Definice. Boční obličej- je to trojúhelník, ve kterém jeden úhel leží na vrcholu jehlanu a jeho protilehlá strana se shoduje se stranou základny (polygonu).

Definice. Boční žebra jsou společné strany bočních ploch. Pyramida má tolik hran, kolik je rohů v mnohoúhelníku.

Definice. výška pyramidy je kolmice spuštěná z vrcholu k základně pyramidy.

Definice. Apotém- toto je kolmice boční stěny jehlanu, spuštěná z vrcholu jehlanu ke straně základny.

Definice. Diagonální řez- jedná se o řez jehlanem rovinou procházející vrcholem jehlanu a úhlopříčkou podstavy.

Definice. Správná pyramida- Toto je pyramida, jejíž základna je pravidelný mnohoúhelník a výška klesá do středu základny.

Objem a povrch pyramidy

Vzorec. objem pyramidy přes základní plochu a výšku:

pyramidové vlastnosti

Pokud jsou všechny boční hrany stejné, pak lze kolem základny jehlanu opsat kruh a střed základny se shoduje se středem kruhu. Také kolmice shozená shora prochází středem základny (kruhu).

Pokud jsou všechna boční žebra stejná, jsou skloněna k základní rovině pod stejnými úhly.

Postranní žebra jsou stejná, když svírají stejné úhly se základní rovinou, nebo pokud lze kolem základny pyramidy popsat kruh.

Pokud jsou boční plochy nakloněny k rovině základny pod jedním úhlem, pak lze do základny jehlanu vepsat kružnici a vrchol jehlanu se promítá do jejího středu.

Pokud jsou boční plochy nakloněny k základní rovině pod jedním úhlem, pak jsou apotémy bočních ploch stejné.

Vlastnosti pravidelné pyramidy

1. Vrchol pyramidy je ve stejné vzdálenosti od všech rohů základny.

2. Všechny boční hrany jsou stejné.

3. Všechna boční žebra jsou nakloněna ve stejných úhlech k základně.

4. Apotémy všech bočních ploch jsou stejné.

5. Plochy všech bočních ploch jsou stejné.

6. Všechny plochy mají stejné dihedrální (ploché) úhly.

7. Kolem pyramidy lze popsat kouli. Střed popisované koule bude průsečíkem kolmiček, které procházejí středem hran.

8. Kouli lze vepsat do pyramidy. Střed vepsané koule bude průsečíkem os vycházejících z úhlu mezi okrajem a základnou.

9. Pokud se střed vepsané koule shoduje se středem opsané koule, pak je součet plochých úhlů na vrcholu roven π nebo naopak, jeden úhel je roven π / n, kde n je číslo úhlů na základně pyramidy.

Spojení pyramidy s koulí

Kolem pyramidy lze popsat kouli, když na základně pyramidy leží mnohostěn, kolem kterého lze popsat kruh (nutná a postačující podmínka). Střed koule bude průsečíkem rovin procházejících kolmo středy bočních hran jehlanu.

Kouli lze vždy popsat kolem jakékoli trojúhelníkové nebo pravidelné pyramidy.

Koule může být vepsána do jehlanu, pokud se osové roviny vnitřních dihedrálních úhlů jehlanu protínají v jednom bodě (nutná a postačující podmínka). Tento bod bude středem koule.

Spojení pyramidy s kuželem

Kužel se nazývá vepsaný do jehlanu, pokud se jejich vrcholy shodují a základna kužele je vepsána do základny jehlanu.

Kužel může být vepsán do pyramidy, pokud jsou apotémy pyramidy stejné.

Říká se, že kužel je opsán kolem pyramidy, pokud se jejich vrcholy shodují a základna kužele je opsána kolem základny pyramidy.

Kužel lze popsat kolem jehlanu, pokud jsou všechny boční okraje jehlanu stejné.

Spojení jehlanu s válcem

O pyramidě se říká, že je vepsána do válce, pokud vrchol jehlanu leží na jedné základně válce a základna jehlanu je vepsána do jiné základny válce.

Válec může být opsán kolem pyramidy, pokud může být kruh opsán kolem základny pyramidy.

Definice. komolá pyramida (pyramidový hranol)- Jedná se o mnohostěn, který se nachází mezi základnou pyramidy a rovinou řezu rovnoběžnou se základnou. Pyramida má tedy velkou základnu a menší základnu, která je podobná té větší. Boční plochy jsou lichoběžníkové.

Definice. Trojúhelníková pyramida (tetrahedron)- jedná se o pyramidu, ve které jsou tři stěny a základna libovolné trojúhelníky.

Čtyřstěn má čtyři plochy a čtyři vrcholy a šest hran, kde žádné dvě hrany nemají žádné společné vrcholy, ale nedotýkají se.

Každý vrchol se skládá ze tří ploch a hran, které tvoří triedrální úhel.

Úsek spojující vrchol čtyřstěnu se středem protější plochy se nazývá medián čtyřstěnu(GM).

Bimedián se nazývá segment spojující středy protilehlých hran, které se nedotýkají (KL).

Všechny bimediány a mediány čtyřstěnu se protínají v jednom bodě (S). V tomto případě jsou bimediány rozděleny na polovinu a mediány v poměru 3: 1 počínaje shora.

Definice. nakloněná pyramida je pyramida, ve které jedna z hran svírá se základnou tupý úhel (β).

Definice. Obdélníková pyramida je pyramida, ve které je jedna z bočních ploch kolmá k základně.

Definice. Akutní úhlová pyramida je pyramida, ve které má apotéma více než polovinu délky strany základny.

Definice. tupá pyramida je pyramida, ve které je apotém menší než polovina délky strany základny.

Definice. pravidelný čtyřstěnČtyřstěn, jehož čtyři strany jsou rovnostranné trojúhelníky. Je to jeden z pěti pravidelných polygonů. V pravidelném čtyřstěnu jsou všechny dihedrální úhly (mezi plochami) a trojstěnné úhly (ve vrcholu) stejné.

Definice. Obdélníkový čtyřstěn nazývá se čtyřstěn, který má ve vrcholu pravý úhel mezi třemi hranami (hrany jsou kolmé). Vytvoří se tři tváře pravoúhlý trojúhelníkový úhel a plochy jsou pravoúhlé trojúhelníky a základna je libovolný trojúhelník. Apotém jakékoli tváře se rovná polovině strany základny, na kterou apotém padá.

Definice. Izoedrický čtyřstěn Nazývá se čtyřstěn, jehož boční strany jsou si navzájem rovné a základna je pravidelný trojúhelník. Plochy takového čtyřstěnu jsou rovnoramenné trojúhelníky.

Definice. Ortocentrický čtyřstěn nazývá se čtyřstěn, ve kterém se všechny výšky (kolmice), které jsou sníženy shora na protější plochu, protínají v jednom bodě.

Definice. hvězdná pyramida Mnohostěn, jehož základnou je hvězda, se nazývá.

Definice. bipyramida- mnohostěn sestávající ze dvou různých jehlanů (pyramidy lze i odříznout), mající společnou základnu a vrcholy leží na opačných stranách základní roviny.

Plocha bočního povrchu pravidelné pyramidy se rovná součinu jeho apotému o polovinu obvodu základny.

Pokud jde o celkovou plochu, jednoduše přidáme základní plochu na stranu.

Boční plocha pravidelného jehlanu se rovná součinu půlobvodu základny a apotému.

Důkaz:

Pokud je strana základny a, počet stran je n, pak boční plocha jehlanu je:

a l n/2 = a n l/2 = pl/2

kde l je apotéma a p je obvod základny pyramidy. Věta byla prokázána.

Tento vzorec zní takto:

Plocha boční plochy pravidelné pyramidy se rovná polovině součinu obvodu základny a apotému pyramidy.

Celková plocha pyramidy se vypočítá podle vzorce:

S plný =S boční +S hlavní

Pokud je pyramida nepravidelná, bude její boční plocha rovna součtu ploch jejích bočních ploch.

Objem pyramidy

Objem pyramida se rovná jedné třetině součinu plochy základny a výšky.

Důkaz. Začneme od trojúhelníkového hranolu. Nakreslete rovinu vrcholem A "horní podstavy hranolu a protilehlou hranou BC spodní podstavy. Tato rovina odřízne od hranolu trojúhelníkový jehlan A" ABC. Zbývající část hranolu rozložíme na jádro tělesa prokreslením roviny přes úhlopříčky A "C" a "B" C bočních ploch. Výsledná dvě tělesa jsou také pyramidy. Pokud vezmeme v úvahu trojúhelník A"B"C" jako základnu jednoho z nich a C jeho vrchol, uvidíme, že jeho základna a výška jsou stejné jako u první pyramidy, kterou jsme odřízli, proto pyramidy A"ABC a CA"B"C" jsou stejné. Kromě toho jsou obě nové pyramidy CA "B" C "a A" B "BC" stejné velikosti - to bude jasné, když vezmeme trojúhelníky BC "a B" CC " pro jejich základny. Pyramidy CA" B "C" a A "B "VS mají společný vrchol A" a jejich základny jsou umístěny ve stejné rovině a jsou si rovny, proto jsou pyramidy stejné. Hranol se tedy rozloží na tři jehlany o stejné ploše, objem každého z nich je roven jedné třetině objemu hranolu. Protože tvar podstavy je nevýznamný, pak se obecně objem n-gonálního jehlanu rovná jedna třetina objemu hranolu se stejnou výškou a stejnou (nebo stejnou) základnou. Připomeneme-li si vzorec vyjadřující objem hranolu V=Sh, dostaneme konečný výsledek: V=1/3Sh

Při přípravě na zkoušku z matematiky musí studenti systematizovat své znalosti z algebry a geometrie. Chtěl bych zkombinovat všechny známé informace, například jak vypočítat plochu pyramidy. Navíc, počínaje od základny a bočních ploch po celou plochu povrchu. Pokud je situace s bočními plochami jasná, protože se jedná o trojúhelníky, pak je základna vždy jiná.

Co dělat při hledání oblasti základny pyramidy?

Může to být absolutně jakýkoli obrázek: od libovolného trojúhelníku po n-úhelník. A tato základna, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být pravidelná nebo nesprávná. V úlohách USE, které zajímají školáky, jsou na základně pouze úlohy se správnými figurami. Proto budeme hovořit pouze o nich.

pravoúhlý trojuhelník

To je rovnostranné. Takový, ve kterém jsou všechny strany stejné a označený písmenem „a“. V tomto případě se plocha základny pyramidy vypočítá podle vzorce:

S = (a 2 * √3) / 4.

Náměstí

Vzorec pro výpočet jeho plochy je nejjednodušší, zde "a" je opět strana:

Libovolný pravidelný n-úhelník

Strana mnohoúhelníku má stejné označení. Pro počet rohů se používá latinské písmeno n.

S = (n* a 2) / (4* tg (180°/n)).

Jak postupovat při výpočtu boční a celkové plochy?

Protože základna je pravidelná postava, jsou všechny strany pyramidy stejné. Navíc je každý z nich rovnoramenný trojúhelník, protože boční hrany jsou stejné. Pak, abyste mohli vypočítat boční plochu pyramidy, potřebujete vzorec sestávající ze součtu identických monomiálů. Počet členů je určen počtem stran základny.

Plocha rovnoramenného trojúhelníku se vypočítá podle vzorce, ve kterém se polovina součinu základny vynásobí výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apotém. Jeho označení je „A“. Obecný vzorec pro boční povrch je:

S \u003d ½ P * A, kde P je obvod základny pyramidy.

Existují situace, kdy nejsou známy strany základny, ale jsou dány boční hrany (c) a plochý úhel v jejím vrcholu (α). Pak se má použít takový vzorec pro výpočet boční plochy pyramidy:

S = n/2 * ve 2 sin α .

Úkol 1

Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud její základna leží na straně 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Řešení. Musíte začít výpočtem obvodu základny. Protože se jedná o pravidelný trojúhelník, pak P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Protože je známá apotéma, můžete okamžitě vypočítat plochu celého bočního povrchu: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pro trojúhelník na základně bude získána následující hodnota plochy: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Chcete-li určit celou plochu, budete muset sečíst dvě výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odpovědět. 10√3 cm2.

Úkol č. 2

Stav. Je zde pravidelný čtyřboký jehlan. Délka strany základny je 7 mm, boční hrana je 16 mm. Musíte znát jeho povrch.

Řešení. Protože mnohostěn je čtyřúhelníkový a pravidelný, je jeho základna čtverec. Poté, co se naučíte plochy základny a bočních ploch, bude možné vypočítat plochu pyramidy. Vzorec pro čtverec je uveden výše. A na bočních stranách jsou známy všechny strany trojúhelníku. K výpočtu jejich ploch tedy můžete použít Heronův vzorec.

První výpočty jsou jednoduché a vedou k tomuto číslu: 49 mm 2. Pro druhou hodnotu budete muset vypočítat poloobvod: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nyní můžete vypočítat plochu rovnoramenného trojúhelníku: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Takové trojúhelníky jsou pouze čtyři, takže při výpočtu konečného čísla ho budete muset vynásobit 4.

Ukázalo se: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odpovědět. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úkol #3

Stav. U pravidelného čtyřbokého jehlanu je třeba vypočítat plochu. V něm je strana čtverce 6 cm a výška 4 cm.

Řešení. Nejjednodušší je použít vzorec se součinem obvodu a apotému. První hodnotu lze snadno najít. Druhý je trochu obtížnější.

Budeme si muset zapamatovat Pythagorovu větu a uvažovat, že je tvořena výškou pyramidy a apotémou, což je přepona. Druhá větev se rovná polovině strany čtverce, protože výška mnohostěnu spadá do jeho středu.

Požadovaná apotéma (přepona pravoúhlého trojúhelníku) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Nyní můžete vypočítat požadovanou hodnotu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odpovědět. 96 cm2.

Úkol #4

Stav. Správná strana jeho základny je 22 mm, boční žebra jsou 61 mm. Jaká je plocha bočního povrchu tohoto mnohostěnu?

Řešení.Úvaha v ní je stejná, jako je popsána v problému č. 2. Pouze tam byla dána pyramida se čtvercem na základně a nyní je to šestiúhelník.

Nejprve se plocha základny vypočítá pomocí výše uvedeného vzorce: (6 * 22 2) / (4 * tg (180 ° / 6)) \u003d 726 / (tg30 °) \u003d 726√3 cm 2.

Nyní musíte zjistit půlobvod rovnoramenného trojúhelníku, což je boční plocha. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Zbývá vypočítat plochu každého takového trojúhelníku pomocí Heronova vzorce a poté jej vynásobit šesti a přidat k tomu, který se ukázal pro základna.

Výpočty pomocí Heronova vzorce: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Výpočty, které poskytnou plochu bočního povrchu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Zbývá je sečíst, abychom zjistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpovědět. Základna - 726√3 cm 2, boční plocha - 3960 cm 2, celá plocha - 5217 cm 2.

- toto je obrazec, na jehož základně leží libovolný mnohoúhelník a boční plochy jsou znázorněny trojúhelníky. Jejich vrcholy leží v jednom bodě a odpovídají vrcholu pyramidy.

Pyramida může být různorodá - trojúhelníková, čtyřhranná, šestihranná atd. Jeho název lze určit v závislosti na počtu rohů přiléhajících k základně.
Správná pyramida nazývaná pyramida, ve které jsou strany základny, úhly a hrany stejné. Také v takové pyramidě bude plocha bočních ploch stejná.
Vzorec pro plochu boční plochy pyramidy je součtem ploch všech jejích ploch:
To znamená, že pro výpočet plochy bočního povrchu libovolné pyramidy je nutné najít plochu každého jednotlivého trojúhelníku a sečíst je. Pokud je pyramida zkrácená, pak jsou její strany reprezentovány lichoběžníky. Pro správnou pyramidu existuje jiný vzorec. V něm se plocha bočního povrchu vypočítá přes semiperimetr základny a délku apotému:

Zvažte příklad výpočtu plochy bočního povrchu pyramidy.
Nechť je dán pravidelný čtyřboký jehlan. Základní strana b= 6 cm a apotém A\u003d 8 cm. Najděte oblast bočního povrchu.

Na základně pravidelného čtyřbokého jehlanu leží čtverec. Nejprve najdeme jeho obvod:

Nyní můžeme vypočítat plochu bočního povrchu naší pyramidy:

Chcete-li najít celkovou plochu mnohostěnu, musíte najít plochu jeho základny. Vzorec pro oblast základny pyramidy se může lišit v závislosti na tom, který polygon leží na základně. K tomu použijte vzorec pro oblast trojúhelníku, oblast rovnoběžníku atd.

Zvažte příklad výpočtu plochy základny pyramidy dané našimi podmínkami. Jelikož je pyramida pravidelná, má ve své základně čtverec.
čtvercová plocha vypočítaný podle vzorce: ,
kde a je strana čtverce. Máme to rovných 6 cm. Takže plocha základny pyramidy:

Nyní zbývá pouze najít celkovou plochu mnohostěnu. Vzorec pro plochu pyramidy je součtem plochy její základny a jejího bočního povrchu.

Před studiem otázek o tomto geometrickém útvaru a jeho vlastnostech je nutné porozumět některým pojmům. Když člověk slyší o pyramidě, představí si obrovské budovy v Egyptě. Takto vypadají ty nejjednodušší. Ale přicházejí v různých typech a tvarech, což znamená, že výpočetní vzorec pro geometrické tvary se bude lišit.

Typy figurek

Pyramida - geometrický obrazec, označující a reprezentující více tváří. Ve skutečnosti se jedná o stejný mnohostěn, na jehož základně leží mnohoúhelník a po stranách jsou trojúhelníky, které se spojují v jednom bodě - vrcholu. Obrázek je dvou hlavních typů:

• opravit;
• zkrácený.

V prvním případě je základnou pravidelný mnohoúhelník. Zde jsou všechny boční plochy stejné mezi sebou a postavou samotnou potěší oko perfekcionisty.

Ve druhém případě jsou dvě základny - velká úplně dole a malá mezi horní částí, která opakuje tvar té hlavní. Jinými slovy, komolý jehlan je mnohostěn s úsekem vytvořeným rovnoběžně se základnou.

Termíny a notace

Základní pojmy:

• Pravidelný (rovnostranný) trojúhelník Postava se třemi stejnými úhly a stejnými stranami. V tomto případě jsou všechny úhly 60 stupňů. Obrázek je nejjednodušší z pravidelných mnohostěnů. Pokud tato postava leží na základně, pak se takový mnohostěn bude nazývat pravidelný trojúhelníkový. Pokud je základna čtverec, bude se pyramida nazývat pravidelná čtyřboká pyramida.
• Vrchol- nejvyšší bod, kde se hrany setkávají. Výška vrcholu je tvořena přímkou ​​vycházející z vrcholu k základně pyramidy.
• okraj je jednou z rovin mnohoúhelníku. Může být ve tvaru trojúhelníku v případě trojúhelníkového jehlanu nebo ve formě lichoběžníku u komolého jehlanu.
• průřez- plochá postava vzniklá v důsledku pitvy. Nezaměňujte s sekcí, protože sekce také ukazuje, co je za sekcí.
• Apotém- segment nakreslený od vrcholu pyramidy k její základně. Je to také výška obličeje, kde je druhý výškový bod. Tato definice platí pouze ve vztahu k pravidelnému mnohostěnu. Například - pokud to není komolý jehlan, pak bude obličej trojúhelník. V tomto případě se výška tohoto trojúhelníku stane apotemou.

Plošné vzorce

Najděte oblast bočního povrchu pyramidy jakýkoli typ lze provést několika způsoby. Pokud obrázek není symetrický a je to mnohoúhelník s různými stranami, pak je v tomto případě snazší vypočítat celkovou plochu povrchu jako celek všech ploch. Jinými slovy, musíte vypočítat plochu každé tváře a sečíst je.

V závislosti na tom, jaké parametry jsou známy, mohou být vyžadovány vzorce pro výpočet čtverce, lichoběžníku, libovolného čtyřúhelníku atd. Samotné vzorce v různých případech bude také jiný.

V případě běžné postavy je hledání plochy mnohem jednodušší. Stačí znát jen pár klíčových parametrů. Ve většině případů jsou pro taková čísla vyžadovány přesné výpočty. Proto budou níže uvedeny odpovídající vzorce. Jinak byste museli vše malovat na více stránek, což bude jen matoucí a matoucí.

Základní vzorec pro výpočet boční plocha pravidelné pyramidy bude vypadat takto:

S \u003d ½ Pa (P je obvod základny a je apotém)

Podívejme se na jeden z příkladů. Mnohostěn má základnu se segmenty A1, A2, A3, A4, A5 a všechny jsou rovné 10 cm.Apotéma nechť je rovna 5 cm. Nejprve musíte najít obvod. Protože všech pět ploch základny je stejných, lze je nalézt takto: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Dále použijeme základní vzorec: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm na druhou .

Boční plocha pravidelného trojúhelníkového jehlanu nejsnáze vypočítat. Vzorec vypadá takto:

S =½* ab *3, kde a je apotém, b je faseta báze. Faktor tři zde znamená počet základních ploch a první část je plocha bočního povrchu. Zvažte příklad. Máme-li postavu s apotémou 5 cm a základní plochou 8 cm, vypočítáme: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na druhou.

Boční plocha komolého jehlanu je to trochu složitější na výpočet. Vzorec vypadá takto: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, kde p_01 a p_02 jsou obvody základen a je apotém. Zvažte příklad. Předpokládejme, že pro čtyřúhelníkovou postavu jsou rozměry stran základen 3 a 6 cm, apotéma je 4 cm.

Zde byste pro začátek měli najít obvody základen: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm. Zbývá dosadit hodnoty do hlavního vzorce a získat: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na druhou.

Je tedy možné najít boční povrch pravidelné pyramidy jakékoli složitosti. Pozor, nezaměňovat tyto výpočty s celkovou plochou celého mnohostěnu. A pokud to stále potřebujete udělat, stačí vypočítat plochu největší základny mnohostěnu a přidat ji k ploše bočního povrchu mnohostěnu.

Video

Toto video vám pomůže sjednotit informace o tom, jak najít boční povrch různých pyramid.