Нерівномірний рух. Середня швидкість

Прикладів рівномірного руху на природі дуже мало. Майже поступово рухається навколо Сонця Земля, крапають краплі дощу, спливають бульбашки в газованому газі, рухається стрілка годинника.

Прикладів нерівномірного руху безліч Політ м'яча під час гри у футбол, руху кішки під час полювання за пташкою, рух автомобіля

Рівномірний рух- це рух із постійною швидкістю, тобто коли швидкість не змінюється (v = const) та прискорення чи уповільнення не відбувається (а = 0).

Прямолінійний рух- це рух прямої лінії, тобто траєкторія прямолінійного руху - це пряма лінія.

Це рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Наприклад, якщо ми розіб'ємо якийсь часовий інтервал на відрізки по одній секунді, то при рівномірному русі тіло переміщатиметься на однакову відстань за кожен із цих відрізків часу.

Швидкість рівномірного прямолінійного руху залежить від часу й у кожній точці траєкторії спрямовано як і переміщення тіла. Тобто вектор переміщення збігається у напрямку вектора швидкості. При цьому середня швидкість за будь-який проміжок часу дорівнює миттєвій швидкості:

Швидкість рівномірного прямолінійного руху- це фізична векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення тіла за будь-який проміжок часу до значення цього проміжку t:

= / t

Отже, швидкість рівномірного прямолінійного руху показує, яке переміщення робить матеріальна точка за одиницю часу.

Переміщенняпри рівномірному прямолінійному русі визначається формулою:

Пройдений шляхпри прямолінійному русі дорівнює модулю переміщення. Якщо позитивний напрямок осі ОХ збігається з напрямком руху, то проекція швидкості на вісь ОХ дорівнює величині швидкості і позитивна:

Проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

де x 0 – початкова координата тіла, х – кінцева координата тіла (або координата тіла у будь-який момент часу)

Рівняння руху, тобто залежність координати тіла від часу х = х(t), набуває вигляду:

Якщо позитивний напрямок осі ОХ протилежний напрямку руху тіла, то проекція швидкості тіла на вісь ОХ негативна, швидкість менша за нуль (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Рівномірний прямолінійний рух- це окремий випадок нерівномірного руху.

Нерівномірний рух- це рух, у якому тіло (матеріальна точка) за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення. Наприклад, міський автобус рухається нерівномірно, оскільки його рух складається переважно з розгонів і гальмування.

Рівноперемінний рух- це рух, у якому швидкість тіла (матеріальної точки) за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково.

Прискорення тіла при рівнозмінному русізалишається постійним за модулем і за напрямом (a = const).

Рівноперемінний рух може бути рівноприскореним або рівноуповільненим.

Рівноприскорений рух- це рух тіла (матеріальної точки) з позитивним прискоренням, тобто за такому русі тіло розганяється з постійним прискоренням. У разі рівноприскореного руху модуль швидкості тіла з часом зростає, напрям прискорення збігається з напрямом швидкості руху.

Рівноуповільнений рух- це рух тіла (матеріальної точки) з негативним прискоренням, тобто за такому русі тіло поступово уповільнюється. При рівносповільненому русі вектори швидкості та прискорення протилежні, а модуль швидкості з часом зменшується.

У механіці будь-який прямолінійний рух є прискореним, тому уповільнений рух відрізняється від прискореного лише знаком проекції вектора прискорення обрану вісь системи координат.

Середня швидкість змінного рухувизначається шляхом розподілу переміщення тіла на час, протягом якого це переміщення було здійснено. Одиниця виміру середньої швидкості - м/с.

Це швидкість тіла (матеріальної точки) в даний момент часу або в даній точці траєкторії, тобто межа, якої прагне середня швидкість при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор миттєвої швидкостірівнозмінного руху можна знайти як першу похідну від вектора переміщення за часом:

= "

Векторна проекція швидкостіна вісь ОХ:

це похідна від координати часу (аналогічно отримують проекції вектора швидкості інші координатні осі).

Це величина, яка визначає швидкість зміни швидкості тіла, тобто межа, якої прагне зміна швидкості при нескінченному зменшенні проміжку часу Δt:

Вектор прискорення рівноперемінного рухуможна знайти як першу похідну від вектора швидкості за часом або як другу похідну від вектора переміщення за часом:

= " = " Враховуючи, що 0 - швидкість тіла в початковий момент часу (початкова швидкість), - швидкість тіла в даний момент часу (кінцева швидкість), t - проміжок часу, протягом якого відбулася зміна швидкості, буде наступною:

Звідси формула швидкості рівнозмінного рухуу будь-який момент часу:

0 + t Якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі ОХ прямолінійної декартової системи координат, що збігається у напрямку траєкторії тіла, то проекція вектора швидкості на цю вісь визначається формулою:

Знак "-" (мінус) перед проекцією вектора прискорення відноситься до рівноповільного руху. Аналогічно записуються рівняння проекцій вектора швидкості інші осі координат.

Так як при рівнозмінному русі прискорення є постійним (a = const), то графік прискорення – це пряма, паралельна до осі 0t (осі часу, рис. 1.15).

Мал. 1.15. Залежність прискорення тіла іноді.

Залежність швидкості від часу– це лінійна функція, графіком якої є пряма лінія (рис. 1.16).

Мал. 1.16. Залежність швидкості тіла від часу.

Графік залежності швидкості від часу(рис. 1.16) показує, що

У цьому переміщення чисельно дорівнює площі фігури 0abc (рис. 1.16).

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми довжин її підстав на висоту. Підстави трапеції 0abc чисельно рівні:

Висота трапеції дорівнює t. Отже, площа трапеції, отже, і проекція переміщення на вісь ОХ дорівнює:

У разі рівносповільненого руху проекція прискорення негативна й у формулі для проекції переміщення перед прискоренням ставиться знак "-" (мінус).

Графік залежності швидкості тіла іноді при різних прискореннях показаний на рис. 1.17. Графік залежності переміщення від часу при v0 = 0 показано на рис. 1.18.

Мал. 1.17. Залежність швидкості тіла іноді для різних значень прискорення.

Мал. 1.18. Залежність переміщення тіла від часу.

Швидкість тіла в даний момент часу t 1 дорівнює тангенсу кута нахилу між дотичною до графіка та віссю часу v = tg α, а переміщення визначають за формулою:

Якщо час руху тіла невідомий, можна використовувати іншу формулу переміщення, вирішуючи систему двох рівнянь:

Допоможе нам вивести формулу для проекції переміщення:

Так як координата тіла в будь-який момент часу визначається сумою початкової координати і проекції переміщення, виглядатиме таким чином:

Графіком координати x(t) також є парабола (як і графік переміщення), але вершина параболи у випадку не збігається з початком координат. При а x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Скочування тіла по похилій площині (рис. 2);

Мал. 2. Скатування тіла по похилій площині ()

Вільне падіння (рис. 3).

Всі ці три види руху є рівномірними, тобто у них змінюється швидкість. На цьому уроці ми розглянемо нерівномірний рух.

Рівномірний рух –механічний рух, при якому тіло за будь-які рівні відрізки часу проходить однакову відстань (рис. 4).

Мал. 4. Рівномірний рух

Нерівномірним називається рух, коли тіло за рівні проміжки часу проходить нерівні шляхи.

Мал. 5. Нерівномірний рух

Основне завдання механіки - визначити положення тіла у будь-який момент часу. При нерівномірному русі швидкість тіла змінюється, отже необхідно навчитися описувати зміну швидкості тіла. Для цього вводяться два поняття: середня швидкість та миттєва швидкість.

Факт зміни швидкості тіла за нерівномірного руху не завжди необхідно враховувати, при розгляді руху тіла на великій ділянці шляху в цілому (нам не важлива швидкість у кожний момент часу) зручно ввести поняття середньої швидкості.

Наприклад, делегація школярів добирається з Новосибірська до Сочі поїздом. Відстань між цими містами залізницею становить приблизно 3300 км. Швидкість поїзда, коли він тільки виїхав з Новосибірська становила, чи це означає, що посередині шляху швидкість була такою ж, а на під'їзді до Сочі [М1]? Чи можна, маючи лише ці дані, стверджувати, що час руху становитиме (Рис. 6). Звичайно ні, оскільки мешканці Новосибірська знають, що до Сочі їхати приблизно 84 год.

Мал. 6. Ілюстрація наприклад

Коли розглядається рух тіла великому ділянці шляху загалом, зручніше запровадити поняття середньої швидкості.

Середньою швидкістюназивають відношення повного переміщення, яке зробило тіло, на час, за який скоєно це переміщення (рис. 7).

Мал. 7. Середня швидкість

Дане визначення не завжди зручне. Наприклад, спортсмен пробігає 400 м – рівно одне коло. Переміщення спортсмена дорівнює 0 (рис. 8), однак ми розуміємо, що його середня швидкість нуля дорівнює бути не може.

Мал. 8. Переміщення дорівнює 0

Насправді найчастіше використовується поняття середньої шляхової швидкості.

Середня шляхова швидкість- Це відношення повного шляху, пройденого тілом, до часу, за який шлях пройдено (рис. 9).

Мал. 9. Середня шляхова швидкість

Існує ще одне визначення середньої швидкості.

Середня швидкість- це та швидкість, з якою має рухатися тіло рівномірно, щоб пройти дану відстань за той самий час, за який вона його пройшла, рухаючись нерівномірно.

З курсу математики відомо, що таке середнє арифметичне. Для чисел 10 і 36 воно дорівнюватиме:

Щоб дізнатися можливість використання цієї формули для знаходження середньої швидкості, вирішимо наступне завдання.

Завдання

Велосипедист піднімається зі швидкістю 10 км/год на схил, витрачаючи на це 0,5 години. Далі зі швидкістю 36 км/год спускається за 10 хвилин. Знайдіть середню швидкість велосипедиста (рис. 10).

Мал. 10. Ілюстрація до завдання

Дано:; ; ;

Знайти:

Рішення:

Оскільки одиниця виміру даних швидкостей – км/год, те й середню швидкість знайдемо км/год. Отже, ці завдання не будемо перекладати в СІ. Переведемо в годинник.

Середня швидкість дорівнює:

Повний шлях () складається зі шляху підйому на схил () та спуску зі схилу ():

Шлях підйому на схил дорівнює:

Шлях спуску зі схилу дорівнює:

Час, за який пройдено повний шлях, дорівнює:

Відповідь:.

З відповіді завдання, бачимо, що застосовувати формулу середнього арифметичного для обчислення середньої швидкості не можна.

Не завжди поняття середньої швидкості корисне на вирішення головного завдання механіки. Повертаючись до завдання про поїзд, не можна стверджувати, що якщо середня швидкість по всьому шляху поїзда дорівнює , то через 5 годин він перебуватиме на відстані від Новосибірська.

Середню швидкість, виміряну за нескінченно малий проміжок часу, називають миттєвою швидкістю тіла(Приклад: спідометр автомобіля (рис. 11) показує миттєву швидкість).

Мал. 11. Спідометр автомобіля показує миттєву швидкість

Існує ще одне визначення миттєвої швидкості.

Миттєва швидкість- Швидкість руху тіла в даний момент часу, швидкість тіла в даній точці траєкторії (рис. 12).

Мал. 12. Миттєва швидкість

Щоб краще зрозуміти дане визначення, розглянемо приклад.

Нехай автомобіль рухається прямолінійно ділянкою шосе. Ми маємо графік залежності проекції переміщення від часу для даного руху (рис. 13), проаналізуємо даний графік.

Мал. 13. Графік залежності проекції переміщення від часу

На графіку видно, що швидкість автомобіля не є постійною. Допустимо, необхідно знайти миттєву швидкість автомобіля через 30 секунд після початку спостереження (у точці A). Використовуючи визначення миттєвої швидкості, знайдемо модуль середньої швидкості за проміжок часу від до . Для цього розглянемо фрагмент цього графіка (рис. 14).

Мал. 14. Графік залежності проекції переміщення від часу

Для того щоб перевірити правильність знаходження миттєвої швидкості, знайдемо модуль середньої швидкості за проміжок часу від до , для цього розглянемо фрагмент графіка (рис. 15).

Мал. 15. Графік залежності проекції переміщення від часу

Розраховуємо середню швидкість на даній ділянці часу:

Отримали два значення миттєвої швидкості автомобіля за 30 секунд після початку спостереження. Точніше буде значення, де інтервал часу менше, тобто . Якщо зменшувати розглянутий інтервал часу сильніше, то миттєва швидкість автомобіля в точці Aвизначатиметься точніше.

Миттєва швидкість – це векторна величина. Тому, окрім її знаходження (знаходження її модуля), необхідно знати, як вона спрямована.

(при ) – миттєва швидкість

Напрямок миттєвої швидкості збігається із напрямком переміщення тіла.

Якщо тіло рухається криволінійно, то миттєва швидкість спрямована щодо траєкторії в даній точці (рис. 16).

Завдання 1

Чи може миттєва швидкість () змінюватись лише за напрямком, не змінюючись за модулем?

Рішення

Для вирішення розглянемо такий приклад. Тіло рухається криволінійною траєкторією (рис. 17). Відзначимо на траєкторії руху точку Aі точку B. Зазначимо напрямок миттєвої швидкості у цих точках (миттєва швидкість спрямована по дотичній до точки траєкторії). Нехай швидкості та однакові за модулем і дорівнюють 5 м/с.

Відповідь: може.

Завдання 2

Чи може миттєва швидкість змінюватись тільки по модулю, не змінюючись у напрямку?

Рішення

Мал. 18. Ілюстрація до завдання

На малюнку 10 видно, що у точці Aі в точці Bмиттєва швидкість спрямована однаково. Якщо тіло рухається рівноприскорено, то .

Відповідь:може.

На цьому уроці ми приступили до вивчення нерівномірного руху, тобто руху зі швидкістю, що змінюється. Характеристиками нерівномірного руху є середня та миттєва швидкості. Поняття про середню швидкість ґрунтується на уявній заміні нерівномірного руху рівномірним. Іноді поняття середньої швидкості (як ми побачили) дуже зручне, але для вирішення головного завдання механіки воно не підходить. Тому запроваджується поняття миттєвої швидкості.

Список літератури

1. Г.Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.М. Сотський. Фізика 10. – К.: Просвітництво, 2008.
2. А.П. Римкевич. фізика. Задачник 10-11. - М: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Завдання з фізики. - М: Наука, 1988.
4. А.В. Перишкін, В.В. Краукліс. Курс фізики Т. 1. - М.: Держ. уч.-пед. вид. хв. освіти РРФСР, 1957.

1. Інтернет-портал "School-collection.edu.ru" ().
2. Інтернет-портал "Virtulab.net" ().

Домашнє завдання

1. Запитання (1-3, 5) наприкінці параграфа 9 (стор. 24); Г.Я. Мякішев, Б.Б. Буховцев, Н.М. Сотський. Фізика 10 (див. список рекомендованої літератури)
2. Чи можна, знаючи середню швидкість за певний проміжок часу, знайти переміщення, здійснене тілом за будь-яку частину цього проміжку?
3. Чим відрізняється миттєва швидкість при рівномірному прямолінійному русі від миттєвої швидкості при нерівномірному русі?
4. Під час їзди автомобілем через кожну хвилину знімалися показання спідометра. Чи можна за цими даними визначити середню швидкість руху автомобіля?
5. Першу третину траси велосипедист їхав зі швидкістю 12 км на годину, другу третину – зі швидкістю 16 км на годину, а останню третину – зі швидкістю 24 км на годину. Знайдіть середню швидкість велосипеда протягом усього шляху. Відповідь дайте за км/год

1. Поступовий рух зустрічається нечасто. Зазвичай механічний рух - це рух із швидкістю, що змінюється. Рух, у якому швидкість тіла з часом змінюється, називають нерівномірним.

Наприклад, нерівномірно рухається транспорт. Автобус, починаючи рух, підвищує свою швидкість; при гальмуванні його швидкість зменшується. Ті, що падають на поверхню Землі, також рухаються нерівномірно: їх швидкість з часом зростає.

При нерівномірному русі координату тіла не можна визначити за формулою x = x 0 + v x tоскільки швидкість руху не є постійною. Виникає питання, яка величина характеризує швидкість зміни положення тіла з часом при нерівномірному русі? Такою величиною є Середня швидкість.

Середньою швидкістю vсрнерівномірного руху називають фізичну величину, рівну відношенню переміщення sтіла до часу t, За яке воно скоєно:

Середня швидкість є векторною величиною. Для визначення модуля середньої швидкості в практичних цілях цією формулою можна скористатися лише в тому випадку, коли тіло рухається вздовж прямої в один бік. У решті випадків ця формула непридатна.

Розглянемо приклад. Необхідно розрахувати час прибуття електрички на кожну станцію шляхом прямування. При цьому рух не є прямолінійним. Якщо розраховувати модуль середньої швидкості на ділянці між двома станціями, користуючись наведеною формулою, отримане значення відрізнятиметься від значення середньої швидкості, з яким рухалася електричка, оскільки модуль вектора переміщення менше пройденого електричкою шляху. А середня швидкість руху цієї електрички з початкового пункту до кінцевого пункту і назад відповідно до наведеної формули зовсім дорівнює нулю.

На практиці при визначенні середньої швидкості користуються величиною, що дорівнює відношенню шляху lдо часу t, за яке цей шлях пройдено:

v ср = .

Її часто називають середньою дорожньою швидкістю.

2. Знаючи середню швидкість тіла на якійсь ділянці траєкторії, не можна визначити його положення у будь-який момент часу. Припустимо, автомобіль проїхав шлях 300 км за 6 год. Середня швидкість руху автомобіля дорівнює 50 км/ч. Однак при цьому він міг якийсь час стояти, якийсь час рухатися зі швидкістю 70 км/год, якийсь час - зі швидкістю 20 км/год тощо.

Вочевидь, що, знаючи середню швидкість руху автомобіля за 6 год, ми можемо визначити його становище через 1 год, через 2 год, через 3 год тощо.

3. При русі тіло проходить послідовно всі точки траєкторії. У кожній точці воно знаходиться у певні моменти часу і має якусь швидкість.

Миттєвою швидкістю називають швидкість тіла в даний час або в даній точці траєкторії.

Припустимо, що тіло здійснює нерівномірний прямолінійний рух. Визначимо швидкість руху цього тіла у точці Oйого траєкторії (рис. 21). Виділимо на траєкторії ділянку AB, всередині якого знаходиться точка O. Переміщення s 1 на цьому ділянку здійснило за час t 1 . Середня швидкість руху на цій ділянці - vср 1 = .

Зменшимо рух тіла. Нехай воно одно s 2 , а час руху - t 2 . Тоді середня швидкість тіла за цей час: vср 2 =. Ще зменшимо переміщення, середня швидкість на цій ділянці: vср 3 = .

Будемо і далі зменшуватимемо час руху тіла і відповідно його переміщення. Зрештою, переміщення і час стануть такими маленькими, що прилад, наприклад спідометр в машині, перестане фіксувати зміну швидкості і рух за цей малий проміжок часу можна вважати рівномірним. Середня швидкість на цій ділянці і є миттєвою швидкістю тіла в точці O.

Таким чином,

миттєва швидкість - векторна фізична величина, що дорівнює відношенню малого переміщення D sдо малого проміжку часу D t, за яке це переміщення здійснено:

Запитання для самоперевірки

1. Який рух називають нерівномірним?

2. Що називають середньою швидкістю?

3. Що показує середня дорожня швидкість?

4. Чи можна, знаючи траєкторію руху тіла та його середню швидкість за певний проміжок часу, визначити положення тіла у будь-який момент часу?

5. Що називають миттєвою швидкістю?

6. Як ви розумієте вирази «мале переміщення» та «малий проміжок часу»?

Завдання 4

1. Автомобіль проїхав московськими вулицями 20 км за 0,5 год, при виїзді з Москви він стояв протягом 15 хв, а за наступні 1 год 15 хв проїхав Підмосков'ям 100 км. З якою середньою швидкістю рухався автомобіль на кожній ділянці та на всьому шляху?

2. Чому дорівнює середня швидкість руху поїзда на перегоні між двома станціями, якщо першу половину відстані між станціями він пройшов із середньою швидкістю 50 км/год, а другу – із середньою швидкістю 70 км/год?

3. Чому дорівнює середня швидкість руху поїзда на перегоні між двома станціями, якщо половину часу він пройшов із середньою швидкістю 50 км/год, а час, що залишився - із середньою швидкістю 70 км/год?