Межа послідовності прикладів рішення. Межа послідовності – основні теореми та властивості

Xn елементами чи членами послідовності, n – члена послідовності. Якщо функція f(n) задана аналітично, тобто формулою, xn=f(n) називають формулою члена послідовності.

Число а називається межею послідовності (xn), якщо будь-якого ε>0 існує номер n=n(ε), починаючи з якого виконується нерівність |xn-a |

Приклад 2. Довести, що за умов прикладу 1 число а=1 не є межею послідовності попереднього прикладу. Рішення. Знову спростіть спільний член послідовності. Візьміть ε=1 (це будь-яке число >

Завдання безпосереднього обчислення межі послідовності досить однакові. Усі вони містять відносини поліномів щодо n або ірраціональних виразів щодо цих поліномів. Приступаючи до рішення, винесіть за дужки (символ радикала) складову, що знаходиться в старшому ступені. Нехай для чисельника вихідного виразу це призведе до появи множника a^p, а знаменника b^q. Очевидно, що всі складові, що залишилися, мають вигляд С/(n-k) і прагнуть до нуля при n>

Перший спосіб обчислення межі послідовності заснований на її визначенні. Правда слід запам'ятати, що шляхів безпосереднього пошуку межі він не дає, а дозволяє лише довести, що якесь а є (або не є) межею.Приклад 1. Довести, що послідовність (xn)=((3n^2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) має межу а = 3. Рішення. Проводьте доказ шляхом застосування ухвали у зворотному порядку. Тобто праворуч наліво. Попередньо перевірте – чи немає можливості спростити формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Розгляньте нерівність |(3n+1)/(n+2)-3|0 можна знайти будь-яке натуральне число nε, більше -2+ 5/ε.

Вкажемо не традиційний спосіб знаходження межі послідовності та нескінченних сум. Будемо використовувати функціональні послідовності (їх члени функції, визначені на деякому проміжку (a, b)). Приклад 3. Знайти суму 1+1/2! +1/3! +…+1/n! + ... = S. Рішення. Будь-яке число а ^ 0 = 1. Покладіть 1=exp(0) і розгляньте функціональну послідовність (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Наводяться формулювання основних теорем та властивостей числових послідовностей, що мають межу. Міститься визначення послідовності та її межі. Розглянуто арифметичні дії з послідовностями, властивості, пов'язані з нерівностями, критерії збіжності, властивості нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей.

Зміст

Властивості кінцевих меж послідовностей

Основні властивості

Точка a є межею послідовності тоді і лише тоді, коли поза будь-якою околиці цієї точки знаходиться кінцева кількість елементівпослідовності або порожня множина.

Якщо число a не є межею послідовності, то існує така околиця точки a, за межами якої знаходиться нескінченна кількість елементів послідовності.

Теорема єдиності межі числової послідовності. Якщо послідовність має межу, він єдиний.

Якщо послідовність має кінцеву межу, вона обмежена.

Якщо кожен елемент послідовності дорівнює одному й тому ж числу C : , то ця послідовність має межу, що дорівнює числу C .

Якщо у послідовності додати, відкинути або змінити перші m елементів, то це не вплине на її збіжність.

Докази основних властивостейнаведено на сторінці
Основні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Арифметичні дії з межами

Нехай існують кінцеві межі та послідовностей і . І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .
Що стосується приватного передбачається, що з усіх n .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостейнаведено на сторінці
Арифметичні властивості кінцевих меж послідовностей >>>.

Властивості, пов'язані з нерівностями

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то межа a цієї послідовності задовольняє нерівності .

Якщо елементи послідовності, починаючи з деякого номера, належать замкнутому інтервалу (сегменту) , то межа a також належить цьому інтервалу: .

Якщо і елементи послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то .

Якщо і, починаючи з деякого номера, то .
Зокрема, якщо, починаючи з деякого номера, , то
якщо то ;
якщо то .

Якщо і, то.

Нехай і . Якщо a < b , то знайдеться таке натуральне число N , що всім n > Nвиконується нерівність.

Докази властивостей, пов'язаних із нерівностяминаведено на сторінці
Властивості меж послідовностей, пов'язані з нерівностями >>>.

Нескінченно велика і нескінченно мала послідовності

Нескінченна мала послідовність

Нескінченно мала послідовність - це послідовність, межа якої дорівнює нулю:
.

Сума та різницюКінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Добуток обмеженої послідовностіна нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Добуток кінцевого числаБезмежно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Для того, щоб послідовність мала межу a необхідно і достатньо, щоб , де - нескінченно мала послідовність.

Докази властивостей нескінченно малих послідовностейнаведено на сторінці
Нескінченно малі послідовності - визначення та властивості >>>.

Нескінченно велика послідовність

Нескінченно велика послідовність - це послідовність, що має нескінченно велику межу. Тобто якщо для будь-якого позитивного числа існує таке натуральне число N, що залежить від того, що для всіх натуральних виконується нерівність
.
У цьому випадку пишуть
.
Або при .
Кажуть, що прагне нескінченності.

Якщо, починаючи з деякого номера N, то
.
Якщо ж , то
.

Якщо послідовність є нескінченно великою, то, починаючи з деякого номера N визначена послідовність , яка є нескінченно малою. Якщо є нескінченно малою послідовністю з відмінними від нуля елементами, то послідовність є нескінченно великою.

Якщо послідовність нескінченно більша, а послідовність обмежена, то
.

Якщо абсолютні значення елементів послідовності обмежені знизу позитивним числом (), а - нескінченно мала з нерівними елементами нуля, то
.

Більш детально визначення нескінченно великої послідовності з прикладаминаводиться на сторінці
Визначення нескінченно великої послідовності >>>.
Докази властивостей нескінченно великих послідовностейнаведено на сторінці
Властивості нескінченно великих послідовностей >>>.

Критерії збіжності послідовностей

Монотонні послідовності

Суворо зростаюча послідовність - це послідовність, всім елементів якої виконуються нерівності:
.

Аналогічними нерівностями визначаються інші монотонні послідовності.

Строго спадна послідовність:
.
Неубутня послідовність:
.
Незростаюча послідовність:
.

Звідси випливає, що послідовність, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна послідовність також є незростаючою.

Монотонна послідовність - це незнижуюча або незростаюча послідовність.

Монотонна послідовність обмежена, по крайнього заходу, з одного боку значенням . Незменшуюча послідовність обмежена знизу: . Незростаюча послідовність обмежена зверху: .

Теорема Вейєрштраса. Для того щоб незабутня (незростаюча) послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою зверху (знизу). Тут M - кілька.

Оскільки будь-яка невтратна (незростаюча) послідовність обмежена знизу (зверху), то теорему Вейєрштрасса можна перефразувати таким чином:

Для того, щоб монотонна послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона була обмеженою: .

Монотонна необмежена послідовністьмає нескінченну межу, рівну для незменшуючої і для незростаючої послідовності.

Доказ теореми Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Вейєрштрасса про межі монотонної послідовності >>>.

Критерій Коші збіжності послідовності

Умова Коші
Послідовність задовольняє умові Кошіякщо для будь - якого існує таке натуральне число , що для всіх натуральних чисел n і m , що задовольняють умові , виконується нерівність
.

Фундаментальна послідовність – це послідовність, що задовольняє умові Коші.

Критерій Коші збіжності послідовності. Для того щоб послідовність мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла умові Коші.

Доказ критерію збіжності Кошінаведено на сторінці
Критерій Коші збіжності послідовності >>>.

Підпослідовності

Теорема Больцано - Вейєрштраса. З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити схожу підпослідовність. А з будь-якої необмеженої послідовності - нескінченно велику підпослідовність, що сходить до або до .

Доказ теореми Больцано - Вейєрштрасанаведено на сторінці
Теорема Больцано - Вейєрштрасса >>>.

Визначення, теореми та властивості підпослідовностей та часткових меж розглянуто на сторінці
Підпослідовності та часткові межі послідовностей >>>.

Використана література:
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математичний аналіз. Частина 1. Москва, 1997.
В.А. Ільїн, Е.Г. Позняк. Основи математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2005.

Див. також:

Межа числової послідовності- Межа послідовності елементів числового простору. Числове простір — це метричний простір, відстань у якому визначається як модуль різниці між елементами. Тому число називається межею послідовності, якщо для будь-якого існує номер , який залежить від такої, що для будь-якого виконується нерівність .

Поняття межі послідовності речових чисел формулюється дуже просто, а разі комплексних чисел існування межі послідовності рівносильне існуванню меж відповідних послідовностей речових і уявних елементів комплексних чисел.

Межа (числової послідовності) - одне з основних понять математичного аналізу. Кожне речове число може бути представлене як межа послідовності наближень до потрібного значення. Система числення надає таку послідовність уточнень. Цілі іраціональні числа описуються періодичними послідовностями наближень, тоді як ірраціональні числа описуються неперіодичними послідовностями наближень.

У чисельних методах, де використовується уявлення чисел із кінцевим числом знаків, особливу роль грає вибір системи наближень. Критерієм якості системи наближень є швидкість збіжності. У цьому відношенні виявляються ефективними уявлення чисел у вигляді ланцюгових дробів.

Визначення

Число називається межею числової послідовностіякщо послідовність є нескінченно малою, тобто всі її елементи, починаючи з деякого, за модулем менше будь-якого заздалегідь взятого позитивного числа.

У разі, якщо у числової послідовності існує межа у вигляді речовинного числа, її називають схожій до цього числа. В іншому випадку, послідовність називають розходиться . Якщо ще й вона необмежена, її межа вважають рівним нескінченності.

Крім того, якщо всі елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають позитивний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює плюс нескінченності .

Якщо ж елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають негативний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює мінус нескінченності .

Це визначення має непереборний недолік: воно пояснює, що таке межа, але не дає ні способу його обчислення, ні інформації про його існування. Все це виводиться з доведених нижче властивостей межі.

Сьогодні на уроці ми розберемо суворе визначення послідовностіі суворе визначення межі функції, а також навчимося вирішувати відповідні завдання теоретичного характеру. Стаття призначена, перш за все, для студентів 1-го курсу природничо-інженерно-технічних спеціальностей, які почали вивчати теорію математичного аналізу, і зіткнулися з труднощами в плані розуміння цього розділу вищої математики. Крім того, матеріал цілком доступний і учням старших класів.

За роки існування сайту я отримав недобрий десяток листів приблизно такого змісту: «Погано розумію математичний аналіз, що робити?», «Зовсім не розумію матан, думаю кинути навчання» тощо. І справді, саме матан часто проріджує студентську групу після першої сесії. Чому так справи? Тому що предмет немислимо складний? Зовсім ні! Теорія математичного аналізу не така важка, скільки своєрідна. І її потрібно прийняти і полюбити такою, якою вона є =)

Почнемо з найтяжчого випадку. Перше та головне – не треба кидати навчання. Зрозумійте правильно, кинути, воно завжди встигнеться;-) Безумовно, якщо через рік-два від обраної спеціальності нудитиме, тоді так – слід задуматися (А не пороти гарячку!)про зміну діяльності. Але поки що варто продовжити. І, будь ласка, забудьте фразу «Нічого не розумію» – так не буває, щоб ЗОВСІМ нічого не розуміти.

Що робити, якщо з теорією погано? Це, до речі, стосується як математичного аналізу. Якщо з теорією погано, то спочатку потрібно СЕРЙОЗНО налягти на практику. При цьому вирішуються одразу два стратегічні завдання:

- По-перше, значна частка теоретичних знань з'явилася завдяки практиці. І тому багато людей розуміють теорію через ... - Все вірно! Ні-ні, ви не про те подумали =)

– І, по-друге, практичні навички з великою ймовірністю «витягнуть» вас на іспиті, навіть якщо… але не будемо так налаштовуватися! Все реально і все реально підняти в досить короткі терміни. Математичний аналіз – це мій улюблений розділ вищої математики, і тому я просто не міг не протягти вам ноги руку допомоги:

На початку 1-го семестру зазвичай проходять межі послідовностей та межі функцій. Чи не розумієте, що це таке і не знаєте, як їх вирішувати? Почніть зі статті Межі функцій, у якій «на пальцях» розглянуто саме поняття та розібрано найпростіші приклади. Далі пропрацюйте інші уроки з теми, у тому числі межах послідовностей, На якому я фактично вже сформулював суворе визначення.

Які значки крім знаків нерівностей та модуля ви знаєте?

- Довга вертикальна палиця читається так: «таке, що», «така, що», «такі, що» або «такі, що», у нашому випадку, очевидно, йдеться про номер – тому «такий, що»;

– для всіх «ен», більших за ;

– знак модуля означає відстань, тобто. цей запис повідомляє нам про те, що відстань між значеннями менша за епсілон.

Ну як, вбивчо складно? =)

Після освоєння практики чекаю на вас у наступному параграфі:

І справді, трохи поміркуємо – як сформулювати суворе визначення послідовності? …Перше, що спадає на думку у світлі практичного заняття: «межа послідовності – це число, якого нескінченно близько наближаються члени послідовності».

Добре, розпишемо послідовність :

Неважко вловити, що підпослідовність нескінченно близько наближаються до –1, а члени з парними номерами - До «одиниці».

А може бути межі дві? Але тоді чому в якійсь послідовності їх не може бути десять чи двадцять? Так можна зайти далеко. У зв'язку з цим логічно вважати, що якщо у послідовності існує межа, то вона єдина.

Примітка : у послідовності немає межі, проте з неї можна виділити дві підпослідовності (див. вище), у кожної з яких існує своя межа.

Таким чином, висловлене вище визначення виявляється неспроможним. Так, воно працює для випадків на кшталт (Чим я не зовсім коректно користувався у спрощених поясненнях практичних прикладів), Але тепер нам необхідно знайти суворе визначення.

Спроба друга: «межа послідовності - це число, до якого наближаються ВСІ члени послідовності, за винятком, хіба що їх кінцевогокількості». Це вже ближче до істини, але все одно не зовсім точно. Так, наприклад, у послідовності половина членів зовсім не наближається до нуля - вони йому просто рівні =) До речі, «мигалка» взагалі набуває двох фіксованих значення.

Формулювання неважко уточнити, але тоді виникає інше питання: як записати визначення в математичних знаках? Науковий світ довго бився над цією проблемою, доки ситуацію не вирішив відомий маестрощо, по суті, і оформив класичний матаналіз у всій його строгості. Коші запропонував оперувати околицями чим значно просунув теорію.

Розглянемо деяку точку та її довільну-околиця:

Значення «епсілон» завжди позитивне, і, більше, ми маємо право вибрати його самостійно. Припустимо, що в даній околиці знаходиться багато членів (Не обов'язково все)деякої послідовності. Як записати той факт, що, наприклад, десятий член потрапив в околицю? Нехай він знаходиться у правій її частині. Тоді відстань між точками і має бути меншою за «епсілон»: . Однак якщо «ікс десяте» розташоване ліворуч від точки «а», то різниця буде негативна, і тому до неї потрібно додати знак модуля: .

Визначення: число називається межею послідовності, якщо для будь-якоїйого околиці (заздалегідь обраною)існує натуральний номер - ТАКИЙ, що УСЕчлени послідовності з більшими номерами виявляться всередині околиці:

Або коротше: якщо

Іншими словами, яке б мале значення «епсілон» ми не взяли, рано чи пізно «нескінченний хвіст» послідовності ПОВНІСТТЮ опиниться в цьому околиці.

Так, наприклад, "нескінченний хвіст" послідовності ПОВНІСТТЮ зайде в будь-яку скільки завгодно малу - околицю точки. Таким чином, це значення є межею послідовності визначення. Нагадую, що послідовність, межа якої дорівнює нулю, називають нескінченно малої.

Слід зазначити, що з послідовності не можна сказати «нескінченний хвіст зайде» - Члени з непарними номерами за фактом рівні нулю і «нікуди не заходять» =) Саме тому у визначенні використано дієслово «виявляться». І, певна річ, члени такої послідовності, як теж «нікуди не йдуть». До речі, перевірте, чи буде її числом межею.

Тепер покажемо, що послідовність не має межі. Розглянемо, наприклад, околицю точки. Цілком зрозуміло, що немає такого номера, після якого всі члени опиняться в даній околиці – непарні члени завжди «вискакуватимуть» до «мінус одиниці». З аналогічної причини немає межі й у точці.

Закріпимо матеріал практикою:

Приклад 1

Довести що межа послідовності дорівнює нулю. Вказати номер, після якого, всі члени послідовності гарантовано виявляться всередині будь-якої скільки завгодно малої околиці точки.

Примітка : у багатьох послідовностей шуканий натуральний номер залежить від значення - звідси і позначення.

Рішення: розглянемо довільну чи знайдетьсяномер – такий, що ВСІ члени з більшими номерами виявляться всередині цієї околиці:

Щоб показати існування шуканого номера, виразимо через.

Оскільки за будь-якого значення «ен» , то знак модуля можна прибрати:

Використовуємо «шкільні» дії з нерівностями, які я повторював під час уроків Лінійні нерівностіі Область визначення функції. При цьому важливою обставиною є те, що «епсілон» та «ен» позитивні:

Оскільки зліва йдеться про натуральні номери, а права частина в загальному випадку дробова, то її потрібно округлити:

Примітка : іноді для перестрахування праворуч додають одиницю, але насправді це надмірність. Умовно кажучи, якщо і ми послабимо результат округленням у меншу сторону, то найближчий відповідний номер («трійка») все одно задовольнятиме початкову нерівність.

А тепер дивимося на нерівність та згадуємо, що спочатку ми розглядали довільну-околиця, тобто. «епсілон» може бути рівним будь-комупозитивного числа.

Висновок: для будь-якої скільки завгодно малої -околиці точки знайшлося значення . Таким чином, число є межею послідовності визначення. Що й потрібно було довести.

До речі, з отриманого результату добре проглядається природна закономірність: що менше -околиця – то більше вписувалося номер , після якого ВСІ члени послідовності опиняться у цій околиці. Але хоч би яким малим «епсілон» – усередині завжди буде «нескінченний хвіст», а зовні – нехай навіть велике, проте кінцевеЧисло членів.

Як враження? =) Згоден, що дивно. Але ж суворо!Будь ласка, перечитайте та осмисліть ще раз.

Розглянемо аналогічний приклад та познайомимося з іншими технічними прийомами:

Приклад 2

Рішення: за визначенням послідовності потрібно довести, що (Промовляємо вголос!).

Розглянемо довільну-околиця точки і перевіримо, чи існуєнатуральний номер – такий, що для всіх великих номерів виконана нерівність:

Щоб показати існування такого, потрібно висловити "ен" через "епсілон". Спрощуємо вираз під знаком модуля:

Модуль знищує знак "мінус":

Знаменник позитивний при будь-якому «ен», отже, ціпки можна прибрати:

Перетасування:

Тепер треба б витягти квадратний корінь, але загвоздка полягає в тому, що за деяких «епсілон» права частина буде негативною. Щоб уникнути цієї неприємності посилимонерівність модулем:

Чому це можна зробити? Якщо, умовно кажучи, виявиться, що , то буде виконано і умова . Модуль може тільки збільшитирозшукуваний номер, і це нас теж влаштує! Грубо кажучи, якщо підходить сотий, то підійде і двохсот! Відповідно до визначення, потрібно показати сам факт існування номера(хоча якогось), після якого всі члени послідовності опиняться в околиці. До речі, саме тому нам не страшне фінальне округлення правої частини в більшу сторону.

Вилучаємо корінь:

І округляємо результат:

Висновок: т.к. значення «епсілон» вибиралося довільно, то для будь-якої скільки завгодно малої околиці точки знайшлося значення , таке, що для всіх великих номерів виконано нерівність . Таким чином, за визначенням. Що й потрібно було довести.

Раджу особливоРозібратися у посиленні та ослабленні нерівностей – це типові та дуже поширені прийоми математичного аналізу. Єдине, слід стежити за коректністю тієї чи іншої дії. Так, наприклад, нерівність ні в якому разі не можна послаблювати, віднімаючи, скажімо, одиницю:

Знову ж таки умовно: якщо номер точно підійде, то попередній може вже й не підійти.

Наступний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 3

Використовуючи визначення послідовності, довести, що

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Якщо послідовність нескінченно великато визначення межі формулюється схожим чином: точка називається межею послідовності, якщо для будь-якого, скільки завгодно великогочисла існує номер , такий, що для всіх великих номерів буде виконано нерівність . Число називають околицею точки «плюс нескінченність»:

Іншими словами, яке б велике значення ми не взяли, «нескінченний хвіст» послідовності обов'язково зайде в околицю точки, залишивши зліва лише кінцеве число членів.

Черговий приклад:

І скорочений запис: , якщо

Для випадку запишіть визначення самостійно. Правильна версія наприкінці уроку.

Після того, як ви набили руку на практичних прикладах і розібралися з визначенням межі послідовності, можна звернутися до літератури з математичного аналізу та/або свого зошита з лекціями. Рекомендую закачати 1-й том Бохана (простіше – для заочників)та Фіхтенгольця (Детальніше і докладніше). З інших авторів раджу Піскунова, курс якого орієнтований на технічні вищі навчальні заклади.

Спробуйте сумлінно вивчити теореми, що стосуються межі послідовності, їх підтвердження, наслідки. Спочатку теорія може здаватися «каламутною», але це нормально – просто потрібно звикнути. І багато хто навіть увійдуть у смак!

Суворе визначення межі функції

Почнемо з того самого – як сформулювати це поняття? Словесне визначення межі функції формулюється значно простіше: «число є межею функції, якщо при «ікс», що прагне (і ліворуч, і праворуч), відповідні значення функції прагнуть до » (Див. креслення). Все начебто нормально, але словами словами, сенс змістом, значок значком, а строгих математичних позначень замало. І в другому параграфі ми познайомимося з двома підходами до вирішення цього питання.

Нехай функція визначена на деякому проміжку, за винятком, можливо, точки . У навчальній літературі вважають, що функція там невизначено:

Такий вибір наголошує суть межі функції: «ікс» нескінченно близьконаближається до , і відповідні значення функції – нескінченно близькодо. Іншими словами, поняття межі має на увазі не «точний захід» у крапки, а саме нескінченно близьке наближення, при цьому не важливо – чи визначена функція у точці чи ні.

Перше визначення межі функції, що не дивно, формулюється за допомогою двох послідовностей. По-перше, поняття споріднені, і, по-друге, межі функцій зазвичай вивчають після меж послідовностей.

Розглянемо послідовність точок (на кресленні відсутні), що належать проміжку та відмінних від, яка сходитьсядо. Тоді відповідні значення функції також утворюють числову послідовність, члени якої розташовуються на осі ординат.

Межа функції по Гейні для будь-якоїпослідовності точок (належних та відмінних від ), яка сходить до точки , відповідна послідовність значень функції сходить до .

Едуард Ґейне – це німецький математик. …І не треба тут нічого такого думати, гей у Європі лише один – це Гей-Люссак =)

Друге визначення межі спорудив… так-так, ви маєте рацію. Але спочатку розберемося у його конструкції. Розглянемо довільну околицю точки («чорна» околиця). За мотивами попереднього параграфа запис означає, що деяке значенняФункція знаходиться всередині «епсілон»-околиці.

Тепер знайдемо -околиця, яка відповідає заданому -околиці (подумки проводимо чорні пунктирні лінії зліва направо і потім зверху донизу). Зверніть увагу, що значення вибирається по довжині меншого відрізка, у разі – по довжині більш короткого лівого відрізка. Більше того, «малинову» -околицю точки можна навіть зменшити, оскільки в наведеному нижче визначенні важливий сам факт існуванняцієї околиці. І, аналогічно, запис означає, що деяке значення знаходиться усередині «дельта»-околиці.

Межа функції по Коші: число називається межею функції у точці , якщо для будь-якої заздалегідь обраноюоколиці (скільки завгодно малої), існує-околиця точки, ТАКА, що: ЯК ТІЛЬКИ значення (належні)входять у цю околицю: (червоні стрілки)- ТАК ВІДРАЗУ відповідні значення функції гарантовано зайдуть в околицю: (сині стрілки).

Повинен попередити, що з метою більшої зрозумілості я трохи симпровізував, тому не зловживайте =)

Короткий запис: якщо

У чому суть визначення? Образно кажучи, нескінченно зменшуючи околиця, ми «супроводжуємо» значення функції до своєї межі, не залишаючи їм альтернативи наближатися кудись ще. Досить незвично, але знову ж таки суворо! Щоб як слід перейнятися ідеєю, перечитайте формулювання ще раз.

! Увага: якщо вам потрібно сформулювати тільки визначення по Гейнічи тільки визначення по Коші, будь ласка, не забувайте про суттєвомупопередній коментар: "Розглянемо функцію , яка визначена на деякому проміжку за винятком, можливо, точки". Я позначив це одного разу на самому початку і щоразу не повторював.

Відповідно до відповідної теореми математичного аналізу, визначення по Гейні та Коші еквівалентні, проте найбільш відомий другий варіант (ще б!), Який також називають «межа мовою »:

Приклад 4

Використовуючи визначення межі, довести, що

Рішення: функція визначена на всій числовій прямій крім точки. Використовуючи визначення , доведемо існування межі у цій точці.

Примітка : величина «дельта»-околиці залежить від «епсілон», звідси та позначення

Розглянемо довільну-Околиця. Завдання полягає в тому, щоб за цим значенням перевірити, чи існує-околиця, ТАКА, що з нерівності слідує нерівність .

Припускаючи, що , перетворимо останню нерівність:
(розклали квадратний тричлен)

Математика - наука, яка будує світ. Як вчений, так і проста людина - ніхто не зможе обійтися без неї. Спочатку маленьких дітей вчать рахувати, потім складати, віднімати, множити і ділити, до середньої школи в хід вступають літерні позначення, а старшій без них вже не обійтися.

Але сьогодні йтиметься про те, на чому будується вся відома математика. Про угруповання чисел під назвою «межі послідовностей».

Що таке послідовності і де їхня межа?

Значення слова "послідовність" трактувати неважко. Це така побудова речей, де хтось чи щось розташований у певному порядку чи черзі. Наприклад, черга за квитками до зоопарку — це послідовність. Причому вона може бути лише одна! Якщо, наприклад, подивитися на чергу в магазин, це одна послідовність. А якщо одна людина з цієї черги раптом піде, то це вже інша черга, інша лад.

Слово "межа" також легко трактується - це кінець чогось. Однак у математиці межі послідовностей — це такі значення на числовій прямій, яких прагне послідовність чисел. Чому прагне, а чи не закінчується? Все просто, у числової прямої немає кінця, а більшість послідовностей, як промені, мають тільки початок і виглядають так:

х 1, х 2, х 3, … х n …

Звідси визначення послідовності є функцією натурального аргументу. Простішими словами - це ряд членів деякої множини.

Як будується числова послідовність?

Найпростіший приклад числової послідовності може мати такий вигляд: 1, 2, 3, 4, …n…

Найчастіше для практичних цілей послідовності будуються з цифр, причому кожен наступний член низки, позначимо його Х, має своє ім'я. Наприклад:

х 1 - перший член послідовності;

х 2 - другий член послідовності;

х 3 - третій член;

х n - енний член.

У практичних методах послідовність задається загальною формулою, у якій є певна змінна. Наприклад:

Х n =3n, тоді сам ряд чисел виглядатиме так:

Варто не забувати, що при загальному запису послідовностей можна використовувати будь-які латинські літери, а не лише Х. Наприклад: y, z, k і т.д.

Арифметична прогресія як частина послідовностей

Перш ніж шукати межі послідовностей, доцільно глибше поринути у саме поняття подібного числового ряду, з яким усі стикалися, будучи середніх класах. Арифметична прогресія — це ряд чисел, у яких різниця між сусідніми членами стала.

Завдання: «Нехай а 1 = 15, а крок прогресії числового низки d=4. Побудуйте перші 4 члени цього ряду»

Рішення: а 1 = 15 (за умовою) – перший член прогресії (числового ряду).

а 2 = 15 + 4 = 19 - другий член прогресії.

а 3 = 19 + 4 = 23 - третій член.

а 4 = 23 +4 = 27 - четвертий член.

Однак подібним методом важко дістатися великих значень, наприклад до а 125. . Спеціально для таких випадків було виведено зручну для практики формулу: а n =a 1 +d(n-1). У разі а 125 =15+4(125-1)=511.

Види послідовностей

Більшість послідовностей нескінченні, це варто запам'ятати протягом усього життя. Існує два цікаві види числового ряду. Перший задається формулою а n = (-1) n. Математики часто називають цю послідовність мигалкою. Чому? Перевіримо її числовий ряд.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 і т. д. На подібному прикладі стає ясно, що числа в послідовностях можуть легко повторюватися.

Факторіальна послідовність. Легко здогадатися - у формулі, що задає послідовність, є факторіал. Наприклад: а n = (n+1)!

Тоді послідовність буде виглядати так:

а 2 = 1х2х3 = 6;

а 3 = 1х2х3х4 = 24 і т.д.

Послідовність, задана арифметичною прогресією, називається нескінченно спадною, якщо всім її членів дотримується нерівність -1

а 3 = - 1/8 тощо.

Існує навіть послідовність, що складається з одного й того ж числа. Так, а n = 6 складається з нескінченної множини шісток.

Визначення межі послідовності

Межі послідовностей давно існують у математиці. Звичайно, вони заслужили на своє власне грамотне оформлення. Отже, час дізнатися про визначення меж послідовностей. Для початку докладно розглянемо межу для лінійної функції:

Усі межі позначаються скорочено lim.
Запис межі складається із скорочення lim, будь-якої змінної, що прагне до певного числа, нуля або нескінченності, а також із самої функції.

Легко зрозуміти, що визначення межі послідовності може бути сформульовано так: це деяке число, до якого нескінченно наближаються всі члени послідовності. Простий приклад: x = 4x+1. Тоді сама послідовність буде виглядати так.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Таким чином, дана послідовність нескінченно збільшуватиметься, а, значить, її межа дорівнює нескінченності при x→∞, і записувати це слід так:

Якщо ж взяти схожу послідовність, але їх буде прагнути до 1, то отримаємо:

А ряд чисел буде таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 і т. д. Щоразу потрібно підставляти число дедалі більше наближене до одиниці (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). З цього ряду видно, що межа функції це п'ять.

З цієї частини варто запам'ятати, що така межа числової послідовності, визначення та метод вирішення простих завдань.

Загальне позначення межі послідовностей

Розібравши межу числової послідовності, визначення його та приклади, можна приступити до складнішої теми. Абсолютно всі межі послідовностей можна сформулювати однією формулою, яку зазвичай розбирають у першому семестрі.

Отже, що означає цей набір букв, модулів і знаків нерівностей?

∀ — квантор загальності, який замінює фрази для всіх, для всього і т.п.

∃ — квантор існування, у разі означає, що існує деяке значення N, що належить безлічі натуральних чисел.

Довга вертикальна паличка, що йде за N, означає, що це безліч N «таке, що». Насправді вона може означати «така, що», «такі, що» тощо.

Для закріплення матеріалу прочитайте формулу вголос.

Невизначеність та визначеність межі

Метод знаходження межі послідовностей, який розглядався вище, нехай і простий у застосуванні, але не такий раціональний на практиці. Спробуйте знайти межу для такої функції:

Якщо підставляти різні значення «ікс» (з кожним разом збільшуються: 10, 100, 1000 і т. д.), то в чисельнику отримаємо ∞, але у знаменнику теж ∞. Виходить досить дивний дріб:

Але чи це так насправді? Обчислити межу числової послідовності у разі здається досить легко. Можна було б залишити все, як є, адже відповідь готова, і отримана вона на розумних умовах, однак є ще один спосіб спеціально для таких випадків.

Для початку знайдемо старший ступінь у чисельнику дробу - це 1, тому що х можна уявити як х 1 .

Тепер знайдемо старший ступінь у знаменнику. Теж 1.

Поділимо і чисельник, і знаменник на змінну найвищою мірою. У разі дроб ділимо на х 1 .

Далі знайдемо, якого значення прагне кожне доданок, що містить змінну. У разі розглядаються дроби. При х→∞ значення кожного дробу прагне нуля. При оформленні роботи в письмовому вигляді варто зробити такі виноски:

Виходить наступний вираз:

Звичайно, дроби, що містять х, не стали нулями! Але їх значення настільки мало, що можна не враховувати його при розрахунках. Насправді ж х ніколи не буде рівним 0 в даному випадку, адже на нуль ділити не можна.

Що таке околиця?

Припустимо, у розпорядженні професора складна послідовність, задана, очевидно, щонайменше складною формулою. Професор знайшов відповідь, але чи він підходить? Адже всі люди помиляються.

Огюст Коші свого часу вигадав відмінний спосіб для доведення меж послідовностей. Його спосіб назвали оперуванням околицями.

Припустимо, що є деяка точка а, її околиця в обидві сторони на числовій прямій дорівнює ε («епсілон»). Оскільки остання змінна — відстань, її значення завжди позитивно.

Тепер поставимо деяку послідовність х n і покладемо, що десятий член послідовності (x 10) входить в околицю а. Як записати цей факт математичною мовою?

Припустимо, х 10 знаходиться правіше від точки а тоді відстань х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Тепер настав час роз'яснити практично ту формулу, про яку йшлося вище. Деяке число а справедливо називати кінцевою точкою послідовності, якщо для будь-якої її межі виконується нерівність ε>0, причому вся околиця має свій натуральний номер N, такий, що всі члени послідовності з більш значними номерами виявляться всередині послідовності | x n - a |< ε.

З такими знаннями легко здійснити вирішення меж послідовності, довести чи спростувати готову відповідь.

Теореми

Теореми про межі послідовностей - важлива складова теорії, без якої неможлива практика. Є лише чотири головні теореми, запам'ятавши які, можна в рази полегшити хід рішення чи докази:

Єдиність межі послідовності. Межа в будь-якій послідовності може бути тільки одна або не бути зовсім. Той самий приклад із чергою, у якої може бути лише один кінець.
Якщо ряд чисел має межу, то послідовність цих чисел обмежена.
Межа суми (різниці, твори) послідовностей дорівнює сумі (різниці, твору) їх меж.
Межа приватного від розподілу двох послідовностей дорівнює приватній межі тоді і тільки тоді, коли знаменник не звертається в нуль.

Доказ послідовностей

Іноді потрібно вирішити обернену задачу, довести задану межу числової послідовності. Розглянемо з прикладу.

Довести, що межа послідовності, заданої формулою, дорівнює нулю.

За розглянутим вище правилом, для будь-якої послідовності має виконуватися нерівність | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Виразимо n через «епсілон», щоб показати існування якогось номера та довести наявність межі послідовності.

На цьому етапі важливо нагадати, що «епсілон» та «ен» - числа позитивні і не дорівнюють нулю. Тепер можна продовжувати подальші перетворення, використовуючи знання про нерівності, отримані у середній школі.

Звідки виходить, що n> -3 + 1/ε. Оскільки варто пам'ятати, що йдеться про натуральні числа, то результат можна округлити, занісши його у квадратні дужки. Таким чином, було доведено, що для будь-якого значення околиці «епсілон» точки а=0 знайшлося таке, що виконується початкова нерівність. Звідси можна сміливо стверджувати, що число є межа заданої послідовності. Що й потрібно було довести.

Ось таким зручним методом можна довести межу числової послідовності, якою б складною вона на перший погляд не була. Головне — не впадати в паніку, побачивши завдання.

А може, його нема?

Існування межі послідовності необов'язково практично. Легко можна зустріти такі ряди чисел, які справді не мають кінця. Наприклад, та сама «мигалка» x n = (-1) n . Зрозуміло, що послідовність, що складається лише з двох цифр, циклічно повторюваних, неспроможна мати межі.

Та сама історія повторюється з послідовностями, що складаються з одного числа, дробовими, що мають у ході обчислень невизначеність будь-якого порядку (0/0, ∞/∞, ∞/0 тощо). Проте слід пам'ятати, що неправильне обчислення теж має місце. Іноді межа послідовностей визначити допоможе повторна перевірка свого рішення.

Монотонна послідовність

Вище розглядалися кілька прикладів послідовностей, методи їх вирішення, а тепер спробуємо взяти певніший випадок і назвемо його «монотонною послідовністю».

Визначення: будь-яку послідовність справедливо називати монотонно зростаючою, якщо для неї виконується сувора нерівність x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n+1.

Поряд із цими двома умовами існують також подібні несуворі нерівності. Відповідно, x n ≤ x n +1 (неубутня послідовність) і x n ≥ x n +1 (незростаюча послідовність).

Але легше розуміти таке на прикладах.

Послідовність, задана формулою х n = 2+n, утворює наступний ряд чисел: 4, 5, 6 тощо. буд. Це монотонно зростаюча послідовність.

А якщо взяти x n =1/n, то отримаємо ряд: 1/3, ¼, 1/5 і т. д. Це монотонно спадна послідовність.

Межа схожої та обмеженої послідовності

Обмежена послідовність - послідовність, що має межу. Сходящаяся послідовність — ряд чисел, що має нескінченно малу межу.

Таким чином, межа обмеженої послідовності – це будь-яке дійсне чи комплексне число. Пам'ятайте, що межа може бути лише одна.

Межа послідовності, що збігається - це величина нескінченно мала (дійсна або комплексна). Якщо накреслити діаграму послідовності, то певній точці вона буде сходитися, прагнути звернутися в певну величину. Звідси і назва - послідовність, що збігається.

Межа монотонної послідовності

Межа такої послідовності може бути, а може і не бути. Спочатку корисно зрозуміти, коли він є, звідси можна відштовхнутися за доказом відсутності межі.

Серед монотонних послідовностей виділяють схожу і розбіжну. Східна - це така послідовність, яка утворена безліччю х і має в даній множині дійсну або комплексну межу. Розбіжна - послідовність, що не має межі у своїй множині (ні дійсної, ні комплексної).

Причому послідовність сходиться, якщо з геометричному зображенні її верхній і нижній межі сходяться.

Межа схожої послідовності в багатьох випадках може дорівнювати нулю, так як будь-яка нескінченно мала послідовність має відому межу (нуль).

Яку послідовність, що сходить, не візьми, всі вони обмежені, проте далеко не всі обмежені послідовності сходяться.

Сума, різницю, добуток двох послідовностей, що сходяться, - також схожа послідовність. Однак приватне може бути також схожим, якщо воно визначено!

Різні дії з межами

Межі послідовностей - це така ж істотна (у більшості випадків) величина, як і цифри та числа: 1, 2, 15, 24, 362 і т. д. Виходить, що з межами можна проводити деякі операції.

По-перше, як і цифри та числа, межі будь-яких послідовностей можна складати та віднімати. Виходячи з третьої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа суми послідовностей дорівнює сумі їх меж.

По-друге, виходячи з четвертої теореми про межі послідовностей, справедливо таку рівність: межа добутку n-ої кількості послідовностей дорівнює добутку їх меж. Те ж справедливо і для розподілу: межа приватного двох послідовностей дорівнює приватному їх меж, за умови що межа не дорівнює нулю. Адже якщо межа послідовностей дорівнюватиме нулю, то вийде поділ на нуль, що неможливо.

Властивості величин послідовностей

Здавалося б, межа числової послідовності вже розібрано досить докладно, проте неодноразово згадуються такі фрази, як «нескінченно маленькі» і «нескінченно великі» числа. Очевидно, якщо є послідовність 1/х, де x→∞, то такий дріб нескінченно малий, а якщо той самий послідовність, але межа прагне нуля (х→0), то дріб стає нескінченно великою величиною. А такі величини мають свої особливості. Властивості межі послідовності, що має будь-які малі або великі величини, полягають у наступному:

Сума будь-якої кількості скільки завгодно малих величин буде також малою величиною.
Сума будь-якої кількості великих величин буде нескінченно великою величиною.
Твір як завгодно малих величин нескінченно мало.
Добуток скільки завгодно великих чисел — величина нескінченно більша.
Якщо вихідна послідовність прагне нескінченно великому числу, то величина, їй зворотна, буде нескінченно малою і йти до нуля.

Насправді обчислити межу послідовності – не така складна задача, якщо знати простий алгоритм. Але межі послідовностей — тема, яка потребує максимуму уваги та усидливості. Звичайно, досить просто вловити суть вирішення подібних виразів. Починаючи з малого, згодом можна досягти великих вершин.