Бісектриси трикутника. Узагальнюючий урок "теореми менела і чеви" Розв'язання задач – практикум

• повторити та узагальнити вивчені теореми;
• розглянути їх застосування під час вирішення низки задач;
• підготовка учнів до вступних іспитів до ВНЗ;
• виховувати естетичне виконання креслень до завдань.

Обладнання: проектор мультимедійний. Додаток 1 .

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання:

• підтвердження теорем – 2 учнів + 2 уч-ся – консультанти (перевіряючі);
• вирішення домашніх завдань – 3 учнів;
• робота з класом – усне вирішення завдань:

Точка С 1 ділить сторону АВ трикутника АВС щодо 2: 1. точка В 1 лежить на продовженні сторони АС за точку С і АС = СВ 1 . У якому відношенні поділяє пряма В 1 С 1 сторону ЗС? (На слайді 2).

Рішення: За умовивикористовуючи теорему Менелая, знаходимо: .

У трикутнику АВС АD – медіана, точка О – середина медіани. Пряма ВО перетинає бік АС у точці До.

У якому відношенні точка К поділяє АС, рахуючи від точки А? (На слайді 3).

Рішення:Нехай ВD = DС = а, АТ = ОD = m. Пряма ВК перетинає дві сторони та продовження третьої сторони трикутника АDС. Теорема Менелая .

У трикутнику АВС за ВС взято точка N отже NС = 3ВN; на продовженні сторони АС за точку А взято точку М так, що МА = АС. Пряма МN перетинає сторону АВ у точці F. Знайдіть відношення. (На слайді 4).

Рішення: За умовою задачі МА = АС, NС = 3 ВN. Нехай МА=АС=b, BN=k, NC=3k. Пряма МN перетинає дві сторони трикутника АВС та продовження третьої. Теорема Менелая

На боці PQ трикутника PQR взято точку N, але в боці РR – точка L, причому NQ = LR. Точка перетину відрізків QL і NR ділить QR щодо m: n, рахуючи від точки Q. Знайдіть PN: PR. (На слайді 5).

Рішення: За умовою NQ = LR, . Нехай NA = LR = a, QF = km, LF = kn. Пряма NR перетинає дві сторони трикутника PQL та продовження третьої. Теорема Менелая

3. Відпрацювання практичних навичок.

1. Розв'язання задач:

Доведіть теорему: Медіани трикутника перетинаються в одній точці; точка перетину ділить кожну їх щодо 2: 1, рахуючи від вершини. (Малюнок 1 слайд 6).

Доказ: Нехай АМ 1 , ВМ 2 СМ 3 - медіани трикутника АВС. Щоб довести, що ці відрізки перетинаються в одній точці, достатньо показати, що Тоді за теоремою Чеви (зворотної) відрізки АМ 1 ВМ 2 і СМ 3 перетинаються в одній точці. Маємо:

Отже, доведено, що медіани трикутника перетинаються лише у точці.

Нехай О – точка перетину медіан. Пряма М 3 перетинає дві сторони трикутника АВМ 2 і продовження третьої сторони цього трикутника. Теорема Менелая

або .

Розглядаючи теорему Менела для трикутників АМ 1 С і АМ 2 С, ми отримуємо, що

. Теорему доведено.

Доведіть теорему: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.(Малюнок 2 слайд 6).

Доказ: Досить показати, що . Тоді за теоремою Чеви (зворотної) AL 1, BL 2, CL 3 перетинаються в одній точці. За властивістю бісектрис трикутника:

. Перемножуючи почленно отримані рівності, отримуємо: . Отже, для бісектрис трикутника рівність Чеви виконується, отже вони перетинаються в одній точці. Теорему доведено.

Завдання 7

Доведіть теорему: Висоти гострокутного трикутника перетинаються в одній точці.(Малюнок 3 слайд 6).

Доказ: Нехай АН1, АН2, АН3 – висоти трикутника АВС зі сторонами a, b, c. З прямокутних трикутників АВН 2 і ВСН 2 за теоремою Піфагора виразимо, відповідно, квадрат загального катета ВН 2, позначивши АН 2 = х, СП 2 = b - х.

(ВН 2) 2 = з 2 - х 2 і (ВН 2) 2 = а 2 - (b - х) 2 . прирівнюючи праві частини одержаних рівностей, отримуємо з 2 – х 2 = а 2 – (b – х) 2 , звідки х = .

Тоді b -x = b - =.

Отже, АН 2 = СН 2 = .

Аналогічно розмірковуючи для прямокутних трикутників АСН 2 і ВСН 3 , ВАН 1 і САН 1 отримаємо АН 3 = , ВН 3 = і ВН 1 = ,

Для доказу теореми достатньо показати, що . Тоді за теоремою Чеви (зворотної) відрізки АН 1 ВН 2 і СН 3 перетинаються в одній точці. Підставивши в ліву частину рівності виразу довжин відрізків АН 3 ВН 3 ВН 1 СН 1 СН 2 і АН 2 через а, b, с, переконуємося, що рівність Чеви для висот трикутника виконується. Теорему доведено.

Завдання 5 - 7 самостійне рішення 3 учнів. (креслення на екрані).

2. інші:

Доведіть теорему: Якщо в трикутник вписано коло, то відрізки, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику протилежних сторін, перетинаються в одній точці. (На малюнку 4 слайд 6).

Доказ: Нехай А1, В1 і С1 – точки дотику вписаного кола трикутника АВС. Для того, щоб довести, що відрізки АА 1 , ВР 1 і СС 1 перетинаються в одній точці, достатньо показати, що виконується рівність Чви:

. Використовуючи властивість дотичних, проведених з однієї точки, введемо позначення: ВС1 = ВА1 = х, СА1 = СВ1 = у, АВ1 = АС1 = z.

. Рівність Чеви виконується, отже, зазначені відрізки (бісектриси трикутника) перетинаються в одній точці. Цю точку називають точкою Жергона. Теорему доведено.

3. Розбір завдань 5, 6, 7.

Завдання 9

Нехай АD – медіана трикутника АВС. На стороні АD взято точку К так, що АК: КD = 3: 1. Пряма ВК розбиває трикутник АВС на два. Знайдіть відношення площ цих трикутників. (На слайді 7 малюнок 1)

Рішення: Нехай АD = DC = a, KD = m тоді АК = 3m. Нехай Р - точка перетину прямої ВК зі стороною АС. Необхідно знайти ставлення. Оскільки трикутники АВР і РВС мають рівні висоти, проведені з вершини, то = . За теоремою Менела для трикутника ADC та січної РВ маємо: . Отже, =.

Завдання 10

У трикутнику АВС, описаному біля кола, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1 і С 1 – точки дотику, що належать відповідно сторонам ВС і ВА. Р – точка перетину відрізків АА 1 та СС 1 . Точка Р лежить на бісектрисі ВР 1 . Знайдіть АР: РА 1 .

(На слайді 7 малюнок 2)

Рішення: Точка торкання кола зі стороною АС не збігається з В 1, оскільки трикутник АВС різносторонній. Нехай С 1 В = х, тоді, використовуючи властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки, введемо позначення (див. рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = .

Отже, С 1 В = ВА 1 = , А 1 С = 5 - = , АС 1 = 8 - =.

У трикутнику АВА 1 пряма З 1 перетинає дві його сторони і продовження третьої сторони. Теорема Менелая .

Відповідь: 70: 9.

Сторони трикутника 5, 6 і 7. Знайдіть відношення відрізків, на які бісектриса більшого кута цього трикутника розділена центром кола, вписаного в трикутник. (На слайді 7).

Рішення: Нехай у трикутнику АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Кут ВАС лежить проти більшої сторони у трикутнику АВС, отже, кут ВАС – більший кут трикутника. Центр вписаного кола трикутника лежить на перетині бісектрис. Нехай О - точка перетину бісектрис. Необхідно знайти АТ: ОD. Оскільки АD – бісектриса трикутника АВС, тобто BD = 5k, DС = 6k. оскільки BF – бісектриса трикутника АВС, тобто AF = 5m, FC = 7m. Пряма BF перетинає дві сторони та продовження третьої сторони трикутника ADC. Теорема Менелая .

4. Самостійне розв'язання задач 9, 10, 11.- 3 учнів.

Завдання 12 (для всіх учнів класу, що залишилися):

Бісектриси ВЕі АD трикутника АВС перетинаються в точці Q. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо площа трикутника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (Малюнок 4 на слайді 7).

Рішення: Нехай АВ = а, тоді АС = ВС = . АD - бісектриса трикутника АВС, тоді тобто BD = 2p, DC = 3p. ВЕ – бісектриса трикутника АВС, тоді , АЕ = 3 к, ЕС = 4k. У трикутнику ВЕС пряма АD перетинає дві сторони та продовження третьої сторони. Теорема Менелая , , тобто EQ = 9m, QB = 14m. Трикутники QBD та EBC мають загальний кут, отже , S ЕВС = .

Трикутники АВС і ВЕС мають рівні висоти, проведені з вершини, отже, , тоді S ABC = .

5. Розбір завдань 9, 10, 11.

Вирішення завдань – практикум:

А. На сторонах ВС, СА, АВ рівнобедреного трикутника АВС з основою АВ взяті точки А1, В1, С1, так що прямі АА1, ВВ1, СС1 – конкурентні.

Доведіть, що

Доведення:

За теоремою Чеви маємо: (1).

За теоремою синусів: , Звідки СА 1 = СА.,

, Звідки А 1 В = АВ. , ,

звідки АВ1 = АВ. , , Звідки В 1 С = НД. , оскільки СА = НД за умовою. Підставивши отримані рівності до рівності (1) отримаємо:

Що й потрібно було довести.

В. На стороні АС трикутника АВС взято таку точку М, що АМ = ?АС, а на продовженні сторони ВС – таку точку N, що BN = СВ. У чому точка Р – точка перетину відрізків АВ і MN ділить кожен із цих отрезков?

За теоремою Менела для трикутника АВС та січної MN маємо:

. За умовою отже,

так як 0,5. (-2) . х = 1, - 2х = - 2, х = 1.

Для трикутника MNC та поточної АВ по теоремі Менелая маємо: за умовою

отже, - , звідки, .

8. Самостійне вирішення завдань: 1 варіант:

1. На продовженнях сторін АВ, ВС, АС трикутника АВС взято відповідно точки С 1 , А 1 , В 1 так, що АВ = ВС 1 , ВС = СА 1 , СА = АВ 1 . Знайдіть відношення в якому пряма АВ 1 ділить сторону А1С1 трикутника А1В1С1. (3 бали).

2. На медіані СС 1 трикутника АВС взято точку М. Прямі АМ і ВМ перетинають сторони трикутника відповідно в точках А 1 і 1 . Доведіть, що прямі АВ та А 1 В 1 паралельні. (3 бали).

3. Нехай на продовженні сторін АВ, ВС та АС трикутника АВС взято відповідно точки С 1 , А 1 і В 1. Доведіть, що точки А 1 , В 1, С 1 лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується рівність . (4 бали).

6. Нехай на сторонах АВ, ВС та АС трикутника АВС взято відповідно точки С 1 , А 1 і В 1 так, що прямі АА 1 , ВВ 1 , СС 1 перетинаються в точці О. Доведіть, що виконується рівність . (5 балів).

7 . Нехай на ребрах АВ, ВС, СD та АD тетраедра АВСD взяті відповідно точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1. Доведіть, що точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1 лежать в одній площині тоді і тільки тоді , коли виконується рівність (5 балів).

2 варіант:

1. Точки А 1 і В 1 ділять сторони ВС і АС трикутника АВС у відношеннях 2: 1 і 1: 2. Прямі АА 1 і ВВ 1 перетинаються в точці О. Площа трикутника АВС дорівнює 1. Знайдіть площу трикутника ОВС. (3 бали).

2. Відрізок МN, що з'єднує середини сторін АD і ВС чотирикутника АВСD, ділиться діагоналями на три рівні частини. Доведіть, що АВСD – трапеція, одна з основ АВ або СD, яка вдвоє більша за іншу. (3 бали).

3. Нехай на стороні АВ та продовженні сторін ВС та АС трикутника АВС взято відповідно точки С 1 , А 1 та В 1 . Доведіть, що прямі АА 1 , ВР 1 , СС 1 перетинаються в одній точці або паралельні тоді і лише тоді, коли виконується рівність . (4 бали).

4. Використовуючи теорему Чеви, доведіть, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. (4 бали).

5. Доведіть, що прямі, що проходять через вершини трикутника і точки дотику до вписаних кіл, перетинаються в одній точці (точці Нагеля). (Коло називається вписаною в трикутник, якщо вона стосується однієї сторони цього трикутника і продовжень двох інших його сторін). (5 балів).

6. Нехай на сторонах АВ, ВС та АС трикутника АВС взято відповідно точки С 1 , А 1 , В 1 так, що прямі АА 1 , ВВ 1 та СС 1 перетинаються в точці О. Доведіть, що виконується рівність . (5 балів).

7. Нехай на ребрах АВ, ВС, СD та АD тетраедра АВСD взяті відповідно точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1. Доведіть, що точки А 1 , В 1 , С 1 , D 1 лежать в одній площині тоді і лише тоді, коли виконується рівність (5 балів).

9. Домашнє завдання: підручник § 3, № 855, № 861, № 859.

«Види трикутників» - види трикутників. По порівняльній довжині сторін розрізняють такі види трикутників. За величиною кутів розрізняють такі види. Крапки називаються вершинами, а відрізки-сторонами.

«Кути трикутника» - Гострокутний трикутник. Чи може у трикутнику бути два прямі кути? Рівносторонній трикутник. Рівнобедрений трикутник. Прямокутний трикутник. Тупокутний трикутник. Чи може у трикутнику бути два тупі кути? У рівносторонньому трикутнику кути дорівнюють 600. У прямокутному рівнобедреному трикутнику гострі кути дорівнюють по 450.

«Уроки геометрії у 7 класі» - Розв'язання задач.». Катети ВС та СА. Робота з готовим кресленням. «Сума кутів трикутника. Новий матеріал Прямокутний трикутник. Завдання №1. Розв'язання задач за готовими кресленнями. №232(усно), №231. Довести: кут АВС менший від кута ADC. Усний тест. Урок геометрії у 7 класі. Гіпотенуза АВ.

«Прямокутний трикутник» - Відомості про Евкліда вкрай убогі. Трикутник – це багатокутник із трьома сторонами (або трьома кутами). Евклід - автор робіт з астрономії, оптики, музики та ін. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Евклід – перший математик олександрійської школи. Визначення. Контрольний тест.

«Рівностегновий трикутник та його властивості» - Назвіть основу та бічні сторони даних трикутників. Знайти величину кута 1, якщо величина кута 2 дорівнює 40 град. А, С – кути при основі рівнобедреного трикутника. Трикутники рівні? Де у житті зустрічаються рівнобедрені трикутники? АМ – медіана. ТРИКУТНИК, усі сторони якого рівні, називається РІВНОСТОРІННИМ.

"Геометрія Прямокутний трикутник" - Єгипетські числа: Обчислити площу ділянки трикутної форми єгипетського селянина. Землеміри. Як єгиптяни називали прямокутний трикутник? Єгипетські будівельники: Катет та гіпотенуза в Єгипті Піфагорці: Катет та гіпотенуза в геометрії. Питання землемірів: - Катет більший за гіпотенузу. Катет, що лежить навпроти кута 60 градусів дорівнює половині гіпотенузи.

Зі школи відомо, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного в цей трикутник кола.

Теорема 1.Бісектриса кута Атрикутника АВСточкою перетину бісектрис ділиться щодо , рахуючи від сторони, де а, b, с- Довжини сторін НД, АС, АВвідповідно.

Доведення.Нехай АА 1 та ВВ 1 – бісектриси кутів Аі Увідповідно у трикутнику АВС, L- їх точка перетину, а, b, с- Довжини сторін НД, АС, АВвідповідно (рис.62). Тоді за теоремою про бісектрису, застосовану до трикутника АВСбудемо мати

Або b ВА 1 = ас - з ВА 1 , або ВА 1 (b + с)= асотже, ВА 1 = с.З цієї ж теореми, застосованої до трикутника АВА 1 отримаємо А 1 L : LА = : з, або = .

Теорема 2.Якщо L АВСкола, то

Ð АLВ= 90 ° + Ð З.

Доведення.Враховуючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180° і що центр Lвписаного кола є точкою перетину бісектрис трикутника, матимемо (рис. 62):

Ð АLВ= 180 ° - ( Ð АВL + Ð ВАL) = 180 ° - ( Ð АВС + Ð ВАС) =

180 ° - (180 ° – Ð З) = 180 ° - 90 ° + Ð З= 90 ° + Ð З.

Теорема 3.Якщо L- точка на бісектрисі кута Зтрикутника АВСтака, що Ð АLВ= 90 ° + Ð З, то L- Центр вписаного в трикутник АВСкола.

Доведення.Доведемо, що жодна з точок L 1 між Cі Lне може бути центром вписаного кола (рис. 62а).

Маємо Ð АL 1 З 1 < Ð АLС 1 , так як зовнішній кут трикутника АL 1 Lбільше будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Так само Ð ВL 1 З < Ð ВLС 1 .

Тому Ð АL 1 У < Ð АLВ= 90 ° + Ð З. Значить, L 1 не є центром вписаного кола, оскільки не виконано умову ознаки центру вписаного кола (див. теорему 2).

Якщо ж точка L 2 на бісектрисі СС 1 не належить відрізку СL, то Ð АL 2 У > Ð АLВ= 90 ° + Ð Зі знову не виконано умову ознаки центру вписаного кола. Отже, центром вписаного кола є точка L.

Теорема 4.Відстань від вершини трикутника до точки торкання вписаного кола зі стороною, що проходить через цю вершину, дорівнює півпериметру цього трикутника, зменшеному на протилежну сторону.

Доведення.Нехай А 1 , У 1 , З 1 – точки торкання вписаного кола зі сторонами трикутника АВС(рис. 63), а, b, с- Довжини сторін НД, АС, АВвідповідно.

Нехай АС 1 = х, Тоді АВ 1 = х, НД 1 = с – х = ВА 1 , У 1 З = b - х = СА 1 ,

а = ВС = ВА 1 + СА 1 = (с - х) + (b - х) = с + b – 2 х.

Тоді а + а = а + b + с – 2 х, або 2 а = 2 р – 2 х, або х = р - а.

Теорема 5.У будь-якому трикутнику АВСчерез точку Lперетину бісектрис двох зовнішніх його кутів проходить бісектриса третього кута, при цьому точка Lзнаходиться на однакових відстанях від прямих, що містять сторони трикутника.

Доведення.Нехай L- Точка перетину двох зовнішніх кутів Уі Зтрикутникаа АВС(Рис. 64). Оскільки кожна точка бісектриси знаходиться на однаковій відстані від сторін кута, то точка L АВі НД, оскільки вона належить бісектрисі ВL. Вона ж знаходиться на однаковій відстані від прямих НДі АС, оскільки належить бісектрисі СL. Тому точка Lзнаходиться на однаковій відстані прямих А ВАСі НД. Оскільки точка Lзнаходиться на однаковій відстані від прямих АВі АС, то АТ- Бісектриса кута ВАС.

Коло, яке стосується сторони трикутника і продовжень двох інших сторін, називають вписаним у цей трикутник колом.

Наслідок 1.Центри вписаних в трикутник кіл знаходяться в точках перетину пар бісектрис його зовнішніх кутів.

Теорема 6.Радіус вписаної в трикутник кола дорівнює відношенню сторони цього трегольника і косинуса половини протилежного кута, помноженого на синуси половин двох інших кутів.