Tento článek shromáždil a strukturoval informace nezbytné k vyřešení téměř jakéhokoli příkladu na téma číselných řad, od nalezení součtu řad až po jejich konvergenci.

Recenze článku.

Začněme definicemi znaménko-pozitivní řady, která mění znaménko, a konceptem konvergence. Dále se budeme zabývat standardními řadami, jako je harmonická řada, zobecněná harmonická řada, připomeneme si vzorec pro nalezení součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti. Poté se zaměříme na vlastnosti konvergenčních řad, zaměříme se na nutnou podmínku pro konvergenci řady a stanovíme dostatečná kritéria pro konvergenci řady. Teorii rozředíme řešením typických příkladů s podrobným vysvětlením.

Navigace na stránce.

Základní definice a pojmy.

Předpokládejme, že máme číselnou posloupnost, kde .

Uveďme příklad číselné posloupnosti: .

Číselná řada Je součtem členů číselné posloupnosti formuláře .

Jako příklad číselné řady můžeme uvést součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti se jmenovatelem q = -0,5: .

Se nazývají společný člen číselné řady nebo k-tý člen řady.

Pro předchozí příklad je společný výraz číselné řady.

Částečný součet číselné řady Je součet tvaru, kde n je nějaké přirozené číslo. také nazývaný n-tý dílčí součet číselné řady.

Například čtvrtý dílčí součet řady tady je .

Částečné částky tvoří nekonečnou posloupnost dílčích součtů číselné řady.

Pro naši řadu je n -tý dílčí součet nalezen vzorcem součtu prvních n členů geometrické posloupnosti , to znamená, že budeme mít následující posloupnost dílčích součtů: .

Číselná řada se nazývá konvergující existuje-li konečná mez posloupnosti dílčích součtů. Pokud limita posloupnosti dílčích součtů číselné řady neexistuje nebo je nekonečná, pak se řada nazývá divergentní.

Součet konvergující číselné řady se nazývá limita posloupnosti jeho dílčích součtů, tzn. .

V našem příkladu tedy řada konverguje a jeho součet se rovná šestnácti třetinám: .

Příkladem divergující řady je součet geometrické posloupnosti se jmenovatelem větším než jedna: ... n-tý dílčí součet je určen výrazem a limit částečných součtů je nekonečný: .

Dalším příkladem divergující číselné řady je součet tvaru ... V tomto případě lze n-tý dílčí součet vypočítat jako. Hranice dílčích součtů je nekonečná .

Součet formuláře volala harmonická číselná řada.

Součet formuláře , kde s je nějaké reálné číslo, se nazývá zobecněná harmonická číselná řada.

Výše uvedené definice stačí k doložení následujících velmi často používaných tvrzení, doporučujeme si je zapamatovat.

ŘADY HARMONIC SE VYDÁVAJÍ.

Dokažme divergenci harmonické řady.

Předpokládejme, že řada konverguje. Pak existuje konečná mez jeho dílčích součtů. V tomto případě můžeme napsat a, což nás vede k rovnosti .

Na druhé straně,


O následujících nerovnostech nelze pochybovat. Tím pádem, . Výsledná nerovnost nám ukazuje, že rovnost nelze dosáhnout, což je v rozporu s naším předpokladem o konvergenci harmonické řady.

Závěr: harmonická řada diverguje.

SOUČET GEOMETRICKÉ PROGRESE POHLEDU SE JMENOVATELEM q JE KONVERGOVANÁ ČÍSELNÁ ŘADA, KDYŽ, A DĚLICÍ ŘADA AT.

Pojďme to dokázat.

Víme, že součet prvních n členů geometrické posloupnosti najdeme vzorcem .

Když je to pravda


který udává konvergenci číselné řady.

Pro q = 1 máme číselnou řadu ... Jeho částečné součty se nalézají jako a limit částečných součtů je nekonečný , což v tomto případě ukazuje na divergenci řady.

Pokud q = -1, pak číselná řada bude mít tvar ... Dílčí součty nabývají hodnot pro liché n a sudé n. Z toho můžeme usoudit, že limita dílčích součtů neexistuje a řada diverguje.

Když je to pravda


což udává divergenci číselné řady.

ZOBECNĚNO, HARMONICKÁ ŘADA SE KONVERGUJE PRO s> 1 A LIŠÍ SE PRO.

Důkaz.

Pro s = 1 dostaneme harmonickou řadu a výše jsme stanovili její divergenci.

Na s nerovnost platí pro všechny přirozené k. Vzhledem k divergenci harmonické řady lze tvrdit, že posloupnost jejích dílčích součtů je neomezená (protože neexistuje žádná konečná limita). Posloupnost dílčích součtů číselné řady je pak o to neomezenější (každý člen této řady je větší než odpovídající člen harmonické řady), proto se zobecněná harmonická řada v s rozchází.

Zbývá dokázat konvergenci řady pro s> 1.

Napišme rozdíl:



Tedy očividně


Zapišme výslednou nerovnost pro n = 2, 4, 8, 16, ...



Pomocí těchto výsledků můžete s původní číselnou řadou provést následující:



Výraz je součet geometrické posloupnosti, jejíž jmenovatel je. Protože uvažujeme případ pro s> 1, tak. Proto
... Posloupnost dílčích součtů zobecněné harmonické řady pro s> 1 je tedy rostoucí a zároveň shora ohraničená hodnotou, má tedy limitu, která udává konvergenci řady. Důkaz je kompletní.

Číselná řada se nazývá pozitivní pokud jsou všichni její členové kladní, tzn. .

Číselná řada se nazývá střídavé jsou-li znaky jeho sousedních členů odlišné. Střídavou číselnou řadu lze zapsat jako nebo , kde .

Číselná řada se nazývá střídavé pokud obsahuje nekonečnou množinu kladných i záporných členů.

Střídavá číselná řada je zvláštní případ střídavé řady.

Řady

jsou znaménko-pozitivní, znaménkové střídavé a znaménkové alternující.

Pro střídavé řady existuje koncept absolutní a podmíněné konvergence.

absolutně konvergentní, pokud konverguje řada absolutních hodnot jejích členů, tedy konverguje znaménko-kladná číselná řada.

Například číselná řada a konvergovat absolutně, od série , což je součet nekonečně klesající geometrické progrese.

Střídavá řada se nazývá podmíněně konvergující pokud řada diverguje a řada konverguje.

Jako příklad konvenčně konvergující číselné řady můžeme uvést řadu ... Číselná řada , složený z absolutních hodnot členů původní řady, divergentní, protože je harmonický. Původní řada je zároveň konvergentní, což lze snadno stanovit pomocí. Tedy číselná střídavá řada podmíněně konvergentní.

Vlastnosti konvergujících číselných řad.

Příklad.

Dokažte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Pojďme napsat seriál v jiné podobě ... Číselná řada konverguje, protože zobecněná harmonická řada je konvergentní pro s> 1, a na základě druhé vlastnosti konvergující číselné řady bude konvergovat i řada s číselným koeficientem.

Příklad.

Zda číselná řada konverguje.

Řešení.

Převedeme původní řádek: ... Tak jsme dostali součet dvou číselných řad a každá z nich konverguje (viz předchozí příklad). V důsledku třetí vlastnosti konvergující číselné řady tedy původní řada také konverguje.

Příklad.

Dokažte konvergenci číselné řady a vypočítat jeho součet.

Řešení.

Tato číselná řada může být reprezentována jako rozdíl mezi dvěma řadami:

Každá z těchto řad je součtem nekonečně klesající geometrické progrese, proto je konvergentní. Třetí vlastnost konvergujících řad nám umožňuje tvrdit, že původní číselná řada konverguje. Vypočítejme jeho součet.

První člen řady je jedna a jmenovatel příslušné geometrické posloupnosti je 0,5, tedy .

První člen řady je 3 a jmenovatel odpovídající nekonečně klesající geometrické posloupnosti je 1/3, proto .

Použijme získané výsledky k nalezení součtu původní číselné řady:

Nezbytná podmínka pro konvergenci řady.

Pokud číselná řada konverguje, pak limita jejího k-tého členu je nula:.

Při zkoumání jakékoli číselné řady na konvergenci je třeba nejprve zkontrolovat splnění nezbytné podmínky konvergence. Nesplnění této podmínky ukazuje na divergenci číselné řady, tedy pokud, pak se řada diverguje.

Na druhou stranu musíte pochopit, že tato podmínka nestačí. Čili splnění rovnosti neznamená konvergenci číselné řady. Například pro harmonickou řadu je splněna nezbytná podmínka konvergence a řada diverguje.

Příklad.

Prozkoumejte řadu čísel pro konvergenci.

Řešení.

Zkontrolujme nezbytnou podmínku pro konvergenci číselné řady:

Omezit n-tý člen číselné řady není roven nule, proto řada diverguje.

Dostatečné známky konvergence kladné řady.

Při použití dostatečných funkcí pro studium číselných řad pro konvergenci se s nimi musíte neustále potýkat, proto vám doporučujeme, abyste se v případě jakýchkoli potíží obrátili na tuto část.

Nezbytná a postačující podmínka pro konvergenci kladné číselné řady.

Pro konvergenci kladné číselné řady je nutné a postačující, aby posloupnost jeho dílčích součtů byla omezena.

Začněme se znaky srovnání řad. Jejich podstata spočívá v porovnání studované číselné řady s řadou, jejíž konvergence či divergence je známa.

První, druhý a třetí znak srovnání.

První známka porovnávání řádků.

Nechť u jsou dvě znaménko-kladné číselné řady a nerovnost platí pro všechna k = 1, 2, 3, ... Pak konvergence řady implikuje konvergenci a divergence řady implikuje divergenci.

První srovnávací kritérium se používá velmi často a je velmi silným nástrojem pro zkoumání konvergence číselných řad. Hlavním problémem je výběr vhodné řady pro srovnání. Řady pro srovnání se obvykle (ale ne vždy) volí tak, aby exponent jejího k-tého členu byl roven rozdílu mezi exponenty čitatele a jmenovatele k-tého členu studované číselné řady. Předpokládejme například, že rozdíl mezi exponenty čitatele a jmenovatele je 2 - 3 = -1, proto pro srovnání vybereme řadu s k-tým členem, tedy řadu harmonickou. Podívejme se na pár příkladů.

Příklad.

Stanovte konvergenci nebo divergenci řady.

Řešení.

Protože limita obecného členu řady je nulová, je splněna nezbytná podmínka pro konvergenci řady.

Je snadné vidět, že nerovnost platí pro všechna přirozená čísla k. Víme, že harmonická řada diverguje, proto je podle prvního znaku srovnání divergentní i původní řada.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Nutná podmínka pro konvergenci číselné řady je splněna, neboť ... Očividně nerovnost pro jakoukoli přírodní hodnotu k. Řada konverguje, protože zobecněná harmonická řada je konvergentní pro s> 1. První znak porovnání řady nám tedy umožňuje konvergenci původní číselné řady.

Příklad.

Určete konvergenci nebo divergenci číselné řady.

Řešení.

, je tedy splněna nutná podmínka pro konvergenci číselné řady. Který řádek vybrat pro srovnání? Číselná řada se sama navrhne, a abychom mohli určit s, pečlivě prozkoumáme číselnou řadu. Členy číselné posloupnosti rostou do nekonečna. Počínaje od nějakého čísla N (konkrétně s N = 1619) tedy budou členy této posloupnosti větší než 2. Počínaje tímto číslem N nerovnost platí. Číselná řada konverguje na základě první vlastnosti konvergující řady, protože je získána z konvergující řady vyřazením prvních N - 1 členů. Podle prvního srovnávacího kritéria je tedy řada konvergentní a díky první vlastnosti konvergující číselné řady bude řada také konvergovat.

Druhý znak srovnání.

Dovolit a být kladné číselné řady. Jestliže, pak konvergence vyplývá z konvergence řady. Pokud, pak divergence vyplývá z divergence číselné řady.

Následek.

Jestliže a, pak z konvergence jedné řady vyplývá konvergence druhé řady a z divergence následuje divergence.

Prozkoumejme konvergenci řady pomocí druhého srovnávacího kritéria. Berte konvergující řadu jako řadu. Najdeme limitu poměru k-tých členů číselné řady:

Podle druhého srovnávacího kritéria tedy konvergence původní řady vyplývá z konvergence číselné řady.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Zkontrolujme nezbytnou podmínku pro konvergenci řady ... Podmínka je splněna. Abychom mohli použít druhé srovnávací kritérium, vezmeme harmonickou řadu. Najdeme limitu poměru k-tých členů:

Následně z divergence harmonické řady vyplývá divergence původní řady podle druhého srovnávacího kritéria.

Pro informaci uvedeme třetí znak srovnání série.

Třetí znak srovnání.

Dovolit a být kladné číselné řady. Pokud je podmínka splněna z nějakého čísla N, pak konvergence vyplývá z konvergence řady a divergence z divergence řady.

D'Alembert znamení.

Komentář.

d'Alembertův test je platný, pokud je limita nekonečná, tedy pokud , pak řada konverguje, jestliže , pak se řada rozchází.

Pokud pak d'Alembertův test neposkytuje informace o konvergenci nebo divergenci řad a je vyžadován další výzkum.

Příklad.

Prozkoumejte číselnou řadu pro d'Alembertovu konvergenci.

Řešení.

Zkontrolujme splnění nutné podmínky pro konvergenci číselné řady, limit se vypočítá podle:

Podmínka je splněna.

Použijeme d'Alembertův test:

Řada tedy konverguje.

Cauchyho radikální znamení.

Nechť je kladná číselná řada. Jestliže, pak číselná řada konverguje, jestliže, pak řada diverguje.

Komentář.

Cauchyho radikální kritérium platí, je-li limita nekonečná, tedy jestliže , pak řada konverguje, jestliže , pak se řada rozchází.

Pokud pak radikální Cauchyho test neposkytne informace o konvergenci nebo divergenci řad a je nutný další výzkum.

Obvykle je dostatečně snadné rozpoznat případy, kdy je nejlepší použít radikální Cauchyho kritérium. Typický případ je, když je společným členem číselné řady exponenciální exponenciální výraz. Podívejme se na pár příkladů.

Příklad.

Prozkoumejte kladnou číselnou řadu pro konvergenci pomocí radikálního Cauchyho testu.

Řešení.

... Podle Cauchyho radikálního kritéria získáme .

V důsledku toho řada konverguje.

Příklad.

Konverguje číselná řada .

Řešení.

Používáme radikální Cauchyho kritérium , tedy číselná řada konverguje.

Integrální Cauchyho test.

Nechť je kladná číselná řada. Sestavme funkci spojitého argumentu y = f (x), podobnou funkci. Nechť je funkce y = f (x) kladná, spojitá a klesající na intervalu, kde). Pak v případě konvergence nevlastní integrál studovaná číselná řada konverguje. Diverguje-li nevlastní integrál, diverguje i původní řada.

Při kontrole poklesu funkce y = f (x) na intervalu se vám může hodit teorie z oddílu.

Příklad.

Prozkoumejte řadu čísel s kladnými členy pro konvergenci.

Řešení.

Nezbytná podmínka pro konvergenci řady je splněna, protože ... Uvažujme funkci. Je kladný, spojitý a v průběhu intervalu klesá. O návaznosti a pozitivitě této funkce není pochyb a u poklesu se zastavíme trochu podrobněji. Najděte derivát:
... V intervalu je záporná, proto funkce v tomto intervalu klesá.

D'Alembertovo konvergenční kritérium Radikální Cauchyovo konvergenční kritérium Integrální Cauchyovo konvergenční kritérium

Jedním z běžných srovnávacích znaků, které lze nalézt v praktických příkladech, je d'Alembertův znak. Cauchy znamení jsou méně častá, ale také velmi populární. Jako vždy se pokusím materiál podat jednoduchým, přístupným a srozumitelným způsobem. Téma není nejtěžší a všechny úkoly jsou do jisté míry šablonovatelné.

Jean Leron D'Alembert je slavný francouzský matematik 18. století. Obecně se D'Alembert specializoval na diferenciální rovnice a na základě svých výzkumů se zabýval balistikou, aby Jeho Veličenstvo lépe létalo s dělovými koulemi. Nezapomněl jsem přitom ani na početní hodnosti, ne nadarmo se tak zřetelně sbíhaly a rozcházely řady Napoleonových vojsk.

Před formulováním samotné funkce zvažte důležitou otázku:
Kdy by se mělo použít d'Alembertovo konvergenční kritérium?

Začněme opakováním. Připomeňme si případy, kdy potřebujete použít nejoblíbenější limitní srovnávací kritérium... Omezující srovnávací kritérium se použije, když ve společném termínu řady:
1) Jmenovatel obsahuje polynom.
2) Polynomy jsou v čitateli i ve jmenovateli.
3) Jeden nebo oba polynomy mohou být u kořene.

Hlavní předpoklady pro použití funkce d'Alembert jsou následující:

1) Běžný termín řady ("vycpanost" řady) zahrnuje například nějaké číslo v mocnině a tak dále. Navíc vůbec nezáleží na tom, kde se tato věc nachází, v čitateli nebo ve jmenovateli – důležité je, aby tam byla přítomna.

2) Faktoriál je součástí obecného pojmu řady. Během lekce jsme zkřížili meče s faktoriály Číselná posloupnost a její limita... Neuškodí však svépomocí sestavený ubrus znovu rozprostřít:





…


…

! Při použití d'Alembertova testu musíme podrobně popsat faktoriál. Stejně jako v předchozím odstavci může být faktoriál umístěn nahoře nebo dole ve zlomku.

3) Pokud například ve společném termínu řady existuje „řetězec faktorů“. Tento případ je vzácný, ale! Při zkoumání takové série často dochází k chybám - viz příklad 6.

Spolu s mocninami a (a) faktoriály se polynomy často vyskytují ve výplni řady, to na věci nic nemění - musíte použít d'Alembertovo znamení.

Navíc, v obecném termínu řady, jak stupeň tak faktoriál lze nalézt současně; mohou existovat dva faktoriály, dva stupně, je důležité, aby existovaly alespoň něco z uvažovaných bodů - a to je jen předpoklad pro použití d'Alembertova znamení.

D'Alembert znamení: Zvážit kladná číselná řada... Pokud existuje omezení vztahu dalšího člena k předchozímu:, pak:
a) Pro sérii konverguje... Zejména řada konverguje pro.
b) Pro sérii se rozchází... Zejména se série rozchází v.
c) Kdy znamení nedává odpověď... Mělo by se použít jiné znamení. Nejčastěji se jednotka získá, když se d'Alembertův test pokouší použít tam, kde je nutné použít funkci omezujícího srovnání.

Každý, kdo má stále problémy s limity nebo nepochopení limitů, odkazuje na lekci Limity. Příklady řešení... Bohužel bez pochopení limitu a schopnosti odhalit nejistotu nelze dále postupovat.

A nyní dlouho očekávané příklady.

Příklad 1

Vidíme, že máme ve společném termínu řady, a to je správný předpoklad pro použití d'Alembertova znaku. Nejprve kompletní řešení a vzorový návrh, komentáře níže.

Používáme znak d'Alembert:

konverguje.

(1) Složíme poměr dalšího člena řady k předchozímu:. Z podmínky vidíme, že společný termín řady. Abyste získali dalšího člena série, je to nutné místo nahrazení: .
(2) Zbavit se čtyřpatrového zlomku. S určitými zkušenostmi s řešením lze tento krok přeskočit.
(3) Rozbalte závorky v čitateli. Ve jmenovateli vyjmeme čtyřku ze stupně.
(4) Snížit o. Konstanta je vyjmuta z limitního znaménka. Podobné pojmy uvádíme v čitateli v závorce.
(5) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" v nejvyšší mocnině.
(6) Čitatele rozdělujeme jmenovateli člen po členu a označujeme členy, které mají tendenci k nule.
(7) Zjednodušíme odpověď a poznamenáme, že se závěrem, že podle d'Alembertova testu zkoumaná řada konverguje.

V uvažovaném příkladu jsme ve společném členu řady narazili na polynom 2. stupně. Co když existuje polynom 3., 4. nebo vyššího stupně? Faktem je, že pokud je zadán polynom vyššího stupně, pak budou potíže s otevíráním závorek. V tomto případě můžete použít řešení „turbo“.

Příklad 2

Vezměte podobnou řadu a prozkoumejte její konvergenci

Nejprve kompletní řešení, poté komentáře:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

(1) Sestavení vztahu.
(2) Zbavit se čtyřpatrového zlomku.
(3) Uvažujme výraz v čitateli a výraz ve jmenovateli. Vidíme, že v čitateli musíte otevřít závorky a zvýšit na čtvrtou mocninu: což absolutně nechcete dělat. Navíc pro ty, kteří neznají Newtonův binom, tento úkol nemusí být vůbec proveditelný. Pojďme analyzovat nejvyšší stupně: pokud otevřeme závorky nahoře, dostaneme nejvyšší stupeň. Níže máme stejný vyšší titul:. Analogicky s předchozím příkladem je zřejmé, že když čitatel a jmenovatel vydělíme členem, dostaneme v limitě jedničku. Nebo, jak říkají matematici, polynomy a - stejné pořadí růstu... Je tedy docela možné zakroužkovat poměr jednoduchou tužkou a okamžitě naznačit, že tato věc má tendenci k jedné. S druhou dvojicí polynomů nakládáme podobným způsobem: a jsou také stejné pořadí růstu a jejich poměr směřuje k jednotě.

Ve skutečnosti takový „hack“ mohl být proveden v příkladu č. 1, ale pro polynom 2. stupně takové řešení stále vypadá jaksi nedůstojně. Osobně to dělám takto: pokud existuje polynom (nebo mnohočleny) prvního nebo druhého stupně, "dlouhou" cestou vyřeším příklad 1. Pokud narazím na polynom třetího nebo vyšších stupňů, použiji "turbo" - metoda podobná příkladu 2.

Příklad 3

Prozkoumejte konvergenci řady

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce číselných řad.
(4) Snížení všeho, co lze snížit.
(5) Konstanta je vyjmuta z limitního znaménka. Rozbalte závorky v čitateli.
(6) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" v nejvyšší mocnině.

Příklad 5

Prozkoumejte konvergenci řady

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce

Příklad 6

Prozkoumejte konvergenci řady

Někdy se vyskytují řádky, které ve své výplni obsahují „řetězec“ faktorů, s tímto typem řádků jsme zatím neuvažovali. Jak prozkoumat řadu s „řetězcem“ faktorů? Použijte znamení d'Alembert. Ale nejprve, abychom pochopili, co se děje, popíšeme sérii podrobně:

Z rozšíření vidíme, že pro každý další člen v řadě se do jmenovatele přidává další faktor, takže pokud společný člen v řadě, pak další člen v řadě:
... Zde často automaticky dělají chybu a formálně zapisují podle algoritmu, který

Hrubý příklad řešení může vypadat takto:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

Než se pustíte do práce s tímto tématem, doporučuji nahlédnout do části o terminologii pro číselné řady. Za pozornost stojí zejména koncept společného člena řady. Máte-li pochybnosti o správnosti volby konvergenčního kritéria, doporučuji Vám nahlédnout do tématu "Volba konvergenčního kritéria pro číselné řady".

Alambertův test (nebo d'Alembertův test) se používá ke studiu konvergence řad, jejichž společný člen je přísně větší než nula, tj. $ u_n> 0 $. Takové řady se nazývají přísně pozitivní... Ve standardních příkladech je atribut D Alamber použit ve své omezující podobě.

Značka D "Alamber" (v extrémní podobě)

Pokud je řada $ \ suma \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ přísně kladná a $$ \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L , $ $ poté za $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (a pro $ L = \ infty $) se řada liší.

Formulace je poměrně jednoduchá, ale otevřená zůstává následující otázka: co se stane, když $ L = 1 $? Na tuto otázku není schopno odpovědět Alambertovo znaménko D. Pokud $ L = 1 $, pak řada může konvergovat i divergovat.

Nejčastěji se ve standardních příkladech používá atribut Alambera D, pokud výraz pro obecný člen řady obsahuje polynom $ n $ (polynom může být i pod kořenem) a stupeň tvaru $ a ^ n $ nebo $ n! $. Například $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (viz příklad č. 1) nebo $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Co znamená výraz „n!“? ukázat \ skrýt

Záznam "n!" (čti "en faktoriál") označuje součin všech přirozených čísel od 1 do n, tzn.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

Podle definice se předpokládá, že $ 0! = 1! = 1 $. Najdeme například 5!:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

Alambertův rys D se navíc často používá k určení konvergence řady, jejíž společný člen obsahuje součin následující struktury: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n + 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

Příklad #1

Prozkoumejte řadu $ \ suma \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ pro konvergenci.

Protože spodní mez součtu je 1, zapíše se společný člen řady pod znaménko součtu: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Protože pro $ n≥ 1 $ máme $ 3n + 7> 0 $, 5 $ ^ n> 0 $ a $ 2n ^ 3-1> 0 $, pak $ u_n> 0 $. Proto je naše série přísně pozitivní.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac ((3n + 10) \ vlevo (2n ^ 3-1 \ vpravo)) (\ vlevo (2 (n + 1) ^ 3-1 \ vpravo ) (3n + 7)) = \ vlevo | \ frac (\ infty) (\ infty) \ vpravo | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ vlevo (2n ^ 3-1 \ vpravo)) (n ^ 4)) (\ frac (\ vlevo (2 (n + 1) ^ 3-1 \ vpravo) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ vlevo (2 ( n + 1) ^ 3-1 \ vpravo)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (\ vlevo (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ vpravo) \ cdot \ vlevo (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ vpravo)) (\ vlevo (2 \ vlevo (\ frac (n) (n) + \ frac (1) (n) \ vpravo) ^ 3- \ frac (1) (n ^ 3) \ vpravo) \ cdot \ vlevo (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ vpravo)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (\ vlevo (3+ \ frac (10)) (n) \ vpravo) \ cdot \ vlevo (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ vpravo)) (\ vlevo (2 \ vlevo (1+ \ frac (1) (n) \ vpravo) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ vpravo) \ cdot \ vlevo (3+ \ frac (7) (n) \ vpravo)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

Protože $ \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $, pak podle dané řady diverguje.

Upřímně řečeno, Alambertův znak D není v této situaci jedinou možností. Můžete použít například radikální Cauchyho test. Použití radikálního Cauchyho testu však bude vyžadovat znalost (nebo důkaz) dalších vzorců. použití funkce Alamber D" je v této situaci pohodlnější.

Odpovědět: řada se rozchází.

Příklad č. 2

Prozkoumejte rozsah $ \ suma \ limity_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

Protože spodní hranice součtu je 1, společný člen řady se zapisuje pod znaménko součtu: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Společný člen řady obsahuje polynom v kořeni, tzn. $ \ sqrt (4n + 5) $ a faktoriál $ (3n-2)! $. Přítomnost faktoriálu ve standardním příkladu je téměř stoprocentní zárukou použití Alamberovy charakteristiky D.

Abychom mohli tuto vlastnost použít, musíme najít limit poměru $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $. Chcete-li napsat $ u_ (n + 1) $, potřebujete $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Protože $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, vzorec pro $ u_ (n + 1) $ lze napsat jako další:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Tento zápis je vhodný pro další řešení, když musíme zlomek pod limitem zrušit. Pokud rovnost s faktoriály vyžaduje objasnění, rozšiřte prosím poznámku níže.

Jak jsme dostali rovnost $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? ukázat \ skrýt

Zápis $ (3n + 1) $ Znamená součin všech přirozených čísel od 1 do $ 3n + 1 $. Tito. tento výraz lze napsat takto:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

Přímo před číslem $ 3n + 1 $ je o číslo jedna méně, tzn. číslo $ 3n + 1-1 = 3n $. A bezprostředně před číslem $ 3n $ je číslo $ 3n-1 $. Bezprostředně před číslem $ 3n-1 $ máme číslo $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Přepišme vzorec pro $ (3n + 1)! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Jaký je produkt $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Tento produkt se rovná $ (3n-2)! $. Proto výraz pro $ (3n + 1)! $ lze přepsat následovně:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Tento zápis je vhodný pro další řešení, když musíme zlomek pod limitem zrušit.

Vypočítejme hodnotu $ \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)! \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Protože $ \ lim_ (n \ až \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

Kritéria konvergence pro řady.
D'Alembert znamení. Cauchy znamení

Práce, práce – a pochopení přijde později
J.L. D'Alembert

Gratulujeme všem k zahájení školního roku! Dnes je 1. září a na počest svátku jsem se rozhodl seznámit čtenáře s tím, že se už dlouho těšíte a toužíte vědět - kritéria konvergence pro kladné číselné řady... Prázdniny 1. září a moje gratulace jsou vždy aktuální, nevadí, když je venku vlastně léto, teď už potřetí opravujete zkoušku, když půjdete na tuto stránku!

Těm, kteří se studiem série teprve začínají, doporučuji nejprve přečíst článek Číselná řada pro figuríny... Ve skutečnosti je tento vozík pokračováním hostiny. Dnes se tedy v lekci podíváme na příklady a řešení k tématům:

Jedním z běžných srovnávacích znaků, které lze nalézt v praktických příkladech, je d'Alembertův znak. Cauchy znamení jsou méně častá, ale také velmi populární. Jako vždy se pokusím materiál podat jednoduchým, přístupným a srozumitelným způsobem. Téma není nejtěžší a všechny úkoly jsou do jisté míry šablonovatelné.

D'Alembertův test konvergence

Jean Leron D'Alembert je slavný francouzský matematik 18. století. Obecně se D'Alembert specializoval na diferenciální rovnice a na základě svých výzkumů se zabýval balistikou, aby Jeho Veličenstvo lépe létalo s dělovými koulemi. Nezapomněl jsem přitom ani na početní hodnosti, ne nadarmo se tak zřetelně sbíhaly a rozcházely řady Napoleonových vojsk.

Před formulováním samotné funkce zvažte důležitou otázku:
Kdy by se mělo použít d'Alembertovo konvergenční kritérium?

Začněme opakováním. Připomeňme si případy, kdy potřebujete použít nejoblíbenější limitní srovnávací kritérium... Omezující srovnávací kritérium se použije, když ve společném termínu řady:

1) Jmenovatel obsahuje polynom.
2) Polynomy jsou v čitateli i ve jmenovateli.
3) Jeden nebo oba polynomy mohou být u kořene.
4) Polynomů a kořenů může být samozřejmě více.

Hlavní předpoklady pro použití funkce d'Alembert jsou následující:

1) Běžný termín řady ("vycpanost" řady) zahrnuje nějaké číslo v mocnině, například, a tak dále. Navíc vůbec nezáleží na tom, kde se tato věc nachází, v čitateli nebo ve jmenovateli – důležité je, aby tam byla přítomna.

2) Faktoriál je součástí obecného pojmu řady. V lekci Numerická posloupnost a její limita jsme křížili meče s faktoriály. Neuškodí však svépomocí sestavený ubrus znovu rozprostřít:





…


…

! Při použití d'Alembertova testu musíme podrobně popsat faktoriál. Stejně jako v předchozím odstavci může být faktoriál umístěn nahoře nebo dole ve zlomku.

3) Pokud ve společném termínu řady existuje „řetězec faktorů“, např. ... Tento případ je vzácný, ale! Při zkoumání takové série často dochází k chybám - viz příklad 6.

Spolu s mocninami a (a) faktoriály se polynomy často vyskytují ve výplni řady, to na věci nic nemění - musíte použít d'Alembertovo znamení.

Navíc, v obecném termínu řady, jak stupeň tak faktoriál lze nalézt současně; mohou existovat dva faktoriály, dva stupně, je důležité, aby existovaly alespoň něco z uvažovaných bodů - a to je pouze předpoklad pro použití d'Alembertova znamení.

D'Alembert znamení: Zvážit kladná číselná řada... Pokud existuje omezení vztahu dalšího člena k předchozímu:, pak:
a) Pro sérii konverguje
b) Pro sérii se rozchází
c) Kdy znamení nedává odpověď... Mělo by se použít jiné znamení. Nejčastěji se jednotka získá, když se d'Alembertův test pokouší použít tam, kde je nutné použít funkci omezujícího srovnání.

Každý, kdo má stále problémy s limity nebo nepochopení limitů, odkazuje na lekci Limity. Příklady řešení... Bohužel bez pochopení limitu a schopnosti odhalit nejistotu nelze dále postupovat.

A nyní dlouho očekávané příklady.

Příklad 1

Vidíme, že máme ve společném termínu řady, a to je správný předpoklad pro použití d'Alembertova znaku. Nejprve kompletní řešení a vzorový návrh, komentáře níže.

Používáme znak d'Alembert:


konverguje.
(1) Složíme poměr dalšího člena řady k předchozímu:. Z podmínky vidíme, že společný termín řady. Abyste získali dalšího člena série, potřebujete MÍSTO nahradit: .
(2) Zbavit se čtyřpatrového zlomku. S určitými zkušenostmi s řešením lze tento krok přeskočit.
(3) Rozbalte závorky v čitateli. Ve jmenovateli vyjmeme čtyřku ze stupně.
(4) Snížit o. Konstanta je vyjmuta z limitního znaménka. Podobné pojmy uvádíme v čitateli v závorce.
(5) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" v nejvyšší mocnině.
(6) Čitatele rozdělujeme jmenovateli člen po členu a označujeme členy, které mají tendenci k nule.
(7) Zjednodušíme odpověď a poznamenáme, že se závěrem, že podle d'Alembertova testu zkoumaná řada konverguje.

V uvažovaném příkladu jsme ve společném členu řady narazili na polynom 2. stupně. Co když existuje polynom 3., 4. nebo vyššího stupně? Faktem je, že pokud je zadán polynom vyššího stupně, pak budou potíže s otevíráním závorek. V tomto případě můžete použít řešení „turbo“.

Příklad 2

Vezměte podobnou řadu a prozkoumejte její konvergenci

Nejprve kompletní řešení, poté komentáře:

Používáme znak d'Alembert:


Tedy studovaná série konverguje.

(1) Sestavení vztahu.

(3) Zvažte výraz v čitateli a výraz ve jmenovateli. Vidíme, že v čitateli musíte otevřít závorky a zvýšit na čtvrtou mocninu: což absolutně nechcete dělat. A pro ty, kteří neznají Newtonův binom, bude tento úkol ještě obtížnější. Pojďme analyzovat vyšší stupně: pokud rozbalíme závorky nahoře , pak získáme nejvyšší stupeň. Níže máme stejný vyšší titul:. Analogicky s předchozím příkladem je zřejmé, že když čitatel a jmenovatel vydělíme členem, dostaneme v limitě jedničku. Nebo, jak říkají matematici, polynomy a - stejné pořadí růstu... Je tedy docela možné vztah zakroužkovat jednoduchou tužkou a okamžitě naznačte, že tato věc má tendenci k jedné. S druhou dvojicí polynomů nakládáme podobným způsobem: a jsou také stejné pořadí růstu a jejich poměr směřuje k jednotě.

Ve skutečnosti takový „hack“ mohl být proveden v příkladu č. 1, ale pro polynom 2. stupně takové řešení stále vypadá jaksi nedůstojně. Osobně to dělám takto: pokud existuje polynom (nebo polynomy) prvního nebo druhého stupně, použiji "dlouhou" cestu k řešení příkladu 1. Pokud narazím na polynom třetího nebo vyššího stupně, použiji "turbo" - metoda podobná příkladu 2.

Příklad 3

Prozkoumejte konvergenci řady

Podívejme se na typické příklady s faktoriály:

Příklad 4

Prozkoumejte konvergenci řady

Obecný termín řady zahrnuje jak stupeň, tak faktoriál. Za denního světla je jasné, že by zde měl být použit znak d'Alembert. rozhodujeme se.

Tedy studovaná série se rozchází.
(1) Sestavení vztahu. Opakujeme ještě jednou. Podle podmínky společný termín řady: ... Chcete-li získat další termín v řadě, místo toho musíte nahradit, tím pádem: .
(2) Zbavit se čtyřpatrového zlomku.
(3) Odštípneme sedmičku ze stupně. Detailně malujeme faktoriály... Jak na to - viz začátek lekce nebo článek o číselných řadách.
(4) Snížení všeho, co lze snížit.
(5) Konstanta je vyjmuta z limitního znaménka. Rozbalte závorky v čitateli.
(6) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" v nejvyšší mocnině.

Příklad 5

Prozkoumejte konvergenci řady

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce

Příklad 6

Prozkoumejte konvergenci řady

Někdy se vyskytují řádky, které ve své výplni obsahují „řetězec“ faktorů, s tímto typem řádků jsme zatím neuvažovali. Jak prozkoumat řadu s „řetězcem“ faktorů? Použijte znamení d'Alembert. Ale nejprve, abychom pochopili, co se děje, popíšeme sérii podrobně:

Z rozšíření vidíme, že pro každý další člen řady se do jmenovatele přidá další faktor, pokud tedy společný člen řady , pak další člen série:
... Zde často automaticky dělají chybu a formálně zapisují podle algoritmu, který

Hrubý příklad řešení může vypadat takto:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

Cauchyho radikální znamení

Augustin Louis Cauchy je ještě slavnější francouzský matematik. O Cauchyho biografii vám může vyprávět každý technický student. V těch nejmalebnějších barvách. Ne náhodou je toto jméno vytesáno v prvním patře Eiffelovy věže.

Cauchyho test konvergence pro pozitivní řady je poněkud podobný právě uvažovanému d'Alembertovu testu.

Cauchyho radikální znamení: Zvážit kladná číselná řada... Pokud existuje limit:, pak:
a) Pro sérii konverguje... Zejména řada konverguje pro.
b) Pro sérii se rozchází... Zejména se série rozchází v.
c) Kdy znamení nedává odpověď... Mělo by se použít jiné znamení. Je zajímavé poznamenat, že pokud nám Cauchyho test nedává odpověď na otázku konvergence řad, pak ani d'Alembertův test odpověď nedává. Ale pokud d'Alembertův znak nedává odpověď, pak Cauchyho znak může dobře „fungovat“. To znamená, že Cauchyho znamení je v tomto smyslu silnější znamení.

Kdy byste měli použít radikální Cauchyho znamení? Cauchyho radikální kritérium se obvykle používá v případech, kdy je kořen „dobrý“ extrahován ze společného člena řady. Obvykle je tato paprika ve stupni která závisí na... Existují i ​​exotické případy, ale s těmi si hlavu lámat nebudeme.

Příklad 7

Prozkoumejte konvergenci řady

Vidíme, že zlomek je zcela pod stupněm v závislosti na „en“, což znamená, že musíte použít radikální Cauchyho kritérium:


Tedy studovaná série se rozchází.

(1) Společný člen řady tvoříme jako kořen.

(2) Přepíšeme totéž, jen bez kořene, pomocí vlastnosti power.
(3) V exponentu vydělte čitatele jmenovatelem člen po členu, označte to
(4) Výsledkem je nejistota. Zde by se dalo jít daleko: sestavit do krychle, postavit do krychle a pak vydělit čitatele a jmenovatele „en“ v krychli. Ale v tomto případě existuje efektivnější řešení: tuto techniku ​​lze použít přímo pod stupňovou konstantou. Pro odstranění nejistoty vydělte čitatel a jmenovatel (nejvyšším stupněm polynomů).

(5) Provádíme dělení po členech a označujeme členy, které mají tendenci k nule.
(6) Připomeneme si odpověď, označíme ji a dojdeme k závěru, že řada diverguje.

A zde je jednodušší příklad řešení pro kutily:

Příklad 8

Prozkoumejte konvergenci řady

A ještě pár typických příkladů.

Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce

Příklad 9

Prozkoumejte konvergenci řady
Používáme radikální Cauchyho znamení:


Tedy studovaná série konverguje.

(1) Společný člen řady umístíme pod kořen.

(2) Přepíšeme totéž, ale bez kořene, přičemž závorky rozšíříme pomocí vzorce pro zkrácené násobení: .
(3) V ukazateli vydělte čitatele jmenovatelem člen termínem a uveďte to.
(4) Získá se neurčitost tvaru a i zde můžete provést dělení přímo pod stupněm. Ale s jednou podmínkou: koeficienty na nejvyšších stupních polynomů musí být různé. Máme je různé (5 a 6), a proto je možné (a nutné) obě podlaží rozdělit. Pokud tyto koeficienty jsou stejní, například (1 a 1):, pak tento trik nefunguje a musíte jej použít druhý úžasný limit... Pokud si vzpomínáte, tyto jemnosti byly zvažovány v posledním odstavci článku. Metody řešení limitů.

(5) Ve skutečnosti provádíme dělení po členech a označujeme, které členy mají tendenci k nule.
(6) Nejistota je odstraněna, máme nejjednodušší limit:. Proč v nekonečně velký stupeň má tendenci k nule? Protože základ stupně splňuje nerovnost. Pokud má někdo pochybnosti o spravedlivosti limitu , tak nebudu líný, vezmu do ruky kalkulačku:
Pokud, tak
Pokud, tak
Pokud, tak
Pokud, tak
Pokud, tak
… atd. do nekonečna - tedy v limitě:

Stejně nekonečně klesající geometrický postup na prstech =)
! Nikdy nepoužívejte tento trik jako důkaz! Neboť pokud je něco zřejmé, neznamená to, že je to správné.

(7) Zdůrazňujeme, že docházíme k závěru, že řada konverguje.

Příklad 10

Prozkoumejte konvergenci řady

Toto je příklad řešení pro kutily.

Někdy se k řešení nabízí provokativní příklad, např.:. Zde v exponentu žádné "en", pouze konstanta. Zde musíte odmocnit čitatele a jmenovatele (dostanete polynomy) a poté se držet algoritmu z článku Řádky pro figuríny... V takovém příkladu by mělo fungovat buď nezbytné kritérium pro konvergenci řady, nebo omezující srovnávací kritérium.

Integrální Cauchyho test

Nebo jen integrální funkce. Zklamu ty, kteří špatně zvládli látku prvního kurzu. Aby bylo možné použít Cauchyho integrální kritérium, je nutné více či méně jistě umět najít derivace, integrály a také umět počítat nevlastní integrál prvního druhu.

V učebnicích počtu integrální Cauchyho test podáno matematicky rigorózně, ale příliš zkresleně, takže kritérium formuluji ne příliš striktně, ale srozumitelně:

Zvážit kladná číselná řada... Pokud existuje nevlastní integrál, pak řada konverguje nebo diverguje spolu s tímto integrálem.

A hned příklady pro upřesnění:

Příklad 11

Prozkoumejte konvergenci řady

Téměř klasika. Přirozený logaritmus a nějaký druh byaka.

Hlavní předpoklad použití integrálního Cauchyho kritéria je skutečnost, že společný člen řady obsahuje faktory podobné nějaké funkci a její derivaci. Z tématu