Tedy to, co vidíte v nadpisu. V podstatě jde o "prostorový analog" problém najít tečnu a normály ke grafu funkce jedné proměnné, a proto by neměly nastat žádné potíže.

Začněme základními otázkami: CO JE tečná rovina a CO normála? Mnozí jsou si těchto pojmů vědomi na úrovni intuice. Nejjednodušší model, který vás napadne, je koule, na které leží tenký plochý karton. Karton je umístěn co nejblíže kouli a dotýká se jí v jediném bodě. Navíc je v místě kontaktu fixován jehlou trčící přímo nahoru.

Teoreticky existuje poměrně důmyslná definice tečné roviny. Představte si svévole povrch a bod k němu patřící. Očividně hodně prostorové linie které patří k tomuto povrchu. Kdo má jaké asociace? =) ... Osobně jsem představil chobotnici. Předpokládejme, že každý takový řádek má prostorová tečna na místě.

Definice 1: tečnou rovinu k povrchu v bodě je letadlo obsahující tečny všech křivek, které patří k této ploše a procházejí bodem.

Definice 2: normální k povrchu v bodě je rovný procházející tímto bodem kolmým k tečné rovině.

Jednoduché a elegantní. Mimochodem, abyste neumřeli nudou z jednoduchosti materiálu, o něco později se s vámi podělím o jedno elegantní tajemství, které vám umožní JEDNOU PROVŽDY zapomenout na nacpané různé definice.

S pracovními vzorci a algoritmem řešení se seznámíme přímo na konkrétním příkladu. V drtivé většině problémů je potřeba sestavit jak rovnici tečné roviny, tak rovnice normály:

Příklad 1

Řešení: je-li povrch dán rovnicí (tj. implicitně), pak rovnici tečné roviny k danému povrchu v bodě lze nalézt podle následujícího vzorce:

Zvláštní pozornost věnuji neobvyklým parciálním derivátům - jejich aby to nebylo zmatené s parciální derivace implicitně definované funkce (ačkoli povrch je implicitně specifikován)... Při hledání těchto derivátů se musíte řídit pravidla derivace funkce tří proměnných, to znamená, že při derivování s ohledem na jakoukoli proměnnou jsou další dvě písmena považována za konstanty:

Aniž bychom opustili pokladnu, najdeme parciální derivaci v bodě:

Rovněž:

To byl nejnepříjemnější moment rozhodování, ve kterém se chyba, pokud není dovolena, objevuje neustále. Přesto zde existuje účinná ověřovací technika, o které jsem mluvil v lekci Směrová derivace a gradient.

Všechny „ingredience“ byly nalezeny a nyní zbývá jen úhledná náhrada s dalšími zjednodušeními:

– obecná rovnice požadovanou tečnou rovinu.

Důrazně doporučuji zkontrolovat i tuto fázi řešení. Nejprve se musíte ujistit, že souřadnice dotykového bodu skutečně splňují nalezenou rovnici:

- skutečná rovnost.

Nyní "odstraníme" koeficienty obecné rovnice roviny a zkontrolujeme jejich shodu nebo úměrnost s odpovídajícími hodnotami. V tomto případě jsou proporcionální. Pamatujete si od kurz analytické geometrie, - tohle je normální vektor tečná rovina a je to - směrový vektor normální přímka. Pojďme skládat kanonické rovnice normály bodovým a směrovým vektorem:

V zásadě lze jmenovatele zmenšit o „dva“, ale není k tomu zvláštní potřeba

Odpovědět:

Není zakázáno označovat rovnice nějakými písmeny, nicméně opět - proč? Tady, a tak je naprosto jasné, o co jde.

Následující dva příklady jsou pro svépomoc. Malý "matematický jazykolam":

Příklad 2

Najděte rovnice tečné roviny a normály k povrchu v bodě.

A úkol, který je zajímavý z technického hlediska:

Příklad 3

Napište rovnice pro tečnou rovinu a normálu k povrchu v bodě

Na místě.

Existuje možnost nejen se zmást, ale také čelit potížím při nahrávání kanonické rovnice přímky... A rovnice normálu, jak jste pravděpodobně pochopili, jsou obvykle psány v této podobě. I když díky zapomnění či neznalosti některých nuancí je parametrická forma více než přijatelná.

Vzorové příklady dokončovacích řešení na konci lekce.

Existuje v nějakém bodě povrchu tečná rovina? Obecně samozřejmě ne. Klasickým příkladem je zkosený povrch a bod - tečny v tomto bodě přímo tvoří kuželovou plochu a samozřejmě neleží ve stejné rovině. Je snadné se analyticky přesvědčit o problémech:.

Dalším zdrojem problémů je skutečnost neexistenci jakákoli parciální derivace v bodě. To však neznamená, že v daném bodě neexistuje jediná tečná rovina.

Ale byla to spíše populární věda než prakticky významná informace a my se vracíme k našim každodenním záležitostem:

Jak napsat rovnice pro tečnou rovinu a normálu v bodě,
pokud je povrch dán explicitní funkcí?

Pojďme to implicitně přepsat:

A podle stejných principů najdeme parciální derivace:

Vzorec pro tečnou rovinu se tedy převede na následující rovnici:

A podle toho kanonické normální rovnice:

Jak asi tušíte, - tyto jsou již "skutečné" parciální derivace funkce dvou proměnných v bodě, který jsme dříve označovali písmenem „z“ a našli jsme ho 100 500krát.

Všimněte si, že v tomto článku si stačí vzpomenout na úplně první vzorec, ze kterého lze v případě potřeby snadno odvodit vše ostatní. (pochopitelně se základní úrovní školení)... To je přístup, který by se měl používat při studiu exaktních věd, tzn. z minima informací je třeba se snažit „vytáhnout“ maximum závěrů a důsledků. "Soobrazhalovka" a již existující znalosti na pomoc! Tento princip je také užitečný v tom, že vás pravděpodobně zachrání v kritické situaci, kdy toho víte velmi málo.

Pojďme si „upravené“ vzorce vypracovat na několika příkladech:

Příklad 4

Napište rovnice pro tečnou rovinu a normálu k ploše na místě.

Zde se objevilo malé překrytí s označeními - nyní písmeno označuje bod na rovině, ale co dělat - takové oblíbené písmeno….

Řešení: rovnici požadované tečné roviny sestaví vzorec:

Vypočítejme hodnotu funkce v bodě:

Pojďme počítat Parciální derivace 1. řádu v tomto bodě:

Tím pádem:

opatrně, ne ve spěchu:

Kanonické rovnice normály zapíšeme v bodě:

Odpovědět:

A poslední příklad řešení pro kutily:

Příklad 5

Napište rovnice pro tečnou rovinu a normálu k povrchu v bodě.

Poslední – protože ve skutečnosti jsem vysvětlil všechny technické body a není co dodat. I samotné funkce, nabízené v této úloze, jsou fádní a monotónní – v praxi je téměř zaručeno, že narazíte na „polynom“ a v tomto smyslu vypadá příklad č. 2 s exponentem jako „černá ovce“. Mimochodem, mnohem pravděpodobněji splní povrch daný rovnicí, a to je další důvod, proč byla funkce zařazena do článku „druhé číslo“.

A nakonec slíbené tajemství: jak se můžete vyhnout přecpaným definicím? (Tím samozřejmě nemyslím situaci, kdy student před zkouškou něco zběsile cpe)

Definice jakéhokoli konceptu / fenoménu / objektu dává především odpověď na následující otázku: CO TO JE? (kdo / takový / takový / takový). Vědomě při odpovědi na tuto otázku byste se měli pokusit zamyslet nezbytný znamení, jednoznačně identifikace toho či onoho pojmu / fenoménu / objektu. Ano, zpočátku se to ukazuje jako poněkud jazykové, nepřesné a nadbytečné (učitel opraví =)), ale postupem času se vyvine zcela důstojná vědecká řeč.

Cvičte na nejabstraktnějších předmětech, například odpovězte na otázku: kdo je Cheburashka? Není to tak jednoduché ;-) Je to „pohádková postava s velkýma ušima, očima a hnědými vlasy“? Daleko a velmi daleko od definice - nikdy nevíte, že existují postavy s takovými vlastnostmi .... Ale toto je již mnohem blíže definici: "Cheburashka je postava, kterou vymyslel spisovatel Eduard Uspenskij v roce 1966, který ... (výčet hlavních rozlišovacích znaků)"... Všimněte si, jak dobře to začalo

1 °

1 °. Rovnice tečné roviny a normály pro případ explicitní specifikace plochy.

Zvažte jednu z geometrických aplikací parciálních derivací funkce dvou proměnných. Nechte funkci z = f (X;y) v bodě rozlišitelné (x 0; v 0) nějakou oblast DÎ R 2... Povrch seřízneme S, zobrazovací funkce z, letadla x = x 0 a y = y 0(obr. 11).

Letadlo NS = x 0 protíná povrch S podél nějaké linie z 0 (y), jehož rovnice se získá dosazením původní funkce do výrazu z ==f (X;y) namísto NSčísla x 0. Směřovat M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) patří do křivky z 0 (y). Na základě diferencovatelné funkce z na místě M 0 funkce z 0 (y) je také v bodě rozlišitelná y = y 0. Proto v tomto bodě v rovině x = x 0 do křivky z 0 (y) lze nakreslit tečnu l 1.

Provedení podobného zdůvodnění pro sekci na = v 0, postavit tečnu l 2 do křivky z 0 (X) na místě NS = x 0 - Přímo 1 1 a 1 2 definovat rovinu tzv tečnou rovinu na povrch S na místě M 0.

Udělejme její rovnici. Protože rovina prochází bodem Po (x 0;y 0;z 0), pak lze jeho rovnici zapsat ve tvaru

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

který lze přepsat takto:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(dělení rovnice -C a označení ).

Nalézt A 1 a B1.

Tečné rovnice 1 1 a 1 2 mít formu

resp.

Tečna l 1 leží v rovině a , tedy souřadnice všech bodů l 1 splnit rovnici (1). Tuto skutečnost lze zapsat jako systém

Řešením této soustavy vzhledem k B 1 dostaneme to.Provedením podobného uvažování pro tečnu l 3, je snadné to zjistit.

Nahrazení hodnot A 1 a B 1 do rovnice (1), získáme požadovanou rovnici tečné roviny:

Čára přes bod M 0 a kolmé k tečné rovině sestrojené v tomto bodě povrchu se nazývá jeho normální.

Pomocí podmínky kolmosti přímky a roviny je snadné získat kanonické rovnice normály:

Komentář. Vzorce pro tečnou rovinu a normálu k ploše získáme pro obyčejné, tedy nesingulární body plochy. Směřovat M 0 povrch se nazývá speciální, pokud jsou v tomto bodě všechny parciální derivace rovny nule nebo alespoň jedna z nich neexistuje. Takové body nebereme v úvahu.

Příklad. Napište rovnice tečné roviny a normály k ploše v jejím bodě M (2; -1; 1).

Řešení. Najděte parciální derivace této funkce a jejich hodnoty v bodě M

Pokud tedy použijeme vzorce (2) a (3), budeme mít: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) nebo 2x + 2y-z-1 = 0- rovnice tečné roviny a - normální rovnice.

2 °. Rovnice tečné roviny a normály pro případ implicitní definice povrchu.

Pokud povrch S daný rovnicí F (X; y;z)= 0, pak rovnice (2) a (3), s přihlédnutím ke skutečnosti, že parciální derivace lze nalézt jako derivace implicitní funkce.

Rovnice normální roviny

1.

4.

Tečná rovina a normála plochy

Nechť je dán nějaký povrch, A je pevný bod povrchu a B je proměnný bod povrchu,

(Obr. 1).

Nenulový vektor

→

n

volala normální vektor k povrchu v bodě A, jestliže

lim B → A j = π 2 .

Bod plochy F (x, y, z) = 0 se nazývá obyčejný, jestliže v tomto bodě

1. parciální derivace F "x, F" y, F "z jsou spojité;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Pokud je alespoň jedna z těchto podmínek porušena, zavolá se bod na povrchu singulární bod povrchu .

Věta 1. Pokud M (x 0, y 0, z 0) je obyčejný bod plochy F (x, y, z) = 0, pak vektor

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

je kolmá k této ploše v bodě M (x 0, y 0, z 0).

Důkaz uvedeno v knize I.M. Petruško, L.A. Kuzněcov, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Kurz vyšší matematiky: Integrální počet. Funkce více proměnných. Diferenciální rovnice. Moskva: Nakladatelství MPEI, 2002 (s. 128).

Normální k povrchu v určitém bodě se nazývá přímka, jejíž směrový vektor je v tomto bodě kolmý k povrchu a prochází tímto bodem.

Kanonický normální rovnice může být reprezentován jako

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tečná rovina k povrchu v nějakém bodě se nazývá rovina, která prochází tímto bodem kolmo k normále k povrchu v tomto bodě.

Z této definice vyplývá, že rovnice tečné roviny vypadá jako:

(3)

Pokud je bod na povrchu singulární, pak v tomto bodě nemusí existovat vektor normála k povrchu, a proto povrch nemusí mít normálu a tečnou rovinu.

Geometrický význam totálního diferenciálu funkce dvou proměnných

Nechť je funkce z = f (x, y) diferencovatelná v bodě a (x 0, y 0). Jeho grafem je povrch

f (x, y) - z = 0.

Dáme z 0 = f (x 0, y 0). Potom bod A (x 0, y 0, z 0) náleží ploše.

Parciální derivace funkce F (x, y, z) = f (x, y) - z jsou

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

a v bodě A (x 0, y 0, z 0)

1. jsou spojité;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

A je tedy obyčejný bod plochy F (x, y, z) a v tomto bodě je k ploše tečná rovina. Podle (3) má rovnice tečné roviny tvar:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Vertikální posunutí bodu na tečné rovině při přechodu z bodu a (x 0, y 0) do libovolného bodu p (x, y) je B Q (obr. 2). Odpovídající přírůstek je

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Zde je na pravé straně diferenciál d z funkce z = f (x, y) v bodě a (x 0, x 0). Proto,
d f (x 0, y 0). je přírůstek aplikace bodu rovinné tečny ke grafu funkce f (x, y) v bodě (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Z definice diferenciálu vyplývá, že vzdálenost mezi bodem P na grafu funkce a bodem Q na tečné rovině je nekonečně malá vyššího řádu než vzdálenost bodu p k bodu a.

Definice. Bod ležící na ploše druhého řádu, daný vzhledem k GDSK obecnou rovnicí (1), se nazývá nesingulární, pokud mezi třemi čísly: je alespoň jedno, které není rovno nule.

Bod ležící na ploše druhého řádu tedy není singulární právě tehdy, když je jejím středem, v opačném případě, když je plocha kuželová a bod je vrcholem této plochy.

Definice. Tečna k povrchu druhého řádu v daném nesingulárním bodě na něm je přímka procházející tímto bodem, protínající povrch druhého řádu ve dvojitém bodě nebo je přímočarou tvořící přímkou ​​povrchu.

Věta 3. Tečné čáry k povrchu druhého řádu v daném nesingulárním bodě na něm leží v jedné rovině, nazývané tečnou rovinou k povrchu v daném bodě. Rovnice tečné roviny má

Důkaz. Nechť,, jsou parametrické rovnice přímky procházející nesingulárním bodem plochy druhého řádu, dané rovnicí (1). Dosazením do rovnice (1) místo,,, dostaneme:

Protože bod leží na ploše (1), zjistíme i z rovnice (3) (tato hodnota odpovídá bodu). Aby byl průsečík přímky s plochou (1) dvojitý, nebo aby přímka ležela celá na ploše, je nutné a postačující, aby platila rovnost:

Pokud ve stejnou dobu:

Průsečík přímky s plochou (1) je dvojitý. Co když:

Poté celá čára leží na ploše (1).

Ze vztahů (4) a,, vyplývá, že souřadnice,, libovolného bodu ležícího na libovolné tečně k ploše (1) splňují rovnici:

Naopak, pokud souřadnice jiného bodu než splňují tuto rovnici, pak souřadnice,, vektory, splňují vztah (4), což znamená, že přímka je tečnou k uvažovanému povrchu.

Protože bod je nesingulární bod plochy (1), pak mezi čísly existuje alespoň jedno, které se nerovná nule; pak rovnice (5) je rovnicí prvního stupně vzhledem k. Toto je rovnice roviny tečné k povrchu (1) v daném nesingulárním bodě na něm.

Na základě kanonických rovnic povrchů druhého řádu je snadné sestavit rovnice tečných rovin k elipsoidu, hyperboloidu atd. v daném bodě na nich.

1). Tečná rovina k elipsoidu:

2). Tečná rovina k hyperboloidům s jedním a dvěma listy:

3). Tečná rovina k eliptickým a hyperbolickým paraboloidům:

§ 161. Průsečík tečné roviny s plochou druhého řádu.

Za počátek souřadnic ODSK, osy, vezmeme nesingulární bod plochy druhého řádu a umístíme jej do roviny tečné k ploše v bodě. Potom v obecné rovnici povrchu (1) je volný člen roven nule: a rovnice roviny dotýkající se povrchu v počátku souřadnic by měla mít tvar:.

Ale rovnice roviny procházející počátkem má tvar:.

A protože tato rovnice musí být ekvivalentní rovnici, pak,,.

Takže ve vybraném souřadnicovém systému by rovnice povrchu (1) měla mít tvar:

A naopak, jestliže, pak rovnice (6) je rovnicí povrchu procházejícího počátkem a rovina je tečnou rovinou k tomuto povrchu v bodě. Rovnice přímky, podél které tečná rovina k povrchu v bodě protíná povrch (6), má tvar:

Pokud . Toto je invariant v teorii invariantů pro řádky druhého řádu. rovnice (7)

Toto je řada druhého řádu. Podle tvaru tohoto řádku je invariantní, proto:

Kdy, zde jsou dvě pomyslné protínající se přímky.

At - dvě skutečné protínající se přímky.

Jestliže, ale alespoň jeden z koeficientů, není roven nule, pak průsečík (7) jsou dvě shodné přímky.

Konečně když, tak letadlo

je součástí tohoto povrchu a samotný povrch se proto rozděluje do dvojice rovin

§ 162. Eliptické, hyperbolické nebo parabolické body plochy druhého řádu.

1. Nechť tečnou rovinu k povrchu druhého řádu v bodě protíná podél dvou pomyslných protínajících se přímek. V tomto případě se bod nazývá eliptický bod povrchu.

2. Nechť tečnou rovinu k povrchu druhého řádu v bodě protíná podél dvou skutečných přímek protínajících se v bodě tečnosti. V tomto případě se bod nazývá hyperbolický bod povrchu.

3. Nechť tečnou rovinu k povrchu druhého řádu v bodě protíná podél dvou shodných přímek. V tomto případě se bod nazývá parabolický bod povrchu.

Věta 4. Nechť je povrch druhého řádu vzhledem k ODSK dán rovnicí (1) a daná rovnice (1) je rovnicí skutečného nerozpadajícího se povrchu druhého řádu. Pak, jestliže; pak jsou všechny body povrchu eliptické.

Důkaz. Zavedeme nový souřadnicový systém, zvolíme jako počátek souřadnic libovolný nesingulární bod daného povrchu a v bodě umístíme osy a v rovině tečné k povrchu. Rovnice (1) v novém souřadnicovém systému je transformována do tvaru:

kde . Vypočítejme invariant pro tuto rovnici.

Poněvadž při přechodu z jedné ODSK do druhé ODSK se znaménko nemění, pak jsou znaménka opačná, tedy jestliže, pak; a jak vyplývá z klasifikace (viz § 161), tečná rovina k ploše v bodě protíná plochu po dvou pomyslných protínajících se přímkách, tzn. - elipsovitý bod.

2) Jednovrstvý hyperboloid a hyperbolický paraboloid se skládají z hyperbolických bodů.

3) Reálný kužel druhého řádu (vrchol je vyloučen), eliptický (reálný), hyperbolický a parabolický válec se skládají z parabolických bodů.

Parabolický válec.

K určení umístění parabolického válce stačí vědět:

1) rovina symetrie rovnoběžná s tvořící přímkou ​​válce;

2) tečnou rovinu k válci, kolmou k této rovině symetrie;

3) vektor kolmý k této tečné rovině a směřující ke konkávnosti válce.

Pokud obecná rovnice definuje parabolický válec, lze ji přepsat jako:

Vybereme m takže letadlo

by byly vzájemně kolmé:

S touto hodnotou m letadlo

bude rovina symetrie rovnoběžná s tvořící přímkou ​​válce.

Letadlo

bude tečnou rovinou k válci, kolmou na zadanou rovinu symetrie, a vektor

bude kolmá k nalezené tečné rovině a bude směřovat ke konkávnosti válce.

Tečné roviny hrají v geometrii velkou roli. Konstrukce tečných rovin je z praktického hlediska důležitá, protože jejich přítomnost umožňuje určit směr normály k povrchu v bodě tečnosti. Tento problém je široce používán ve strojírenské praxi. Tečné roviny se také používají ke konstrukci obrysů geometrických tvarů ohraničených uzavřenými plochami. Teoreticky se roviny tečné k povrchu používají v diferenciální geometrii ke studiu vlastností povrchu v blízkosti tečného bodu.

Základní pojmy a definice

Rovinu tečnou k povrchu je třeba považovat za mezní polohu roviny sečny (analogicky s přímkou ​​tečnou ke křivce, která je také definována jako mezní poloha roviny sečny).

Rovina tečna k povrchu v daném bodě na povrchu je množinou všech přímek - tečen vedených k povrchu daným bodem.

V diferenciální geometrii je dokázáno, že všechny tečny k ploše nakreslené v obyčejném bodě jsou koplanární (patří do stejné roviny).

Pojďme zjistit, jak je nakreslena přímka tečná k povrchu. Tečna t k ploše β v bodě M specifikovaném na ploše (obr. 203) představuje mezní polohu sečny lj protínající plochu ve dvou bodech (MM 1, MM 2, ..., MM n), kdy průsečíky se shodují (M ≡ M n, ln ≡ l M). Je zřejmé (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, protože g ⊂ β. Z výše uvedeného vyplývá následující definice: tečna k ploše je přímka tečná k libovolné křivce patřící k ploše.

Vzhledem k tomu, že rovina je definována dvěma protínajícími se přímkami, pak pro určení roviny tečné k povrchu v daném bodě stačí protáhnout tímto bodem dvě libovolné přímky patřící k ploše (nejlépe jednoduchého tvaru) a ke každé z nich konstruují tečny v průsečíku těchto přímek... Sestrojené tečny jednoznačně definují tečnou rovinu. Vizuální znázornění kresby roviny α, tečné k ploše β v daném bodě M, je uvedeno na Obr. 204. Tento obrázek také ukazuje normálu n k ploše β.

Normála k povrchu v daném bodě je přímka kolmá k tečné rovině a procházející tečným bodem.

Průsečík plochy s rovinou procházející normálou se nazývá normálový řez plochy. V závislosti na typu povrchu může mít tečná rovina jeden nebo více bodů (přímky) s povrchem. Tečna může být zároveň průsečíkem plochy s rovinou.

Jsou také možné případy, kdy jsou na povrchu body, ve kterých není možné nakreslit tečnu k povrchu; takové body se nazývají speciální. Příkladem singulárních bodů jsou body příslušející hraně návratu plochy trupu nebo průsečík meridiánu rotační plochy s její osou, pokud se poledník a osa neprotínají v pravém úhlu.

Typy tečnosti závisí na povaze zakřivení povrchu.

Zakřivení povrchu

Otázkami křivosti povrchu se zabýval francouzský matematik F. Dupin (1784-1873), který navrhl vizuální způsob zobrazení změny křivosti normálních úseků povrchu.

Za tímto účelem se v rovině tečné k uvažovanému povrchu v bodě M (obr. 205, 206) položí segmenty rovné odmocnině hodnot příslušných poloměrů křivosti těchto úseků na tečny normální úseky na obou stranách tohoto bodu. Množina bodů - konce segmentů vymezují křivku tzv Dupinův ukazatel... Algoritmus pro konstrukci Dupinovy ​​indikatrix (obr. 205) lze napsat:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

kde R je poloměr zakřivení.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) je Dupinova indikatrix.

Je-li Dupinova indikatrix povrchu elipsa, pak se bod M nazývá eliptický a povrch se nazývá povrch s eliptickými body.(obr. 206). V tomto případě má tečná rovina pouze jeden společný bod s plochou a všechny přímky patřící k ploše a protínající se v uvažovaném bodě jsou umístěny na jedné straně tečné roviny. Příklady povrchů s eliptickými body jsou: rotační paraboloid, rotační elipsoid, koule (v tomto případě Dupinova indikatrix je kruh atd.).

Při kreslení tečné roviny k povrchu trupu se rovina dotkne tohoto povrchu podél přímé tvořící čáry. Body této přímky se nazývají parabolický a povrch je povrch s parabolickými body... Dupinovou indikatrix jsou v tomto případě dvě rovnoběžné přímky (obr. 207 *).

Na Obr. 208 ukazuje povrch sestávající z bodů, ve kterých

* Křivka druhého řádu - parabola - se za určitých podmínek může rozdělit na dvě skutečné rovnoběžné přímky, dvě pomyslné rovnoběžné přímky, dvě shodné přímky. Na Obr. 207 máme co do činění se dvěma skutečnými rovnoběžnými čarami.

Tečná rovina protíná povrch. Takový povrch se nazývá hyperbolický a body k tomu patřící - hyperbolické body. Dupinova indicatrix je v tomto případě hyperbola.

Plocha, jejíž všechny body jsou hyperbolické, má tvar sedla (šikmá rovina, jednovrstvý hyperboloid, konkávní rotační plochy atd.).

Jedna plocha může mít body různého typu, např. u plochy trupu (obr. 209) je bod M eliptický; bod N - parabolický; bod K je hyperbolický.

V průběhu diferenciální geometrie bylo prokázáno, že normální úseky, ve kterých hodnoty zakřivení Kj = 1 / Rj (kde Rj je poloměr zakřivení uvažovaného úseku) mají extrémní hodnoty, se nacházejí ve dvou vzájemně kolmé roviny.

Taková zakřivení K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min se nazývá hlavní a hodnoty H = (K 1 + K 2) / 2 a K = K 1 K 2 jsou střední zakřivení povrchu a celkové (Gaussovo) zakřivení povrchu v uvažovaném bodě. Pro eliptické body K> 0, hyperbolické body K

Určení roviny tečné k povrchu na Mongeově grafu

Níže na konkrétních příkladech ukážeme konstrukci rovinné tečny k povrchu s eliptickými (příklad 1), parabolickými (příklad 2) a hyperbolickými (příklad 3) body.

PŘÍKLAD 1. Sestrojte rovinu α, tečnou k rotační ploše β, s elipsovitými body. Zvažte dvě možnosti řešení tohoto problému, a) bod М ∈ β ab) bod М ∉ β

Možnost a (obr. 210).

Tečná rovina je definována dvěma tečnami t 1 a t 2 vedenými v bodě M k rovnoběžce a poledníku plochy β.

Průměty tečny t 1 k rovnoběžce h plochy β budou t "1 ⊥ (S" M ") a t" 1 || osa x. Vodorovný průmět tečny t "2 na poledník d plochy β procházející bodem M se shoduje s vodorovným průmětem poledníku. Pro nalezení čelního průmětu tečny t" 2 je poledníková rovina γ (γ ∋ М) otáčením kolem osy plochy β se přenese do polohy γ 1 rovnoběžné s rovinou π 2. V tomto případě bod M → M 1 (M "1, M" 1). Průmět tečny t "2 rarr; t" 2 1 je definován (M "1 S"). Pokud nyní vrátíme rovinu γ 1 do původní polohy, pak bod S "zůstane na místě (jakožto náležející ose rotace) a M" 1 → M "a čelní průmět tečny t" 2 zůstane být určen (M "S")

Dvě tečny t 1 a t 2 protínající se v bodě М ∈ β definují rovinu α tečnou k ploše β.

Možnost b (obr. 211)

Pro sestrojení roviny tečné k povrchu procházejícím bodem, který k povrchu nepatří, je třeba vycházet z následujících úvah: množinu rovin tečných k povrchu lze nakreslit bodem vně povrchu sestávajícím z eliptických bodů. Obálka těchto ploch bude nějaká kuželová plocha. Pokud tedy neexistují žádné další instrukce, pak má problém mnoho řešení a v tomto případě je redukován na nakreslení kuželové plochy γ tečné k této ploše β.

Na Obr. 211 ukazuje konstrukci kuželové plochy γ tečné ke kouli β. Jakákoli rovina α tečná ke kuželové ploše γ bude tečnou k ploše β.

Pro sestrojení průmětů plochy γ z bodů M "a M" nakreslete tečny ke kružnicím h "a f" - průměty koule. Označte dotykové body 1 (1 "a 1"), 2 (2 "a 2"), 3 (3 "a 3") a 4 (4 "a 4"). Horizontální průmět kružnice - tečna kuželové plochy a koule bude promítnuta v [1 "2"] K nalezení bodů elipsy, do kterých se tato kružnice bude promítat na rovinu čelního průmětu, použijte rovnoběžky koule.

Na Obr. 211 tímto způsobem jsou určeny čelní průměty bodů E a F (E "a F"). Máme-li kuželovou plochu γ, sestrojíme k ní tečnou rovinu α. Povaha a sekvence grafiky

Konstrukce, které je k tomu potřeba provést, ukazuje následující příklad.

PŘÍKLAD 2 Sestrojte rovinu α tečnou k ploše β s parabolickými body

Jako v příkladu 1 zvažte dvě možnosti řešení: a) bod N ∈ β; b) bod N ∉ β

Možnost a (Obrázek 212).

Kuželová plocha označuje plochy s parabolickými body (viz obr. 207). Rovina tečna kuželové plochy se jí dotýká podél přímočaré tvořící přímky.

1) tímto bodem N nakreslete generátor SN (S "N" a S "N");

2) označte průsečík tvořící čáry (SN) s vodítkem d: (SN) ∩ d = A;

3) vine tečnu t k d v bodě A.

Generátor (SA) a tečna t jej protínající definují rovinu α tečnou ke kuželové ploše β v daném bodě N *.

Kreslit rovinu α, tečnou ke kuželové ploše β a procházející bodem N, nepřísluší

* Protože plocha β sestává z parabolických bodů (kromě vrcholu S), rovina α, která se k ní tečna, s ní nebude mít společný bod N, ale přímku (SN).

na daném povrchu je nutné:

1) nakreslete přímku a (a "a") skrz daný bod N a vrchol S kuželové plochy β;

2) určete vodorovnou stopu této přímky H a;

3) skrz H a nakreslete tečny t "1 a t" 2 křivky h 0β - vodorovná stopa kuželové plochy;

4) spojte body tečnosti A (A "a A") a B (B "a B") k vrcholu kuželové plochy S (S "a S").

Protínající se přímky t 1, (AS) a t 2, (BS) definují hledané tečné roviny α 1 a α 2

PŘÍKLAD 3. Sestrojte rovinu α tečnou k ploše β s hyperbolickými body.

Bod K (obr. 214) se nachází na povrchu globoidu (vnitřní povrch prstence).

Pro určení polohy tečné roviny α je nutné:

1) protáhněte bodem K a rovnoběžně s plochou β h (h ", h");

2) bodem K "nakreslete tečnu t" 1 (t "1 ≡ h");

3) pro určení směrů průmětů tečny k řezu poledníku je nutné kreslit rovinu γ bodem K a osou povrchu, vodorovná průmětna t "2 se shoduje s h 0γ; sestrojit průmět nárysu tečny t" 2 nejprve převedeme rovinu γ otáčením kolem osy rotační plochy do polohy γ 1 || π 2. V tomto případě bude poledníkový řez rovinou γ kombinován s levým obrysovým obloukem frontální projekce - půlkruhem g ".

Bod K (K ", K"), patřící křivce meridionálního úseku, se posune do polohy K 1 (K "1, K" 1). Prostřednictvím K "1 vedeme nárysný průmět tečny t" 2 1, zarovnaný s rovinou γ 1 || Umístěte π 2 a označte bod jeho průsečíku s nárysným průmětem osy otáčení S "1. Vraťte rovinu γ 1 do původní polohy, bod K" 1 → K "(bod S" 1 ≡ S "). Čelní průmět tečny t" 2 je určen body K "a S".

Tečny t 1 a t 2 definují požadovanou tečnou rovinu α, která protíná plochu β podél křivky l.

PŘÍKLAD 4. Sestrojte rovinu α, tečnou k ploše β v bodě K. Bod K se nachází na ploše jednolistého rotačního hyperboloidu (obr. 215).

Tento problém lze vyřešit dodržením algoritmu použitého v předchozím příkladu, ale vezmeme-li v úvahu, že povrch jednovrstvého rotačního hyperboloidu je regulovaný povrch, který má dvě rodiny přímočarých generátorů a každý z generátorů jednoho rodina protíná všechny generátory druhé rodiny (viz § 32, obr. 138). Každým bodem této plochy lze vést dvě protínající se přímky - generátory, které budou současně tečné k ploše jednolistého rotačního hyperboloidu.

Tyto tečny definují tečnou rovinu, to znamená, že rovina tečná k povrchu jednolistého rotačního hyperboloidu protíná tento povrch podél dvou přímek g 1 a g 2. Ke konstrukci průmětů těchto přímek stačí přenést vodorovný průmět bodu K, aby se tečny t "1 a t" 2 přenesly k horizontu.

lokální průmět kružnice d "2 - hrdlo plochy jednolistého rotačního hyperboloidu; určete body 1" a 2, ve kterých t "1 a t" 2 protíná jednu z vodicích ploch d 1. Pro 1 "a 2" najdeme 1 "a 2", které spolu s K "určují čelní průměty hledaných přímek.