Elemente der Kontinuumsmechanik. Elemente der Kontinuumsmechanik Methoden der Gesteinszerstörung

VORTRAG Nr. 5 Elemente der Mechanik Endlosmedien Physisches Modell: ein kontinuierliches Medium ist ein Modell der Materie, in dessen Rahmen Interne Struktur unter der Annahme, dass der Stoff kontinuierlich über das von ihm eingenommene Volumen verteilt ist und dieses Volumen vollständig ausfüllt. Ein Medium heißt homogen, wenn es an jedem Punkt die gleichen Eigenschaften besitzt. Isotrop ist ein Medium, dessen Eigenschaften in alle Richtungen gleich sind. Aggregatzustände der Materie Ein Festkörper ist ein Aggregatzustand, der durch ein festes Volumen und eine unveränderliche Form gekennzeichnet ist. Flüssigkeit ist ein Zustand einer Substanz, der durch ein festes Volumen gekennzeichnet ist, aber keine bestimmte Form hat. Gas ist ein Zustand eines Stoffes, in dem der Stoff das gesamte ihm zur Verfügung gestellte Volumen ausfüllt.

Mechanik eines verformbaren Körpers Unter Verformung versteht man eine Veränderung der Form und Größe eines Körpers. Elastizität ist die Eigenschaft von Körpern, Veränderungen ihres Volumens und ihrer Form unter dem Einfluss von Lasten zu widerstehen. Eine Verformung heißt elastisch, wenn sie nach Entlastung verschwindet und - plastisch, wenn sie nach Entlastung nicht verschwindet. In der Elastizitätstheorie ist bewiesen, dass alle Arten von Verformungen (Zug – Druck, Schub, Biegung, Torsion) auf gleichzeitig auftretende Zug – Druck- und Schubverformungen reduziert werden können.

Spannung - Druckverformung Dehnung - Druck ist eine Zunahme (oder Abnahme) der Länge eines zylindrischen oder prismatischen Körpers, verursacht durch eine Kraft, die entlang seiner Längsachse gerichtet ist. Die absolute Verformung ist ein Wert gleich der durch äußere Einflüsse verursachten Änderung der Körpergröße:, (5.1) wobei l 0 und l die Anfangs- und Endlänge des Körpers sind. Hookesches Gesetz (I) (Robert Hooke, 1660): Die elastische Kraft ist proportional zur Größe der absoluten Verformung und auf ihre Abnahme gerichtet:, (5.2) wobei k der Elastizitätskoeffizient des Körpers ist.

Relative Verformung:. (5.3) Mechanische Spannung ist eine Größe, die den Zustand eines verformten Körpers charakterisiert = Pa:, (5.4) wobei F die Kraft ist, die die Verformung verursacht, S ist die Querschnittsfläche des Körpers. Hookesches Gesetz (II): Die in einem Körper auftretende mechanische Spannung ist proportional zum Wert seiner relativen Verformung: [E] = Pa.

Verformungen von Festkörpern gehorchen dem Hookeschen Gesetz bis zu einer bestimmten Grenze. Der Zusammenhang zwischen Verformung und Spannung wird in Form eines Spannungsdiagramms dargestellt, dessen qualitatives Verhalten für einen Metallstab betrachtet wird.

Energie der elastischen Verformung Unter Zug - Kompression die Energie der elastischen Verformung, (5.8) wobei V das Volumen des verformten Körpers ist. Die Schüttdichte der Zug - Kompression der elastischen Verformungsenergie bei (5.9) Die Schüttdichte der Scherschubenergie der elastischen Verformung (5. 10) bei

Elemente der Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen (Hydro- und Aeromechanik) Im Festkörper sein Aggregatzustand, besitzt der Körper gleichzeitig sowohl Formelastizität als auch Volumenelastizität (oder, was bei Verformungen in einem Festkörper gleich ist, treten sowohl normale als auch tangentiale mechanische Spannungen auf). Flüssigkeiten und Gase haben nur Volumenelastizität, aber keine Formelastizität (sie haben die Form eines Gefäßes, in dem sie sich befinden). Eine Folge dieser Gemeinsamkeit von Flüssigkeiten und Gasen ist die qualitative Ähnlichkeit der meisten mechanischen Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, und ihr Unterschied besteht nur in quantitativen Merkmalen (zum Beispiel ist die Dichte einer Flüssigkeit in der Regel größer als die Dichte eines Gases). Daher wird im Rahmen der Kontinuumsmechanik ein einheitlicher Ansatz zur Untersuchung von Flüssigkeiten und Gasen verwendet.

Anfangseigenschaften Skalare Dichte der Materie physikalische Größe, die die Massenverteilung über das Volumen eines Stoffes charakterisiert und durch das Verhältnis der Masse eines in einem bestimmten Volumen enthaltenen Stoffes zum Wert dieses Volumens bestimmt wird = m / kg 3. Bei einem homogenen Medium die Dichte eines Stoffes berechnet sich nach der Formel (5. 11) Im allgemeinen Fall eines inhomogenen Mediums hängen Masse und Dichte von Stoffen durch die Beziehung (5. 12) zusammen. Druck ist eine skalare Größe, die den Zustand einer Flüssigkeit charakterisiert oder Gas und ist gleich der Kraft, die auf eine Einheitsfläche senkrecht dazu wirkt [p] = Pa: (5. 13)

Elemente der Hydrostatik Eigenschaften von Kräften in einer ruhenden Flüssigkeit (Gas) 1) Wird in einer ruhenden Flüssigkeit ein kleines Volumen abgetrennt, so übt die Flüssigkeit auf dieses Volumen in allen Richtungen den gleichen Druck aus. 2) Eine ruhende Flüssigkeit wirkt auf die Oberfläche eines mit ihr in Kontakt stehenden Festkörpers mit einer Kraft, die entlang der Normalen zu dieser Oberfläche gerichtet ist.

Kontinuitätsgleichung Ein Strömungsrohr ist ein Teil einer Flüssigkeit, der von Stromlinien begrenzt wird. Stationär (oder stationär) ist eine Flüssigkeitsströmung, bei der sich die Form und Lage der Stromlinien sowie die Werte der Geschwindigkeiten an jedem Punkt der bewegten Flüssigkeit im Laufe der Zeit nicht ändern. Der Massenstrom der Flüssigkeit ist die Masse der Flüssigkeit, die pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Strömungsrohres strömt = kg / s:, (5.15) wobei und v die Dichte und Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstroms im Abschnitt S sind.

Die Kontinuitätsgleichung ist eine mathematische Beziehung, nach der bei einem stetigen Flüssigkeitsstrom der Massendurchfluss in jedem Abschnitt des Durchflussrohrs gleich ist: (5.16)

Inkompressibel ist eine Flüssigkeit, deren Dichte nicht von Temperatur und Druck abhängt. Der Volumenstrom der Flüssigkeit ist das Volumen der Flüssigkeit, das pro Zeiteinheit durch den Querschnitt des Strömungsrohres strömt = m 3 / s: in jedem Abschnitt des Stromrohres ist gleich:, (5.18)

Viskosität ist die Eigenschaft von Gasen und Flüssigkeiten, der Bewegung eines Teils von ihnen relativ zu einem anderen zu widerstehen. Physikalisches Modell: ideales Fluid - ein imaginäres inkompressibles Fluid, in dem es keine Viskosität und Wärmeleitfähigkeit gibt. Die Bernoulli-Gleichung (Daniel Bernoulli 1738) ist eine Gleichung, die eine Folge des Erhaltungssatzes der mechanischen Energie für eine stationäre Strömung einer idealen inkompressiblen Flüssigkeit ist und für einen beliebigen Abschnitt eines Strömungsrohrs in einem Schwerefeld geschrieben wird:. (5.19)

In der Bernoulli-Gleichung (5.19) gilt: p ist der statische Druck (der Druck der Flüssigkeit auf der Oberfläche des umströmten Körpers; - dynamischer Druck; - hydrostatischer Druck.

Innere Reibung (Viskosität). Newtonsches Gesetz (Isaac Newton, 1686): Die Kraft der inneren Reibung pro Flächeneinheit der sich bewegenden Flüssigkeits- oder Gasschichten ist direkt proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit der Schichten:, (5. 20) wo ist der Koeffizient von innere Reibung (dynamische Viskosität), = m 2 / s.

Arten von viskosen Fluidströmungen Laminarströmungen sind eine Strömungsform, bei der sich eine Flüssigkeit oder ein Gas in Schichten ohne Mischen und Pulsieren (d. h. zufällige schnelle Geschwindigkeits- und Druckänderungen) bewegt. Turbulente Strömung- die Form der Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases, bei der ihre Elemente ungeordnete, instationäre Bewegungen entlang komplexer Bahnen ausführen, was zu einer intensiven Vermischung zwischen den Schichten der sich bewegenden Flüssigkeit oder des Gases führt.

Reynolds-Zahl Das Kriterium für den Übergang einer laminaren Strömung eines Fluids in ein turbulentes Regime basiert auf der Verwendung der Reynolds-Zahl (On the collection of Reynolds, 1876-1883). Im Fall einer Flüssigkeitsbewegung durch ein Rohr wird die Reynolds-Zahl bestimmt als (5.21) wobei v die durchschnittliche Flüssigkeitsgeschwindigkeit über den Rohrabschnitt ist; d - Rohrdurchmesser; und – Dichte und Koeffizient der inneren Reibung des Fluids. Bei Werten von Re 4000 - turbulenter Modus. Bei Werten von 2000

Laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr Betrachten wir die Strömung einer viskosen Flüssigkeit direkt mit Bezug auf das Experiment. Verbinden Sie mit einem Gummischlauch ein dünnes horizontales Glasrohr mit darin eingelöteten vertikalen Manometerrohren mit dem Wasserhahn (siehe Abbildung). Bei geringer Durchflussmenge ist ein Absinken des Wasserspiegels in den Manometerrohren in Strömungsrichtung (h 1 > h 2 > h 3) deutlich sichtbar. Dies weist auf das Vorhandensein eines Druckgradienten entlang der Rohrachse hin - der statische Druck in der Flüssigkeit nimmt entlang der Strömung ab.

Laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr In einer gleichmäßigen geradlinigen Flüssigkeitsströmung werden die Druckkräfte durch die Viskositätskräfte ausgeglichen.

Die Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt einer viskosen Flüssigkeitsströmung kann beobachtet werden, wenn diese aus einem vertikalen Rohr durch eine enge Öffnung strömt (siehe Abbildung). Wenn beispielsweise bei geschlossenem Ventil K zuerst unlackiertes Glyzerin eingefüllt und dann von oben vorsichtig getöntes Glyzerin hinzugefügt wird, liegt die Grenzfläche D im Gleichgewicht horizontal. Wenn der Hahn K geöffnet wird, nimmt die Grenze eine Form an, die einem Rotationsparaboloid ähnelt. Dies deutet auf das Vorliegen einer Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt des Rohres bei einem viskosen Strom von Glycerin hin.

Die Poiseuille-Formel Die Geschwindigkeitsverteilung im Querschnitt eines horizontalen Rohres in einer laminaren Strömung einer viskosen Flüssigkeit wird durch die Formel (5.23) bestimmt, wobei R und l der Radius bzw. die Länge des Rohres sind, p die Druckdifferenz an den Rohrenden ist r der Abstand von der Rohrachse. Der Volumenstrom der Flüssigkeit wird durch die Poiseuille-Formel bestimmt (Jean Poiseuille, 1840): (5.24)

Bewegung von Körpern in einem viskosen Medium Wenn sich Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas bewegen, wirkt auf den Körper eine innere Reibungskraft, die von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt. Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird eine laminare Strömung von Flüssigkeit oder Gas um den Körper beobachtet und die innere Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit des Körpers und wird durch die Stokes-Formel bestimmt (George Stokes, 1851):, (5.25) wobei b eine Konstante in Abhängigkeit von der Form des Körpers und seiner Ausrichtung relativ zur Strömung ist, l die charakteristische Größe des Körpers ist. Für eine Kugel (b = 6, l = R) ist die innere Reibungskraft:, (5.26) wobei R der Radius der Kugel ist.

Allgemeine Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen. Gleichgewichtsgleichung und Flüssigkeitsbewegung. Hydrostatik inkompressibler Flüssigkeiten. Stationäre Bewegung einer idealen Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung. Idealerweise elastischer Körper Elastische Spannungen und Verformungen. Hookes Gesetz. Elastizitätsmodul.

Relativistische Mechanik.

Galileis Relativitäts- und Transformationsprinzip. Experimentelle Begründung der Speziellen Relativitätstheorie (SRT). Postulate von Einsteins spezieller Relativitätstheorie. Lorentz-Transformationen. Das Konzept der Gleichzeitigkeit. Relativität von Längen und Zeitintervallen. Das relativistische Gesetz der Addition von Geschwindigkeiten. Relativistischer Impuls. Bewegungsgleichung eines relativistischen Teilchens. Relativistischer Ausdruck für kinetische Energie... Das Verhältnis von Masse und Energie. Das Verhältnis zwischen der Gesamtenergie und dem Impuls eines Teilchens. Die Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen (Newtonschen) Mechanik.

Grundlagen der Molekularphysik und Thermodynamik

Thermodynamische Systeme - Ideales Gas.

Dynamische und statistische Gesetze in der Physik. Statistische und thermodynamische Methoden zur Untersuchung makroskopischer Phänomene.

Thermische Bewegung von Molekülen. Wechselwirkung zwischen Molekülen. Perfektes Gas. Zustand des Systems. Thermodynamische Zustandsparameter. Gleichgewichtszustände und -prozesse, ihre Darstellung in thermodynamischen Diagrammen. Ideale Gaszustandsgleichung.

Grundlagen der molekularkinetischen Theorie.

Die Grundgleichung der molekularkinetischen Theorie idealer Gase und ihr Vergleich mit der Clapeyron-Mendeleev-Gleichung. Durchschnittliche kinetische Energie von Molekülen. Molekularkinetische Interpretation thermodynamische Temperatur... Die Anzahl der Freiheitsgrade des Moleküls. Das Gesetz der gleichmäßigen Energieverteilung über die Freiheitsgrade von Molekülen. Innere Energie und Wärmekapazität eines idealen Gases.

Maxwellsches Gesetz für die Verteilung von Molekülen in Bezug auf Geschwindigkeiten und Energien der thermischen Bewegung. Ideales Gas in einem Kraftfeld. Boltzmann-Verteilung von Molekülen in einem Kraftfeld. Barometrische Formel.

Effektiver molekularer Durchmesser. Die Anzahl der Stöße und die mittlere freie Weglänge von Molekülen. Transferphänomene.

Grundlagen der Thermodynamik.

Gas arbeiten, wenn sich sein Volumen ändert. Wärmemenge. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik. Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik auf Isoprozesse und den adiabatischen Prozess eines idealen Gases. Abhängigkeit der Wärmekapazität eines idealen Gases von der Art des Prozesses. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Wärmekraftmaschine. Zirkuläre Prozesse. Carnot-Zyklus, Effizienz des Carnot-Zyklus.

3 .Elektrostatik

Elektrisches Feld im Vakuum.

Gesetz zur Erhaltung der elektrischen Ladung. Elektrisches Feld. Die Hauptmerkmale des elektrischen Feldes: Stärke und Potenzial. Spannung als Potentialgradient. Berechnung elektrostatischer Felder nach der Superpositionsmethode. Spannungsvektorfluss. Satz von Ostrogradsky-Gauss für ein elektrostatisches Feld im Vakuum. Anwendung des Ostrogradsky-Gauss-Theorems zur Berechnung des Feldes.

Elektrisches Feld in Dielektrika.

Kostenlose und gebundene Gebühren. Arten von Dielektrika. Elektronische und Orientierungspolarisation. Polarisation. Dielektrische Suszeptibilität eines Stoffes. Elektrische Verschiebung. Dielektrizitätskonstante des Mediums. Berechnung der Feldstärke in einem homogenen Dielektrikum.

Leiter in einem elektrischen Feld.

Das Feld innerhalb des Leiters und an seiner Oberfläche. Ladungsverteilung in einem Dirigenten. Elektrische Kapazität eines einsamen Leiters. Betriebskapazität von zwei Leitern. Kondensatoren. Energie eines geladenen Leiters, Kondensators und Leitersystems. Die Energie des elektrostatischen Feldes. Massenenergiedichte.

Konstanter elektrischer Strom

Aktuelle Stärke. Stromdichte. Bedingungen für die Existenz eines Stroms. Kräfte von außen. Die elektromotorische Kraft der Stromquelle. Ohmsches Gesetz für einen inhomogenen Abschnitt eines Stromkreises. Kirchhoff-Regeln. Arbeit und Leistung des elektrischen Stroms. Joule-Lenz-Gesetz. Die klassische Theorie der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen. Schwierigkeiten der klassischen Theorie.

Elektromagnetismus

Magnetfeld im Vakuum.

Magnetische Wechselwirkung von Gleichstrom. Ein Magnetfeld. Vektor der magnetischen Induktion. Ampèresches Gesetz. Magnetfeld des Stroms. Bio-Savart-Laplace-Gesetz und seine Anwendung auf die Berechnung Magnetfeld gerader Leiter mit Strom. Kreisstrom-Magnetfeld. Das Gesetz des Gesamtstroms (Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors) für ein magnetisches Feld im Vakuum und seine Anwendung auf die Berechnung des magnetischen Feldes eines Toroids und eines langen Solenoids. Magnetischer Fluss. Satz von Ostrogradsky-Gauss für ein Magnetfeld. Wirbelnatur des Magnetfelds Die Wirkung eines Magnetfelds auf eine bewegte Ladung. Lorentz-Kraft. Die Bewegung geladener Teilchen in einem Magnetfeld. Drehung eines Kreises mit einem Strom in einem Magnetfeld. Die Arbeit, einen Leiter und einen Stromkreis mit einem Strom in einem Magnetfeld zu bewegen.

Elektromagnetische Induktion.

Phänomen Elektromagnetische Induktion(Faradaysche Experimente). Lenzsche Regel. Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion und seine Ableitung aus dem Energieerhaltungssatz. Das Phänomen der Selbstinduktion. Induktivität. Ströme beim Schließen und Öffnen eines Stromkreises mit Induktivität. Energie der Spule mit Strom. Die volumetrische Energiedichte des Magnetfelds.

Magnetfeld in Materie.

Das magnetische Moment der Atome. Arten von Magneten. Magnetisierung. Mikro- und Makroströme. Elementare Theorie des Dia- und Paramagnetismus. Das Gesamtstromgesetz für ein Magnetfeld in einem Stoff. Magnetische Feldstärke. Die magnetische Permeabilität des Mediums. Ferromagnete. Magnetische Hysterese. Curie-Punkt. Spinnatur des Ferromagnetismus.

Maxwellsche Gleichungen.

Faradaysche und Maxwellsche Interpretationen des Phänomens der elektromagnetischen Induktion. Ruhestrom. Das System der Maxwell-Gleichungen in integraler Form.

Oszillierende Bewegung

Das Konzept der oszillatorischen Prozesse. Ein einheitlicher Ansatz für Schwingungen unterschiedlicher physikalischer Natur.

Amplitude, Frequenz, Phase harmonische Schwingungen... Addition harmonischer Schwingungen. Vektordiagramme.

Pendel, Federgewicht, Schwingkreis. Freie gedämpfte Schwingungen. Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen Dämpfungskoeffizient, logarithmisches Dekrement, Gütefaktor.

Erzwungene Schwingungen mit sinusförmiger Wirkung. Amplitude und Phase für erzwungene Schwingungen. Resonanzkurven. Erzwungene Schwingungen in Stromkreisen.

Wellen

Der Mechanismus der Wellenbildung in einem elastischen Medium. Longitudinal- und Transversalwellen. Ebene Sinuswelle. Laufende und stehende Wellen. Phasengeschwindigkeit, Wellenlänge, Wellenzahl. Eindimensionale Wellengleichung. Gruppengeschwindigkeit und Ausbreitung von Wellen. Energieverhältnisse. Umovs Vektor. Eben Elektromagnetische Wellen... Polarisation von Wellen. Energieverhältnisse. Poynting-Vektor. Dipolstrahlung. Richtungsmuster

8 . Wellenoptik

Lichtinterferenz.

Kohärenz und Monochromatizität von Lichtwellen. Berechnung des Interferenzmusters aus zwei kohärenten Quellen. Jungs Erfahrung. Lichtinterferenz in dünnen Filmen. Interferometer.

Lichtbeugung.

Huygens-Fresnel-Prinzip. Fresnel-Zonenmethode. Geradlinige Lichtausbreitung. Fresnelsche Beugung an einem runden Loch. Fraunhofer-Beugung an einem Spalt. Beugungsgitter als spektrales Gerät. Das Konzept eines holographischen Verfahrens zum Erhalten und Wiederherstellen eines Bildes.

Lichtpolarisation.

Natürliches und polarisiertes Licht. Reflexion Polarisation. Brewstersches Gesetz. Analyse von linear polarisiertem Licht. Malus' Gesetz. Doppelbrechung. Künstliche optische Anisotropie. Elektro-optische und magneto-optische Effekte.

Streuung des Lichts.

Regionen mit normaler und anomaler Dispersion. Elektronische Theorie Streuung des Lichts.

Die Quantennatur der Strahlung

Wärmestrahlung.

Spezifikationen Wärmestrahlung... Aufnahmekapazität. Schwarzer Körper. Kirchhoffsches Gesetz für Wärmestrahlung. Stefan-Boltzmann-Recht. Energieverteilung im Schwarzkörperspektrum. Wiens Verschiebungsgesetz. Quantenhypothese und Plancksche Formel.

Die Quantennatur des Lichts.

Externer photoelektrischer Effekt und seine Gesetze. Einsteinsche Gleichung für den externen photoelektrischen Effekt. Photonen. Masse und Impuls eines Photons. Leichter Druck. Lebedews Experimente. Quanten- und Wellenerklärung des Lichtdrucks. Korpuskularwellen-Dualismus des Lichts.

7.1. Allgemeine Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen. Kinematische Beschreibung der Flüssigkeitsbewegung. Vektorfelder. Strömung und Zirkulation eines Vektorfeldes. Stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit. Stromleitungen und Röhren. Bewegungsgleichungen und Gleichgewicht einer Flüssigkeit. Kontinuitätsgleichung für inkompressibles Fluid

Die Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich der Untersuchung der Bewegung und des Gleichgewichts von Gasen, Flüssigkeiten, Plasma und verformbaren Festkörpern widmet. Die Hauptannahme der Kontinuumsmechanik ist, dass Materie als kontinuierliches kontinuierliches Medium betrachtet werden kann, wobei ihre molekulare (atomare) Struktur vernachlässigt wird und gleichzeitig die Verteilung all ihrer Eigenschaften (Dichte, Spannungen, Teilchengeschwindigkeiten) im Medium als kontinuierlich angesehen werden.

Eine Flüssigkeit ist ein Stoff in kondensiertem Zustand, der zwischen fest und gasförmig liegt. Der Existenzbereich einer Flüssigkeit wird von der Seite der niedrigen Temperaturen durch einen Phasenübergang in einen festen Zustand (Kristallisation) und von der Seite der hohen Temperaturen in einen gasförmigen Zustand (Verdampfung) begrenzt. Bei der Untersuchung der Eigenschaften eines kontinuierlichen Mediums wird das Medium selbst als aus Partikeln bestehend dargestellt, deren Größe viel größer ist als die Größe von Molekülen. Somit enthält jedes Teilchen eine riesige Anzahl von Molekülen.

Um die Bewegung einer Flüssigkeit zu beschreiben, können Sie die Position jedes Flüssigkeitspartikels als Funktion der Zeit angeben. Diese Art der Beschreibung wurde von Lagrange entwickelt. Aber man kann nicht den Teilchen einer Flüssigkeit folgen, sondern für einzelne Punkte im Raum, und die Geschwindigkeit notieren, mit der einzelne Teilchen der Flüssigkeit jeden Punkt passieren. Der zweite Weg wird Euler-Verfahren genannt.

Der Zustand der Flüssigkeitsbewegung kann bestimmt werden, indem für jeden Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor als Funktion der Zeit angegeben wird.

Die für alle Punkte im Raum angegebene Vektormenge bildet das Feld des Geschwindigkeitsvektors, der wie folgt dargestellt werden kann. Zeichnen wir Linien in eine sich bewegende Flüssigkeit, so dass die Tangente an jedem Punkt in Richtung des Vektors übereinstimmt (Abbildung 7.1). Diese Linien werden Stromlinien genannt. Wir vereinbaren, Stromlinien so zu zeichnen, dass ihre Dichte (das Verhältnis der Anzahl der Linien zur Größe der Fläche senkrecht zu ihnen, durch die sie verlaufen) proportional zur Größe der Geschwindigkeit an einem bestimmten Ort ist. Dann wird es möglich sein, anhand des Stromlinienmusters nicht nur die Richtung, sondern auch die Größe des Vektors an verschiedenen Punkten im Raum zu beurteilen: Wo die Geschwindigkeit größer ist, werden die Stromlinien dichter.

Die Anzahl der Stromlinien, die durch das Gelände senkrecht zu den Stromlinien verlaufen, ist gleich, wenn das Gelände willkürlich zu den Stromlinien ausgerichtet ist, ist die Anzahl der Stromlinien der Winkel zwischen der Richtung des Vektors und der Normalen zum Gelände. Die Notation wird oft verwendet. Die Anzahl der Stromlinien durch einen Bereich endlicher Dimensionen wird durch das Integral bestimmt:. Ein solches Integral wird als Vektorfluss durch die Plattform bezeichnet.

Größe und Richtung des Vektors ändern sich mit der Zeit, daher bleibt das Muster der Linien nicht konstant. Wenn an jedem Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor in Betrag und Richtung konstant bleibt, wird die Strömung als stationär oder stationär bezeichnet. In einer stationären Strömung passiert jedes flüssige Teilchen einen bestimmten Punkt im Raum mit der gleichen Geschwindigkeit. Das Stromlinienmuster ändert sich in diesem Fall nicht und die Stromlinien stimmen mit den Flugbahnen der Partikel überein.

Der Fluss eines Vektors durch eine bestimmte Oberfläche und die Zirkulation des Vektors entlang einer bestimmten Kontur ermöglichen es, die Natur des Vektorfeldes zu beurteilen. Diese Werte geben jedoch eine durchschnittliche Charakteristik des Feldes innerhalb des von der Oberfläche eingeschlossenen Volumens, durch das die Strömung bestimmt wird, oder in der Nähe der Kontur, entlang der die Zirkulation durchgeführt wird. Durch Verkleinern der Fläche oder Kontur (indem Sie sie zu einem Punkt ziehen) können Sie Werte ermitteln, die das Vektorfeld an einem bestimmten Punkt charakterisieren.

Betrachten Sie das Feld des Geschwindigkeitsvektors einer inkompressiblen kontinuierlichen Flüssigkeit. Der Fluss des Geschwindigkeitsvektors durch eine Oberfläche ist gleich dem Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch diese Oberfläche fließt. Konstruieren wir eine imaginäre geschlossene Fläche S in der Nähe des Punktes P (Abb. 7.2). Wenn in dem durch die Oberfläche begrenzten Volumen V keine Flüssigkeit entsteht und nicht verschwindet, ist die Strömung nach außen durch die Oberfläche gleich Null. Eine Durchflussdifferenz von Null zeigt an, dass es innerhalb der Oberfläche Flüssigkeitsquellen oder -senken gibt, dh Punkte, an denen Flüssigkeit in das Volumen eintritt (Quellen) oder aus dem Volumen entfernt wird (Senken).Der Durchfluss bestimmt die Gesamtleistung der Quellen und sinkt. Bei einer Vorherrschaft von Quellen gegenüber Abwässern ist der Fluss positiv, bei einer Vorherrschaft von Abwässern - negativ.

Der Quotient aus der Division des Flusses durch das Volumen, aus dem der Fluss ausströmt, ist die durchschnittliche spezifische Leistung der im Volumen V eingeschlossenen Quellen. Je kleiner das Volumen V, das den Punkt P umfasst, desto näher liegt dieser Durchschnittswert an der wahren spezifischen Leistung An diesem Punkt. Im Limit bei, d.h. Wenn wir das Volumen auf einen Punkt zusammenziehen, erhalten wir die wahre spezifische Leistung der Quellen am Punkt P, die Divergenz (Divergenz) des Vektors:. Der resultierende Ausdruck ist für jeden Vektor gültig. Die Integration erfolgt über eine geschlossene Fläche S, die das Volumen V umgrenzt. Die Divergenz wird durch das Verhalten einer Vektorfunktion in der Nähe des Punktes P bestimmt. Divergenz ist eine skalare Funktion von Koordinaten, die die Position des Punktes P im Raum bestimmen.

Suchen wir einen Ausdruck für die Divergenz im kartesischen Koordinatensystem. Betrachten Sie in der Nähe des Punktes P (x, y, z) ein kleines Volumen in Form eines Parallelepipeds mit Kanten parallel zu den Koordinatenachsen (Abbildung 7.3). Angesichts der Kleinheit des Volumens (wir werden gegen Null tendieren) können die Werte innerhalb jeder der sechs Seiten des Parallelepipeds als unverändert angesehen werden. Die Strömung über die gesamte umschlossene Fläche wird aus Strömungen gebildet, die jede der sechs Seiten separat durchströmen.

Finden wir die Strömung durch ein Flächenpaar senkrecht zum Anschlag X in Abb. 7.3 Flächen 1 und 2). Die äußere Normale auf Fläche 2 fällt mit der Richtung der X-Achse zusammen. Daher ist die Strömung durch Fläche 2 gleich. Die Normale hat eine Richtung entgegengesetzt zur X-Achse. Die Projektionen des Vektors auf die X-Achse und auf die Normale haben entgegengesetzte Vorzeichen, und die Strömung durch Fläche 1 ist. Der Gesamtfluss in X-Richtung beträgt. Die Differenz ist das Inkrement beim Versatz entlang der X-Achse um. Aufgrund seiner Kleinheit kann dieses Inkrement im Formular dargestellt werden. Dann bekommen wir. In ähnlicher Weise sind die Flüsse durch Flächenpaare senkrecht zu den Y- und Z-Achsen gleich und. Voller Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche. Wenn wir diesen Ausdruck durch dividieren, finden wir die Vektordivergenz im Punkt P:

Wenn man die Divergenz des Vektors an jedem Punkt im Raum kennt, ist es möglich, den Fluss dieses Vektors durch jede Oberfläche endlicher Dimensionen zu berechnen. Dazu zerlegen wir das von der Fläche S begrenzte Volumen in unendlich viele infinitesimale Elemente (Abbildung 7.4).

Für jedes Element ist der Fluss eines Vektors durch die Oberfläche dieses Elements. Über alle Elemente summiert, erhalten wir die Strömung durch die Oberfläche S, die das Volumen V begrenzt:, die Integration erfolgt auf das Volumen V, oder

Dies ist der Satz von Ostrogradsky-Gauss. Hier ist der Einheitsnormalenvektor zur Oberfläche dS an einem bestimmten Punkt.

Kehren wir zum Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit zurück. Lassen Sie uns eine Kontur erstellen. Stellen Sie sich vor, dass wir die Flüssigkeit irgendwie sofort im gesamten Volumen einfrieren, mit Ausnahme eines sehr dünnen geschlossenen Kanals mit konstantem Querschnitt, der eine Kontur enthält (Abbildung 7.5). Je nach Art der Strömung wird die Flüssigkeit im gebildeten Kanal entweder stationär sein oder sich entlang der Kontur in eine der möglichen Richtungen bewegen (zirkulieren). Als Maß für diese Bewegung wird ein Wert gewählt, der gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit des Fluids im Kanal und der Länge des Kreislaufs ist. Dieser Wert wird als Umlauf des Vektors entlang der Kontur bezeichnet (da der Kanal einen konstanten Querschnitt hat und sich das Geschwindigkeitsmodul nicht ändert). Im Moment der Erstarrung der Wände wird für jedes Flüssigkeitsteilchen im Kanal die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand ausgelöscht und nur die tangentiale Komponente zur Kontur verbleibt. Dieser Komponente ist ein Impuls zugeordnet, dessen Modul für ein Flüssigkeitsteilchen, das in einem Kanalabschnitt mit einer Länge eingeschlossen ist, gleich ist, wobei die Flüssigkeitsdichte der Kanalabschnitt ist. Die Flüssigkeit ist ideal - es gibt keine Reibung, daher kann die Wirkung der Wände nur die Richtung ändern, ihr Wert bleibt konstant. Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen der Flüssigkeit bewirkt eine solche Impulsumverteilung zwischen ihnen, die die Geschwindigkeiten aller Teilchen ausgleicht. In diesem Fall bleibt die algebraische Impulssumme erhalten, daher ist die Umlaufgeschwindigkeit die Tangentialkomponente der Fluidgeschwindigkeit im Volumen zum Zeitpunkt vor der Erstarrung der Wände. Wenn wir durch dividieren, erhalten wir.

Die Zirkulation charakterisiert die Eigenschaften des Feldes, gemittelt über einen Bereich mit Abmessungen in der Größenordnung des Konturdurchmessers. Um eine Charakteristik des Feldes am Punkt P zu erhalten, ist es notwendig, die Größe der Kontur zu reduzieren und sie auf Punkt P zusammenzuziehen. In diesem Fall ist die Grenze des Verhältnisses der Vektorzirkulation entlang einer flachen Kontur, die sich zu Punkt P zusammenzieht, zu die Größe der Ebene der Kontur S wird als Charakteristik des Feldes genommen:. Der Wert dieser Grenze hängt nicht nur von den Eigenschaften des Feldes am Punkt P ab, sondern auch von der Orientierung der Kontur im Raum, die durch die Richtung der positiven Normalen auf die Konturebene (die zugehörige Normale) mit der Richtung des Überfahrens der Kontur nach der Regel der rechten Schraube gilt als positiv). Wenn wir diesen Grenzwert für verschiedene Richtungen bestimmen, erhalten wir verschiedene Werte, und für gegenläufige Richtungen normal unterscheiden sich diese Werte im Vorzeichen. Für eine bestimmte Richtung der Normalen ist der Grenzwert maximal. Somit verhält sich der Wert der Grenze wie eine Projektion eines Vektors auf die Richtung der Normalen auf die Ebene der Kontur, entlang derer die Zirkulation genommen wird. Der Maximalwert der Grenze bestimmt den Modul dieses Vektors, und die Richtung der positiven Normalen, bei der das Maximum erreicht wird, gibt die Richtung des Vektors an. Dieser Vektor wird Rotor oder Wirbel des Vektors genannt:.

Um die Projektion des Rotors auf die Achse des kartesischen Koordinatensystems zu finden, müssen die Grenzwerte für solche Orientierungen des Ortes S bestimmt werden, bei denen die Normale des Ortes mit einer der übereinstimmt X-, Y-, Z-Achsen... Wenn zum Beispiel entlang der X-Achse zu richten ist, werden wir finden. Die Kontur liegt in diesem Fall in einer Ebene parallel zu YZ, wir nehmen eine Kontur in Form eines Rechtecks mit Seiten und. Bei Werten und auf jeder der vier Seiten kann die Kontur als unverändert betrachtet werden. Abschnitt 1 der Kontur (Abbildung 7.6) ist der Z-Achse entgegengesetzt, daher fällt er in diesem Abschnitt mit Abschnitt 2, Abschnitt 3, Abschnitt 4 zusammen. Für die Zirkulation entlang dieser Strecke erhalten wir den Wert:. Die Differenz ist das Inkrement beim Versatz entlang Y um. Aufgrund seiner geringen Größe kann dieses Inkrement in der Form dargestellt werden, ebenso die Differenz. Dann die Zirkulation entlang der betrachteten Kontur,

wo ist der bereich der kontur. Teilen wir die Zirkulation durch, so erhalten wir die Projektion des Rotors auf der X-Achse:. Ähnlich,,. Dann wird der Rotor des Vektors durch den Ausdruck bestimmt: +,

Wenn wir den Rotor des Vektors an jedem Punkt einer Fläche S kennen, können wir die Zirkulation dieses Vektors entlang der die Fläche S begrenzenden Kontur berechnen. Dazu teilen wir die Fläche in sehr kleine Elemente auf (Abbildung 7.7). Die Zirkulation entlang der Begrenzungskontur ist die positive Normale zum Element. Wenn wir diese Ausdrücke über die gesamte Fläche S aufsummieren und den Ausdruck für die Zirkulation einsetzen, erhalten wir. Dies ist der Satz von Stokes.

Der von den Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit wird als Stromrohr bezeichnet. Der Vektor, der an jedem Punkt tangential zur Stromlinie liegt, wird tangential zur Oberfläche des Stromrohres sein, und die Fluidteilchen durchqueren die Wände des Stromrohres nicht.

Betrachten Sie den Querschnitt der Stromröhre S (Abbildung 7.8.), senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen an allen Punkten dieses Abschnitts gleich ist. Mit der Zeit passieren alle Teilchen, deren Abstand im Anfangsmoment den Wert nicht überschreitet, den Querschnitt S. Folglich passiert ein Flüssigkeitsvolumen gleich durch den Abschnitt S in der Zeit und ein Flüssigkeitsvolumen gleich durch den Abschnitt S in einer Zeiteinheit Wir nehmen an, dass das Strahlrohr so dünn ist, dass die Geschwindigkeit der Teilchen in jedem Abschnitt kann als konstant angesehen werden. Ist die Flüssigkeit inkompressibel (d.h. ihre Dichte ist überall gleich und ändert sich nicht), dann bleibt die Flüssigkeitsmenge zwischen den Abschnitten und (Abb. 7.9.) unverändert. Dann fließen die Flüssigkeitsmengen pro Zeiteinheit durch die Abschnitte und müssen gleich sein:

Daher muss bei einem inkompressiblen Fluid der Wert in jedem Abschnitt desselben Durchflussrohrs gleich sein:

Diese Aussage wird Jetkontinuitätssatz genannt.

Die Bewegung einer idealen Flüssigkeit wird durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben:

wobei t die Zeit ist, x, y, z die Koordinaten des Flüssigkeitsteilchens sind, die Projektionen der Volumenkraft sind, p der Druck ist und ρ die Dichte des Mediums ist. Diese Gleichung erlaubt es, die Projektionen der Geschwindigkeit eines Teilchens des Mediums als Funktion von Koordinaten und Zeit zu bestimmen. Um das System zu schließen, wird die Kontinuitätsgleichung zur Navier-Stokes-Gleichung hinzugefügt, die eine Folge des Jet-Kontinuitätssatzes ist:

Um diese Gleichungen zu integrieren, müssen die Anfangs- (wenn die Bewegung nicht stationär ist) und die Randbedingungen festgelegt werden.

7.2. Der Druck in der strömenden Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung und ihre Konsequenzen

Betrachtet man die Bewegung von Fluiden, kann in manchen Fällen davon ausgegangen werden, dass die Bewegung einiger Fluide relativ zu anderen nicht mit dem Auftreten von Reibungskräften verbunden ist. Eine Flüssigkeit ohne innere Reibung (Viskosität) wird als ideal bezeichnet.

Wählen wir ein Strömungsrohr mit kleinem Querschnitt in einem stationären strömenden idealen Fluid (Abb. 7.10). Betrachten wir das Flüssigkeitsvolumen, das durch die Wände des Stromrohres und die Abschnitte senkrecht zu den Stromlinien begrenzt wird.Während der Zeit bewegt sich dieses Volumen entlang des Stromrohrs und der Abschnitt bewegt sich in die Position nach dem Passieren des Pfades, die Der Abschnitt bewegt sich nach dem Passieren des Pfads an die Position. Aufgrund der Kontinuität des Strahls haben die schattierten Volumina den gleichen Wert:

Die Energie jedes Teilchens der Flüssigkeit ist gleich der Summe seiner kinetischen Energie und seines Potentials im Schwerkraftfeld. Aufgrund der Stationarität der Strömung hat ein Teilchen, das sich nach einiger Zeit an einem der Punkte des nicht verschatteten Teils des betrachteten Volumens befindet (z. B. Punkt O in Abb. 7.10), die gleiche Geschwindigkeit (und die gleiche kinetische Energie) als das Teilchen, das sich zum Anfangszeitpunkt an derselben Stelle befand. Daher ist der Energiezuwachs des gesamten betrachteten Volumens gleich der Differenz der Energien der schattierten Volumen und.

In einem idealen Fluid gibt es keine Reibungskräfte, daher ist der Energiezuwachs (7.1) gleich der durch die Druckkräfte auf das zugewiesene Volumen verrichteten Arbeit. Die Druckkräfte auf die Mantelfläche stehen an jedem Punkt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Partikel und verrichten keine Arbeit. Die auf die Abschnitte aufgebrachte Kraftarbeit ist gleich

Mit (7.1) und (7.2) erhalten wir

Da die Abschnitte und willkürlich genommen wurden, kann argumentiert werden, dass der Ausdruck in jedem Abschnitt der Stromröhre konstant bleibt, d.h. in einem stationären strömenden idealen Fluid entlang einer Stromlinie die Bedingung

Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Für eine horizontale Stromlinie hat Gleichung (7.3) die Form:

7.3 FLÜSSIGKEITSENTLEERUNG AUS DEM LOCH

Wenden wir die Bernoulli-Gleichung auf den Fall eines Flüssigkeitsausflusses aus einem kleinen Loch in einem weit offenen Gefäß an. Wählen wir ein Strömungsrohr in der Flüssigkeit, dessen oberer Abschnitt auf der Flüssigkeitsoberfläche liegt und der untere mit dem Loch übereinstimmt (Abb. 7.11). In jedem dieser Abschnitte können die Geschwindigkeit und Höhe über einem bestimmten Anfangsniveau als gleich angesehen werden, die Drücke in beiden Abschnitten sind gleich dem atmosphärischen und auch gleich, die Bewegungsgeschwindigkeit der offenen Oberfläche wird als gleich Null betrachtet. Dann nimmt Gleichung (7.3) die Form an:

Impuls

7.4 Viskose Flüssigkeit. Innere Reibungskräfte

Ideale Flüssigkeit, d.h. Flüssigkeit ohne Reibung ist eine Abstraktion. Alle realen Flüssigkeiten und Gase haben mehr oder weniger Viskosität oder innere Reibung.

Die Viskosität äußert sich darin, dass die Bewegung, die in einer Flüssigkeit oder einem Gas entstanden ist, nach Beendigung der Wirkung der Kräfte, die sie verursacht haben, allmählich aufhört.

Betrachten Sie zwei parallele Platten in einer Flüssigkeit (Abbildung 7.12). Die linearen Abmessungen der Platten sind viel größer als der Abstand zwischen ihnen. D... Die Bodenplatte wird in Position gehalten, die obere Platte wird relativ zum Boden mit etwas verschoben

Geschwindigkeit. Es wurde experimentell nachgewiesen, dass zur Bewegung der oberen Platte mit konstanter Geschwindigkeit eine ganz bestimmte Kraft konstanter Größe auf sie einwirken muss. Die Platte erhält keine Beschleunigung, daher wird die Wirkung dieser Kraft durch eine Kraft in ihrer Größe ausgeglichen, die die Reibungskraft ist, die auf die Platte wirkt, wenn sie sich in einer Flüssigkeit bewegt. Bezeichnen wir es, und ein Teil der unter der Ebene liegenden Flüssigkeit wirkt auf einen oberhalb der Ebene liegenden Teil der Flüssigkeit mit einer Kraft. Außerdem und werden durch Formel (7.4) bestimmt. Somit drückt diese Formel die Kraft zwischen den sich berührenden Flüssigkeitsschichten aus.

Es wurde experimentell nachgewiesen, dass sich die Geschwindigkeit von Flüssigkeitsteilchen in z-Richtung senkrecht zu den Platten ändert (Abbildung 7.6) nach dem linearen Gesetz

Flüssigkeitspartikel in direktem Kontakt mit den Platten scheinen an ihnen zu haften und haben die gleiche Geschwindigkeit wie die Platten selbst. Aus Formel (7.5) erhalten wir

Das Vorzeichen in dieser Formel wird aus folgendem Grund gesetzt. Wenn die Bewegungsrichtung geändert wird, ändert die Ableitung der Geschwindigkeit das Vorzeichen, während das Verhältnis immer positiv ist. Aus diesem Grund hat der Ausdruck (7.4) die Form

Die Viskositätseinheit mit SI ist die Viskosität, bei der der Geschwindigkeitsgradient mit dem Modul zum Auftreten einer inneren Reibungskraft von 1 N pro 1 m der Kontaktfläche der Schichten führt. Diese Einheit heißt Pascal - Sekunde (Pa · s).

1 | | | |

Der Zustand der Flüssigkeitsbewegung kann bestimmt werden, indem für jeden Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor als Funktion der Zeit angegeben wird.

Sammlung von Vektoren , für alle Punkte im Raum gegeben, bildet das Feld des Geschwindigkeitsvektors, der wie folgt dargestellt werden kann. Zeichnen wir Linien in einer sich bewegenden Flüssigkeit, so dass die Tangente an jedem Punkt in Richtung mit dem Vektor (Abbildung 7.1). Diese Linien werden Stromlinien genannt. Wir vereinbaren, Stromlinien so zu zeichnen, dass ihre Dichte (das Verhältnis der Anzahl der Linien
auf die Größe der senkrecht zu ihnen stehenden Fläche
durch die sie hindurchgehen) war proportional zur Größe der Geschwindigkeit an einem bestimmten Ort. Aus dem Stromlinienmuster lässt sich dann nicht nur die Richtung, sondern auch die Größe des Vektors beurteilen an verschiedenen Stellen im Raum: Wo die Geschwindigkeit höher ist, werden die Stromlinien dichter.

Die Anzahl der Streamlines, die durch die Site gehen
senkrecht zu den Stromlinien ist
, wenn der Standort willkürlich an den Stromlinien ausgerichtet ist, ist die Anzahl der Stromlinien, wobei
- der Winkel zwischen der Richtung des Vektors und normal auf der Seite ... Die Notation wird oft verwendet
... Die Anzahl der Streamlines durch die Website endliche Größe wird durch das Integral bestimmt:
... Ein solches Integral heißt Fluss des Vektors auf der ganzen Website .

V Betrag und Richtung des Vektors ändert sich im Laufe der Zeit, daher bleibt das Linienmuster nicht konstant. Wenn an jedem Punkt im Raum der Geschwindigkeitsvektor in Betrag und Richtung konstant bleibt, wird die Strömung als stationär oder stationär bezeichnet. In einer stationären Strömung passiert jedes flüssige Teilchen einen bestimmten Punkt im Raum mit der gleichen Geschwindigkeit. Das Stromlinienmuster ändert sich in diesem Fall nicht und die Stromlinien stimmen mit den Flugbahnen der Partikel überein.

Betrachten Sie das Feld des Geschwindigkeitsvektors einer inkompressiblen kontinuierlichen Flüssigkeit. Die Strömung des Geschwindigkeitsvektors durch eine bestimmte Oberfläche ist gleich dem Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch diese Oberfläche fließt. Wir konstruieren in der Nähe des Punktes R imaginäre geschlossene Fläche S(Abbildung 7.2) . Wenn in der Lautstärke V von der Oberfläche begrenzt, die Flüssigkeit entsteht und verschwindet nicht, dann ist die Strömung nach außen durch die Oberfläche gleich Null. Eine Durchflussdifferenz von Null zeigt an, dass es innerhalb der Oberfläche Flüssigkeitsquellen oder -senken gibt, dh Punkte, an denen Flüssigkeit in das Volumen eintritt (Quellen) oder aus dem Volumen entfernt wird (Senken).Der Durchfluss bestimmt die Gesamtleistung der Quellen und sinkt. Bei einer Vorherrschaft von Quellen gegenüber Abwässern ist der Fluss positiv, bei einer Vorherrschaft von Abwässern - negativ.

Der Quotient aus der Division des Durchflusses durch die Menge des Volumens, aus dem der Durchfluss fließt,
, ist die durchschnittliche spezifische Leistung der im Volumen eingeschlossenen Quellen V. Je kleiner das Volumen V., einschließlich Punkt R, desto näher ist dieser Durchschnitt an diesem Punkt an der wahren Leistungsdichte. In der Grenze bei
, d.h. Wenn wir das Volumen auf einen Punkt zusammenziehen, erhalten wir die wahre spezifische Leistung der Quellen an diesem Punkt R, heißt Divergenz (Divergenz) des Vektors :
... Der resultierende Ausdruck ist für jeden Vektor gültig. Die Integration erfolgt über eine geschlossene Fläche S, Einschränkung des Anwendungsbereichs V... Die Divergenz wird durch das Verhalten der Vektorfunktion bestimmt nahe Punkt R. Divergenz ist eine Skalarfunktion von Koordinaten, die n . definieren Punktposition R im Weltraum.

Suchen wir einen Ausdruck für die Divergenz im kartesischen Koordinatensystem. Betrachten Sie in der Nähe des Punktes P (x, y, z) ein kleines Volumen in Form eines Parallelepipeds mit Kanten parallel zu den Koordinatenachsen (Abbildung 7.3). Aufgrund der geringen Lautstärke (wir werden gegen Null tendieren) sind die Werte
innerhalb jeder der sechs Seiten des Parallelepipeds kann als unverändert betrachtet werden. Die Strömung über die gesamte umschlossene Fläche wird aus Strömungen gebildet, die jede der sechs Seiten separat durchströmen.

Finden Sie die Strömung durch ein Paar von Flächen senkrecht zum Anschlag NS in Abbildung 7.3 Flächen 1 und 2) . Äußeres normal zu Fläche 2 stimmt mit der Richtung der Achse überein NS... Deshalb
und die Strömung durch Fläche 2 ist
.Normal hat eine der Achse entgegengesetzte Richtung NS. Vektorprojektionen pro Achse NS und zu normal haben gegensätzliche Vorzeichen,
, und die Strömung durch Fläche 1 ist
... Der Gesamtfluss in Richtung NS ist gleich
... Unterschied
ist ein Inkrement bei Verschiebung entlang der Achse NS An
... Aufgrund der Kleinheit

... Dann bekommen wir
... Ebenso durch Flächenpaare senkrecht zu den Achsen Ja und Z, die Flüsse sind gleich
und
... Voller Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche. Aufteilen dieses Ausdrucks in
, finde die Divergenz des Vektors am Punkt R:

Kenntnis der Vektordivergenz An jedem Punkt im Raum können Sie den Fluss dieses Vektors durch eine beliebige Oberfläche endlicher Dimensionen berechnen. Dazu teilen wir das durch die Fläche begrenzte Volumen S, in unendlich viele infinitesimale Elemente
(Abbildung 7.4).

Für jedes Element
Stromvektor durch die Oberfläche dieses Elements ist
... Über alle Elemente summieren
, erhalten wir die Strömung durch die Oberfläche S Begrenzung der Lautstärke V:
, wird auf dem Volumen integriert V., oder

NS dann das Ostrogradskii-Gauß-Theorem. Hier
,ist der Einheitsnormalenvektor zur Fläche dS An diesem Punkt.

Kehren wir zum Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit zurück. Lass uns eine Kontur bauen ... Stellen Sie sich vor, dass wir die Flüssigkeit irgendwie sofort im gesamten Volumen eingefroren haben, mit Ausnahme eines sehr dünnen geschlossenen Kanals mit konstantem Querschnitt, der eine Kontur enthält (Abbildung 7.5). Je nach Art der Strömung ist die Flüssigkeit im gebildeten Kanal entweder stationär oder bewegt sich (zirkulierend) entlang der Kontur in eine der möglichen Richtungen. Als Maß für diese Bewegung wird ein Wert gewählt, der gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Kanal und der Länge des Kreislaufs ist,
... Diese Größe nennt man die Zirkulation des Vektors entlang der Kontur (da der Kanal einen konstanten Querschnitt hat und sich das Geschwindigkeitsmodul nicht ändert). Im Moment der Erstarrung der Wände wird für jedes Flüssigkeitsteilchen im Kanal die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand ausgelöscht und nur die tangentiale Komponente zur Kontur verbleibt. Dieser Komponente ist ein Impuls zugeordnet
, dessen Modul für ein in einem Kanalabschnitt eingeschlossenes Flüssigkeitsteilchen der Länge
, gleich
, wo - die Dichte der Flüssigkeit, - Kanalabschnitt. Die Flüssigkeit ist ideal - es gibt keine Reibung, daher kann die Wirkung der Wände nur die Richtung ändern
, sein Wert bleibt konstant. Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen der Flüssigkeit bewirkt eine solche Impulsumverteilung zwischen ihnen, die die Geschwindigkeiten aller Teilchen ausgleicht. In diesem Fall bleibt die algebraische Impulssumme erhalten, also
, wo - Umlaufgeschwindigkeit, - die Tangentialkomponente der Fluidgeschwindigkeit im Volumen
zum Zeitpunkt vor der Erstarrung der Wände. Aufteilung in
, werden
.

C Die Zirkulation charakterisiert die Eigenschaften des Feldes gemittelt über einen Bereich mit Abmessungen in der Größenordnung des Konturdurchmessers ... Um die Charakteristik des Feldes an der Stelle zu erhalten R, Sie müssen die Größe der Kontur reduzieren und sie auf einen Punkt ziehen R... In diesem Fall wird die Grenze des Umlaufverhältnisses des Vektors als Charakteristik des Feldes genommen auf einer flachen Kontur auf den punkt kontrahieren R, auf die Größe der Konturebene S:
... Der Wert dieser Grenze hängt nicht nur von den Eigenschaften des Feldes an der Stelle ab R, aber auch von der Orientierung der Kontur im Raum, die durch die Richtung der positiven Normalen angegeben werden kann zur Ebene der Kontur (die Normale, die mit der Richtung des Durchfahrens der Kontur nach der Regel der rechten Schraube verbunden ist, wird als positiv angesehen). Bestimmung dieser Grenze für verschiedene Richtungen , erhalten wir seine unterschiedlichen Werte, und für die entgegengesetzten Normalenrichtungen unterscheiden sich diese Werte im Vorzeichen. Für eine Richtung der Normalen ist der Grenzwert maximal. Somit verhält sich der Wert der Grenze wie eine Projektion eines Vektors auf die Richtung der Normalen auf die Ebene der Kontur, entlang derer die Zirkulation genommen wird. Der Maximalwert der Grenze bestimmt den Modul dieses Vektors, und die Richtung der positiven Normalen, bei der das Maximum erreicht wird, gibt die Richtung des Vektors an. Dieser Vektor wird Rotor oder Wirbel des Vektors genannt :
.

Um die Projektion des Rotors auf die Achse des kartesischen Koordinatensystems zu finden, müssen Sie die Grenzwerte für solche Standortorientierungen bestimmen S für die das normale zum Standort fällt mit einer der Achsen zusammen X, Y, Z. Wenn Sie zum Beispiel senden entlang der Achse NS, finden
... Schaltkreis liegt in diesem Fall in einer Ebene parallel zu YZ, nehmen Sie eine Kontur in Form eines Rechtecks mit Seiten
und
... Bei
Bedeutung und auf jeder der vier Seiten der Kontur kann als unverändert betrachtet werden. Abschnitt 1 der Kontur (Abbildung 7.6) liegt der Achse gegenüber Z, deshalb auf dieser Seite stimmt mit . überein
, in Abschnitt 2
, in Abschnitt 3
, vor Ort 4
... Für die Zirkulation entlang dieser Strecke erhalten wir den Wert: . Unterschied
ist ein Inkrement wenn entlang verschoben Ja An
... Aufgrund der Kleinheit
dieses Inkrement kann dargestellt werden als
.Gleichfalls, Unterschied
. Dann die Zirkulation entlang der betrachteten Kontur
,

wo
- Konturbereich. Aufteilung des Kreislaufs in
, finden wir die Projektion des Rotors auf Achse NS:
. Ähnlich,
,
... Dann ist der Rotor des Vektors definiert durch den Ausdruck:

+
,

oder
.

Z der Rotor des Vektors an jedem Punkt einer Oberfläche S, können wir die Zirkulation dieses Vektors entlang der Kontur berechnen die Oberfläche begrenzen S... Dazu teilen wir die Fläche in sehr kleine Elemente auf
(Abbildung 7.7). Zirkulation entlang der Grenze
ist gleich
, wo - positiv normal zum Element
. Diese Ausdrücke über die gesamte Fläche zusammenfassen S und ersetzen den Ausdruck für die Zirkulation, wir erhalten
... Dies ist der Satz von Stokes.

Der von den Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit wird als Stromrohr bezeichnet. Vektor , die an jedem Punkt tangential zur Stromlinie liegt, tangential zur Oberfläche des Stromrohres ist, und die Fluidpartikel durchqueren die Wände des Stromrohres nicht.

Betrachten wir den Querschnitt des Stromrohres senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung S(Abbildung 7.8.). Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen an allen Punkten dieses Abschnitts gleich ist. Während
durch die Sektion S alle Teilchen passieren, deren Abstand ist im Anfangsmoment den Wert nicht überschreitet
... Daher während der Zeit
durch die Sektion S
, und pro Zeiteinheit durch den Abschnitt S das Flüssigkeitsvolumen wird passieren, gleich
.. Nehmen wir an, das Stromrohr sei so dünn, dass die Geschwindigkeit der Teilchen in jedem seiner Abschnitte als konstant angesehen werden kann. Wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist (d. h. ihre Dichte ist überall gleich und ändert sich nicht), dann ist die Flüssigkeitsmenge zwischen den Abschnitten und (Abbildung 7.9.) bleibt unverändert. Dann die Flüssigkeitsmengen, die pro Zeiteinheit durch die Abschnitte fließen und muss das Selbe sein:

Somit ist für ein inkompressibles Fluid die Menge
in jedem Abschnitt desselben Durchflussrohrs muss gleich sein:

.Diese Aussage wird Jetkontinuitätssatz genannt.

Die Bewegung einer idealen Flüssigkeit wird durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben:

wo T- Zeit, x, y, z- Koordinaten eines Flüssigkeitsteilchens,

- Körperkraftprojektionen, R- Druck, ρ - Dichte des Mediums. Mit dieser Gleichung können Sie die Projektion der Geschwindigkeit des Teilchens des Mediums als Funktion von Koordinaten und Zeit bestimmen. Um das System zu schließen, wird die Kontinuitätsgleichung zur Navier-Stokes-Gleichung hinzugefügt, die eine Folge des Jet-Kontinuitätssatzes ist:

... Um diese Gleichungen zu integrieren, müssen die Anfangs- (wenn die Bewegung nicht stationär ist) und die Randbedingungen festgelegt werden.

Flüssigkeiten und Gase sind in ihren Eigenschaften weitgehend ähnlich. Sie sind flüssig und nehmen die Form des Gefäßes an, in dem sie sich befinden. Sie gehorchen den Gesetzen von Pascal und Archimedes.

Bei der Betrachtung der Bewegung von Flüssigkeiten kann man die Reibungskräfte zwischen den Schichten vernachlässigen und sie als absolut inkompressibel betrachten. Eine solche absolut viskose und absolut inkompressible Flüssigkeit wird als ideal bezeichnet..

Die Bewegung einer Flüssigkeit lässt sich beschreiben, indem man die Bewegungsbahnen ihrer Teilchen so zeigt, dass die Tangente an jedem Punkt der Bahn mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammenfällt. Diese Zeilen heißen stromlinienförmig... Stromlinien werden normalerweise so gezeichnet, dass ihre Dichte größer ist, wenn der Flüssigkeitsdurchfluss größer ist (Abbildung 2.11).

Größe und Richtung des Geschwindigkeitsvektors V in einer Flüssigkeit können sich mit der Zeit ändern, dann kann sich das Stromlinienmuster kontinuierlich ändern. Wenn sich die Geschwindigkeitsvektoren an jedem Punkt im Raum nicht ändern, dann heißt die Fluidströmung stationär.

Der durch Stromlinien begrenzte Teil der Flüssigkeit heißt Stromröhre... Flüssigkeitspartikel, die sich im Durchflussrohr bewegen, durchqueren seine Wände nicht.

Betrachten Sie ein Stromrohr und bezeichnen Sie mit S 1 und S 2 die Querschnittsflächen darin (Abbildung 2.12). Dann fließen pro Zeiteinheit die gleichen Flüssigkeitsmengen durch S 1 und S 2:

S1V1 = S2V2 (2.47)

dies gilt für jeden Abschnitt der Stromröhre. Folglich ist für ein ideales Fluid der Wert SV = const in jedem Abschnitt des Durchflussrohrs. Dieses Verhältnis heißt Kontinuität des Jets... Daraus folgt:

jene. die Geschwindigkeit V der stetigen Strömung der Flüssigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche S des Strömungsrohrs, und dies kann auf den Druckgradienten in der Flüssigkeit entlang des Strömungsrohrs zurückzuführen sein. Der Strahlkontinuitätssatz (2.47) ist auch auf reale Flüssigkeiten (Gase) anwendbar, wenn diese in Rohren unterschiedlichen Querschnitts strömen, wenn die Reibungskräfte klein sind.

Bernoulli-Gleichung... Wählen wir ein Strömungsrohr mit veränderlichem Querschnitt in einer idealen Flüssigkeit (Abb. 2.12). Durch die Kontinuität des Strahls fließen gleichzeitig gleiche Flüssigkeitsvolumina ΔV durch S 1 und S 2 .

Die Energie jedes Flüssigkeitsteilchens ist die Summe seiner kinetischen Energie und seiner potentiellen Energie. Wenn dann die Ströme von einem Abschnitt des Rohrs zu einem anderen übergehen, erhöht sich die Energie der Flüssigkeit:

In einer idealen Flüssigkeit beträgt das Inkrement W sollte gleich der Arbeit der Druckkräfte sein, um das Volumen ΔV zu ändern, d.h. A = (P 1 -P 2) ΔV.

Gleichung ΔW = A und Aufhebung um ΔV und unter Berücksichtigung, dass ( ρ ist die Dichte der Flüssigkeit), erhalten wir:

schon seit der Querschnitt des Stromrohres willkürlich genommen wird, dann gilt für ein ideales Fluid entlang einer beliebigen Stromlinie folgendes:

. (2.48)

wo R- statischer Druck in einem bestimmten Abschnitt S der Stromröhre;

Dynamischer Druck für diesen Abschnitt; V die Geschwindigkeit des Flüssigkeitsstroms durch diesen Abschnitt ist;

gh-hydrostatischer Druck.

Gleichung (2.48) heißt Bernoulli-Gleichung.

Viskose Flüssigkeit... Wenn sich in einer echten Flüssigkeit ihre Schichten relativ zueinander bewegen, innere Reibungskräfte(Viskosität). Lassen Sie zwei Flüssigkeitsschichten im Abstand Δх voneinander beabstandet sein und sich mit den Geschwindigkeiten V 1 und V 2 bewegen (Abbildung 2.13).

Dann innere Reibungskraft zwischen den Schichten(Newtonsches Gesetz):

, (2.49)

wo η - Koeffizient der dynamischen Viskosität der Flüssigkeit:

Durchschnittliche arithmetische Geschwindigkeit von Molekülen;

Durchschnittliche freie Weglänge der Moleküle;

Schichtgeschwindigkeitsgradient; S- der Bereich der Kontaktschichten.

Die geschichtete Flüssigkeitsströmung wird als bezeichnet laminar... Wenn die Geschwindigkeit zunimmt, wird die geschichtete Natur der Strömung verletzt und die Flüssigkeit wird gemischt. Dieser Fluss heißt turbulent.

Bei laminarer Strömung, Flüssigkeitsströmung Q in einem Rohr mit Radius R ist proportional zum Druckabfall pro Längeneinheit des Rohres / ℓ:

Poiseuilles Formel. (2.51)

In realen Flüssigkeiten und Gasen erfahren sich bewegende Körper Widerstandskräfte. Zum Beispiel ist die Widerstandskraft, die auf eine sich in einem viskosen Medium gleichmäßig bewegende Kugel wirkt, proportional zu ihrer Geschwindigkeit V:

Stokes-Formel, (2.52)

wo R ist der Kugelradius.

Bei einer Erhöhung der Bewegungsgeschwindigkeit wird die Umströmung des Körpers gestört, es bilden sich Wirbel hinter dem Körper, die zusätzlich Energie verbrauchen. Dies führt zu einer Erhöhung des Widerstands.