Ya'ni, sarlavhada ko'rgan narsangiz. Aslida, bu "fazoviy analog" tangensni topish muammosi va normalar bir o'zgaruvchining funksiyasi grafigiga va shuning uchun hech qanday qiyinchiliklar paydo bo'lmasligi kerak.

Keling, bir nechta asosiy savollardan boshlaylik: tangens tekislik nima va normal narsa nima? Ko'pchilik bu tushunchalarni sezgi darajasida biladi. Aqlga keladigan eng oddiy model - bu yupqa tekis karton bo'lagi bo'lgan to'p. Karton sharga imkon qadar yaqin joylashgan va unga bir nuqtada tegib turadi. Bundan tashqari, aloqa nuqtasida u to'g'ridan-to'g'ri yopishgan igna bilan o'rnatiladi.

Nazariy jihatdan, teginish tekisligining juda aqlli ta'rifi mavjud. O'zboshimchalik bilan tasavvur qiling sirt va unga tegishli nuqta. Shubhasiz, juda ko'p fazoviy chiziqlar bu sirtga tegishli. Kim qanday uyushmalarga ega? =) ... Men shaxsan sakkizoyoq bilan tanishtirdim. Aytaylik, har bir shunday chiziq bor fazoviy tangens nuqtada.

Ta'rif 1: tangens tekisligi bir nuqtada sirtga samolyot bu sirtga tegishli bo'lgan va nuqtadan o'tadigan barcha egri chiziqlarga teginlarni o'z ichiga olgan.

Ta'rif 2: normal bir nuqtada sirtga Streyt bu nuqtadan tangens tekislikka perpendikulyar o'tayotganda.

Oddiy va oqlangan. Aytgancha, materialning soddaligidan zerikishdan o'lmaslik uchun, birozdan keyin men siz bilan turli xil ta'riflarni to'ldirishni BIR VA BABOTA unutishga imkon beradigan bitta nafis sirni baham ko'raman.

Ishchi formulalar va yechim algoritmi bilan bevosita aniq misolda tanishamiz. Muammolarning ko'pchiligida tangens tekislik tenglamasini ham, normal tenglamalarni ham tuzish kerak bo'ladi:

1-misol

Yechim: sirt tenglama bilan berilgan bo'lsa (ya'ni bilvosita), u holda nuqtadagi berilgan sirtga teginish tekisligining tenglamasini quyidagi formula bilan topish mumkin:

Men noodatiy qisman hosilalarga alohida e'tibor beraman - ularning adashmaslik kerak bilan aniq belgilangan funksiyaning qisman hosilalari (garchi sirt aniq ko'rsatilgan bo'lsa ham)... Ushbu lotinlarni topishda sizga yo'l-yo'riq ko'rsatilishi kerak uchta o'zgaruvchili funktsiyani differentsiallash qoidalari, ya'ni har qanday o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda qolgan ikkita harf doimiy hisoblanadi:

To'lovdan chiqmasdan, biz qisman hosilani quyidagi nuqtada topamiz:

Xuddi shunday:

Bu qarorning eng yoqimsiz lahzasi edi, unda xatolik, agar ruxsat berilmasa, doimo paydo bo'ladi. Shunga qaramay, bu erda men darsda gaplashgan samarali tekshirish texnikasi mavjud Yo'nalishli hosila va gradient.

Barcha "ingrediyentlar" topildi va endi keyingi soddalashtirishlar bilan to'g'ri almashtirish kerak:

– umumiy tenglama kerakli tangens tekisligi.

Yechimning ushbu bosqichini ham tekshirishingizni qat'iy tavsiya qilaman. Birinchidan, teginish nuqtasining koordinatalari topilgan tenglamaga haqiqatan ham javob berishiga ishonch hosil qilishingiz kerak:

- haqiqiy tenglik.

Endi biz tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlarini "olib tashlaymiz" va ularni mos keladigan qiymatlar bilan mos kelishi yoki proportsionalligi uchun tekshiramiz. Bunday holda, ular proportsionaldir. dan eslaysizmi analitik geometriya kursi, - bu normal vektor tangens tekislik va u - yo'nalish vektori oddiy to'g'ri chiziq. Keling, tuzamiz kanonik tenglamalar nuqta va yo'nalish vektori bo'yicha normallar:

Asos sifatida, denominatorlarni "ikki" ga kamaytirish mumkin, ammo bunga alohida ehtiyoj yo'q

Javob:

Tenglamalarni ba'zi harflar bilan belgilash taqiqlangan emas, lekin yana - nima uchun? Bu erda va shuning uchun nima ekanligi juda aniq.

Keyingi ikkita misol o'z-o'ziga yordam berish uchun. Kichkina "matematik tilni o'giruvchi":

2-misol

Bir nuqtadagi teginish tekislik va sirtning normal tenglamalarini toping.

Va texnik nuqtai nazardan qiziqarli vazifa:

3-misol

Bir nuqtada yuzaning teginish tekisligi va normal tenglamalarini yozing

Shu nuqtada.

Nafaqat chalkashib ketish, balki yozib olishda qiyinchiliklarga duch kelish uchun barcha imkoniyatlar mavjud chiziqning kanonik tenglamalari... Va normalning tenglamalari, ehtimol siz tushunganingizdek, odatda ushbu shaklda yoziladi. Garchi ba'zi nuanslarni unutish yoki bilmaslik tufayli parametrik shakl ko'proq qabul qilinadi.

Dars oxirida tugatish echimlarining namunalari.

Tangens tekislik sirtning istalgan nuqtasida mavjudmi? Umuman olganda, albatta, yo'q. Klassik misol toraygan sirt va nuqta - bu nuqtadagi tangenslar to'g'ridan-to'g'ri konusning sirtini hosil qiladi va, albatta, bir tekislikda yotmaydi. Analitik tarzda muammolarga ishonch hosil qilish oson:

Muammolarning yana bir manbai bu fakt yo'qlik nuqtadagi har qanday qisman hosila. Biroq, bu ma'lum bir nuqtada bitta tangens tekislik yo'q degani emas.

Ammo bu amaliy ahamiyatga ega ma'lumotlardan ko'ra ko'proq ilmiy ommabop edi va biz kundalik ishlarimizga qaytamiz:

Tangens tekislik va nuqtadagi normal uchun tenglamalarni qanday yozish kerak,
sirt aniq funksiya bilan berilgan bo'lsa?

Keling, buni bilvosita qayta yozamiz:

Xuddi shu printsiplarga ko'ra, biz qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib, tangens tekislik formulasi quyidagi tenglamaga aylantiriladi:

Shunga ko'ra, kanonik normal tenglamalar:

Siz taxmin qilganingizdek, - bular allaqachon "haqiqiy" ikki o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilalari Biz "z" harfi bilan belgilagan va 100 500 marta topilgan nuqtada.

E'tibor bering, ushbu maqolada birinchi formulani eslab qolish kifoya, agar kerak bo'lsa, undan boshqa hamma narsani olish oson. (tushunarli, asosiy tayyorgarlik darajasiga ega)... Bu aniq fanlarni o'rganishda qo'llanilishi kerak bo'lgan yondashuv, ya'ni. minimal ma'lumotlardan maksimal xulosalar va oqibatlarni "chiqarib tashlash" ga intilishi kerak. "Soobrazhalovka" va yordam berish uchun allaqachon mavjud bilim! Bu tamoyil ham foydalidir, chunki u sizni juda kam bilganingizda, sizni tanqidiy vaziyatda qutqarishi mumkin.

Keling, bir nechta misollar bilan "o'zgartirilgan" formulalarni ishlab chiqaylik:

4-misol

Tangens tekislik va sirtga normal tenglamalarni yozing nuqtada.

Bu erda kichik bir qoplama belgilar bilan chiqdi - endi harf samolyotdagi nuqtani bildiradi, lekin nima qilish kerak - bunday mashhur xat ....

Yechim: kerakli tangens tekislik tenglamasi quyidagi formula bilan tuziladi:

Funktsiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz:

Keling, hisoblaylik 1-tartibli qisman hosilalar Mazkur holatda:

Shunday qilib:

ehtiyotkorlik bilan, shoshmasdan:

Biz bir nuqtada normalning kanonik tenglamalarini yozamiz:

Javob:

Va o'z-o'zidan hal qilish uchun yakuniy misol:

5-misol

Bir nuqtada yuzaning teginish tekisligi va normal tenglamalarini yozing.

Yakuniy - chunki aslida men barcha texnik fikrlarni tushuntirdim va qo'shadigan alohida narsa yo'q. Hatto bu vazifada taklif qilingan funksiyalarning o‘zi ham zerikarli va monotondir – amalda “ko‘pnom”ga duch kelishingiz deyarli kafolatlangan va shu ma’noda ko‘rsatkichli 2-misol “qora qo‘y”ga o‘xshaydi. Aytgancha, bu tenglama tomonidan berilgan sirtni qondirish ehtimoli ancha yuqori va bu funktsiyaning "ikkinchi raqam" maqolasiga kiritilishining yana bir sababidir.

Va nihoyat, va'da qilingan sir: qanday qilib ta'riflarni siqishdan qochish mumkin? (Men, albatta, talaba imtihon oldidan nimadir ovora bo'ladigan vaziyatni nazarda tutmayapman)

Har qanday tushuncha / hodisa / ob'ektning ta'rifi, birinchi navbatda, quyidagi savolga javob beradi: BU NIMA? (kim / shunday / shunday / shunday). Ongli ravishda bu savolga javob berishda siz mulohaza yuritishga harakat qilishingiz kerak muhim belgilar, so'zsiz u yoki bu tushuncha / hodisa / ob'ektni aniqlash. Ha, dastlab bu biroz tilga bog'langan, noto'g'ri va ortiqcha bo'lib chiqadi (o'qituvchi tuzatadi =)), lekin vaqt o'tishi bilan mutlaqo munosib ilmiy nutq rivojlanadi.

Eng mavhum ob'ektlar ustida mashq qiling, masalan, savolga javob bering: Cheburashka kim? Bu unchalik oddiy emas ;-) Bu "katta quloqlari, ko'zlari va jigarrang sochli ertak qahramoni"mi? Ta'rifdan uzoq va juda uzoq - siz bunday xususiyatlarga ega belgilar borligini hech qachon bilmaysiz .... Ammo bu allaqachon ta'rifga yaqinroq: "Cheburashka - 1966 yilda yozuvchi Eduard Uspenskiy tomonidan ixtiro qilingan personaj, u ... (asosiy farqlovchi xususiyatlarni sanab o'tish)"... Bu qanchalik yaxshi boshlanganiga e'tibor bering

1 °

1 °. Tangens tekisligining tenglamalari va sirtning aniq spetsifikatsiyasi uchun normal.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilalarining geometrik qo'llanilishidan birini ko'rib chiqing. Funktsiyaga ruxsat bering z = f (x;y) nuqtada farqlanadi (x 0; 0 da) ba'zi hudud DÎ R 2... Keling, sirtni kesib olaylik S, tasvirlash funktsiyasi z, samolyotlar x = x 0 va y = y 0(11-rasm).

Samolyot NS = x 0 sirtini kesib o'tadi S ba'zi bir chiziq bo'ylab z 0 (y), uning tenglamasi asl funktsiyani ifodaga almashtirish orqali olinadi z ==f (x;y) o'rniga NS raqamlar x 0. Nuqta M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) egri chiziqqa tegishli z 0 (y). Differensiallanuvchi funksiya tufayli z nuqtada M 0 funktsiyasi z 0 (y) nuqtada ham farqlanadi y = y 0. Shuning uchun, samolyotda bu nuqtada x = x 0 egri chiziqqa z 0 (y) tangensni chizish mumkin l 1.

Bo'lim uchun shunga o'xshash fikr yuritish da = 0 da, tangens qurish l 2 egri chiziqqa z 0 (x) nuqtada NS = x 0 - To'g'ridan-to'g'ri 1 1 va 1 2 deb nomlangan tekislikni aniqlang tangens tekisligi yuzasiga S nuqtada M 0.

Keling, uning tenglamasini tuzamiz. Samolyot nuqtadan o'tganligi sababli oy (x 0;y 0;z 0), u holda uning tenglamasini shaklda yozish mumkin

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

bu shunday qayta yozilishi mumkin:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(tenglamani -C ga bo'lish va belgilash ).

Toping A 1 va B 1.

Tangens tenglamalar 1 1 va 1 2 shaklga ega

mos ravishda.

Tangent l 1 tekislikda yotadi a , shuning uchun barcha nuqtalarning koordinatalari l 1(1) tenglamani qanoatlantiring. Bu faktni tizim sifatida yozish mumkin

Bu sistemani B 1 ga nisbatan yechib, shuni olamiz.Tangens uchun shunga o'xshash fikr yuritish l 3, buni aniqlash oson.

Qiymatlarni almashtirish A 1 va B 1 ni (1) tenglamaga kiritsak, biz tangens tekislikning kerakli tenglamasini olamiz:

Chiziq orqali nuqta M 0 va sirtning shu nuqtasida qurilgan tangens tekislikka perpendikulyar uning deyiladi normal.

To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik shartidan foydalanib, normalning kanonik tenglamalarini olish oson:

Izoh. Sirtning oddiy, ya'ni yagona bo'lmagan nuqtalari uchun teginish tekisligi va sirtga normal formulalar olinadi. Nuqta M 0 sirt deyiladi maxsus, agar bu nuqtada barcha qisman hosilalar nolga teng bo'lsa yoki ulardan kamida bittasi mavjud bo'lmasa. Biz bunday fikrlarni hisobga olmaymiz.

Misol. Tangens tekislik va uning nuqtasidagi sirtning normal tenglamalarini yozing M (2; -1; 1).

Yechim. Keling, ushbu funktsiyaning qisman hosilalari va ularning M nuqtadagi qiymatlarini topamiz

Shunday qilib, (2) va (3) formulalarni qo'llasak, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) yoki 2x + 2y-z-1 = 0- tangens tekislik tenglamasi va - normal tenglamalar.

2 °. Tangens tekislik tenglamalari va noaniq sirt aniqlangan holat uchun normal.

Agar sirt S tenglama bilan berilgan F (x; y;z)= 0, keyin (2) va (3) tenglamalar, qisman hosilalarni yashirin funktsiyaning hosilalari sifatida topish mumkinligini hisobga olgan holda.

Oddiy tekislik tenglamasi

1.

4.

Tangens tekislik va sirt normal

Ba'zi sirt berilgan bo'lsin, A - sirtning qo'zg'almas nuqtasi va B - sirtning o'zgaruvchan nuqtasi,

(1-rasm).

Nolga teng bo'lmagan vektor

→

n

chaqirdi normal vektor Agar A nuqtadagi sirtga

lim B → A j = π 2 .

F (x, y, z) = 0 sirtining nuqtasi, agar bu nuqtada bo'lsa, oddiy deyiladi

1. qisman hosilalari F "x, F" y, F "z uzluksiz;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Agar ushbu shartlardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa, sirtdagi nuqta deyiladi sirtning yagona nuqtasi .

Teorema 1. Agar M (x 0, y 0, z 0) sirtning oddiy nuqtasi F (x, y, z) = 0, u holda vektor

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

M nuqtada bu sirt uchun normaldir (x 0, y 0, z 0).

Isbot kitobida berilgan I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsov, V.I. Proxorenko, V.F. Safonova `` Oliy matematika kursi: Integral hisob. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Differensial tenglamalar. Moskva: MPEI nashriyoti, 2002 (128-bet).

Oddiy sirt qaysidir nuqtada yoʻnalish vektori shu nuqtada sirtga normal boʻlgan va shu nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq deyiladi.

Kanonik normal tenglamalar sifatida ifodalanishi mumkin

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangens tekisligi biror nuqtada sirtga shu nuqtadan sirtga normal perpendikulyar bo'lgan bu nuqtadan o'tadigan tekislik deyiladi.

Bu ta'rifdan kelib chiqadiki tangens tekislik tenglamasi kabi ko'rinadi:

(3)

Agar sirtdagi nuqta yagona bo'lsa, u holda bu nuqtada sirtga normal vektor mavjud bo'lmasligi mumkin va shuning uchun sirt normal va teginish tekisligiga ega bo'lmasligi mumkin.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsialining geometrik ma'nosi

z = f (x, y) funksiya a (x 0, y 0) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Uning grafigi sirtdir

f (x, y) - z = 0.

Biz z 0 = f (x 0, y 0) ni qo'yamiz. U holda A nuqta (x 0, y 0, z 0) sirtga tegishlidir.

F (x, y, z) = f (x, y) - z funksiyaning qisman hosilalari

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

va A nuqtada (x 0, y 0, z 0)

1. ular doimiy;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Demak, A F (x, y, z) sirtining oddiy nuqtasidir va bu nuqtada sirtga teginish tekisligi mavjud. (3) ga ko'ra, tangens tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

a (x 0, y 0) nuqtadan ixtiyoriy p (x, y) nuqtaga o‘tishda nuqtaning tangens tekislikdagi vertikal siljishi B Q ga teng (2-rasm). Tegishli o'sish

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Bu erda o'ng tomonda differentsial mavjud d a (x 0, x 0) nuqtada z = f (x, y) funksiyaning z. Demak,
d f (x 0, y 0). (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)) nuqtadagi f (x, y) funksiya grafigiga teguvchi tekislik nuqtasi ilovasining oshib borishi.

Differensialning ta'rifidan kelib chiqadiki, funksiya grafigidagi P nuqta bilan tangens tekislikdagi Q nuqta orasidagi masofa p nuqtadan a nuqtagacha bo'lgan masofadan yuqori tartibli cheksiz kichikdir.

Ta'rif. Umumiy tenglama (1) bo'yicha GDSK ga nisbatan berilgan ikkinchi tartibli sirtda yotgan nuqta, agar uchta raqam orasida: nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, yagona bo'lmagan nuqta deyiladi.

Shunday qilib, ikkinchi tartibli sirtda yotgan nuqta, agar u uning markazi bo'lsa, aks holda, sirt konussimon bo'lsa va nuqta bu sirtning cho'qqisi bo'lsa, yagona bo'lmaydi.

Ta'rif. Ikkinchi tartibli sirtga uning ma'lum bir yagona bo'lmagan nuqtasida teginish chizig'i bu nuqtadan o'tuvchi, ikkinchi tartibli sirtni qo'sh nuqtada kesib o'tuvchi yoki sirtning to'g'ri chiziqli avlodi bo'lgan to'g'ri chiziqdir.

Teorema 3. Ikkinchi tartibli sirtga uning ma'lum bir yagona bo'lmagan nuqtasida teginish chiziqlari bitta tekislikda yotadi, ular ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi sirtga teguvchi tekislik deb ataladi. Tangens tekislik tenglamasi mavjud

Isbot. (1) tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtning yagona bo'lmagan nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari,, bo'lsin. Tenglamani (1) o'rniga,,, o'rniga, biz quyidagilarni olamiz:

Nuqta (1) sirtda yotganligi uchun (3) tenglamadan ham topamiz (bu qiymat nuqtaga mos keladi). To'g'ri chiziqning sirt (1) bilan kesishgan nuqtasi qo'sh bo'lishi yoki to'g'ri chiziq butunlay sirtda yotishi uchun quyidagi tenglik amal qilishi zarur va etarli:

Agar bir vaqtning o'zida:

To'g'ri chiziqning sirt (1) bilan kesishish nuqtasi ikki barobar. Agar:

Keyin butun chiziq sirtda yotadi (1).

(4) va, munosabatlaridan kelib chiqadiki, sirtga har qanday teginish ustida joylashgan har qanday nuqtaning koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiradi:

Aksincha, agar bu tenglamadan boshqa biron bir nuqtaning koordinatalari qanoatlansa, u holda koordinatalar,, vektorlar (4) munosabatni qanoatlantiradi, ya’ni chiziq ko‘rib chiqilayotgan sirtga tangensdir.

Nuqta sirtning (1) yagona bo'lmagan nuqtasi bo'lganligi sababli, sonlar orasida, nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud; u holda (5) tenglama ga nisbatan birinchi darajali tenglamadir. Bu sirt (1) yuzasiga uning berilgan yagona bo'lmagan nuqtasida teginish tekisligi tenglamasi.

Ikkinchi tartibli sirtlarning kanonik tenglamalariga asoslanib, ellipsoid, giperboloid va boshqalarga teguvchi tekisliklarning tenglamalarini tuzish oson. ularning ma'lum bir nuqtasida.

1). Ellipsoidga teginish tekisligi:

2). Bir va ikki varaqli giperboloidlarga teginish tekisligi:

3). Elliptik va giperbolik paraboloidlarga teginish tekisligi:

§ 161. Tangens tekislikning ikkinchi tartibli sirt bilan kesishishi.

ODSK, o'qning koordinatalarining kelib chiqishi sifatida ikkinchi tartibli sirtning yagona bo'lmagan nuqtasini olamiz va uni nuqtadagi sirtga teginish tekisligiga joylashtiramiz. U holda sirtning umumiy tenglamasida (1) bo'sh muddat nolga teng: va koordinatalar boshidagi sirtga tegib turgan tekislik tenglamasi: ko'rinishga ega bo'lishi kerak.

Lekin koordinata boshidan o'tuvchi tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:.

Va, chunki bu tenglama tenglamaga ekvivalent bo'lishi kerak, demak,,.

Shunday qilib, tanlangan koordinatalar tizimida sirt tenglamasi (1) quyidagi shaklga ega bo'lishi kerak:

Aksincha, agar, u holda (6) tenglama koordinata boshidan o’tuvchi sirt tenglamasi, tekislik esa nuqtada shu sirtga teguvchi tekislikdir. Sirtga teguvchi tekislik sirtni (6) kesishgan nuqtadagi chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Agar . Bu ikkinchi tartibli chiziqlar uchun invariantlar nazariyasidagi invariantdir. Tenglama (7)

Bu ikkinchi tartib qatori. Ushbu chiziq shakliga ko'ra, u o'zgarmasdir, shuning uchun:

Qachonki, bu erda ikkita xayoliy kesishuvchi to'g'ri chiziq mavjud.

At - ikkita haqiqiy kesishuvchi to'g'ri chiziq.

Agar koeffitsientlarning kamida bittasi, nolga teng bo'lmasa, kesishish chizig'i (7) ikkita mos keladigan to'g'ri chiziqdir.

Nihoyat, agar, keyin samolyot

bu sirtning bir qismidir va sirtning o'zi demak, bir juft tekislikka bo'linadi

§ 162. Ikkinchi tartibli sirtning elliptik, giperbolik yoki parabolik nuqtalari.

1. Bir nuqtada ikkinchi tartibli sirtga teguvchi tekislik uni ikkita xayoliy kesishuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tsin. Bunda nuqta sirtning elliptik nuqtasi deb ataladi.

2. Bir nuqtada ikkinchi tartibli sirtga teguvchi tekislik uni tegish nuqtasida kesishgan ikkita haqiqiy to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tsin. Bunda nuqta sirtning giperbolik nuqtasi deyiladi.

3. Ikkinchi tartibli sirtga teguvchi tekislik uni bir-biriga to‘g‘ri keladigan ikkita to‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir nuqtada kesib o‘tsin. Bunda nuqta sirtning parabolik nuqtasi deyiladi.

Teorema 4. ODSKga nisbatan ikkinchi tartibli sirt (1) tenglama bilan berilsin va berilgan (1) tenglama ikkinchi tartibli haqiqiy parchalanmaydigan sirt tenglamasi bo'lsin. Keyin, agar; u holda sirtning barcha nuqtalari elliptikdir.

Isbot. Keling, koordinatalarning boshi sifatida berilgan sirtning har qanday yagona bo'lmagan nuqtasini tanlab, o'qlarni va tekislikda sirtga teginish nuqtasini qo'yib, yangi koordinatalar tizimini joriy qilaylik. Yangi koordinatalar tizimidagi (1) tenglama quyidagi ko'rinishga o'zgartiriladi:

Qayerda. Keling, bu tenglama uchun invariantni hisoblaylik.

Bir ODSKdan boshqa ODSKga o'tish paytida belgi o'zgarmasligi sababli, belgilar qarama-qarshi bo'ladi, shuning uchun agar, keyin; va tasnifdan kelib chiqqan holda (161-§ ga qarang), bir nuqtada sirtga teguvchi tekislik sirtni ikkita xayoliy kesishuvchi chiziq bo'ylab kesib o'tadi, ya'ni. - elliptik nuqta.

2) Bir varaqli giperboloid va giperbolik paraboloid giperbolik nuqtalardan iborat.

3) Ikkinchi tartibli haqiqiy konus (choʻqqisi chiqarib tashlanadi), elliptik (real), giperbolik va parabolik silindrlar parabolik nuqtalardan iborat.

Parabolik tsilindr.

Parabolik tsilindrning joylashishini aniqlash uchun quyidagilarni bilish kifoya:

1) silindrning avlodiga parallel simmetriya tekisligi;

2) silindrga teguvchi tekislik, shu simmetriya tekisligiga perpendikulyar;

3) bu tangens tekislikka perpendikulyar bo'lgan va silindrning botiq tomoniga yo'naltirilgan vektor.

Agar umumiy tenglama parabolik tsilindrni aniqlasa, uni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Biz tanlaymiz m shunday qilib, samolyot

o'zaro perpendikulyar bo'ladi:

Ushbu qiymat bilan m samolyot

silindrning generatrixiga parallel simmetriya tekisligi bo'ladi.

Samolyot

belgilangan simmetriya tekisligiga perpendikulyar bo'lgan silindrga teguvchi tekislik va vektor bo'ladi.

topilgan tangens tekislikka perpendikulyar bo'ladi va silindrning botiq tomoniga yo'naltiriladi.

Tangens tekisliklar geometriyada katta rol o'ynaydi. Amaliy ma'noda teginish tekisliklarini qurish muhim ahamiyatga ega, chunki ularning mavjudligi teginish nuqtasida normalning sirtga yo'nalishini aniqlashga imkon beradi. Bu muammo muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi. Tangens tekisliklari yopiq sirtlar bilan chegaralangan geometrik shakllarning konturlarini qurish uchun ham qo'llaniladi. Nazariy ma’noda sirtga tangens bo‘lgan tekisliklardan differensial geometriyada teginish nuqtasi yaqinidagi sirt xossalarini o‘rganish uchun foydalaniladi.

Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Sirtga tegib turgan tekislikni ajralish tekisligining chegaralovchi pozitsiyasi sifatida ko'rib chiqish kerak (egri chiziqqa teguvchi to'g'ri chiziqqa o'xshash, bu ham sekant tekisligining cheklovchi pozitsiyasi sifatida belgilanadi).

Sirtning ma'lum bir nuqtasida sirtga teguvchi tekislik barcha to'g'ri chiziqlar to'plamidir - ma'lum bir nuqta orqali sirtga tortilgan teglar.

Differensial geometriyada oddiy nuqtada chizilgan sirtga barcha teglar koplanar (bir tekislikka tegishli) ekanligi isbotlangan.

Keling, sirtga tangens chiziq qanday chizilganligini bilib olaylik. Sirtda ko'rsatilgan M nuqtada (203-rasm) b sirtga teginish t, sirtni ikki nuqtada (MM 1, MM 2, ..., MM n) kesishgan lj sekantning chegaralangan holatini ifodalaydi. kesishish nuqtalari mos keladi (M ≡ M n, ln ≡ l M). Shubhasiz (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, chunki g ⊂ b. Yuqoridagilardan quyidagi ta'rif kelib chiqadi: sirtga teginish - sirtga tegishli har qanday egri chiziqqa teguvchi to'g'ri chiziq.

Tekislik ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq bilan aniqlanganligi sababli, ma'lum bir nuqtada sirtga teguvchi tekislikni ko'rsatish uchun, bu nuqta orqali sirtga tegishli ikkita ixtiyoriy chiziqni (yaxshiroq shaklda) va har biriga o'tkazish kifoya. Ulardan bu chiziqlarning kesishish nuqtasida tangenslar qurish ... Tuzilgan tangenslar tangens tekisligini o'ziga xos tarzda belgilaydi. Berilgan M nuqtada b sirtga teguvchi a tekislik chizmasining vizual tasviri shaklda keltirilgan. 204. Bu rasmda b sirtga normal n ham ko'rsatilgan.

Berilgan nuqtadagi sirtning normali teginish tekisligiga perpendikulyar va teginish nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.

Sirtning normaldan o'tuvchi tekislik bilan kesishish chizig'i sirtning normal kesimi deyiladi. Sirt turiga qarab, teginish tekisligi sirt bilan bir yoki bir nechta nuqtaga (chiziq) ega bo'lishi mumkin. Tangens chizig'i bir vaqtning o'zida sirtning tekislik bilan kesishish chizig'i bo'lishi mumkin.

Sirtda teginish mumkin bo'lmagan nuqtalar mavjud bo'lgan holatlar ham mumkin; bunday nuqtalar maxsus deyiladi. Yagona nuqtalarga misol qilib, torso sirtining qaytishi chetiga tegishli nuqtalar yoki aylanish yuzasi meridianining uning o'qi bilan kesishish nuqtasi, agar meridian va o'q to'g'ri burchak ostida kesishmasa.

Tangens turlari sirt egriligining tabiatiga bog'liq.

Yuzaki egrilik

Sirt egriligi masalalari frantsuz matematigi F.Dyupin (1784-1873) tomonidan o'rganilib, u sirtning normal kesimlari egri chizig'ining o'zgarishini tasvirlashning vizual usulini taklif qildi.

Buning uchun M nuqtasida ko'rib chiqilayotgan sirtga teginish tekisligida (205, 206-rasm), bu kesmalarning tegishli egrilik radiuslari qiymatlarining kvadrat ildizlariga teng bo'lgan segmentlar teglarga yotqiziladi. bu nuqtaning har ikki tomonidagi normal bo'limlar. Nuqtalar to'plami - segmentlarning uchlari chaqirilgan egri chiziqni belgilaydi Dupin ko'rsatkichi... Dupin indikatrisini qurish algoritmini (205-rasm) yozish mumkin:

1. M ∈ a, M ∈ b ∧ a b;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

bu erda R - egrilik radiusi.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) Dupin indikatoridir.

Agar sirtning Dupin ko'rsatkichi ellips bo'lsa, M nuqta elliptik, sirt esa elliptik nuqtali sirt deb ataladi.(206-rasm). Bunday holda, teginish tekisligi sirt bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega va sirtga tegishli va ko'rib chiqilayotgan nuqtada kesishgan barcha chiziqlar teginish tekisligining bir tomonida joylashgan. Elliptik nuqtalari bo'lgan sirtlarga misollar: inqilob paraboloidi, aylanish ellipsoidi, shar (bu holda Dupin ko'rsatkichi aylana va boshqalar).

Tangens tekislikni torso yuzasiga chizishda tekislik bu sirtga to'g'ri generatrix bo'ylab tegadi. Ushbu chiziqning nuqtalari deyiladi parabolik, sirt esa parabolik nuqtalari bo'lgan sirtdir... Dupin ko'rsatkichi bu holda ikkita parallel to'g'ri chiziqdir (207-rasm *).

Shaklda. 208 nuqtalardan tashkil topgan sirtni ko'rsatadi

* Ikkinchi tartibli egri chiziq - parabola - ma'lum sharoitlarda ikkita haqiqiy parallel to'g'ri chiziqqa, ikkita xayoliy parallel to'g'ri chiziqqa, ikkita mos keladigan to'g'ri chiziqqa bo'linishi mumkin. Shaklda. 207 biz ikkita haqiqiy parallel chiziq bilan ishlaymiz.

Tangens tekislik sirtni kesib o'tadi. Bunday sirt deyiladi giperbolik, va unga tegishli nuqtalar - giperbolik nuqtalar. Bu holatda Dupin indikatori giperboladir.

Barcha nuqtalari giperbolik bo'lgan sirt egar shakliga ega (qiyshiq tekislik, bir varaqli giperboloid, inqilobning konkav yuzalari va boshqalar).

Bir sirt har xil turdagi nuqtalarga ega bo'lishi mumkin, masalan, torso yuzasida (209-rasm) M nuqtasi elliptik; N nuqta - parabolik; K nuqtasi giperbolikdir.

Differensial geometriya kursida egrilik qiymatlari K j = 1 / R j (bu erda R j - ko'rib chiqilayotgan kesmaning egrilik radiusi) ekstremal qiymatlarga ega bo'lgan normal kesmalar ikkitada joylashganligi isbotlangan. o'zaro perpendikulyar tekisliklar.

Bunday egriliklar K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min asosiy deb ataladi va H = (K 1 + K 2) / 2 va K = K 1 K 2 qiymatlari mos ravishda sirtning o'rtacha egriligi va umumiy (Gauss) hisoblanadi. ko'rib chiqilayotgan nuqtada sirtning egriligi. Elliptik nuqtalar uchun K> 0, giperbolik nuqtalar K

Monge syujetidagi sirtga teginish tekisligini ko'rsatish

Quyida aniq misollar yordamida elliptik (1-misol), parabolik (2-misol) va giperbolik (3-misol) nuqtalari bo'lgan sirtga teginish tekisligini qurishni ko'rsatamiz.

O'RNAK 1. Revolyutsiya b yuzasiga teguvchi, elliptik nuqtalari bo'lgan a tekislikni tuzing. Bu masalani yechishning ikkita variantini ko‘rib chiqing, a) M ∈ b nuqta va b) M ∉ b nuqta.

Variant a (210-rasm).

Tangens tekislik b sirtning parallel va meridianiga M nuqtada chizilgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari bilan aniqlanadi.

t 1 tangensining b sirtning h paralleliga proyeksiyalari t "1 ⊥ (S" M ") va t" 1 bo'ladi || x o'qi. M nuqtadan o'tuvchi b sirtning d meridianiga t "2" tegining gorizontal proyeksiyasi meridianning gorizontal proyeksiyasiga to'g'ri keladi. Tangensning t" 2 frontal proyeksiyasini topish uchun meridional g (g ∋) tekislik. M) sirt o'qi atrofida aylanish orqali b p 2 tekislikka parallel g 1 holatiga o'tkaziladi. Bunda M → M 1 nuqta (M “1, M” 1) t “2 rarr; t” 2 1 tangensining proyeksiyasi aniqlanadi (M “1 S”). Agar endi g 1 tekislikni dastlabki holatiga qaytarsak, u holda S "nuqta o'z o'rnida qoladi (aylanish o'qiga tegishli) va M" 1 → M "va tangensning frontal proyeksiyasi t" 2 bo'ladi. aniqlanadi (M "S")

M ∈ b nuqtada kesishgan ikkita t 1 va t 2 tangenslari b sirtga teguvchi a tekislikni aniqlaydi.

Variant b (211-rasm)

Sirtga tegishli bo'lmagan nuqtadan o'tuvchi sirtga teginish tekisligini qurish uchun quyidagi mulohazalardan kelib chiqish kerak: sirtdan tashqaridagi elliptik nuqtalardan tashkil topgan nuqta orqali sirtga teguvchi tekisliklar to'plamini o'tkazish mumkin. Bu sirtlarning konverti qandaydir konusning yuzasi bo'ladi. Shuning uchun, agar qo'shimcha ko'rsatmalar bo'lmasa, u holda masalaning ko'plab echimlari mavjud va bu holda konusning sirtini g teginish bu sirt b bilan chizishga keltiriladi.

Shaklda. 211-rasmda b sharga teguvchi konussimon sirtni qurish ko'rsatilgan. Konusning g yuzasiga teggan har qanday a tekislik b sirtga teginish bo'ladi.

M "va M" nuqtalardan g sirtning proyeksiyalarini qurish uchun h "va f" aylanalarga - sharning proyeksiyalariga teginishlar o'tkaziladi. 1 (1 "va 1"), 2 (2 "va 2"), 3 (3 "va 3") va 4 (4 "va 4") teginish nuqtalarini belgilang. Doiraning gorizontal proyeksiyasi - konusning yuza va sharning tangens chizig'i [1 "2"] da proyeksiya qilinadi. Bu doira frontal proyeksiya tekisligiga proyeksiyalanadigan ellips nuqtalarini topish uchun quyidagi parallellardan foydalaning. shar.

Shaklda. 211 shu tarzda E va F (E «va F») nuqtalarining frontal proyeksiyalari aniqlanadi. Konussimon sirt g ga ega bo'lib, unga teginish a tekisligini quramiz. Grafikning tabiati va ketma-ketligi

Buning uchun bajarilishi kerak bo'lgan konstruktsiyalar quyidagi misolda ko'rsatilgan.

2-misol Parabolik nuqtalar bilan b sirtga teguvchi a tekislikni tuzing.

1-misoldagi kabi, yechimning ikkita variantini ko'rib chiqing: a) N ∈ b nuqta; b) N ∉ b nuqta

Variant a (212-rasm).

Konussimon sirt deganda parabolik nuqtalari boʻlgan sirtlar tushuniladi (207-rasmga qarang.) Konussimon sirtga teggan tekislik unga toʻgʻri chiziqli generatrix boʻylab tegadi.

1) shu N nuqta orqali SN (S "N" va S "N") generatorini chizamiz;

2) generatrixning kesishish nuqtasini (SN) yo'riqnoma d bilan belgilang: (SN) ∩ d = A;

3) A nuqtada t dan d ga tangensni aylantiradi.

Generator (SA) va uni kesib o'tuvchi t tangensi berilgan N * nuqtada konusning b yuzasiga teginish tekisligini aniqlaydi.

Konussimon sirtga teguvchi b va N nuqtadan o'tuvchi a tekislikni chizish uchun tegishli emas.

* b sirt parabolik nuqtalardan (S cho'qqisidan tashqari) iborat bo'lganligi uchun unga tegib turgan a tekislik u bilan bitta N nuqta emas, balki to'g'ri chiziq (SN)ga umumiy bo'ladi.

ma'lum bir sirtda quyidagilar zarur:

1) konussimon yuzaning b berilgan N nuqtasi va S cho'qqisi orqali a (a "va a") to'g'ri chiziq o'tkazing;

2) bu to'g'ri chiziqning H a gorizontal izini aniqlang;

3) H a orqali h 0b egri chizig'ining t "1 va t" 2 tangenslarini torting - konusning sirtining gorizontal izi;

4) teginish nuqtalarini A (A "va A") va B (B "va B") konusning S (S "va S") yuzasining yuqori qismiga ulang.

Kesishuvchi t 1, (AS) va t 2, (BS) chiziqlar izlanuvchi a 1 va a 2 teginish tekisliklarini aniqlaydi.

MISOL 3. Giperbolik nuqtalar bilan b sirtga teguvchi a tekislikni tuzing.

K nuqtasi (214-rasm) globoid yuzasida (halqaning ichki yuzasi) joylashgan.

Tangens a tekisligining holatini aniqlash uchun quyidagilar zarur:

1) K nuqta orqali b h (h ", h") yuzasiga parallel ravishda chizamiz;

2) K nuqta orqali “t” 1 (t “1 ≡ h”) tangensini chizamiz;

3) meridional kesmaga tangens proyeksiyalarining yo’nalishlarini aniqlash uchun K nuqta va sirt o’qi orqali g tekislikni o’tkazish kerak, gorizontal proyeksiya t “2 h 0g bilan mos keladi; frontal proyeksiyani qurish uchun. tangensi t" 2, biz birinchi navbatda g tekislikni inqilob sirtining o'qi atrofida g 1 holatiga aylantirib tarjima qilamiz || p 2. Bunday holda, g tekisligining meridional qismi frontal proyeksiyaning chap kontur yoyi - yarim doira g " bilan birlashtiriladi.

Meridional kesimning egri chizig'iga tegishli K nuqtasi (K ", K") K 1 (K "1, K" 1) holatiga o'tadi. K "1" orqali g 1 || tekislik bilan tekislangan t" 2 1 tangensining frontal proyeksiyasini chizamiz. p 2 pozitsiyasi va uning kesishish nuqtasini aylanish o'qining frontal proyeksiyasi bilan belgilang S "1. Tekislik g 1ni asl holatiga qaytaring, K nuqtasi" 1 → K "(S nuqtasi" 1 ≡ S "). t" 2 tangensining frontal proyeksiyasi K "va S" nuqtalari bilan aniqlanadi.

t 1 va t 2 tangenslari l egri chizig'i bo'ylab b sirtni kesib o'tuvchi kerakli teginish a tekisligini aniqlaydi.

O'RNAK 4. K nuqtada b sirtga teguvchi a tekislikni tuzing. K nuqta bir varaqli aylanish giperboloidi yuzasida joylashgan (215-rasm).

Ushbu muammoni oldingi misolda qo'llanilgan algoritmga rioya qilish orqali hal qilish mumkin, lekin bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasi ikkita to'g'ri chiziqli generatorlar oilasiga va har bir generatorga ega bo'lgan boshqariladigan sirt ekanligini hisobga olsak. oila boshqa oilaning barcha generatorlarini kesib o'tadi (32-§, 138-rasmga qarang). Ushbu sirtning har bir nuqtasi orqali ikkita kesishuvchi to'g'ri chiziq - generatorlar o'tkazilishi mumkin, ular bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga bir vaqtning o'zida tegib turadi.

Bu tangenslar tangens tekislikni belgilaydi, ya'ni bir varaqli inqilob giperboloidining yuzasiga teguvchi tekislik bu sirtni ikkita g 1 va g 2 to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi. Ushbu to'g'ri chiziqlarning proyeksiyalarini qurish uchun t "1 va t" 2 tangenslarini gorizontga olib borish uchun K nuqtaning gorizontal proyeksiyasini olib borish kifoya.

aylananing mahalliy proyeksiyasi d "2 - bir varaqli inqilob giperboloidi yuzasining tomog'i; 1 va 2 nuqtalarni aniqlang, bunda t "1 va t" 2 uni yo'naltiruvchi yuzalarning d 1 bilan kesishadi. 1 "va 2" uchun biz 1 "va 2" ni topamiz, ular K bilan birgalikda qidirilayotgan to'g'ri chiziqlarning frontal proyeksiyalarini aniqlaydi.