Integrály a jejich vlastnosti. Základní vlastnosti neurčitého integrálu

Hlavní úloha diferenciálního počtu nachází derivát f'(X) nebo diferenciál df =f'(X)dx funkcí f (X). V integrálním počtu se řeší inverzní úloha. Pro danou funkci f (X) je nutné takovou funkci najít F (X), co F '(x) =f (X) nebo dF (x) =F'(X)dx =f (X)dx.

Tím pádem, hlavní úkol integrálního počtu je obnovení funkce F (X) známou derivací (diferenciálem) této funkce. Integrální počet má četné aplikace v geometrii, mechanice, fyzice a inženýrství. Poskytuje obecnou metodu pro hledání oblastí, objemů, těžišť atd.

Definice. FunkceF (x), se nazývá primitivní funkcef (x) na množině X, pokud je diferencovatelná pro libovolné aF'(x) =f (x) nebodF (x) =f (X)dx.

Teorém. Jakákoli spojitá na segmentu [A;b] funkcef (x) má na tomto segmentu primitivní prvekF (x).

Teorém. LiF 1 (x) aF 2 (x) - dvě různé primitivní funkce stejné funkcef (x) na množině x, pak se od sebe liší konstantním členem, tzn.F 2 (x) =F 1x) +C, kde C je konstanta.

Neurčitý integrál, jeho vlastnosti.

Definice. AgregátF (x) +C všech primitivních funkcí funkcef (x) na množině X se nazývá neurčitý integrál a značí se:

- (1)

Ve vzorci (1) f (X)dx volala integrand,f (x) je integrand, x je proměnná integrace, A С - integrační konstanta.

Uvažujme vlastnosti neurčitého integrálu vyplývající z jeho definice.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu, diferenciál neurčitého integrálu se rovná integrandu:

a .

2. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

3. Konstantní faktor a (a ≠ 0) může být brán mimo neurčitý integrální znak:

4. Neurčitý integrál algebraického součtu konečného počtu funkcí se rovná algebraickému součtu integrálů těchto funkcí:

5. LiF (x) je primitivní funkcef (x), pak:

6 (invariance integračních vzorců). Jakýkoli integrační vzorec si zachová svůj tvar, pokud je integrační proměnná nahrazena jakoukoli diferencovatelnou funkcí této proměnné:

kdeu je diferencovatelná funkce.

Tabulka neurčitých integrálů.

Pojďme dát základní pravidla pro integraci funkcí.

Pojďme dát tabulka základních neurčitých integrálů.(Všimněte si, že zde, stejně jako v diferenciálním počtu, písmeno u může označovat jako nezávislou proměnnou (u =X) a funkce nezávisle proměnné (u =ty (X)).)

(n ≠ -1). (a> 0, a ≠ 1). (a ≠ 0). (a ≠ 0). (| u |> | a |).(| u |< |a|).

Volají se integrály 1 - 17 tabelární.

Některé z výše uvedených vzorců tabulky integrálů, které nemají v tabulce derivací obdobu, kontrolujeme derivováním jejich pravých stran.

Změna proměnné a integrace po částech v neurčitém integrálu.

Integrace substitucí (variabilní nahrazení). Nechť je potřeba vypočítat integrál

která není tabulková. Podstatou substituční metody je, že v integrálu proměnná NS nahradit proměnnou t podle vzorce x = φ (t), kde dx = φ '(t)dt.

Teorém. Nechte funkcix = φ (t) je definováno a diferencovatelné na nějaké množině T a nechť X je množina hodnot této funkce, na které funkcef (X). Pak je-li na množině X funkcef (

Tyto vlastnosti slouží k provádění transformací integrálu s cílem jeho redukce na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, tak

8. Vlastnost:

Pokud, tak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Podívejme se na příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, pak vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a může snadno najít podrobné řešení pro váš integrál.

Tyto vlastnosti slouží k provádění transformací integrálu s cílem jeho redukce na některý z elementárních integrálů a dalšího výpočtu.

1. Derivace neurčitého integrálu se rovná integrandu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu je roven integrandu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu nějaké funkce se rovná součtu této funkce a libovolné konstanty:

4. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka integrálu:

Navíc a ≠ 0

5. Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů:

6. Vlastnost je kombinací vlastností 4 a 5:

Navíc a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vlastnost invariance neurčitého integrálu:

Pokud, tak

8. Vlastnost:

Pokud, tak

Tato vlastnost je ve skutečnosti speciálním případem integrace pomocí metody změny proměnné, která je podrobněji popsána v další části.

Podívejme se na příklad:

Nejprve jsme použili vlastnost 5, pak vlastnost 4, pak jsme použili tabulku primitivních derivátů a dostali výsledek.

Algoritmus naší online integrální kalkulačky podporuje všechny výše uvedené vlastnosti a může snadno najít podrobné řešení pro váš integrál.

Řešení integrálů je snadný úkol, ale jen pro pár vyvolených. Tento článek je pro ty, kteří se chtějí naučit rozumět integrálům, ale nevědí o nich nic nebo téměř nic. Integrální ... Proč je to potřeba? Jak to vypočítat? Co jsou to určité a neurčité integrály?

Pokud jediné použití integrálu, o kterém víte, je uháčkovat něco užitečného z těžko dostupných míst háčkováním ve tvaru ikony integrálu, pak jste vítáni! Naučte se řešit elementární a jiné integrály a proč se bez toho v matematice neobejdete.

Zkoumání konceptu « integrální »

Integrace je známá již od starověkého Egypta. Samozřejmě ne v moderní podobě, ale přece. Od té doby matematici napsali mnoho knih na toto téma. Zvláště se vyznamenali Newton a Leibniz ale podstata věcí se nezměnila.

Jak porozumět integrálům od začátku? V žádném případě! K pochopení tohoto tématu stále potřebujete základní znalosti základů kalkulu. Informace o integrálech, které jsou nezbytné pro pochopení integrálů, již máme na našem blogu.

Neurčitý integrál

Předpokládejme, že máme nějakou funkci f (x) .

Neurčitý integrál funkce f (x) taková funkce se nazývá F (x) jehož derivace se rovná funkci f (x) .

Jinými slovy, integrál je obrácená derivace nebo primitivní derivace. Ostatně, o tom si přečtěte v našem článku.

Primitivní funkce existuje pro všechny spojité funkce. Také znaménko konstanty se často přidává k primitivní derivaci, protože derivace funkcí, které se liší konstantou, se shodují. Proces hledání integrálu se nazývá integrace.

Jednoduchý příklad:

Abychom nemuseli neustále počítat primitivní funkce elementárních funkcí, je vhodné je shrnout do tabulky a použít hotové hodnoty.

Kompletní tabulka integrálů pro studenty

Určitý integrál

Když se zabýváme pojmem integrál, máme co do činění s nekonečně malými veličinami. Integrál pomůže vypočítat plochu postavy, hmotnost nehomogenního tělesa, dráhu ujetou nerovnoměrným pohybem a mnoho dalšího. Je třeba si uvědomit, že integrál je součtem nekonečně velkého počtu nekonečně malých členů.

Jako příklad si představme graf nějaké funkce.

Jak najít oblast tvaru ohraničenou grafem funkce? Pomocí integrálu! Křivočarý lichoběžník, ohraničený souřadnicovými osami a grafem funkce, rozdělíme na nekonečně malé segmenty. Obrázek bude tedy rozdělen do tenkých sloupců. Součet ploch sloupů bude plocha lichoběžníku. Pamatujte však, že takový výpočet poskytne přibližný výsledek. Čím jsou však segmenty menší a užší, tím přesnější bude výpočet. Pokud je zmenšíme do takové míry, že délka bude mít tendenci k nule, pak součet ploch segmentů bude mít tendenci k ploše obrázku. Toto je určitý integrál, který se zapisuje takto:

Body aab se nazývají limity integrace.

« Integrální »

Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.

Integrální výpočetní pravidla pro figuríny

Neurčité integrální vlastnosti

Jak vyřešit neurčitý integrál? Zde se podíváme na vlastnosti neurčitého integrálu, které se budou hodit při řešení příkladů.

• Derivace integrálu se rovná integrandu:

• Konstantu lze vyjmout pod znaménkem integrálu:

• Integrál součtu se rovná součtu integrálů. Platí to i pro rozdíl:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znaménko integrálu se změní, pokud se integrační limity obrátí:

• Na žádný body A, b a s:

Již jsme zjistili, že určitý integrál je limita součtu. Jak ale při řešení příkladu získáte konkrétní hodnotu? K tomu existuje Newton-Leibnizův vzorec:

Příklady integrálních řešení

Níže budeme uvažovat o neurčitém integrálu a příkladech s řešením. Nabízíme vám, abyste nezávisle zjistili složitost řešení, a pokud něco není jasné, položte otázky v komentářích.

Pro upevnění látky se podívejte na video, jak se integrály řeší v praxi. Nenechte se odradit, když integrál neuvedete hned. Obraťte se na profesionální studentský servis a zvládnete jakýkoli trojitý nebo křivočarý integrál na uzavřené ploše.

Nechte funkci y = F(X) je definován na segmentu [ A, b ], A < b... Proveďme následující operace:

1) rozdělili jsme se [ A, b] tečky A = X 0 < X 1 < ... < X i- 1 < X i < ... < X n = b na nčástečné úsečky [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ];

2) v každém z dílčích segmentů [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n, vyberte libovolný bod a vypočítejte hodnotu funkce v tomto bodě: F(z i ) ;

3) najít díla F(z i ) · Δ X i , kde je délka dílčího segmentu [ X i- 1 , X i ], i = 1, 2, ... n;

4) skládat integrální součet funkcí y = F(X) na segmentu [ A, b ]:

Z geometrického hlediska je tento součet σ součtem ploch obdélníků, jejichž základnou jsou dílčí úsečky [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X i- 1 , X i ], ..., [X n- 1 , X n ], a výšky jsou F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n), respektive (obr. 1). Označme podle λ délka největšího dílčího segmentu:

5) najděte limitu integrálního součtu kdy λ → 0.

Definice. Pokud existuje konečná mez integrálního součtu (1) a nezávisí na způsobu dělení segmentu [ A, b] na dílčí segmenty, ani z výběru bodů z i v nich se pak tato limita nazývá určitý integrál z funkce y = F(X) na segmentu [ A, b] a je označeno

Tím pádem,

V tomto případě funkce F(X) je nazýván integrovatelný dne [ A, b]. čísla A a b se nazývají dolní a horní hranice integrace, F(X) Je integrand, F(X ) dx- integrand, X- proměnná integrace; sekce [ A, b] se nazývá integrační interval.

Věta 1. Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na segmentu [ A, b], pak je integrovatelný na tento segment.

Určitý integrál se stejnými limity integrace se rovná nule:

Li A > b, pak podle definice dáme

2. Geometrický význam určitého integrálu

Nechte na segmentu [ A, b] je dána spojitá nezáporná funkce y = F(X ) . Zakřivený lichoběžník je obrazec ohraničený shora grafem funkce y = F(X), zespodu - osou Ox, doleva a doprava - rovnými čarami x = a a x = b(obr. 2).

Určitý integrál nezáporné funkce y = F(X) z geometrického hlediska se rovná ploše křivočarého lichoběžníku ohraničeného shora grafem funkce y = F(X), doleva a doprava - po úsečkách x = a a x = b, níže - segmentem osy Ox.

3. Základní vlastnosti určitého integrálu

1. Hodnota určitého integrálu nezávisí na označení proměnné integrace:

2. Ze znaménka určitého integrálu lze vyjmout konstantní faktor:

3. Určitý integrál algebraického součtu dvou funkcí se rovná algebraickému součtu určitých integrálů těchto funkcí:

4.Pokud je funkce y = F(X) je integrovatelný na [ A, b] a A < b < C, pak

5. (věta o střední hodnotě)... Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na segmentu [ A, b], pak na tomto segmentu je bod takový, že

4. Newtonův-Leibnizův vzorec

Věta 2. Pokud je funkce y = F(X) je spojitý na segmentu [ A, b] a F(X) Je některý z jeho primitivních derivátů na tomto segmentu, pak platí následující vzorec:

který se nazývá podle Newtonova – Leibnizova vzorce. Rozdíl F(b) - F(A) je obvyklé psát takto:

kde se znak nazývá dvojitý zástupný znak.

Vzorec (2) tedy může být zapsán jako:

Příklad 1 Vypočítejte integrál

Řešení. Pro integrandu F(X ) = X 2 má tvar libovolný primitivní prvek

Protože v Newton-Leibnizově vzorci lze použít jakýkoli primitivní prvek, pak pro výpočet integrálu použijeme primitivní prvek, který má nejjednodušší formu:

5. Změna proměnné v určitý integrál

Věta 3. Nechte funkci y = F(X) je spojitý na segmentu [ A, b]. Li:

1) funkce X = φ ( t) a jeho derivace φ "( t) jsou spojité v;

2) množina hodnot funkce X = φ ( t) pro je segment [ A, b ];

3) φ ( A) = A, φ ( b) = b, pak vzorec

který se nazývá vzorcem změny proměnné v určitém integrálu .

Na rozdíl od neurčitého integrálu v tomto případě není nutné návrat k původní proměnné integrace - stačí najít nové limity integrace α a β (k tomu je nutné řešit s ohledem na proměnnou t rovnice φ ( t) = A a φ ( t) = b).

Místo substituce X = φ ( t) můžete použít náhradu t = G(X). V tomto případě hledání nových limitů integrace s ohledem na proměnnou t zjednodušeně: α = G(A) , β = G(b) .

Příklad 2... Vypočítejte integrál

Řešení. Zaveďme novou proměnnou pomocí vzorce. Po umocnění obou stran rovnosti dostaneme 1 + x = t 2 , kde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt... Nacházíme nové limity integrace. Za tímto účelem dosadíme do vzorce staré limity x = 3 a x = 8. Dostáváme:, odkud t= 2 a a = 2; , kde t= 3 a β = 3. Takže

Příklad 3 Vypočítat

Řešení. Nech být u= ln X, pak , proti = X... Podle vzorce (4)