȘi B unul față de celălalt, unghiul (α) dintre vectorii viteză va fi aproape de zero:

De asemenea, se știe că acest triunghi este isoscel, prin urmare modulele de viteză sunt egale (mișcare uniformă):

Prin urmare, ambele unghiuri de la baza acestui triunghi sunt aproape nelimitat de:

Aceasta înseamnă că accelerația, care este direcționată de-a lungul vectorului, este de fapt perpendiculară pe tangente. Se știe că o dreaptă dintr-un cerc perpendiculară pe o tangentă este o rază, așadar accelerația este îndreptată de-a lungul razei spre centrul cercului. Această accelerație se numește centripetă.

Figura 8 prezintă triunghiul de viteză discutat anterior și un triunghi isoscel (două laturi sunt razele cercului). Aceste triunghiuri sunt similare deoarece au unghiuri egale formate din drepte reciproc perpendiculare (raza și vectorul sunt perpendiculare pe tangente).

Orez. 8. Ilustrație pentru derivarea formulei pentru accelerația centripetă

Segment de linie AB este mutare(). Considerăm mișcarea uniformă într-un cerc, prin urmare:

Să înlocuim expresia rezultată cu ABîn formula de similitudine a triunghiului:

Conceptele „viteză liniară”, „accelerație”, „coordonată” nu sunt suficiente pentru a descrie mișcarea de-a lungul unei traiectorii curbe. Prin urmare, este necesar să se introducă mărimi care caracterizează mișcarea de rotație.

1. Perioada de rotație (T ) se numește timpul unei revoluții complete. Măsurată în unități SI în secunde.

Exemple de perioade: Pământul se rotește în jurul axei sale în 24 de ore (), iar în jurul Soarelui - în 1 an ().

Formula de calcul al perioadei:

unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții.

2. Frecvența de rotație (n ) - numărul de rotații pe care le face un corp pe unitatea de timp. Măsurată în unități SI în secunde reciproce.

Formula pentru determinarea frecventei:

unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții

Frecvența și perioada sunt mărimi invers proporționale:

3. Viteză unghiulară () numiți raportul dintre modificarea unghiului prin care s-a întors corpul și timpul în care a avut loc această rotație. Măsurată în unități SI în radiani împărțit la secunde.

Formula pentru determinarea vitezei unghiulare:

unde este schimbarea unghiului; - timpul în care s-a produs virajul prin unghi.