Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple. Ecuatii lineare

O ecuație este o egalitate în care există un termen necunoscut - x. Sensul lui trebuie găsit.

Mărimea necunoscută se numește rădăcina ecuației. Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea rădăcinii acesteia, iar pentru aceasta trebuie să cunoașteți proprietățile ecuațiilor. Ecuațiile pentru clasa a 5-a sunt simple, dar dacă înveți cum să le rezolvi corect, nu vei mai avea probleme cu ele pe viitor.

Proprietatea principală a ecuațiilor

Când schimbați ambele părți ale ecuației cu aceeași cantitate, aceasta continuă să fie aceeași ecuație cu aceeași rădăcină. Să rezolvăm câteva exemple pentru a înțelege mai bine această regulă.

Cum se rezolvă ecuații: adunarea sau scăderea

Să presupunem că avem o ecuație de forma:

• a + x = b - aici a și b sunt numere, iar x este un termen necunoscut din ecuație.

Dacă adunăm (sau scădem din) valoarea c de ambele părți ale ecuației, aceasta nu se va modifica:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Exemplul 1

Să folosim această proprietate pentru a rezolva ecuația:

• 37 + x = 51

Scădeți 37 din ambele părți:

• 37 + x-37 = 51-37

primim:

• x = 51-37.

Rădăcina ecuației este x = 14.

Dacă ne uităm îndeaproape la ultima ecuație, putem vedea că este aceeași cu prima. Pur și simplu am mutat termenul 37 dintr-o parte a ecuației în cealaltă, înlocuind plus cu minus.

Se pare că orice număr poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus.

Exemplul 2

• 37 + x = 37 + 22

Să efectuăm aceeași acțiune, transferăm numărul 37 din partea stângă a ecuației la dreapta:

• x = 37 - 37 + 22

Deoarece 37-37 = 0, pur și simplu reducem acest lucru și obținem:

• x = 22.

Termenii identici ai ecuației cu același semn, care se află în părți diferite ale ecuației, pot fi anulați (șterși).

Înmulțirea și împărțirea ecuațiilor

Ambele părți ale egalității pot fi, de asemenea, înmulțite sau împărțite cu același număr:

Dacă egalitatea a = b este împărțită sau înmulțită cu c, aceasta nu se va modifica:

• a / c = b / c,
• ac = bc.

Exemplul 3

• 5x = 20

Împărțiți ambele părți ale ecuației la 5:

• 5x / 5 = 20/5.

Deoarece 5/5 = 1, anulăm acest factor și divizorul din partea stângă a ecuației și obținem:

• x = 20/5, x = 4

Exemplul 4

• 5x = 5a

Dacă ambele părți ale ecuației sunt împărțite la 5, obținem:

• 5x / 5 = 5a / 5.

5 în numărătorul și numitorul părților din stânga și din dreapta sunt anulate, rezultă că x = a. Aceasta înseamnă că aceiași factori din partea stângă și dreaptă a ecuațiilor se anulează.

Să mai rezolvăm un exemplu:

• 13 + 2x = 21

Mutați termenul 13 din partea stângă a ecuației la dreapta cu semnul opus:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Împărțim ambele părți ale ecuației la 2 și obținem:

• x = 4.

Makarova T.P., GBOU Scoala Gimnaziala Nr. 618 Instruire „Ecuații” Clasa a 5-a

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații” în 2 versiuni

Makarova Tatiana Pavlovna,

Profesor GBOU Școala Gimnazială Nr. 618, Moscova

Contingent: clasa a V-a

Instruirea are ca scop testarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor pe tema „Ecuații”. Instruirea este destinată elevilor de clasa a 5-a pentru manualul N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhova și alții.Manual pentru clasa a 5-a. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 288p. Testul conține două variante paralele de dificultate egală, câte nouă sarcini (4 sarcini cu răspunsuri la alegere, 3 sarcini cu răspuns scurt, 2 sarcini cu o soluție detaliată).

Acest antrenament respectă pe deplin standardul educațional al statului federal (a doua generație), poate fi utilizat în controlul clasei și poate fi folosit, de asemenea, de elevii de clasa a 5-a pentru lucru independent pe această temă.

Pentru finalizarea testului, se alocă 15 până la 25 de minute de timp de lecție. Cheile sunt incluse.

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații”. Opțiunea 1.

№p/p

Exercițiu

Răspuns

Rezolvați ecuația

574

1124

1114

1024

Găsiți rădăcina ecuației

(156-X )+43=170.

1) Rădăcina ecuației este sensul literei.

2) Rădăcina ecuației (23 - NS) - 21 = 2 nu este un număr natural.

3) Pentru a găsi necunoscutul scăzut, este necesar să scădem diferența din redus.

4) Ecuația x - x= 0 are exact o rădăcină.

Petya a conceput un număr. Dacă adăugăm 43 la acest număr și adăugăm 77 la total, obținem 258. Ce număr plănuiește Petya?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Rezolvați ecuația: (5 cu – 8) : 2 = 121: 11.

Rezolvați ecuația: 821 - ( m + 268) = 349.

Găsiți semnificația numărului A daca 8 A + 9NS= 60 și NS=4.

Rezolvați problema folosind o ecuație. Biblioteca avea 125 de cărți de matematică. După ce elevii au luat mai multe cărți, apoi au fost returnate 3 cărți, au fost 116. Câte cărți au luat elevii?

Rezolvați ecuația:

456 + (NS – 367) – 225 =898

Instruire pentru clasa a 5-a pe tema „Ecuații”. Opțiunea 2.

№p/p

Exercițiu

Răspuns

Partea 1. Temă cu răspunsuri multiple

Rezolvați ecuația

525

1081

535

1071

Găsiți rădăcina ecuației

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

Indicați numerele afirmațiilor corecte:

1) O ecuație este o egalitate care conține o literă, a cărei valoare trebuie găsită.

2) Orice număr natural este o rădăcină a ecuației

3) Rădăcina ecuației este valoarea literei, la care se obține expresia numerică corectă din ecuație.

4) Pentru a găsi un dividend necunoscut, trebuie să adăugați un divizor la coeficient.

Dasha a conceput un număr. Dacă adăugăm 43 la acest număr și scădem 77 din suma primită, obținem 258. Ce număr are în vedere Dasha?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Partea 2. Sarcină cu un răspuns scurt

Rezolvați ecuația: 63: (2 NS – 1) = 21: 3.

Rezolvați ecuația: 748 - ( b +248) = 300.

Găsiți semnificația numărului A daca 7 A – 3NS= 41 și NS=5.

Partea 3. Sarcini cu o soluție detaliată

Rezolvați problema folosind o ecuație. În depozit erau 197 de utilaje. După ce unele au fost vândute și au fost aduse alte 86, în depozit au mai rămas 115 utilaje. Câte utilaje ai vândut în total?

Ecuatii lineare. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
materiale în secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care sunt „foarte egali...”)

Ecuatii lineare.

Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)

De obicei, o ecuație liniară este definită ca o ecuație de forma:

topor + b = 0 Unde a și b- orice numere.

2x + 7 = 0. Aici a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Aici a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Aici a = 12, b = 1/2

Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi, dar gândești nepăsător?) La urma urmei, dacă a = 0, b = 0(este posibile numere?), atunci obțineți o expresie amuzantă:

Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a = 0, A b = 5, se dovedește a fi ceva cu totul ieșit din comun:

Ceea ce stresează și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales la examene. Dar din aceste expresii ciudate este necesar să găsim și X-ul! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța cum să facem asta. În acest tutorial.

Cum știi o ecuație liniară după aspectul ei? Depinde de aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare nu sunt doar ecuații de formă topor + b = 0 , dar și orice ecuații care se reduc la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă se poate reduce sau nu?)

O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să spunem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi și numere. Și în ecuație nu există fracții împărțite la necunoscut , este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - vă rog! De exemplu:

Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, în cub etc. și nu există x-uri în numitori, i.e. Nu împărțirea cu x... Și aici este ecuația

nu poate fi numit liniar. Aici, x-urile sunt toate în primul grad, dar există împărțirea prin expresie cu x... După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară și o ecuație pătratică și orice doriți.

Se pare că este imposibil să afli o ecuație liniară într-un exemplu dificil până când aproape că o rezolvi. Acest lucru este supărător. Dar sarcinile de obicei nu întreabă despre tipul de ecuație, nu? În sarcini, ecuațiile sunt comandate decide. Asta ma face fericit.)

Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.

Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (până la două!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, soluția orice ecuația începe chiar cu aceste transformări. În cazul ecuațiilor liniare, aceasta (soluția) se bazează pe aceste transformări și se termină cu un răspuns cu drepturi depline. Are sens să urmezi linkul, nu?) Mai mult, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare.

Să începem cu cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație.

x - 3 = 2 - 4x

Aceasta este o ecuație liniară. X este tot în primul grad, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu ne interesează ce ecuație este. Trebuie să o rezolvăm. Schema este simplă aici. Strângeți totul cu x în partea stângă a egalității, totul fără x (număr) în dreapta.

Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x la stânga, cu schimbare de semn, desigur, dar - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuațiilor. Esti surprins? Deci, nu am urmat linkul, dar degeaba...) Primim:

x + 4x = 2 + 3

Noi dam altele asemanatoare, credem:

Ce ne lipsește pentru fericirea deplină? Da, ca să fie un X curat în stânga! Cele cinci sunt în cale. Scapa de primii cinci cu a doua transformare identică a ecuațiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata:

Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru încălzire.) Nu este foarte clar de ce îmi aminteam de transformări identice aici? BINE. Luăm taurul de coarne.) Să decidem ceva mai impresionant.

De exemplu, iată ecuația:

De unde începem? Cu x - la stânga, fără x - la dreapta? Ar putea fi așa. Cu pași mici de-a lungul drumului lung. Sau poți imediat, într-un mod universal și puternic. Dacă, desigur, în arsenalul tău există transformări identice ale ecuațiilor.

Vă pun o întrebare cheie: ce îți displace cel mai mult la această ecuație?

95 de persoane din 100 vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Prin urmare, începem imediat cu a doua transformare a identităţii... De ce aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să poată fi redus complet? Corect, la 3. Și în dreapta? Prin 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar... Cum ieșim? Și să înmulțim ambele părți cu 12! Acestea. printr-un numitor comun. Atunci atât cele trei, cât și cele patru vor fi reduse. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte. în întregime... Iată cum arată primul pas:

Extinderea parantezelor:

Notă! Numărător (x + 2) L-am pus intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că atunci când înmulți fracții, numărătorul este înmulțit în întregime, în întregime! Și acum fracțiile pot fi reduse:

Extindeți parantezele rămase:

Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum ne amintim vraja din clasele elementare: cu un x - la stânga, fără un x - la dreapta!Și aplicați această transformare:

Iata altele asemanatoare:

Și împărțim ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:

Asta e tot. Răspuns: NS=0,16

Rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă plăcută, am folosit două (doar două!) transformări identice- transfer stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a ecuației cu același număr. Acesta este un mod universal! Vom lucra în acest fel cu orice ecuatii! Absolut orice. De aceea repet aceste transformări identice tot timpul.)

După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm cu ajutorul transformărilor identice până obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, nu în principiul soluției.

Dar ... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare, încât te pot duce într-o stupoare puternică ...) Din fericire, pot exista doar două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.

Cazuri speciale la rezolvarea ecuațiilor liniare.

Prima surpriză.

Să presupunem că întâlniți o ecuație elementară, ceva de genul:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Puțin plictisit, îl transferăm cu un x la stânga, fără un x la dreapta ... Cu o schimbare de semn, totul este un chin-chinar ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

Ne gândim, și... la dracu!!! Primim:

Această egalitate în sine nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X-ul a dispărut! Și suntem obligați să scriem în răspuns, care este egal cu x. Altfel, decizia nu contează, da...) Punct fund?

Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale salvează. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Acest lucru înseamnă, găsiți toate valorile x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.

Dar avem egalitate adevărată deja s-a întâmplat! 0 = 0, cu cât mai precis?! Rămâne să ne dăm seama ce xx se dovedește. În ce valori ale lui x pot fi înlocuite iniţială ecuația dacă aceste x se va micșora oricum la zero? Haide?)

Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Ce vrei. Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Oricum se vor micșora. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori x în iniţială ecuație și numărare. Tot timpul, se va obține adevărul pur: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 și așa mai departe.

Iată răspunsul: x - orice număr.

Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns absolut corect și complet.

A doua surpriză.

Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom rezolva:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:

Asa. Am rezolvat o ecuație liniară, am obținut o egalitate ciudată. Matematic vorbind, am primit falsă egalitate.Și în termeni simpli, acest lucru nu este adevărat. Rave. Dar, cu toate acestea, această prostie este un motiv foarte bun pentru a rezolva corect ecuația.)

Din nou, gândim pe baza regulilor generale. Ce ne va da x, atunci când este înlocuit în ecuația inițială Adevărat egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de x-uri. Orice ai înlocui, totul va fi redus, delirul va rămâne.)

Iată răspunsul: fara solutii.

Acesta este, de asemenea, un răspuns cu drepturi depline. În matematică, astfel de răspunsuri sunt adesea găsite.

Asa. Acum, sper că pierderea lui x în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu numai liniare) nu vă va deruta deloc. Problema este deja familiară.)

Acum că ne-am dat seama de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Una dintre cele mai importante aptitudini în admiterea in clasa a 5-a este capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații. Deoarece clasa a 5-a nu este încă atât de departe de școala elementară, nu există atât de multe tipuri de ecuații pe care un elev să le poată rezolva. Vă vom prezenta toate tipurile de bază de ecuații pe care aveți nevoie pentru a le putea rezolva dacă doriți inscrie-te la o scoala de fizica si matematica.

Tip 1: „bulbos”
Acestea sunt ecuații care este aproape probabil să îți apară când admiterea la orice școală sau un cerc de clasa 5 ca sarcină separată. Sunt ușor de distins de altele: variabila este prezentă o singură dată în ele. De exemplu, sau.
Se rezolvă foarte simplu: trebuie doar să „ajungi” la necunoscut, „eliminând” treptat tot ceea ce nu este necesar care îl înconjoară – parcă ai curăța o ceapă – de unde și numele. Pentru a o rezolva, este suficient să ne amintim câteva reguli din clasa a doua. Să le enumerăm pe toate:

Plus

1. termen1 + termen2 = suma
2. termen1 = suma - termen2
3. termen2 = suma - termen1

Scădere

1. scăzut - scăzut = diferență
2. scăzut = scăzut + diferență
3. subtracted = scăzut - diferență

Multiplicare

1. factor1 * factor2 = produs
2. factor1 = produs: factor2
3. factor2 = produs: factor1

Divizia

1. dividend: divizor = coeficient
2. dividend = divizor * coeficient
3. divisor = dividend: coeficient

Să luăm un exemplu cum să aplicăm aceste reguli.

Rețineți că ne împărțim pornim și ajungem. În această situație, cunoaștem divizorul și câtul. Pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul:

Ne-am apropiat puțin de noi înșine. Acum vedem că adaugat si obtinut. Deci, pentru a găsi unul dintre termeni, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă:

Și încă un „strat” este îndepărtat din necunoscut! Acum vedem o situație cu o valoare cunoscută a produsului () și un factor cunoscut ().

Acum situația „a scăzut - a scăzut = diferență”

Iar ultimul pas este produsul cunoscut () și unul dintre factorii ()

Tipul 2: ecuații cu paranteze
Ecuațiile de acest tip sunt cel mai des întâlnite în probleme - 90% din toate problemele pt admiterea in clasa a 5-a... Spre deosebire de „ecuații de ceapă” variabila poate apărea aici de mai multe ori, deci este imposibil să o rezolvi folosind metodele din paragraful anterior. Ecuații tipice: sau
Principala dificultate este deschiderea corectă a parantezelor. După ce am reușit să facem acest lucru corect, ar trebui să aducem termeni similari (numere la numere, variabile la variabile), iar după aceea obținem cel mai simplu „ecuația bulboasă” pe care știm să rezolvăm. Dar mai întâi lucrurile.

Paranteze extensibile... Vom oferi câteva reguli care ar trebui folosite în acest caz. Dar, după cum arată practica, elevul începe să deschidă corect parantezele numai după 70-80 de probleme rezolvate. Regula de bază este următoarea: orice factor din afara parantezei trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Iar minusul din fața parantezei schimbă semnul tuturor expresiilor din interior. Deci, regulile de bază de dezvăluire:

Aducerea asemănătoare... Totul este mult mai ușor aici: trebuie, prin transferul termenilor prin semnul egal, să vă asigurați că pe de o parte există doar termeni cu necunoscutul, iar pe de altă parte - doar numere. Regula de bază este următoarea: fiecare termen transportat își schimbă semnul - dacă a fost cu, va deveni c și invers. După un transfer de succes, este necesar să se numere numărul total de necunoscute, numărul final fiind de cealaltă parte a egalității, mai degrabă decât variabile, și să rezolve primul „ecuația bulboasă”.

În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care este cea mai simplă dintre ele?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul întâi.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Extindeți parantezele, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $ x $.

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste manipulări, coeficientul la variabila $ x $ se dovedește a fi zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $ 0 \ cdot x = 8 $, i.e. există un zero în stânga și un număr diferit de zero în dreapta. În videoclipul de mai jos, vom analiza simultan mai multe motive pentru care o astfel de situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil - ecuația a fost redusă la construcția $ 0 \ cdot x = 0 $. Este destul de logic că, indiferent de ce $ x $ înlocuim, tot va fi „zero egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi avem de-a face cu ecuații liniare și doar cu cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să extindeți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, apucați variabila, adică tot ceea ce este asociat cu o variabilă - termenii în care este conținut - ar trebui să fie transferat într-o direcție, iar tot ceea ce rămâne fără ea ar trebui să fie transferat în cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți altele similare de fiecare parte a egalității obținute, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la „x”, și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la extinderea parantezelor, fie la calcularea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, așa cum ați înțeles deja, cu cele mai simple sarcini.

Schema de rezolvare a celor mai simple ecuații liniare

Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Secretăm variabilele, i.e. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul în coeficientul de la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, există anumite subtilități și trucuri în ea, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor din viața reală de ecuații liniare simple

Problema numarul 1

În primul pas, ni se cere să extindem parantezele. Dar ei nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste această etapă. În a doua etapă, trebuie să sechestreze variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai să scriem:

Prezentăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru a fost deja făcut. Prin urmare, trecem la pasul al patrulea: împărțirea cu coeficient:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Deci am primit răspunsul.

Problema numarul 2

În această problemă, putem observa parantezele, așa că haideți să le extindem:

Atât în ​​stânga, cât și în dreapta, vedem aproximativ aceeași construcție, dar să procedăm conform algoritmului, i.e. secretăm variabilele:

Iata altele asemanatoare:

La ce rădăcini se efectuează. Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $ x $ este orice număr.

Problema numarul 3

A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:

\ [\ stânga (6-x \ dreapta) + \ stânga (12 + x \ dreapta) - \ stânga (3-2x \ dreapta) = 15 \]

Aici sunt câteva paranteze, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar au în față semne diferite. Să le deschidem:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Hai să numărăm:

Efectuăm ultimul pas - împărțim totul cu coeficientul de la "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Pe lângă sarcinile prea simple, aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, ar putea fi zero printre ele - nu este nimic în neregulă cu asta.

Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi în niciun fel sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.

O altă caracteristică este legată de extinderea parantezei. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, atunci îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus... Și apoi îl putem deschide folosind algoritmi standard: obținem ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegerea acestui simplu fapt vă va permite să evitați greșelile stupide și rănitoare în liceu, când astfel de acțiuni sunt luate de la sine înțeles.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la ecuații mai complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complexe și va apărea o funcție pătratică la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar anulate.

Exemplul #1

Evident, primul pas este extinderea parantezelor. Să o facem cu mare atenție:

Acum pentru confidențialitate:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Iata altele asemanatoare:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că vom scrie în răspuns după cum urmează:

\ [\ varnothing \]

sau fără rădăcini.

Exemplul nr. 2

Urmăm aceiași pași. Primul pas:

Mutați totul cu variabila la stânga și fără ea la dreapta:

Iata altele asemanatoare:

Evident, această ecuație liniară nu are o soluție, așa că o vom scrie astfel:

\ [\ varnothing \],

sau nu există rădăcini.

Nuanțe de soluție

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Folosind aceste două expresii ca exemplu, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate exista fie una, fie niciuna, fie infinit de multe rădăcini. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu parantezele și cum să le deschideți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de a dezvălui, trebuie să înmulțiți totul cu „X”. Notă: se înmulțește fiecare termen individual... În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și înmulțiți.

Și numai după ce sunt efectuate aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase, puteți extinde paranteza din punctul de vedere al faptului că există un semn minus după ea. Da, da: abia acum, când transformările sunt finalizate, ne amintim că în fața parantezei este un semn minus, ceea ce înseamnă că totul în aval își schimbă doar semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minusul” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător atrag atenția asupra acestor fapte mărunte, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Desigur, va veni ziua și vei perfecționa aceste abilități până la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce urmează să rezolvăm acum, este deja dificil să numim cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Problema numarul 1

\ [\ stânga (7x + 1 \ dreapta) \ stânga (3x-1 \ dreapta) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem izolarea:

Iata altele asemanatoare:

Facem ultimul pas:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare a coeficienților cu o funcție pătratică, aceștia s-au anihilat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Problema numarul 2

\ [\ stânga (1-4x \ dreapta) \ stânga (1-3x \ dreapta) = 6x \ stânga (2x-1 \ dreapta) \]

Să facem primul pas cu grijă: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, ar trebui să existe patru termeni noi după transformări:

Acum să efectuăm cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Iată termeni similari:

Încă o dată, am primit răspunsul final.

Nuanțe de soluție

Cea mai importantă notă despre aceste două ecuații este următoarea: de îndată ce începem să înmulțim parantezele în care există mai mult decât este un termen, atunci aceasta se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțiți cu fiecare element din al doilea; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.

Sumă algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $ 1-7 $ ne referim la o construcție simplă: scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Așa se deosebește suma algebrică de cea aritmetică obișnuită.

Odată ce, când efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare celor descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și pentru a le rezolva va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de probleme, va trebui să mai adăugăm un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:

1. Extindeți parantezele.
2. Variabile separate.
3. Aduceți altele asemănătoare.
4. Împărțiți cu factor.

Din păcate, acest algoritm excelent, cu toată eficacitatea sa, se dovedește a nu fi pe deplin potrivit atunci când ne confruntăm cu fracții. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Totul este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi făcut atât înainte de prima acțiune, cât și după aceasta, și anume, scăpați de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Extindeți parantezele.
3. Variabile separate.
4. Aduceți altele asemănătoare.
5. Împărțiți cu factor.

Ce înseamnă „scăpați de fracții”? Și de ce se poate face acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot în numitor este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci scăpăm de fracții.

Exemplul #1

\ [\ frac (\ stânga (2x + 1 \ dreapta) \ stânga (2x-3 \ dreapta)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\ [\ frac (\ stânga (2x + 1 \ dreapta) \ stânga (2x-3 \ dreapta) \ cdot 4) (4) = \ stânga (((x) ^ (2)) - 1 \ dreapta) \ cdot 4\]

Atenție: totul se înmulțește cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să le înmulți pe fiecare cu patru. Hai sa scriem:

\ [\ stânga (2x + 1 \ dreapta) \ stânga (2x-3 \ dreapta) = \ stânga (((x) ^ (2)) - 1 \ dreapta) \ cdot 4 \]

Acum să deschidem:

Facem izolarea variabilei:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\ [- 4x = -1 \ stânga | : \ stânga (-4 \ dreapta) \ dreapta. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Avem soluția finală, trecem la a doua ecuație.

Exemplul nr. 2

\ [\ frac (\ stânga (1-x \ dreapta) \ stânga (1 + 5x \ dreapta)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\ [\ frac (\ stânga (1-x \ dreapta) \ stânga (1 + 5x \ dreapta) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Problema a fost rezolvată.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți funcții pătratice undeva, cel mai probabil acestea se vor micșora în procesul de transformări ulterioare.
• Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină și nu există deloc rădăcini.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!