Elemente der Kontinuumsmechanik. Elemente der Kontinuumsmechanik Laminare und turbulente Strömungen

7.1. Allgemeine Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen. Kinematische Beschreibung der Flüssigkeitsbewegung. Vektorfelder. Strömung und Zirkulation eines Vektorfeldes. Stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit. Stromleitungen und Röhren. Bewegungsgleichungen und Gleichgewicht einer Flüssigkeit. Kontinuitätsgleichung für inkompressibles Fluid

Die Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich der Untersuchung der Bewegung und des Gleichgewichts von Gasen, Flüssigkeiten, Plasma und verformbaren Festkörpern widmet. Die Hauptannahme der Kontinuumsmechanik ist, dass Materie unter Vernachlässigung ihrer molekularen (atomaren) Struktur als kontinuierliches Medium betrachtet werden kann und gleichzeitig die Verteilung all ihrer Eigenschaften (Dichte, Spannungen, Teilchengeschwindigkeiten) im Medium als kontinuierlich angesehen werden.

Eine Flüssigkeit ist ein Stoff in kondensiertem Zustand, der zwischen fest und gasförmig liegt. Der Existenzbereich einer Flüssigkeit wird von der Seite der niedrigen Temperaturen durch einen Phasenübergang in einen festen Zustand (Kristallisation) und von der Seite der hohen Temperaturen in einen gasförmigen Zustand (Verdampfung) begrenzt. Bei der Untersuchung der Eigenschaften eines kontinuierlichen Mediums wird das Medium selbst als aus Partikeln bestehend dargestellt, deren Größe viel größer ist als die Größe von Molekülen. Somit enthält jedes Teilchen eine riesige Anzahl von Molekülen.

Um die Bewegung einer Flüssigkeit zu beschreiben, können Sie die Position jedes Flüssigkeitspartikels als Funktion der Zeit definieren. Diese Art der Beschreibung wurde von Lagrange entwickelt. Aber man kann nicht den Teilchen einer Flüssigkeit folgen, sondern für einzelne Punkte im Raum, und die Geschwindigkeit notieren, mit der einzelne Teilchen der Flüssigkeit jeden Punkt passieren. Der zweite Weg wird Euler-Verfahren genannt.

Der Zustand der Flüssigkeitsbewegung kann bestimmt werden, indem für jeden Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor als Funktion der Zeit angegeben wird.

Die für alle Punkte im Raum angegebene Vektormenge bildet das Feld des Geschwindigkeitsvektors, der wie folgt dargestellt werden kann. Zeichnen wir Linien in eine sich bewegende Flüssigkeit, so dass die Tangente an jedem Punkt in Richtung des Vektors übereinstimmt (Abbildung 7.1). Diese Linien werden Stromlinien genannt. Wir vereinbaren, Stromlinien so zu zeichnen, dass ihre Dichte (das Verhältnis der Anzahl der Linien zur Größe der Fläche senkrecht zu ihnen, durch die sie verlaufen) proportional zur Größe der Geschwindigkeit an einem bestimmten Ort ist. Dann wird es möglich sein, anhand des Stromlinienmusters nicht nur die Richtung, sondern auch die Größe des Vektors an verschiedenen Punkten im Raum zu beurteilen: Wo die Geschwindigkeit größer ist, werden die Stromlinien dichter.

Die Anzahl der Stromlinien, die durch das Gelände senkrecht zu den Stromlinien verlaufen, ist gleich, wenn das Gelände willkürlich zu den Stromlinien ausgerichtet ist, ist die Anzahl der Stromlinien der Winkel zwischen der Richtung des Vektors und der Normalen zum Gelände. Die Notation wird oft verwendet. Die Anzahl der Stromlinien durch einen Bereich endlicher Dimensionen wird durch das Integral bestimmt:. Ein solches Integral wird als Vektorfluss durch die Plattform bezeichnet.

Größe und Richtung des Vektors ändern sich mit der Zeit, daher bleibt das Muster der Linien nicht konstant. Wenn an jedem Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor in Betrag und Richtung konstant bleibt, dann wird die Strömung als stationär oder stationär bezeichnet. In einer stationären Strömung passiert jedes flüssige Teilchen einen bestimmten Punkt im Raum mit der gleichen Geschwindigkeit. Das Stromlinienmuster ändert sich in diesem Fall nicht und die Stromlinien stimmen mit den Flugbahnen der Partikel überein.

Der Fluss eines Vektors durch eine bestimmte Oberfläche und die Zirkulation des Vektors entlang einer bestimmten Kontur ermöglichen es, die Natur des Vektorfeldes zu beurteilen. Diese Werte geben jedoch eine durchschnittliche Charakteristik des Feldes innerhalb des von der Oberfläche eingeschlossenen Volumens, durch das die Strömung bestimmt wird, oder in der Nähe der Kontur, entlang der die Zirkulation durchgeführt wird. Durch Verkleinern der Fläche oder Kontur (indem Sie sie zu einem Punkt ziehen) können Sie Werte ermitteln, die das Vektorfeld an einem bestimmten Punkt charakterisieren.

Betrachten Sie das Feld des Geschwindigkeitsvektors einer inkompressiblen kontinuierlichen Flüssigkeit. Die Strömung des Geschwindigkeitsvektors durch eine Oberfläche ist gleich dem Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch diese Oberfläche fließt. Konstruieren wir eine imaginäre geschlossene Fläche S in der Nähe des Punktes P (Abb. 7.2). Wenn in dem durch die Oberfläche begrenzten Volumen V keine Flüssigkeit entsteht und nicht verschwindet, ist die Strömung nach außen durch die Oberfläche gleich Null. Eine Durchflussdifferenz von Null zeigt an, dass es innerhalb der Oberfläche Flüssigkeitsquellen oder -senken gibt, dh Punkte, an denen Flüssigkeit in das Volumen eintritt (Quellen) oder aus dem Volumen entfernt wird (Senken).Der Durchfluss bestimmt die Gesamtleistung der Quellen und sinkt. Bei einer Vorherrschaft von Quellen gegenüber Abwässern ist der Fluss positiv, bei einer Vorherrschaft von Abwässern - negativ.

Der Quotient aus der Division des Flusses durch das Volumen, aus dem der Fluss ausströmt, ist die durchschnittliche spezifische Leistung der im Volumen V eingeschlossenen Quellen. Je kleiner das Volumen V, das den Punkt P einschließt, desto näher liegt dieser Mittelwert an der wahren spezifischen Leistung bei dieser Punkt. Im Limit bei, d.h. Wenn wir das Volumen auf einen Punkt zusammenziehen, erhalten wir die wahre spezifische Leistung der Quellen am Punkt P, die Divergenz (Divergenz) des Vektors:. Der resultierende Ausdruck ist für jeden Vektor gültig. Die Integration erfolgt über eine geschlossene Fläche S, die das Volumen V umgrenzt. Die Divergenz wird durch das Verhalten einer Vektorfunktion in der Nähe des Punktes P bestimmt. Divergenz ist eine skalare Funktion von Koordinaten, die die Position des Punktes P im Raum bestimmen.

Suchen wir einen Ausdruck für die Divergenz im kartesischen Koordinatensystem. Betrachten Sie in der Nähe des Punktes P (x, y, z) ein kleines Volumen in Form eines Parallelepipeds mit Kanten parallel zu den Koordinatenachsen (Abbildung 7.3). Angesichts der Kleinheit des Volumens (wir werden gegen Null tendieren) können die Werte innerhalb jeder der sechs Seiten des Parallelepipeds als unverändert angesehen werden. Die Strömung über die gesamte umschlossene Fläche wird aus Strömungen gebildet, die jede der sechs Seiten separat durchströmen.

Finden wir die Strömung durch ein Flächenpaar senkrecht zum Anschlag X in Abb. 7.3 Flächen 1 und 2). Die äußere Normale auf Fläche 2 fällt mit der Richtung der X-Achse zusammen. Daher ist die Strömung durch Fläche 2 gleich. Die Normale hat eine Richtung entgegengesetzt zur X-Achse. Die Projektionen des Vektors auf die X-Achse und auf die Normale haben entgegengesetzte Vorzeichen, und die Strömung durch Fläche 1 ist gleich. Der Gesamtfluss in X-Richtung beträgt. Die Differenz ist das Inkrement beim Versatz entlang der X-Achse um. Aufgrund seiner Kleinheit kann dieses Inkrement im Formular dargestellt werden. Dann bekommen wir. In ähnlicher Weise sind die Flüsse durch Flächenpaare senkrecht zu den Y- und Z-Achsen gleich und. Voller Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche. Wenn wir diesen Ausdruck durch dividieren, finden wir die Vektordivergenz im Punkt P:

Wenn man die Divergenz des Vektors an jedem Punkt im Raum kennt, ist es möglich, den Fluss dieses Vektors durch jede Oberfläche endlicher Dimensionen zu berechnen. Dazu zerlegen wir das von der Fläche S begrenzte Volumen in unendlich viele infinitesimale Elemente (Abbildung 7.4).

Für jedes Element ist der Fluss eines Vektors durch die Oberfläche dieses Elements. Über alle Elemente summiert, erhält man die Strömung durch die Fläche S, die das Volumen V begrenzt:, die Integration erfolgt auf das Volumen V, oder

Dies ist der Satz von Ostrogradsky-Gauss. Hier ist der Einheitsnormalenvektor zur Oberfläche dS an diesem Punkt.

Kehren wir zum Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit zurück. Lassen Sie uns eine Kontur erstellen. Stellen Sie sich vor, dass wir die Flüssigkeit irgendwie sofort im gesamten Volumen einfrieren, mit Ausnahme eines sehr dünnen geschlossenen Kanals mit konstantem Querschnitt, der eine Kontur enthält (Abbildung 7.5). Je nach Art der Strömung ist die Flüssigkeit im gebildeten Kanal entweder stationär oder bewegt sich (zirkulierend) entlang der Kontur in eine der möglichen Richtungen. Als Maß für diese Bewegung wird ein Wert gewählt, der gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit des Fluids im Kanal und der Länge des Kreislaufs ist. Dieser Wert wird als Umlauf des Vektors entlang der Kontur bezeichnet (da der Kanal einen konstanten Querschnitt hat und sich das Geschwindigkeitsmodul nicht ändert). Im Moment der Erstarrung der Wände wird für jedes Flüssigkeitsteilchen im Kanal die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand ausgelöscht, und es bleibt nur die Komponente tangential zur Kontur übrig. Dieser Komponente ist ein Impuls zugeordnet, dessen Modul für ein Flüssigkeitsteilchen, das in einem Kanalabschnitt mit einer Länge eingeschlossen ist, gleich ist, wobei die Flüssigkeitsdichte der Kanalabschnitt ist. Die Flüssigkeit ist ideal - es gibt keine Reibung, daher kann die Wirkung der Wände nur die Richtung ändern, ihr Wert bleibt konstant. Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen der Flüssigkeit bewirkt eine solche Impulsumverteilung zwischen ihnen, die die Geschwindigkeiten aller Teilchen ausgleicht. In diesem Fall bleibt die algebraische Impulssumme erhalten, daher ist die Umlaufgeschwindigkeit die Tangentialkomponente der Fluidgeschwindigkeit im Volumen zum Zeitpunkt vor der Erstarrung der Wände. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir.

Die Zirkulation charakterisiert die Eigenschaften des Feldes, gemittelt über einen Bereich mit Abmessungen in der Größenordnung des Konturdurchmessers. Um eine Charakteristik des Feldes am Punkt P zu erhalten, ist es notwendig, die Abmessungen der Kontur zu reduzieren und sie auf Punkt P zusammenzuziehen. In diesem Fall ist die Grenze des Verhältnisses der Zirkulation des Vektors entlang einer flachen Kontur zu Punkt P zum Wert der Ebene der Kontur S wird als Charakteristik des Feldes genommen:. Der Wert dieser Grenze hängt nicht nur von den Eigenschaften des Feldes am Punkt P ab, sondern auch von der Orientierung der Kontur im Raum, die durch die Richtung der positiven Normalen auf die Konturebene (die zugehörige Normale) mit der Richtung des Überfahrens der Kontur nach der Regel der rechten Schraube gilt als positiv). Wenn wir diese Grenze für verschiedene Richtungen bestimmen, erhalten wir unterschiedliche Werte, und für die entgegengesetzten Normalrichtungen unterscheiden sich diese Werte im Vorzeichen. Für eine Richtung der Normalen ist der Grenzwert maximal. Somit verhält sich der Wert der Grenze wie eine Projektion eines Vektors auf die Richtung der Normalen auf die Ebene der Kontur, entlang derer die Zirkulation genommen wird. Der Maximalwert der Grenze bestimmt den Modul dieses Vektors, und die Richtung der positiven Normalen, bei der das Maximum erreicht wird, gibt die Richtung des Vektors an. Dieser Vektor wird Rotor oder Wirbel des Vektors genannt:.

Um die Projektion des Rotors auf die Achse des kartesischen Koordinatensystems zu finden, müssen die Grenzwerte für solche Standortorientierungen S bestimmt werden, bei denen die Normale zum Standort mit einer der X-, Y-, Z-Achsen übereinstimmt . Wenn zum Beispiel entlang der X-Achse zu richten ist, werden wir finden. Die Kontur liegt in diesem Fall in einer Ebene parallel zu YZ, wir nehmen eine Kontur in Form eines Rechtecks ​​mit Seiten und. Bei Werten und auf jeder der vier Seiten kann die Kontur als unverändert betrachtet werden. Abschnitt 1 der Kontur (Abbildung 7.6) ist der Z-Achse entgegengesetzt, daher fällt er in diesem Abschnitt mit Abschnitt 2, Abschnitt 3, Abschnitt 4 zusammen. Für die Zirkulation entlang dieser Strecke erhalten wir den Wert:. Die Differenz ist das Inkrement beim Versatz entlang Y um. Aufgrund seiner geringen Größe lässt sich dieses Inkrement in der Form darstellen, ebenso die Differenz. Dann die Zirkulation entlang der betrachteten Kontur,

wo ist der bereich der kontur. Teilen wir die Zirkulation durch, so erhalten wir die Projektion des Rotors auf der X-Achse:. Ähnlich,,. Dann wird der Rotor des Vektors durch den Ausdruck bestimmt: +,

Wenn man den Rotor des Vektors an jedem Punkt einer Fläche S kennt, ist es möglich, die Zirkulation dieses Vektors entlang der die Fläche S begrenzenden Kontur zu berechnen. Dazu teilen wir die Fläche in sehr kleine Elemente auf (Abbildung 7.7). Die Zirkulation entlang der Begrenzungskontur ist die positive Normale zum Element. Wenn wir diese Ausdrücke über die gesamte Fläche S aufsummieren und den Ausdruck für die Zirkulation einsetzen, erhalten wir. Dies ist der Satz von Stokes.

Der von den Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit wird als Stromrohr bezeichnet. Der Vektor, der an jedem Punkt tangential zur Stromlinie liegt, wird tangential zur Oberfläche des Stromrohres sein, und die Fluidteilchen durchqueren die Wände des Stromrohres nicht.

Betrachten Sie den Querschnitt der Stromröhre S (Abbildung 7.8.), senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen an allen Punkten dieses Abschnitts gleich ist. Mit der Zeit passieren alle Teilchen, deren Abstand im Anfangsmoment den Wert nicht überschreitet, den Querschnitt S. Folglich passiert ein Flüssigkeitsvolumen gleich durch den Abschnitt S in der Zeit und ein Flüssigkeitsvolumen gleich durch den Abschnitt S in einer Zeiteinheit Wir nehmen an, dass das Strahlrohr so ​​dünn ist, dass die Geschwindigkeit der Teilchen in jedem Abschnitt kann als konstant angesehen werden. Ist die Flüssigkeit inkompressibel (d.h. ihre Dichte ist überall gleich und ändert sich nicht), dann bleibt die Flüssigkeitsmenge zwischen den Abschnitten und (Abb. 7.9.) unverändert. Dann fließen die Flüssigkeitsmengen pro Zeiteinheit durch die Abschnitte und müssen gleich sein:

Daher muss bei einem inkompressiblen Fluid der Wert in jedem Abschnitt desselben Durchflussrohrs gleich sein:

Diese Aussage wird Jetkontinuitätssatz genannt.

Die Bewegung einer idealen Flüssigkeit wird durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben:

wobei t die Zeit ist, x, y, z die Koordinaten des Flüssigkeitsteilchens sind, die Projektionen der Körperkraft sind, p der Druck ist und ρ die Dichte des Mediums ist. Diese Gleichung erlaubt es, die Projektionen der Geschwindigkeit eines Teilchens des Mediums als Funktion von Koordinaten und Zeit zu bestimmen. Um das System zu schließen, wird die Kontinuitätsgleichung zur Navier-Stokes-Gleichung hinzugefügt, die eine Folge des Jet-Kontinuitätssatzes ist:

Um diese Gleichungen zu integrieren, müssen die Anfangs- (wenn die Bewegung nicht stationär ist) und die Randbedingungen festgelegt werden.

7.2. Der Druck in der strömenden Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung und ihre Konsequenzen

Betrachtet man die Bewegung von Fluiden, kann in manchen Fällen davon ausgegangen werden, dass die Bewegung einiger Fluide relativ zu anderen nicht mit dem Auftreten von Reibungskräften verbunden ist. Eine Flüssigkeit ohne innere Reibung (Viskosität) wird als ideal bezeichnet.

Wählen wir ein Strömungsrohr mit kleinem Querschnitt in einem stationären strömenden idealen Fluid (Abb. 7.10). Betrachten wir das Volumen der Flüssigkeit, das durch die Wände des Stromrohrs und die Abschnitte senkrecht zu den Stromlinien begrenzt wird. Während der Zeit bewegt sich dieses Volumen entlang des Stromrohrs, und das Profil bewegt sich in die Position, die den Weg passiert hat , bewegt sich der Abschnitt an die Position, nachdem er den Pfad passiert hat.Aufgrund der Kontinuität des Strahls haben die schattierten Volumina den gleichen Wert:

Die Energie jedes Teilchens der Flüssigkeit ist gleich der Summe seiner kinetischen Energie und seines Potentials im Schwerkraftfeld. Aufgrund der Stationarität der Strömung hat ein Teilchen, das sich nach einiger Zeit an einem der Punkte des nicht verschatteten Teils des betrachteten Volumens befindet (z. B. Punkt O in Abb. 7.10), die gleiche Geschwindigkeit (und die gleiche kinetische Energie) als das Teilchen, das sich zum Anfangszeitpunkt an derselben Stelle befand. Daher ist die Zunahme der Energie des gesamten betrachteten Volumens gleich der Differenz der Energien der schattierten Volumen und.

In einem idealen Fluid gibt es keine Reibungskräfte, daher ist der Energiezuwachs (7.1) gleich der durch die Druckkräfte am zugewiesenen Volumen geleisteten Arbeit. Die Druckkräfte auf die Seitenfläche stehen an jedem Punkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Partikel und verrichten keine Arbeit. Die auf die Abschnitte aufgebrachte Kraftarbeit ist gleich

Mit (7.1) und (7.2) erhalten wir

Da die Abschnitte und willkürlich genommen wurden, kann argumentiert werden, dass der Ausdruck in jedem Abschnitt der Stromröhre konstant bleibt, d.h. in einem stationären strömenden idealen Fluid entlang einer Stromlinie die Bedingung

Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Für eine horizontale Stromlinie hat Gleichung (7.3) die Form:

7.3 FLÜSSIGKEITSENTLEERUNG AUS DEM LOCH

Wenden wir die Bernoulli-Gleichung auf den Fall eines Flüssigkeitsausflusses aus einem kleinen Loch in einem weit offenen Gefäß an. Wählen wir ein Strömungsrohr in der Flüssigkeit, dessen oberer Abschnitt auf der Flüssigkeitsoberfläche liegt und der untere mit dem Loch übereinstimmt (Abb. 7.11). In jedem dieser Abschnitte können die Geschwindigkeit und Höhe über einem bestimmten Anfangsniveau als gleich angesehen werden, die Drücke in beiden Abschnitten sind gleich dem atmosphärischen und auch gleich, die Bewegungsgeschwindigkeit der offenen Oberfläche wird als gleich Null betrachtet. Dann nimmt Gleichung (7.3) die Form an:

Impuls

7.4 Viskose Flüssigkeit. Innere Reibungskräfte

Eine ideale Flüssigkeit, d.h. Flüssigkeit ohne Reibung ist eine Abstraktion. Alle realen Flüssigkeiten und Gase haben mehr oder weniger Viskosität oder innere Reibung.

Die Viskosität äußert sich darin, dass die Bewegung, die in einer Flüssigkeit oder einem Gas entstanden ist, nach Beendigung der Wirkung der Kräfte, die sie verursacht haben, allmählich aufhört.

Betrachten Sie zwei parallele Platten in einer Flüssigkeit (Abbildung 7.12). Die linearen Abmessungen der Platten sind viel größer als der Abstand zwischen ihnen. D... Die Bodenplatte wird in Position gehalten, die obere Platte wird relativ zum Boden mit etwas verschoben

Geschwindigkeit. Es wurde experimentell nachgewiesen, dass zur Bewegung der oberen Platte mit konstanter Geschwindigkeit eine ganz bestimmte Kraft konstanter Größe auf sie einwirken muss. Die Platte erhält keine Beschleunigung, daher wird die Wirkung dieser Kraft durch eine Kraft in ihrer Größe ausgeglichen, die die Reibungskraft ist, die auf die Platte wirkt, wenn sie sich in einer Flüssigkeit bewegt. Bezeichnen wir es, und ein Teil der unter der Ebene liegenden Flüssigkeit wirkt auf einen oberhalb der Ebene liegenden Teil der Flüssigkeit mit einer Kraft. Außerdem und werden durch Formel (7.4) bestimmt. Somit drückt diese Formel die Kraft zwischen den sich berührenden Flüssigkeitsschichten aus.

Es wurde experimentell nachgewiesen, dass sich die Geschwindigkeit von Flüssigkeitsteilchen in z-Richtung senkrecht zu den Platten ändert (Abbildung 7.6) nach dem linearen Gesetz

Flüssigkeitspartikel in direktem Kontakt mit den Platten scheinen an ihnen zu haften und haben die gleiche Geschwindigkeit wie die Platten selbst. Aus Formel (7.5) erhalten wir

Das Vorzeichen in dieser Formel wird aus folgendem Grund gesetzt. Wenn die Bewegungsrichtung geändert wird, ändert die Ableitung der Geschwindigkeit das Vorzeichen, während das Verhältnis immer positiv ist. Angesichts des Obigen nimmt der Ausdruck (7.4) die Form

Die Viskositätseinheit mit SI ist die Viskosität, bei der der Geschwindigkeitsgradient mit dem Modul zum Auftreten einer inneren Reibungskraft von 1 N pro 1 m der Kontaktfläche der Schichten führt. Diese Einheit heißt Pascal - Sekunde (Pa · s).

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Planen

1. Elemente der Kontinuumsmechanik. Stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung.

2. Elastische Spannungen. Hookes Gesetz.

Zusammenfassungen

1. Das Volumen des Gases wird durch das Volumen des Gefäßes bestimmt, das das Gas einnimmt. In Flüssigkeiten bleibt der durchschnittliche Abstand zwischen den Molekülen im Gegensatz zu Gasen praktisch konstant, daher die Flüssigkeit hat ein nahezu unverändertes Volumen. In der Mechanik werden Flüssigkeiten und Gase mit hoher Genauigkeit als kontinuierlich und kontinuierlich in dem von ihnen eingenommenen Raum verteilt betrachtet. Die Dichte der Flüssigkeit hängt wenig vom Druck ab. Die Dichte von Gasen hängt stark vom Druck ab. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Kompressibilität einer Flüssigkeit und eines Gases bei vielen Problemen vernachlässigt werden kann und das einheitliche Konzept einer inkompressiblen Flüssigkeit verwendet werden kann, deren Dichte überall gleich ist und sich mit der Zeit nicht ändert. Ideale Flüssigkeit - physische Abstraktion, das heißt, eine imaginäre Flüssigkeit, in der es keine inneren Reibungskräfte gibt. Ein ideales Fluid ist ein imaginäres Fluid, in dem keine inneren Reibungskräfte vorhanden sind und dem ein viskoses Fluid gegenübersteht. Die physikalische Größe, die durch die auf die Flüssigkeitsseite wirkende Normalkraft pro Flächeneinheit bestimmt wird, heißt Druck R Flüssigkeiten... Die Druckeinheit ist Pascal (Pa): 1 Pa ist gleich dem Druck, der durch eine Kraft von 1 N erzeugt wird, gleichmäßig über eine dazu senkrechte Fläche mit einer Fläche von 1 m 2 (1 Pa = 1 N / m .) verteilt 2). Der Druck an jeder Stelle der ruhenden Flüssigkeit ist in alle Richtungen gleich, und der Druck wird gleichmäßig über das gesamte von der ruhenden Flüssigkeit eingenommene Volumen übertragen.

Druck ändert sich linear mit der Höhe... Druck P = rgh hydrostatisch genannt. Die Druckkraft auf die unteren Flüssigkeitsschichten ist größer als auf die oberen, daher wirkt auf den in die Flüssigkeit eingetauchten Körper eine Auftriebskraft, bestimmt Gesetz des Archimedes: auf einen Körper, der in eine Flüssigkeit (Gas) eingetaucht ist, wirkt von dieser Flüssigkeit eine Auftriebskraft, die dem Gewicht der Flüssigkeit (Gas) entspricht, die vom Körper verdrängt wird, wobei r die Dichte der Flüssigkeit ist, V- das in die Flüssigkeit eingetauchte Körpervolumen.

Die Bewegung von Flüssigkeiten wird als Strömung bezeichnet, und die Ansammlung von Partikeln einer sich bewegenden Flüssigkeit wird als Strömung bezeichnet. Grafisch wird die Bewegung von Fluiden durch Stromlinien dargestellt, die so gezeichnet werden, dass die Tangenten an sie in Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor des Fluids an den entsprechenden Raumpunkten übereinstimmen (Abb. 45). Durch das Muster der Stromlinien kann man die Richtung und das Modul der Geschwindigkeit an verschiedenen Punkten im Raum beurteilen, d. h. der Zustand der Flüssigkeitsbewegung kann bestimmt werden. Der von den Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit wird als Stromrohr bezeichnet. Die Strömung einer Flüssigkeit wird als stationär (oder stationär) bezeichnet, wenn sich Form und Lage der Stromlinien sowie die Werte der Geschwindigkeiten an jedem ihrer Punkte im Laufe der Zeit nicht ändern.

Betrachten Sie eine Stromröhre. Wählen wir zwei seiner Abschnitte S 1 und S 2 , senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung (Abb. 46). Wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist (r = const), dann durch den Schnitt S 2 wird in 1 s das gleiche Flüssigkeitsvolumen wie durch den Abschnitt passieren S 1, d.h. Das Produkt aus der Strömungsgeschwindigkeit eines inkompressiblen Fluids und dem Querschnitt des Strömungsrohres ist für ein gegebenes Strömungsrohr ein konstanter Wert. Das Verhältnis wird Kontinuitätsgleichung für eine inkompressible Flüssigkeit genannt. - Bernoulli-Gleichung - Ausdruck des Energieerhaltungssatzes, angewendet auf den stetigen Fluss einer idealen Flüssigkeit (hier p- statischer Druck (Druck der Flüssigkeit auf der Oberfläche des umströmten Körpers), Wert - dynamischer Druck, - hydrostatischer Druck). Für ein horizontales Strömungsrohr wird die Bernoulli-Gleichung geschrieben als , wo linke Seite Totaldruck genannt. Toricellis Formel lautet:

Viskosität ist die Eigenschaft realer Flüssigkeiten, der Bewegung eines Teils der Flüssigkeit relativ zu einem anderen zu widerstehen. Wenn sich einige Schichten einer realen Flüssigkeit relativ zu anderen bewegen, entstehen innere Reibungskräfte, die tangential zur Oberfläche der Schichten gerichtet sind. Die Kraft der inneren Reibung F ist umso größer, je größer die betrachtete Oberfläche der Schicht S ist, und hängt davon ab, wie schnell sich die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit beim Übergang von Schicht zu Schicht ändert. Der Dv/Dx-Wert zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit beim Durchlaufen von Schicht zu Schicht in Richtung . ändert NS, senkrecht zur Bewegungsrichtung der Schichten und wird als Geschwindigkeitsgradient bezeichnet. Auf diese Weise, innerer Reibungskraftmodul gleich ist, wobei der Proportionalitätskoeffizient h , abhängig von der Art des Fluids wird als dynamische Viskosität (oder einfach Viskosität) bezeichnet. Viskositätseinheit- Pascal-Sekunde (Pa s) (1 Pa s = 1 N s / m 2). Je höher die Viskosität, desto mehr weicht die Flüssigkeit vom Ideal ab, desto stärker treten in ihr innere Reibungskräfte auf. Die Viskosität hängt von der Temperatur ab, und die Art dieser Abhängigkeit für Flüssigkeiten und Gase ist unterschiedlich (bei Flüssigkeiten nimmt sie mit steigender Temperatur ab, bei Gasen hingegen nimmt sie zu), was auf einen Unterschied in den Mechanismen der inneren Reibung hindeutet. Die Viskosität von Ölen hängt besonders stark von der Temperatur ab. Methoden zur Bestimmung der Viskosität:

1) Stokes-Formel ; 2) Poiseuilles Formel

2. Eine Verformung wird als elastisch bezeichnet, wenn der Körper nach Beendigung der Einwirkung äußerer Kräfte seine ursprüngliche Größe und Form annimmt. Verformungen, die nach Wegfall äußerer Kräfte im Körper bestehen bleiben, werden als plastisch bezeichnet. Die Kraft pro Querschnittsflächeneinheit wird als Spannung bezeichnet und in Pascal gemessen. Ein quantitatives Maß, das den Verformungsgrad eines Körpers charakterisiert, ist seine relative Verformung. Die relative Längenänderung des Stabes (Längsverformung), die relative Querspannung (Druck), wobei D - Stabdurchmesser. Verformungen e und e " haben immer unterschiedliche Vorzeichen, wobei m je nach Materialeigenschaften ein positiver Faktor ist, die sogenannte Poissonzahl.

Robert Hooke hat experimentell festgestellt, dass bei kleinen Verformungen die Dehnung e und die Spannung s direkt proportional zueinander sind: wobei der Proportionalitätskoeffizient E- Elastizitätsmodul.

Der Elastizitätsmodul wird durch die Spannung bestimmt, die eine Einheitsdehnung verursacht. Dann Hookes Gesetz kann man so schreiben , wo k- Elastizitätskoeffizient: die Dehnung des Stabes bei elastischer Verformung ist proportional zur auf den Stab wirkenden Kraft. Potentielle Energie eines elastisch gedehnten (komprimierten) Stabes Verformungen von Festkörpern gehorchen dem Hookeschen Gesetz nur für elastische Verformungen. Der Zusammenhang zwischen Dehnung und Spannung wird dargestellt als Spannungsdiagramme(Abb. 35). Die Abbildung zeigt, dass die von Hooke aufgestellte lineare Abhängigkeit s (e) nur in sehr engen Grenzen bis zur sogenannten Proportionalitätsgrenze (s p) erfüllt ist. Bei weiterer Spannungserhöhung ist die Verformung noch elastisch (allerdings ist die Abhängigkeit s (e) nicht mehr linear) und es entstehen keine Restverformungen bis zur Elastizitätsgrenze (s y). Über die Elastizitätsgrenze hinaus treten im Körper Restverformungen auf, und die Kurve, die die Rückkehr des Körpers in seinen ursprünglichen Zustand nach Beendigung der Krafteinwirkung beschreibt, wird nicht als Kurve dargestellt In und parallel dazu - CF. Die Spannung, bei der eine merkliche bleibende Verformung auftritt (~ = 0,2%) wird als Streckgrenze (s t) bezeichnet - Punkt MIT auf der Kurve. Im Gebiet CD die Verformung nimmt zu, ohne die Spannung zu erhöhen, dh der Körper "fließt" sozusagen. Dieser Bereich wird als Fließbereich (oder plastischer Verformungsbereich) bezeichnet. Materialien, für die der Fließbereich von Bedeutung ist, werden als viskos bezeichnet, für die er praktisch nicht vorhanden ist - spröde. Bei weiterer Dehnung (pro Punkt D) der Körper wird zerstört. Die maximale Spannung, die im Körper vor dem Bruch auftritt, ist die Bruchfestigkeit (s p).

Allgemeine Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen. Gleichgewichtsgleichung und Flüssigkeitsbewegung. Hydrostatik inkompressibler Flüssigkeiten. Stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung. Idealerweise elastischer Körper Elastische Spannungen und Verformungen. Hookes Gesetz. Elastizitätsmodul.

Relativistische Mechanik.

Galileis Relativitäts- und Transformationsprinzip. Experimentelle Begründung der Speziellen Relativitätstheorie (SRT). Postulate von Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Lorentz-Transformationen. Das Konzept der Gleichzeitigkeit. Relativität von Längen und Zeitintervallen. Das relativistische Gesetz der Addition von Geschwindigkeiten. Relativistischer Impuls. Bewegungsgleichung eines relativistischen Teilchens. Relativistischer Ausdruck für kinetische Energie. Das Verhältnis von Masse und Energie. Das Verhältnis zwischen der Gesamtenergie und dem Impuls eines Teilchens. Die Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen (Newtonschen) Mechanik.

Grundlagen der Molekularphysik und Thermodynamik

Thermodynamische Systeme - Ideales Gas.

Dynamische und statistische Gesetze in der Physik. Statistische und thermodynamische Methoden zur Untersuchung makroskopischer Phänomene.

Thermische Bewegung von Molekülen. Wechselwirkung zwischen Molekülen. Perfektes Gas. Zustand des Systems. Thermodynamische Zustandsparameter. Gleichgewichtszustände und -prozesse, ihre Darstellung in thermodynamischen Diagrammen. Ideale Gaszustandsgleichung.

Grundlagen der molekularkinetischen Theorie.

Die Grundgleichung der molekularkinetischen Theorie idealer Gase und ihr Vergleich mit der Clapeyron-Mendeleev-Gleichung. Durchschnittliche kinetische Energie von Molekülen. Molekularkinetische Interpretation der thermodynamischen Temperatur. Die Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls. Das Gesetz der gleichmäßigen Energieverteilung über die Freiheitsgrade von Molekülen. Innere Energie und Wärmekapazität eines idealen Gases.

Maxwellsches Gesetz für die Verteilung von Molekülen in Bezug auf Geschwindigkeiten und Energien der thermischen Bewegung. Ideales Gas in einem Kraftfeld. Boltzmann-Verteilung von Molekülen in einem Kraftfeld. Barometrische Formel.

Effektiver molekularer Durchmesser. Die Anzahl der Stöße und die mittlere freie Weglänge von Molekülen. Transferphänomene.

Grundlagen der Thermodynamik.

Gas arbeiten, wenn sich sein Volumen ändert. Wärmemenge. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik auf Isoprozesse und den adiabatischen Prozess eines idealen Gases. Abhängigkeit der Wärmekapazität eines idealen Gases von der Art des Prozesses. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Wärmekraftmaschine. Zirkuläre Prozesse. Carnot-Zyklus, Effizienz des Carnot-Zyklus.

3 .Elektrostatik

Elektrisches Feld im Vakuum.

Gesetz zur Erhaltung der elektrischen Ladung. Elektrisches Feld. Die Hauptmerkmale des elektrischen Feldes: Stärke und Potenzial. Spannung als Potentialgradient. Berechnung elektrostatischer Felder nach der Superpositionsmethode. Spannungsvektorfluss. Satz von Ostrogradsky-Gauss für ein elektrostatisches Feld im Vakuum. Anwendung des Ostrogradsky-Gauss-Theorems zur Berechnung des Feldes.

Elektrisches Feld in Dielektrika.

Kostenlose und gebundene Gebühren. Arten von Dielektrika. Elektronische und Orientierungspolarisation. Polarisation. Dielektrische Suszeptibilität eines Stoffes. Elektrische Verschiebung. Dielektrizitätskonstante des Mediums. Berechnung der Feldstärke in einem homogenen Dielektrikum.

Leiter in einem elektrischen Feld.

Das Feld innerhalb des Leiters und an seiner Oberfläche. Ladungsverteilung in einem Dirigenten. Elektrische Kapazität eines einsamen Leiters. Betriebskapazität von zwei Leitern. Kondensatoren. Energie eines geladenen Leiters, Kondensators und Leitersystems. Die Energie des elektrostatischen Feldes. Massenenergiedichte.

Konstanter elektrischer Strom

Aktuelle Stärke. Stromdichte. Bedingungen für die Existenz eines Stroms. Kräfte von außen. Die elektromotorische Kraft der Stromquelle. Ohmsches Gesetz für einen inhomogenen Abschnitt eines Stromkreises. Kirchhoff-Regeln. Arbeit und Leistung des elektrischen Stroms. Joule-Lenz-Gesetz. Die klassische Theorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen. Schwierigkeiten der klassischen Theorie.

Elektromagnetismus

Magnetfeld im Vakuum.

Magnetische Wechselwirkung von Gleichstrom. Ein Magnetfeld. Magnetischer Induktionsvektor. Amperes Gesetz. Magnetfeld des Stroms. Das Gesetz von Bio-Savart-Laplace und seine Anwendung auf die Berechnung des Magnetfeldes eines geraden Leiters mit Strom. Kreisstrom-Magnetfeld. Das Gesetz des Gesamtstroms (Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors) für ein magnetisches Feld im Vakuum und seine Anwendung auf die Berechnung des magnetischen Feldes eines Toroids und eines langen Solenoids. Magnetischer Fluss. Satz von Ostrogradsky-Gauss für ein Magnetfeld. Wirbelnatur des Magnetfelds Die Wirkung eines Magnetfelds auf eine bewegte Ladung. Lorentz-Kraft. Die Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld. Drehung eines Kreises mit einem Strom in einem Magnetfeld. Die Arbeit, einen Leiter und einen Stromkreis mit einem Strom in einem Magnetfeld zu bewegen.

Elektromagnetische Induktion.

Das Phänomen der elektromagnetischen Induktion (Faradaysche Experimente). Lenzsche Regel. Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion und seine Ableitung aus dem Energieerhaltungssatz. Das Phänomen der Selbstinduktion. Induktivität. Ströme beim Schließen und Öffnen eines Stromkreises mit Induktivität. Energie der Spule mit Strom. Die volumetrische Energiedichte des Magnetfelds.

Magnetfeld in Materie.

Das magnetische Moment der Atome. Arten von Magneten. Magnetisierung. Mikro- und Makroströme. Elementare Theorie des Dia- und Paramagnetismus. Das Gesamtstromgesetz für ein Magnetfeld in einem Stoff. Magnetische Feldstärke. Die magnetische Permeabilität des Mediums. Ferromagnete. Magnetische Hysterese. Curie-Punkt. Spinnatur des Ferromagnetismus.

Maxwellsche Gleichungen.

Faradays und Maxwells Interpretationen des Phänomens der elektromagnetischen Induktion. Ruhestrom. Das System der Maxwell-Gleichungen in integraler Form.

Oszillierende Bewegung

Das Konzept der oszillatorischen Prozesse. Ein einheitlicher Ansatz für Schwingungen unterschiedlicher physikalischer Natur.

Amplitude, Frequenz, Phase harmonischer Schwingungen. Addition harmonischer Schwingungen. Vektordiagramme.

Pendel, Federgewicht, Schwingkreis. Freie gedämpfte Schwingungen. Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen Dämpfungskoeffizient, logarithmisches Dekrement, Gütefaktor.

Erzwungene Schwingungen mit sinusförmiger Wirkung. Amplitude und Phase bei erzwungenen Schwingungen. Resonanzkurven. Erzwungene Schwingungen in Stromkreisen.

Wellen

Der Mechanismus der Wellenbildung in einem elastischen Medium. Longitudinal- und Transversalwellen. Ebene Sinuswelle. Laufende und stehende Wellen. Phasengeschwindigkeit, Wellenlänge, Wellenzahl. Eindimensionale Wellengleichung. Gruppengeschwindigkeit und Ausbreitung von Wellen. Energieverhältnisse. Umovs Vektor. Ebene elektromagnetische Wellen. Polarisation von Wellen. Energieverhältnisse. Poynting-Vektor. Dipolstrahlung. Richtungsmuster

8 . Wellenoptik

Lichtinterferenz.

Kohärenz und Monochromatizität von Lichtwellen. Berechnung des Interferenzmusters aus zwei kohärenten Quellen. Jungs Erfahrung. Lichtinterferenz in dünnen Filmen. Interferometer.

Lichtbeugung.

Huygens-Fresnel-Prinzip. Fresnel-Zonenmethode. Geradlinige Lichtausbreitung. Fresnel-Beugung an einem runden Loch. Fraunhofer-Beugung an einem Spalt. Beugungsgitter als spektrales Gerät. Das Konzept eines holographischen Verfahrens zum Erhalten und Wiederherstellen eines Bildes.

Lichtpolarisation.

Natürliches und polarisiertes Licht. Reflexion Polarisation. Brewstersches Gesetz. Analyse von linear polarisiertem Licht. Malus' Gesetz. Doppelbrechung. Künstliche optische Anisotropie. Elektro-optische und magneto-optische Effekte.

Streuung des Lichts.

Regionen mit normaler und anomaler Dispersion. Elektronische Theorie der Lichtstreuung.

Die Quantennatur der Strahlung

Wärmestrahlung.

Wärmestrahlungseigenschaften. Aufnahmekapazität. Schwarzer Körper. Kirchhoffsches Gesetz für Wärmestrahlung. Stefan-Boltzmann-Recht. Energieverteilung im Schwarzkörperspektrum. Wiens Verschiebungsgesetz. Quantenhypothese und Plancksche Formel.

Die Quantennatur des Lichts.

Externer photoelektrischer Effekt und seine Gesetze. Einsteinsche Gleichung für den externen photoelektrischen Effekt. Photonen. Masse und Impuls eines Photons. Leichter Druck. Lebedews Experimente. Quanten- und Wellenerklärung des Lichtdrucks. Korpuskularwellen-Dualismus des Lichts.

VORTRAG Nr. 5 Elemente der Kontinuumsmechanik Physikalisches Modell: Ein kontinuierliches Medium ist ein Modell der Materie, bei dem die innere Struktur der Materie vernachlässigt wird, vorausgesetzt, dass Materie kontinuierlich über das gesamte von ihr eingenommene Volumen verteilt ist und dieses Volumen vollständig ausfüllt. Ein Medium heißt homogen, wenn es an jedem Punkt die gleichen Eigenschaften besitzt. Isotrop ist ein Medium, dessen Eigenschaften in alle Richtungen gleich sind. Aggregatzustände der Materie Ein Festkörper ist ein Aggregatzustand, der durch ein festes Volumen und eine unveränderliche Form gekennzeichnet ist. Flüssigkeit ist ein Zustand einer Substanz, der durch ein festes Volumen gekennzeichnet ist, aber keine bestimmte Form hat. Gas ist ein Zustand eines Stoffes, in dem der Stoff das gesamte ihm zur Verfügung gestellte Volumen ausfüllt.

Mechanik eines verformbaren Körpers Unter Verformung versteht man eine Veränderung der Form und Größe eines Körpers. Elastizität ist die Eigenschaft von Körpern, Veränderungen ihres Volumens und ihrer Form unter dem Einfluss von Lasten zu widerstehen. Eine Verformung heißt elastisch, wenn sie nach Entlastung verschwindet und - plastisch, wenn sie nach Entlastung nicht verschwindet. In der Elastizitätstheorie ist bewiesen, dass alle Arten von Verformungen (Zug – Druck, Schub, Biegung, Torsion) auf gleichzeitig auftretende Zug – Druck- und Schubverformungen reduziert werden können.

Spannung - Druckverformung Dehnung - Druck ist eine Zunahme (oder Abnahme) der Länge eines zylindrischen oder prismatischen Körpers, die durch eine entlang seiner Längsachse gerichtete Kraft verursacht wird. Die absolute Verformung ist ein Wert gleich der durch äußere Einflüsse verursachten Änderung der Körpergröße:, (5.1) wobei l 0 und l die Anfangs- und Endlänge des Körpers sind. Hookesches Gesetz (I) (Robert Hooke, 1660): Die elastische Kraft ist proportional zur Größe der absoluten Verformung und auf ihre Abnahme gerichtet:, (5.2) wobei k der Elastizitätskoeffizient des Körpers ist.

Relative Verformung:. (5.3) Mechanische Spannung ist eine Größe, die den Zustand eines verformten Körpers charakterisiert = Pa:, (5.4) wobei F die Kraft ist, die die Verformung verursacht, S ist die Querschnittsfläche des Körpers. Hookesches Gesetz (II): Die in einem Körper auftretende mechanische Spannung ist proportional zum Wert seiner relativen Verformung: [E] = Pa.

Verformungen von Festkörpern gehorchen dem Hookeschen Gesetz bis zu einer bestimmten Grenze. Der Zusammenhang zwischen Verformung und Spannung wird in Form eines Spannungsdiagramms dargestellt, dessen qualitatives Verhalten für einen Metallstab betrachtet wird.

Energie der elastischen Verformung Unter Zug - Kompression die Energie der elastischen Verformung, (5.8) wobei V das Volumen des verformten Körpers ist. Die Schüttdichte der Zug - Kompression der elastischen Verformungsenergie bei (5.9) Die Schüttdichte der Scherschubenergie der elastischen Verformung (5. 10) bei

Elemente der Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen (Hydro- und Aeromechanik) In einem festen Aggregatzustand besitzt ein Körper gleichzeitig sowohl Form- als auch Volumenelastizität (bzw und tangentiale mechanische Spannungen entstehen ). Flüssigkeiten und Gase haben nur Volumenelastizität, aber keine Formelastizität (sie haben die Form eines Gefäßes, in dem sie sich befinden). Eine Folge dieser Gemeinsamkeit von Flüssigkeiten und Gasen ist die qualitative Ähnlichkeit der meisten mechanischen Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, und ihr Unterschied besteht nur in quantitativen Merkmalen (zum Beispiel ist die Dichte einer Flüssigkeit in der Regel größer als die Dichte eines Gases). Daher wird im Rahmen der Kontinuumsmechanik ein einheitlicher Ansatz zur Untersuchung von Flüssigkeiten und Gasen verwendet.

Ausgangseigenschaften Die Dichte eines Stoffes ist eine skalare physikalische Größe, die die Massenverteilung über das Volumen eines Stoffes charakterisiert und durch das Verhältnis der Masse eines Stoffes in einem bestimmten Volumen zum Wert dieses Volumens bestimmt wird = m / kg 3. Im Falle eines homogenen Mediums berechnet sich die Dichte eines Stoffes nach der Formel (5.11) Im allgemeinen Fall eines inhomogenen Mediums stehen Masse und Dichte eines Stoffes durch die Beziehung (5. 12) Druck ist eine skalare Größe, die den Zustand einer Flüssigkeit oder eines Gases charakterisiert und gleich der Kraft ist, die auf eine Flächeneinheit in deren Normalrichtung [p] = Pa: (5. 13)

Elemente der Hydrostatik Eigenschaften von Kräften in einer ruhenden Flüssigkeit (Gas) 1) Wird in einer ruhenden Flüssigkeit ein kleines Volumen abgetrennt, so übt die Flüssigkeit auf dieses Volumen in allen Richtungen den gleichen Druck aus. 2) Eine ruhende Flüssigkeit wirkt auf die Oberfläche eines mit ihr in Kontakt stehenden Festkörpers mit einer Kraft, die entlang der Normalen zu dieser Oberfläche gerichtet ist.

Kontinuitätsgleichung Ein Strömungsrohr ist ein Teil einer Flüssigkeit, der von Stromlinien begrenzt wird. Stationär (oder stationär) ist eine Flüssigkeitsströmung, bei der sich die Form und Lage von Stromlinien sowie die Werte der Geschwindigkeiten an jedem Punkt der sich bewegenden Flüssigkeit im Laufe der Zeit nicht ändern. Der Massenstrom der Flüssigkeit ist die Masse der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Strömungsrohres strömt = kg / s:, (5.15) wobei und v die Dichte und Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstroms im Abschnitt S sind.

Die Kontinuitätsgleichung ist eine mathematische Beziehung, nach der bei einem stetigen Flüssigkeitsstrom der Massendurchfluss in jedem Abschnitt des Durchflussrohrs gleich ist: (5.16)

Inkompressibel ist eine Flüssigkeit, deren Dichte nicht von Temperatur und Druck abhängt. Der Volumenstrom der Flüssigkeit ist das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Strömungsrohres strömt = m 3 / s: in jedem Abschnitt des Stromrohres ist gleich:, (5.18)

Viskosität ist die Eigenschaft von Gasen und Flüssigkeiten, der Bewegung eines Teils von ihnen relativ zu einem anderen zu widerstehen. Physikalisches Modell: Eine ideale Flüssigkeit ist eine imaginäre inkompressible Flüssigkeit, in der es keine Viskosität und Wärmeleitfähigkeit gibt. Die Bernoulli-Gleichung (Daniel Bernoulli 1738) ist eine Gleichung, die eine Folge des Erhaltungssatzes der mechanischen Energie für eine stationäre Strömung einer idealen inkompressiblen Flüssigkeit ist und für einen beliebigen Abschnitt eines Strömungsrohrs in einem Schwerefeld geschrieben wird:. (5.19)

In der Bernoulli-Gleichung (5.19) gilt: p ist der statische Druck (der Druck der Flüssigkeit auf der Oberfläche des umströmten Körpers; - dynamischer Druck; - hydrostatischer Druck.

Innere Reibung (Viskosität). Newtonsches Gesetz (Isaac Newton, 1686): Die Kraft der inneren Reibung pro Flächeneinheit der sich bewegenden Flüssigkeits- oder Gasschichten ist direkt proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit der Schichten:, (5. 20) wo ist der Koeffizient von innere Reibung (dynamische Viskosität), = m 2 / s.

Arten von viskosen Fluidströmungen Laminarströmungen sind eine Strömungsform, bei der sich eine Flüssigkeit oder ein Gas in Schichten ohne Vermischung und Pulsationen (d. h. zufällige schnelle Geschwindigkeits- und Druckänderungen) bewegt. Turbulente Strömung ist eine Form der Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases, bei der ihre Elemente ungeordnete, instationäre Bewegungen entlang komplexer Bahnen ausführen, was zu einer intensiven Vermischung zwischen Schichten bewegter Flüssigkeit oder Gas führt.

Reynolds-Zahl Das Kriterium für den Übergang einer laminaren Strömung eines Fluids in ein turbulentes Regime basiert auf der Verwendung der Reynolds-Zahl (On the collection of Reynolds, 1876-1883). Im Fall einer Flüssigkeitsbewegung durch ein Rohr wird die Reynolds-Zahl bestimmt als (5.21) wobei v die durchschnittliche Flüssigkeitsgeschwindigkeit über den Rohrabschnitt ist; d - Rohrdurchmesser; und – Dichte und Koeffizient der inneren Reibung des Fluids. Bei Werten von Re 4000 - turbulenter Modus. Bei Werten von 2000

Laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr Betrachten wir die Strömung einer viskosen Flüssigkeit direkt mit Bezug auf das Experiment. Verbinden Sie mit einem Gummischlauch ein dünnes horizontales Glasrohr mit darin eingelöteten vertikalen Manometerrohren mit dem Wasserhahn (siehe Abbildung). Bei geringer Durchflussmenge ist ein Absinken des Wasserspiegels in den Manometerrohren in Strömungsrichtung (h 1 > h 2 > h 3) deutlich sichtbar. Dies weist auf das Vorhandensein eines Druckgradienten entlang der Rohrachse hin - der statische Druck in der Flüssigkeit nimmt entlang der Strömung ab.

Laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr In einer gleichmäßigen geradlinigen Flüssigkeitsströmung werden die Druckkräfte durch die Viskositätskräfte ausgeglichen.

Die Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt einer viskosen Flüssigkeitsströmung kann beobachtet werden, wenn diese aus einem vertikalen Rohr durch eine enge Öffnung strömt (siehe Abbildung). Wenn beispielsweise bei geschlossenem Ventil K zuerst unlackiertes Glyzerin eingefüllt und dann von oben vorsichtig getöntes Glyzerin hinzugefügt wird, liegt die Grenzfläche D im Gleichgewicht horizontal. Wenn der Hahn K geöffnet wird, nimmt die Grenze eine Form an, die einem Rotationsparaboloid ähnelt. Dies deutet auf das Vorliegen einer Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt des Rohres bei einem viskosen Strom von Glycerin hin.

Die Poiseuille-Formel Die Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt eines horizontalen Rohres in einer laminaren Strömung einer viskosen Flüssigkeit wird durch die Formel (5.23) bestimmt, wobei R und l der Radius bzw. die Länge des Rohres sind, p die Druckdifferenz bei die Enden des Rohres, r ist der Abstand von der Rohrachse. Der Volumenstrom der Flüssigkeit wird durch die Poiseuille-Formel bestimmt (Jean Poiseuille, 1840): (5.24)

Bewegung von Körpern in einem viskosen Medium Wenn sich Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas bewegen, wirkt auf den Körper eine innere Reibungskraft, die von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt. Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird eine laminare Strömung von Flüssigkeit oder Gas um den Körper beobachtet und die innere Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers und wird durch die Stokes-Formel bestimmt (George Stokes, 1851):, (5.25) wobei b eine Konstante in Abhängigkeit von der Form des Körpers und seiner Ausrichtung relativ zur Strömung ist, l die charakteristische Größe des Körpers ist. Für eine Kugel (b = 6, l = R) ist die innere Reibungskraft:, (5.26) wobei R der Radius der Kugel ist.

Flüssigkeiten und Gase sind in ihren Eigenschaften weitgehend ähnlich. Sie sind flüssig und nehmen die Form des Gefäßes an, in dem sie sich befinden. Sie gehorchen den Gesetzen von Pascal und Archimedes.

Bei der Betrachtung der Bewegung von Flüssigkeiten kann man die Reibungskräfte zwischen den Schichten vernachlässigen und sie als absolut inkompressibel betrachten. Eine solche absolut viskose und absolut inkompressible Flüssigkeit wird als ideal bezeichnet..

Die Bewegung einer Flüssigkeit lässt sich beschreiben, indem man die Bewegungsbahnen ihrer Teilchen so zeigt, dass die Tangente an jedem Punkt der Bahn mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammenfällt. Diese Zeilen heißen stromlinienförmig... Stromlinien werden normalerweise so gezeichnet, dass ihre Dichte größer ist, wenn der Flüssigkeitsdurchfluss größer ist (Abbildung 2.11).

Größe und Richtung des Geschwindigkeitsvektors V in einer Flüssigkeit können sich mit der Zeit ändern, dann kann sich das Stromlinienmuster kontinuierlich ändern. Wenn sich die Geschwindigkeitsvektoren an jedem Punkt im Raum nicht ändern, dann heißt die Fluidströmung stationär.

Der durch Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit heißt Stromröhre... Flüssigkeitspartikel, die sich im Durchflussrohr bewegen, durchqueren seine Wände nicht.

Betrachten Sie ein Stromrohr und bezeichnen Sie mit S 1 und S 2 die Querschnittsflächen darin (Abbildung 2.12). Dann fließen pro Zeiteinheit die gleichen Flüssigkeitsmengen durch S 1 und S 2:

S1V1 = S2V2 (2.47)

dies gilt für jeden Abschnitt der Stromröhre. Daher ist für ein ideales Fluid der Wert SV = const in jedem Abschnitt des Durchflussrohrs. Dieses Verhältnis heißt Kontinuität des Jets... Daraus folgt:

jene. die Geschwindigkeit V der stetigen Strömung der Flüssigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche S des Strömungsrohrs, und dies kann auf den Druckgradienten in der Flüssigkeit entlang des Strömungsrohrs zurückzuführen sein. Der Strahlkontinuitätssatz (2.47) ist auch auf reale Flüssigkeiten (Gase) anwendbar, wenn sie in Rohren unterschiedlichen Querschnitts strömen, wenn die Reibungskräfte klein sind.

Bernoulli-Gleichung... Wählen wir ein Strömungsrohr mit veränderlichem Querschnitt in einer idealen Flüssigkeit (Abb. 2.12). Durch die Kontinuität des Strahls fließen gleichzeitig gleiche Flüssigkeitsvolumina ΔV durch S 1 und S 2 .

Die Energie jedes Flüssigkeitsteilchens ist die Summe seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie. Wenn dann die Ströme von einem Abschnitt des Rohrs zu einem anderen übergehen, erhöht sich die Energie der Flüssigkeit:

In einer idealen Flüssigkeit beträgt das Inkrement W sollte gleich der Arbeit der Druckkräfte sein, um das Volumen ΔV zu ändern, d.h. A = (P 1 -P 2) ΔV.

Gleichung ΔW = A und Aufhebung um ΔV und unter Berücksichtigung, dass ( ρ ist die Dichte der Flüssigkeit), erhalten wir:

schon seit der Querschnitt des Stromrohres willkürlich genommen wird, dann gilt für ein ideales Fluid entlang einer beliebigen Stromlinie folgendes:

. (2.48)

wo R- statischer Druck in einem bestimmten Abschnitt S der Stromröhre;

Dynamischer Druck für diesen Abschnitt; V die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstroms durch diesen Abschnitt ist;

gh-hydrostatischer Druck.

Gleichung (2.48) heißt Bernoulli-Gleichung.

Viskose Flüssigkeit... Wenn sich in einer echten Flüssigkeit ihre Schichten relativ zueinander bewegen, innere Reibungskräfte(Viskosität). Lassen Sie zwei Flüssigkeitsschichten im Abstand Δх voneinander beabstandet sein und sich mit den Geschwindigkeiten V 1 und V 2 bewegen (Abbildung 2.13).

Dann innere Reibungskraft zwischen den Schichten(Newtonsches Gesetz):

, (2.49)

wo η - Koeffizient der dynamischen Viskosität der Flüssigkeit:

Durchschnittliche arithmetische Geschwindigkeit von Molekülen;

Durchschnittliche freie Weglänge der Moleküle;

Schichtgeschwindigkeitsgradient; S- der Bereich der Kontaktschichten.

Die geschichtete Flüssigkeitsströmung wird als bezeichnet laminar... Wenn die Geschwindigkeit zunimmt, wird die geschichtete Natur der Strömung verletzt und die Flüssigkeit wird gemischt. Dieser Fluss heißt turbulent.

Bei laminarer Strömung, Flüssigkeitsströmung Q in einem Rohr mit Radius R ist proportional zum Druckabfall pro Längeneinheit des Rohres / ℓ:

Poiseuilles Formel. (2.51)

In realen Flüssigkeiten und Gasen erfahren bewegte Körper die Wirkung einer Widerstandskraft. Zum Beispiel ist die Widerstandskraft, die auf eine sich in einem viskosen Medium gleichmäßig bewegende Kugel wirkt, proportional zu ihrer Geschwindigkeit V:

Stokes-Formel, (2.52)

wo R ist der Kugelradius.

Mit zunehmender Bewegungsgeschwindigkeit wird die Umströmung des Körpers gestört, es bilden sich Wirbel hinter dem Körper, für die zusätzliche Energie aufgewendet wird. Dies führt zu einer Erhöhung des Widerstands.