Известно е, че в математиката не е да се прави без опростяване на изразите. Това е необходимо за правилното и бързото решение на голямо разнообразие от задачи, както и различни видове уравнения. Обсъжданото опростяване предполага намаляване на броя на необходимите действия за постигане на целта. В резултат на това изчислението е облекчено забележимо, а времето е значително запазено. Но как да се опрости изразяването? Това използва установени математически отношения, често наричани формули или от закони, които позволяват експресията много по-къса, като по този начин опростява изчисленията.

Не е тайна, че днес не е трудно да се опрости експресията онлайн. Ние даваме позовавания на някои от най-популярните от тях:

Въпреки това е възможно да се прави с всеки израз. Затова считаме за по-традиционни методи.

Вземане на общ разделител

В случая, когато в един израз са налице, притежаващи същите множители, можете да намерите количеството коефициенти с тях, а след това да се умножи мултипликацията за тях. Тази операция също се нарича "правене на общ делител". Сериозно използване този методпонякога можете значително да опростите израза. Алгебра в крайна сметка, като цяло, като цяло, построена върху групирането и прегрупирането на множители и дивизори.

Най-простите формули на съкратеното умножение

Една последица от описания по-горе метод е формулите на съкратеното умножение. Как да се опростят изразите с тяхната помощ е много по-ясно на онези, които дори не премахват тези формули наизуст, но той знае, че те са получени, откъде идват, и съответно тяхната математическа природа. По принцип предишното твърдение запазва силата си във всяка съвременна математика, започвайки от първия клас и край топ курсове Механика и математически факултети. Разликата на квадратите, квадрата на разликата и сумата, количеството и разликата на кубчетата - всички тези формули се използват навсякъде в елементарния, както и най-високата математика в случаите, когато е необходимо да се опрости изразът за решаване на задачите . Примери за такива трансформации могат лесно да бъдат намерени във всеки училищния учебник по алгебра, или, който е още по-лесен, на разширенията на световната мрежа.

Степен на корените

Елементарна математика, ако го погледнете като цяло, въоръжени не така и по много начини, с които можете да опростите израза. Степените и действията с тях обикновено се управляват от повечето ученици са сравнително лесни. Само много съвременни ученици и студенти имат значителни трудности, когато е необходимо да се опрости изразът с корени. И това е напълно неоснователно. Тъй като математическото естество на корените не се различава от природата на същите степени, с които, като правило, трудностите са много по-малки. Известно е, че корен квадратен От номера, променливата или изразът не е нищо повече от един и същ номер, променлива или експресия към степента на "една секунда", кубичният корен е еднакъв в степента на "една трета" и така нататък според кореспонденцията.

Опростете изразите с фракции

Помислете и за общ пример за това как да се опрости изразът с фракции. В случаите, когато изразите са естествени фракции, общ множител от знаменателя и числителя и след това намаляват фракцията върху нея. Когато се подкопават със същите недостатъци, повишени до степени, е необходимо да се наблюдава кога са обобщени за равенството на градусите.

Опростяване на най-простите тригонометрични изрази

Някои имения са разговор как да се опрости тригонометричния израз. Най-широката част на тригонометрията е може би първият етап, в който учебната математика ще трябва да се изправи пред няколко абстрактни концепции, задачи и методи за тяхното решение. Тук има съответните им формули, първата от която е основната тригонометрична идентичност. Да имаш достатъчен математически склад на ума, можете да проследите системната екскреция от тази идентичност на всички основни тригонометрични идентичности и формули, сред които формулите на разликата и сумата от аргументи, двойни, тройни аргументи, формули за привличане и много други. Разбира се, не си струва да се забрави тук първите методи, като общия мултипликатор, който се използва напълно заедно с нови методи и формули.

За да обобщим резултатите, дайте на читателя няколко общи съвета:

• Полиномите трябва да бъдат положени върху множители, т.е. да ги представляват под формата на продукт на определен брой фактори - еднокрила и полиноми. Ако има такава възможност, трябва да понесете общия фактор за скоби.
• Все още е по-добре да научите цялата формула за съкратено умножение без изключение. Те не са толкова много, но те са в основата на опростяване на математическите изрази. Не забравяйте и метода за разпределяне на пълните квадрати в три остатъци, който е обратно действие Към една от формулите на съкратеното умножение.
• Всички фракции, съществуващи в експресия, трябва да бъдат намалени възможно най-често. В същото време не забравяйте, че само мултипликатори са намалени. В случая, когато знаменателят и числителят алгебрични фракции Същият номер се умножава по същия брой, който се различава от нула, стойностите на фракциите не се променят.
• Като цяло, всички изрази могат да бъдат преобразувани чрез действия или верига. Първият метод е по-предпочитан, защото Резултатите от междинните действия се проверяват по-лесно.
• Много често в математическите изрази трябва да се извличат корените. Трябва да се помни, че корените на дори степените могат да бъдат премахнати само от не-отрицателно число или израз, а корените на нечетните градуси са напълно от всякакви изрази или числа.

Надяваме се, че статията ви ще ви помогне, освен това да разберете математическите формули и да ги научите да ги прилагат на практика.

Първо ниво

Трансформация на изрази. Подробна теория (2019)

Трансформация на изрази

Често чуваме тази неприятна фраза: "опростяване на израза". Обикновено, освен това имаме някакъв страшен от този тип:

"Да, много по-лесно" - казваме, но този отговор обикновено не се търкаля.

Сега ще ви науча да не се страхувате от такива задачи. Освен това, в края на урока ще опростите този пример преди (просто!) Обикновен номер (да, до ада с тези букви).

Но преди да пристъпите към този урок, трябва да можете да се справяте с фракции и да поставите полиномите на множителите. Затова, първо, ако не сте направили това преди, задължително темата "" и "".

Прочети? Ако е така, сега сте готови.

Основни операции по опростяване

Сега ще анализираме основните техники, които се използват за опростяване на изразите.

Най-лесният от тях е

1. Привеждане на подобни

Какви са тези? Преминахте го в 7 клас, веднага щом буквите се появиха в математиката вместо числа. Подобни са компонентите (единични) със същата азбучна част. Например в количеството такива компоненти - това е така.

Запомнени?

Някои подобни неща - това означава да се сгънат няколко подобни термина помежду си и да получите един термин.

Но как се сгъваме с всяка друга букви? - питаш те.

Много е лесно да се разбере дали си представите, че буквите са някои елементи. Например, писмото е стол. Тогава какъв е изразът? Две изпражнения плюс три изпражнения, колко ще бъде? Точно така, столове :.

И сега опитайте такъв израз :.

За да не се обърка, оставете различните букви да посочат различни елементи. Например, то е (както обикновено) стол и е таблицата. Тогава:

Столове столове столове за столове

Номерата, за които се наричат \u200b\u200bписма в такива термини коефициенти. Например, в единичен коефициент е равен. И в нея е равно.

Така че, правилото за подобно:

Примери:

Дайте подобно:

Отговори:

2. (и подобно, тъй като, следователно тези термини имат една и съща буква).

2. Разлагане на множители

Това обикновено е най-важната част за опростяване на изразите. След като сте довели до така, най-често произлизащото изразяване трябва да бъде разложено върху мултипликатори, т.е. да си представим под формата на работа. Това е особено важно в измамите: в края на краищата, така че можете да намалите фракцията, числителят и знаменателят трябва да бъдат представени като работа.

Подробно, начини за разграждане на изрази на множителите, сте преминали в темата "", така че тук можете само да си спомняте наученото. Да направите това, решете няколко примери (трябва да се разложи на множителите):

Решения:

3. Намаляване на фракцията.

Е, какво може да бъде по-приятно, отколкото да се премине част от числителя и знаменателя и да ги изхвърли от живота си?

Това е всичко очарованието на намаляването.

Всичко е просто:

Ако числителят и знаменателят съдържат същите мултипликатори, те могат да бъдат отрязани, т.е. отстранени от фракцията.

Това правило следва от основното свойство на Fraci:

Това означава, че същността на операцията по намаляване е това числителят и знаменателят на фракционирането се разделят на същия брой (или върху същия израз).

За да съкратите фракцията, трябва:

1) числител и знаменател разлагане на мултипликатори

2) Ако има числа и знаменател общи множителиТе могат да бъдат изтрити.

Принцип, мисля, че е ясно?

Искам да обърна внимание на един типична грешка С намаление. Въпреки че тази тема е проста, но много много правят всичко погрешно, а не разбиране разрез - това означава разделям Числян и знаменател на и същия номер.

Няма съкращения, ако в числото или знаменател.

Например: необходимо е да се опрости.

Някои правят това: какво е абсолютно погрешно.

Друг пример: нарязан.

"Най-умната" ще направи това :.

Кажи ми какво не е наред? Изглежда: - това е множител, това означава, че можете да намалите.

Но не: - Това е множителят само на един термин в числителя, но самата цифра не е поставена на множителите.

Ето още един пример :.

Този израз е разграден върху множителите, това означава, че можете да намалите, за да разделите числителя и знаменателя и след това на:

Можете веднага да споделите:

За да предотвратите такива грешки, не забравяйте лесен начинКак да се определи дали изразът на мултипликатори е отхвърлен:

Аритметичното действие, което се извършва от последното при изчисляването на стойностите на израза, е "главната". Това е, ако замените всички (всички) номера вместо букви и ще се опитате да изчислите стойността на израза, ако последното действие е умножение - това означава, че имаме работа (изразяването се разлага на множителите). Ако последното действие е добавяне или изваждане, това означава, че изразът не се разлага върху факторите (и следователно не може да бъде намален).

За консолидация, ние решаваме самостоятелно примери:

Отговори:

1. Надявам се, че не сте се втурнали веднага да намалите и? Няма достатъчно "нарязани" такива такива:

Първото действие следва да бъде разлагане на мултипликатори:

4. Добавяне и изваждане на фракции. Привеждане на фракции към общ знаменател.

Добавяне и изваждане на обикновени фракции - операцията е добре позната: Търсим общ знаменател, ние сме доминираща всяка фракция на липсващия мултипликатор и сгъване / приспадане на цифрите. Нека си спомним:

Отговори:

1. Знаменателите са взаимно прости, т.е. те нямат общи множители. Следователно НОК на тези цифри е равен на тяхната работа. Това ще бъде общ знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Ето първото нещо, което трябва да направите смесени фракции да се превърнат в неправилни, а след това - по обичайната схема:

Това е съвсем друго нещо, ако фракциите съдържат букви, например:

Да започнем с прост:

а) знаменателите не съдържат букви

Тук е все едно като при конвенционалните цифрови фракции: откриваме общ знаменател, ние сме доминиращи всяка фракция на липсващия мултипликатор и сгъване / приспадане на цифрите:

сега в числителя можете да дадете подобни, ако има такива, и да се изложи на множители:

Опитайте сами:

б) знаменателите съдържат букви

Нека помним принципа за намиране на общ знаменател без писма:

· Преди всичко определяме общи фактори;

След това изписваме всички общи фактори веднъж;

· И те доминират за всички други мултипликатори, а не общи.

За да определите общите мултипликатори на знаменателите, първо ги оставете за прости фактори:

Подчертаваме общи фактори:

Сега ще запишем общите фактори за едно време и ще добавим всички опции (без подчертани) множители към тях:

Това е общ знаменател.

Нека се върнем към буквите. Dannels се дават по една и съща схема:

· Решете знаменателите за мултипликатори;

· Определете общите (идентични) множители;

· Пишаме всички общи фактори веднъж;

· Ние сме доминиращи за всички други мултиплици, а не обичайно.

Така че, за:

1) Разгънете знаменателите за мултипликатори:

2) определят общите (идентични) множители:

3) Изписваме всички общи фактори веднъж и доминиращите им на всички останали (неверни) множители:

Така че общият знаменател е тук. Първата фракция трябва да се умножи, втората - на:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме едни и същи множители в знаменателя, само с различни индикатори. В общия знаменател ще отиде:

в степен

в степен

в степен

до степен.

Условят задачата:

Как да направим същия знаменател?

Нека си спомним основното свойство на Fraci:

Никъде не се казва, че фракцията може да бъде извадена от цифровия и знаменател) (или добавяне) на същия номер. Защото е неправилно!

Почистете себе си: вземете някаква фракция, например и добавете към числителя и знаменател някакъв брой, например,. Какво каза?

Така че, следващото непоколебимо правило:

Когато донесете фракция общ знаменател, използвайте само функция за умножение!

Но какво трябва да се размножавате, за да получите?

Тук е включен и Доминат. И Домакия на:

Изрази, които не могат да бъдат разградени върху умножаването, ще бъдат наречени "елементарни мултипликатори". Например, това е елементарен множител. - също. Но - не: тя се разлага върху множители.

Какво казвате за изразяването? Той е елементарен?

Не, защото тя може да бъде разложена на мултипликатори:

(При разграждането на множителите, които вече сте прочели в темата "").

Така че, елементарните мултипликатори, към които намалявате изразяването с букви, е аналог на прости мултипликатори, към които разпространявате номера. И ще действаме с тях по същия начин.

Виждаме, че в двата знаменатели има мултипликатор. Той ще отиде на общ знаменател до степен (не забравяйте защо?).

Мултипликатът е елементарен и те нямат общ, което означава, че първата фракция, която ще трябва просто да рисува:

Друг пример:

Решение:

Изтича, отколкото в паника Умножете тези знаменатели, трябва да помислите как да ги разграждате за множители? И двамата представляват:

Отличен! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, разграждайте знаменателите за мултипликатори. В първия знаменател просто издържаме зад скобите; Във втората - разликата в квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако погледнете, тогава те са сходни ... и истината:

Така пишете:

Това означава, че се оказа така: вътре в скобата сменихме местата на места и в същото време знакът се променя преди обратното. Обърнете внимание, така че ще трябва да се прави често.

Сега даваме общ знаменател:

Помогне? Сега проверете.

Задачи за саморешения:

Отговори:

Тук е необходимо да запомните още една - разликата на кубчетата:

Обърнете внимание, че в знаменателя втората фракция не е формулата "квадратна сума"! Квадрата сума ще изглежда така:.

И - това е така нареченият непълен квадрат на сумата: вторият термин в него е работата на първия и последен и не удвои работата им. Непълният площад на сумата е един от мултипликатите в разлагането на разликата в кубчетата:

Какво да правите, ако фракциите вече са три части?

И същото! На първо място, ние го правим, че максималният брой мултипликатори в знаменателите е същият:

Обърнете внимание: Ако промените знаците в една скоба, знакът, преди фракцията да се променя в обратното. Когато променяме знаците във втората скоба, знакът, преди фракцията да се промени отново към обратното. В резултат на това той (знакът преди фракцията) не се е променил.

В цялостния знаменател първият знаменател се изхвърля и след това добавя всички фактори, които не са написани от втората, а след това от третата (и така нататък, ако фланене са повече). Това означава, че се оказва така:

Хм ... с фракции, ясно е какво да правим. Но как да бъдем с двойки?

Всичко е просто: знаете как да поставите фракция? Така че трябва да направите това, че два пъти да се превърне в фракция! Спомняме си: Фракцията е операция за разделяне (числителят споделя знаменателя, ако изведнъж сте забравили). И няма нищо по-лесно от разделянето на номера. В същото време, номерът няма да се промени, но ще се превърне в част:

Какво точно е необходимо!

5. Умножение и разделяне на фракциите.

Е, най-трудното сега. И имаме най-простото, но най-важното е:

Процедура

Каква е процедурата за преброяване на цифров израз? Запомнете, като се има предвид значението на такъв израз:

Изчислени?

Трябва да се случи.

Така че, напомням.

Първото нещо е изчислена степен.

Вторият е умножение и разделение. Ако множеството и разделенията са едновременно няколко, можете да ги направите в произволен ред.

И накрая, изпълняваме допълване и изваждане. Отново, в произволен ред.

Но: изразът в скоби се изчислява от търна!

Ако няколко скоби се умножат или споделят един върху друг, първо изчисляваме израза във всяка от скобите, и след това ги умножаваме или ги доставихме.

И ако все още има някои скоби в скобите? Е, нека да мислим: някакъв израз е написан в скобите. И когато изчислява изражението, преди всичко трябва да направите какво? Това е правилно, изчислявате скобите. Е, така разбра: Първо изчисляваме вътрешните скоби, после всичко останало.

Така че процедурата за изразяване е по-висока от тази (текущите стойности се разпределят в червено, т.е. действието, което изпълнявам в момента):

Е, това е просто.

Но това не е същото като израза с букви?

Не, същото! Само вместо аритметични действия трябва да се правят алгебрични, т.е. действията, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, Регулиране на фракциите, рязане на фракции и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на разграждането на полиноми върху мултипликатори (често го прилагаме при работа с фракции). Най-често, за разлагане на мултипликатори, трябва да се прилага или просто да извадя общ фактор за скоби.

Обикновено нашата цел е да изпратим израз под формата на работа или частно.

Например:

Ние опростяваме израз.

1) Първо опростим изразяването на скоби. Там имаме различна фракция и целта ни е да го представим като работа или частно. Така че, даваме фракция за общ знаменател и фолд:

Още този израз е лесен за опростяване, всички фактори тук са елементарни (все още си спомняте какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножаване на фракции: Какво може да бъде по-лесно.

3) Сега можете да намалите:

Това е. Нищо трудно, нали?

Друг пример:

Опростяване на изразяването.

Първо се опитайте да се решим и само след това да видите решението.

Първо определяме процедурата за действие. Първо, ние ще извършим добавянето на фракции в скоби, тя се оказва вместо две фракции. Тогава ще извършим разделителни фракции. Е, резултатът ще се сложи с последната фракция. Схематично брой действия:

Сега ще покажа процеса на новините, подслушване на текущото действие в червено:

И накрая, ще ви дадете два полезни съвета:

1. Ако има сходни, те трябва да бъдат донесени веднага. В каквото и да е време, имаме подобни подобни, препоръчително да ги донесете веднага.

2. Същото се отнася и за намаляването на фракциите: веднага след като способността да се намали, тя трябва да се използва. Изключението е фракциите, които сте сгънали или приспад: ако сега имат същите знаменатели, тогава съкращението трябва да остане за по-късно.

Ето вашите задачи за саморешения:

И обещано в самото начало:

Решения (кратки):

Ако сте се справили поне с първите три примера, тогава сте помислили, усвояват.

Сега напред към ученето!

Трансформация на изрази. Резюме и основни формули

Основни операции по опростяване:

• Привеждане на подобни: Да се \u200b\u200bсгъстят (олово) подобни компоненти, е необходимо да се сгънат техните коефициенти и да придаде писмото.
• Факторизиране:приемане на общ фактор за скоби, приложение и др.
• Намаляване на фракциите: Числовът и знаменател на фракцията могат да бъдат умножени или разделени на един и същ ненулев номер, от който фракцията не се променя.
  1) числител и знаменател разлагане на мултипликатори
  2) Ако има общи множители в числа и знаменател, те могат да бъдат изтрити.

  Важно: Само мултипликатори могат да бъдат намалени!

• Добавяне и изваждане на фракции:
  ;
• Умножаване и разделение на фракциите:
  ;

I. Изрази, в които, заедно с букви, могат да се използват номерата, маркировка на аритметични действия и скоби, се наричат \u200b\u200bалгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2 м.; 3. · (2a + б); 0.24x; 0,3A -b. · (4A + 2B); А2 - 2AB;

Тъй като писмото в алгебрично изразяване може да бъде заменено с различни номера, тогава буквата се нарича променлива и сама алгебричен израз - изразяване с променлива.

II. Ако при алгебрични експресионни букви (променливи), сменете ги със стойности и изпълнете тези действия, след това полученият номер се нарича стойност на алгебрична експресия.

Примери. Намерете стойността на изразяването:

1) A + 2B -C при A \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3.5.

2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6.

Решение.

1) A + 2B -C при A \u003d -2; b \u003d 10; C \u003d -3.5. Вместо променливи, ние заменим техните стойности. Получаваме:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | Y | - | z | при x \u003d -8; y \u003d -5; z \u003d 6. Заместваме стойностите. Не забравяйте, че модулът за отрицателно число е равен на противоположния номер и модулът на положително число е равен на номера. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Стойностите на буквата (променлива), при които алгебричното изразяване има смисъл, се наричат \u200b\u200bдопустимите стойности на буквата (променлива).

Примери. Под какви стойности на променливия израз няма смисъл?

Решение. Знаем, че е невъзможно да се разделим на нула, затова всяко от тези изрази няма да има смисъл в стойността на буквата (променлива), която привлича деномотер на фракцията в нула!

В пример 1) Тази стойност е A \u003d 0. Всъщност, ако вместо това и заменете 0, тогава трябва да споделите номер 6 до 0 и това не може да се направи. Отговор: Експресия 1) няма смисъл при A \u003d 0.

В пример 2) знаменател X - 4 \u003d 0 при x \u003d 4, следователно, тази стойност x \u003d 4 и не може да бъде взета. Отговор: Експресия 2) няма смисъл при x \u003d 4.

В пример 3) знаменател X + 2 \u003d 0 при x \u003d -2. Отговор: експресия 3) няма смисъл при x \u003d -2.

В пример 4) знаменател 5 - | x | \u003d 0 с | x | \u003d 5. и от | 5 | \u003d 5 и | -5 | \u003d 5, тогава е невъзможно да се вземе x \u003d 5 и x \u003d -5. Отговор: експресия 4) няма смисъл при x \u003d -5 и при x \u003d 5.
IV. Две изрази са идентично равни, ако с всякакви валидни стойности на променливите съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (А - В) и 5А - 5Ь са задни равни, тъй като равенството 5 (A - B) \u003d 5A - 5B ще бъде верен при всякакви стойности на a и b. Равенство 5 (A - B) \u003d 5A - 5B има самоличност.

Идентичност - Това е равенство, само с всички допустими стойности на включените в нея променливи. Примери за идентичности, които вече са ви известни, са например свойствата на добавянето и умножаването, разпределителното свойство.

Подмяната на един израз в друга, идентично равна на нея от израза, се нарича идентично превръщане или просто чрез трансформация на израза. Идентични трансформации Разширенията с променливи се извършват въз основа на свойствата на действията над номерата.

Примери.

а) Конвертиране на изразяването на идентично равни, използвайки разпределителното свойство на умножение:

1) 10 · (1.2x + 2.3,); 2) 1.5 · (a -2b + 4с); 3) a · (6m -2n + k).

Решение. Спомнете си дистрибуторското свойство (закон) на умножение:

(A + b) · c \u003d a · c + b · c (Законът за разпределение на умножаването по отношение на добавянето: да се умножи количеството на два номера към третото число, можете да умножите всеки компонент към този номер и да сгънете резултатите).
(А-В) · C \u003d A · C-B · C (Закон за разпределение на умножаването по отношение на изваждането: за умножаване на разликата между две числа, за да се умножи с третото число, можете да се умножите по този брой, намален и изваждащ поотделно и от първия резултат от изваждането на втория).

1) 10 · (1.2x + 2,31) \u003d 10 · 1.2x + 10 · 2.3U \u003d 12x + 23W.

2) 1.5 · (A -2B + 4C) \u003d 1,5A -3B + 6C.

3) A · (6M -2N + K) \u003d 6AM -2AN + AK.

б) Конвертиране на израза, за да е равномерно равен, като използвате улесни и модни свойства (закони) на добавяне:

4) X + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3A + 2,1) + 7.8; 6) 5.4c -3 -2.5 -2.3c.

Решение. Прилагане на законите (имоти) на добавяне:

a + b \u003d b + a (Движение: сумата не се променя от пренареждането на термините).
(A + b) + c \u003d a + (b + с) (Комбиниране: За да добавите трето число към сумата от двата компонента, можете да добавите втората и третата сума към първото число).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 \u003d (x + 2x) + (4.5 + 6.5) \u003d 3x + 11.

5) (3A + 2,1) + 7.8 \u003d 3A + (2.1 + 7.8) \u003d 3A + 9.9.

6) 6) 5.4C -3 -2.5 -2.3C \u003d (5.4C -2.3C) + (-3 -2.5) \u003d 3.1С -5.5.

в) Конвертиране на експресията, за да равните, използвайки умножението: умножение:

7) 4 · Х. · (-2,5); 8) -3,5 · 2ок · (-ONE); 9) 3а. · (-3) · 2в.

Решение. Прилагане на законите (свойствата) на умножение:

a · b \u003d b · a (Движение: от пермутацията на множителите, работата не се променя).
(A · b) · c \u003d a · (b · ° С) (Комбиниране: за умножаване на работата на две номера към третото число, можете да умножите първия номер на работата на втория и третия).

7) 4 · Х. · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2ок · (-1) \u003d 7-ми.

9) 3а. · (-3) · 2C \u003d -18AS.

Ако алгебричното изразяване е дадено под формата на намалена фракция, след това се използва правилото за раздробяване, то може да бъде опростено, т.е. Замени идентично равна на по-прост израз.

Примери. Опростяване с помощта на намаляването на фракциите.

Решение. Намалете фракцията - това означава разделяне на числителя и знаменателя към същия номер (израз), различен от нула. Фракция 10) ще намали 3б.Шпакловка Фракция 11) ще намали но и фракция 12) ще намали 7n.. Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за компилиране на формули.

Формулата е алгебричен израз, записан под формата на равенство и изразява връзката между две или няколко променливи. Пример: формула формула, която знаете s \u003d v · t (S е пътят път, V е скорост, t - време). Не забравяйте какви други формули знаете.

Страница 1 от 1 1

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебра, количеството на хомормите заемат важно място. Даваме примери за такива изрази:
(5A ^ 4 - 2A ^ 3 + 0,3A ^ 2 - 4,6A + 8)
(xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \\ t

Количеството на хомормите се нарича полином. Компонентите в полиномната са наричани членове на полином. Ние също така не случайно се отнасяме към полиномите, броят им е неразрешено от полином, състоящ се от един член.

Например, полином
(8б ^ 5 - 2b cdot 7b ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25b cdot (-12) B + 16)
Можете да опростите.

Представете си всички компоненти под формата на стандартни видове:
(8В ^ 5 - 2b cdot 7b ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25b cdot (-12) B + 16 \u003d \\ t
(\u003d 8B ^ 5 - 14b ^ 5 + 3B ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16)

Ние даваме такива членове в получения полином:
(8В ^ 5 -14b ^ 5 + 3B ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16)
Оказа се полином, всички членове са едностранни видове и няма подобни сред тях. Такива полиноми се наричат полиноми от стандартни видове.

На човек степента на полином Стандартните видове приемат най-голямата от степените на своите членове. По този начин, Bicked (12A ^ 2B - 7B) има трета степен и три етапа (2b ^ 2 -7b + 6) - втората.

Обикновено членовете на полиномите на стандартна форма, съдържаща една променлива, са поставени в реда на намаляването на нейната степен. Например:
(5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1)

Сумата от няколко полинома може да бъде преобразувана (опростяване) в полином от стандартен вид.

Понякога членовете на полиномната трябва да бъдат разделени на групи чрез влизане във всяка група в скоби. Тъй като заключението в скоби е трансформация, обратното разкриване на скоби, лесно се формулира правила за разкриване на скоби:

Ако знакът "+" е поставен пред скобите, членовете, приложени в скоби, се записват със същите признаци.

Ако подписът "-" е инсталиран пред скобите, членовете, сключени в скобите, се записват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведения на еднокрила и полином

Използвайки дистрибуторските свойства на умножаването, можете да конвертирате (опростяване) в полином, продуктът е неблабен и полином. Например:
(9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5AB - 4B ^ 2) \u003d \\ t
(\u003d 9a ^ 2b cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b cdot (-5ab) + 9a ^ 2b cdot (-4b ^ 2) \u003d \\ t
(\u003d 63A ^ 4B - 45A ^ 3B ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3)

Работата е необезнена и полиномът е идентично равен на количеството произведения на този единствен и всеки от членовете на полином.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да умножите неузрел от полином, трябва да умножите този, който е неизвестен за всеки от членовете на полином.

Многократно сме използвали това правило за умножение по сумата.

Продукт на полиноми. Трансформация (опростяване) на два полинома

Като цяло, продуктът от два полиноми е идентично равен на количеството на работата на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено се ползват от следното правило.

За да се умножи полиномът към полинома, всеки член на един полином се умножава от всеки член на другия и сгънат получените произведения.

Формули на съкратено умножение. Квадрати на сумата, разликата и разликата на квадратите

С някои изрази в алгебрични трансформации е необходимо да се справим по-често, отколкото с другите. Може би най-често срещаните изрази (a + b) ^ 2, \\ t (a - b) ^ 2) и (a ^ 2 - b ^ 2), т.е. сумата на сумата, квадратът на разликата и квадратни различия. Забелязали сте, че имената на посочените изрази не са приключили, така че, например, ((a + b) ^ 2) е, разбира се, не само квадрата на сумата, и квадрата на сумата А и Б. Въпреки това, квадратът на сумата А и Б не е толкова често, като правило, вместо буквите А и Б, се оказва различно, понякога доста сложни изрази.

Израз ((A + B) ^ 2, \\ t (A - B) ^ 2) Не е трудно да се преобразуват (опростяване) в полиноми на стандартен вид, всъщност, вече сте се срещали с такава задача, когато Умножаване на полиноми:
((a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d \\ t
(\u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2)

Получените идентичности са полезни за запомняне и прилагане без междинни изчисления. Кратка вербална формулировка помага на това.

((a + b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab) - сумата на сумата е равна на сумата на квадратите и удвоената работа.

((a - b) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 - 2AB) - квадратът на разликата е равен на сумата на квадратите без двоен продукт.

(A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A - B) (A + B) - Разликата на квадратите е равна на продукта на разликата в сумата.

Тези три идентичности позволяват трансформации, за да заменят левите им части с дясно и обратно десните части. Най-трудно в същото време - вижте подходящите изрази и разберете как се заменят променливи А и В. Обмислете няколко примера за използване на формулите на съкратеното умножение.

Използвайки всеки език, можете да изразите същата информация. различни думи и се обръща. Не е изключение и математически език. Но същият израз може да бъде записан еквивалентно по различни начини. И в някои ситуации един от записите е по-прост. Ще говорим за опростяване на изрази в този урок.

Хората общуват различни езици. За нас едно важно сравнение е чифт "руски език - математически език". Същата информация може да бъде докладвана на различни езици. Но освен това тя може да се произнесе и на един език по различни начини.

Например: "Петя е приятел с Vasya", "Вася е приятел с Петя", "Пит с важи приятели". Каза по различен начин, но същото. За всяка от тези фрази ще разберем за какво говорим.

Нека да разгледаме тази фраза: "момчето на Петя и момчето Вася са приятели". Разбрахме какво това е речта. Въпреки това, ние не обичаме как тази фраза звучи. Можем ли да го опростим, да кажем същото, но по-лесно? "Момче и момче" - можете да кажете още веднъж: "Петя и Васиа момчета са приятели".

"Момчета" ... не са имената, които не са момичета. Ние премахваме "момчетата": "Петя и Вася са приятели". И думата "приятели" може да бъде заменена с "приятели": "Петър и Вася - приятели". В резултат на това първата, дълга грозна фраза бе заменена с еквивалентно изявление, което е по-лесно да се каже и по-лесно да се разбере. Опростени тази фраза. Опростяване - това означава да се каже по-лесно, но да не губи, не нарушава значението.

На математически език се случва приблизително същото нещо. Едно нещо може да се каже, че пише по различен начин. Какво означава да се опрости изразяването? Това означава, че има много еквивалентни изрази за първоначалния израз, т.е. тези, които означават едно и също нещо. И от всичко това трябва да изберем най-простите, в нашето мнение или най-подходящи за бъдещите ни цели.

Например, помислете за цифров израз. Тя ще бъде еквивалентна.

Тя също ще бъде еквивалентна на първите две: .

Оказва се, че ние опростихме нашите изрази и намерихме най-краткия еквивалентен израз.

За числени изрази винаги е необходимо да се изпълняват всички действия и да получавате еквивалентен израз под формата на един номер.

Помислете за пример за азбучен израз. . Очевидно ще бъде по-прост.

Когато опростявате азбучни изрази, трябва да изпълните всички действия, които са възможни.

Винаги ли трябва да опростите изражението? Не, понякога ще бъде по-удобно за американските еквиваленти, но по-дълъг запис.

Пример: От номера, който трябва да отнемеш номера.

Възможно е да се изчисли, но ако първият номер е представен от неговия еквивалентен запис: след това изчисленията ще бъдат мигновени :.

Това означава, че опростеният израз не винаги е печеливш за по-нататъшно изчисление.

Въпреки това, много често се сблъскваме с задача, която звучи "за опростяване на израза".

Опростете израза :.

Решение

1) Извършване на действия в първата и втората скоби :.

2) Изчислете произведенията: .

Очевидно последният израз е по-опростен поглед от първоначалния. Продължихме го.

За да се опрости изразът, той трябва да бъде заменен с еквивалент (равен).

За да се определи еквивалентният израз, е необходимо:

1) изпълнява всички възможни действия

2) Използвайте свойствата на добавянето, изваждането, умножаването и разделенията за опростяване на изчисленията.

Свойства на добавянето и изваждането:

1. Преместете свойството на допълнение: сумата не се променя от пренареждането на термините.

2. Комбинираното свойство на добавянето: За да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от втория и третия номер към първия номер.

3. Имотът за изваждане на сумата от: да извади сумата от номера, можете да приспадвате всеки термин поотделно.

Свойства на умножение и разделение

1. Движение на имущество на умножение: продуктът не се променя от пермутацията на мултипликатори.

2. Модна собственост: да умножа номера на работата на две числа, първо можете да я умножите до първия фактор, а след това получената работа се умножава по втория фактор.

3. Разпределителното свойство на умножаването: да се умножи номера на сумата, трябва да я умножите самостоятелно поотделно.

Нека да видим как всъщност правим изчисления в ума.

Изчисли:

Решение

1) Представете си как

2) Представете си първия фактор като сумата на термините за освобождаване от отговорност и изпълнете умножение:

3) Можете да си представите как да извършвате умножение:

4) замени първия фактор на еквивалентната сума:

Законът за разпространение може да се използва в обратна посока :.

Извършване на действия:

1) 2)

Решение

1) За удобство можете да използвате закона за дистрибуция, само за да го използвате в обратна посока - за да направите общ фактор за скоби.

2) Ще донеса общ мултипликатор за скоби.

Необходимо е да се купува линолеум в кухнята и входно антре. Квадратна кухня -, коридор -. Има три вида линолеи: софтуер и рубли за. Колко ще всяка от трите вида линолеум струва? (Фиг. 1)

Фиг. 1. Илюстрация към състоянието на проблема

Решение

Метод 1. Можете индивидуално да намерите колко пари ще трябва да закупите линолеум в кухнята и след това да добавите към коридора и получените работи.