Порівняльний аналіз ефективності найпростіших систем масового обслуговування. Структура та показники ефективності систем масового обслуговування Основні характеристики CМО та показники їх ефективності

Теорія СМО присвячена розробці методів аналізу, проектування та раціональної організації систем, що належать до різних галузей діяльності, таких як зв'язок, обчислювальна техніка, торгівля, транспорт, військова справа. Незважаючи на всю свою різноманітність, наведені системи мають ряд типових властивостей, а саме.

• СМО (системи масового обслуговування) – це моделі систем, в які у випадкові моменти часу ззовні чи зсередини надходять заявки (вимоги). Вони повинні тим чи іншим чином обслуговуватися системою. Тривалість обслуговування найчастіше випадкова.
• СМО є сукупністьобслуговуючого обладнанняі персоналуза відповідної організації процесу обслуговування.
• Задати СМО - це означає задати її структуру та статистичніхарактеристики послідовності надходження заявок та послідовності їх обслуговування.

Завдання аналізу СМОполягає у визначенні низки показників її ефективності, які можна поділити на такі групи:

• показники, що характеризують систему загалом:число nзайнятих каналів обслуговування, кількість обслужених (λ b), які чекають на обслуговування або отримали відмову заявок (λ c) в одиницю часу тощо;
• імовірнісні характеристики: ймовірність того, що заявку буде обслуговано ( Pобс) або отримає відмову в обслуговуванні ( Pвідк), що всі прилади вільні ( p 0) або певна кількість їх зайнята ( p k), ймовірність наявності черги тощо;
• економічні показники: вартість втрат, пов'язаних з відходом не обслуженої з тих чи інших причин заявки із системи, економічний ефект, отриманий внаслідок обслуговування заявки, тощо.

Частина технічних показників (перші дві групи) характеризують систему з погляду споживачів, інша частина – характеризує систему з погляду її експлуатаційних властивостей. Часто вибір перерахованих показників може покращувати експлуатаційні властивості системи, але погіршувати систему з погляду споживачів і навпаки. Використання економічних показників дозволяє вирішити зазначену суперечність та оптимізувати систему з урахуванням обох точок зору.
У процесі виконання домашньої контрольної роботи вивчаються найпростіші СМО. Це системи розімкнутого типу, нескінченне джерело заявок до системи не входить. Вхідний потік заявок, потоки обслуговування та очікування цих систем є найпростішими. Пріоритети відсутні. Системи однофазні.

Багатоканальна система з відмовами

Система складається з одного вузла обслуговування, що містить n каналів обслуговування, кожен з яких може обслуговувати лише одну заявку.
Усі канали обслуговування однакової продуктивності і моделі системи нерозрізняються. Якщо заявка надійшла до системи та застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо на момент надходження заявки у систему всі канали зайняті, то заявка залишає систему не обслуженной.

Змішані системи

1. Система з обмеженням на довжину черги .
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Заявка залишає чергу і йде з системи, якщо в накопичувачі на момент її появи вже знаходяться m заявок (m – максимально можливе число місць у черзі). Якщо заявка надійшла в систему і застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо в момент надходження заявки до системи всі канали зайняті, то заявка не залишає систему, а посідає місце у черзі. Заявка залишає систему не обслуженою, якщо на момент її надходження до системи зайняті всі канали обслуговування та всі місця у черзі.
   Для кожної системи визначається дисципліна черги. Це система правил, визначальних порядок надходження заявок із черги у вузол обслуговування. Якщо всі заявки та канали обслуговування рівнозначні, то найчастіше діє правило «хто раніше прийшов, той раніше обслуговується».
2. Система з обмеженням на тривалість перебування заявки у черзі.
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Від попередньої системи вона відрізняється тим, що заявка, що надійшла в накопичувач (чергу), може очікувати на початок обслуговування лише обмежений час. Теж(найчастіше це випадкова величина). Якщо її час Тежзакінчилося, то заявка залишає чергу і йде з системи не обслуженої.

Математичний опис СМО

СМО розглядаються як деякі фізичні системи з дискретними станами х 0, х 1, …, х n,функціонуючі при безперервному часі t. Кількість станів n може бути кінцевою або лічильною (n → ∞). Система може переходити з одного стану х i (i = 1, 2, …, n) в інший х j (j= 0, 1,… ,n)у довільний момент часу t. Щоб показати правила таких переходів, використовують схему, яка називається графом станів. Для типів перелічених вище систем графи станів утворюють ланцюг, в якому кожен стан (крім крайніх) пов'язаний прямим і зворотним зв'язком з двома сусідніми станами. Це схема загибелі та розмноження .
Переходи зі стану до стану відбуваються у випадкові моменти часу. Зручно вважати, що ці переходи відбуваються внаслідок дії якихось потоків(Потоків вхідних заявок, відмов в обслуговуванні заявок, потоку відновлення приладів тощо). Якщо всі потоки найпростіші,те, що протікає в системі випадковий процес з дискретним станом та безперервним часом буде марківським .
Потік подій- це послідовність однотипних подій, які у випадкові моменти часу. Його можна розглядати як послідовність випадкових моментів часу t 1 , t 2 , … Поява подій.
Найпростішимназивають потік, що має наступні властивості:

• Ординарність. Події йдуть поодинці (протилежність потоку, де події йдуть групами).
• Стаціонарність. Імовірність влучення заданої кількості подій на інтервал часу Тзалежить тільки від довжини інтервалу та не залежить від того, де на осі часу знаходиться цей інтервал.
• Відсутність післядії. Для двох неперетинних інтервалів часу 1 і 2 число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший інтервал.

У найпростішому потоці інтервали часу Т 1 , Т 2 ,… між моментами t 1 , t 2 , … Події подій випадкові, незалежні між собою і мають показовий розподіл ймовірностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, де λ - параметр показового розподілу, що є одночасно інтенсивністюпотоку і середнє число подій, що відбуваються в одиницю часу. Отже, t =M[T]=1/λ.
Марківські випадкові події описуються звичайними диференціальними рівняннями. Змінними в них є ймовірності станів р 0 (t), p 1 (t), ..., p n (t).
Для дуже великих моментів часу функціонування систем (теоретично при t → ∞) у найпростіших системах (системи, усі потоки в яких – найпростіші, а граф – схема загибелі та розмноження) спостерігається що встановився,або стаціонарнийрежим роботи. У цьому режимі система змінюватиме свій стан, але ймовірність цих станів ( фінальні ймовірності) р до, к = 1, 2, ..., n,не залежать від часу і можуть розглядатись як середній відносний часперебування системи у відповідному стані.

2 - черга- вимоги, що очікують на обслуговування.

Черга оцінюється середньою довжиною г -числом об'єктів чи клієнтів, які чекають на обслуговування.

3 - обслуговуючі апарати(Канали обслуговування) - сукупність робочих місць, виконавців, обладнання, що здійснюють обслуговування вимог за певною технологією.

4 - вихідний потік вимогз"(г) - потік вимог, що пройшли СМО. У загальному випадку потік, що виходить, може складатися з вимог обслужених і необслужених. Приклад необслужених вимог: відсутність потрібної деталі для автомобіля, що знаходиться в ремонті.

5 - замикання(Можливо) СМО - стан системи, при якому вхідний потік вимог залежить від вихідного.

На автомобільному транспорті після обслуговування вимог (ТО, ремонт) автомобіль має бути технічно справним.

Системи масового обслуговування класифікуються в такий спосіб.

1. За обмеженнями на довжину черги:

СМО із втратами - вимога залишає СМО необслуженим, якщо на момент його надходження всі канали зайняті;

СМО без втрат – вимога займає чергу, навіть якщо всі канали зайняті;

СМО з обмеженнями за довжиною черги табо часу очікування: якщо існує обмеження на чергу, то вимога, що знову надійшла (/?/ + 1), вибуває з системи необслуженим (наприклад, обмежена ємність накопичувального майданчика перед АЗС).

2. За кількістю каналів обслуговування п:

Одноканальні: п= 1;

Багатоканальні п^ 2.

3. За типом обслуговуючих каналів:

Однотипні (універсальні);

Різнотипні (спеціалізовані).

4. По порядку обслуговування:

Однофазові – обслуговування проводиться на одному апараті (посту);

Багатофазові - вимоги послідовно проходить кілька апаратів обслуговування (наприклад, потокові лінії ТО; конвеєрне складання автомобіля; лінія зовнішнього догляду: прибирання -> миття -> обсушування -> полірування).

5. За пріоритетністю обслуговування:

Без пріоритету - вимоги обслуговуються в порядку їх надходження на
СМО;

З пріоритетом – вимоги обслуговуються залежно від присвоєного
їм при надходженні рангу пріоритетності (наприклад, заправка автомобілів
швидкої допомоги на АЗС; першочерговий ремонт на АТП автомобілів,
які приносять найбільший прибуток на перевезеннях).

6. За величиною вхідного потоку вимог:

З необмеженим вхідним потоком;

З обмеженим вхідним потоком (наприклад, у разі попереднього запису на певні види робіт та послуг).

7. За структурою З МО:

Замкнуті - вхідний потік вимог за інших рівних умов залежить від числа раніше обслужених вимог (комплексне АТП, що обслуговує лише свої автомобілі (5 на рис. 6.6));

Відкриті - вхідний потік вимог залежить від числа раніше обслужених: АЗС загального користування, магазин із продажу запасних частин.

8. По взаємозв'язку обслуговуючих апаратів:

З взаємодопомогою - пропускна спроможність апаратів непостійна та залежить від зайнятості інших апаратів: бригадне обслуговування кількох постів СТО; використання "ковзаючих" робітників;

Без взаємодопомоги - пропускна здатність апарату залежить від роботи інших апаратів СМО.

Щодо технічної експлуатації автомобілів знаходять поширення замкнуті та відкриті, одно- та багатоканальні СМО, з однотипними або спеціалізованими обслуговуючими апаратами, з одно- або багатофазовим обслуговуванням, без втрат або з обмеженням на довжину черги або на час перебування в ній.

Як показники ефективності роботи СМО використовують наведені нижче параметри.

Інтенсивність обслуговування

Відносна пропускна спроможністьвизначає частку обслужених вимог від їх загальної кількості.

Імовірність того,що всі пости вільні Р(),характеризує такий стан системи, у якому всі об'єкти справні не вимагають проведення технічних впливів, тобто. вимоги відсутні.

Імовірність відмови в обслуговуванні Р огкмає сенс для СМО із втратами та з обмеженням по довжині черги або часу перебування в ній. Вона показує частку "втрачених" для системи вимог.

Імовірність утворення черги Роцвизначає такий стан системи, при якому всі обслуговуючі апарати зайняті, і наступна вимога "встає" у чергу з кількістю очікуваних вимог р.

Залежності визначення названих параметрів функціонування СМО визначаються її структурою.

Середній час перебування у черзі

Через випадковість вхідного потоку вимог і тривалість їх виконання завжди є якась середня кількість автомобілів, що простоюють. Тому потрібно так розподілити кількість обслуговуючих апаратів (постів, робочих місць, виконавців) за різними підсистемами, щоб І - min. Цей клас завдань має справу з дискретним зміною параметрів, оскільки кількість апаратів може змінюватися лише дискретним чином. Тому при аналізі системи забезпечення працездатності автомобілів використовуються методи дослідження операцій, теорії масового обслуговування, лінійного, нелінійного та динамічного програмування та імітаційного моделювання.

приклад.На автотранспортному підприємстві є один пост діагностування (п= 1). В даному випадку довжина черги практично необмежена. Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо вартість простою автомобілів у черзі становить С\= 20 р. (Розрахункових одиниць) за зміну, а вартість простою постів З 2 = 15 р.е. Інші вихідні дані самі, що й попереднього прикладу.

приклад.На тому ж автотранспортному підприємстві кількість постів діагностування збільшено до двох (п = 2), тобто. створено багатоканальну систему. Оскільки створення другого посту необхідні капіталовкладення (площі, устаткування й т.д.), то вартість простою засобів обслуговування збільшується до С2 = 22р.е. Визначити параметри ефективності роботи системи діагностування. Інші вихідні дані ті ж, що для попереднього прикладу.

Інтенсивність діагностування та наведена щільність потоку залишаються такими ж:

}