"Rozhodnutí zlomkových racionálních rovnic". Racionální rovnice

T. Kosyakova,
Škola npis 8, Krasnodar

Řešení čtvercových a zlomkových racionálních rovnic obsahujících parametry

Lekce 4.

Téma lekce:

Účelem lekce:tvořící schopnost řešit zlomkové racionální rovnice obsahující parametry.

Typ lekce: Úvod nový materiál.

1. (ústně) rozhodující rovnice:

Příklad 1.. Rozhodovat rovnice

Rozhodnutí.

Najít neplatné hodnoty a.:

Odpovědět. Pokud Pokud a. = – 19 , žádné kořeny.

Příklad 2.. Rozhodovat rovnice

Rozhodnutí.

Najít neplatné hodnoty parametrů a. :

10 – a. = 5, a. = 5;

10 – a. = a., a. = 5.

Odpovědět. Pokud a. = 5 a. № 5 T. x \u003d 10- a. .

Příklad 3.. Za jakých hodnot parametrů b. rovnice Má to:

a) dva kořeny; b) jediný kořen?

Rozhodnutí.

1) Najít neplatné hodnoty parametrů b. :

x \u003d. b., b. 2 (b. 2 – 1) – 2b. 3 + b. 2 = 0, b. 4 – 2b. 3 = 0,
b. \u003d 0 OR. b. = 2;
x \u003d 2, 4 ( b. 2 – 1) – 4b. 2 + b. 2 = 0, b. 2 – 4 = 0, (b. – 2)(b. + 2) = 0,
b. \u003d 2 OR. b. = – 2.

2) Řešení rovnice x 2 ( b. 2 – 1) – 2b. 2 x +. b. 2 = 0:

D \u003d 4. b. 4 – 4b. 2 (b. 2 - 1), D \u003d 4 b. 2 .

ale)

S výjimkou neplatných hodnot parametrů b. , získáme, že rovnice má dvě kořeny b. № – 2, b. № – 1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 .

b) 4b. 2 = 0, b. = 0, to je však neplatná hodnota parametru b. ; Pokud b. 2 –1=0 , tj. b.=1 nebo.

Odpověď: a) Pokud b. № –2 , b. № –1, b. № 0, b. № 1, b. № 2 , pak dva kořeny; b) pokud. b.=1 nebo b \u003d -1. , pak jediný kořen.

Nezávislá práce

Možnost 1

Rozhodnout o rovnicích:

Možnost 2.

Rozhodnout o rovnicích:

Odpovědi

V 1. co když a.=3 , žádné kořeny; Pokud b) Pokud je-li a. № 2 , žádné kořeny.

Na 2. Pokud a.=2 , žádné kořeny; Pokud a.=0 , žádné kořeny; Pokud
b) pokud. a.=– 1 , rovnice ztratí svůj význam; Pokud neexistují žádné kořeny;
Pokud

Úkol doma.

Rozhodnout o rovnicích:

Odpovědi: a) pokud a. № –2 T. x \u003d. a. ; Pokud a.=–2 , pak neexistují žádná řešení; b) pokud. a. № –2 T. x \u003d 2. ; Pokud a.=–2 , pak neexistují žádná řešení; c) pokud. a.=–2 T. x. - jakékoli číslo kromě 3 ; Pokud a. № –2 T. x \u003d 2. ; d) pokud. a.=–8 , žádné kořeny; Pokud a.=2 , žádné kořeny; Pokud

Lekce 5.

Téma lekce: "Řešení zlomkových racionálních rovnic obsahujících parametry."

Cíle Lekce:

naučit se vyřešit rovnice s nestandardním stavem;
Vědomě asimilovat studenty algebraických pojmů a spojení mezi nimi.

Typ lekce: Systematizace a zobecnění.

Zkontrolujte domácí úkoly.

Příklad 1.. Rozhodovat rovnice

a) vzhledem k x; b) vzhledem k y.

Rozhodnutí.

a) Najít nepřijatelné hodnoty y.: y \u003d 0, x \u003d y, y 2 \u003d y 2 -2y,

y \u003d 0. - Neplatná hodnota parametru Y..

Pokud y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; Pokud y \u003d 0. , rovnice ztratí svůj význam.

b) Najdeme neplatné hodnoty parametrů x.: y \u003d x, 2x-x 2 + x 2 \u003d 0, x \u003d 0 - Neplatná hodnota parametru x.; y (2 + x-y) \u003d 0, y \u003d 0 nebo y \u003d 2 + x;

y \u003d 0. Nesplňuje podmínku y (Y-X)№ 0 .

Odpověď: a) Pokud y \u003d 0. , rovnice ztratí svůj význam; Pokud y.№ 0 T. x \u003d y-2 ; b) pokud. x \u003d 0. x.№ 0 T. y \u003d 2 + x .

Příklad 2.. Na jaké hodnoty parametru kořeny rovnice patří do mezery

D \u003d (3 a. + 2) 2 – 4a.(a. + 1) · 2 \u003d 9 a. 2 + 12a. + 4 – 8a. 2 – 8a.,

D \u003d ( a. + 2) 2 .

Pokud a. № 0 nebo a. № – 1 T.

Odpovědět: 5 .

Příklad 3.. Najít relativně x. Řešení rovnice

Odpovědět. Pokud y \u003d 0. rovnice nedává smysl; Pokud y \u003d -1. T. x. - jakékoli celé číslo než nula; Pokud № 0, №, 1Nemám žádná řešení.

Příklad 4. Rozhodovat rovnice s parametry a. a b. .

Pokud a.№ - B. T.

Odpovědět. Pokud a \u003d.0 nebo b \u003d.0 , rovnice ztratí svůj význam; Pokud a.№ 0, b.№ 0, a \u003d -b T. x. - jakékoli číslo kromě nula; Pokud a.№ 0, b.№ 0, A.№ -B, že x \u003d -A, X \u003d -B .

Příklad 5.. Prokázat, že s libovolnou hodnotou parametru n, liší od nuly, rovnice má jediný kořen - N. .

Rozhodnutí.

tj. x \u003d -N. Podle potřeby prokázat.

Úkol doma.

1. Najděte celá řešení rovnice

2. Na jaké hodnoty parametru c. rovnice Má to:
a) dva kořeny; b) jediný kořen?

3. Najděte všechny celé kořeny rovnice Pokud a.O N. .

4. Rozhodněte se rovnice 3xy - 5x + 5y \u003d 7:a) asi y. ; b) asi x. .

1. Rovnice splňuje všechny celé číslo stejné hodnoty x a y jiná než nula.
2. a) kdy
b) na nebo
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) pokud nejsou kořeny; Pokud
b) pokud neexistují žádné kořeny; Pokud

Test

Možnost 1

1. Určete typ rovnice 7c (C + 3) x 2 + (C-2) X-8 \u003d 0 S) c \u003d -3. ; b) c \u003d 2; v) c \u003d 4. .

2. Rozhodněte se o rovnici: a) x 2-bx \u003d 0; b) cX 2 -6x + 1 \u003d 0 ; v)

3. Rozhodnout o rovnici 3x-XY-2Y \u003d 1:

a) asi x. ;
b) asi y. .

NX 2 - 26x + n \u003d 0, S vědomím, že parametr n trvá pouze celé číslo.

5. Za jakých hodnot B rovnice má to:

a) dva kořeny;
b) jediný kořen?

Možnost 2.

1. Určete typ rovnice 5C (C + 4) x 2 + (C-7) X + 7 \u003d 0 S) C \u003d -4; b) C \u003d 7; v) c \u003d 1. .

2. Rozhodněte se o rovnici: a) Y 2 + CY \u003d 0; b) 2 -8Y + 2 \u003d 0; v)

3. Rozhodnout o rovnici 6x-XY + 2Y \u003d 5:

a) asi x. ;
b) asi y. .

4. Najděte celou kořenovou rovnici nx 2 -22x + 2n \u003d 0, S vědomím, že parametr n trvá pouze celé číslo.

5. Na jaké hodnoty parametru rovnice má to:

a) dva kořeny;
b) jediný kořen?

Odpovědi

V 1. 1. a) lineární rovnice;
b) neúplná čtvercová rovnice; c) čtvercová rovnice.
2. a) pokud b \u003d 0. T. x \u003d 0. ; Pokud b, 0. T. x \u003d 0, x \u003d b;
b) Pokud cO (9; + ґ) , žádné kořeny;
c) pokud. a.=–4 , rovnice ztratí svůj význam; Pokud a.№ –4 T. x \u003d - a. .
3. a) pokud y \u003d 3. , žádné kořeny; Pokud);
b) a.=–3, a.=1.

Další úkoly

Rozhodnout o rovnicích:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.m., Dorofeyev G.v. O parametrech od samého počátku. - učitel, č. 2/1991, p. 3-13.
2. Gronostein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Prerekvizity v úkolech s parametry. - Quant, č. 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeyev G.v., Zatakai v.v. Řešení úkolůobsahující parametry. Část 2. - M., Perspektiva, 1990, s. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Pět set čtrnácti úkolů s parametry. - Volgograd, 1991.
5. Yarstresicky g.a. Úkoly s parametry. - M., osvícení, 1986.

Zlomkové rovnice. Zvláštní

Pozornost!
Toto téma má další
Materiály ve speciální části 555.
Pro ty, kteří jsou silně "ne příliš ..."
A pro ty, kteří jsou "velmi ...")

Pokračujeme v prozkoumání rovnic. Už jsme si vědomi toho, jak pracovat s lineárními rovnicemi a náměstím. Poslední pohled zůstal - zlomkové rovnice. Nebo se také nazývají mnohem silnější - zlomkové racionální rovnice. To je stejné.

Zlomkové rovnice.

Tak jasně z názvu jsou frakce nutně přítomny v těchto rovnicích. Ale ne jen zlomek, a fraraty, kteří mají neznámý v denominator. Alespoň v jednom. Například:

Dovolte mi, abych vám připomněl, pokud jen v denominátorech číslaJedná se o lineární rovnice.

Jak se rozhodnout zlomkové rovnice? Za prvé - zbavit se frakcí! Poté se rovnice nejčastěji obrací na lineární nebo čtverec. A pak víme, co dělat ... v některých případech se může proměnit v identitu, typu 5 \u003d 5 nebo nesprávný výraz typu 7 \u003d 2. Ale jen zřídka se stane. Níže mluvím o tom.

Ale jak se zbavit frakcí!? Velmi jednoduché. Použití všech stejných konverzí totožnosti.

Musíme násobit všechny rovnice pro stejný výraz. Takže všechny denominátory jsou tiché! Vše bude jednodušší. Vysvětlím na příkladu. Potřebujeme vyřešit rovnici:

Jak jste se naučil v juniorských třídách? Nosíme vše v jednom směru, vedeme k společnému jmenovateli atd. Zapomeňte, jak hrozný sen! Takže musíte udělat, když složí nebo odečíst zlomkové výrazy. Nebo práce s nerovností. A v rovnicích okamžitě násobíme obě části na výraz, který nám poskytne příležitost snížit všechny jmenovatele (to je v podstatě na obecném jmenovateli). A co je tento výraz?

V levé části pro snížení jmenovatele je nutné násobení x + 2. . A v pravém požadovaném násobení 2, takže rovnice musí být vynásobena 2 (x + 2). Násobit:

Toto je obvyklé násobení zlomků, ale podrobně napíšu:

Poznámka, stále neodhaluji držák (x + 2)Dokázal se! Takže budu psát úplně:

Na levé straně je zcela snížena (x + 2)a vpravo 2. Co bylo vyžadováno! Po řezání se dostaneme lineární rovnice:

A tato rovnice se již někdo rozhodne! x \u003d 2..

Rozhoduji další příklad, o něco složitější:

Pokud si pamatujete, že 3 \u003d 3/1, a 2x \u003d 2x /1, můžete psát:

A znovu se zbavíme toho, co nemáme rádi - od zlomků.

Vidíme, že snížit denominátor s XA, musíte násobit zlomek (X - 2). A jednotky, které nezasahujeme. Noplnity. Všechno Levá část I. všechno Pravou část:

Nad závorkami (X - 2) Neuvádím. Pracuji s držáku jako celek, jako by to bylo jedno číslo! Takže byste měli vždy dělat, jinak se nic nebude sníženo.

S pocitem hluboké spokojenosti s redukcí (X - 2) A dostáváme rovnici bez zlomků, v Lineska!

Ale teď jsme již odhalili závorky:

Dáváme tyto věci, přenášíme všechno vlevo a dostaneme se:

Ale než se naučíme další úkoly, abychom se rozhodli. Procent. Ti více hrábě, mimochodem!

Pokud se vám líbí tato stránka ...

Mimochodem, mám pro vás další pár zajímavých míst.)

To lze přistupovat k řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitou kontrolou. Naučte se - se zájmem!)

Můžete se seznámit s vlastnostmi a deriváty.

"Rozhodnutí zlomkových racionálních rovnic"

Cíle Lekce:

Vzdělávací:

Tvorba konceptu zlomkové racionální rovnice; zvážit různé způsoby, jak řešit zlomkové racionální rovnice; Zvažte algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic, včetně stavu rovnosti zlomku nuly; Naučte řešení zlomkových racionálních rovnic na algoritmus; Zkontrolujte úroveň asimilace tématu prováděním zkušební práce.

Rozvíjející se:

Rozvoj schopnosti správně provozovat získané znalosti, myslet logicky; Rozvoj intelektuálních dovedností a mentálních operací - analýza, syntéza, srovnání a zobecnění; Rozvoj iniciativy, schopnost rozhodovat, nemusíte přebývat na dosažené; rozvoj kritického myšlení; Vývoj výzkumných dovedností.

Zvyšování:

Úkol

Typ lekce: lekce - vysvětlení nového materiálu.

Během tříd

1. Organizační moment.

Ahoj hoši! Na palubě napsali rovnice. Podívejte se na ně opatrně. Jste schopni vyřešit všechny tyto rovnice? Co ne a proč?

Rovnice, ve kterých levá a pravá část jsou zlomkové racionální výrazy, se nazývají zlomkové racionální rovnice. Co si myslíte, že se dnes večer budeme naučit v lekci? Slovo předmět lekce. Otevřeme notebook a zapíšeme téma lekce "Rozhodnutí zlomkových racionálních rovnic".

2. Aktualizace znalostí. Čelní průzkum, ústní práce s třídou.

A teď budeme opakovat hlavní teoretický materiál, který potřebujete ke studiu nové téma. Odpovězte prosím na následující otázky:

1. Jaká je rovnice? ( Rovnost s proměnnou nebo proměnnou.)

2. Jaký je název rovnice číslo 1? ( Lineární.) Způsob řešení lineárních rovnic. ( Vše s neznámým přenosem do levé části rovnice, všechna čísla mají pravdu. Vytvořit podobné komponenty. Najít neznámý násobič).

3. Jaký je název rovnice číslo 3? ( Náměstí.) Metody řešení čtvercových rovnic. ( Výběr plného náměstí, podle vzorců pomocí Vietské věty a jeho následky.)

4. Jaký je poměr? ( Rovnost dvou vztahů.) Základní podíl vlastností. ( Pokud je podíl pravdivý, pak se produkt jeho extrémních členů rovný výrobku středních členů.)

5. Jaké vlastnosti jsou používány při řešení rovnic? ( 1. Pokud je v rovnici převést termín z jedné části do druhého, změna jeho znaménko, pak rovnocenná rovnocenná. 2. Pokud se obě části rovnice vynásobují nebo rozdělí do jednoho a stejného jiného počtu od nuly, rovnocenná rovnocenná.)

6. Když je frakce nulová? ( Frakce je nulová, když je numerátor nulový, a jmenovatel není nulový.)

3. Vysvětlení nového materiálu.

Řešení v notebookech a na pořadové rovnici číslo 2.

Odpovědět: 10.

Co může být zlomková racionální rovnice pokusit se rozhodnout s využitím základní vlastnosti podílu? (№5).

(X - 2) (X - 4) \u003d (x + 2) (x + 3)

x2-4X-2x + 8 \u003d X2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x \u003d 6-8

Řešení v noteboocích a na pořadové rovnici číslo 4.

Odpovědět: 1,5.

Jaký druh zlomkové racionální rovnice lze pokusit vyřešit, násobí obě části rovnice na jmenovatele? (№6).

D \u003d 1\u003e 0, x1 \u003d 3, x2 \u003d 4.

Odpovědět: 3;4.

Nyní se snažíte vyřešit rovnici číslo 7 v jednom ze způsobů.


(x2-2x-5) x (x-5) \u003d x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -m (x-5) (x + 5) \u003d 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) \u003d 0			x2-2X-5-X-5 \u003d 0
x (x-5) (x2-3x-10) \u003d 0
x \u003d 0 x-5 \u003d 0 x2-3x-10 \u003d 0
x1 \u003d 0 x2 \u003d 5 d \u003d 49

Odpovědět: 0;5;-2.			Odpovědět: 5;-2.

Vysvětlete, proč se to stalo? Proč v jednom případě tři kořeny, v druhé - dva? Jaká čísla jsou kořeny této zlomkové racionální rovnice?

Doposud se studenti nesetkali s konceptem cizího kořene, jsou opravdu velmi obtížné pochopit, proč se to stalo. Pokud nikdo nemůže dát jasné vysvětlení této situace ve třídě, pak učitel zeptá vedoucí otázky.

V rovnicích číslo 2 a 4 v čísle jmenovodu, č. 5-7 - výrazy s proměnnou

Hodnota proměnné, ve které rovnice apeluje na správnou rovnost

Udělat šek

Při kontrole, někteří studenti si všimnou, že se musíte sdílet na nulu. Uzavřují, že čísla 0 a 5 nejsou kořeny této rovnice. Vyvstává otázka: Existuje způsob, jak řešit zlomkové racionální rovnice, což umožňuje vyloučit tuto chybu? Ano, tato metoda je založena na stavu rovnosti frakce nula.

x2-3X-10 \u003d 0, D \u003d 49, X1 \u003d 5, X2 \u003d -2.

Pokud x \u003d 5, x (x-5) \u003d 0, pak 5-cizí kořen.

Pokud x \u003d -2, pak x (x-5) ≠ 0.

Odpovědět: -2.

Pokusme se formulovat algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic této metody. Děti samotné formulují algoritmus.

Algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic:

1. Přeneste vše na levou stranu.

2. Vytvořte frakci pro společný jmenovatel.

3. Proveďte systém: frakce je nulová, když je numerátor nulový, a jmenovatel není nulový.

4. Řešit rovnice.

5. Zkontrolujte nerovnost, abyste odstranili zahraniční kořeny.

6. Zaznamenejte odpověď.

Diskuse: Jak provést řešení, pokud se používá hlavní vlastnost podílu a vynásobení obou částí rovnice na obecném jmenovatele. (Chcete-li přidat rozhodnutí: vyloučit ze svých kořenů, které se otočí v nulovém společném jmenovatele).

4. Primární porozumění novému materiálu.

Pracovat v párech. Studenti si vyberou způsob řešení rovnice v závislosti na typu rovnice. Úkoly z učebnice "Algebra 8", 2007: № 000 (B, B, a); № 000 (A, D, G). Učitel řídí plnění úkolu, reaguje na otázky, které vznikly, pomáhají slabě mluvící studenty. Self-test: Odpovědi jsou napsány na tabuli.

b) 2 - cizí kořen. Odpověď: 3.

c) 2 - cizí kořen. Odpověď: 1.5.

a) Odpověď: -12.5.

g) Odpověď: 1; 1.5.

5. Manipulace s domácími úkoly.

2. Naučit se algoritmus pro řešení zlomkových racionálních rovnic.

3. Vyřešení notebooků № 000 (A, G, D); № 000 (g, h).

4. Pokuste se vyřešit № 000 (a) (volitelné).

6. Proveďte ovládací úlohu na studovaném tématu.

Práce se provádí na listech.

Příklad úkolu:

A) Které rovnice jsou zlomkové racionální?

B) Frakce je nulová, když numerátor ______________________ a jmenovatel _______________________.

C) je číslo -3 kořen rovnice číslo 6?

D) Řešit rovnice číslo 7.

Kritéria hodnocení úkolů:

"5" je umístěn, pokud student splnil více než 90% úkolu. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" je zvýšeno studentem, který dokončil méně než 50% úkolu. Hodnocení 2 Protokoly nejsou uvedeny, 3 - na vůli.

7. Odraz.

Na listech s nezávislou prací, místo:

1 - Pokud jste se zajímali o lekci a srozumitelné; 2 - Zajímavé, ale ne srozumitelné; 3 - Není zajímavé, ale pochopitelné; 4 - Není zajímavé, není jasné.

8. Sčítání lekce.

Dnes v lekci jsme se setkali se zlomkovými racionálními rovnicemi, se naučili, jak tyto rovnice vyřešit různými způsoby, zkontrolovat naše znalosti pomocí výuky nezávislá práce. Výsledky samostatné práce se naučíte v příštích lekci, budete mít možnost konsolidovat získané znalosti.

Jaký způsob řešení zlomkových racionálních rovnic, podle Vašeho názoru je snazší, cenově dostupné, racionální? V závislosti na způsobu řešení zlomkových racionálních rovnic, co mám zapomenout? Jaké je "mazanost" zlomkových racionálních rovnic?

Děkuji vám všem, lekce je u konce.

Rovnice s samotnými frakcemi nejsou obtížné a velmi zajímavé. Zvažte pohledy zlomkové rovnice A jak je vyřešit.

Jak řešit rovnice s frakcemi - X v čitateli

V případě, že je podána zlomková rovnice, kde je neznámý v čitateli, řešení nevyžaduje další podmínky a je vyřešen bez zbytečných problémů. Obecný formulář Taková rovnice je X / A + B \u003d C, kde X je neznámá, A, B a C - běžná čísla.

Najít x: x / 5 + 10 \u003d 70.

Aby bylo možné vyřešit rovnici, musíte se zbavit frakcí. Vynásobte každý člen rovnice o 5: 5x / 5 + 5 × 10 \u003d 70 × 5. 5x a 5 se sníží, 10 a 70 se násobí 5 a získáme: X + 50 \u003d 350 \u003d\u003e X \u003d 350 - 50 \u003d 300.

Najít x: x / 5 + x / 10 \u003d 90.

Tento příklad je mírně komplikovaná verze první. Existují dva možnosti řešení.

Možnost 1: Zbavte se frakcí, násobí všechny členy rovnice pro větší jmenovatel, to znamená, že 10: 10x / 5 + 10x / 10 \u003d 90 × 10 \u003d\u003e 2x + X \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e X \u003d 300.
Možnost 2: Sklopíme levou část rovnice. X / 5 + x / 10 \u003d 90. Společným jmenovatelem - 10. 10 Divide na 5, násobíme na X, dostaneme 2x. 10 Vydělujeme se na 10, násobíme na X, získáme x: 2x + x / 10 \u003d 90. Proto 2x + x \u003d 90 × 10 \u003d 900 \u003d\u003e 3x \u003d 900 \u003d\u003e x \u003d 300.

Často existují zlomkové rovnice, ve kterých jsou Xers umístěny na různých stranách znamení rovné. V takové situaci je nutné přenášet všechny frakce s dutinami v jednom směru a číslo do druhého.

Najít x: 3x / 5 \u003d 130 - 2x / 5.
Nosíme 2x / 5 vpravo s opačným signálem: 3x / 5 + 2x / 5 \u003d 130 \u003d\u003e 5x / 5 \u003d 130.
Snižte 5x / 5 a získejte: X \u003d 130.

Jak vyřešit rovnici s frakcemi - X v denominátoru

Tento typ zlomkových rovnic vyžaduje nahrávání dalších podmínek. Určení těchto podmínek je povinná a nedílnou součástí správného rozhodnutí. Bez jejich připisování je riskujete, protože odpověď (i když je správná), může jednoduše počítat.

Obecná forma zlomkových rovnic, kde X je v denominátoru, má formu: A / X + B \u003d C, kde X je neznámá, A, B, C - běžná čísla. Upozorňujeme, že X není žádné číslo. Například X nemůže být nula, protože není možné rozdělit na 0. To je další podmínka, kterou musíme naznačit. To se nazývá oblast přípustných hodnot, zkratka - OTZ.

Najít x: 15 / x + 18 \u003d 21.

Ihned napište OTZ pro X: X ≠ 0. Nyní, když je uvedena ODB, řešit rovnici podle standardního schématu, zbavit se frakcí. Vynásobte všechny členy rovnice na X. 15x / x + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 + 18x \u003d 21x \u003d\u003e 15 \u003d 3x \u003d\u003e X \u003d 15/3 \u003d 5.

Často jsou rovnice, kde v denominátoru není jen X, ale také nějaká akce s ním, jako je přídavek nebo odčítání.

Najít x: 15 / (x-3) + 18 \u003d 21.

Již víme, že jmenovatel nemůže být nulový, což znamená X-3 ≠ 0. Přenos -3 na pravou stranu, změnou znaménka "-" na "+" a zobrazí se, že x ≠ 3. Otz je uveden.

Řešíme rovnici, vynásobíme vše na X-3: 15 + 18 × (x - 3) \u003d 21 × (x - 3) \u003d\u003e 15 + 18x - 54 \u003d 21x - 63.

Nesmíme se doprava, číslo vlevo: 24 \u003d 3x \u003d\u003e X \u003d 8.

Prezentace a lekce na téma: "Racionální rovnice. Algoritmus a příklady řešení racionálních rovnic"

Další materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte opustit své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Výcvikové příručky a simulátory v internetovém obchodě "Integrál" pro stupeň 8
Příručka pro učebnici Makarycheva yu.n. Příručka pro učebnici Mordkovich A.G.

Seznámení s iracionálními rovnicemi

Kluci, naučili jsme se rozhodnout quadratic Equations.. Matematika však nejsou omezena na ně. Dnes se naučíte řešit racionální rovnice. Koncepce racionálních rovnic je do značné míry podobné pojmu racionální čísla. Pouze kromě čísel nyní máme určitou proměnnou $ x $. A tak se dostaneme výraz, ve kterém jsou přítomny operace přidávání, odčítání, násobení, rozdělení a výstavby celého stupně.

Nechte $ r (x) $ jsou racionální výraz. Takový výraz může být jednoduchý polynom z proměnné $ x $ nebo polynomiálního poměru (operace rozdělení je zavedena jako pro racionální čísla).
Rovnice $ r (x) \u003d 0 $ racionální rovnice.
Každá rovnice typu $ p (x) \u003d q (x) $, kde $ p (x) $ a $ q (x) $ je racionální výrazy, bude také racionální rovnice.

Zvažte příklady řešení racionálních rovnic.

Příklad 1.
Řešení rovnice: $ Frac (5x-3) (x-3) \u003d frac (2x-3) (x) $.

Rozhodnutí.
Přeneseme všechny výrazy na levou stranu: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) \u003d 0 $.
Pokud byly na levé straně rovnice prezentovány konvenční čísla, pak bychom vedli dvě frakce na společný jmenovatel.
Udělejme to a udělat: $ frac ((5x-3) * x) ((x-3) * x) - frac ((2x-3) * (x-3)) ((x-3) * x) \u003d frac (5x ^ 2-3x- (2x ^ 2-6x-3x + 9)) ((x-3) * x) \u003d frac (3x ^ 2 + 6x-9) ((x-3) ) * x) \u003d frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) $.
Získá se rovnice: $ Frac (3 (x ^ 2 + 2x-3)) ((x-3) * x) \u003d 0 $.

Frakce je nula, pak a pouze v případě, že frakce numerátor je nulová, a jmenovatel se liší od nuly. Poté vyberte numerátor na nulu odděleně a najděte kořeny číslovače.
$ 3 (x ^ 2 + 2x-3) \u003d 0 $ nebo $ x ^ 2 + 2x-3 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d Frac (-2 ± SQRT (4-4 * (- 3))) (2) \u003d Frac (-2 ± 4) (2) \u003d 1; -3 $.
Nyní zkontrolujte Denomote Denoter: $ (x-3) * x ≠ $ 0.
Produkt dvou čísel je nula, když je alespoň jedna z těchto čísel nulová. Pak: $ x ≠ 0 $ nebo $ x-3 ≠ 0 $.
$ x ≠ $ 0 nebo $ x ≠ $ 3.
Kořeny získané v čitateli a denominátoru se neshodují. Takže v reakci, píšeme obě kořen numerátoru.
Odpověď: $ x \u003d 1 $ nebo $ x \u003d -3 $.

Je-li najednou jeden z kořenů číslovače s kořenem jmenovatele, měl by být vyloučen. Takové kořeny se nazývají outsiders!

Algoritmus pro řešení racionálních rovnic:

1. Všechny výrazy obsažené v rovnici jsou přeneseny na levou stranu znamení rovné.
2. Změňte tuto část rovnice algebraický fraci.: $ Frac (p (x)) (q (x)) \u003d 0 $.
3. Chcete-li vyrovnat výsledný numerátor na nulu, to znamená, že je vyřešit rovnici $ p (x) \u003d 0 $.
4. Srovnejte jmenovatele na nulu a vyřešte získanou rovnici. Pokud se kořeny jmenovatele shodují s kořeny číslitele, měly by být vyloučeny z odpovědi.

Příklad 2.
Rozhodněte se o rovnici: $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) \u003d frac (6) (x ^ 2-1) $.

Rozhodnutí.
Rozhodl jsem se podle bodů algoritmu.
1. $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) - frac (6) (x ^ 2-1) \u003d 0 $.
2. $ frac (3x) (x - 1) + frac (4) (x + 1) - frac (6) (x ^ 2-1) \u003d frac (3x) (x - 1) + \\ t Frac (4) (x + 1) - frac (6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d frac (3x (x + 1) +4 (x - 1) -6) ((x) -1) (x + 1)) \u003d $ $ \u003d frac (3x ^ 2 + 3x + 4x-4-6) ((x - 1) (x + 1)) \u003d frac (3x ^ 2 + 7x- 10) ((x-1) (x + 1)) $.
$ Frac (3x ^ 2 + 7x-10) ((x - 1) (x + 1)) \u003d 0 $.
3. Srovnáváme numerátor na nulu: $ 3x ^ 2 + 7x-10 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d Frac (-7 ± SQRT (49-4 * 3 * (- 10)) (6) \u003d FRAC (-7 ± 13) (6) \u003d - 3 FRAC (6) \u003d - 3 1) (3); $ 1.
4. Srovnáváme denominátor na nulu:
$ (x - 1) (x + 1) \u003d 0 $.
$ x \u003d 1 $ a $ x \u003d -1 $.
Jeden z kořenů $ X \u003d $ 1 se shodoval s kořenem z numatelátoru, pak to nepíšeme v reakci.
Odpověď: $ x \u003d -1 $.

Je vhodné vyřešit racionální rovnice pomocí metody proměnné výměny. Prokazme to.

Příklad 3.
Řešení rovnice: $ x ^ 4 + 12x ^ 2-64 \u003d 0 $.

Rozhodnutí.
Představujeme náhradu: $ t \u003d x ^ 2 $.
Pak naše rovnice bude mít formu:
$ T ^ 2 + 12t-64 \u003d 0 $ je konvenční čtvercová rovnice.
$ T_ (1,2) \u003d Frac (-12 ± SQRT (12 ^ 2-4 * (- 64))) (2) \u003d Frac (-12 ± 20) (2) \u003d - 16; $ 4.
Představujeme zpětnou výměnu: $ x ^ 2 \u003d 4 $ nebo $ x ^ 2 \u003d -16 $.
Kořeny první rovnice jsou pár čísel $ x \u003d ± 2 $. Druhý - nemá kořeny.
Odpověď: $ x \u003d ± $ 2.

Příklad 4.
Řešení rovnice: $ x ^ 2 + x + 1 \u003d frac (15) (x ^ 2 + x + 3) $.
Rozhodnutí.
Představujeme novou proměnnou: $ t \u003d x ^ 2 + x + 1 $.
Pak rovnice bude mít formulář: $ t \u003d frac (15) (t + 2) $.
Budeme jednat dále na algoritmus.
1. $ t- frac (15) (t + 2) \u003d 0 $.
2. $ frac (t ^ 2 + 2t-15) (t + 2) \u003d 0 $.
3. $ t ^ 2 + 2t-15 \u003d 0 $.
$ T_ (1,2) \u003d Frac (-2 ± SQRT (4-4 * (- 15)) (2) \u003d Frac (-2 ± SQRT (64)) (2) \u003d FRAC (2) \u003d -2 ± 8) (2) \u003d - 5; $ 3.
4. $ t ≠ -2 $ - kořeny neodpovídají.
Zavedeme zpětnou výměnu.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d -5 $.
$ x ^ 2 + x + 1 \u003d $ 3.
Nechte každou rovnici samostatně:
$ x ^ 2 + x + 6 \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d Frac (-1 ± SQRT (1-4 * (- 6)) (2) \u003d Frac (-1 ± SQRT (-23)) (2) $ - Ne kořeny.
A druhá rovnice: $ x ^ 2 + x-2 \u003d 0 $.
Kořeny této rovnice budou čísla $ x \u003d -2 $ a $ x \u003d 1 $.
Odpověď: $ x \u003d -2 $ a $ x \u003d 1 $.

Příklad 5.
Řešení rovnice: $ x ^ 2 + frac (1) (x ^ 2) + x + frac (1) (x) \u003d $ 4.

Rozhodnutí.
Představujeme výměnu: $ t \u003d x + frac (1) (x) $.
Pak:
$ T ^ 2 \u003d x ^ 2 + 2 + frac (1) (x ^ 2) $ nebo $ x ^ 2 + frac (1) (x ^ 2) \u003d t ^ 2-2 $.
Přijatá rovnice: $ t ^ 2-2 + t \u003d $ 4.
$ t ^ 2 + t-6 \u003d 0 $.
Kořeny této rovnice je pár:
$ T \u003d -3 $ a $ t \u003d $ 2.
Představujeme zpětnou výměnu:
$ X + frac (1) (x) \u003d - $ 3.
$ x + frac (1) (x) \u003d $ 2.
Rozhodneme se samostatně.
$ X + frac (1) (x) + 3 \u003d 0 $.
$ Frac (x ^ 2 + 3x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ X_ (1,2) \u003d Frac (-3 ± SQRT (9-4)) (2) \u003d FRAC (-3 ± SQRT (5)) (2) $.
Řešení druhé rovnice:
$ X + frac (1) (x) -2 \u003d 0 $.
$ Frac (x ^ 2-2x + 1) (x) \u003d 0 $.
$ Frac ((x-1) ^ 2) (x) \u003d 0 $.
Kořen této rovnice je číslo $ X \u003d 1 $.
Odpověď: $ x \u003d frac (-3 ± sqrt (5)) (2) $, $ x \u003d 1 $.

Úkoly pro vlastní řešení

Řešit rovnice:

1. $ frac (3x + 2) (x) \u003d frac (2x + 3) (x + 2) $.

2. $ frac (5x) (x + 2) - frac (20) (x ^ 2 + 2x) \u003d frac (4) (x) $.
3. $ x ^ 4-7x ^ 2-18 \u003d 0 $.
4. $ 2x ^ 2 + x + 2 \u003d frac (8) (2x ^ 2 + x + 4) $.
5. $ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) \u003d $ 3.