Hosilaning maksimal nuqtasini toping. Funksiyaning kritik nuqtalari
Ijtimoiy fanlar kursidan ma'lumki, jamiyat so'zning keng ma'nosida odamlarning o'zaro ta'sirini tashkil etish shakli va usullaridir. Dinamizm, barqarorlik va ochiqlik bilan bir qatorda jamiyatning eng muhim xususiyatlaridan biri yaxlitlikdir. Jamiyatning yaxlitligi deganda jamiyat elementlarining o'zaro bog'liqligi tushuniladi. Jamiyat elementlariga siyosiy, iqtisodiy, ijtimoiy va ma’naviy sohalar kiradi. Ularning barchasi bir-biriga bog'langan. Jamiyatning bir sohasini olib tashlash va u, jamiyat parchalanishi mumkin. Seneka toshlar ombori haqida gapirganda shuni nazarda tutgan.
Men muallifning fikriga to'liq qo'shilaman. Keling, siyosiy sohada inqilob bo'lgan har qanday davlatni olaylik, xoh u inqilob bo'lsin, xoh Fuqarolar urushi. Qanday bo'lmasin, butun jamiyat azoblanadi, uning barcha sohalari normal ishlashni to'xtatadi. Misollarni uzoqdan izlashning hojati yo'q, Ukrainada davom etayotgan mojaroni eslashning o'zi kifoya.
Ommaviy axborot vositalaridan yana bir misol keltiraylik. Bizga doimiy ravishda xabarlarda aytilishicha, prezident iste'molchilar huquqlarini himoya qilish to'g'risida (siyosat va iqtisod) bitta qonunni imzolagan, sog'liqni saqlash (siyosat va jamiyat) bo'yicha yig'ilishga borgan, ta'lim (siyosat va ma'naviyat) sohalarida bo'lgan. shar). Yurtboshimiz faoliyati misollaridan ko‘rinib turibdiki, siyosat ma’naviy, iqtisodiy va ijtimoiy sohalar bilan chambarchas bog‘liq. Xuddi shunday, moddiy ne’matlar ishlab chiqarish bilan bog‘liq bo‘lganidek, ta’lim ham siyosat va iqtisod bilan bog‘liq ijtimoiy soha va siyosiy va boshqalar.
Barcha sohalar bir-biri bilan chambarchas bog‘liq bo‘lib, yagona bir butun, yagona tizim – jamiyatni tashkil etadi.
Qo'llab-quvvatlash siz baham ko'rganingizda insoniy tuyg'ular, uning muammosida yolg'iz emasligini aniq ko'rsating. Vaqti-vaqti bilan hammaga kerak: odamlar - ijtimoiy mavjudotlar, ular guruhda yashashga va o'z turlariga yaqinlashishga qaratilgan. Hech kim barcha qiyinchiliklarga yolg‘iz o‘zi bardosh bera olmaydi, lekin bizning madaniyatimiz an’analarida qo‘llab-quvvatlash hatto “birga yig‘ilish” va “ushlab qolish” chaqiruvlari, ma’ruzalar, ma’ruzalar, nolalar kabi unga aloqasi bo‘lmagan qo‘llab-quvvatlash deb ataladi. , va hatto qo'rqitish. Biz boshqalarni qanday qo'llab-quvvatlashni va qanday qilib qo'llab-quvvatlashni tushunamiz.
Qanday qilib yo'q
Agar biror kishi sizga yordamisiz yaxshi ekanini va unga umuman muhtoj emasligini aytsa, ehtimol ular qo'llab-quvvatlash orqali aynan shu zaharli va zararli reaktsiyalarni nazarda tutadi. Ko'pincha yordamga va qabul qilishga muhtoj bo'lganida ularga duch kelgan kishi haqiqatan ham his-tuyg'ularini o'zida saqlashni va ular bilan mustaqil ravishda kurashishni afzal ko'radi. Toksik reaktsiyalar va haqiqiy yordam o'rtasidagi farq nima? Qanday qilib bir-biringizni malakali va to'g'ri qo'llab-quvvatlash kerak? Keling, bu qo'llab-quvvatlash emas, balki faqat o'zini o'zi sifatida yashirishi bilan boshlaylik.
"O'zingizni torting!"
"Kuchli bo'l", "Kuchli bo'l", "Kuchli bo'l" va boshqa chidamlilik uchun chaqiriqlar unchalik emas. yaxshi yo'l qo'llab-quvvatlash. Qo'llab-quvvatlashga intilgan odamning maqsadi butunlay qarama-qarshidir. U hissiy yukni kimdir bilan bo'lishishni xohlaydi va shunchaki "ushlab turmaydi", lekin hech bo'lmaganda bir oz dam oling va o'zini yaxshi his qiladi. Unga "ushlab turing" yoki "jasoratli bo'ling" so'zlari shunday tarjima qilinadi: "Qo'llab-quvvatlash rad etildi. Hamma narsani o'zingiz hal qiling, kuchli bo'ling. Birga oling."
"Qo'shnimning mushukini esa itlar tishlagan"
Hatto ekstremal vaziyatda ham, nolalar odamga hech qanday yordam bermaydi. Uning do'stiga yaqin kishi reanimatsiyaga tushib qolganmi, uning hamyonini o'g'irlaganmi, itini yo'qotganmi? Unga: "Qanday dahshatli tush!" Bu haqiqatan ham dahshatli tush ekanligini u allaqachon biladi. Do'stlaringiz bilan sodir bo'lgan shunga o'xshash holatlar haqida unga aytmang. Bu unga hech qanday yordam bermaydi, faqat vahima kuchaytiradi. Umuman olganda, agar siz hamdard bo'lishni istasangiz, odamni his-tuyg'ularingiz bilan yuklamasligingiz kerak. Endi uning o'zi tasalliga muhtoj va u suhbatdoshni tinchlantirish uchun manbaga ega emas. “Qanday dahshat, endi nima qilish kerak?” ruhidagi ko‘z yoshlaringiz va nolalaringiz. faqat qo'rqib ketgan odamni hamma narsa haqiqatan ham juda yomon ekanligiga ishontiradi.
"To'g'ri aytasiz, u ahmoq"
Agar siz suhbatdoshning g'azabiga yoki noroziligiga qo'shilishni istasangiz, ehtiyot bo'ling: SHni qo'zg'atish vaziyatni engishga yordam berishdan ko'ra noto'g'ri bo'lishi mumkin. Va yaqinlari haqida shikoyat qilgan kishi odatda qarama-qarshi his-tuyg'ularni boshdan kechiradi: sevganlari unga yomonlik qilishdi. “Ha, sizning eringiz chinakam xudbindir!” deyishadi. yoki "Opangiz umuman mantiqiy fikrlashga qodir emasga o'xshaydi" - siz uning eng yomon qo'rquvini tasdiqlaganga o'xshaysiz.
Hech kim o'z yaqinlarini yirtqich hayvonlar deb o'ylashni xohlamaydi. Vaziyat haqiqatan ham keskin salbiy baholashni talab qilsa ham (masalan, jismoniy yoki hissiy zo'ravonlik holatida), bu ma'lumotni yanada muvozanatliroq taqdim etish yaxshiroqdir: “Bilasizmi, menga shunday tuyuladi. toza suv manipulyatsiya”, “Bunday harakat siz uchun insofsizdek tuyuladi”, “Menimcha, nima bo'layotgani siz uchun xavflidir”.
"Men ajoyib gomeopatni bilaman, u yordam beradi!"
Keraksiz maslahat ham yomon fikrdir. “Bola qanchalik tez-tez kasal bo'ladi? Eshiting, menda ajoyib pediatr bilan aloqalar bor, endi men sizga aytaman. Siz uni qattiqlashtirishingiz kerak, men sizga buni qanday qilish kerakligi haqidagi maqolaga havola yuboraman.
Amaliy yordam juda muhim, lekin faqat sizdan so'ralsa. Uni so'ramasdan majburlash nomaqbuldir. Birinchidan, qiyin vaziyatga tushib qolgan odam hozir faol harakatga tayyor ekanligi haqiqat emas - ehtimol buning uchun u birinchi navbatda o'zini o'nglab, fikrlarini to'plashi kerak. Ikkinchidan, u siz taklif qilmoqchi bo'lgan yordam shakliga muhtojmi yoki yo'qmi noma'lum. Qanday harakatlar unga to'g'ri kelishini faqat odamning o'zi hal qilishi mumkin: bolani qattiqlashtiring, ishonchli shifokor bilan maslahatlashing yoki shunchaki bolalikdagi cheksiz shamollash davrini kuting. Suhbatdoshga aniq harakatlarni yuklash orqali biz unga uning nochorligi haqidagi g'oyani kiritdik: "Siz o'zingiz hech narsaga dosh berolmaysiz, endi men sizga qanday harakat qilishni aytaman."
"Men bilan bunday bo'lmaydi"
Bu sohada mutlaqo yaxshi ekanligingizni ko'rsatish, gapirish, hech qanday tarzda qo'llab-quvvatlamaydigan insofsiz xatti-harakatlardir. Misol uchun, siz ruhiy tushkunlik tashxisi qo'yilgan odamga shunday deysiz: “Voy, sen qanchalik omadsizsan. Ammo men ijobiy fikrlashni mashq qilaman va har kuni zavqlanishga harakat qilaman va tushkunlikka tushmayman ", deb qiyin vaziyatda bo'lgan suhbatdosh hisobidan o'zimni yaxshi his qilish istagidan boshqa hech narsa yo'q.
— Sen aybdorsan!
Ayblovlar, "sehrli zarbalar" va "xalq" psixologiyasining boshqa vositalari mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas - bu qurbonni ayblash va qo'llab-quvvatlashning mutlaqo teskarisidir. Bunday toksik reaktsiyaga misol, afsuski, ko'pincha bolalar va o'smirlarning ota-onalari tomonidan keltiriladi: “Siz to'rtinchi nazoratdan o'ta olmadingizmi? Va men sizga aytdimki, kompyuterda kamroq o'tirish kerak. Lekin sen eshitmabsan, sen bizdan eng aqllisan! Endi baholaringizni qanday to‘g‘irlaysiz, bilmayman”.
Bunday reaktsiya birlashishga va harakat qilishga, shuningdek, o'tmishdagi xatolarini tushunishga va ularni qayta takrorlamaslikka yordam beradi, deb ishoniladi. Darhaqiqat, ta'sir aksincha bo'ladi: stressli vaziyatda hech kim xatolarni tahlil qila olmaydi va kelajak uchun xulosalar chiqara olmaydi, ayblovlar va qo'pol gapirish faqat jarohatni oshiradi. Qisqa vaqt ichida odam haqiqatan ham o'zini tortib, harakat qilishi mumkin, lekin "sehrli zarba" ishlagani uchun emas, balki barcha his-tuyg'ular muzlatilganida stress reaktsiyasi bo'lgani uchun.
Ammo uzoq muddatda bu usul juda zaharli hisoblanadi. Unda quyidagi xabar bor: “Sizda muammo bormi? Demak, siz o'zingiz yomonsiz (o'zingiz ham yomon). Sizga yordam berishimni kutmang." Biror narsa noto'g'ri bo'lgan odam uchun qo'shimcha stressdan tashqari, "sehrli zarbalar" munosabatlarni buzadi. Yolg'onchining so'zini tugatgan odamga ishonish qiyin.
Qanday
Uning mohiyatida qo'llab-quvvatlash boshqa odamga: "Men sizni eshitaman, tushunaman, sizning his-tuyg'ularingizni va qiyin vaziyatingizni qabul qilaman va men siz bilan birga bo'lishga tayyorman". Siz qiyin vaziyatda bo'lgan odam bilan turli yo'llar bilan bo'lishingiz mumkin - bu odam bilan yaqinlik darajasiga va vaziyatning o'ziga, shuningdek, kuchli tomonlaringizga, resurslaringizga va sizga yordam berish istagiga bog'liq. Bunday holatda qanday yordam berish kerak?
O'zingizning kuchli tomonlaringizni ehtiyotkorlik bilan baholang
Kichkina, ammo samimiy yordam uning simulyatsiyasidan yaxshiroqdir. Ko'pincha, shikoyatlar zaharli tarzda javob beradi, chunki qo'llab-quvvatlash kutilayotgan suhbatdoshning bunga kuchi yoki resurslari yo'q, lekin u buni tan olishdan qo'rqadi. Uyalishning hojati yo'q: kimnidir qo'llab-quvvatlashni xohlamaslik yoki qo'llab-quvvatlamaslik mutlaqo normaldir. O'zingizga nisbatan zo'ravonlik qilmasdan, haqiqatan ham bera oladigan narsalarni taklif qiling. Ehtimol, endi siz suhbatdoshni atigi besh daqiqa tinglay olasiz, bundan ortiq emas. Yoki siz yarim soat gaplashishingiz mumkin, ammo amaliy yordam berishga tayyor emassiz.
Agar sizda odam qiyin his-tuyg'ularni boshdan kechirayotganda uning yonida bo'lishga kuchingiz bo'lmasa, bu haqda aytishingiz mumkin bo'lgan eng halol gap: "Kechirasiz, lekin men hozir juda charchadim, asablarimdan, butunlay charchagan. Agar sizga qulay bo'lsa, ertaga siz bilan gaplashishim mumkin edi." Suhbatdoshingiz sizdan xafa bo'lmasligi haqiqat emas - lekin bu o'zingizga nisbatan zo'ravonlik qilishdan va keyin boshqasiga tajovuzkorlik qilishdan yaxshiroqdir.
Eshiting va ulashing
boshqasining his-tuyg'ulari
Og'zaki yordam eng oson yo'l bo'lib tuyulishi mumkin, lekin aslida kuchli salbiy his-tuyg'ularni boshdan kechirayotgan odamning yonida bo'lish oson emas. Biz o'zimizni hissiy jihatdan izolyatsiya qilishni, yoqimsiz mavzudan "sakrashni" xohlaymiz va shuning uchun biz ko'pincha toksik reaktsiyalardan biriga qaytamiz.
Suhbatda odamni qo'llab-quvvatlash uchun siz shunchaki u erda bo'lishingiz, suhbatdoshning his-tuyg'ularini baham ko'rishingiz va uni itarib yubormasligingiz kerak. U gapirsin. Faol tinglashdan foydalaning: bosh irg'adi, rozi bo'ling, qisqacha aniq savollar bering. Stressli, g'amgin yoki g'azablangan odam oddiy og'zaki hamdardlik ifodasi bilan katta yordam beradi. Rus tilida "Kechirasiz" shakli hali ham biroz noqulay bo'lib tuyuladi, lekin u xuddi "Men hamdardman" yoki "Sizga bu voqea sodir bo'lganiga qanday afsus" kabi mos keladi. Siz suhbatdoshning his-tuyg'ularini aks ettirishingiz mumkin: "Bu haqiqatan ham yoqimsiz", "Juda achinarli", "Men nima uchun ulardan g'azablanganingizni tushunaman." Vaziyat, harakatlar va ishlarga baho berishdan saqlaning.
Agar yordam kerak bo'lsa, so'rang
Qo'llab-quvvatlashning yana bir ajoyib usuli - bu vaziyatda odamdan to'g'ridan-to'g'ri unga nima kerakligini so'rash: "Men siz uchun biror narsa qila olamanmi? Sizga yordam beradigan biron narsa bo'lsa, ayting." Ehtimol, suhbat etarli edi. Yoki amaliy yordam, maslahat, aloqalar kerakligi ma'lum bo'ldi - agar odam buni to'g'ridan-to'g'ri so'rasa, bu to'liq mos keladi.
Ushbu bayonot jamiyat tizimi elementlarining o'zaro ta'siri muammosiga bag'ishlangan. Turli davrlarning faylasuflari ushbu mavzu haqida o'ylab, hayotning etakchi sohasini aniqlashga harakat qilishgan, masalan, o'rta asrlarda dinning ahamiyati g'oyasi hukmronlik qilgan bo'lsa, zamonaviy davrda mutafakkirlarning e'tiborini ilmiy bilimlar, keyinchalik Marks iqtisodiy sohaning ustuvorligi haqida faraz qildi. Qadimgi tsivilizatsiyalar barcha sohalarning uyg'un ish yo'lidan bordi va zamonaviy davlatlar ularning normal faoliyat yuritishini ta'minlashga harakat qilmoqda.
Bayonot muallifining aytishicha, har qanday jamiyatda uning unsurlari bir-birini to‘ldiradi, ularni birlashtiruvchi rishtalar va munosabatlar bo‘lmasa, u tanazzulga yuz tutadi. Bu elementlarning birligi jamiyatning turmush tarzini belgilaydi.
Men nazariy darajada o'z pozitsiyam haqida bahslashaman. Jamiyat keng ma'noda odamlarning birlashishi shakllari va ularning o'zaro ta'sir qilish usullari to'plamidir.
Dinamizm va ochiqlik bilan bir qatorda, izchillik va yaxlitlik bilan ajralib turadi. O'z navbatida, jamiyat - bu butunning bir qismi sifatidagina ma'noga ega bo'lgan va o'zaro barqaror aloqalar bilan birlashtirilgan jamiyat elementlari yig'indisidir. Tizimning elementlari ijtimoiy guruhlar va institutlardir. Shuningdek, u quyi tizimni - ijtimoiy sub'ektlar o'rtasidagi barqaror munosabatlar majmuasi sifatida hayotning 4 ta sohasini o'z ichiga oladi: ma'naviy, ijtimoiy, siyosiy va iqtisodiy. Barcha sohalar bir-birini to'ldiradi va har qanday jamiyatda ularning o'zaro ta'sirini kuzatish mumkin. Hech bo'lmaganda bitta element chiqarib tashlansa, barqaror aloqalar uziladi va bu elementning vazifalari bajarilmay qoladi, ya'ni jamiyat tizimi pastroq bo'ladi, deb ta'kidlash mumkin.
Men o'z fikrimni empirik darajada isbotlayman. 20-asrda Rossiya tarixida rus pravoslav cherkovi va Sovet hokimiyati o'rtasidagi ziddiyatni eslaylik. Oktyabr inqilobi natijasida bolsheviklar hokimiyat tepasiga kelishi bilan ateizmning faol targʻiboti boshlandi. 1918 yilda "Cherkovni davlatdan va maktabni cherkovdan ajratish to'g'risida" gi Farmon qabul qilindi, unga ko'ra cherkov har qanday mulkka ega bo'lish huquqidan mahrum qilindi va sovet hokimiyati sohasida noqonuniy bo'lib chiqdi. qonunlar. Patriarx Tixon xiyonat qildi Sovet hokimiyati anathema, ko'plab din arboblari qatag'on qilindi. Yangi hukumat cherkovda ta'mirlash va bo'linishni faol ravishda rag'batlantirdi. Haqida umumiy daraja Aholining axloqi va axloqi ichki siyosiy va ijtimoiy beqarorlik nuqtai nazaridan tushib ketdi. Biroq, cherkovning ta'qiblari Buyukning boshlanishi bilan vaqtincha to'xtadi Vatan urushi, I.V. Stalin dushmanga qarshi kurashda dinning ahamiyatini anglab, undan armiya ma’naviyatini, vatanparvarlik tuyg‘ularini yuksaltirish vositasi sifatida foydalanishga qaror qildi. Bularning barchasi uni ROCga nisbatan siyosatini o'zgartirishga undadi. Bu ma’naviy sohasiz jamiyat beqaror va normal rivojlana olmasligini isbotlaydi.
Ingliz faylasufi T.Gobbsning "Leviafan" asarini ham ko'rib chiqishingiz mumkin. Unda mutafakkir jamiyatning davlatdan oldingi holatini muhokama qiladi. Uning fikricha, buni "hammaning hammaga qarshi urushi" sifatida tavsiflash mumkin. Dastlab, inson tajovuzkor, o'z manfaati uchun ijtimoiy normalarni buzadi. Shuning uchun odamlar ijtimoiy shartnoma tuzib, o'z erkinliklarining bir qismini qonun bilan o'z huquqlarini himoya qiladigan suverenga topshirdilar. Bu shartnoma qaytarib bo'lmaydigan va davlatning yaratilishini ma'qullaydi. Bu nazariya jamiyat hayotning siyosiy sohasisiz mavjud boʻlmasligini isbotlaydi.
Shunday qilib, biz elementlarning sinxron ta'sirisiz, uning tarkibiy qismlarining roziligi yo'qligi sababli jamiyat normal faoliyat ko'rsata olmaydi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
ma'nosi
Eng buyuk
ma'nosi
Eng kam
Maksimal nuqta
Past nuqta
Funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish vazifalari standart sxema bo'yicha 3 bosqichda hal qilinadi.
1-qadam. Funktsiyaning hosilasini toping
- Elementar funksiyalarning hosilasi formulalarini va hosilani topish uchun differentsiallashning asosiy qoidalarini yod oling.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
2-qadam. Hosilaning nollarini toping
- Hosil boʻlgan tenglamani yechib, hosilaning nollarini toping.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
3-qadam. Ekstremal nuqtalarni toping
- Hosilning belgilarini aniqlash uchun interval usulidan foydalaning;
- Minimal nuqtada hosila nolga teng va belgini minusdan ortiqchaga, maksimal nuqtada esa ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.
Keling, quyidagi muammoni hal qilish uchun ushbu yondashuvni qo'llaymiz:
y=x3−243x+19 funksiyaning maksimal nuqtasini toping.
1) hosilani toping: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) y′(x)=0 tenglamani yeching: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) hosila x>9 va x uchun musbat<−9 и отрицательная при −9 Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topish mumkin Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasini hal qilish zarur: Ko'p ishlarda yordam beradi teorema: Agar segmentda faqat bitta ekstremum nuqta bo'lsa va bu minimal nuqta bo'lsa, unda funktsiyaning eng kichik qiymatiga erishiladi. Agar bu maksimal nuqta bo'lsa, unda maksimal qiymatga erishiladi. 14. Noaniq integral tushunchasi va asosiy xossalari. Agar funktsiya f(x X, va k- raqam, keyin Qisqacha aytganda: doimiyni integral belgisidan chiqarish mumkin. Funktsiyalar bo'lsa f(x) va g(x) intervalda antiderivativlarga ega X, keyin Qisqacha aytganda: yig'indisining integrali integrallar yig'indisiga teng. Agar funktsiya f(x) intervalda antiderivativga ega X, keyin ushbu intervalning ichki nuqtalari uchun: Qisqacha aytganda: integralning hosilasi integralga teng. Agar funktsiya f(x) intervalda uzluksiz X va bu intervalning ichki nuqtalarida differensiallanadi, keyin: Qisqacha aytganda: funktsiya differensialining integrali shu funktsiyaga va integrallash doimiysiga teng. Keling, qat'iy matematik ta'rifni beraylik noaniq integral tushunchalari. Yaxshi ifoda deyiladi funksiyaning integrali f(x)
, qayerda f(x)
- berilgan (ma'lum) integral funktsiya; dx
- differensial x
, belgisi bilan har doim mavjud dx
. Ta'rif. Noaniq integral funksiya deb ataladi F(x) + C
, ixtiyoriy doimiyni o'z ichiga oladi C
ga teng bo'lgan differensial integral ifoda f(x)dx
, ya'ni. Eslatib o'tamiz - funktsiya differensial va quyidagicha aniqlanadi: Muammoni topish noaniq integral funktsiyani topishdir hosila bu integralga teng. Bu funksiya doimiyga qadar aniqlanadi, chunki doimiyning hosilasi nolga teng. Masalan, ma'lumki, , keyin shunday bo'ladi Vazifani topish noaniq integral dan funksiyalar birinchi qarashda ko'rinadigan darajada oddiy va oson emas. Ko'p hollarda u bilan ishlashda mahorat bo'lishi kerak noaniq integrallar, amaliyot bilan birga keladigan va doimiy tajriba bo'lishi kerak noaniq integrallarga misollar yechish. Buni hisobga olish kerak noaniq integrallar ba'zi funktsiyalardan (ularning ko'pi bor) elementar funktsiyalarda olinmaydi. 15. Asosiy noaniq integrallar jadvali. Asosiy formulalar 16. Aniq integral integral yig‘indining chegarasi sifatida. Integralning geometrik va fizik ma'nosi. y=ƒ(x) funksiya [a segmentida aniqlansin; b], va< b. Выполним следующие действия. 1. x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0) nuqtalaridan foydalanish 2. Har bir qisman segmentda i = 1,2,...,n, i ê bilan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va undagi funktsiyaning qiymatini, ya'ni ƒ (i bilan) qiymatini hisoblaymiz. 3. ƒ (i dan) funksiyaning topilgan qiymatini mos qisman segmentning ∆x i =x i -x i-1 uzunligiga ko‘paytiring: ƒ (i dan) ∆x i. 4. Shunday mahsulotlarning S n yig‘indisini tuzing: (35.1) shaklning yig'indisi [a segmentidagi y \u003d ƒ (x) funktsiyasining integral yig'indisi deb ataladi; b]. Eng katta qisman segment uzunligini l bilan belgilang: l = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. (35.1) integral yig‘indining chegarasini n → ∞ ko‘rinishida toping, shunda l→0 bo‘lsin. Bundan tashqari, integral yig'indi S n I chegaraga ega bo'lsa, u segmentni bo'lish usuliga bog'liq emas [a; b] qisman segmentlarga yoki ulardagi nuqtalarni tanlashdan keyin I soni y = ƒ(x) funksiyaning [a segmentidagi aniq integrali deb ataladi; b] va shunday belgilanadi, a va b raqamlari mos ravishda integrasiyaning quyi va yuqori chegaralari, ƒ(x) - integrand, ƒ(x) dx - integranda, x - integrasiya o`zgaruvchisi, segment [a; b] - integratsiya sohasi (segmenti). y \u003d ƒ (x) funktsiyasi, buning uchun segmentda [a; b] bu oraliqda integrallanuvchi deb ataladigan aniq integral mavjud. Endi aniq integral uchun mavjudlik teoremasini tuzamiz. 35.1 teorema (Koshi). Agar y = ƒ(x) funksiya [a segmentida uzluksiz bo'lsa; b], keyin aniq integral E'tibor bering, funktsiyaning uzluksizligi uning integralligi uchun etarli shartdir. Biroq, aniq integral ba'zi uzluksiz funktsiyalar uchun, xususan, interval bilan chegaralangan va unda chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo'lgan har qanday funktsiya uchun ham mavjud bo'lishi mumkin. Aniq integralning bevosita taʼrifidan kelib chiqadigan baʼzi xossalarini koʻrsatamiz (35.2). 1. Aniq integral integral o‘zgaruvchining yozuviga bog‘liq emas: Bu shundan kelib chiqadiki, integral yig'indi (35.1) va demak, uning chegarasi (35.2) ushbu funktsiyaning argumentini qaysi harf bilan bildirishiga bog'liq emas. 2. Integrallash chegaralari bir xil bo‘lgan aniq integral nolga teng: 3. Har qanday haqiqiy c soni uchun. 17. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning asosiy xossalari. Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) segmentda uzluksiz
va F(x) demak, bu segmentdagi funksiyaning antiderivativlaridan biridir Nyuton-Leybnits formulasi: Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi integral hisoblashning asosiy formulasi. Nyuton-Leybnits formulasini isbotlash uchun bizga yuqori chegarasi o‘zgaruvchan integral tushunchasi kerak bo‘ladi. Agar funktsiya y = f(x) segmentda uzluksiz
, u holda argument uchun shaklning integrali yuqori chegaraning funktsiyasidir. Biz bu funktsiyani belgilaymiz Haqiqatan ham, argumentning ortishiga mos keladigan funktsiyaning o'sishini yozamiz va aniq integralning beshinchi xossasini va o'ninchi xususiyatdan kelib chiqadigan xulosani ishlatamiz: Keling, bu tenglikni shaklda qayta yozamiz Hisoblash F(a), aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib: Funktsiyaning o'sishi odatda quyidagicha belgilanadi Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash uchun antiderivativlardan birini bilish kifoya y=F(x) integral y=f(x) segmentida
va ushbu segmentdagi ushbu antiderivativning o'sishini hisoblang. Maqolada integratsiya usullari antiderivativni topishning asosiy usullarini tahlil qiladi. Aniq integrallarni aniqlashtirish uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblashga misollar keltiramiz. Misol. Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integralning qiymatini hisoblang. Qaror. Birinchidan, integral intervalda uzluksiz ekanligini unutmang
, demak, unga integrallash mumkin. (Biz integrallanuvchi funksiyalar haqida aniq integral mavjud bo'lgan funksiyalar bo'limida gaplashdik). Noaniq integrallar jadvalidan ko'rinib turibdiki, funktsiya uchun argumentning barcha haqiqiy qiymatlari (demak, uchun) uchun antiderivativlar to'plami quyidagicha yoziladi. Endi aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanish qoladi: 18. Aniq integralning geometrik ilovalari. ANIQ INTEGRALNING GEOMETRIK TOLLANISHI Tana hajmini hisoblash Parallel kesmalarning ma'lum maydonlaridan tana hajmini hisoblash: Aylanish tanasining hajmi: ; . 1-misol. y=sinx egri chiziq, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini toping Qaror: Shaklning maydonini topish: 2-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang Qaror: Bu funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarining abstsissalarini topamiz. Buning uchun tenglamalar tizimini yechamiz Bu erdan topamiz x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2,5. 19. Differensial boshqaruv tushunchasi. Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Differensial tenglama- funktsiyaning hosilasi qiymatini funktsiyaning o'zi, mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari, raqamlar (parametrlar) bilan bog'laydigan tenglama. Tenglamaga kiritilgan hosilalarning tartibi boshqacha bo'lishi mumkin (rasmiy ravishda, u hech narsa bilan cheklanmaydi). Hosilalar, funksiyalar, mustaqil o‘zgaruvchilar va parametrlar tenglamaga turli kombinatsiyalarda kiritilishi mumkin yoki hech bo‘lmaganda bitta hosiladan tashqari hammasi umuman bo‘lmasligi mumkin. Noma'lum funktsiyaning hosilalarini o'z ichiga olgan har qanday tenglama differentsial tenglama emas. Misol uchun, Qisman differensial tenglamalar(URCHP) bir nechta oʻzgaruvchilarning nomaʼlum funksiyalarini va ularning qisman hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamalardir. Bunday tenglamalarning umumiy shakli quyidagicha ifodalanishi mumkin: bu erda mustaqil o'zgaruvchilar va bu o'zgaruvchilarning funktsiyasi. Qisman differensial tenglamalar tartibini oddiy differensial tenglamalar bilan bir xil tarzda aniqlash mumkin. Qisman differensial tenglamalarning yana bir muhim tasnifi ularni elliptik, parabolik va giperbolik tipdagi tenglamalarga, ayniqsa ikkinchi tartibli tenglamalarga bo'lishdir. Oddiy differentsial tenglamalarni ham, qisman differentsial tenglamalarni ham ajratish mumkin chiziqli va chiziqli bo'lmagan. Agar noma'lum funktsiya va uning hosilalari tenglamaga faqat birinchi darajaga kirsa (va bir-biri bilan ko'paymasa) differentsial tenglama chiziqli hisoblanadi. Bunday tenglamalar uchun yechimlar funksiyalar fazosining affin pastki fazosini hosil qiladi. Chiziqli differensial tenglamalar nazariyasi nochiziqli tenglamalar nazariyasiga qaraganda ancha chuqurroq ishlab chiqilgan. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy shakli n-buyurtma: qayerda pi(x) tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan mustaqil o'zgaruvchining ma'lum funktsiyalari. Funktsiya r(x) o'ng tomonda deyiladi bepul a'zo(noma'lum funktsiyaga bog'liq bo'lmagan yagona atama) Chiziqli tenglamalarning muhim alohida sinfi chiziqli differensial tenglamalardir. doimiy koeffitsientlar. Chiziqli tenglamalarning kichik sinfi bir hil Differensial tenglamalar - erkin atama bo'lmagan tenglamalar: r(x) = 0. Bir jinsli differensial tenglamalar uchun superpozitsiya printsipi amal qiladi: bunday tenglamaning alohida yechimlarining chiziqli birikmasi ham uning yechimi bo'ladi. Boshqa barcha chiziqli differensial tenglamalar deyiladi heterojen differensial tenglamalar. Chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalar umumiy holatda, ba'zi bir sinflardan tashqari, ishlab chiqilgan yechim usullariga ega emas. Ba'zi hollarda (muayyan yaqinlashuvlardan foydalangan holda) ular chiziqli bo'lganlarga qisqartirilishi mumkin. Masalan, garmonik osilatorning chiziqli tenglamasi · doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama. Yechim funksiyalar oilasi bo'lib, bu erda va ixtiyoriy konstantalar bo'lib, ular ma'lum bir yechim uchun alohida belgilangan boshlang'ich sharoitlardan aniqlanadi. Bu tenglama, xususan, siklik chastotasi 3 bo'lgan garmonik osilatorning harakatini tavsiflaydi. · Nyutonning ikkinchi qonunini differentsial tenglama shaklida yozish mumkin · Bessel differensial tenglamasi o'zgaruvchan koeffitsientli ikkinchi tartibli oddiy chiziqli bir jinsli tenglama: Uning yechimlari Bessel funksiyalaridir. 1-tartibli bir hil bo'lmagan chiziqli oddiy differensial tenglamaga misol: Quyidagi misollar guruhida noma'lum funktsiya u ikki oʻzgaruvchiga bogʻliq x va t yoki x va y. Birinchi tartibli bir jinsli chiziqli qisman differensial tenglama: Bir o'lchovli to'lqin tenglamasi - doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli giperbolik turdagi qisman hosilalarda bir hil chiziqli tenglama, ipning tebranishini tavsiflaydi, agar - koordinatali nuqtada ipning og'ishi. x vaqtida t, va parametr a string xususiyatlarini o'rnatadi: Ikki o'lchovli fazodagi Laplas tenglamasi mexanika, issiqlik o'tkazuvchanligi, elektrostatika, gidravlikaning ko'plab fizik muammolarida yuzaga keladigan doimiy koeffitsientli elliptik tipdagi bir hil chiziqli ikkinchi tartibli qisman differensial tenglamadir: Korteweg-de Vries tenglamasi, chiziqli bo'lmagan uchinchi tartibli qisman differensial tenglama, statsionar chiziqli bo'lmagan to'lqinlarni, shu jumladan solitonlarni tavsiflaydi: 20. Ajraladigan qo'llaniladigan differentsial tenglamalar. Chiziqli tenglamalar va Bernulli usuli. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan tenglamadir. O'xshaydi
yoki 
Funktsiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya. Funktsiyaning anti hosilasi doimiy qiymatgacha aniqlanadi.
, bu yerda ixtiyoriy doimiy.
.
, va bu funksiya uzluksiz va tengdir 
.
qayerda.
. Agar funktsiyaning hosilasining ta'rifini eslab, chegaraga o'tsak, unda biz hosil bo'lamiz. Ya'ni, funktsiyaning antiderivativlaridan biridir y = f(x) segmentida
. Shunday qilib, barcha antiderivativlar to'plami F(x) sifatida yozish mumkin 
, qayerda Bilan ixtiyoriy doimiydir.
, demak, . Hisoblash uchun biz ushbu natijadan foydalanamiz F(b): , ya'ni 
. Bu tenglik isbotlangan Nyuton-Leybnits formulasini beradi .
. Ushbu belgidan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi shaklni oladi 
.
. Keling, primitivni olaylik C=0: .
.Toʻrtburchak shaklidagi S.K. Funksiya, parametrik tarzda aniqlangan Polyarnaya S.K.
Samolyot figuralarining maydonini hisoblash
Planar egri chiziqning yoy uzunligini hisoblash
Inqilobning sirt maydonini hisoblash
differensial tenglama emas.
matematik mayatnikning chiziqli bo'lmagan tenglamasining yaqinlashuvi sifatida qaralishi mumkin 
kichik amplitudalar uchun, qachon y≈ gunoh y.
qayerda m- tana massasi, x- uning koordinatasi; F(x, t) koordinatali jismga tasir etuvchi kuchdir x vaqtida t. Uning yechimi belgilangan kuch ta'sirida tananing traektoriyasidir.
