Nejjednodušší vlastnosti integrálů. Základní vlastnosti neurčitého integrálu Studujeme pojem "integrál"

Řešení integrálů je snadný úkol, ale jen pro pár vyvolených. Tento článek je pro ty, kteří se chtějí naučit rozumět integrálům, ale nevědí o nich nic nebo téměř nic. Integrální ... Proč je to potřeba? Jak to vypočítat? Co jsou to určité a neurčité integrály?

Pokud jediné použití integrálu, o kterém víte, je uháčkovat něco užitečného z těžko dostupných míst háčkováním ve tvaru ikony integrálu, pak jste vítáni! Naučte se řešit elementární a jiné integrály a proč se bez toho v matematice neobejdete.

Zkoumání konceptu « integrální »

Integrace je známá již od starověkého Egypta. Samozřejmě ne v moderní podobě, ale přece. Od té doby matematici napsali mnoho knih na toto téma. Zvláště se vyznamenali Newton a Leibniz ale podstata věcí se nezměnila.

Jak porozumět integrálům od začátku? V žádném případě! K pochopení tohoto tématu stále potřebujete základní znalosti základů kalkulu. Informace o integrálech, které jsou nezbytné pro pochopení integrálů, již máme na našem blogu.

Neurčitý integrál

Předpokládejme, že máme nějakou funkci f (x) .

Neurčitý integrál funkce f (x) taková funkce se nazývá F (x) jehož derivace se rovná funkci f (x) .

Jinými slovy, integrál je obrácená derivace nebo primitivní derivace. Ostatně, o tom si přečtěte v našem článku.

Primitivní funkce existuje pro všechny spojité funkce. Také znaménko konstanty se často přidává k primitivní derivaci, protože derivace funkcí, které se liší konstantou, se shodují. Proces hledání integrálu se nazývá integrace.

Jednoduchý příklad:

Abychom nemuseli neustále počítat primitivní funkce elementárních funkcí, je vhodné je shrnout do tabulky a použít hotové hodnoty.

Kompletní tabulka integrálů pro studenty

Určitý integrál

Když se zabýváme pojmem integrál, máme co do činění s nekonečně malými veličinami. Integrál pomůže vypočítat plochu postavy, hmotnost nehomogenního tělesa, dráhu ujetou nerovnoměrným pohybem a mnoho dalšího. Je třeba si uvědomit, že integrál je součtem nekonečně velkého počtu nekonečně malých členů.

Jako příklad si představme graf nějaké funkce.

Jak najít oblast tvaru ohraničenou grafem funkce? Pomocí integrálu! Křivočarý lichoběžník, ohraničený souřadnicovými osami a grafem funkce, rozdělíme na nekonečně malé segmenty. Obrázek bude tedy rozdělen do tenkých sloupců. Součet ploch sloupů bude plocha lichoběžníku. Pamatujte však, že takový výpočet poskytne přibližný výsledek. Čím jsou však segmenty menší a užší, tím přesnější bude výpočet. Pokud je zmenšíme do takové míry, že délka bude mít tendenci k nule, pak součet ploch segmentů bude mít tendenci k ploše obrázku. Toto je určitý integrál, který se zapisuje takto:

Body aab se nazývají limity integrace.

« Integrální »

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.

Integrální výpočetní pravidla pro figuríny

Neurčité integrální vlastnosti

Jak vyřešit neurčitý integrál? Zde se podíváme na vlastnosti neurčitého integrálu, které se budou hodit při řešení příkladů.

• Derivace integrálu se rovná integrandu:

• Konstantu lze vyjmout pod znaménkem integrálu:

• Integrál součtu se rovná součtu integrálů. Platí to i pro rozdíl:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znaménko integrálu se změní, pokud se integrační limity obrátí:

• Na žádný body A, b a s:

Již jsme zjistili, že určitý integrál je limita součtu. Jak ale při řešení příkladu získáte konkrétní hodnotu? K tomu existuje Newton-Leibnizův vzorec:

Příklady integrálních řešení

Níže budeme uvažovat o neurčitém integrálu a příkladech s řešením. Nabízíme vám, abyste nezávisle zjistili složitost řešení, a pokud něco není jasné, položte otázky v komentářích.

Pro upevnění látky se podívejte na video, jak se integrály řeší v praxi. Nenechte se odradit, když integrál neuvedete hned. Obraťte se na profesionální studentský servis a zvládnete jakýkoli trojitý nebo křivočarý integrál na uzavřené ploše.

Tento článek podrobně popisuje základní vlastnosti určitého integrálu. Jsou dokázány pomocí konceptu Riemannova a Darbouxova integrálu. Výpočet určitého integrálu probíhá díky 5 vlastnostem. Zbytek se používá k vyhodnocení různých výrazů.

Než přistoupíme k základním vlastnostem určitého integrálu, je nutné se ujistit, že a nepřesahuje b.

Základní vlastnosti určitého integrálu

Definice 1

Funkce y = f (x), definovaná v x = a, je podobná platné rovnosti ∫ a a f (x) d x = 0.

Důkaz 1

Vidíme tedy, že hodnota integrálu se shodnými limitami je rovna nule. Toto je důsledek Riemannova integrálu, protože každý integrální součet σ pro libovolný oddíl na intervalu [a; a] a libovolný výběr bodů ζ i je roven nule, protože x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, tedy dostaneme, že limita integrálních funkcí je nulová.

Definice 2

Pro funkci, která je integrovatelná na segmentu [a; b] je splněna podmínka ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x.

Důkaz 2

Jinými slovy, pokud se místy změní horní a dolní hranice integrace, pak hodnota integrálu změní svou hodnotu na opačnou. Tato vlastnost je převzata z Riemannova integrálu. Číslování dělení segmentu však vychází z bodu x = b.

Definice 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se používá pro integrovatelné funkce typu y = f (x) a y = g (x) definované na intervalu [a; b].

Důkaz 3

Zapište celočíselný součet funkce y = f (x) ± g (x) pro rozdělení na segmenty s danou volbou bodů ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

kde σ f a σ g jsou celočíselné součty funkcí y = f (x) a y = g (x) pro rozdělení segmentu. Po přechodu na limitu při λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 získáme, že lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Z Riemannovy definice je tento výraz ekvivalentní.

Definice 4

Provedení konstantního faktoru za znaménkem určitého integrálu. Integrovatelná funkce z intervalu [a; b] s libovolnou hodnotou k má platnou nerovnost tvaru ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Důkaz 4

Důkaz vlastnosti určitého integrálu je podobný předchozímu:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Definice 5

Pokud je funkce tvaru y = f (x) integrovatelná na intervalu x s ​​a ∈ x, b ∈ x, dostaneme, že ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d X.

Důkaz 5

Vlastnost se považuje za pravdivou pro c ∈ a; b, pro c ≤ a a c ≥ b. Důkaz je podobný jako u předchozích vlastností.

Definice 6

Když má funkce schopnost být integrovatelná ze segmentu [a; b], pak je to proveditelné pro jakýkoli vnitřní segment c; d ∈ a; b.

Důkaz 6

Důkaz je založen na Darbouxově vlastnosti: pokud přidáme body do stávajícího rozdělení segmentu, pak se spodní Darbouxův součet nesníží a horní se nezvýší.

Definice 7

Když je funkce integrovatelná na [a; b] z f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a; b, pak dostaneme, že ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Vlastnost lze dokázat pomocí definice Riemannova integrálu: libovolný integrální součet pro libovolnou volbu bodů dělení úsečky a bodů ζ i s podmínkou, že f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, získáme ne- záporný.

Důkaz 7

Pokud jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na segmentu [a; b], pak se následující nerovnosti považují za pravdivé:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, jestliže af (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, jestliže af (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; b

Díky prohlášení víme, že integrace je přípustná. Tento důsledek bude použit k prokázání dalších vlastností.

Definice 8

S integrovatelnou funkcí y = f (x) ze segmentu [a; b] máme platnou nerovnost tvaru ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Důkaz 8

Máme, že - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). Z předchozí vlastnosti jsme získali, že nerovnost lze integrovat člen po členu a odpovídá nerovnosti tvaru - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Tato dvojitá nerovnost může být zapsána v jiném tvaru: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definice 9

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovány ze segmentu [a; b] pro g (x) ≥ 0 pro libovolné x ∈ a; b, získáme nerovnost tvaru m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, kde m = m i n x ∈ a; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x).

Důkaz 9

Důkaz se provádí obdobným způsobem. M a m jsou považovány za největší a nejmenší hodnotu funkce y = f (x), určené ze segmentu [a; b], pak m ≤ f (x) ≤ M. Dvojitou nerovnost je nutné vynásobit funkcí y = g (x), čímž získáme hodnotu dvojité nerovnosti tvaru m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Je nutné jej integrovat na segment [a; b], pak získáme tvrzení, které má být dokázáno.

Důsledek: Pro g (x) = 1 má nerovnost tvar m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

První vzorec střední hodnoty

Definice 10

Pro y = f (x), integrovatelné na segmentu [a; b] s m = m i n x ∈ a; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) existuje číslo μ ∈ m; M, které vyhovuje ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

Důsledek: Když funkce y = f (x) je spojitá od segmentu [a; b], pak existuje číslo c ∈ a; b, které splňuje rovnost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

První vzorec střední hodnoty ve zobecněné podobě

Definice 11

Když jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné ze segmentu [a; b] s m = m i n x ∈ a; bf (x) a M = m a x x ∈ a; b f (x) ag (x) > 0 pro jakoukoli hodnotu x ∈ a; b. Máme tedy, že existuje číslo μ ∈ m; M, která splňuje rovnost ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x.

Druhý vzorec střední hodnoty

Definice 12

Když je funkce y = f (x) integrovatelná ze segmentu [a; b] a y = g (x) je monotónní, pak existuje číslo, které c ∈ a; b, kde získáme platnou rovnost tvaru ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Pokud si všimnete chyby v textu, vyberte ji a stiskněte Ctrl + Enter

Tyto vlastnosti slouží k provádění transformací integrálu s cílem jeho redukce na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, tak

8. Vlastnost:

Pokud, tak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Podívejme se na příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, potom vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a může snadno najít podrobné řešení pro váš integrál.

V tomto článku uvedeme hlavní vlastnosti určitého integrálu. Většina těchto vlastností je dokázána na základě konceptů určitého integrálu podle Riemanna a Darbouxe.

Definice určitého integrálu se velmi často provádí pomocí prvních pěti vlastností, takže se na ně v případě potřeby odkážeme. Zbytek vlastností určitého integrálu se používá hlavně k vyhodnocení různých výrazů.

Před přechodem na základní vlastnosti určitého integrálu, dohodněme se, že a nepřesahuje b.

Pro funkci y = f (x), definovanou v x = a, platí rovnost.

To znamená, že hodnota určitého integrálu se shodnými limity integrace je nulová. Tato vlastnost je důsledkem definice Riemannova integrálu, protože v tomto případě je každý integrální součet pro libovolné rozdělení intervalu a libovolný výběr bodů roven nule, protože limita integrálních součtů je tedy nulová.

Pro funkci integrovatelnou do segmentu .

Jinými slovy, při změně horní a dolní hranice integrace v místech se hodnota určitého integrálu změní na opačnou. Tato vlastnost určitého integrálu vyplývá i z pojmu Riemannův integrál, pouze číslování dělení úsečky je třeba začít od bodu x = b.

pro funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na intervalu.

Důkaz.

Zapíšeme integrální součet funkce pro dané rozdělení segmentu a daný výběr bodů:

kde a jsou celočíselné součty funkcí y = f (x) a y = g (x) pro dané rozdělení segmentu.

Překročení limitu v dostaneme, že podle definice Riemannova integrálu je ekvivalentní tvrzení dokazované vlastnosti.

Konstantní faktor lze vzít mimo znaménko určitého integrálu. To znamená, že pro funkci y = f (x) integrovatelnou na intervalu a libovolném čísle k je rovnost .

Důkaz této vlastnosti určitého integrálu je naprosto podobný předchozímu:


Nechť je funkce y = f (x) integrovatelná na intervalu X, a a pak .

Tato vlastnost platí pro obojí a pro nebo.

Důkaz lze provést pomocí předchozích vlastností určitého integrálu.

Pokud je funkce integrovatelná na segment, pak je integrovatelná i na jakýkoli vnitřní segment.

Důkaz je založen na vlastnosti Darbouxových součtů: pokud přidáte nové body do stávajícího oddílu segmentu, pak se spodní Darbouxův součet nesníží a horní se nezvýší.

Pokud je funkce y = f (x) integrovatelná na intervalu a pro jakoukoli hodnotu argumentu, pak .

Tato vlastnost je dokázána definicí Riemannova integrálu: jakýkoli integrální součet pro libovolný výběr bodů rozdělení úsečky a bodů v bude nezáporný (ne kladný).

Následek.

Pro funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na intervalu platí následující nerovnosti:


Toto tvrzení znamená, že integrace nerovností je přípustná. Tento důsledek použijeme k prokázání následujících vlastností.

Nechť je funkce y = f (x) integrovatelná na intervalu, pak nerovnost .

Důkaz.

To je zřejmé ... V předchozí vlastnosti jsme zjistili, že nerovnost lze integrovat člen po členu, takže je to pravda ... Tuto dvojitou nerovnost lze zapsat jako .

Nechť jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na intervalu a pro jakoukoli hodnotu argumentu, pak , kde a .

Důkaz je podobný. Protože m a M jsou nejmenší a největší hodnoty funkce y = f (x) na segmentu ... Vynásobením dvojité nerovnosti nezápornou funkcí y = g (x) se dostaneme k následující dvojité nerovnosti. Integrací na segment dospějeme k dokazovanému tvrzení.

Následek.

Pokud vezmeme g (x) = 1, pak nerovnost nabývá tvaru .

První vzorec průměrné hodnoty.

Nechť je funkce y = f (x) integrovatelná na intervalu, a pak je tu číslo takové, že .

Následek.

Pokud je funkce y = f (x) spojitá na intervalu, pak existuje číslo takové, že .

První vzorec pro průměr ve zobecněné formě.

Nechť jsou funkce y = f (x) a y = g (x) integrovatelné na intervalu, a g (x) > 0 pro libovolnou hodnotu argumentu. Pak je tu číslo takové, že .

Druhý vzorec pro průměr.

Pokud je funkce y = f (x) integrovatelná na intervalu a y = g (x) je monotónní, pak existuje takové číslo, že rovnost .