Рівняння гармонійних коливань має вигляд. Гармонічні коливання (рівняння, характеристика, графік)

Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля

Вихрове електричне поле

Із закону Фарадея ξ=dФ/dtвипливає, що будь-якезміна зчепленого з контуром потоку магнітної індукції призводить до виникнення електрорушійної сили індукції і внаслідок цього утворюється індукційний струм. Отже, виникнення е.р.с. електромагнітної індукції можливо і в нерухомому контурі, що знаходиться в змінному магнітному полі. Проте е.р.с. у будь-якому ланцюгу виникає лише тоді, коли в ньому на носії струму діють сторонні сили – сили неелектростатичного походження (див. § 97). Тому постає питання природі сторонніх сил у разі.

Досвід показує, що це сторонні сили пов'язані ні з тепловими, ні з хімічними процесами в контурі; їх виникнення також не можна пояснити силами Лоренца, оскільки вони на нерухомі заряди не діють. Максвел висловив гіпотезу, що всяке змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі електричне поле, яке

і є причиною виникнення індукційного струму у контурі. Згідно з уявленнями Максвелла, контур, у якому з'являється е.р.с., відіграє другорядну роль, будучи свого роду лише «приладом», що виявляє це поле.

перше рівнянняМаксвелла стверджує, що зміни електричного поля породжують вихрове магнітне поле.

Друге рівнянняМаксвелла виражає закон електромагнітної індукції Фарадея: ЕРС у будь-якому замкнутому контурі дорівнює швидкості зміни (тобто похідної за часом) магнітного потоку. Але ЕРС дорівнює дотичній складової вектора напруженості електричного поля Е, помноженої на довжину контуру. Щоб перейти до ротора, як і в першому рівнянні Максвелла, достатньо розділити ЕРС на площу контуру, а останню спрямувати до нуля, тобто взяти маленький контур, що охоплює точку простору, що розглядається (рис. 9, в). Тоді у правій частині рівняння буде не потік, а магнітна індукція, оскільки потік дорівнює індукції, помноженої площу контуру.
Отже, отримуємо: rotE = - dB/dt.
Таким чином, вихрове електричне поле породжується змінами магнітного, що подано на рис. 9,в і представлено щойно наведеною формулою.
Третє та четверте рівнянняМаксвелла мають справу з зарядами і полями, що їх породжують. Вони засновані на теоремі Гауса, яка стверджує, що потік вектора електричної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює заряду всередині цієї поверхні.

На рівняннях Максвелла заснована ціла наука - електродинаміка, що дозволяє строгими математичними методами розв'язати багато корисних практичних завдань. Можна розрахувати, наприклад, поле випромінювання різних антен як у вільному просторі, так і поблизу Землі поверхні або біля корпусу якого-небудь літального апарату, наприклад, літака або ракети. Електродинаміка дозволяє розрахувати конструкцію хвилеводів та об'ємних резонаторів - пристроїв, що застосовуються на дуже високих частотах сантиметрового та міліметрового діапазонів хвиль, де звичайні лінії передачі та коливальні контури вже непридатні. Без електродинаміки неможливо було б розвиток радіолокації, космічного радіозв'язку, антеної техніки та багатьох інших розділів сучасної радіотехніки.

Струм зміщення

СТРУМ ЗМІШЕННЯ, величина, пропорційна швидкості зміни змінного електричного поля в діелектриці або вакуумі. Назва «струм» пов'язана з тим, що струм зміщення, як і струм провідності, породжує магнітне поле.

При побудові теорії електромагнітного поля Дж. До. Максвелл висунув гіпотезу (згодом підтверджену досвіді) у тому, що магнітне полі створюється як рухом зарядів (струмом провідності, чи навіть струмом), а й будь-яким зміною у часі електричного поля.

Поняття струм зміщення введено Максвеллом для встановлення кількісних співвідношень між електричним полем, що змінюється, і магнітним полем, що викликається ним.

Відповідно до теорії Максвелла, в ланцюзі змінного струму, що містить конденсатор, змінне електричне поле в конденсаторі в кожен момент часу створює таке магнітне поле, яке створював би струм, (названий струмом зміщення), якби він протікав між обкладинками конденсатора. З цього визначення випливає, що J см = J(тобто, чисельні значення щільності струму провідності та щільності струму зсуву рівні), і, отже, лінії щільності струму провідності всередині провідника безперервно переходять у лінії щільності струму зміщення між обкладками конденсатора. Щільність струму усунення j смхарактеризує швидкість зміни електричної індукції Dв часі:

J см = +? D/?t.

Струм усунення не виділяє джоулевої теплоти, його основна фізична властивість - здатність створювати в навколишньому просторі магнітне поле.

Вихрове магнітне поле створюється повним струмом, щільність якого j, Дорівнює сумі щільності струму провідності і струму зміщення? D/? t. Саме тому для величини D/?t і була введена назва струм.

Гармонічним осциляторомназивається система, яка здійснює коливання, що описуються виразом виду d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 або

де дві точки зверху означають дворазове диференціювання за часом. Коливання гармонійного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і є точною або наближеною моделлю в багатьох завданнях класичної та квантової фізики. Як приклади гармонійного осцилятора можуть бути пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, що можна було б елементи контуру вважати лінійними).

Гармонічні коливання

Поряд з поступальними та обертальними рухами тіл у механіці значний інтерес становлять і коливальні рухи. Механічними коливаннями називають рухи тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Закон руху тіла, що здійснює коливання, визначається за допомогою деякої періодичної функції часу x = f (t). Графічне зображення цієї функції дає наочне уявлення про перебіг коливального процесу у часі.

Прикладами простих коливальних систем можуть бути вантаж на пружині або математичний маятник (рис. 2.1.1).

Механічні коливання, як і коливальні процеси будь-якої іншої фізичної природи, можуть бути вільнимиі вимушеними. Вільні коливання здійснюються під дією внутрішніх силсистеми після того, як система була виведена зі стану рівноваги. Коливання вантажу на пружині чи коливання маятника є вільними коливаннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніхперіодично змінюються сил, називаються вимушеними Найпростішим видом коливального процесу є прості гармонійні коливання , які описуються рівнянням

Частота коливань fпоказує, скільки коливань відбувається за 1 с. Одиниця частоти – герц(Гц). Частота коливань fпов'язана з циклічною частотою і періодом коливань Tспіввідношеннями:

дає залежність коливальної величини Sвід часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення входять до рівняння (1) констант Aта j 0); наприклад, положення і швидкість коливальної системи при t = 0.

Складання гармонійних коливань одного напрямку та однакової частоти. Биття

Нехай відбуваються два гармонійні коливання одного напрямку та однакової частоти

Рівняння результуючого коливання матиме вигляд

Впевнімося в цьому, склавши рівняння системи (4.1)

Застосувавши теорему косінусів суми і зробивши перетворення алгебри:

Можна знайти такі величини А і ?0, щоб задовольнялися рівняння

Розглядаючи (4.3) як два рівняння з двома невідомими А та φ0, знайдемо, звівши їх у квадрат і склавши, а потім розділивши друге на перше:

Підставляючи (4.3) до (4.2), отримаємо:

Або остаточно, використовуючи теорему косінусів суми, маємо:

Тіло, беручи участь у двох гармонійних коливаннях одного напрямку і однакової частоти, здійснює також гармонійне коливання в тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і коливання, що складаються. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз (φ2-φ1) коливань, що згладжуються.

Залежно від різниці фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тоді A= А1+А2, тобто амплітуда результуючого коливання А дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тоді A= |А1-А2|, тобто амплітуда результуючого коливання дорівнює різниці амплітуд коливань, що складаються

Періодичні зміни амплітуди коливання, що виникають при складанні двох гармонійних коливань із близькими частотами, називаються биттям.

Нехай два коливання мало відрізняються за частотою. Тоді амплітуди коливань, що складаються, рівні А, а частоти рівні ω і ω+Δω, причому Δω набагато менше ω. Початок відліку виберемо так, щоб початкові фази обох коливань дорівнювали нулю:

Вирішимо систему

Рішення системи:

Результуюче коливання можна розглядати як гармонійне із частотою ω, амплітуда А, якого змінюється за наступним періодичним законом:

Частота зміни А в два рази більша за частоту зміни косинуса. Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що складаються: ωб = Δω

Період биття:

Визначення частоти тону (звуку певної висоти биття еталонним і коливаннями, що вимірюються - найбільш широко застосовується на метод порівняння вимірюваної величини з еталонною. Метод биття використовується для налаштування музичних інструментів, аналізу слуху і т. д.).

Подібна інформація.

Коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються (при періодичному надходженні енергії ззовні до коливальної системи)

Перетворення енергії

Пружинний маятник

Циклічна частота та період коливань рівні, відповідно:

Матеріальна точка, закріплена на абсолютно пружній пружині

Ø графік залежності потенційної та кінетичної енергії пружинного маятника від координати х.

Ø якісні графіки залежностей кінетичної та потенційної енергії від часу.

Ø Вимушені

Ø Частота вимушених коливань дорівнює частоті зміни зовнішньої сили

Ø Якщо Fbc змінюється згідно із законом синуса чи косинуса, то вимушені коливання будуть гармонійними

Ø При автоколиваннях необхідно періодичне надходження енергії від власного джерела всередині коливальної системи

Гармонічні коливання – це коливання, у яких коливається величина змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса

рівняння гармонійних коливань (закони руху точок) мають вигляд

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за закономсинуса абокосинуса .
Рівняння гармонійних коливань має вигляд:

,
де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійнаφ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.
Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косинус - періодична функція з періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.
Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.
Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.
Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. малюнок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовою швидкістю , що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.
Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напрямку від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.

Рівняння гармонійного коливання

Рівняння гармонійного коливання встановлює залежність координати тіла від часу

Графік косинуса на початковий момент має максимальне значення, а графік синуса має у початковий момент нульове значення. Якщо коливання починаємо досліджувати із положення рівноваги, то коливання повторюватиме синусоїду. Якщо коливання починаємо розглядати з максимального відхилення, то коливання опише косинус. Або таке коливання можна описати формулою синуса з початковою фазою.

Зміна швидкості та прискорення при гармонійному коливанні

Не лише координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса. Але такі величини, як сила , швидкість і прискорення , теж змінюються аналогічно. Сила і прискорення максимальні, коли тіло, що коливається, знаходиться в крайніх положеннях, де зсув максимально, і рівні нулю, коли тіло проходить через положення рівноваги. Швидкість, навпаки, у крайніх положеннях дорівнює нулю, а при проходженні тілом положення рівноваги досягає максимального значення.

Якщо коливання описувати згідно із законом косинуса

Якщо коливання описувати згідно із законом синуса

Максимальні значення швидкості та прискорення

Проаналізувавши рівняння залежності v(t) і a(t), можна здогадатися, що максимальні значення швидкість і прискорення набувають у тому випадку, коли тригонометричний множник дорівнює 1 або -1. Визначаються за формулою

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса. Наприклад, гармонійно коливається величина, що змінюється у часі таким чином:

де х - значення величини, що змінюється, t - час, інші параметри - постійні: А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота коливань, - повна фаза коливань, - початкова фаза коливань.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

(Будь-яке нетривіальне рішення цього диференціального рівняння - є гармонійне коливання з циклічною частотою)

Види коливань

Вільні коливання відбуваються під впливом внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги. Щоб вільні коливання були гармонійними, необхідно, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху) і в ній була відсутня диссипація енергії (остання викликала б згасання).

Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Щоб вони були гармонійними, достатньо, щоб коливальна система була лінійною (описувалася лінійними рівняннями руху), а зовнішня сила сама змінювалася згодом як гармонійне коливання (тобто щоб залежність від часу цієї сили була синусоїдальною).

Рівняння гармонійних коливань

Рівняння (1)

дає залежність коливається величини S від часу t; це і є рівняння вільних гармонійних коливань у явному вигляді. Проте зазвичай під рівнянням коливань розуміють інший запис цього рівняння, у диференційній формі. Візьмемо для певності рівняння (1) у вигляді

двічі продиференціюємо його за часом:

Видно, що виконується таке співвідношення:

яке і називається рівнянням вільних гармонійних коливань (у диференційній формі). Рівняння (1) є розв'язком диференціального рівняння (2). Оскільки рівняння (2) - диференціальне рівняння другого порядку, необхідні дві початкові умови для отримання повного рішення (тобто визначення констант A і  , що входять до рівняння (1)); наприклад, положення та швидкість коливальної системи при t = 0.

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, що знаходиться на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в однорідному полі сил тяжіння. Період малих власних коливань математичного маятника довжини l нерухомо підвішеного в однорідному полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і не залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що представляє собою тверде тіло, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної до напряму дії сил і не проходить через центр мас цього тіла.

Найпростішим видом коливань є гармонійні коливання- коливання, у яких зміщення точки від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса чи косинуса.

Так, при рівномірному обертанні кульки по колу його проекція (тінь у паралельних променях світла) здійснює на вертикальному екрані (рис. 1) гармонійний коливальний рух.

Усунення положення рівноваги при гармонійних коливаннях описується рівнянням (його називають кінематичним законом гармонійного руху) виду:

де х - змішання - величина, що характеризує положення коливається точки в момент часу t щодо положення рівноваги і вимірювана відстанню від положення рівноваги до положення точки в заданий момент часу; А - амплітуда коливань - максимальне усунення тіла з положення рівноваги; Т – період коливань – час здійснення одного повного коливання; тобто. найменший проміжок часу, після якого повторюються значення фізичних величин, що характеризують коливання; - Початкова фаза;

Фаза коливання на момент часу t. Фаза коливань - це аргумент періодичної функції, який за заданої амплітуді коливань визначає стан коливальної системи (зміщення, швидкість, прискорення) тіла у час.

Якщо в початковий момент часу точка, що коливається, максимально зміщена від положення рівноваги, то , а зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Якщо точка, що коливається при перебуває в положенні стійкої рівноваги, то зміщення точки від положення рівноваги змінюється за законом

Величину V, зворотну періоду і рівну числу повних коливань, що здійснюються за 1 с, називають частотою коливань:

Якщо за час t тіло здійснює N повних коливань, то

Величину , Що показує, скільки коливань робить тіло за с, називають циклічною (круговою) частотою.

Кінематичний закон гармонійного руху можна записати у вигляді:

Графічно залежність зміщення точки, що коливається, від часу зображується косінусоїдою (або синусоїдою).

На малюнку 2, а представлений графік залежності від часу зміщення точки, що коливається від положення рівноваги для випадку .

З'ясуємо, як змінюється швидкість точки, що коливається, з часом. Для цього знайдемо похідну часу від цього виразу:

де - Амплітуда проекції швидкості на вісь х.

Ця формула показує, що при гармонійних коливаннях проекція швидкості тіла на вісь х змінюється теж за гармонічним законом з тією ж частотою, з іншою амплітудою і випереджає по фазі змішування (рис. 2, б).

Для з'ясування залежності прискорення знайдемо похідну часу від проекції швидкості:

де - Амплітуда проекції прискорення на вісь х.

При гармонійних коливаннях проекція прискорення випереджає зміщення фазою на к (рис. 2, в).

Аналогічно можна побудувати графіки залежностей