Випадкова величина задана наступним рядом розподілу. Закон розподілу дискретної випадкової величини

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.

Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково прийме в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристика випадкового події.

Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими літерами.

Розрізняють три типи випадкових величин:

Дискретні; Безперервні; Змішані.

Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин».

Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.

Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.

Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.

Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.

Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.

Закон розподілу випадкових величин.

Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.

Про випадкову величину говорять, що вона розподілена за цим законом, чи підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.

Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.

Така таблиця називається поряд розподілу дискретної випадкової величини. 1

Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини

(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).

Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).

прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.

Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначення ймовірності, отримаємо.

Дискретними випадковимивеличинами називаються випадкові величини, які приймають лише віддалені друг від друга значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
,
визначальну для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше цього x.

Математичне очікування дискретної випадкової величини
,
де – значення дискретної випадкової величини; - Імовірності прийняття випадковою величиною X значень.
Якщо випадкова величина набуває лічильна безліч можливих значень, то:
.
Математичне очікування числа настань події у n незалежних випробуваннях:
,

Дисперсія та середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини:
або .
Дисперсія числа настань події у n незалежних випробуваннях
,
де p – ймовірність настання події.
Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини:
.

Приклад 1
Складіть закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (д.с.в.) X – числа k випадень хоча б однієї «шістки» у n = 8 киданнях пари гральних кубиків. Побудуйте багатокутник розподілу. Знайдіть числові характеристики розподілу (моду розподілу, математичне очікування M(X), дисперсію D(X), середнє відхилення квадратне s(X)). Рішення:Введемо позначення: подія A – «при киданні пари гральних кубиків шістка з'явилася хоча б один раз». Для знаходження ймовірності P(A) = p події A зручніше спочатку знайти ймовірність P(Ā) = q протилежної події - «при киданні пари гральних кубиків шістка не з'явилася жодного разу».
Оскільки ймовірність непояви «шістки» при киданні одного кубика дорівнює 5/6, то теорема множення ймовірностей
P(?) = q = = .
Відповідно,
P(A) = p = 1 – P(A) = .
Випробування завдання проходять за схемою Бернуллі, тому д.с.в. величина X- Число kвипадень хоча б однієї шістки при киданні двох кубиків підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей:

де = - Число поєднань з nпо k.

Проведені для цього завдання розрахунки зручно оформити у вигляді таблиці:
Розподіл імовірностей д.с. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Полігон (багатокутник) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Xпредставлений на рис.

Мал. Полігон розподілу ймовірностей д.р. X=k.
Вертикальною лінією показано математичне очікування розподілу M(X).

Знайдемо числові показники розподілу ймовірностей д.с.в. X. Мода розподілу дорівнює 2 (тут P 8 (2) = 0,2932 максимально). Математичне очікування за визначенням дорівнює:
M(X) = = 2,4444,
де xk = k- Значення, що приймається д.с.в. X. Дисперсію D(X) розподілу знайдемо за формулою:
D(X) = = 4,8097.
Середнє квадратичне відхилення (СКО):
s( X) = = 2,1931.

Приклад2
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу

Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

Рішення.Якщо , то (третя властивість).
Якщо то . Справді, Xможе прийняти значення 1 із ймовірністю 0,3.
Якщо то . Справді, якщо задовольняє нерівність
, то дорівнює ймовірності події , яка може бути здійснена, коли Xнабере значення 1 (імовірність цієї події дорівнює 0,3) або значення 4 (імовірність цієї події дорівнює 0,1). Оскільки ці дві події несумісні, то теорема складання ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей 0,3 + 0,1 = 0,4. Якщо то . Справді, подія достовірно, отже, її ймовірність дорівнює одиниці. Отже, функція розподілу може бути аналітично записана так:

Графік цієї функції:
Знайдемо ймовірності, що відповідають цим значенням. За умови, ймовірності виходу з ладу приладів рівні: тоді ймовірність того, що прилади будуть робітниками протягом гарантійного терміну рівні:




Закон розподілу має вигляд:

У додатках теорії ймовірностей основне значення має кількісна характеристика експерименту. Величина, яка може бути кількісно визначена і яка в результаті експерименту може приймати в залежності від випадку різні значення, називається випадковою величиною.

Приклади випадкових величин:

1. Число випадань парного числа очок при десяти киданнях гральної кістки.

2. Кількість попадань у мету стрільцем, який здійснює серію пострілів.

3. Число осколків снаряда, що розірвався.

У кожному з наведених прикладів випадкова величина може набувати лише ізольовані значення, тобто значення, які можна пронумерувати за допомогою натурального ряду чисел.

Така випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина набуває з певними ймовірностями, називається дискретний.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним (числовим).

Законом розподілудискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати у вигляді таблиці (ряд розподілу ймовірностей), аналітично та графічно (багатокутник розподілу ймовірностей).

При здійсненні того чи іншого експерименту виникає необхідність оцінювати величину, що вивчається, «в середньому». Роль середнього значення випадкової величини грає числова характеристика, що називається математичним очікуванням,яка визначається формулою

де x 1 , x 2 ,.. , x n– значення випадкової величини X, а p 1 ,p 2 , ... , p n- ймовірності цих значень (зауважимо, що p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

приклад. Здійснюється стрілянина по мішені (рис. 11).

Попадання до I дає три очки, у II – два очки, у III – одне очко. Число очок, що вибиваються при одному пострілі одним стрільцем, має закон розподілу виду

Для порівняння майстерності стрільців досить порівняти середні значення очок, що вибиваються, тобто. математичні очікування M(X) та M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Другий стрілець дає у середньому дещо більше очок, тобто. при багаторазовій стрільбі він даватиме найкращий результат.

Зазначимо властивості математичного очікування:

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

M(C) = C.

2. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Математичне очікування твору взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору математичних очікувань змножувачів

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Математичне заперечення біномінального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні (завдання 4.6).

M(X) = ін.

Для оцінки того, як випадкова величина «у середньому» ухиляється від свого математичного очікування, тобто. щоб охарактеризувати розкид значень випадкової величини теорії ймовірностей служить поняття дисперсії.

Дисперсієювипадкової величини Xназивають математичне очікування квадрата відхилення:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Дисперсія є числової характеристикою розсіювання випадкової величини. З визначення видно, що менше дисперсія випадкової величини, тим купальніше розташовуються її можливі значення біля математичного очікування, тобто краще значення випадкової величини характеризуються її математичним очікуванням.

З визначення випливає, що дисперсія може бути обчислена за формулою

.

Дисперсію зручно обчислювати за іншою формулою:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Дисперсія має такі властивості:

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю:

D(C) = 0.

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсії доданків:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи та непояви події в одному випробуванні:

D(X) = npq.

Теоретично ймовірностей часто використовується числова характеристика, що дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини. Ця числова характеристика називається середнім квадратним відхиленням та позначається символом

.

Вона характеризує приблизний розмір ухилення випадкової величини від її середнього значення та має однакову з випадковою величиною розмірність.

4.1. Стрілець проводить по мішені три постріли. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,3.

Побудувати низку розподілу числа попадань.

Рішення. Число влучень є дискретною випадковою величиною X. Кожному значенню x n випадкової величини Xвідповідає певна ймовірність P n .

Закон розподілу дискретної випадкової величини у разі можна задати поряд розподілу.

У цій задачі Xприймає значення 0, 1, 2, 3. За формулою Бернуллі

,

знайдемо ймовірність можливих значень випадкової величини:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Розташувавши значення випадкової величини Xу зростаючому порядку отримаємо ряд розподілу:

X n

Зауважимо, що сума

означає ймовірність того, що випадкова величина Xприйме хоча б одне значення з числа можливих, а ця подія є достовірною, тому

.

4.2 .В урні є чотири кулі з номерами від 1 до 4. Вийняли дві кулі. Випадкова величина X- Сума номерів куль. Побудувати низку розподілу випадкової величини X.

Рішення.Значеннями випадкової величини Xє 3, 4, 5, 6, 7. Знайдемо відповідні ймовірності. Значення 3 випадкової величини Xможе приймати в одному випадку, коли одна з обраних куль має номер 1, а інший 2. Число всіляких результатів випробування дорівнює числу поєднань з чотирьох (число можливих пар куль) по два.

За класичною формулою ймовірності отримаємо

Аналогічно,

Р(Х= 4) =Р(Х= 6) =Р(Х= 7) = 1/6.

Сума 5 може з'явитися у двох випадках: 1 + 4 та 2 + 3, тому

.

Хмає вигляд:

Знайти функцію розподілу F(x) випадкової величини Xта побудувати її графік. Обчислити для Xїї математичне очікування та дисперсію.

Рішення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий функцією розподілу

F(x) = P(X x).

Функція розподілу F(x) - Незменшуюча, безперервна зліва функція, визначена на всій числовій осі, при цьому

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Для дискретної випадкової величини ця функція виражається формулою

.

Тому в даному випадку

Графік функції розподілу F(x) являє собою ступінчасту лінію (рис. 12)

	F(x)

Математичне очікуванняМ(Х) є зваженою середньої арифметичної значень х 1 х 2 ,……х nвипадкової величини Хпри вагах ρ 1, ρ 2, …… , ρ n і називається середнім значенням випадкової величини Х. За формулою

М(Х)= х 1 ρ 1 + х 2 ρ 2 + ……+ х n ρ n

М(Х) = 3 · 0,14 +5 · 0,2 +7 · 0,49 +11 · 0,17 = 6,72.

Дисперсіяхарактеризує ступінь розсіювання значень випадкової величини від свого середнього значення та позначається D(Х):

D(Х)=М[(Х-М(Х)) 2 ]= М(Х 2) –[М(Х)] 2 .

Для дискретної випадкової величини дисперсія має вигляд

або вона може бути обчислена за формулою

Підставляючи числові дані завдання у формулу, отримаємо:

М(Х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(Х) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Дві гральні кістки одночасно кидають двічі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х- числа випадань парного сумарного числа очок на двох гральних кістках.

Рішення. Введемо до розгляду випадкову подію

А= (На двох кістках при одному киданні випало в сумі парне число очок).

Використовуючи класичне визначення ймовірності, знайдемо

Р(А)= ,

де n - Число всіляких результатів випробування знаходимо за правилом

множення:

n = 6∙6 =36,

m - кількість сприятливих подій Арезультатів - одно

m= 3∙6=18.

Таким чином, ймовірність успіху в одному випробуванні дорівнює

ρ = Р(А)= 1/2.

Завдання вирішується із застосуванням схеми випробувань Бернуллі. Одним випробуванням тут буде кидання двох гральних кісток один раз. Число таких випробувань n = 2. Випадкова величина Хприймає значення 0, 1, 2 з ймовірностями

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Шуканий біномінальний розподіл випадкової величини Хможна подати у вигляді ряду розподілу:

х n
ρ n

4.5 . У партії із шести деталей є чотири стандартні. Навмання відібрано три деталі. Скласти розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х– числа стандартних деталей серед відібраних та знайти її математичне очікування.

Рішення.Значеннями випадкової величини Хє числа 0,1,2,3. Зрозуміло, що Р(Х=0)=0, оскільки нестандартних деталей лише дві.

Р(Х=1) =
=1/5,

Р(Х = 2) =
= 3/5,

Р(Х=3) =
= 1/5.

Закон розподілу випадкової величини Хпредставимо у вигляді ряду розподілу:

х n
ρ n

Математичне очікування

М(Х)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Довести, що математичне очікування дискретної випадкової величини Х- Число появи події Ав nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ρ - Так само твору числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні, тобто довести, що математичне очікування біномінального розподілу

М(Х) =n . ρ ,

а дисперсія

D(X) =np .

Рішення.Випадкова величина Хможе набувати значень 0, 1, 2…, n. Ймовірність Р(Х= к) знаходиться за формулою Бернуллі:

Р(Х= до) = Р n(к)= ρ до (1-ρ ) n-до

Ряд розподілу випадкової величини Хмає вигляд:

х n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

де q= 1- ρ .

Для математичного очікування маємо вираз:

М(Х)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

У разі одного випробування, тобто при n = 1для випадкової величини Х 1-числа появи події А- Ряд розподілу має вигляд:

х n
ρ n

M(X 1)= 0 ∙ q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Якщо Хдо – кількість появи події Ав до-му випробуванні, то Р(Х до)= ρ і

Х = Х 1 +Х 2 +….+Х n .

Звідси отримуємо

М(Х)=М(Х 1 )+М(Х 2)+ … +М(Х n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)= npq.

4.7. ВТК перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини Х- числа партій, у кожній з яких виявиться одно 4 стандартні вироби – якщо перевірці підлягає 50 партій.

Рішення. Імовірність того, що в кожній довільно обраній партії виявиться 4 стандартні вироби, постійна; позначимо її через ρ . Тоді математичне очікування випадкової величини Ходно М(Х)= 50∙ρ.

Знайдемо ймовірність ρ за формулою Бернуллі:

ρ=Р 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М(Х)= 50∙0,32=16.

4.8 . Впадають три гральні кістки. Знайти математичне очікування суми очок, що випали.

Рішення.Можна знайти розподіл випадкової величини Х- суми очок, що випали, а потім її математичне очікування. Однак такий шлях надто громіздкий. Простіше використовувати інший прийом, представляючи випадкову величину Х, математичне очікування якої потрібно обчислити, як суми кількох простіших випадкових величин, математичне очікування яких обчислити легше. Якщо випадкова величина Х i- Це число очок, що випали на i- й кістки ( i= 1, 2, 3), то сума очок Хвисловиться у вигляді

Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .

Для обчислення математичного очікування вихідної випадкової величини залишиться лише скористатися властивістю математичного очікування

М(Х 1 + Х 2 + Х 3 )= М(Х 1 )+ М(Х 2)+ М(Х 3 ).

Очевидно, що

Р(Х i = До)= 1/6, К= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Отже, математичне очікування випадкової величини Х iмає вигляд

М(Х i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М(Х) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Визначити математичне очікування кількості приладів, які відмовили в роботі за час випробувань, якщо:

а) ймовірність відмови для всіх приладів одна і та ж дорівнює р, а кількість випробуваних приладів дорівнює n;

б) ймовірність відмови для i – го приладу дорівнює p i , i= 1, 2, … , n.

Рішення.Нехай випадкова величина Х– кількість приладів, що відмовили, тоді

Х = Х 1 + Х 2 + … + Х n ,

X i =

Зрозуміло, що

Р(Х i = 1)= Р i , Р(Х i = 0)= 1– Р i ,i= 1, 2, … ,n.

М(Х i)= 1∙Р i + 0∙(1-Р i)=Р i ,

М(Х)=М(Х 1)+М(Х 2)+ … +М(Х n)=Р 1 +Р 2 + … +Р n .

У разі «а» ймовірність відмови приладів одна й та сама, тобто

Р i =p,i= 1, 2, … ,n.

М(Х)= np.

Цю відповідь можна було отримати відразу, якщо помітити, що випадкова величина Хмає біномний розподіл з параметрами ( n, p).

4.10. Дві гральні кістки кидають одночасно двічі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х -числа випадання парного числа очок на двох гральних кістках

Рішення. Нехай

А= (Випадання парного числа на першій кістці),

В =(Випадання парного числа на другий кістки).

Випадання парного числа на обох кістках при одному киданні висловиться твором АВ.Тоді

Р (АВ) = Р(А)∙Р(У) =
.

Результат другого кидання двох гральних кісток не залежить від першого, тому застосовна формула Бернуллі при

n = 2,р = 1/4, q = 1- р = 3/4.

Випадкова величина Хможе приймати значення 0, 1, 2 , ймовірність яких знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х = 0)= Р 2 (0) = q 2 = 9/16,

Р(Х = 1)= Р 2 (1)= З ,р∙q = 6/16,

Р(Х = 2)= Р 2 (2)= З , р 2 = 1/16.

Ряд розподілу випадкової величини Х:

4.11. Пристрій складається з великої кількості незалежно працюючих елементів з однаковою дуже малою ймовірністю відмови кожного елемента за час t. Знайти середню кількість тих, хто відмовився за час tелементів, якщо ймовірність того, що за цей час відмовить хоч один елемент, дорівнює 0,98.

Рішення. Кількість тих, хто відмовив за час tелементів – випадкова величина Х, Яка розподілена за законом Пуассона, оскільки число елементів велике, елементи працюють незалежно і можливість відмови кожного елемента мала. Середня кількість появи події в nвипробуваннях одно

М(Х) = np.

Оскільки ймовірність відмови Доелементів з nвиражається формулою

Р n (До)
,

де  = np, то ймовірність того, що не відмовить жоден елемент за час t отримаємо при К = 0:

Р n (0)= е -  .

Тому ймовірність протилежної події – за час t відмовить хоча б один елемент - 1 - е -  . За умовою завдання ця ймовірність дорівнює 0,98. З рівняння

1 - е -  = 0,98,

е -  = 1 – 0,98 = 0,02,

звідси  = -ln 0,02  4.

Отже, за час tроботи пристрою відмовить у середньому 4 елементи.

4.12 . Гральна кістка кидається до того часу, поки не випаде «двійка». Знайти середню кількість кидань.

Рішення. Введемо випадкову величину Х- Число випробувань, яке треба зробити, поки що цікавить нас подія не настане. Імовірність того, що Х= 1 дорівнює ймовірності те, що з одному киданні кістки випаде «двійка», тобто.

Р(Х = 1) = 1/6.

Подія Х= 2 означає, що з першому випробуванні «двійка» не випала, а за другому випала. Ймовірність події Х= 2 знаходимо за правилом множення ймовірностей незалежних подій:

Р(Х = 2) = (5/6)∙(1/6)

Аналогічно,

Р(Х = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(Х = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

і т.д. Отримаємо низку розподілу ймовірностей:

					(5/6) до ∙1/6

Середня кількість кидань (випробувань) є математичне очікування

М(Х) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + До (5/6) До -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + До (5/6) До -1 + …)

Знайдемо суму ряду:

Доg До -1 = (g До) g 
.

Отже,

М(Х) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Таким чином, потрібно здійснити в середньому 6 кидань гральної кістки доти, доки не випаде «двійка».

4.13. Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події Ау кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа події у трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63 .

Рішення.Число появи події у трьох випробуваннях є випадковою величиною Х, розподіленою за біноміальним законом. Дисперсія числа події у незалежних випробуваннях (з однаковою ймовірністю появи події у кожному випробуванні) дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події (завдання 4.6)

D(Х) = npq.

За умовою n = 3, D(Х) = 0,63, тому можна рзнайти з рівняння

0,63 = 3∙р(1-р),

яке має два рішення р 1 = 0,7 та р 2 = 0,3.

Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини. Знайти ймовірність і побудувати графік функції розподілу. Обчислити математичне очікування та дисперсію цієї величини.

Випадкова величина Х набирає лише чотири значення: -4, -3, 1 і 2. Кожне з цих значень вона приймає з певною ймовірністю. Оскільки сума всіх ймовірностей має дорівнювати 1, то недостатня ймовірність дорівнює:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Складемо функцію розподілу випадкової величини Х. Відомо, що функція розподілу , тоді:

Отже,

Побудуємо графік функції F(x) .

Математичне очікування дискретної випадкової величини дорівнює сумі творів значення випадкової величини відповідну ймовірність, тобто.

Дисперсію дискретної випадкової величини знайдемо за формулою:

ДОДАТОК

Елементи комбінаторики Тут: - Факторіал числа

Дії над подіями Подія – це будь-який факт, який може статися чи не статися внаслідок досвіду. Об'єднання подій Аі У- ця подія З, яка полягає у появі або події А, або події У, або обох подій одночасно. Позначення: ; Перетин подій Аі У- ця подія З, що полягає у одночасному появі обох подій. Позначення: ;

Класичне визначення ймовірності Ймовірність події А- Це відношення числа дослідів , які сприяють появі події Адо загальної кількості дослідів :

Формула множення ймовірностей Ймовірність події можна знайти за формулою: - ймовірність події А, - ймовірність події В, - ймовірність події Уза умови, що подія Авже сталося. Якщо події А та В – незалежні (поява одного не впливає на появу іншого), то ймовірність події дорівнює:

Формула складання ймовірностей Імовірність події можна знайти за формулою: Ймовірність події А, Ймовірність події В, - ймовірність спільної появи подій Аі У. Якщо події А і В несумісні (не можуть з'явитися одночасно), то ймовірність події дорівнює:

Формула повної ймовірності Нехай подія Аможе статися одночасно з однією з подій , , …, - Назвемо їх гіпотезами. Також відомі - ймовірність виконання i-ой гіпотези та - ймовірність появи події А під час виконання i-ой гіпотези. Тоді ймовірність події Аможе бути знайдена за формулою:

Схема Бернуллі Нехай проводиться n незалежних випробувань. Ймовірність появи (успіху) події Ау кожному їх постійна і дорівнює p, ймовірність невдачі (тобто не появи події А) q = 1 - p. Тоді ймовірність появи kуспіхів у nвипробуваннях можна знайти за формулою Бернуллі: Найімовірніше число успіхів у схемі Бернуллі – це кількість появи деякої події, якій відповідає найбільша ймовірність. Можна знайти за формулою:

Випадкові величини дискретні безперервні (н-р, кількість дівчаток у сім'ї з 5 дітьми) (н-р, час справної роботи чайника) Числові характеристики дискретних випадкових величин Нехай дискретна величина задана поряд розподілу: Х Р , , …, - значення випадкової величини Х; , , …, - відповідні їм значення ймовірностей. Функція розподілу Функцією розподілу випадкової величини Хназивається функція , задана на всій числовій прямій і дорівнює ймовірності того, що Хбуде менше х:

Питання до іспиту

Подія. Операції над випадковими подіями.

Концепція ймовірності події.

Правила складання та множення ймовірностей. Умовні можливості.

Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Схема Бернуллі.

Випадкова величина, її функція розподілу та ряд розподілу.

Основні характеристики функції розподілу.

Математичне очікування. Властивості математичного очікування.

Дисперсія. Властивості дисперсії.

Щільність розподілу ймовірностей одновимірної випадкової величини.

Види розподілів: рівномірний, експоненціальний, нормальний, біноміальний та розподіл Пуассона.

Локальна та інтегральні теореми Муавра-Лапласа.

Закон та функція розподілу системи двох випадкових величин.

Щільність розподілу двох випадкових величин.

Умовні закони розподілу, умовне математичне очікування.

Залежні та незалежні випадкові величини. Коефіцієнт кореляції.

Вибірка. Обробка вибірки. Полігон та гістограма частот. Емпірична функція розподілу.

Поняття оцінки параметрів розподілу. Вимоги до оцінки. Довірчий інтервал. Побудова інтервалів для оцінки математичного очікування та середнього квадратичного відхилення.

Статистичні гіпотези. Критерії згоди.